a b c d - One Minute Site di metodi... · 1. La prova ha la durata di un’ora e NON è consentita...

Compito di Metodi Matematici eMatematica per le Applicazioni Economiche I per EC (esame completo)

10 giugno 2009, Prima Parte, Colonna A

Cognome:_______________ Nome:____________ Numero di matricola:_______

Istruzioni1. La prova ha la durata di un’ora e NON è consentita né la consultazione di libri e/o appunti nél’utilizzo di calcolatrici e/o altri strumenti elettronici.2. La prova consiste in un test di 10 domande a risposta chiusa e scelta singola (ovvero una eduna sola delle risposte è corretta); è possibile non rispondere alle domande. Il punteggio è calcolatosecondo la tabella seguente:

risposta corretta risposta errata nessuna risposta2 −0, 5 0

3. Indicando con P il punteggio ottenuto in questa prima parte e con S il punteggio ottenuto nellaseconda parte (che si svolgerà poco dopo il termine della prima parte), l’esame sarà da considerarsisuperato se e solo se P ≥ 5, S ≥ 5, P + S ≥ 18. Nel caso in cui P sia minore di 5 (su 20), lostudente non potrà sostenere l’esame nell’appello del 25 giugno 2009.

1. Si ricavino tutte le soluzioni della seguente equazione

5 |x|− 1 = x

a) x1 = 1, x2 = 3; b) x1 =1

4, x2 = −1

6; c) x1 =

1

4, x2 = 1; d) x1 = −1

6, x2 = 3.

a b c d

2. Si ricavi l’insieme derivato dell’insieme

A =

½5 +

3

n: n ∈ N∗, n ≤ 128

¾∪ {0}.

a) ∅; b) {5}; c) A; d) {0, 5}.a b c d

3. Quale delle seguenti funzioni (ciascuna definita su R) è iniettiva e tale che f(0) = 2?

a) f(x) = ex; b) f(x) = x2 + 1; c) f(x) = 1 + cosx; d) f(x) = 3− ex.

a b c d

4. Si calcolilim

x→+∞sin 2x

e3x − 1a) 1; b)

2

3; c) 0; d) non esiste.

a b c d

1

5. Si calcolilim

n→+∞n(1− cos1

n)

a) 0; b) +∞; c) 1; d) non esiste.

a b c d

6. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = sin 2x è concava (i.e. volge la sua concavitàverso il basso)?

a) (0,π

2); b) (−π

2,π

2); c) (0,π); d) (

π

2,π).

a b c d

7. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = x2 − log x è monotona crescente?

a) (0,1

4); b) (

1

4,1

2); c) (

1

2,3

4); d) (

3

4, 1).

a b c d

8. Si calcoli il valore del seguente integrale improprioZ +∞

0(x− 2)e−xdx.

a) 0; b) 1; c) − 1; d) +∞.a b c d

9. Si consideri la funzione f , definita in tutto (−π,π) nel modo seguente: f(x) = x. log |sinx|per x 6= 0 ed f(0) = 0. Quale delle affermazioni seguenti è per essa corretta?

(a) f è in 0 discontinua di prima specie (salto);

(b) f è in 0 discontinua di seconda specie (polo);

(c) f è in 0 discontinua di terza specie (essenziale); (d) f è continua in 0.

a b c d

10. Si calcoli il valore del seguente integraleZ 1

0

x− 21 + 9x2

dx.

a)1

18log 10 +

2

3arctan 3; b)

1

18log 10− 2

3arctan 3;

c)1

18log 10 +

1

3arctan 3; d)

1

18log 10− 1

3arctan 3.

a b c d

Soluzionidomanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

risposta corretta b a d c a a d c d b

2


10 giugno 2009, Prima Parte, Colonna B






2 |x|− 5 = x

a) x1 = 3, x2 = −53; b) x1 = −3, x2 = 5; c) x1 = −5

3, x2 = 5; d) x1 = 5, x2 = −3.

a b c d


A =

½7− 4

n: n ∈ N∗, n ≤ 205

¾∪ {0}.

a) ∅; b) {7}; c) A; d) {0, 7}.a b c d


a) f(x) = 4− x3; b) f(x) = 4 + sinx; c) f(x) = 2ex; d) f(x) = 5− 2x.

a b c d

4. Si calcolilim

x→+∞1− cos 3xlog(2x+ 1)

.

a) 0; b)3

2; c) 1; d) non esiste.

a b c d

3

5. Si calcolilim

n→+∞n2 sin

1

n

a) 0; b) +∞; c) 1; d) non esiste.

a b c d

6. Si consideri la funzione f , definita in tutto (−∞,+∞) nel modo seguente: f(x) = x. sin (log |x|)per x 6= 0 ed f(0) = 0. Quale delle affermazioni seguenti è per essa corretta?

(a) f è in 0 discontinua di prima specie (salto);

(b) f è in 0 discontinua di seconda specie (polo);

(c) f è in 0 discontinua di terza specie (essenziale); (d) f è continua in 0.

a b c d


0

x+ 3

1 + 4x2dx.

a)1

8log 10 +

5

2arctan 3; b)

1

8log 5− 5

2arctan 2;

c)1

8log 5 +

3

2arctan 2; d)

1

8log 5− 3

2arctan 2.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = cos x2 è concava (i.e. volge la sua concavitàverso il basso)?

a) (−2π, 0); b) (−π,π); c) (0, 2π); d) (π, 3π).

a b c d

9. Si calcoli il valore del seguente integrale improprioZ 0

−∞(x+ 3)exdx.

a) 0; b) 1; c) 2; d) +∞.a b c d

10. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 3 log x− x2 è monotona decrescente?

a)(0,1√2); b) (

1√2, 1); c) (1,

r3

2); d) (

r3

2, 2).

a b c d


risposta corretta c a a a b d c b c d

4


10 giugno 2009, Prima Parte, Colonna C






A =

½5 +

3

n: n ∈ N∗, n ≤ 128

¾∪ {0}.

a) {0, 5}; b) ∅; c) {5}; d) A.

a b c d

2. Si calcolilim

n→+∞n(1− cos1

n)

a) non esiste; b) 0; c) +∞; d) 1.

a b c d


5 |x|− 1 = x

a) x1 = −16, x2 = 3; b) x1 = 1, x2 = 3; c) x1 =

1

4, x2 = −1

6; d) x1 =

1

4, x2 = 1.

a b c d

4. Si calcolilim

x→+∞sin 2x

e3x − 1a) non esiste; b) 1; c)

2

3; d) 0.

a b c d

5


a) f(x) = 1 + cosx; b) f(x) = 3− ex; c) f(x) = ex; d) f(x) = x2 + 1.

a b c d


0(x− 2)e−x dx.

a) − 1; b) 0; c) 1; d) +∞.a b c d

7. Si consideri la funzione f , definita in tutto (−π,π) nel modo seguente: f(x) = x. log |sinx|per x 6= 0 ed f(0) = 0. Quale delle affermazioni seguenti è per essa corretta?

(a) f è continua in 0; (b) f è in 0 discontinua di terza specie (essenziale);

(c) f è in 0 discontinua di prima specie (salto);

(d) f è in 0 discontinua di seconda specie (polo).

a b c d


0

2x+ 1

1 + 9x2dx.

a)1

9log 10 +

2

3arctan 3; b)

1

9log 10− 2

3arctan 3;

c)1

9log 10 +

1

3arctan 3; d)

1

9log 10− 1

3arctan 3.

a b c d

9. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = x2 − log x è monotona crescente?

a)(1

2,3

4); b) (

3

4, 1); c) (0,

1

4); d) (

1

4,1

2).

a b c d

10. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = sin 2x è concava (i.e. volge la sua concavitàverso il basso)?

a) (−π2,π

2); b) (0,π); c) (

π

2,π) ; d) (0,

π

2).

a b c d


risposta corretta b b c d b a a c b d

6


10 giugno 2009, Prima Parte, Colonna D





1. Si calcolilim

n→+∞n2 sin

1

n

a) 1; b) non esiste; c) 0; d) +∞.a b c d


a) f(x) = 5− 2x; b) f(x) = 4− x3; c) f(x) = 4 + sinx; d) f(x) = 2ex.

a b c d


2 |x|− 5 = x

a) x1 = 5, x2 = −3; b) x1 = 3, x2 = −53; c) x1 = −3, x2 = 5; d) x1 = −5

3, x2 = 5.

a b c d

4. Si calcolilimx→∞

1− cos 3xlog(2x+ 1)

.

a) non esiste; b) 1; c) 0; d)3

2.

a b c d

7


A =

½7− 4

n: n ∈ N∗, n ≤ 205

¾∪ {0}.

a) {0, 7}; b) ∅; c) {7}; d) A.

a b c d

6. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 3 log x− x2 è monotona decrescente?

a) (

r3

2, 2); b) (1,

r3

2); c) (

1√2, 1); d) (0,

1√2).

a b c d


−∞(x+ 3)exdx.

a) +∞; b) 0; c) 1; d) 2.

a b c d


0

x− 11 + 16x2

dx.

a)1

32log 17 +

1

2arctan 4; b)

1

32log 17− 1

2arctan 4;

c)1

32log 17 +

1

4arctan 4; d)

1

32log 17− 1

4arctan 4.

a b c d

9. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = cos x2 è concava (i.e. volge la sua concavitàverso il basso)?

a) (0, 2π); b) (π, 3π); c) (−2π, 0); d) (−π,π).a b c d

10. Si consideri la funzione f , definita in tutto (−∞,+∞) nel modo seguente: f(x) = x. sin (log |x|)per x 6= 0 ed f(0) = 0. Quale delle affermazioni seguenti è per essa corretta?

(a) f è continua in 0; (b) f è in 0 discontinua di terza specie (essenziale);

(c) f è in 0 discontinua di prima specie (salto);

(d) f è in 0 discontinua di seconda specie (polo).

a b c d

Soluzionicdomanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

risposta corretta d b d c b a d d d a

8

Compito di Metodi Matematici per EC (esame completo)10 giugno 2009, Seconda Parte, Colonna A

1. Per un insieme A ⊆ R, si diano le definizioni di insieme superiormente limitato, supA, maxA.Si dia un esempio di insieme A, diverso da un intervallo, che è superiormente limitato e peril quale non esiste maxA.

2. Data una successione numerica {an}+∞n=1, si dia la definizione di limn→+∞ an = L. Si dia ladefinizione di sottosuccessione di una successione data, e si provi che se {an}+∞n=1 è limitataallora esiste (almeno) una sottosuccessione convergente di {an}+∞n=1.

3. Nell’ambito della teoria delle funzioni reali di una variabile reale:

(a) si diano le definizioni di funzione continua in un punto e di funzione uniformementecontinua in un sottoinsieme di R, fornendo esempi di funzioni continue in ogni punto ma chenon lo sono uniformemente nel loro campo di definizione;

(b) si enuncino il Teorema dei Valori Intermedi ed il Teorema di Weierstrass per le funzionicontinue, e si dimostri il primo di questi mettendo opportunamente in evidenza i risultati”pregressi” che si utilizzano nel corso della prova;

(c) si forniscano adeguati controesempi per mostrare che una funzione continua definita su diun intervallo della retta reale: (i) non trasforma necessariamente intervalli chiusi in intervallichiusi, (ii) non trasforma necessariamente intervalli limitati in intervalli limitati, (ii) nontrasforma necessariamente intervalli illimitati in intervalli illimitati;

(d) si considerino le due proprietà seguenti, relative ad una funzione f definita in un insiemeA di cui x0 è un punto interno: P =” f assume valori > 0 in un intorno opportuno di x0”;Q =”f è continua in x0 ed f(x0) > 0”. Si dica, giustificando la risposta, quale delle seguenti4 affermazioni è vera:

(i) P è necessaria ma non sufficiente per Q; (ii) P è necessaria e sufficiente per Q;

(iii) P è sufficiente ma non necessaria per Q; (iv) P non è necessaria nè sufficiente per Q.

4. Si calcolino i seguenti limiti

(i) limx→+∞

cos(log x− ex)√x

; (ii) limx→+∞

√x4 − 1− x5x2 + 8

5. Si tracci ”qualitativamente” il grafico della funzione

f(x) = sin

µ1− ex1 + ex

¶dopo averne determinato:

(1) il campo di definizione

(2) l’insieme dei punti, qualora esistano, in cui essa si annulla

(3) l’insieme dei punti di discontinuità, qualora esistano, e la loro natura

(4) gli eventuali asintoti verticali e/o orizzontali

(5) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo, qualora esistenti

(6) gli estremi superiore ed inferiore dell’insieme dei valori da essa assunti

9

(7) i valori massimo e/o minimo assoluti, qualora esistenti

(8) l’insieme dei punti in cui essa è derivabile

(9) gli intervalli in cui è monotona crescente e decrescente.

10

Compito di Metodi Matematici per EC (esame completo)10 giugno 2009, Seconda Parte, Colonna B

1. Per un insieme A ⊆ R, si diano le definizioni di insieme inferiormente limitato, inf A, minA.Si dia un esempio di insieme A, diverso da un intervallo, che è inferiormente limitato e per ilquale non esiste minA.

2. Data una successione numerica {an}+∞n=1, si dia la definizione di limn→+∞ an = L. Si provi chese (i) E è un sottoinsieme chiuso di R, (ii) an ∈ E per ogni n ∈ N∗, (iii) {an}+∞n=1 è convergentea L, allora L è un punto di E. Si dia un esempio nel quale si mostra che se E non è chiuso,allora L non è necessariamente un punto diE.


(a) si dia la definizione di funzione f derivabile in un punto x0, e per una tale funzione si dianole definizioni di retta tangente al grafico nel punto di coordinate (x0, f(x0)) e di Polinomio diTaylor di primo grado calcolato nel punto x0, illustrando di tali due oggetti le più importantiproprietà;

(b) si enuncino il Teorema di Fermat, il Teorema di Rolle ed il Teorema di Lagrange, e sidescriva il significato geometrico di ciascuno di essi;

(c) si forniscano le dimostrazioni dei Teoremi di Rolle e di Lagrange, mettendo opportuna-mente in evidenza i risultati utilizzati nel corso delle due prove richieste;

(d) si considerino le due proprietà seguenti, relative ad una funzione f definita e derivabile inun insieme aperto A a cui appartiene il punto x0: P =”f 0(x) > 0 in un intorno opportuno dix0”; Q =”esiste un intorno di x0 in cui la f si annulla al più una volta”. Si dica, giustificandola risposta, quale delle seguenti 4 affermazioni è vera:




(i) limx→+∞

√x6 − 2− x24x3 + 1

; (ii) limx→+∞

sin(ex −√x)log x

5. Si tracci ”qualitativamente” il grafico della funzione

f(x) = cos

µex − 1ex + 1

¶dopo averne determinato:


(2) l’insieme dei punti, qualora esistano, in cui essa si annulla

(3) l’insieme dei punti di discontinuità, qualora esistano, e la loro natura

(4) gli eventuali asintoti verticali e/o orizzontali

(5) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo, qualora esistenti

(6) gli estremi superiore ed inferiore dell’insieme dei valori da essa assunti

(7) i valori massimo e/o minimo assoluti, qualora esistenti

(8) l’insieme dei punti in cui essa è derivabile

(9) gli intervalli in cui è monotona crescente e decrescente.

11


25 giugno 2009, Prima Parte, Colonna A




3. Indicando con P il punteggio ottenuto in questa prima parte e con S il punteggio ottenuto nellaseconda parte (che si svolgerà poco dopo il termine della prima parte), l’esame sarà da considerarsisuperato se e solo se P ≥ 5, S ≥ 5, P + S ≥ 18. Nel caso in cui P sia minore di 5 (su 20), lostudente non potrà sostenere l’esame nell’appello del 9 luglio 2009.

1. Si ricavino minA e maxA per l’insieme

A = {x ∈ R : x = n

n+ 3per n ∈ N∗} ∪ [1

2, 1]

a) minA =1

2, maxA =

1

2; b) minA =

1

4, maxA = 1;

c) minA =1

2, maxA non esiste; d) minA =

1

4, maxA non esiste.

a b c d

2. Quale dei seguenti insiemi è aperto?

a) (1, 3] ∪ [2, 8) ∪ {7}; b) [1, 2] ∩ (−1, 5); c) R− (1, 2]; d) {1, 3, 5, 7, 9}.

a b c d

3. Sia f(x) = 3|x|− 2. Si calcoli f([−1, 3]).

a) [−2, 0]; b) [1, 7]; c) [−2, 7]; d) [0, 7].

a b c d

4. Si calcoli il seguente limite:

limx→−∞

sinx− x√x2 + 1

.

a) − 1; b) +∞; c) −∞; d) 1.

a b c d

12


limx→0

sin 5x− tanxlog(1 + 3x)

.

a) 0; b) +∞; c)4

3; d) 1.

a b c d

6. Si determinino tutti i punti appartenenti al campo di definizione della funzione f(x) = 1 −|sinx| in cui la funzione stessa è continua ma non è derivabile.

a) nπ, n ∈ N; b)nπ

2, n ∈ N; c) nπ, n ∈ Z; d)

nπ

2, n ∈ Z.

a b c d


−1x− 21 + 25x2

dx.

a) − 45arctan 5; b) − 2

5arctan 5; c)

2

5arctan 5; d)

4

5arctan 5.

a b c d

8. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto un intorno dell’origine, è continua in 0 ed incaso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = cosx−1

x2per x > 0; f(x) = 1

2 per x ≤ 0

a) continua; b) discontinuità eliminabile;

c) discontinua di prima specie (salto); d) discontinua di seconda specie (polo).

a b c d


0

cosx

sinxdx.

a) −∞; b) 1; c) π; d) +∞.a b c d

10. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = ex − 2x è monotona decrescente?

a)(−1, 0); b) (0, 1); c) (1, 2); d) f è sempre crescente.

a b c d


risposta corretta b a c d c c a c d a

13


25 giugno 2009, Prima Parte, Colonna B






A = {x ∈ R : x = 2n

n+ 5per n ∈ N∗} ∪ [1, 2]

a) minA = 1, maxA = 1; b) minA =1

3, maxA non esiste;

c) minA = 1, maxA = 2; d) minA =1

3, maxA = 2.

a b c d


a) [1, 3) ∩ (2, 8]; b) (7, 10) ∪ {7}; c) R− [4, 6); d) {2, 4, 6, 8}.a b c d

3. Sia f(x) = 2|x|− 3. Si calcoli f([−3, 2]).a) [−3, 0]; b) [1, 3]; c) [−3, 3]; d) [0, 3].

a b c d


limx→−∞

√x2 + 3

2x+ arctanx.

a) − 12; b) +∞; c) −∞; d)

1

2.

a b c d

14


limx→0

log(1 + 2x)

tan 4x− sinx.

a) 1; b)2

3; c) −∞; d) 0.

a b c d

6. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto un intorno dell’origine, è continua in 0 ed incaso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = sinx

|x| per x < 0; f(x) = −1 per x ≥ 0



a b c d

7. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 3x− ex è monotona decrescente?

a) (−1, 0); b) (0, 1); c) (1, 2); d) (2, 3) .

a b c d

8. Si calcoli il valore del seguente integrale improprioZ π2

0

sinx

cosxdx.

a) −∞; b) +∞; c) 1; d) π.

a b c d

9. Si determinino tutti i punti appartenenti al campo di definizione della funzione f(x) = |cosx|in cui la funzione stessa è continua ma non derivabile.

a)π

2+ nπ, n ∈ N; b)

π

2+ nπ, n ∈ Z; c)

nπ

2, n ∈ N; d)

nπ

2, n ∈ Z.

a b c d


−13x− 11 + 16x2

dx.

a)1

2arctan 4; b) − 1

2arctan 4; c) arctan 4; d) − arctan 4.

a b c d


risposta corretta d a c a b a d b b b

15


25 giugno 2009, Prima Parte, Colonna C






a) R− (1, 2]; b) {1, 3, 5, 7, 9}; c) (1, 3] ∪ [2, 8) ∪ {7}; d) [1, 2] ∩ (−1, 5).

a b c d


A = {x ∈ R : x = n

n+ 3per n ∈ N∗} ∪ [1

2, 1]

a) minA =1

4, maxA non esiste; b) minA =

1

2, maxA =

1

2;

c) minA =1

4, maxA = 1; d) minA =

1

2, maxA non esiste.

a b c d


limx→−∞

sinx− x√x2 + 1

.

a) 1; b) − 1; c) +∞; d) −∞.a b c d


a) [0, 7]; b) [−2, 0]; c) [1, 7]; d) [−2, 7].

a b c d

16


limx→0

sin 5x− tanxlog(1 + 3x)

.

a) +∞; b)4

3; c) 1; d) 0.

a b c d

6. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 9x− ex è monotona decrescente?

a) (0, 1); b) (1, 2); c) (2, 3); d) (3, 4) .

a b c d


−π2

cosx

sinxdx.

a) − 1; b) π; c) −∞; d) +∞.a b c d


−12x+ 1

1 + 9x2dx.

a)1

3arctan 3; b) − 1

3arctan 3; c)

2

3arctan 3; d) − 2

3arctan 3.

a b c d

9. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto un intorno dell’origine, è continua in 0 ed incaso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = cosx−1

x2per x < 0; f(x) = −12 per x ≥ 0



a b c d

10. Si determinino tutti i punti appartenenti al campo di definizione della funzione f(x) = |tanx|in cui la funzione stessa è continua ma non è derivabile.

a) nπ, n ∈ Z; b)nπ

2, n ∈ Z; c) nπ, n ∈ N; d)

nπ

2, n ∈ N.

a b c d


risposta corretta c c a d b d c c a a

17


25 giugno 2009, Prima Parte, Colonna D






a) {2, 4, 6, 8}; b) [1, 3) ∩ (2, 8]; c) (7, 10) ∪ {7}; d) R− [4, 6).a b c d


limx→−∞

√x2 + 3

2x+ arctanx.

a) −∞; b)1

2; c) − 1

2; d) +∞.

a b c d


A = {x ∈ R : x = 2n

n+ 5per n ∈ N∗} ∪ [1, 2]

a) minA =1

3, maxA = 2; b) minA = 1, maxA = 1;

c) minA =1

3, maxA non esiste; d) minA = 1, maxA = 2.

a b c d


limx→0

log(1 + 2x)

tan 6x− sinx.

a)2

5; b) 1; c) 0; d) −∞.

a b c d

18


a) [0, 3]; b) [−3, 0]; c) [1, 3]; d) [−3, 3].

a b c d


−π2

sinx

cosxdx.

a) −∞; b) +∞; c) 1; d) π.

a b c d

7. Si determinino tutti i punti appartenenti al campo di definizione della funzione f(x) = |sinx|−1 in cui la funzione stessa è continua ma non derivabile.

a) nπ, n ∈ N; b) nπ, n ∈ Z; c)nπ

2, n ∈ N; d)

nπ

2, n ∈ Z.

a b c d


−12x− 11 + 4x2

dx.

a) 2 arctan 2; b) − 2 arctan 2; c) arctan 2; d) − arctan 2.a b c d

9. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = x2 − ex è monotona crescente?

a) (−2,−1); b) (−1, 0); c) (0, 1); d) f è sempre decrescente

a b c d

10. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto un intorno dell’origine, è continua in 0 ed incaso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = |sinx|

x per x < 0; f(x) = 1 per x ≥ 0



a b c d


risposta corretta b c a a d a b d a c

19

Compito di Metodi Matematici per EC (esame completo)25 giugno 2009, Seconda Parte, Colonna A

1. Per un insieme A sottoinsieme di R, si dia la definizione di punto di frontiera di A. Si indichiun insieme A tale che ∂A = {0, 1, 2}.Per una funzione reale di una variabile reale, si dia la definizione di funzione iniettiva e siindichi una funzione iniettiva f : R→ R tale che f(0) = −1 e limx→−∞ f(x) = −∞.Si dia la definizione di limx→x0 f(x) = L. Supponendo che f sia tale che limx→3 f(x) = 5,si dimostri che esiste un intorno del punto 3, indicato con I(3), tale che f(x) > 0 per ognix ∈ I(3)− {3}.


(a) si dia la definizione di funzione derivabile in un punto x0 interno al proprio campo diesistenza e di funzione derivata di una funzione data, fornendo l’esempio di funzioni continuesu tutta la retta reale la cui funzione derivata è definita solo in un sottoinsieme proprio di R.(b) dopo aver enunciato il Teorema di Lagrange, si provi che una funzione derivabile sututta la retta reale è ivi monotona crescente se e solo se la funzione derivata è non negativa(mettendo in evidenza in quale delle due implicazioni precedenti il Teorema di Lagrange trovaapplicazione);

(c) dopo aver data la definizione di retta tangente al grafico di una funzione f in un punto diascissa x0, dove tale funzione è derivabile, si dica se retta tangente e grafico possono avere omeno infinite intersezioni, giustificando adeguatamente la risposta;

3. Si calcoli il seguente limite al variare del parametero k in R:

limx→0+

ex − x− k cosxx2k

4. Della funzione seguente si tracci qualitativamente il grafico,

f(x) = exp

µx2 + 3x+ 1

x2 − 3x+ 1¶

dopo aver determinato:


(2) l’insieme dei punti in cui essa si annulla

(3) l’insieme dei punti di discontinuità, ove esistenti, e la loro natura

(4) l’esistenza di eventuali asintoti verticali e/o orizzontali

(5) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo qualora esistenti

(6) gli estremi superiore ed inferiore (e qualora esistano il valore massimo e/o il valore minimoassoluto)

(7) l’insieme dei punti in cui è derivabile

(8) gli intervalli in cui è monotona crescente e decrescente

(9) l’intersezione del grafico con l’asse delle y.

20

Compito di Metodi Matematici per EC (esame completo)25 giugno 2009, Seconda Parte, Colonna B

1. Per un insieme A sottoinsieme di R, si dia la definizione di punto di accumulazione di A. Siindichi un insieme A tale che DA = [0, 1] ∪ {2}.Per una funzione reale di una variabile reale, si dia la definizione di funzione iniettiva e siindichi una funzione iniettiva f : R→ R tale che f(0) = 0 e limx→+∞ f(x) = 5.Si dia la definizione di limx→x0 f(x) = L. Supponendo che f sia tale che limx→4 f(x) = −1,si dimostri che esiste un intorno del punto 4, indicato con I(4), tale che f(x) < 0 per ognix ∈ I(4)− {4}.


(a) si dia la definizione di funzione concava e di funzione convessa, sia in senso forte che insenso debole, in tutto un intervallo di R, fornendo esempi specifici per ciascuno dei 4 casisopra indicati;

(b) il candidato enunci tutti i teoremi a lui noti che forniscono condizioni necessarie e sufficientiaffinché una funzione reale di una variabile reale sia concava o convessa in tutto un intervallo,mettendo in debita evidenza il loro significato geometrico e le ipotesi sotto le quali valeciascuno di essi;

(c) per funzioni reali di una variabile reale, derivabili ovunque almeno due volte, si enunci esi dimostri la condizione sufficiente che predice concavità o convessità in base al segno dellafunzione derivata seconda;

3. Si calcoli il seguente limite al variare del parametero k in R:

limx→0+

cosx+ kx− kexx2k


f(x) = exp

µx2 − 2x− 1x2 + 2x− 1

¶dopo aver determinato:


(2) l’insieme dei punti in cui essa si annulla

(3) l’insieme dei punti di discontinuità, ove esistenti, e la loro natura

(4) l’esistenza di eventuali asintoti verticali e/o orizzontali

(5) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo qualora esistenti

(6) gli estremi superiore ed inferiore (e qualora esistano il valore massimo e/o il valore minimoassoluto)

(7) l’insieme dei punti in cui è derivabile

(8) gli intervalli in cui è monotona crescente e decrescente

(9) l’intersezione del grafico con l’asse delle y.

21


9 luglio 2009, Prima Parte, Colonna A




3. Indicando con P il punteggio ottenuto in questa prima parte e con S il punteggio ottenuto nellaseconda parte (che si svolgerà poco dopo il termine della prima parte), l’esame sarà da considerarsisuperato se e solo se P ≥ 5, S ≥ 5, P + S ≥ 18.

1. Quale dei seguenti insiemi è limitato sia superiormente che inferiormente?

a) {x ∈ R : √x > 3}; b) Z; c) (−∞, 3]; d) {x ∈ R : x2 + x+ 1 ≤ 4}.a b c d

2. Quale dei seguenti insiemi ha la proprietà che la sua intersezione con l’intervallo [0, 8) è uninsieme chiuso?

a) (−7, 5] ∪ {8}; b) [−7, 9]; c) [0, 1] ∪ [7, 8]; d) R.

a b c d

3. Sia f(x) = 2x+ 1. Si calcoli f−1({3, 5}).a) {1, 2}; b) [1, 2]; c) (1, 2); d) ∅.

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

√4 + x− 2x

a) 1; b) 2; c)1

2; d)

1

4.

a b c d

5. Si calcolilim

n→+∞npn2 + 3n

a) 0; b) 3; c) 1; d) +∞.a b c d

22

6. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto l’intorno (−1, 1) del punto 0, è continua nelpunto 0, ed in caso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = x sinx

1−cosx per −1 < x < 0;f(x) = 2x

log(1+x) per 1 > x > 0; f(0) = 2.



a b c d


0

ex

1 + exdx.

a) log (1 + e) ; b) log (1 + e)− log 2; c) log 2; d) 0.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = ex−2x2 è concava verso il basso (concava)?

a) (−1, 1); b) (0, 2); c) (1, 3); d) (2, 4) .

a b c d

9. Per quale delle seguenti funzioni, ciascuna considerata in tutto il proprio campo di definizione,il punto x = 0 è punto di minimo assoluto?

a) f(x) = x2 − x3; b) f(x) = esinx; c) f(x) = x sinx; d) f(x) = log¡1 + x2

¢.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente, nel punto di ascissa x0 = 1, al grafico dellafunzione f(x) = x+ 1

2 log x

a) y =3

2(x− 1) + 1; b) y =

1

2(x− 1) + 2; c) y =

3

2x+ 1; d) y = −1

2x+

1

2.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta d a a d c a b a d a

23


9 luglio 2009, Prima Parte, Colonna B






a) N; b) (2,+∞); c) {x ∈ R : 5x+ 1 < 2}; d) {x ∈ R : −2x2 + 3x+ 6 > 5}.a b c d

2. Quale dei seguenti insiemi ha la proprietà che la sua intersezione con l’intervallo (1, 7] è uninsieme chiuso?

a) {1} ∪ [2, 5]; b) [0, 9]; c) [1, 2] ∪ [6, 7]; d) R.

a b c d

3. Sia f(x) = 2 + 3x. Si calcoli f−1({5, 11}).a) [1, 3]; b) {1, 3}; c) (1, 3); d) ∅.

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

3−√9 + xx

a) − 3; b) 3; c) − 16; d)

1

3.

a b c d

5. Si calcolilim

n→+∞npn3 + 2n

a) 0; b) 1; c) 2; d) +∞.a b c d

24

6. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto l’intorno (−1, 1) del punto 0, è continua nelpunto 0, ed in caso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = 1−cosx

1−ex per −1 < x < 0;f(x) = log2(1+x)

sinx per 1 > x > 0; f(0) = 1



a b c d

7. Si calcoli il valore del seguente integraleZ π2

0

cosx

1 + sinxdx.

a) log 2; b) log 3; c) log 1; d) log 3− log 2.a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 3x2 − ex è concava verso l’alto (convessa)?

a) (−3, 3); b) (−4, 0); c) (0, 4); d) (3, 4) .

a b c d

9. Per quale delle seguenti funzioni, ciascuna considerata in tutto il proprio campo di definizione,il punto x = 0 è punto di massimo assoluto?

a) f(x) = x− log(1 + x); b) f(x) = x tanx; c) f(x) = e2−x4; d) f(x) = − sinx.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente, nel punto di ascissa x0 = 0, al grafico dellafunzione f(x) = 3e2x − 4x

a) y = 4x− 3; b) y = 1 + 2x; c) y = −4 + x; d) y = 3 + 2x.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta d a b c b b a b c d

25


9 luglio 2009, Prima Parte, Colonna C






a) {x ∈ R : x2 + x+ 1 ≤ 4}; b) {x ∈ R : √x > 3}; c) Z; d) (−∞, 3].a b c d

2. Quale dei seguenti insiemi ha la proprietà che la sua intersezione con l’intervallo [0, 8) è uninsieme chiuso?

a) R; b) (−7, 5] ∪ {8}; c) [−7, 9]; d) [0, 1] ∪ [7, 8].a b c d

3. Sia f(x) = 2x+ 1. Si calcoli f−1({3, 5}).a) (1, 2); b) ∅; c) {1, 2}; d) [1, 2].

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

√4 + x− 2x

a)1

4; b) 1; c) 2; d)

1

2.

a b c d

5. Si calcolilim

n→+∞npn2 + 3n

a) +∞; b) 0; c) 3; d) 1.

a b c d

26

6. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto l’intorno (−1, 1) del punto 0, è continua nelpunto 0, ed in caso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = x sinx

1−cosx per −1 < x < 0;f(x) = 2x

log(1+x) per 1 > x > 0; f(0) = 2.

a) discontinua di prima specie (salto); b) discontinua di seconda specie (polo);

c) continua; d) discontinuità eliminabile.

a b c d


0

ex

1 + exdx.

a) 0; b) log (1 + e) ; c) log (1 + e)− log 2; d) log 2.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = ex−2x2 è concava verso il basso (concava)?

a) (2, 4) ; b) (−1, 1); c) (0, 2); d) (1, 3).

a b c d

9. Per quale delle seguenti funzioni, ciascuna considerata in tutto il proprio campo di definizione,il punto x = 0 è punto di minimo assoluto?

a) f(x) = x sinx; b) f(x) = log¡1 + x2

¢; c) f(x) = x2 − x3; d) f(x) = esinx.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente, nel punto di ascissa x0 = 1, al grafico dellafunzione f(x) = x+ 1

2 log x

a) y = −12x+

1

2; b) y =

3

2(x− 1) + 1; c) y =

1

2(x− 1) + 2; d) y =

3

2x+ 1.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta a b c a d c c b b b

27


9 luglio 2009, Prima Parte, Colonna D






a) {x ∈ R : −2x2 + 3x+ 6 > 5}; b) N; c) (2,+∞); d) {x ∈ R : 5x+ 1 < 2}.a b c d

2. Quale dei seguenti insiemi ha la proprietà che la sua intersezione con l’intervallo (1, 7] è uninsieme chiuso?

a) R; b) {1} ∪ [2, 5]; c) [0, 9]; d) [1, 2] ∪ [6, 7].a b c d

3. Sia f(x) = 2 + 3x. Si calcoli f−1({5, 11}).a) (1, 3); b) ∅; c) [1, 3]; d) {1, 3}.a b c d

4. Si calcoli

limx→0

3−√9 + xx

a)1

3; b) − 3; c) 3; d) − 1

6.

a b c d

5. Si calcolilim

n→+∞npn3 + 2n

a) +∞; b) 0; c) 1; d) 2.

a b c d

28

6. Si dica se la funzione seguente, definita in tutto l’intorno (−1, 1) del punto 0, è continua nelpunto 0, ed in caso negativo se ne classifichi la discontinuità: f(x) = 1−cosx

1−ex per −1 < x < 0;f(x) = log2(1+x)

sinx per 1 > x > 0; f(0) = 1

a) discontinua di prima specie (salto); b) discontinua di seconda specie (polo);

c) continua; d) discontinuità eliminabile.

a b c d

7. Si calcoli il valore del seguente integraleZ π2

0

cosx

1 + sinxdx.

a) log 3− log 2; b) log 2; c) log 3; d) log 1.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 3x2 − ex è concava verso l’alto (convessa)?

a) (3, 4) ; b) (−3, 3); c) (−4, 0); d) (0, 4).

a b c d

9. Per quale delle seguenti funzioni, ciascuna considerata in tutto il proprio campo di definizione,il punto x = 0 è punto di massimo assoluto?

a) f(x) = e2−x4; b) f(x) = − sinx; c) f(x) = x− log(1 + x); d) f(x) = x tanx.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente, nel punto di ascissa x0 = 0, al grafico dellafunzione f(x) = 3e2x − 4x

a) y = 3 + 2x; b) y = 4x− 3; c) y = 1 + 2x; d) y = −4 + x.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta a b d d c d b c a a

29


9 luglio 2009, Seconda Parte, Colonna A

1. (a) Si enunci il teorema dei due carabinieri.

(b) Si dimostrino le seguenti disuguaglianze

cosx <sinx

x< 1 per x ∈ (−π

2, 0) ∪ (0, π

2). (1)

(c) Si utilizzi la (1) e il teorema dei due carabinieri per ricavare limx→0 sinxx .

2. Data una funzione f : A→ R (con A ⊆ R), si definisca l’insieme immagine di A attraverso f ,indicato con f(A). Si dia inoltre la definizione di funzione monotona strettamente decrescentein R e si indichi una funzione f : R→ R strettamente decrescente e tale che f(R) = R.


(a) si dia la definizione di funzione derivata di una funzione data e si introducano le funzioniderivate successive di una funzione data, illustrando questo concetto ricavando le derivatesuccessive della funzione f(x) = ex e della funzione f(x) = sinx.

(b) Si enunci e si dimostri il Teorema di Rolle. Si enunci il Teorema di Lagrange e si spieghiquale relazione sussiste tra tale teorema e il Teorema di Rolle.

(c) Si introduca il concetto di funzione semplice in un intervallo limitato [a, b) e se ne definiscal’integrale. Si dia quindi la definizione di funzione integrabile secondo Riemann in un intervallolimitato [a, b).

4. Si consideri l’insieme A = {x ∈ R : |2x− 5| < 7} ∩ {x ∈ R : x2 − 7x+ 10 ≥ 0}.(a) Si determinino la frontiera, l’insieme interno e l’insieme derivato di A. Si dica se A echiuso e/o aperto.

(b) Si determinino supA e inf A e si dica se esistono maxA e minA.


f(x) = log

¯̄̄̄x2 − 5xx2 + 5x

¯̄̄̄dopo aver determinato:

(i) il campo di definizione di f

(ii) l’insieme dei punti in cui f si annulla

(iii) l’insieme dei punti di discontinuità di f , ove esistenti, e la loro natura

(iv) l’esistenza di eventuali asintoti verticali e/o orizzontali di f

(v) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo di f , qualora esistenti

(vi) gli estremi superiore ed inferiore (e, qualora esistano, il valore massimo e/o il valoreminimo assoluto) di f

(vii) gli intervalli in cui f è monotona crescente e decrescente.

30


9 luglio 2009, Seconda Parte, Colonna B

1. Si dia la definizione di limx→x0 f(x) = L. Si enunci e si dimostri il teorema dei due carabinieri.

2. Data una funzione f : A→ R (con A ⊆ R), si definisca l’insieme immagine di A attraverso f ,indicato con f(A). Si dia inoltre la definizione di funzione monotona strettamente crescentein R e si indichi una funzione f : R→ R strettamente crescente e tale che f(R) = (0,+∞).


(a) si dia la definizione di funzione derivabile in un punto, di funzione derivabile in tutto unsottoinsieme della retta reale, e di retta tangente al grafico di una funzione in punto in cui lafunzione stessa è derivabile;

(b) Si enunci e si dimostri il Teorema di Lagrange. Si enunci il teorema di Cauchy e si spieghiquale relazione sussiste tra tale teorema e il Teorema di Lagrange.

(c) Si dia la definizione di funzione continua in un punto, di funzione continua in un sottoin-sieme A di R, e di funzione uniformemente continua in un sottoinsieme A di R. Si indichiuna funzione continua in R ma non uniformemente continua.

4. Si consideri l’insieme A = {x ∈ R : |2x− 3| ≥ 5} ∩ {x ∈ R : x2 − 2x− 15 < 0}.(a) Si determinino la frontiera, l’insieme interno e l’insieme derivato di A. Si dica se A echiuso e/o aperto.

(b) Si determinino supA e inf A e si dica se esistono maxA e minA.


f(x) = log

¯̄̄̄x2 + 3x

x2 − 3x¯̄̄̄

dopo aver determinato:

(i) il campo di definizione di f

(ii) l’insieme dei punti in cui f si annulla

(iii) l’insieme dei punti di discontinuità di f , ove esistenti, e la loro natura

(iv) l’esistenza di eventuali asintoti verticali e/o orizzontali di f

(v) l’insieme dei punti di massimo e/o di minimo relativo di f , qualora esistenti

(vi) gli estremi superiore ed inferiore (e, qualora esistano, il valore massimo e/o il valoreminimo assoluto) di f

(vii) gli intervalli in cui f è monotona crescente e decrescente.

31


11 settembre 2009, Prima Parte, Colonna A





1. Si individui l’insieme delle soluzioni per la seguente disequazione

7− 3|x+ 1| ≥ 2

a) [−83,2

3]; b) [−5

3,1

3]; c) [−3, 2

3]; d) [−8

3, 4].

a b c d

2. Si individui l’insieme dei punti esterni per l’insieme A = R− [3, 4).

a) Ae = R− (3, 4); b) Ae = [3, 4]; c) Ae = (3, 4); d) Ae = R− [3, 4].

a b c d

3. Si determini l’insieme di definizione A per la funzione

f(x) =√7− x+ log x

a) A = (0, 7]; b) A = (1, 7); c) A = [0, 7); d) A = R.

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

Ãr1

x2+ 7−

r1

x2

!sinx

x.

a) 1; b) +∞; c) −∞; d) 0.

a b c d

32

5. Si calcoli

limx→+∞

3√x+ 2x

5x + x+ x5.

a) −∞; b) +∞; c) 0; d)2

5.

a b c d

6. La funzione f(x) =

(ecos(x+π) se x ≤ 0¡ex−1x

¢2se x > 0

in x0 = 0 è

a) continua; b) discontinua di prima specie (salto);

c) discontinua di seconda specie (polo); d) discontinua di terza specie (essenziale).

a b c d

7. Per quale delle seguenti funzioni x = 1 è un punto di flesso?

a) f(x) = cosπx

2; b) f(x) = sin

πx

2; c) f(x) = ex−1; d) f(x) = (1− x)2 .

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¯̄x2 − 3x+ 2¯̄ NON è monotona?

a) (−∞,−1); b) (0, 1); c) (1, 2); d) (4,+∞).

a b c d


1

2x

3x2 − 1 dx

a) 0; b)1

6log 2; c)

1

3log 2; d) +∞.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = log(log x)2 nel

punto x0 = e

a) y =−x2e; b) y =

e− x2e

; c) y =x

2e; d) y =

x− e2e

.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta a c a d c b a c d d

33


11 settembre 2009, Prima Parte, Colonna B






9− 2|x− 1| ≥ 3

a) [−3, 2]; b) [−1, 4]; c) [−2, 4]; d) [−2, 1].a b c d

2. Si individui l’insieme dei punti esterni per l’insieme A = R− (7, 15].

a) Ae = (7, 15); b) Ae = [7, 15]; c) Ae = R− (7, 15); d) Ae = R− [7, 15].

a b c d


f(x) =√x+ log(6− x)

a) A = (0, 6]; b) A = (1, 6); c) A = [0, 6); d) A = R.

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

x

log(1 + x)

Ãr3 +

1

x2−r1

x2

!.

a) 0; b) +∞; c) −∞; d) 1.

a b c d

34

5. Si calcoli

limx→+∞

3x4 + log x+ 6x

4x +√x

.

a) 0; b) +∞; c) −∞; d)6

4.

a b c d


((log (e+ x))2 se x ≥ 0q

ex−1x se x < 0

in x0 = 0 è

a) continua; b) discontinua di prima specie;

c) discontinua di seconda specie; d) discontinua di terza specie.

a b c d


a) f(x) = cosπx; b) f(x) = sinπx; c) f(x) = log x; d) f(x) = (x− 1)2 .

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¯̄x2 + 3x+ 2

¯̄NON è monotona?

a) (−∞,−2); b) (−2,−1); c) (0, 2); d) (4,+∞).

a b c d

9. Si calcoli il valore del seguente integrale improprioZ −1

−∞x

1 + 3x2dx

a) 0; b) − 16log 4; c) − 1

3log 4; d) −∞.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = 3 log(log x) nelpunto x0 = e

a) y =3 (x− e)

e; b) y =

3 (e− x)e

; c) y =3x

e; d) y =

−3xe.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta c a c a b a b b d a

35


11 settembre 2009, Prima Parte, Colonna C






7− 3|x+ 1| ≥ 2

a) [−83, 4]; b) [−8

3,2

3]; c) [−5

3,1

3]; d) [−3, 2

3].

a b c d

2. Si individui l’insieme dei punti esterni per l’insieme A = R− [3, 4).

a) Ae = (3, 4); b) Ae = R− [3, 4]; c) Ae = R− (3, 4); d) Ae = [3, 4].

a b c d


f(x) =√7− x+ log x

a) A = R; b) A = (0, 7]; c) A = (1, 7); d) A = [0, 7).

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

Ãr1

x2+ 7−

r1

x2

!sinx

x.

a) 0; b) 1; c) +∞; d) −∞.a b c d

36

5. Si calcoli

limx→+∞

3√x+ 2x

5x + x+ x5.

a)2

5; b) −∞; c) +∞; d) 0.

a b c d


(ecos(x+π) se x ≤ 0¡ex−1x

¢2se x > 0

in x0 = 0 è

a) discontinua di seconda specie (polo); b) discontinua di terza specie (essenziale);

c) continua; d) discontinua di prima specie (salto).

a b c d


a) f(x) = (1− x)2 ; b) f(x) = cosπx

2; c) f(x) = sin

πx

2; d) f(x) = ex−1.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¯̄x2 − 3x+ 2¯̄ NON è monotona?

a) (0, 1); b) (1, 2); c) (4,+∞); d) (−∞,−1).

a b c d


1

2x

3x2 − 1 dx

a) +∞; b) 0; c)1

6log 2; d)

1

3log 2.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = log(log x)2 nel

punto x0 = e

a) y =x− e2e

; b) y =−x2e; c) y =

e− x2e

; d) y =x

2e.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta b a b a d d b b a a

37


11 settembre 2009, Prima Parte, Colonna D






9− 2|x− 1| ≥ 3

a) [−2, 1]; b) [−3, 2]; c) [−1, 4]; d) [−2, 4].a b c d

2. Si individui l’insieme dei punti esterni per l’insieme A = R− (7, 15].

a) Ae = R− [7, 15]; b) Ae = (7, 15); c) Ae = [7, 15]; d) Ae = R− (7, 15).

a b c d


f(x) =√x+ log(6− x)

a) A = [0, 6); b) A = R; c) A = (0, 6]; d) A = (1, 6).

a b c d

4. Si calcoli

limx→0

x

log(1 + x)

Ãr3 +

1

x2−r1

x2

!.

a) 1; b) 0; c) +∞; d) −∞.a b c d

38

5. Si calcoli

limx→+∞

3x4 + log x+ 6x

4x +√x

.

a)6

4; b) 0; c) +∞; d) −∞.

a b c d


((log (e+ x))2 se x ≥ 0q

ex−1x se x < 0

in x0 = 0 è

a) discontinua di terza specie; b) discontinua di seconda specie;

c) continua; d) discontinua di prima specie.

a b c d


a) f(x) = (x− 1)2 ; b) f(x) = cosπx; c) f(x) = sinπx; d) f(x) = log x.

a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¯̄x2 + 3x+ 2

¯̄NON è monotona?

a) (−2,−1); b) (0, 2); c) (4,+∞); d) (−∞,−2).

a b c d

9. Si calcoli il valore del seguente integrale improprioZ −1

−∞x

1 + 3x2dx

a) −∞; b) 0; c) − 16log 4; d) − 1

3log 4.

a b c d

10. Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = 3 log(log x) nelpunto x0 = e

a) y =3x

e; b) y =

−3xe; c) y =

3 (x− e)e

; d) y =3 (e− x)

e.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta d b a b c c c a a c

39


11 settembre 2009, Seconda Parte, Colonna A

La prova ha la durata di novanta minuti e NON è consentita né la consultazione di libri e/oappunti né l’utilizzo di calcolatrici e/o altri strumenti elettronici.

1. Si enunci il principio di induzione e lo si utilizzi per dimostrare la disuguaglianza

3n ≥ 2n2 + 1 per ogni n ∈ N∗

2. Data una funzione f : A → B, (i) si dia la definizione di funzione iniettiva; (ii) dato uninsieme E ⊆ A, si definisca l’immagine di E attraverso f , indicata con f(E). Per finire, siindichi una funzione f : R → R non iniettiva e tale che, per E = [1, 2], l’insieme f(E) èl’intervallo [2, 4].


(a) si diano le definizioni di funzione continua in un punto e di funzione uniformementecontinua in un sottoinsieme A di R, fornendo l’esempio di almeno una funzione definita econtinua in un intervallo limitato dove, tuttavia, non lo è uniformemente;

(b) si enuncino il Teorema della Media Integrale ed il Teorema Fondamentale del Calcolo edi quest’ultimo si fornisca la dimostrazione;

(c) si considerino le due affermazioni seguenti, relative ad una funzione reale definita nell’in-tervallo I = [a, b), distinguendo tra di esse le affermazioni vere da quelle false e fornendoopportune giustificazioni delle risposte date

(i) se f è continua e limitata in I, allora essa è uniformemente continua in I

(ii) se f è integrabile ma non continua in I, allora ha valor medio necessariamente

diverso da f(x) per ogni x nell’intervallo I


(a) limx→0

esinx − cosxlog(1 + x)

; (b) limx→0

sin(1− ex)1 + tanx

5. Della funzionef(x) = ex − log |x|

si determinino:

(I) il campo di definizione

(II) le intersezioni del grafico della f con gli assi (non è richiesta l’esatta determinazione delloro valore)

(III) il comportamento all’infinito

(IV) gli eventuali comportamenti asintotici al finito;

(V) gli estremi superiore ed inferiore (e, qualora esistano, i valori massimo e/o minimo)

(VI) gli intervalli in cui è monotona crescente o decrescente

(VII) i punti di massimo e/o di minimo relativo, qualora esistenti.

40


11 settembre 2009, Seconda Parte, Colonna B

La prova ha la durata di novanta minuti e NON è consentita né la consultazione di libri e/oappunti né l’utilizzo di calcolatrici e/o altri strumenti elettronici.

1. Si enunci il principio di induzione e lo si utilizzi per dimostrare la disuguaglianza

4n ≥ 3n2 + 1 per ogni n ∈ N∗

2. Data una funzione f : A → B, (i) si dia la definizione di funzione iniettiva; (ii) dato uninsieme D ⊆ B, si definisca la retroimmagine (detta anche controimmagine) di D attraversof , indicata con f−1(D). Per finire, si indichi una funzione f : R→ R non iniettiva e tale che,per D = [3, 7], l’insieme f−1(D) è l’intervallo [1, 4].


(a) si diano le definizioni di funzione derivabile in un punto, di retta tangente al grafico e diPolinomio di Taylor di primo grado, mettendo in risalto i legami esistenti tra questi concetti;

(b) si enuncino il Teorema di Rolle ed il Teorema di Lagrange fornendo la dimostrazione dientrambi e mettendo bene in evidenza tutti i risultati pregressi di cui si fa uso nel corso delleprove;

(c) si considerino le proprietà seguenti, relative ad una funzione f definita ed invertibile sututta la retta reale: P =”f è derivabile ovunque”; Q =”f è strettamente monotona”. Si dica,giustificando la risposta, quale delle seguenti 4 affermazioni è vera:


(iii) P è sufficiente ma non necessaria per Q; (iv) P non è necessaria né sufficiente per Q.


(a) limx→0

etanx − cosxsinx

; (b) limx→0

cos(x+√x)

log(1 + x2)

5. Della funzionef(x) = log

¡x2¢− ex

si determinino:


(II) le intersezioni del grafico della f con gli assi (non è richiesta l’esatta determinazione delloro valore)

(III) il comportamento all’infinito

(IV) gli eventuali comportamenti asintotici al finito;

(V) gli estremi superiore ed inferiore (e, qualora esistano, i valori massimo e/o minimo)

(VI) gli intervalli in cui è monotona crescente o decrescente

(VII) i punti di massimo e/o di minimo relativo, qualora esistenti.

41

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Prima Parte, Colonna A





1. Si ricavino il minA e maxA per l’insieme A = ({2, 4, 6} ∪ [3, 7]) ∩ [1, 5):

a) minA = 2, maxA = 3; b) minA = 1, maxA = 5;

c) minA = 2, maxA non esiste; d) minA non esiste, maxA = 7.

a b c d

2. Si calcoli la frontiera dell’insieme A = [0, 3] ∪ ©x ∈ R : x = sin ¡π2n¢ per n ∈ Nª.a) {−1, 0, 3}; b) {−1, 0, 1, 3}; c) A; d) ∅.

a b c d

3. Per la funzione f : R→ R definita come segue

f(x) =

½ex se x ≤ 0

1x − 2 se x > 0

si determinino inf f e sup f

a) inf f = −2, sup f = 1; b) inf f = 0, sup f = 1;

c) inf f = −2, sup f = +∞; d) inf f = 0, sup f = +∞.

a b c d

4. Data una qualsiasi funzione f : R→ R, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

a) limx→0x arctan(f(x)) = 0; b) lim

x→0x2f(x) = 0; c) lim

x→+∞ ef(x) = +∞; d) lim

x→0sin(f(x))

f(x)= 1.

a b c d

42

5. Si calcoli il seguente limitelim

x→+∞x(p3 + x2 − x)

a) 1; b) +∞; c) 0; d)3

2.

a b c d


0log (x+ 1) dx

a) 1 + log 4; b) − 1 + log 4; c) − 2 + log 4; d) 2 + log 4.

a b c d

7. La funzione f(x) =½sinx+ 1 se x ≤ 0

x1−ex se x > 0

in x0 = 0 è



a b c d

8. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¡1 + x+ x2

¢è monotona decrescente?

a) (−∞,−1); b) (−1, 0); c) (0, 1); d) (1,+∞).

a b c d

9. Sia f(x) = log¡2x2 + 5

¢definita in tutti i punti di R in cui tale espressione ha senso. Si

determinino, se esistono, i punti in cui la f presenta un flesso

a) x = +

√5

2; b) x = −

r5

2; c) x = ±

√5

2; d) x = ±

r5

2.

a b c d

10. Per quale delle seguenti funzioni x = 0 è un punto di massimo assoluto?

a) f(x) = 2|x|; b) f(x) =x

1 + x2; c) f(x) = 1− arctan |x| ; d) f(x) = x− 2ex.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta c a c a d b b a d c

43

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Prima Parte, Colonna B





1. Si calcoli la frontiera dell’insieme A =©cos¡π2n¢: n ∈ Nª ∪ [−2, 0].

a) {−2, 0, 1}; b) {−2,−1, 0, 1}; c) A; d) ∅.

a b c d


a) limx→0x sin(f(x)) = 0; b) lim

x→0x3f(x) = 0; c) lim

x→+∞ ef(x) = +∞; d) lim

x→01− cos(f(x))[f(x)]2

=1

2.

a b c d


x→+∞x(p5 + x2 − x)

a) 0; b) +∞; c)5

2; d) 1.

a b c d


(1− esinπx se x ≤ −1

log|x|x+1 se x > −1 in x0 = −1 è



a b c d

44


2log (x− 1) dx

a) 1 + log 4; b) − 1 + log 4; c) − 2 + log 4; d) 2 + log 4.

a b c d

6. Per quale delle seguenti funzioni x = 0 è un punto di minimo assoluto?

a) f(x) = esinx; b) f(x) =cosx

1 + x2; c) f(x) = x arctanx; d) f(x) = 2x+ ex.

a b c d

7. Sia f(x) = log¡4x2 + 3



a) x = +

√3

2; b) x = −3

2; c) x = ±

√3

2; d) x = ±3

2.

a b c d


a) minA = 3, maxA = 6; b) minA non esiste, maxA = 6;

c) minA = 1, maxA non esiste; d) minA = 3, maxA = 5.

a b c d

9. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = e(x2−x+2) è monotona crescente?

a) (−∞,−1); b) (−1, 0); c) (0, 1); d) (1,+∞).

a b c d


f(x) =

½cosx se x ≤ 0x2 se x > 0


a) inf f = −1, sup f = 1; b) inf f = −1, sup f = +∞;c) inf f = 0, sup f = +∞; d) inf f = 0, sup f = 1.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta a a c b b c c a d b

45

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Prima Parte, Colonna C





1. Si calcoli la frontiera dell’insieme A = [0, 3] ∪ ©x ∈ R : x = sin ¡π2n¢ per n ∈ Nª.a) ∅; b) {−1, 0, 3}; c) {−1, 0, 1, 3}; d) A.

a b c d


a) limx→0

sin(f(x))

f(x)= 1; b) lim

x→0x arctan(f(x)) = 0; c) limx→0x

2f(x) = 0; d) limx→+∞ e

f(x) = +∞.

a b c d


0log (x+ 1) dx

a) 2 + log 4; b) − 2 + log 4; c) 1 + log 4; d) − 1 + log 4.a b c d

4. La funzione f(x) =½sinx+ 1 se x ≤ 0

x1−ex se x > 0

in x0 = 0 è

a) continua; b) discontinua di seconda specie;

c) discontinua di terza specie; d) discontinua di prima specie.

a b c d

46

5. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = log¡1 + x+ x2

¢è monotona decrescente?

a) (−∞,−1); b) (−1, 0); c) (0, 1); d) (1,+∞).

a b c d

6. Sia f(x) = log¡2x2 + 5



a) x = ±r5

2; b) x = +

√5

2; c) x = −

r5

2; d) x = ±

√5

2.

a b c d


x→+∞x(p3 + x2 − x)

a)3

2; b) 1; c) +∞; d) 0.

a b c d


a) minA = 2, maxA non esiste; b) minA non esiste, maxA = 7;

c) minA = 2, maxA = 3; d) minA = 1, maxA = 5.

a b c d

9. Per quale delle seguenti funzioni x = 0 è un punto di massimo assoluto?

a) f(x) = 1− arctan |x| ; b) f(x) = x− 2ex; c) f(x) = 2|x|; d) f(x) =x

1 + x2.

a b c d


f(x) =

½ex se x ≤ 0

1x − 2 se x > 0


a) inf f = 0, sup f = +∞; b) inf f = −2, sup f = 1;c) inf f = 0, sup f = 1; d) inf f = −2, sup f = +∞.

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta b b d d a a a a a d

47

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Prima Parte, Colonna D






a) minA = 3, maxA = 5; b) minA = 3, maxA = 6;

c) minA non esiste, maxA = 6; d) minA = 1, maxA non esiste.

a b c d

2. Si calcoli la frontiera dell’insieme A =©cos¡π2n¢: n ∈ Nª ∪ [−2, 0].

a) ∅; b) {−2, 0, 1}; c) {−2,−1, 0, 1}; d) A.

a b c d


f(x) =

½cosx se x ≤ 0x2 se x > 0


a) inf f = −1, sup f = +∞; b) inf f = −1, sup f = 1;c) inf f = 0, sup f = 1; d) inf f = 0, sup f = +∞.

a b c d


a) limx→0

1− cos(f(x))[f(x)]2

=1

2; b) lim

x→0x sin(f(x)) = 0; c) limx→0x

3f(x) = 0; d) limx→+∞ e

f(x) = +∞.

a b c d

48


x→+∞x(p5 + x2 − x)

a) 1; b) 0; c) +∞; d)5

2.

a b c d

6. Per quale delle seguenti funzioni x = 0 è un punto di minimo assoluto?

a) f(x) = 2x+ ex; b) f(x) = esinx; c) f(x) =cosx

1 + x2; d) f(x) = x arctanx.

a b c d


(1− esinπx se x ≤ −1

log|x|x+1 se x > −1 in x0 = −1 è

a) continua; b) discontinua di terza specie;

c) discontinua di prima specie; d) discontinua di seconda specie.

a b c d


2log (x− 1) dx

a) − 2 + log 4; b) 1 + log 4; c) − 1 + log 4; d) 2 + log 4.

a b c d

9. Sia f(x) = log¡4x2 + 3



a) x = ±32; b) x = +

√3

2; c) x = −3

2; d) x = ±

√3

2.

a b c d

10. In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = e(x2−x+2) è monotona crescente?

a) (1,+∞); b) (−∞,−1); c) (−1, 0); d) (0, 1).

a b c d

domanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10risposta corretta b b a b d d c c d a

49

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Seconda Parte, Colonna A

Questa prova ha la durata di novanta minuti e NON è consentita né la consultazione di libri e/oappunti né l’utilizzo di calcolatrici e/o altri strumenti elettronici.

1. Si definisca l’insieme Q dei numeri razionali e si provi che il numero√2 non appartiene a Q.

2. (a) Data una funzione f : A → B, e dato un insieme E ⊆ A, si definisca l’immagine di Eattraverso f , indicata con f(E). Per la funzione f(x) = log(−x2 + 8x− 7) si ricavi l’insiemedi definizione e l’insieme immagine di [2, 5] attraverso f , cioè f([2, 5]).

(b) Data una funzione f : A → R (con A ⊆ R) si diano le definizioni di funzione monotonacrescente in A e di limx→x+0 f(x) = L.

(c) Si dimostri che se f è monotona crescente e inferiormente limitata in un intervallo (x0, b),con L = infx∈(x0,b) f(x), allora limx→x+0 f(x) = L.


(a) si dia la definizione di funzione continua e di funzione differenziabile in tutto un sottoin-sieme A ⊂ R, fornendo in particolare l’esempio di almeno una funzione continua in tutto Ama non derivabile in infiniti suoi punti;

(b) si enuncino il Teorema di Weierstrass e il Teorema di Rolle per le funzioni reali di unavariabile reale. Si fornisca la dimostrazione del Teorema di Rolle.

(c) Si dia un esempio di funzione f definita e derivabile su tutta la retta reale tale che f 0 siannulla in infiniti punti ma f non è periodica.

4. Si calcoli il seguente limite al variare del parametro k in R:

limx→1+

4x2 − x− kx2 − 1


¯̄1− x2¯̄− log ¯̄4− x2¯̄

si determinino:


(II) il numero dei punti, qualora ne esistano, in cui essa si annulla

(III) l’insieme dei punti di discontinuità, qualora ne esistano, e la loro natura

(IV) l’insieme dei punti in cui essa è derivabile e la relativa funzione derivata

(V) il comportamento all’infinito.

(VI) utilizzando i soli risultati precedenti, e senza effettuare lo studio del segno della derivataprima, gli intervalli in cui esiste necessariamente almeno un massimo o un minimo relativo(giustificando la risposta)

(VII) gli intervalli in cui la funzione è monotona crescente e decrescente

(VIII) l’andamento qualitivo del grafico della f .

50

Compito di Matematica per le Applicazioni Economiche I eMetodi Matematici per EC (esame completo)15 dicembre 2009, Seconda Parte, Colonna B

Questa prova ha la durata di novanta minuti e NON è consentita né la consultazione di libri e/oappunti né l’utilizzo di calcolatrici e/o altri strumenti elettronici.

1. Si definisca l’insieme Q dei numeri razionali e si provi che il numero√3 non appartiene a Q.

2. (a) Data una funzione f : A → B, e dato un insieme E ⊆ A, si definisca l’immagine di Eattraverso f , indicata con f(E). Per la funzione f(x) = log(−x2+10x−16) si ricavi l’insiemedi definizione e l’insieme immagine di [4, 7] attraverso f , cioè f([4, 7]).

(b) Data una funzione f : A → R (con A ⊆ R) si diano le definizioni di funzione monotonacrescente in A e di limx→x−0 f(x) = L.

(c) Si dimostri che se f è monotona crescente e superiormente limitata in un intervallo (a, x0),con L = supx∈(a,x0) f(x), allora limx→x−0 f(x) = L.


(a) si dia la definizione di funzione integrabile in senso ”generalizzato” (o ”improprio”) perfunzioni definite e limitate in un intervallo non limitato della forma (a,+∞), fornendo esempiopportuni delle due seguenti alternative: l’integrale ”generalizzato” esiste finito, l’integrale”generalizzato” è divergente.

(b) si enunci e si dimostri il Teorema della Media Integrale per funzioni limitate definite in unintervallo [a, b) (richiamando nella dimostrazione, ove necessario, le definizioni e le proprietàrelative alle funzioni integrabili secondo Riemann di cui in essa si fa uso), fornendo inoltre: (i)l’interpretazione geometrica del concetto di ”valor medio” per una funzione f integrabile inun intervallo limitato; (ii) un esempio che mostri come il valor medio può non corrisponderead alcuno dei valori assunti dalla funzione studiata nel suo intervallo di integrazione;

(c) si considerino le due affermazioni seguenti, relative a due funzioni f e g definite e limitatein tutto un intervallo [a,+∞) e tali che f(x) > g(x) > 0 per ogni x ∈ [a,+∞): P =”lafunzione f ha integrale ”generalizzato” finito in [a,+∞)”; Q =”la funzione g ha integrale”generalizzato” finito in [a,+∞)”. Si dica, giustificando la risposta, quale delle seguentiquattro affermazioni è vera:



4. Si calcoli il seguente limite al variare del parametro k in R:

limx→2+

3x2 − x− kx2 − 4


¯̄2− 3x+ x2¯̄− log |3− x|

si determinino:


(II) il numero dei punti, qualora ne esistano, in cui essa si annulla

51

(III) l’insieme dei punti di discontinuità, qualora ne esistano, e la loro natura

(IV) l’insieme dei punti in cui essa è derivabile e la relativa funzione derivata

(V) il comportamento all’infinito.

(VI) utilizzando i soli risultati precedenti, e senza effettuare lo studio del segno della derivataprima, gli intervalli in cui esiste necessariamente almeno un massimo o un minimo relativo(giustificando la risposta)

(VII) gli intervalli in cui la funzione è monotona crescente e decrescente

(VIII) l’andamento qualitivo del grafico della f .

52

a b c d - One Minute Site di metodi... · 1. La prova ha la durata di un’ora e NON è consentita...

Documents

Transcript of a b c d - One Minute Site di metodi... · 1. La prova ha la durata di un’ora e NON è consentita...