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MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL OSCILADOR CAÓTICO CONMUTADO POR TRAMOS MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF CHAOTIC OSCILLATOR SWITCHED BY PARTS Nicolás Felipe Conde González 1 Harold Vacca González 2 Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e implementación de un circuito que describe un oscilador caótico en un sistema conmutado continuo por tramos (OCCCT); se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que lo modelan, y se implementa la aproximación de la solución por el método de descomposición de Adomian (ADM). En consecuencia, se obtiene el correspondiente desarrollo matemático del sistema que modela el fenómeno. Para observar la presencia de caos, se obtienen los exponentes de Lyapunov y se analizan tanto las variables de salida como el diagrama de fase que estas generan. Con la solución teórica -analítica y aproximada- del sistema, se realiza una comparación con los datos obtenidos en la simulación y la arrojada por la implementación del circuito. Palabras clave: Oscilador, Modelamiento, Ecuaciones Diferenciales, Caos, Valores y Vectores propios, Exponentes de Lyapunov. Abstract: The following paper presents the analysis of a tour which describes an oscillator chaotic in a switched system continuous by parts. You get the equations that model the circuit; in addition, implementing the Adomian Decomposition method (ADM), approximates the solution, thus obtaining the corresponding mathematical development of the system that models the phenomenon. To observe the presence of chaos, you get the exponents of Lyapunov and analyzes both the output variables as the phase diagram that they generate. 1 Estudiante Tecnología en Electrónica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico: [email protected] 2 MSc. En Matemática Aplicada, Docente Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico: [email protected]

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MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL OSCILADOR CAÓTICO CONMUTADO POR TRAMOS

MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF CHAOTIC

OSCILLATOR SWITCHED BY PARTS

Nicolás Felipe Conde González 1 Harold Vacca González2

Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e

implementación de un circuito que describe un oscilador caótico en un sistema conmutado

continuo por tramos (OCCCT); se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que lo

modelan, y se implementa la aproximación de la solución por el método de descomposición de

Adomian (ADM). En consecuencia, se obtiene el correspondiente desarrollo matemático del

sistema que modela el fenómeno. Para observar la presencia de caos, se obtienen los

exponentes de Lyapunov y se analizan tanto las variables de salida como el diagrama de fase

que estas generan. Con la solución teórica -analítica y aproximada- del sistema, se realiza una

comparación con los datos obtenidos en la simulación y la arrojada por la implementación del

circuito.

Palabras clave: Oscilador, Modelamiento, Ecuaciones Diferenciales, Caos, Valores y

Vectores propios, Exponentes de Lyapunov.

Abstract: The following paper presents the analysis of a tour which describes an oscillator

chaotic in a switched system continuous by parts. You get the equations that model the circuit;

in addition, implementing the Adomian Decomposition method (ADM), approximates the

solution, thus obtaining the corresponding mathematical development of the system that

models the phenomenon. To observe the presence of chaos, you get the exponents of

Lyapunov and analyzes both the output variables as the phase diagram that they generate.

1 Estudiante Tecnología en Electrónica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:

[email protected] 2 MSc. En Matemática Aplicada, Docente Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:

[email protected]

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With the theoretical solution of the system performs a comparison with the data obtained in the

simulation and the implementation circuital.

Key Words: Oscilator, modeling, Differential Equations, Chaos, Eigenvalues and

Eigenvectors, Lyapunov exponents.

1. Introducción

Luego de que a mediados del siglo XVII Newton introdujera las ecuaciones diferenciales para

resolver el problema de dos cuerpos que se atraen gravitacionalmente -la tierra girando

alrededor del sol-, generaciones posteriores de científicos trataron de aplicar el método para

solucionar el problema para tres cuerpos, sin éxito, ante la imposibilidad de la obtención de

tales fórmulas de manera explícita. Fue hacia 1889 que, por un simple error detectado al

momento de revisar la publicación de una revista, Henry Poincaré (1854–1912), Figura 1, a

través del análisis geométrico descubrió las órbitas doblemente asintóticas (actualmente

conocidas como homoclínicas) con las que en lugar de interesarse en la posición del sistema

solar en cualquier momento explicó cualitativamente la estabilidad del mismo entendiendo la

imposibilidad en la predicción del comportamiento a largo plazo. De esta manera, Poincaré dio

comienzo a un nuevo campo de estudio matemático conocido como Teoría del Caos, y en el

que se admite que un sistema determinista exhiba un comportamiento aperiódico dependiente

de la sensibilidad a las condiciones iniciales, [1].

Figura 1: Henri Poincaré (1909), [4].

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Desde entonces, analizar y controlar sistemas caóticos se ha convertido en un reto para la

ingeniería, ahora en presencia de tecnología computacional. En los años sesenta del siglo XX

Lorenz, al estudiar la atmósfera para comprender la impredecibilidad del clima, descubre el

movimiento caótico sobre un atractor extraño. A fines de los setenta Feingenbaum descubrió

la existencia de leyes universales que gobiernan la transición desde un comportamiento regular

a uno caótico. Al inicio de los ochenta Baillieul, Brochett y Washburn [2] sugirieron la existencia

de caos en conversores DC-DC y otros sistemas de control basados en modulación por ancho

de pulso (PWM). A mediados de los ochenta Chua sintetizó el primer circuito caótico autónomo,

ampliamente estudiado como modelo de circuito electrónico caótico. A finales de los ochenta

Hamill y Jefferies [2] escribieron el primer análisis detallado sobre caos en electrónica de

potencia. En los noventa, la línea de investigación se orientó a conversores de corriente

contınua y su naturaleza no lineal, y la integración exacta o aproximada de las ecuaciones

diferenciales del modelo discreto de estos sistemas; Hamil, por ejemplo, conjeturó que estos,

operando bajo un régimen de caos controlado podrían semejarse a un sistema inestable en

lazo abierto estabilizado por realimentación, en este sentido el caos y el control del caos siguen

estudiándose, [2].

De otra parte, han surgido múltiples aplicaciones: desde el análisis de fractales en diseño

gráfico; pasando por las telecomunicaciones al implementar sistemas caóticos en encriptación

de mensajes; el control de sistemas mecánicos cuando implican movimientos oscilatorios; en

el mejoramiento de plantas cuando al detectar y eliminar este tipo de caos se generan sistemas

estables y eficientes, entre otras, [3].

Por lo anterior, se considerará un circuito correspondiente a un OCCCT para evidenciar la

existencia de un sistema caótico a través de su modelamiento matemático, análisis,

simulación, e implementación experimental.

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La estructura del documento es así: se realiza una descripción de algunos estudios realizados

en sistemas caóticos donde se implementan circuitos equivalentes; luego se describe el

sistema correspondiente al OCCCT; posteriormente se propone el modelamiento matemático

y sus casos, en variables de estado; luego se analiza el comportamiento del mismo desde los

valores y vectores propios, y los exponentes de Lyapunov; seguidamente se resuelve el

sistema analíticamente y su aproximación por ADM; se presentan los resultados; finalmente

se hacen las conclusiones.

2. Antecedentes

Entre muchas investigaciones, se describirán algunos trabajos que se han desarrollado para

indicar el comportamiento y la relevancia de los osciladores caóticos.

En [5], se utilizó el método de transformada diferencial modificada (DTM) para obtener la

solución aproximada de un oscilador no-lineal de Duffing con efecto amortiguado bajo

diferentes condiciones iniciales. En la Figura 2 se muestra la comparación entre los resultados

obtenidos utilizando DTM y el método de aproximación de Runge-Kutta de cuarto orden.

Figura 2: Comparación de resultados entre DTM y el método de Runge-Kutta. [5]

En la Figura 3 se observa la respuesta al sistema variando las condiciones iniciales.

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Figura 3: Comparación de resultados entre DTM y el método de Runge-Kutta variando C.I. [5]

Con los resultados obtenidos, se demostró que el DTM es una herramienta precisa en el

manejo de un oscilador no-lineal, obteniéndose un alto nivel de precisión en todo el dominio,

incluso si la amplitud de la oscilación se reduce con el tiempo.

Por otra parte, en [6] se presenta un estudio detallado de un oscilador eléctrico no lineal con

amortiguación y excitación externa, sistema que consiste en un circuito de tipo Duffing

accionado por dos fuentes de tensión sinusoidales que tienen frecuencias diferentes. Las

herramientas manejadas del enfoque teórico fueron, los Diagramas de bifurcación, Las

secciones de Poincaré, los retratos de fase, y la obtención de los máximos exponentes de

Lyapunov.

Las ecuaciones que describen el sistema se observan en (1).

{ == −� − + sin � � + sin � �

(1)

Donde � es el parámetro de amortiguación, el coeficiente del término no-lineal, a y b son las

amplitudes de las excitaciones sinusoidales y .

En la Figura 4 se presenta la topología del circuito utilizado adaptada a la plataforma Multisim.

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Figura 4: Circuito propuesta que emula el sistema no-lineal. [6]

De acuerdo con el circuito anterior, se realizó la simulación y se obtuvieron diversos resultados,

dependiendo las condiciones de los valores a la entrada del sistema, Figura 5 y Figura 6.

Figura 5: Retrato de fase para = . , = . , = , = y � = . . [6]

Figura 6: Retrato de fase para = . , = . , = , = y � = . . [6]

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De las gráficas obtenidas en este trabajo, se confirmó la rica dinámica del sistema no-lineal.

Se observaron oscilaciones periódicas y caóticas; además, se pudo analizar el importante

papel en la dinámica del sistema que juega el parámetro de amortiguación � y las frecuencias

y de las fuentes de tensión sinusoidales externas.

De otro lado, en [7], se estudió un circuito electrónico (Figura 7) que presenta un

comportamiento dinámico periódico y caótico (implementando la ecuación de Duffing), a

medida que se varía la amplitud de la señal de tensión de accionamiento.

Figura 7: Circuito electrónico que obedece la ecuación de Duffing. [7]

El circuito, además, presenta un elemento no lineal (Figura 8), implementado por una función

cúbica mostrada en la ecuación (2), y obtener (3)

� = + (2)

+ + + = (3)

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Figura 8: Elemento no lineal y su gráfica I vs V. [7]

Las simulaciones mostrando la salida del sistema se presentan en las Figura 9 y Figura 10.

Figura 9: Retrato de fase (curva cerrada) y retrato de Poincaré para Vo=1.81 V [7]

Figura 10: Retrato de fase para Vo=2 V (comportamiento caótico) [7]

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Con estas, además de implementar la ecuación de segundo orden de Duffing, se demuestran

fenómenos Caóticos: se exhibe gran sensibilidad del circuito a las condiciones iniciales con

una ruta de caos a través del mecanismo de duplicación del periodo.

De otra parte, en [8] se aplica la detección de señales débiles. Con la solución de la ecuación

diferencial (4) y la construcción del circuito que lo representa (Figura 11), se propuso una

metodología para realizar demodulación de señales.

+ + + � = cos (4)

Se plantea la ecuación diferencial de Duffing (4), variando su constante , inicializándola en = − , como se muestra en las, Figura 12 y Figura 13.

Figura 11: Diagrama de simulación del oscilador de Duffing. [8]

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Figura 12: Órbita de fase con = . � �� + � . [8]

Figura 13: Órbita de fase con = . � �� . [8]

La diferencia de fase entre la señal de detección externa y una fuerza, muestra que el sistema

tuvo la posibilidad de pasar del estado caótico al estado periódico a gran escala; lo anterior se

presenta en las Figura 14 y 15.

Figura 14: Órbita de fase en � = . � ��.[8]

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Figura 15: Órbita de fase en � = . ��. [8]

Los resultados muestran que la detección de señal del oscilador de Duffing, es totalmente

factible; por lo tanto, mientras se detectan las señales de onda acústica sinusoidal débil se

puede realizar la transmisión de datos efectiva; además, a través del análisis teórico y los

resultados de simulación de circuitos analógicos se muestra que el oscilador Duffing tiene una

sensibilidad única para detectar una señal sinusoidal de frecuencia única con en el ruido y

suprime el ruido aleatorio al mismo tiempo.

Finalmente, otro análisis del oscilador de Duffing se estudia en [9]. Implementando la tasa de

Kramers, se establece una función de juicio para juzgar la ocurrencia de SR en este modelo,

para analizar y reducir las reglas bajo una amplitud, frecuencia o intensidad de ruido.

Plantean la ecuación (4) agregándole al sistema ruido de tipo √ � . La salida del sistema

puede entenderse como la trayectoria de una partícula browniana de masa unitaria que se

mueve en el campo de potencia, bajo la coacción de la fuerza de amortiguación, fuerza de

campo potencial, fuerza motriz periódica y ruido aleatorio, como se muestra en Figura 16.

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Figura 16: Función potencial del sistema de Duffing sin fuerza motriz (línea continua) y cambios de potencial con fuerza motriz (línea punteada). Los eventos de conmutación

pueden tener lugar en presencia de ruido como indica la flecha. [9]

Ahora se plantea la partícula browniana impulsada por ruido que transita a una cierta velocidad,

dada por la taza de Kramers (5).

� = √ �� −( �)

(5)

Luego, un grupo de parámetros clásicos se dan para ilustrar el fenómeno SR en un sistema de

Duffing (6), se observa el espectro amplitud vs tiempo y amplitud vs frecuencia (Figura 17) y la

curva de respuesta de la amplitud de la señal de salida contra la intensidad del ruido (Figura

18).

� = . , = = , = . , = . (6)

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Figura 17: SR de la ecuación de Duffing. (a) Forma de onda de la señal de entrada. (b) Espectro de la señal de entrada. (c) Forma de onda de la señal de salida. (d) Espectro de la

señal de salida. [9]

Figura 18: Curva de respuesta de la amplitud de la señal de salida contra la intensidad del ruido. [9]

Una función de juicio para observar la ocurrencia de SR en el sistema de Duffing parametrizado

generalizado se estableció sobre la base de la tasa de Kramers y se utilizó para analizar los

parámetros.

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En [10] se puede observar el análisis frecuencial observando el espectro de potencia obtenido

a la salida que muestra varios componentes armónicos de una frecuencia principal �. . � = � , � ; en la Figura 19 se distingue la resonancia que presenta el sistema debido

a la señal de conmutación.

Figura 19: Espectro de potencia del sistema para = . . La diferencia entre espectros es sólo el efecto de perturbaciones inevitables como ruido en el sistema y en las condiciones

iniciales. [10]

3. Sistema

El sistema a analizar se presenta en la Figura 20, donde se puede observar dos estados de

conmutación a partir de realizar un cambio de nivel de voltaje a la entrada de un multiplexor;

estos estados dependerán de las siguientes consideraciones:

Si ≥ entonces =

Si = � entonces =

(7)

El periodo � está definido por un timer; la variable de entrada del sistema es B; las variables

de salida del sistema son X y Y; las relaciones de resistencias �� 9 y

��9 definidas como ,

respectivamente, son parte de los parámetros de la matriz de estados A que satisface que sus

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valores propios se encuentran en el plano complejo derecho e izquierdo, los demás

amplificadores operaciones tienen relación de ganancia 1 a 1.

Figura 20: Oscilador caótico conmutado por tramos, [10].

4. Modelamiento

Para modelar el sistema se analizará el circuito por casos dependiendo del estado de

conmutación.

a. Caso I

El primer caso se presenta en la Figura 21; para facilitar los cálculos, el sistema se dividirá en

dos, Figura 22 y 23; se analizará los circuitos independientemente teniendo en cuenta las

variables de entrada y de salida.

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Figura 21: Caso I = . Elaboración propia.

Figura 22: Sistema dinámico ⁄ Caso I. Elaboración propia.

La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 22 es (8)

= �� 9 − ��9 − (8)

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Figura 23: Sistema dinámico �� Caso I y Caso II. Elaboración propia.

La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 23 es (9)

= − + (9)

b. Caso II

El segundo caso se presenta en la Figura 24; para facilitar los cálculos, el sistema se dividirá

en dos Figura 25 y Figura 23; se analizará los circuitos independientemente teniendo en cuenta

las variables de entrada y de salida.

Figura 24: Caso II = . Elaboración propia.

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Figura 25: Sistema dinámico ⁄ Caso II. Elaboración propia.

La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 25 es (10)

= − �� 9 − ��9 − (10)

El sistema que describe es el mismo de Figura 23, por lo tanto, la ecuación que describe su

comportamiento es (9).

La clase de sistema estudiado está constituido por un sistema discreto en tiempo y un sistema

lineal variante en el tiempo, por lo que sí = , el sistema se rige por las ecuaciones

diferenciales (8) y (9), y cuando el sistema conmuta = el sistema se rige por las ecuaciones

diferenciales (9) y (10).

5. Espacio de Estados

Una manera de analizar sistemas de ecuaciones diferenciales como los obtenidos en el

apartado 4, es mediante su representación en el espacio de estados (forma matricial), para

ello se parte de la ecuación (11).

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= + (11)

En donde A es la matriz que depende de los parámetros concentrados del sistema, B es la

matriz de entrada del sistema, U es el vector de entrada, X es el vector de estado.

Por lo tanto, al expresar los sistemas de ecuaciones obtenidos en Caso I y Caso II en su forma

matricial, además de tener en cuenta que �� 9 = y

��9 = , se obtiene (12) y (13).

[ ⁄⁄ ] = [ − ] [ ] − [ ]

(12)

[ ⁄⁄ ] = [− − ] [ ] − [ ]

(13)

a. Polinomio Característico e Eigenvalores

Una forma para conocer los eigenvalores o polos del sistema es hallando las raíces del

polinomio característico en la matriz A, por lo que se utiliza (14).

Los eigenvalores de la matriz A tiene un efecto crucial en el comportamiento del sistema;

existen cuatro posibles casos para las raíces:

a) Ambos � y � soy eigenvalores reales (no nulos).

b) � es eigenvalor real y � es eigenvalor complejo.

c) � es eigenvalor complejo y � es eigenvalor real.

d) Ambos � y � son eigenvalores complejos.

El caso d) es el de mayor interés debido a la alta diversidad que presenta su comportamiento,

por lo que este será el caso a estudiar, [10]

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� − = (14)

Reemplazando en (14):

� [ ] − [ − ] = (15)

Operando, obtendremos:

� , = ± √ − (16)

De (16) podemos observar los posibles casos para las raíces; para que ambas sean complejas,

el argumento de la raíz debe ser menor a cero, por lo tanto:

− < (17)

Realizando el mismo proceso para el caso II se obtiene igualmente (17).

6. Exponentes Máximos de Lyapunov

Los exponentes de Lyapunov se han utilizado ampliamente en ingeniería como herramienta

para el estudio cualitativo de la estabilidad de un sistema de tiempo continuo o discreto; ellos

miden la tasa exponencial de divergencia de dos órbitas adyacentes en el espacio de fases,

[11].

Sea = en donde = . Sea , la solución de (18), si se adiciona una

perturbación en la condición inicial del sistema ∆ , esta quedaría , + ∆ ; ahora,

mediante series de Taylor se verifica que el error entre las dos soluciones debe cumplir que:

∆ = , + ∆ − , ≅ ( , )∆ (18)

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( , ) es el Jacobiano de la ecuación solución evaluado en el punto , ; por lo tanto,

la separación de las dos trayectorias es:

‖∆ ‖ = ‖ ( , )‖‖∆ ‖ = lim→∞‖∆ ‖ � (19)

En donde � se define como el máximo exponente de Lyapunov, de (19) se obtiene:

� = lim→∞ [ lim∆� → ‖ ( , )‖‖∆ ‖] (20)

Para una ecuación diferencial de orden n, indica que existen n exponentes de Lyapunov

asociados a esta, además, un exponente negativo implica que el punto de equilibrio

seleccionado es estable, las señales convergen hacia dicho punto; un exponente positivo

indica la presencia de caos en el sistema; por lo tanto, un exponente positivo, puede mostrar

la sensibilidad a las condiciones iniciales [10], [12].

Se ha implementado un algoritmo para calcular el exponente de Lyapunov en un sistema de

ecuaciones diferenciales [13]. Los resultados se muestran en Figura 26 y Figura 27, Tabla 1

Tabla 2 respectivamente, con esto evidenciamos que la salida de ambos sistemas tiende a

volverse estable cuando → ∞; para el Caso I, la variable X es completamente caótica,

mientras que Y para < , la variable presenta estabilidad, pero después del periodo de

tiempo, se vuelve caótica; para el Caso II, el sistema tiende a ser estable en todo su dominio,

excepto la variable X cuando < . , presenta índice de caos.

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Figura 26: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso I. Elaboración propia.

Figura 27: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso II. Elaboración propia

Tiempo(s) Exponentes de Lyapunov Variable (X) Exponentes de Lyapunov Variable (Y) 1 0,363955 -0,163955 2 0,33174 -0,13174 3 0,242923 -0,042923 4 0,143719 0,056281 5 0,099445 0,100555 6 0,142472 0,057528 7 0,165819 0,034181 8 0,154174 0,045826 9 0,120505 0,079495

10 0,099502 0,100498

Tabla 1: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso I. Elaboración propia

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Tiempo(s) Exponentes de Lyapunov Variable (X) Exponentes de Lyapunov Variable (Y) 1 0.065216 -0.265216 2 0.111964 -0.311964 3 0.055334 -0.255334 4 -0.031761 -0.168239 5 -0.099333 -0.100667 6 -0.074070 -0.125930 7 -0.040161 -0.159839 8 -0.041462 -0.158538 9 -0.068686 -0.131314

10 -0.099278 -0.100722

Tabla 2: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso II. Elaboración propia

7. Análisis y resultados

En este trabajo, se analizará el sistema en su punto más caótico e inestable, por lo que se en

el circuito se partirá de las siguientes consideraciones:

= , ; = , ; = , ; = ; = , � = , �; � = , (21)

Se puede comprobar que los valores de generan para la matriz A eigenvalores o polos

del sistema complejos; en este análisis se tomará un valor de fijo y se varía n en la

ecuación (7) (Figura 28 y Figura 29), para observar la respuesta del sistema a un leve cambio

en las condiciones iniciales.

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Figura 28: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=1, 2, 3 y 4 � = . �. Elaboración propia

Figura 29: Diagrama de fase para n=1, 2, 3 y 4 � = . �. Elaboración propia

Si se sigue aumentando la variable n, se llegará hasta un punto en donde el sistema se intenta

estabilizar, como se puede observar en Figura 30 y Figura 31.

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Figura 30: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=10 y 20 � = . �. Elaboración propia

Figura 31: Diagrama de fase para n=10 y 20 � = . �. Elaboración propia

Aumentando el voltaje hasta 3.3 V, se observa una respuesta aleatoria en las variables

de salida, como se observa en Figura 32 y Figura 33; variando = a = , el sistema cambia

de un estado estacionario y continúo a un estado crítico de caos.

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Figura 32: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=6 y n=7 � = . �. Elaboración propia

Figura 33: Diagrama de fase para n=6 y 7 � = . �. Elaboración propia

A continuación, se mostrarán retratos de fase obtenidos experimentalmente, con = . �

y variando n desde 3 hasta 11, Figuras 34 - 42.

Page 27: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Figura 34: Diagrama de fase para n=3 � = . �. Elaboración propia

Figura 35: Diagrama de fase para n=4 � = . �. Elaboración propia

Figura 36: Diagrama de fase para n=5 � = . �. Elaboración propia

Page 28: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Figura 37: Diagrama de fase para n=6 � = . �. Elaboración propia

Figura 38: Diagrama de fase para n=7 � = . �. Elaboración propia

Figura 39: Diagrama de fase para n=8 � = . �. Elaboración propia

Page 29: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Figura 40: Diagrama de fase para n=9 � = . �. Elaboración propia

Figura 41: Diagrama de fase para n=10 � = . �. Elaboración propia

Figura 42: Diagrama de fase para n=11 � = . �. Elaboración propia

El circuito impreso desarrollado e implementado se muestra en Figura 43 y Figura 44.

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Figura 43: Visualización 3D circuito impreso. Elaboración propia

Figura 44: Vista top circuito impreso. Elaboración propia

8. Solución del sistema

El sistema de ecuaciones que modela el circuito planteado se puede expresar como una

ecuación diferencial de segundo orden de la siguiente manera.

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Para el Caso I, podemos derivar respecto al tiempo la ecuación (8):

= �� 9 − ��9 − � (22)

En este documento se analiza el caso para B constante, por lo tanto, derivando y reemplazando

(9) en (22):

= �� 9 − ��9 [− + ] (23)

Reemplazando los valores �� 9 = . ,

��9 = . y = , simplificando obtenemos:

− . + . = . (24)

Solucionando la expresión por variación de parámetros, obtenemos:

= ∗ ( ⁄ ) ∗ √ ∗ + ∗ ( ⁄ ) ∗ � √ ∗

(25)

La gráfica de la familia de soluciones de la ecuación (24) se observa en Figura 45.

Figura 45: Familia de soluciones de ecuación diferencial Caso I. Elaboración propia

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Ahora, de (9) y (10) se obtiene la ecuación de segundo orden para el Caso II, reemplazando

los valores �� 9 = . ,

��9 = . y = , obtenemos:

+ . + . = . (26)

Solucionando la expresión por variación de parámetros, obtenemos:

= ∗ −( ⁄ ) ∗ √ ∗ + ∗ −( ⁄ ) ∗ � √ ∗

(27)

La gráfica de la familia de soluciones de la ecuación (26) se observa en Figura 46.

Figura 46: Familia de soluciones de ecuación diferencial Caso II. Elaboración propia

9. Método de Aproximación de Adomian (ADM)

El ADM es un método numérico recursivo que no discretiza ni linealiza una ecuación

diferencial, está basado en la búsqueda de una aproximación a la solución del sistema por

medio de una serie y la descomposición de los operadores en términos de los llamados

polinomios de Adomian. Es una técnica que permite resolver una extensa gama de ecuaciones

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lineales y no lineales, algebraicas, diferenciales, integrales, integrodiferenciales, en derivadas

parciales, entre otras, [14].

El ADM considera la ecuación no lineal = , en donde es la función de excitación del

sistema y representa el operador diferencial. puede contener parte lineal y parte no lineal,

por lo que se divide en (28)

Υ + � = (28)

A demás, el término lineal Υ se escribe como Υ = L + R; � es el operador diferencial de mayor

orden, mientras que � es el resto de la ecuación. Lo primero que se realiza es desarrollar la

ecuación para el operador � , para esto, se aplica el operador inverso �− , a continuación, se

escribe el operador no lineal en términos de una suma de tipo � = ∑∞= en donde son

los polinomios de Adomian(); luego, se asume la descomposición de la variable en términos

de la suma = ∑∞= (la serie completa no converge a la solución de la ecuación, es una

aproximación al k-ésimo término = ∑�= . Ahora, se reescribe la ecuación (28):

L + � + � = (29)

Se despeja el término Lu:

L = −� − � + (30)

Aplicando el operador inverso:

�− L = −�− � − �− � + �− (31)

Operando la parte izquierda de la igualdad:

Page 34: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

− = −�− � − �− � + �− (32)

Se descompone = ∑�= :

− = −�− � − �− � + �− (33)

Reemplazando � = ∑∞= , en donde:

= ! � � (∑ �� �∞�= )|�= � = , , , …

(34)

Se obtiene:

− = −�− � − �− + �− (35)

De aquí, se puede observar que = , se considera la solución con parte lineal, por lo

tanto, podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

= −�− � − �− + �−= −�− � − �− + �−= −�− � − �− + �−…= −�− � − − �− − + �−

(36)

10. Aplicación (ADM)

Se soluciona el sistema por medio de ADM y se compara los resultados gráficamente con los

obtenidos de la solución analítica.

Para comenzar, se tomará la ecuación diferencial del caso I (24) y se aproximará a su solución

mediante ADM.

Page 35: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

− . + . = .

Tomando como condiciones iniciales = y = , reemplazando = � , por lo

tanto, el operador inverso será �− = ∫ ∫ . , reemplazando y despejando �.

� = . − . + . (37)

Luego, se aplica el operador inverso:

�− � = �− . − �− . + �− . (38)

Se soluciona la ecuación para � :

− − ∙ = �− . − �− . + �− . (39)

Despejando x(t) y factorizando �− :

= + ∙ + �− [ . − . + . ] (40)

Sustituyendo = ∑∞= , por lo tanto:

= + ∙ + �− [ . − . + . ] (41)

De acá, se sabe que = + , ahora, utilizando (36):

+ = �− [ . − . + . ] (42)

Reemplazando:

Page 36: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

= �− [ . − . + . ]= �− [ . + − . + + . ] (43)

Operando:

= − ( + )

(44)

Continuando de esta manera, se halla la cantidad de coeficientes que deseemos tener para

obtener una buena aproximación.

= − − − + += − + − − + +

= − − + + − − + +

(45)

Por lo tanto, la solución aproximada de la ecuación diferencial, será:

≈ + + + + (45)

Reemplazando valores y simplificando se obtiene una aproximación de grado 9 al sistema:

≈ − − + + − − + +

(46)

Ahora, implementando un software desarrollado en MatLab®, se reducen los cálculos para

hallar una aproximación con más términos, en la Figura 47 se observa una aproximación a la

solución de la ecuación tomando hasta , en la Figura 48 se toman hasta y en la

Figura 49 se observa una aproximación hasta el término .

Page 37: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Figura 47: ADM tomando hasta . Elaboración propia

Figura 48: ADM tomando hasta . Elaboración propia

Figura 49: ADM tomando hasta . Elaboración propia

Análogamente se realiza el mismo procedimiento, ahora con la ecuación (26), los términos de

la aproximación de Adomian son los siguientes:

Page 38: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

= +

= − += + + −

= − + + − − += − + + − − + + −

(47

)

Implementando un software desarrollado en MatLab®, se reducen los cálculos para hallar una

aproximación con más términos, en Figura 50 se observa una aproximación a la solución de la

ecuación tomando hasta , en Figura 51 se toman hasta y en Figura 52 se observa

una aproximación hasta el término .

Figura 50: ADM tomando hasta . Elaboración propia

Page 39: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Figura 51: ADM tomando hasta . Elaboración propia

Figura 52: ADM tomando hasta . Elaboración propia

De lo anterior, se puede observar la similitud que se encuentra, observando que la ecuación

del Caso I se puede representar un poco mejor mediante una sucesión de Adomian.

11. Comparación

A continuación, realizaremos una comparación entre los valores teóricos y prácticos del

sistema observando la variable de salida x. Para comenzar, asumiremos las condiciones

iniciales del sistema.

= , = (48)

Page 40: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Evaluando las condiciones iniciales en (24) y (26), obtenemos (29) y (30) y sus gráficas

respectivamente Figura 53 y Figura 54:

= ∗ √ ∗ ( ⁄ ) ∗ � √ ∗ +

(49)

= ∗ √ ∗ −( ⁄ ) ∗ � √ ∗ +

(50)

Figura 53: Solución ecuación diferencial con condiciones iniciales [1 1], Caso I. Elaboración propia

Figura 54: Solución ecuación diferencial con condiciones iniciales [1 1], Caso II. Elaboración propia

Page 41: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Las simulaciones de la variable de salida del sistema se muestran en Figura 55 y Figura 56.

Figura 55: Variable X (salida del sistema) obtenida en simulación del circuito, Caso I. Elaboración propia

Figura 56: Variable X (salida del sistema) obtenida en simulación del circuito, Caso II. Elaboración propia

Page 42: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

Las gráficas de las variables de salida obtenidas en el proceso experimental se presentan en

Figura 57 y Figura 58.

Figura 57: Variable X (salida del sistema) obtenida experimentalmente, Caso I. Elaboración propia

Figura 58: Variable X (salida del sistema) obtenida experimentalmente, Caso II. Elaboración propia

12. Software e Interfaz Gráfica

La tarjeta que se utilizó para desarrollar el proyecto fue la PSoC® 5LP de Cypress

Semiconductor, gracias a la versatilidad que maneja -generan fácilmente 3 DAC de voltaje para

controlar las entradas B y � - además de poder controlar precisamente el timer de retardo

Page 43: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

para conmutar de estado. Implementando dos DAC, se fijó un voltaje constante para los valores

de B, además, se utilizó otro DAC para variar el voltaje de referencia � con las instrucciones

que recibe la psoc desde un software desarrollado en Labview® Figura 59; el valor de � se

varía mediante un timer interno en la psoc, modificando su valor desde la interfaz. Además, se

emplearon dos pines de la psoc como ADC, los cuales reciben las señales de ‘x’ y ‘y’ del circuito

para luego enviarlas vía comunicación RS-232 a la interfaz gráfica, logrando con esto poder

identificar las señales en tiempo real desde un computador.

Figura 59: Interfaz Gráfica Oscilador Caótico Conmutado Continuo por Tramos. Elaboración propia

13. Conclusiones

Se ha obtenido el modelo del circuito observado en Figura 20, evidenciando el sistema de

ecuaciones diferenciales lineales (12) y (13), cuyas familias de soluciones representan el

comportamiento del sistema.

Implementando el algoritmo del máximo exponente de Lyapunov desarrollado en [13], se ha

logrado demostrar la presencia de caos después de t=4 s en la ecuación diferencial del caso I

y en el instante después de t=0 s de la segunda ecuación (caso II); aunque debido a la

Page 44: MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …

velocidad con que se realiza la conmutación entre dos tramos del circuito el sistema tiene un

comportamiento caótico sin perder la estabilidad, sin embargo, para unos valores específicos � < , el sistema pasa de ser caótico a convertirse en un sistema semi estable;

adicionalmente, se ha observado la variación que presenta el sistema al variar los valores de � � por debajo de . � y � entre Figura 28 – Figura 33 en simulación y Figura

34 - Figura 43 obtenidas de la implementación circuital.

Se ha estudiado la respuesta del circuito que sintetiza el oscilador Figura 43 y Figura 44,

observando gran similitud al momento de comparar los resultados de la solución de la ecuación

diferencial con los datos obtenidos en la simulación y el circuito práctico.

14. Referencias

[1] C. M. M. Casado, “Poincaré : ciencia , matemáticas y realismo estructural,” vol.

XXIX, pp. 163–170, 2010.

[2] F. Trías. "Herramientas para el análisis de conversores dc-dc en régimen caótico", tesis

presentada para Msc. en Ingeniería Eléctrica, Universidad de la República, Montevideo,

2014.

[3] A. J. Triana, “Diseño y Construcción de un circuito hipercaótico,” Vis. Electron. Mas Que

Un Estado Solido, pp. 69–73, 2017.

[4] H. Poincaré, L. A. Topología, and Y. E. L. Caos, “Henri poincaré, la topología y el caos,”

pp. 1960–1962, 1960.

[5] S. Nourazar and A. Mirzabeigy, “Approximate solution for nonlinear Duffing oscillator with

damping effect using the modified differential transform method,” Sci. Iran., vol. 20, no.

2, pp. 364–368, 2013.

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[6] J. O. Maaita, I. M. Kyprianidis, C. K. Volos, and E. Meletlidou, “The study of a nonlinear

duffing-type oscillator driven by two voltage sources,” J. Eng. Sci. Technol. Rev., vol. 6,

no. 4, pp. 74–80, 2013.

[7] C. K. Volos, I. M. Kyprianidis, and I. N. Stouboulos, “Experimental Study of a Nonlinear

Circuit Described by Duffing’s Equation,” Istanbul Kültür Univ., vol. 4, pp. 45–54, 2006.

[8] X. Liu, “Weak Signal Detection Research Based on Duffing Oscillator Used for Downhole

Communication,” vol. 6, no. 2, pp. 359–367, 2011.

[9] Z. Lai and Y. Leng, “Generalized Parameter-Adjusted Stochastic Resonance of Duffing

Oscillator and Its Application to Weak-Signal Detection,” pp. 21327–21349, 2015.

[10] J. D. Cartas Ayala, Evidencia Experimenal de un Oscilador Caótico Conmutado. México

D.F., 2010.

[11] B. Común, “Lyapunov de un Oscilador Colpitts,” pp. 92–99, 2012.

[12] L. Lara, C. Stoico, R. Machado, and M. Castagnino, “Estimación de los exponentes de

lyapunov,” vol. XXII, pp. 1441–1451, 2003.

[13] G. Vasiliy, “Calculation Lyapunov Exponents for ODE - File Exchange - MATLAB

Central,” 2004. [Online]. Available:

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4628-calculation-lyapunov-

exponents-for-ode. [Accessed: 04-Apr-2017].

[14] J. Ambrosio Delgado, “Aproximacion de las nuevas soluciones de las EDP’S de segundo

orden por el metodo de descomposicion de Adomian,” 2008.