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Teoria e metodi del controllo statistico

di un processo produttivo

Douglas C. Montgomery

Controllo statistico della qualità 2/ed© 2006 McGraw-Hill

Insegnamento: Metodi ed Applicazioni StatisticheCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria GestionaleFacoltà di Ingegneria, Università di PadovaDocenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain

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SOMMARIO

SPC: Statistical Process Control

I sette più importanti strumenti statistici

dell’SPC

Fonti di variabilità nella qualità

Fondamenti statistici delle carte di controllo

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SPC: Statistical Process Control

Perché un prodotto possa soddisfare le esigenze dei clienti deve essere il risultato di un processo produttivo stabile e ripetibile.

Per raggiungere questo scopo il processo deve essere in grado di produrre pezzi tali che la variabilità del valore nominale specifico del prodotto sia la più bassa possibile.

Il Controllo Statistico del Processo produttivo (SPC, Statistical Process Control) è un insieme di potenti strumenti, utili per raggiungere la stabilità del processo e per migliorare la produttività attraverso la riduzione della variabilità.

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I MAGNIFICI SETTE

L’SPC può essere applicato a qualsiasi processo. I sette più importanti strumenti statistici con cui si realizza il Controllo Statistico del Processo sono:

Istogrammi

Fogli di controllo

Grafici di Pareto

Diagrammi Causa-Effetto

Diagrammi di flusso del processo e sulla concentrazione dei difetti

Grafici a dispersione

CARTE DI CONTROLLO

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FONTI DI VARIABILITÀ NELLA QUALITÀUn processo produttivo, anche se ben progettato, è soggetto a variabilità intrinseca o naturale, dovuta all’effettocumulato di tanti, piccoli, ineliminabili fattori costanti o casuali.Le fonti di variabilità che non sono riconducibili a fattori casuali vengono chiamate “fattori specifici”:

macchinari non ben funzionantierrori degli operatorimateriali difettosi

La variabilità prodotta da tali fattori è molto più evidente di quella prodotta da fattori casuali e da luogo in genere ad una prestazione del processo inaccettabile. Infatti, un processo che stia funzionando in presenza di fattori specifici verrà detto fuori controllo.

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FONTI DI VARIABILITÀ NELLA QUALITÀ

Un processo produttivo in cui la variabilità è provocata solo da fattori casuali verrà detto sotto controllo.

VARIABILITÀ

FATTORICASUALI

FATTORISPECIFICI

SOTTO CONTROLLO FUORI CONTROLLO

CAUSE

PROCESSO

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ESEMPIO DELL’INFLUENZA DELLE FONTI DI VARIABILITÀUn esempio dell’influenza di fonti di variabilità casuali e specifiche su un processo da cui risulta che il processo produttivo, fino a t1 è sotto controllo. Da t1 in poi subentrano fattori specifici che portano il processo fuori controllo.

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LE CARTE DI CONTROLLO

Processo sotto controllo la maggior parte dei valori della grandezza oggetto di controllo cade tra i limiti di specifica.

Processo fuori controllo molte determinazioni campionarie cadono al di fuori delle specifiche.

Lo strumento principale per monitorare il processo produttivo è costituito dalle carte di controllo.

Funzioni delle carte di controllo:

Individuare velocemente l’esistenza di fattori specifici

Controllare i parametri del processo

Determinare la capacità del processo

Ridurre la variabilità

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FONDAMENTI STATISTICI DELLE CARTE DI CONTROLLOLa carta di controllo è un grafico che descrive l’andamento di una certa variabile informativa sulla qualità di un prodotto in funzione del tempo.

Linea centrale (CL) = valore desiderato quando il processo è in controlloLinea superiore (UCL) = limite superiore di controllo (Upper Control Limit)Linea inferiore (LCL) = limite inferiore di controllo (LowerControl Limit)

Se un punto cade fuori dei limiti inferiore e superiore vi è evidenza del fatto che il processo è fuori controllo azioni correttive e di indagine per individuare ed eliminare le cause dell’insorgere dei fattori specifici.

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ANDAMENTO SISTEMATICO

Anche se i punti cadono entro i limiti il processo potrebbe essere fuori controllo se i punti presentano un andamento sistematico e non casuale. Ad esempio

Degli ultimi 20 punti 18 sono posizionati tra CL e UCL

Trend crescente (o decrescente) dei valori (caso C in figura)

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LEGAME TRA CARTE DI CONTROLLO E TEST D’IPOTESI

Esistono delle forti analogie tra carte di controllo e verifichedi ipotesi. Ipotizzando che l’asse verticale sia riferito alla media campionaria:

media campionaria cade tra i limiti di controllo accetto l’ipotesi nulla che µ = µ0

media campionaria cade supera i limiti di controllo rifiuto l’ipotesi nulla, cioè la media del processo è fuori controllo, ovvero che µ ≠ µ0

Esistono comunque delle differenze: solo uno scostamento sistematico risponde alle usuali condizioni di applicabilità di un test statistico, mentre uno scostamento improvviso potrebbe ritornare in breve tempo verso il suo valore nominale.

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UN ESEMPIO

Nella costruzione delle fasce elastiche dei pistoni delle automobili, una caratteristica critica della qualità è il diametro interno.Il processo è sotto controllo se il diametro misura 74 mm. La deviazione standard (scarto quadratico medio) del diametro è pari a 0,01 mm. Viene analizzato un campione casuale di 5 unità. La deviazione standard della media campionaria è

0045,0501,0

===nX

σσ

Se la media campionaria ha distribuzione approssimativa-mente normale (usando eventualmente il teorema del limite centrale), si dovrebbe avere che, se il processo è sotto controllo, il 100(1-α)% dei campioni cadono tra 74 + Zα/2(0,0045) e 74 – Zα/2 (0,0045).

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UN ESEMPIO

Scegliendo arbitrariamente Zα/2 = 3 ricaviamo i limiti di controllo:

UCL = 74 + 3 (0,0045) = 74,0135

LCL = 74 - 3 (0,0045) = 73,9865

Questi limiti sono chiamati limiti di controllo a 3-sigma.

FIGURA 4.4

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CARTA DI CONTROLLO DI SHEWHART

Si può proporre uno schema generale di costruzione di una carta di controllo seguendo i criteri delle carte di controllo di Shewart.

Se w è una statistica campionaria che misura una certa caratteristica di un prodotto con media ipotizzata µw e deviazione standard ipotizzata σw allora i valori per costruire la carta di controllo seguiranno questa regola:

UCL = µw + L σw

CL = µw

LCL = µw − L σw

L = distanza dei limiti di controllo dalla linea centrale espressa in unità di deviazioni standard

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La carta di controllo è uno strumento di controllo statistico on-line che contribuisce nell’importante compito del miglioramento del processo produttivo. In genere si è riscontrato che: 1) la maggior parte dei processi non opera in condizioni di controllo; 2) l’uso delle carte di controllo è volto a identificare i fattori specifici, che se eliminati indurranno una riduzione della variabilità.

USO DELLA CARTA PER IL MIGLIORAMENTO DEL PROCESSO

Nell’identificare ed elimi-nare i fattori specifici, è importante trovare la causa principale: interve-nire con palliativi non mi-gliorerà il processo.

fig. 4.5 pag. 120

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La carta di controllo può essere usata anche come strumento di stima di alcuni parametri del processo, come la media, la deviazione standard, la frazione di pezzi non conformi e così via.

Queste stime possono essere usate per valutare la capacità del processo (process capability) nel produrre pezzi accettabili. Gli studi di capacità del processo hanno una notevole importanza nella progettazione di un prodotto e nella definizione dei rapporti contrattuali tra acquirenti e fornitori.

USO DELLA CARTA PER LA STIMA LA CAPACITÀ DEL PROCESSO

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Le carte di controllo possono essere usate in due modi a seconda della caratteristica oggetto di studio:Se la caratteristica è rappresentabile su scala continua viene detta variabile ed è possibile descriverla con una misura di posizione e una di variabilità carte di controllo per variabiliSe la caratteristica non può essere misurata su scala continua o anche solo numerica, la conformità delle unità prodotte è descritta dal possedere o meno certi attributi o dal numero di difetti rilevati carte di controllo per attributi

Carte di controllo

per variabili

per attributi

sulla centralità del processo(es. media campionaria)sulla variabilità del processo (es. range o deviazione standard campionaria)per frazione di non conformi

per non conformità

TIPOLOGIA DELLA CARTA DI CONTROLLO

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Un passo importante nell’uso delle carte di controllo è la loro progettazione. Con questa espressione intendiamo una serie di operazioni

LA PROGETTAZIONE DELLE CARTE DI CONTROLLO

scelta dei limiti di controlloscelta della dimensione campionariascelta della frequenza di campionamento

Nella maggior parte dei problemi di controllo della qualità si è soliti progettare una carta principalmente sulla base di considerazioni statistiche. Ad esempio, all’aumentare della numerosità campionaria si riduce l’errore di II tipo, aumentando quindi la capacità della carta di segnalare situazioni fuori controllo. A queste considerazioni vanno aggiunte ovviamente anche quelle legate all’esperienza e altre di tipo economico.

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Le carte di controllo hanno avuto ampia applicazione in tutto il modo. Cinque sono le ragioni del successo:

Comprovata tecnica per migliorare la produttività: riducono gli sprechi e la perdita di tempo

Efficaci per prevenire la produzione di pezzi difettosi: tempestività delle segnalazioni

Evitano di dover apportare inutili aggiustamenti al processo produttivo: gli interventi devono essere mirati

Forniscono informazioni diagnostiche

Forniscono informazioni sulla capacità del processo e sulla sua stabilità nel tempo

LE RAGIONI DEL SUCCESSO DELLE CARTE DI CONTROLLO

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LA SCELTA DEI LIMITI DI CONTROLLO

La definizione dei limiti di controllo è uno dei passaggi più critici nella progettazione di una carta di controllo.Quanto più i limiti vengono posizionati lontano dalla linea centrale CL, che rappresenta il valore desiderato del processo, si va incontro ad un trade-off tra rischio di errore di I e II tipo. Tanto più i limiti sono posti lontano da CL:

tanto sarà più difficile posizionarsi fuori dai limiti, quindi tanto minore sarà il rischio di I tipo α (dichiarare una situazione fuori controllo quando invece in realtà non esiste nessun fattore specifico in atto)tanto sarà più facile posizionarsi entro i limiti quando in realtà il processo non è sotto controllo (quindi tanto maggiore sarà il rischio di II tipo β)

Se viceversa, i limiti vengono avvicinati a CL, si otterrà invece l’effetto opposto.

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Rispetto all’errore di I specie (segnalazione di fuori controlloquando il processo è sotto controllo) si può procedere secondo due alternative:

LIMITI DI CONTROLLO A 3-SIGMA1. si fissa l’ampiezza desiderata (es. 3-sigma) e si determina

il corrispondente errore di I tipo (nell’ipotesi che X sia normale, si ricava dalle tavole che l’errore di I tipo è 0,0027)

LIMITI DI CONTROLLO PROBABILISTICI2. si fissa l’errore di I specie (es. 0,001) e si determina il

multiplo per σx da usare (per 0,001 è 3,09)

LA SCELTA DEI LIMITI DI CONTROLLO

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Alcuni analisti suggeriscono di usare due limiti differenti. Oltre ai limiti operativi a 3-sigma, i limiti di sorveglianza: limiti più interni (per esempio ampiezza 2-sigma o errore di I specie 0,025) rispetto ai limiti operativi (UCL e LCL) per segnalare eventuali funzionamenti anomali del processo:1. UWL = Upper Warning Limit2. LWL = Lower Warning Limit

LA SCELTA DEI LIMITI DI CONTROLLO

Se uno o più punti cadono tra i limiti di sorveglianza o anche solo in prossimità di essi, si deve ritenere che il processo stia funzionando correttamen-te.

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Per essere certi che l’ipotesi sul non corretto funzionamento del processo sia veritiera, si è soliti aumentare la frequenza del campionamento e/o la dimensione campionaria così che molte più informazione vengono analizzate nell’intorno temporale dell’istante in cui il problema può essersi manifestato.Questi interventi vengono chiamati schemi adattativi o schemi di campionamento con dimensione campionaria variabile.La curva operativa caratteristica (OC) descrive, per una data numerosità campionaria, in funzione dello scostamento che intendiamo rilevare tra il parametro del processo e il valore obiettivo, l’errore di II tipo β cioè la probabilità che il punto cada entro i limiti di controllo quando invece dovrebbe cadere fuori per segnalare una specifica differenza.

SCHEMI ADATTATIVI

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Se n aumenta la curva tende ad abbassarsi, nel senso che quanto più grande è il campione tanto più facile sarà individuare piccoli scostamenti o sregolazioni del processo.

Per scegliere la dimensione campionaria ottimale bisogna quindi aver presente qual è lo scostamento del processo che si vuole individuare.

DIMENSIONE DEL CAMPIONE

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L’ideale sarebbe esaminare grandi campioni frequentemente ma si pone un trade off per esigenze economiche allocazione degli sforzi di campionamento. Le alternative sono:1. Esaminare piccoli campioni frequentemente2. Esaminare grandi campioni a intervalli più distanziatiIn genere si preferisce la soluzione (1), soprattutto se si tratta di industrie che producono grandi volumi e si possono manifestare svariati tipi di fattori.Per la decisione sulla dimensione campionaria ottimale e sulla frequenza di campionamento si utilizzano i due strumenti seguenti (p= probabilità che un punto cada fuori i limiti di controllo):ARL (Average Run Lenght) = lunghezza media delle sequenze numero medio di punti (campioni) che devono essere osservati prima di avere un segnale di fuori controllo: ARL = 1/p.ATS (Average Time to Signal) = tempo medio al segnale tempo medio tra due segnali di fuori controllo: ATS = ARL h (h=intervallodi tempo tra l’analisi di un campione e quella del campione successivo).

FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO

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Esempio: nel caso del controllo della qualità del diametro delle fasce elastiche, si ha che n=5 e che quando il processo va fuori controllo, la media del diametro si sposta a 74,015 mm. La frequenza di campionamento è un’ora (h=1). In base alla curva operativa caratteristica la probabilità che la media campionaria cada entro i limiti è pari a 0,5 e quindi la probabilità di rilevare un fuori controllo (complemento a 1) è p=0,5.Risulta allora

ARL1 = 1/p = 1/0,5 = 2Ogni due campioni viene rilevato lo scostamento.

UN ESEMPIO

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Il tempo medio tra un segnale e l’altro èATS = ARL1 h = (2) (1) = 2 ore

Se riteniamo che il tempo medio sia eccessivo possiamo (a) aumentare la frequenza o alternativamente (b) aumentare la numerosità campionaria.

a) Se poniamo h=0,5 ore allora ATS1 = ARL1 h = (2) (0,5) = 1 ora

b) Se usiamo n=10 allora la probabilità che la media campionaria cada entro i limiti (curva OC) è pari a 0,1 e quindi p = 0,9.

ARL2 = 1/p = 1/0,9 = 1,11e

ATS2 = ARL2 h = (1,11) (1) = 1,11 ore

UN ESEMPIO

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The rational subgroup concept means that subgroups or samples should be selected so that if assignable causes are present, chance for differences between subgroups will be maximized, while chance for difference due to assignable causes within a subgroup will be minimized.

2 general approaches for constructing rational subgroups:1. Sample consists of units produced at the same time −

consecutive units: primary purpose is to detect process shifts

2. Sample consists of units that are representative of all units produced since last sample − random sample of all process output over sampling interval

– Often used to make decisions about acceptance of product– Effective at detecting shifts to out-of-control state and back into in-

control state between samples– Care must be taken because we can often make any process

appear to be in statistical control just by stretching out the interval between observations in the sample

SOTTOGRUPPI RAZIONALI

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SOTTOGRUPPI RAZIONALI

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Pattern is very nonrandom in appearance19 of 25 points plot below the center line, while only 6 plot aboveFollowing 4th point, 5 points in a row increase in magnitude, a run upThere is also an unusually long run down beginning with 18th point

ANALISI DEGLI ANDAMENTI TIPICI DI UNA CARTA DI CONTROLLO

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ANALISI DEGLI ANDAMENTI TIPICI DI UNA CARTA DI CONTROLLO

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ANALISI DEGLI ANDAMENTI TIPICI DI UNA CARTA DI CONTROLLO

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Alcune regole di sensibilità per le carte di controllo di Shewart1. Uno o più punti cadono al di fuori dei limiti di controllo2. Due punti consecutivi su tre cadono oltre i limiti di sorveglianza

posizionati a 2-sigma ma rimangono entro i limiti a 3-sigma3. Quattro punti su cinque consecutivi cadono oltre la distanza di 1-

sigma dalla linea centrale4. Otto punti consecutivi cadono dalla stessa parte della linea centrale5. Sei punti consecutivi sono in ordine crescente o decrescente6. 15 punti consecutivi cadono oltre la distanza di 1-sigma dalla linea

centrale7. 14 punti consecutivi si alternano a zig-zag8. Otto punti consecutivi si alternano intorno alla linea centrale ma

nessuno è a distanza inferiore di 1-sigma9. Si manifesta un comportamento non casuale dei dati10.Uno o più punti si posizionano vicino ai limiti di sorveglianza e di

controllo

COMMENTI ALLE REGOLE DI SENSIBILITÀ PER LE CARTE DI CONTROLLO

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Fogli di controlloCheck Sheet

ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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Grafici di ParetoPareto Chart

ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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Grafici di ParetoPareto Chart

ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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Diagramma causa-effettoCause-and-Effect Diagram

ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

Diagramma causa-effettoCause-and-Effect Diagram

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ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

Diagramma sulla concentrazione dei difettiDefect Concentration Diagram

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Grafici a dispersioneScatter Diagram

ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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ALTRI STRUMENTI DEI “MAGNIFICI SETTE”

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IMPLEMENTARE L’SPC