4 CAPITULO 2 Modelamiento Dinamico

8/12/2019 4 CAPITULO 2 Modelamiento Dinamico

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el robot manipulador esfrico. Tal modelado describe la dinmica del proceso y tiene por

objetivo conocer la relacin entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el

mismo. Para determinar las ecuaciones del modelo usaremos el algoritmo de Lagrange-

Euler.

2.2. Descripcin del Sistema

El Sistema Robot Manipulador Esfrico de 3 Grados de Libertad que en adelante lo

llamaremos SRM (Spherical Robot Manipulator) de 3GDL es mostrado en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Esquema del Robot Manipulador Esfrico de 3GL

A continuacin se describe los tres grados de libertad usados en el proceso:


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1. Primer Grado de Libertad: Est compuesto por un servomotor DC1 de 24 VDC conencoder ptico incorporado, y una base conformado por un disco y un prisma de

aluminio; de tal manera que en la parte inferior del disco de radio

y altura

, ir

acoplado con una bocina de bronce dicho servomotor en posicin vertical y sobre la

parte superior del disco ir un prisma de seccin cuadrada , y de altura , a suvez en la parte superior de dicho prisma ir el otro servomotor en posicin

horizontal que corresponde al segundo grado de libertad. En la Figura 2.2 se

muestra una vista del esquema con las medidas del SRM de 3GL.

Figura 2.2: Esquema con las medidas del Manipulador


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2. Segundo Grado de Libertad: compuesto por un servomotor DC2 a 24 VDC conencoder ptico incorporado, y una varilla rgida de aluminio, de tal manera que en el

eje de dicho servomotor, en posicin horizontal, ir acoplado con una bocina de

bronce dicha varilla de longitud , en el extremo de dicha varilla ir el otroservomotor en posicin horizontal que corresponde al tercer grado de libertad.

3. Tercer Grado de Libertad: compuesto por otro servomotor DC3 a 24 VDC conencoder ptico incorporado, y una varilla rgida de aluminio, de tal manera que en el

eje de dicho servomotor, en posicin horizontal, ir acoplado con una bocina de

bronce dicha varilla de longitud , en el extremo de dicha varilla podr ir unefector final.

2.3. El Modelo Dinmico

Para determinar la ecuacin dinmica del manipulador existen varios mtodos tales como el

mtodo de Newton-Euler, el mtodo de Lagrange-Euler, entre otros. Para el manipulador en

estudio usaremos el mtodo de Lagrange-Euler que emplea la frmula Lagraniana

conjuntamente con la representacin de Denavit-Hartenberg (D-H).

En la Figura 2.3 se muestra los sistemas de referencias usados para la representacin D-H.


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Figura 2.3: Sistemas de referencias del Manipulador

: Sistema de referencia base (eje de motor 1): Sistema de referencia 1 (eje de motor 2): Sistema de referencia 2 (eje de motor 3): Sistema de referencia 3 : ngulos de las articulaciones

2.3.1 El Procedimiento Denavit-Hartenberg

Un manipulador robtico consiste de una secuencia de cuerpos rgidos (los eslabones)

articulados por junturas rotacionales o prismticas. Cada par de articulacin-eslabn

representa un grado de libertad (GL). Un sistema de coordenadas ortonormales


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( ) puede ser establecido usando la regla de la mano derecha para cadaarticulacin , donde . As un manipulador con GL posee pares dearticulaciones. El ltimo sistema de coordenadas

( ) constituye el sistema de

coordenadas del efector final, el cual es usualmente articulado al ltimo eslabn. El

manipulador es unido a una base de referencia . El sistema de coordenada base es definidocomo ( ). Las coordenadas de la base son tambin las coordenadas inerciales delmanipulador. El sistema de coordenadas base aumentado es definido como:

(

).

El procedimiento D-H origina una matriz de transformacin homognea que representa el

sistema inercial del manipulador. Para describir tal matriz, requerimos establecer el sistema

de coordenadas ( ) del manipulador en , para determinar losparmetros de las articulaciones y eslabones con el fin de desarrollar la matriz de

transferencia homognea.

Estableciendo el Sistema de Coordenadas D-H

Para establecer el sistema de coordenadas D-H ( ) , se usa lassiguientes reglas:

1. El sistema de coordenadas base ( ) se determina usando la regla de lamano derecha. El eje se escoge libremente y est localizado a lo largo del eje delmovimiento del primer eslabn.


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2. El eje es alineado con el eje del movimiento (giratorio o prismtico) de la articulacin.3. El origen del sistema de coordenadas

est en la interseccin del eje

y

o en la interseccin de la normal comn entre los ejes de dos articulacionesconsecutivas y y el eje .

4. El eje es perpendicular al eje .5. Aplicar la regla de la mano derecha en la articulacin para determinar

.

6. Generalmente, la articulacin es una articulacin giratoria. El sistema decoordenadas ( ), puede estar en cualquier parte del efector final con talde que el eje est a lo largo de la direccin del eje y apuntando hacia afueradel manipulador. El eje es perpendicular a ambos ejes: y

Parmetros D-H

Los cuatro parmetros geomtricos del manipulador ( ), se asocian concada par articulacin-eslabn y son requeridos para la descripcin de una articulacin

giratoria o prismtica. Despus de establecer el sistema de coordenadas del manipulador

tales parmetros pueden ser determinados de la siguiente manera:

1.

, es el ngulo de rotacin del eje

con el eje

en el plano del eje

.

Este es variable si la articulacin es giratoria.


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3. ( ): Translacin a lo largo del eje una distancia , que va desdela interseccin del eje y el eje al origen del sistema de coordenadas

.

4. : Rotacin de un ngulo , del eje con el eje alrededor del eje.

El producto de estas cuatro operaciones bsicas produce la matriz de transformacin

homognea , del eslabn con respecto al eslabn o articulacin con respecto ala articulacin . Por lo tanto:

( )( )

=

(2.1)

Donde y , son las funciones y respectivamente. La siguiente matriz detrasformacin homognea:


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(2.2)

Determina la localizacin del sistema de coordenada con respecto al sistemade coordenada base

2.3.2. El Algoritmo de Lagrange-Euler

El procedimiento de Lagrange-Euler requiere ejecutar los siguientes pasos:

1. Asignar a cada par articulacin-eslabn del manipulador un sistema de

coordenadas D-H.

2. Obtener las matrices de transformacin homognea para .3. Obtener las matrices

que es el efecto del movimiento de la articulacin

en

todos los puntos del eslabn : (2.3)

Donde relaciona al sistema de coordenadas con el sistema decoordenadas base, y toma los siguientes valores:


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4. Los efectos de interaccin entre las articulaciones son expresadas por las

siguientes matrices :

{ (2.4)5. Obtener el tensor de inercia del eslabn mediante:

[

]

(2.5)

Dnde: es el centro de gravedad del eslabn con respecto alsistema de coordenadas , , , son los momentos de inerciacon respecto al sistema de coordenadas ( ), es la masa del cuerpo i, , , son las distancias del del cuerpo al sistema de coordenadas( ), e , , son los productos correspondientes del momentode inercia.


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6. Obtener la matriz H de inercia simtrica de dimensin , la cual estrelacionada con la aceleracin y cuyos elementos se expresan como:

() (2.6)

Donde, es la traza y es el nmero de grados de libertad.7. Obtener los trminos definidos por:

() (2.7)8. Obtener el vector no lineal fuerza centrfuga y Coriolis de orden cuyoselementos son dados por:

(2.8)9. Obtener el vector no lineal de fuerza de gravedad d de orden n 1 cuyos

elementos son:

(2.9)Donde, * +es el vector gravedad fila expresado en el sistema decoordenadas base y * + (el elemento 1 es un factor de escala) esel vector centro de masa del eslabn

y expresado en el sistema de coordenadas

.Finalmente la ecuacin dinmica del manipulador, con el mtodo Lagrange-Euler

toma la forma:


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(2.10)

Donde, es el vector de fuerzas y torques aplicado a cada coordenada generalizada.2.4. Aplicacin y Programacin del Modelo

La aplicacin del trabajo es el robot manipulador esfrico de tres grados de libertad. Para

determinar la ecuacin dinmica de dicho manipulador se aplica el algoritmo de Lagrange-Euler.

A continuacin se presenta los siguientes clculos que usaremos para la programacin con

matemtica simblica del Toolbox de MATLAB.

2.4.1. Clculos

Clculo de los Parmetros D-H

Primeramente se fijan los sistemas de referencia en las articulaciones como se muestra en la

Figura 2.3, posteriormente se determina los parmetros D-H, los cuales se muestran en la

Tabla 2.1:

1

2

3

Tabla 2.1: valores de los parmetros DH


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: Posicin y orientacin del sistema de referencia 2 de la primera varilla conrespecto al sistema de referencia base :

: Posicin y orientacin del sistema de referencia 3 de la segunda varilla conrespecto al sistema de referencia base :

y

se determina mediante matemtica simblica de MATLAB, y el programa

se muestra en el apndice A.

Clculo del Momento de Inercia del Disco

El momento de inercia del disco respecto al sistema de referencia 1 , (verFigura 2.4), est dado por:

Y los productos de los momentos de inercia son:


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Figura 2.4: Momento de inercia del disco respecto al sistema de referencia 1 .Clculo del momento de inercia del prisma

El momento de inercia del prisma respecto al sistema de referencia 1 , (verFigura 2.5), est dado por:

Figura 2.5: Momento de inercia del prisma respecto al sistema de referencia 1


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Y los productos de los momentos de inercia son:

Clculo del Momento de Inercia de la Base (Disco ms Prisma)

El momento de inercia de la base es la suma de los momentos de inercia del disco ms el

prisma, y est dado por:

Clculo de la Matriz de la BaseDe la ecuacin (2.5) se obtiene la matriz de pseudoinercia de la base :

(2.11)


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Donde, es la longitud del eje de referencia 1 al de la base, es igual a y la inercia viene dada por: .Clculo de la Matriz de Pseudoinercia de la Primera VarillaEl momento de inercia de la primera varilla , se obtiene de [3], [6] , y . Reemplazando estos valores en la ecuacin (2.5), obtenemos lamatriz de pseudoinercia :

(2.12)

Donde, es la longitud del eje de referencia 1 al de la primera varilla y es igual a

.

Clculo de la Matriz de Pseudoinercia de la Segunda Varilla.El momento de inercia de la segunda varilla , se obtiene de [3], [6]: y . Reemplazando estos valores en la ecuacin (3.5), obtenemos lamatriz de pseudoinercia

:

[ ] (2.13)


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Donde, es la longitud del eje de referencia 2 al de la segunda varilla y esigual a .

2.4.2. Programacin del Algoritmo Lagrange-Euler

El programa de clculo de la ecuacin dinmica del robot manipulador esfrico de tres

grados de libertad (3 GDL) se determina aplicando el Toolbox de Matemtica Simblica de

MATLAB, [9] y se presenta en el apndice A. La ecuacin dinmica obtenida para los tres

grados de libertad es:

Primer grado de libertad: (2.14)

Segundo grado de libertad:

(2.15)

Tercer grado de libertad: (2.16)

que son los elementos del torque , dado en la ecuacin (2.10).

2.4.3. El Modelo de los Actuadores

1. Modelado del Actuador 1 de la Base del Manipulador


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En la Figura 2.6, se muestra el servomotor DC1, correspondiente a la base.

El voltaje de entrada aplicado a la armadura est dado por: (2.17)

La fuerza electromotriz del servomotor DC es:

(2.18)

En el cual es la relacin de piones. El torque del servomotor est dado por: (2.19)Por lo tanto la ecuacin del torque requerido por el actuador para la base tiene la forma:

(2.20)Donde es el torque de la carga y es el torque de friccin de Coulomb.Reemplazando (2.20) en (2.19) resulta:

(2.21)Dnde:


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( ) (2.23)Dnde:

2. Modelado del Actuador 2 de la Primera Varilla del Manipulador

En la Figura 2.7, se muestra el servomotor DC2 correspondiente a la primera varilla. En la

misma Figura se muestra el circuito elctrico del servomotor DC2, controlado tambin por

la armadura. Dicho servomotor se encuentra ubicado en la parte superior del prisma. Para

obtener la ley de control para la segunda entrada se procede de la misma manera que para el

primer servomotor, obteniendo de esta manera:

( ) (2.24)Dnde:


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Figura 2.7: Servomotor DC2 de la primera varilla del Manipulador


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3. Modelado del Actuador 3 de la Segunda Varilla del Manipulador

En la Figura 2.8, se muestra el servomotor DC3 correspondiente a la segunda varilla. En la

misma Figura se muestra el circuito elctrico del servomotor DC3, controlado tambin por

la armadura. Dicho servomotor se encuentra ubicado en extremo de la primera varilla. Para

obtener la ley de control para la tercera entrada se procede de la misma manera que para el

primer servomotor, obteniendo de esta manera:

Figura 2.8: Servomotor DC3 de la segunda varilla del Manipulador

Obtenemos la seal de control para el servomotor DC3.

( ) (2.25)Dnde:


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( )

2.4.4. Modelo en el Espacio Estado

La ecuacin dinmica del manipulador obtenida en las ecuaciones (2.14), (2.15) y (2.16), se

representa en el espacio de estados mediante la siguiente asignacin de variables:

(2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31)

Dnde:


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Posicin angular de la base Posicin angular de la primera varilla Posicin angular de la segunda varilla Velocidad angular de la base Velocidad angular de la primera varilla Velocidad angular de la segunda varilla

La ecuacin no lineal para sistemas multivariables es:

(2.32)Su representacin en forma matricial:

[

]

[

]

(2.33)

Reemplazando las ecuaciones (2.26) y (2.29) en la ecuacin (2.23) se obtiene envariables de estado:

( ) (2.34)

As mismo, reemplazando las ecuaciones (2.27) y (2.30) en la ecuacin (2.24) se obtiene en variables de estado:


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( ) (2.35)De la misma manera, reemplazando las ecuaciones (2.28) y (2.31) en la ecuacin (2.25) se

obtiene

en variables de estado:

( ) (2.36)La ecuacin dinmica del manipulador obtenida en las ecuaciones (2.14), (2.15) y (2.16),

tambin se representa en variables de estado:

(2.37)

(2.38) (2.39)

Posteriormente, se reemplaza la ecuacin (2.37) en (2.34) y se obtiene la primera entrada

: ( ) (2.40)

Luego, se reemplaza la ecuacin (2.38) en (2.35) y se obtiene la segunda entrada : ( ) (2.41)

Finalmente, se reemplaza la ecuacin (2.39) en (3.36) y se obtiene la tercera entrada : ( ) (2.42)


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As mismo de (2.40) se obtiene:

( )

de (2.41) y (2.42) se obtiene y : ( ) ( )

( ) ( ) Dnde:

(

)

( ) ( )( )

Finalmente reemplazando las ecuaciones (2.29), (2.30), (2.31), (2.43), (2.44) y (2.45), en la

ecuacin (2.33) se obtiene:


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( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) La ecuacin salida viene representada por:

(2.46)


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Lista de las Variables

Todas las variables que intervienen en el sistema se describen en la Tabla 1.1. Los valores

que se presentan han sido tomados de los servomotores DC con encoder ptico

MATSUSHITA modelo GMX-7MCO19B y modelo GMX-6MPO13A. Dnde: C.F.I.

(coeficiente de friccin viscosa) y M.I. (momento de inercia).

Tabla 1.1: Valores de las variables.

Smbolo Descripcin Valor

Seal de control servo DC1, DC2, DC3 (En simulacin) V Aceleracin de la gravedad 9.81 m/seg2 Distancia extremo superior del prisma al DC2 0.05 m Coeficiente friccin de Coulomb 1 y 2DOF 0.001488 kgm2/seg Coeficiente friccin de Coulomb 3DOF 0.00015 kgm2/seg Masa del disco 0.55 kg Masa del prisma 1.0 kg Masa de la 1ra. y 2da. varilla 0.20 kg Altura del disco 0.01 m

Radio del disco 0.07 m

Altura del prisma 0.20 m Ancho y Largo de la seccin del prisma 0.044 m Longitud de la 1ra. y 2da. varilla 0.2 m Long. del eje de ref. S1 al CG 1ra. varilla 0.14 m


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Long. del eje de ref. S2 al CG 2da. varilla 0.14 m Long. del eje de ref. S2 al CG 1ra. varilla (L2 Lxs2 ) m

Long. del eje de ref. S3 al CG 2da. varilla (L3 Lxs3 ) m

M.I. del slido (disco ms prisma) 0.0013 kgm2 M.I. de la 1ra. varilla 0.0273 kgm2 M.I. de la 2da. varilla 0.0273 kgm2 M.I. servomotor DC1, DC2 0.00059 kgm2 M.I. servomotor DC3 0.000238 kgm2

M.I. equivalente servomotor DC1 0.2177 kgm2

C.F.V. equivalente servomotor DC1 0.054 Nms/rad M.I. equivalente servomotor DC2 0.3954 kgm2 C.F.V. equivalente servomotor DC2 0.0589 Nms/rad M.I. equivalente servomotor DC3 0.000305 kgm2

C.F.V. equivalente servomotor DC3 0.000538 Nms/rad

Reduccin servomotor DC1,DC2 18.5 Reduccin servomotor DC3 12.5 Resist. armadura servomotor DC1,DC2 3.50 Ohmios Resist. armadura servomotor DC3 5.30 Ohmios Inductancia armadura servom. DC1,DC2 Despreciable

Inductancia armadura servomotor DC3 Despreciable

Voltaje armadura servomotor DC1,DC2 24 V Voltaje armadura servomotor DC3 24 V Constante ganancia driver 1, 2, 3 2.17 Cte. torque servomotor DC1,DC2 0.04364 N-m/A


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Cte. torque servomotor DC3 0.04217 N-m/A Cte. fem servomotor DC1,DC2 0.04364 V/rad/s

Cte. fem servomotor DC3 0.04217 V/rad/s

4 CAPITULO 2 Modelamiento Dinamico

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