7 - Distribuzione Poissoniana

0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4n = numero di conteggi

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Prob

abilit

a' (p

oiss

onia

na) o

den

sita

' di p

roba

bilit

a' (g

auss

iana

) =0.5λPoisson,

=0.7λ=σ=0.5, λ=µGaussiana,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n = numero di conteggi

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Prob

abilit

a' (p

oiss

onia

na) o

den

sita

' di p

roba

bilit

a' (g

auss

iana

) =2.0λPoisson,

=1.4λ=σ=2.0, λ=µGaussiana,

0 5 10 15 20 25n = numero di conteggi

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Prob

abilit

a' (p

oiss

onia

na) o

den

sita

' di p

roba

bilit

a' (g

auss

iana

) =10.0λPoisson,

=3.2λ=σ=10.0, λ=µGaussiana,

60 80 100 120 140n = numero di conteggi

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Prob

abilit

a' (p

oiss

onia

na) o

den

sita

' di p

roba

bilit

a' (g

auss

iana

) =100.0λPoisson,

=10.0λ=σ=100.0, λ=µGaussiana,

• Esercizio 1: Misure accurate hanno stabilito che un campione di torio radioattivo emette particelle alfa ad un tasso di 1.5 al minuto.

- Se si conta il numero di particelle alfa emesse in due minuti, qual’e’ il risultato medio atteso?

- Qual’e’ la probabilità che si ottenga effettivamente questo numero?

- Qual’e’ la probabilità di osservare “n” particelle per n=0,1,2,3,4 e per n>=5?

• Soluzione Esercizio 1:

0 2 4 6 8 10n = numero di conteggi

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Prob

abilit

a' (p

oiss

onia

na) o

den

sita

' di p

roba

bilit

a' (g

auss

iana

) =3.0λPoisson,

=1.7λ=σ=3.0, λ=µGaussiana,

R = 1.5 conteggi/min.

�t = 2 min.

a) � = R ·�t = 1.5 · 2 = 3 conteggi

b) P3(3) =33e�3

3! = 22.4%

c)

P3(0) =30e�3

0! = 5%

P3(1) =31e�3

1! = 15%

P3(2) =32e�3

2! = 22.5%

P3(3) =33e�3

3! = 22.4%

P3(4) =34e�3

4! = 16.9%P (n � 5) = 1� P3(0)� P3(1)� P3(2)� P3(3)� P3(4) = 18.2%

Come si nota dal grafico la distribuzione di probabilità dei conteggi n e’asimmetrica rispetto al valore atteso (E[n] = � = 3).

• Esercizio 2: Uno studente controlla un campione di una sostanza radioattiva per 30 minuti ed osserva 49 particelle alfa.

- Qual’e’ la sua stima del parametro λ del processo (numero di particelle alfa emesse in 30 minuti)?

- Qual’e’ la miglior stima del tasso R di decadimento (espresso in particelle al minuto)?

• Soluzione Esercizio 2:

Si vogliono stimare le proprietà del processo fisico poissoniano (� ed R) apartire da un singolo esperimento di conteggio.�t = 30 min.n = 49 (singolo misura, singolo conteggio)

a)La miglior stima di � (numero atteso di conteggi in un intervallo di tempo�t = 30) e’:� = n±

pn = 49± 7 conteggi

Essendo � un numero relativamente grande (> 10) siamo nel regime in cui lapoissoniana e’ ben descritta da una gaussiana. In questa approssimazione, laprobabilità che il valor vero di � sia compreso nell’intervallo quotato 49 ± 7 e’circa il 68% (±1� gaussiana).

b)

La miglior stima di R = ��t =n

�t±

pn

�t= (1.6± 0.2) conteggi

min.

Dal momento che per la distribuzione dei conteggi e’ valida l’approssimazionegaussiana, anche all’intervallo (1.6±0.2) conteggi

min.

e’ associata una probabilità del68% che il valor vero cada nell’intervallo.

NOTA: il risultato R = n�t ±q

n

�t= (1.6±

p1.6) conteggi

min.

e’ sbagliato! Le

fluttuazioni statistiche poissoniane sono solo sul ”numero” di conteggi n (mentrel’intervallo di tempo �

t

e’ supposto avere una incertezza trascurabile).

• Esercizio 3: Un fisico nucleare controlla le disintegrazioni di una sostanza radioattiva con un contatore Geiger. Egli conta le disintegrazioni in N=15 distinti intervalli di tempo ciascuno pari a Δt=5 secondi ed ottiene i seguenti conteggi n_i:

- 7, 11, 10, 7, 5, 7, 6, 12, 12, 7, 18, 12, 13, 12, 6

- Determinare il tasso di disintegrazioni (in conteggi al secondo)

• Soluzione Esercizio 3 (pag 1):

Si vuole stimare una proprietà del processo fisico in esame (il tasso di disin-

tegrazioni R) a partire da una serie di conteggi (misure ripetute). Il problemadi può svolgere in 2 modi.

1) Caso generale di una serie di misure ripetute.

Si considera la variabile casuale n, numero di conteggi in un tempo �t

= 5 s,

senza fare assunzioni a priori sulla natura poissoniana del processo. Si usano

media e deviazione standard campionaria come stime del valore atteso e della

deviazione standard della distribuzione di probabilità di n.

n =PN

i=1 ni

N

= 9.7

�n

=

qPNi=1(ni�n)2

N�1 =N

N�1 (n2 � n2) = 3.5

Essendo il numero delle misure N = 15 relativamente grande, e’ una approssi-mazione ragionevole assumere che la deviazione standard del campione coin-

cida con la deviazione standard della distribuzione di probabilità. Sotto queste

ipotesi si ottengono le seguenti stime:

� = n± �n

= n± �npN

= (9.7± 0.9)R = ��t = (1.94 ± 0.18)

conteggi

s

⇠ (1.9 ± 0.2) conteggis

(approssimando gli errori

ad 1 cifra significativa)

• Soluzione Esercizio 3 (pag 2):

2) Serie di misure ripetute facendo una ipotesi poissoniana

Se il processo e’ poissoniano, la serie di misure può essere considerata equiv-alente ad un unico conteggio n

tot

=P

N

i=1 ni = 145 e↵ettuato in un tempo�tot

t

= N ·�t

= 75 s. La stima di � ed R si ottiene quindi come nell’esercizioprecedente a partire da una singola misura.� = n

tot

±pntot

= (145± 12)R = ��t = (1.93± 0.16)

conteggi

s

⇠ (1.9± 0.2) conteggis

Confrontando questo valore di R con quello ottenuto con il metodo 1, si osservache sono assolutamente compatibili. Questo conferma quindi l’ipotesi utilizzatanel metodo 2 che il processo in esame e’ e↵ettivamente poissoniano.

NOTA: e’ normale che le due stime di R diano risultati leggermente diversi(ma compatibili): (1.94 ± 0.18) conteggi

s

vs (1.93 ± 0.16) conteggis

. Le due stimesarebbero in perfetto accordo sono nel caso N ! 1.

• Esercizio 4: Una variabile casuale n (conteggi in un certo tempo fissato) e’ distribuita secondo una Poissoniana con λ=64.

- Calcolare la probabilità che n=72

- Calcolare la probabilità che n>=72

• Soluzione Esercizio 4: P�(n) =

�ne��

n!

Essendo � = 64 > 10 possiamo utilizzare l’approssimazione gaussiana dellapoissoniana.

a)

p(n = 72) =R 72.571.5 Gµ,�(n)dn

con µ = � e � =p�.

n1 = 71.5 ! t1 = |n1 � µ|/� = 0.9375n2 = 72.5 ! t2 = |n2 � µ|/� = 1.0625p(n = 72) =

R µ+t2�µ+t1�

Gµ,�(x)dx = Q(t2)�Q(t1) = (35.54� 32.64)% ⇠ 2.9%

Il risultato approssimato ottenuto e’ in buon accordo con quello esatto cherichiede l’uso di un calcolatore per essere ricavato: P64(72) =

6472e�64

72! = 2.9% (risultato esatto)

b)

p(n � 72) =R +171.5 Gµ,�(n)dn =

R +1µ+t1�

Gµ,�(n)dn = 50% � Q(t1) = (50 �32.64)% = 17.4%

NOTA: Nel rispondere alla domanda b) risulta ancora più evidente l’utilitàdell’approssimazione gaussiana per � grandi.p(n � 72) = 1�P�(0)�P�(1)�P�(2)�P�(3)�...�P�(71) = 17.3% (risultato esatto):si tratta di un calcolo molto laborioso che richiede l’uso di un calcolatore. Ilrisultato ottenuto con l’approssimazione gaussiana e’ in buon accordo con quelloesatto.

• Esercizio 5: Uno studente decide di controllare l’attività di una sorgente radioattiva ponendola in un rivelatore a scintillazione liquida. Nel corso di 10 minuti il rivelatore registra 2540 conteggi totali. Per tenere conto di conteggi indesiderati dovuti al rumore di fondo, egli rimuove la sorgente e nota che in 3 minuti il rivelatore registra 95 conteggi.

- Determinare la miglior stima del tasso di conteggi Rsorgente dovuto alla sola sorgente.

• Soluzione Esercizio 5:

Il tasso di conteggi totale e’ dato dalla somma del tasso di conteggi della

sorgente (processo di interesse) e del tasso di conteggi di fondo (conteggi in-

desiderati dovuti a processi diversi da quello di interesse):

Rtot

= Rsorgente

+Rfondo

Si vuole determinare il tasso di conteggi relativo al solo processo di interesse. Si

deve quindi e↵ettuare la cosiddetta ”sottrazione del fondo”:

Rsorgente

= Rtot

�Rfondo

�tot

= 2540±p2540 ⇠ (2540± 50) (vedi stima di � da una singola misura)

�

sorgente

t

= 10 min.

Rtot

= �tot

/�sorgentet

= (254± 5) conteggimin

�fondo

= 95±p95 ⇠ (95± 10) (vedi stima di � da una singola misura)

�

fondo

t

= 3 min.

Rfondo

= �fondo

/�fondot

= (32± 3) conteggimin

Rsorgente

= Rtot

�Rfondo

L’incertezza suRsorgente

si ottiene dalla formula di propagazione delle incertezze:

�Rsorgente

=

q�R2

tot

+ �R2fondo

=

p5

2+ 3

2= 6

conteggi

min

(le incertezze si som-

mano in quadratura in quanto le misure con e senza sorgente hanno incertezze

statistiche indipendenti).

Rsorgente

= Rtot

�Rfondo

= (222± 6) conteggimin

• Esercizio 6: Il reparto ostetrico di un piccolo paese ha un solo posto e dunque può gestire non più di un parto al giorno. Negli ultimi anni e’ stato visto che si ha un parto nel paese circa una volta la settimana. Sulla base di questi dati:

- a) Calcolare la probabilità che domani arrivino 2 o più donne per partorire, e che quindi una o più di loro debba essere mandata in un altro ospedale vicino

- b) Calcolare la probabilità che l’evento del punto a) si verifichi almeno una volta in un anno

• Soluzione Esercizio 6: a)

Il primo quesito si risolve assumendo che il numero di donne che in un dato

giorno arriva in ospedale a partorire segue una distribuzione poissoniana (P�

(n))con tasso di conteggio:

R = 1 conteggiosettimana

=

17conteggi

giorno

�

t

= 1 giorno

� = R ·�t

= 1/7 · 1 ⇠ 0.143

P�

(0) =

(0.143)0e�0.143

0! = 86.7%

P�

(1) =

(0.143)1e�0.143

1! = 12.4%p(2 o più donne in un giorno) = 1� P

�

(0)� P�

(1) ⇠ 0.9%

b)

Il secondo quesito di risolve considerando un problema binomiale:

- ”successo” = l’evento che due o più donne si presentino in ospedale per par-

torire. A questo evento e’ associata una probabilità p = 0.9% (calcolata al puntoprecedente).

- N = 365 rappresenta il numero di ”prove” indipendenti del processo binomiale(in questo caso il numero di giorni in un anno in cui può verificarsi un parto in

ospedale).

- n e’ il numero di successi in N prove indipendenti, e rappresenta una variabilecasuale distribuita secondo una binomiale (B

N,p

(n)).

La probabilità che in un anno succeda almeno una volta l’evento definito

sopra come ”successo” e’ :

p(n � 1) = 1�BN,p

(n = 0) = 96.3%essendo

BN,p

(n = 0) = N !n!(N�n)!p

n

(1 � p)N�n = 365!0!(365�0)! (0.009)0(1 � 0.009)365�0 ⇠

3.7%

, in un dato giorno,

• Esercizio 7: Tre contatori per raggi cosmici contano in media 256 eventi al minuto.

- Calcolare la probabilità che almeno 2 contatori osservino un conteggio inferiore a 240 in un minuto.