MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …
Transcript of MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL …
MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DEL OSCILADOR CAÓTICO CONMUTADO POR TRAMOS
MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF CHAOTIC
OSCILLATOR SWITCHED BY PARTS
Nicolás Felipe Conde González 1 Harold Vacca González2
Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e
implementación de un circuito que describe un oscilador caótico en un sistema conmutado
continuo por tramos (OCCCT); se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que lo
modelan, y se implementa la aproximación de la solución por el método de descomposición de
Adomian (ADM). En consecuencia, se obtiene el correspondiente desarrollo matemático del
sistema que modela el fenómeno. Para observar la presencia de caos, se obtienen los
exponentes de Lyapunov y se analizan tanto las variables de salida como el diagrama de fase
que estas generan. Con la solución teórica -analítica y aproximada- del sistema, se realiza una
comparación con los datos obtenidos en la simulación y la arrojada por la implementación del
circuito.
Palabras clave: Oscilador, Modelamiento, Ecuaciones Diferenciales, Caos, Valores y
Vectores propios, Exponentes de Lyapunov.
Abstract: The following paper presents the analysis of a tour which describes an oscillator
chaotic in a switched system continuous by parts. You get the equations that model the circuit;
in addition, implementing the Adomian Decomposition method (ADM), approximates the
solution, thus obtaining the corresponding mathematical development of the system that
models the phenomenon. To observe the presence of chaos, you get the exponents of
Lyapunov and analyzes both the output variables as the phase diagram that they generate.
1 Estudiante Tecnología en Electrónica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:
[email protected] 2 MSc. En Matemática Aplicada, Docente Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:
With the theoretical solution of the system performs a comparison with the data obtained in the
simulation and the implementation circuital.
Key Words: Oscilator, modeling, Differential Equations, Chaos, Eigenvalues and
Eigenvectors, Lyapunov exponents.
1. Introducción
Luego de que a mediados del siglo XVII Newton introdujera las ecuaciones diferenciales para
resolver el problema de dos cuerpos que se atraen gravitacionalmente -la tierra girando
alrededor del sol-, generaciones posteriores de científicos trataron de aplicar el método para
solucionar el problema para tres cuerpos, sin éxito, ante la imposibilidad de la obtención de
tales fórmulas de manera explícita. Fue hacia 1889 que, por un simple error detectado al
momento de revisar la publicación de una revista, Henry Poincaré (1854–1912), Figura 1, a
través del análisis geométrico descubrió las órbitas doblemente asintóticas (actualmente
conocidas como homoclínicas) con las que en lugar de interesarse en la posición del sistema
solar en cualquier momento explicó cualitativamente la estabilidad del mismo entendiendo la
imposibilidad en la predicción del comportamiento a largo plazo. De esta manera, Poincaré dio
comienzo a un nuevo campo de estudio matemático conocido como Teoría del Caos, y en el
que se admite que un sistema determinista exhiba un comportamiento aperiódico dependiente
de la sensibilidad a las condiciones iniciales, [1].
Figura 1: Henri Poincaré (1909), [4].
Desde entonces, analizar y controlar sistemas caóticos se ha convertido en un reto para la
ingeniería, ahora en presencia de tecnología computacional. En los años sesenta del siglo XX
Lorenz, al estudiar la atmósfera para comprender la impredecibilidad del clima, descubre el
movimiento caótico sobre un atractor extraño. A fines de los setenta Feingenbaum descubrió
la existencia de leyes universales que gobiernan la transición desde un comportamiento regular
a uno caótico. Al inicio de los ochenta Baillieul, Brochett y Washburn [2] sugirieron la existencia
de caos en conversores DC-DC y otros sistemas de control basados en modulación por ancho
de pulso (PWM). A mediados de los ochenta Chua sintetizó el primer circuito caótico autónomo,
ampliamente estudiado como modelo de circuito electrónico caótico. A finales de los ochenta
Hamill y Jefferies [2] escribieron el primer análisis detallado sobre caos en electrónica de
potencia. En los noventa, la línea de investigación se orientó a conversores de corriente
contınua y su naturaleza no lineal, y la integración exacta o aproximada de las ecuaciones
diferenciales del modelo discreto de estos sistemas; Hamil, por ejemplo, conjeturó que estos,
operando bajo un régimen de caos controlado podrían semejarse a un sistema inestable en
lazo abierto estabilizado por realimentación, en este sentido el caos y el control del caos siguen
estudiándose, [2].
De otra parte, han surgido múltiples aplicaciones: desde el análisis de fractales en diseño
gráfico; pasando por las telecomunicaciones al implementar sistemas caóticos en encriptación
de mensajes; el control de sistemas mecánicos cuando implican movimientos oscilatorios; en
el mejoramiento de plantas cuando al detectar y eliminar este tipo de caos se generan sistemas
estables y eficientes, entre otras, [3].
Por lo anterior, se considerará un circuito correspondiente a un OCCCT para evidenciar la
existencia de un sistema caótico a través de su modelamiento matemático, análisis,
simulación, e implementación experimental.
La estructura del documento es así: se realiza una descripción de algunos estudios realizados
en sistemas caóticos donde se implementan circuitos equivalentes; luego se describe el
sistema correspondiente al OCCCT; posteriormente se propone el modelamiento matemático
y sus casos, en variables de estado; luego se analiza el comportamiento del mismo desde los
valores y vectores propios, y los exponentes de Lyapunov; seguidamente se resuelve el
sistema analíticamente y su aproximación por ADM; se presentan los resultados; finalmente
se hacen las conclusiones.
2. Antecedentes
Entre muchas investigaciones, se describirán algunos trabajos que se han desarrollado para
indicar el comportamiento y la relevancia de los osciladores caóticos.
En [5], se utilizó el método de transformada diferencial modificada (DTM) para obtener la
solución aproximada de un oscilador no-lineal de Duffing con efecto amortiguado bajo
diferentes condiciones iniciales. En la Figura 2 se muestra la comparación entre los resultados
obtenidos utilizando DTM y el método de aproximación de Runge-Kutta de cuarto orden.
Figura 2: Comparación de resultados entre DTM y el método de Runge-Kutta. [5]
En la Figura 3 se observa la respuesta al sistema variando las condiciones iniciales.
Figura 3: Comparación de resultados entre DTM y el método de Runge-Kutta variando C.I. [5]
Con los resultados obtenidos, se demostró que el DTM es una herramienta precisa en el
manejo de un oscilador no-lineal, obteniéndose un alto nivel de precisión en todo el dominio,
incluso si la amplitud de la oscilación se reduce con el tiempo.
Por otra parte, en [6] se presenta un estudio detallado de un oscilador eléctrico no lineal con
amortiguación y excitación externa, sistema que consiste en un circuito de tipo Duffing
accionado por dos fuentes de tensión sinusoidales que tienen frecuencias diferentes. Las
herramientas manejadas del enfoque teórico fueron, los Diagramas de bifurcación, Las
secciones de Poincaré, los retratos de fase, y la obtención de los máximos exponentes de
Lyapunov.
Las ecuaciones que describen el sistema se observan en (1).
{ == −� − + sin � � + sin � �
(1)
Donde � es el parámetro de amortiguación, el coeficiente del término no-lineal, a y b son las
amplitudes de las excitaciones sinusoidales y .
En la Figura 4 se presenta la topología del circuito utilizado adaptada a la plataforma Multisim.
Figura 4: Circuito propuesta que emula el sistema no-lineal. [6]
De acuerdo con el circuito anterior, se realizó la simulación y se obtuvieron diversos resultados,
dependiendo las condiciones de los valores a la entrada del sistema, Figura 5 y Figura 6.
Figura 5: Retrato de fase para = . , = . , = , = y � = . . [6]
Figura 6: Retrato de fase para = . , = . , = , = y � = . . [6]
De las gráficas obtenidas en este trabajo, se confirmó la rica dinámica del sistema no-lineal.
Se observaron oscilaciones periódicas y caóticas; además, se pudo analizar el importante
papel en la dinámica del sistema que juega el parámetro de amortiguación � y las frecuencias
y de las fuentes de tensión sinusoidales externas.
De otro lado, en [7], se estudió un circuito electrónico (Figura 7) que presenta un
comportamiento dinámico periódico y caótico (implementando la ecuación de Duffing), a
medida que se varía la amplitud de la señal de tensión de accionamiento.
Figura 7: Circuito electrónico que obedece la ecuación de Duffing. [7]
El circuito, además, presenta un elemento no lineal (Figura 8), implementado por una función
cúbica mostrada en la ecuación (2), y obtener (3)
� = + (2)
+ + + = (3)
Figura 8: Elemento no lineal y su gráfica I vs V. [7]
Las simulaciones mostrando la salida del sistema se presentan en las Figura 9 y Figura 10.
Figura 9: Retrato de fase (curva cerrada) y retrato de Poincaré para Vo=1.81 V [7]
Figura 10: Retrato de fase para Vo=2 V (comportamiento caótico) [7]
Con estas, además de implementar la ecuación de segundo orden de Duffing, se demuestran
fenómenos Caóticos: se exhibe gran sensibilidad del circuito a las condiciones iniciales con
una ruta de caos a través del mecanismo de duplicación del periodo.
De otra parte, en [8] se aplica la detección de señales débiles. Con la solución de la ecuación
diferencial (4) y la construcción del circuito que lo representa (Figura 11), se propuso una
metodología para realizar demodulación de señales.
+ + + � = cos (4)
Se plantea la ecuación diferencial de Duffing (4), variando su constante , inicializándola en = − , como se muestra en las, Figura 12 y Figura 13.
Figura 11: Diagrama de simulación del oscilador de Duffing. [8]
Figura 12: Órbita de fase con = . � �� + � . [8]
Figura 13: Órbita de fase con = . � �� . [8]
La diferencia de fase entre la señal de detección externa y una fuerza, muestra que el sistema
tuvo la posibilidad de pasar del estado caótico al estado periódico a gran escala; lo anterior se
presenta en las Figura 14 y 15.
Figura 14: Órbita de fase en � = . � ��.[8]
Figura 15: Órbita de fase en � = . ��. [8]
Los resultados muestran que la detección de señal del oscilador de Duffing, es totalmente
factible; por lo tanto, mientras se detectan las señales de onda acústica sinusoidal débil se
puede realizar la transmisión de datos efectiva; además, a través del análisis teórico y los
resultados de simulación de circuitos analógicos se muestra que el oscilador Duffing tiene una
sensibilidad única para detectar una señal sinusoidal de frecuencia única con en el ruido y
suprime el ruido aleatorio al mismo tiempo.
Finalmente, otro análisis del oscilador de Duffing se estudia en [9]. Implementando la tasa de
Kramers, se establece una función de juicio para juzgar la ocurrencia de SR en este modelo,
para analizar y reducir las reglas bajo una amplitud, frecuencia o intensidad de ruido.
Plantean la ecuación (4) agregándole al sistema ruido de tipo √ � . La salida del sistema
puede entenderse como la trayectoria de una partícula browniana de masa unitaria que se
mueve en el campo de potencia, bajo la coacción de la fuerza de amortiguación, fuerza de
campo potencial, fuerza motriz periódica y ruido aleatorio, como se muestra en Figura 16.
Figura 16: Función potencial del sistema de Duffing sin fuerza motriz (línea continua) y cambios de potencial con fuerza motriz (línea punteada). Los eventos de conmutación
pueden tener lugar en presencia de ruido como indica la flecha. [9]
Ahora se plantea la partícula browniana impulsada por ruido que transita a una cierta velocidad,
dada por la taza de Kramers (5).
� = √ �� −( �)
(5)
Luego, un grupo de parámetros clásicos se dan para ilustrar el fenómeno SR en un sistema de
Duffing (6), se observa el espectro amplitud vs tiempo y amplitud vs frecuencia (Figura 17) y la
curva de respuesta de la amplitud de la señal de salida contra la intensidad del ruido (Figura
18).
� = . , = = , = . , = . (6)
Figura 17: SR de la ecuación de Duffing. (a) Forma de onda de la señal de entrada. (b) Espectro de la señal de entrada. (c) Forma de onda de la señal de salida. (d) Espectro de la
señal de salida. [9]
Figura 18: Curva de respuesta de la amplitud de la señal de salida contra la intensidad del ruido. [9]
Una función de juicio para observar la ocurrencia de SR en el sistema de Duffing parametrizado
generalizado se estableció sobre la base de la tasa de Kramers y se utilizó para analizar los
parámetros.
En [10] se puede observar el análisis frecuencial observando el espectro de potencia obtenido
a la salida que muestra varios componentes armónicos de una frecuencia principal �. . � = � , � ; en la Figura 19 se distingue la resonancia que presenta el sistema debido
a la señal de conmutación.
Figura 19: Espectro de potencia del sistema para = . . La diferencia entre espectros es sólo el efecto de perturbaciones inevitables como ruido en el sistema y en las condiciones
iniciales. [10]
3. Sistema
El sistema a analizar se presenta en la Figura 20, donde se puede observar dos estados de
conmutación a partir de realizar un cambio de nivel de voltaje a la entrada de un multiplexor;
estos estados dependerán de las siguientes consideraciones:
Si ≥ entonces =
Si = � entonces =
(7)
El periodo � está definido por un timer; la variable de entrada del sistema es B; las variables
de salida del sistema son X y Y; las relaciones de resistencias �� 9 y
��9 definidas como ,
respectivamente, son parte de los parámetros de la matriz de estados A que satisface que sus
valores propios se encuentran en el plano complejo derecho e izquierdo, los demás
amplificadores operaciones tienen relación de ganancia 1 a 1.
Figura 20: Oscilador caótico conmutado por tramos, [10].
4. Modelamiento
Para modelar el sistema se analizará el circuito por casos dependiendo del estado de
conmutación.
a. Caso I
El primer caso se presenta en la Figura 21; para facilitar los cálculos, el sistema se dividirá en
dos, Figura 22 y 23; se analizará los circuitos independientemente teniendo en cuenta las
variables de entrada y de salida.
Figura 21: Caso I = . Elaboración propia.
Figura 22: Sistema dinámico ⁄ Caso I. Elaboración propia.
La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 22 es (8)
= �� 9 − ��9 − (8)
Figura 23: Sistema dinámico �� Caso I y Caso II. Elaboración propia.
La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 23 es (9)
= − + (9)
b. Caso II
El segundo caso se presenta en la Figura 24; para facilitar los cálculos, el sistema se dividirá
en dos Figura 25 y Figura 23; se analizará los circuitos independientemente teniendo en cuenta
las variables de entrada y de salida.
Figura 24: Caso II = . Elaboración propia.
Figura 25: Sistema dinámico ⁄ Caso II. Elaboración propia.
La ecuación diferencial que describe el comportamiento en el circuito de la Figura 25 es (10)
= − �� 9 − ��9 − (10)
El sistema que describe es el mismo de Figura 23, por lo tanto, la ecuación que describe su
comportamiento es (9).
La clase de sistema estudiado está constituido por un sistema discreto en tiempo y un sistema
lineal variante en el tiempo, por lo que sí = , el sistema se rige por las ecuaciones
diferenciales (8) y (9), y cuando el sistema conmuta = el sistema se rige por las ecuaciones
diferenciales (9) y (10).
5. Espacio de Estados
Una manera de analizar sistemas de ecuaciones diferenciales como los obtenidos en el
apartado 4, es mediante su representación en el espacio de estados (forma matricial), para
ello se parte de la ecuación (11).
= + (11)
En donde A es la matriz que depende de los parámetros concentrados del sistema, B es la
matriz de entrada del sistema, U es el vector de entrada, X es el vector de estado.
Por lo tanto, al expresar los sistemas de ecuaciones obtenidos en Caso I y Caso II en su forma
matricial, además de tener en cuenta que �� 9 = y
��9 = , se obtiene (12) y (13).
[ ⁄⁄ ] = [ − ] [ ] − [ ]
(12)
[ ⁄⁄ ] = [− − ] [ ] − [ ]
(13)
a. Polinomio Característico e Eigenvalores
Una forma para conocer los eigenvalores o polos del sistema es hallando las raíces del
polinomio característico en la matriz A, por lo que se utiliza (14).
Los eigenvalores de la matriz A tiene un efecto crucial en el comportamiento del sistema;
existen cuatro posibles casos para las raíces:
a) Ambos � y � soy eigenvalores reales (no nulos).
b) � es eigenvalor real y � es eigenvalor complejo.
c) � es eigenvalor complejo y � es eigenvalor real.
d) Ambos � y � son eigenvalores complejos.
El caso d) es el de mayor interés debido a la alta diversidad que presenta su comportamiento,
por lo que este será el caso a estudiar, [10]
� − = (14)
Reemplazando en (14):
� [ ] − [ − ] = (15)
Operando, obtendremos:
� , = ± √ − (16)
De (16) podemos observar los posibles casos para las raíces; para que ambas sean complejas,
el argumento de la raíz debe ser menor a cero, por lo tanto:
− < (17)
Realizando el mismo proceso para el caso II se obtiene igualmente (17).
6. Exponentes Máximos de Lyapunov
Los exponentes de Lyapunov se han utilizado ampliamente en ingeniería como herramienta
para el estudio cualitativo de la estabilidad de un sistema de tiempo continuo o discreto; ellos
miden la tasa exponencial de divergencia de dos órbitas adyacentes en el espacio de fases,
[11].
Sea = en donde = . Sea , la solución de (18), si se adiciona una
perturbación en la condición inicial del sistema ∆ , esta quedaría , + ∆ ; ahora,
mediante series de Taylor se verifica que el error entre las dos soluciones debe cumplir que:
∆ = , + ∆ − , ≅ ( , )∆ (18)
( , ) es el Jacobiano de la ecuación solución evaluado en el punto , ; por lo tanto,
la separación de las dos trayectorias es:
‖∆ ‖ = ‖ ( , )‖‖∆ ‖ = lim→∞‖∆ ‖ � (19)
En donde � se define como el máximo exponente de Lyapunov, de (19) se obtiene:
� = lim→∞ [ lim∆� → ‖ ( , )‖‖∆ ‖] (20)
Para una ecuación diferencial de orden n, indica que existen n exponentes de Lyapunov
asociados a esta, además, un exponente negativo implica que el punto de equilibrio
seleccionado es estable, las señales convergen hacia dicho punto; un exponente positivo
indica la presencia de caos en el sistema; por lo tanto, un exponente positivo, puede mostrar
la sensibilidad a las condiciones iniciales [10], [12].
Se ha implementado un algoritmo para calcular el exponente de Lyapunov en un sistema de
ecuaciones diferenciales [13]. Los resultados se muestran en Figura 26 y Figura 27, Tabla 1
Tabla 2 respectivamente, con esto evidenciamos que la salida de ambos sistemas tiende a
volverse estable cuando → ∞; para el Caso I, la variable X es completamente caótica,
mientras que Y para < , la variable presenta estabilidad, pero después del periodo de
tiempo, se vuelve caótica; para el Caso II, el sistema tiende a ser estable en todo su dominio,
excepto la variable X cuando < . , presenta índice de caos.
Figura 26: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso I. Elaboración propia.
Figura 27: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso II. Elaboración propia
Tiempo(s) Exponentes de Lyapunov Variable (X) Exponentes de Lyapunov Variable (Y) 1 0,363955 -0,163955 2 0,33174 -0,13174 3 0,242923 -0,042923 4 0,143719 0,056281 5 0,099445 0,100555 6 0,142472 0,057528 7 0,165819 0,034181 8 0,154174 0,045826 9 0,120505 0,079495
10 0,099502 0,100498
Tabla 1: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso I. Elaboración propia
Tiempo(s) Exponentes de Lyapunov Variable (X) Exponentes de Lyapunov Variable (Y) 1 0.065216 -0.265216 2 0.111964 -0.311964 3 0.055334 -0.255334 4 -0.031761 -0.168239 5 -0.099333 -0.100667 6 -0.074070 -0.125930 7 -0.040161 -0.159839 8 -0.041462 -0.158538 9 -0.068686 -0.131314
10 -0.099278 -0.100722
Tabla 2: Exponentes de Lyapunov variables de salida X y Y Caso II. Elaboración propia
7. Análisis y resultados
En este trabajo, se analizará el sistema en su punto más caótico e inestable, por lo que se en
el circuito se partirá de las siguientes consideraciones:
= , ; = , ; = , ; = ; = , � = , �; � = , (21)
Se puede comprobar que los valores de generan para la matriz A eigenvalores o polos
del sistema complejos; en este análisis se tomará un valor de fijo y se varía n en la
ecuación (7) (Figura 28 y Figura 29), para observar la respuesta del sistema a un leve cambio
en las condiciones iniciales.
Figura 28: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=1, 2, 3 y 4 � = . �. Elaboración propia
Figura 29: Diagrama de fase para n=1, 2, 3 y 4 � = . �. Elaboración propia
Si se sigue aumentando la variable n, se llegará hasta un punto en donde el sistema se intenta
estabilizar, como se puede observar en Figura 30 y Figura 31.
Figura 30: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=10 y 20 � = . �. Elaboración propia
Figura 31: Diagrama de fase para n=10 y 20 � = . �. Elaboración propia
Aumentando el voltaje hasta 3.3 V, se observa una respuesta aleatoria en las variables
de salida, como se observa en Figura 32 y Figura 33; variando = a = , el sistema cambia
de un estado estacionario y continúo a un estado crítico de caos.
Figura 32: X(t) Channel A y Y(t) Channel B para n=6 y n=7 � = . �. Elaboración propia
Figura 33: Diagrama de fase para n=6 y 7 � = . �. Elaboración propia
A continuación, se mostrarán retratos de fase obtenidos experimentalmente, con = . �
y variando n desde 3 hasta 11, Figuras 34 - 42.
Figura 34: Diagrama de fase para n=3 � = . �. Elaboración propia
Figura 35: Diagrama de fase para n=4 � = . �. Elaboración propia
Figura 36: Diagrama de fase para n=5 � = . �. Elaboración propia
Figura 37: Diagrama de fase para n=6 � = . �. Elaboración propia
Figura 38: Diagrama de fase para n=7 � = . �. Elaboración propia
Figura 39: Diagrama de fase para n=8 � = . �. Elaboración propia
Figura 40: Diagrama de fase para n=9 � = . �. Elaboración propia
Figura 41: Diagrama de fase para n=10 � = . �. Elaboración propia
Figura 42: Diagrama de fase para n=11 � = . �. Elaboración propia
El circuito impreso desarrollado e implementado se muestra en Figura 43 y Figura 44.
Figura 43: Visualización 3D circuito impreso. Elaboración propia
Figura 44: Vista top circuito impreso. Elaboración propia
8. Solución del sistema
El sistema de ecuaciones que modela el circuito planteado se puede expresar como una
ecuación diferencial de segundo orden de la siguiente manera.
Para el Caso I, podemos derivar respecto al tiempo la ecuación (8):
= �� 9 − ��9 − � (22)
En este documento se analiza el caso para B constante, por lo tanto, derivando y reemplazando
(9) en (22):
= �� 9 − ��9 [− + ] (23)
Reemplazando los valores �� 9 = . ,
��9 = . y = , simplificando obtenemos:
− . + . = . (24)
Solucionando la expresión por variación de parámetros, obtenemos:
= ∗ ( ⁄ ) ∗ √ ∗ + ∗ ( ⁄ ) ∗ � √ ∗
(25)
La gráfica de la familia de soluciones de la ecuación (24) se observa en Figura 45.
Figura 45: Familia de soluciones de ecuación diferencial Caso I. Elaboración propia
Ahora, de (9) y (10) se obtiene la ecuación de segundo orden para el Caso II, reemplazando
los valores �� 9 = . ,
��9 = . y = , obtenemos:
+ . + . = . (26)
Solucionando la expresión por variación de parámetros, obtenemos:
= ∗ −( ⁄ ) ∗ √ ∗ + ∗ −( ⁄ ) ∗ � √ ∗
(27)
La gráfica de la familia de soluciones de la ecuación (26) se observa en Figura 46.
Figura 46: Familia de soluciones de ecuación diferencial Caso II. Elaboración propia
9. Método de Aproximación de Adomian (ADM)
El ADM es un método numérico recursivo que no discretiza ni linealiza una ecuación
diferencial, está basado en la búsqueda de una aproximación a la solución del sistema por
medio de una serie y la descomposición de los operadores en términos de los llamados
polinomios de Adomian. Es una técnica que permite resolver una extensa gama de ecuaciones
lineales y no lineales, algebraicas, diferenciales, integrales, integrodiferenciales, en derivadas
parciales, entre otras, [14].
El ADM considera la ecuación no lineal = , en donde es la función de excitación del
sistema y representa el operador diferencial. puede contener parte lineal y parte no lineal,
por lo que se divide en (28)
Υ + � = (28)
A demás, el término lineal Υ se escribe como Υ = L + R; � es el operador diferencial de mayor
orden, mientras que � es el resto de la ecuación. Lo primero que se realiza es desarrollar la
ecuación para el operador � , para esto, se aplica el operador inverso �− , a continuación, se
escribe el operador no lineal en términos de una suma de tipo � = ∑∞= en donde son
los polinomios de Adomian(); luego, se asume la descomposición de la variable en términos
de la suma = ∑∞= (la serie completa no converge a la solución de la ecuación, es una
aproximación al k-ésimo término = ∑�= . Ahora, se reescribe la ecuación (28):
L + � + � = (29)
Se despeja el término Lu:
L = −� − � + (30)
Aplicando el operador inverso:
�− L = −�− � − �− � + �− (31)
Operando la parte izquierda de la igualdad:
− = −�− � − �− � + �− (32)
Se descompone = ∑�= :
− = −�− � − �− � + �− (33)
Reemplazando � = ∑∞= , en donde:
= ! � � (∑ �� �∞�= )|�= � = , , , …
(34)
Se obtiene:
− = −�− � − �− + �− (35)
De aquí, se puede observar que = , se considera la solución con parte lineal, por lo
tanto, podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:
= −�− � − �− + �−= −�− � − �− + �−= −�− � − �− + �−…= −�− � − − �− − + �−
(36)
10. Aplicación (ADM)
Se soluciona el sistema por medio de ADM y se compara los resultados gráficamente con los
obtenidos de la solución analítica.
Para comenzar, se tomará la ecuación diferencial del caso I (24) y se aproximará a su solución
mediante ADM.
− . + . = .
Tomando como condiciones iniciales = y = , reemplazando = � , por lo
tanto, el operador inverso será �− = ∫ ∫ . , reemplazando y despejando �.
� = . − . + . (37)
Luego, se aplica el operador inverso:
�− � = �− . − �− . + �− . (38)
Se soluciona la ecuación para � :
− − ∙ = �− . − �− . + �− . (39)
Despejando x(t) y factorizando �− :
= + ∙ + �− [ . − . + . ] (40)
Sustituyendo = ∑∞= , por lo tanto:
= + ∙ + �− [ . − . + . ] (41)
De acá, se sabe que = + , ahora, utilizando (36):
+ = �− [ . − . + . ] (42)
Reemplazando:
= �− [ . − . + . ]= �− [ . + − . + + . ] (43)
Operando:
= − ( + )
(44)
Continuando de esta manera, se halla la cantidad de coeficientes que deseemos tener para
obtener una buena aproximación.
= − − − + += − + − − + +
= − − + + − − + +
(45)
Por lo tanto, la solución aproximada de la ecuación diferencial, será:
≈ + + + + (45)
Reemplazando valores y simplificando se obtiene una aproximación de grado 9 al sistema:
≈ − − + + − − + +
(46)
Ahora, implementando un software desarrollado en MatLab®, se reducen los cálculos para
hallar una aproximación con más términos, en la Figura 47 se observa una aproximación a la
solución de la ecuación tomando hasta , en la Figura 48 se toman hasta y en la
Figura 49 se observa una aproximación hasta el término .
Figura 47: ADM tomando hasta . Elaboración propia
Figura 48: ADM tomando hasta . Elaboración propia
Figura 49: ADM tomando hasta . Elaboración propia
Análogamente se realiza el mismo procedimiento, ahora con la ecuación (26), los términos de
la aproximación de Adomian son los siguientes:
= +
= − += + + −
= − + + − − += − + + − − + + −
(47
)
Implementando un software desarrollado en MatLab®, se reducen los cálculos para hallar una
aproximación con más términos, en Figura 50 se observa una aproximación a la solución de la
ecuación tomando hasta , en Figura 51 se toman hasta y en Figura 52 se observa
una aproximación hasta el término .
Figura 50: ADM tomando hasta . Elaboración propia
Figura 51: ADM tomando hasta . Elaboración propia
Figura 52: ADM tomando hasta . Elaboración propia
De lo anterior, se puede observar la similitud que se encuentra, observando que la ecuación
del Caso I se puede representar un poco mejor mediante una sucesión de Adomian.
11. Comparación
A continuación, realizaremos una comparación entre los valores teóricos y prácticos del
sistema observando la variable de salida x. Para comenzar, asumiremos las condiciones
iniciales del sistema.
= , = (48)
Evaluando las condiciones iniciales en (24) y (26), obtenemos (29) y (30) y sus gráficas
respectivamente Figura 53 y Figura 54:
= ∗ √ ∗ ( ⁄ ) ∗ � √ ∗ +
(49)
= ∗ √ ∗ −( ⁄ ) ∗ � √ ∗ +
(50)
Figura 53: Solución ecuación diferencial con condiciones iniciales [1 1], Caso I. Elaboración propia
Figura 54: Solución ecuación diferencial con condiciones iniciales [1 1], Caso II. Elaboración propia
Las simulaciones de la variable de salida del sistema se muestran en Figura 55 y Figura 56.
Figura 55: Variable X (salida del sistema) obtenida en simulación del circuito, Caso I. Elaboración propia
Figura 56: Variable X (salida del sistema) obtenida en simulación del circuito, Caso II. Elaboración propia
Las gráficas de las variables de salida obtenidas en el proceso experimental se presentan en
Figura 57 y Figura 58.
Figura 57: Variable X (salida del sistema) obtenida experimentalmente, Caso I. Elaboración propia
Figura 58: Variable X (salida del sistema) obtenida experimentalmente, Caso II. Elaboración propia
12. Software e Interfaz Gráfica
La tarjeta que se utilizó para desarrollar el proyecto fue la PSoC® 5LP de Cypress
Semiconductor, gracias a la versatilidad que maneja -generan fácilmente 3 DAC de voltaje para
controlar las entradas B y � - además de poder controlar precisamente el timer de retardo
para conmutar de estado. Implementando dos DAC, se fijó un voltaje constante para los valores
de B, además, se utilizó otro DAC para variar el voltaje de referencia � con las instrucciones
que recibe la psoc desde un software desarrollado en Labview® Figura 59; el valor de � se
varía mediante un timer interno en la psoc, modificando su valor desde la interfaz. Además, se
emplearon dos pines de la psoc como ADC, los cuales reciben las señales de ‘x’ y ‘y’ del circuito
para luego enviarlas vía comunicación RS-232 a la interfaz gráfica, logrando con esto poder
identificar las señales en tiempo real desde un computador.
Figura 59: Interfaz Gráfica Oscilador Caótico Conmutado Continuo por Tramos. Elaboración propia
13. Conclusiones
Se ha obtenido el modelo del circuito observado en Figura 20, evidenciando el sistema de
ecuaciones diferenciales lineales (12) y (13), cuyas familias de soluciones representan el
comportamiento del sistema.
Implementando el algoritmo del máximo exponente de Lyapunov desarrollado en [13], se ha
logrado demostrar la presencia de caos después de t=4 s en la ecuación diferencial del caso I
y en el instante después de t=0 s de la segunda ecuación (caso II); aunque debido a la
velocidad con que se realiza la conmutación entre dos tramos del circuito el sistema tiene un
comportamiento caótico sin perder la estabilidad, sin embargo, para unos valores específicos � < , el sistema pasa de ser caótico a convertirse en un sistema semi estable;
adicionalmente, se ha observado la variación que presenta el sistema al variar los valores de � � por debajo de . � y � entre Figura 28 – Figura 33 en simulación y Figura
34 - Figura 43 obtenidas de la implementación circuital.
Se ha estudiado la respuesta del circuito que sintetiza el oscilador Figura 43 y Figura 44,
observando gran similitud al momento de comparar los resultados de la solución de la ecuación
diferencial con los datos obtenidos en la simulación y el circuito práctico.
14. Referencias
[1] C. M. M. Casado, “Poincaré : ciencia , matemáticas y realismo estructural,” vol.
XXIX, pp. 163–170, 2010.
[2] F. Trías. "Herramientas para el análisis de conversores dc-dc en régimen caótico", tesis
presentada para Msc. en Ingeniería Eléctrica, Universidad de la República, Montevideo,
2014.
[3] A. J. Triana, “Diseño y Construcción de un circuito hipercaótico,” Vis. Electron. Mas Que
Un Estado Solido, pp. 69–73, 2017.
[4] H. Poincaré, L. A. Topología, and Y. E. L. Caos, “Henri poincaré, la topología y el caos,”
pp. 1960–1962, 1960.
[5] S. Nourazar and A. Mirzabeigy, “Approximate solution for nonlinear Duffing oscillator with
damping effect using the modified differential transform method,” Sci. Iran., vol. 20, no.
2, pp. 364–368, 2013.
[6] J. O. Maaita, I. M. Kyprianidis, C. K. Volos, and E. Meletlidou, “The study of a nonlinear
duffing-type oscillator driven by two voltage sources,” J. Eng. Sci. Technol. Rev., vol. 6,
no. 4, pp. 74–80, 2013.
[7] C. K. Volos, I. M. Kyprianidis, and I. N. Stouboulos, “Experimental Study of a Nonlinear
Circuit Described by Duffing’s Equation,” Istanbul Kültür Univ., vol. 4, pp. 45–54, 2006.
[8] X. Liu, “Weak Signal Detection Research Based on Duffing Oscillator Used for Downhole
Communication,” vol. 6, no. 2, pp. 359–367, 2011.
[9] Z. Lai and Y. Leng, “Generalized Parameter-Adjusted Stochastic Resonance of Duffing
Oscillator and Its Application to Weak-Signal Detection,” pp. 21327–21349, 2015.
[10] J. D. Cartas Ayala, Evidencia Experimenal de un Oscilador Caótico Conmutado. México
D.F., 2010.
[11] B. Común, “Lyapunov de un Oscilador Colpitts,” pp. 92–99, 2012.
[12] L. Lara, C. Stoico, R. Machado, and M. Castagnino, “Estimación de los exponentes de
lyapunov,” vol. XXII, pp. 1441–1451, 2003.
[13] G. Vasiliy, “Calculation Lyapunov Exponents for ODE - File Exchange - MATLAB
Central,” 2004. [Online]. Available:
https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4628-calculation-lyapunov-
exponents-for-ode. [Accessed: 04-Apr-2017].
[14] J. Ambrosio Delgado, “Aproximacion de las nuevas soluciones de las EDP’S de segundo
orden por el metodo de descomposicion de Adomian,” 2008.