35Lee Stud È il È Tina NÈI -...
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35 Lee 5 12 Esempio modello Obiettivo Vogliamo deh l'insieme di convergenza della serie di potenza Io n L 2 x an neo ha 11 0 ma an in generale ER Stud coming assoluta possiamo in questo caso applicare il catena della radice n ennis ma anche del rapporto aka semi È 1 il È II txt Abbiamo Tina nn NÈI piano e 21 1 sara e dei criterio Allora se della radice n esima per serie atrmi.ie 70 visto 21 141 ossia KISII la mia data È ÉTÉ coniergente e quindi la serie data è convergente 2kt 1 ossia 1 1717 II 7 a go.FI a 4in 2 to na a 0 p la serie data non può convergere perchè non è soddisfatta la converge 368 recess per la converge di una serie
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35Lee 5 12 Esempio modello ObiettivoVogliamo deh l'insieme di convergenza della serie di potenza
Io nL 2 x anneo ha 11 0 ma aningenerale ER
Stud coming assoluta possiamo in questo caso
applicare il catena della radice n ennis ma anche del
rapporto aka semi È 1 il È II txtAbbiamo
Tina nn NÈIpiano
e21 1sara edeicriterio
Allora se dellaradicen esimaperserie atrmi.ie 70 visto
21 141 ossiaKISII la mia data È ÉTÉconiergente equindi laserie data è convergente
2kt 1 ossia 11717 II 7a
go.FIa 4in 2
to na a0
p la serie data non può convergereperchè non è soddisfatta la converge
368 recess per laconvergedi una serie
Infine21 1 1 allora o Allora
se x abbiamo È FÈ È Èche è converge poiché puntoe fatto fetta nit confronto
in asintoticaa
c nnse x E abbiamo È IÌ È nata
checonvergeper il criterio diLeibniz oppuresi
può anchedirei cheè assoluto convergente equindi convergente
In definitiva si ha che l'insieme di convergenza per lasei data è Ee EE E Entità
E Mai
In generale possiamo dire ad avere
Def raggio di convergenza della serie an x è
il valore r siepi X 1 r E a r tooXEE
dove E è l'insieme di convey della serie
Teorema sia r il raggio di convergenza della serie anG xDAllora i la serie converge assoluti Vieta Ix xd r
ri la serie non converge tre R Ix x I r
36g Iii Nulla si può dire apriori sulla convergenza nei punti
pon g 1
X Xo r X X.tt
Teorema determinazione delraggio di convergenza sia 2anlxxo.tnLa serie dataSe esiste
II Titani l le
oppure4in anti l 0 E le an a an
allora la serie di potenze ha raggio di convergenza
r.fi èse le Rko
Es Det l'miserie di convergenza delleseguenti serie di potenzee delle serie riconducibili a serie di potenze
i È a x 0
I e TI ma 1 1
raggio diconvergenza r f 1Axe 1,1 converse finzione
1 È C dconvergepad cit dilatoria
e 1 È f diverge poiché f370 punito
e la serie feto cit delconfronto asintotica
p l'insieme diconvergenza è E 1,1 E
ii È an x
l le l
p raggio diconvergenza te ao
p insieme diconvergenza E IR e
È III it arti 1
te µ ht 3 1 1243 5 nato
2raggio di convergenza rete 1
jamminp La serie converge sicuro XE IO 2
a
O Iffy te la serie convergeper ilneocriterio di Leibniz oppureconverge
assoluta essendo nei243 5
N 1 per4 to2h2
Poiché facto per il calcio del confrontoasintotica anche la serie data è laurea
371
too
2 neI too come sopraneo 2ns 15
p l'insieme di convergenza è E 0,2 la
fa Es a È coconut x 2infondoallalezione a
nb
nera log n2
EI Det al variare di Letta l'insieme di convergenza dellaA
saie xxi an x 1ha
aII eijie f L
raggio diconverge r le e
la serie converge sicuri XE 1 e 1 te
VLER.xe.aeÈ tieni
converge per Leibniz se L 0
e ne È 4 Ìnconverge se e solo se 1
372
Insieme di convey E 1 e 1 te sed 0
E 1 e 1 e se la 1
a
Serie riconducibili a serie di potenzea
Es i cose
nei 2in
Poniamo te cosi studiamo È te onel 2 1 in 1
E 1 canefora Et 1,1 insieme diconvey
Ritorniamo alla I cosi la 1 4 17 Xf VIT KENcosÌ 1 I KM T
p L'inie'me di convergenza della serie data èE IRI IVI le pari it
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ri tenei ht 3 3
Poniamo te studiamo la serie Ète 0
amUsando criterio della radice n esima otteniamo
piante VIII E e 3noi too
Si Oss rapid che l'insieme diconvergenza per la serie373
È Ì è EE 3,3texas e
Rimane da ritornare indietro i 04 3
l'insieme di convergenza per la serie data è E tiffa El
iii trovare l'insania di convergenzadi 2 Èai umani di LERI 2 0
1 ha
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Poniamo t C e studiamo 2 tooherOsserviamo che
TE uff n Io 1 7 7 1
la serie ÌÌ converge sicuro Ate 1,4270
Se te 1 La serie converge se la oa
te 1 la serie fa converge se 1nei
È coniuge su 1,1 fa o
su 1,1 ta 1
zia fienileRicordando che te e si ha che 1
p 2 Eco p 2 D Xc 52 o FaIn definitiva la serie data
converge mi 0 ti uffa Ha O
374 in o Fa U t to Xd 1 lega
Serie di Taylor cenno
Supp di avere una funzione fa su Joe b derivabile
quanto si vuole e con continuità x E a b
possiamo allora scrivere il polinomio di Taylorin
È ix x I treniK O
se tale polinomio diTaylor per n io converge e la
somma è proprio f nell'insieme di convergenza diremo
che f è sviluppabile in serie diTaylor di cento xo cja.BEQuesto fatto non è sempre vero però è vero per le nostre
fonti elementari si ha per x 0
an
è HERneo hio
nn c N Itaneo 2mm
a
cosi C a fxe.IRneon
loggia È C 1 È e l'D siatene cosiper 1 anchetoo ilvalore dellasomma
oryxEh II Elogiata 42neo 2
Hic 1,1 sappiamochequestaserieèconvergentegrazieal375 criterio di Leibniz
pag.EssjzDet
l'insieme di convergenza delleseg seriea cogent x 2T
Abbiamo an ELI x 2Usiamo il criterio della radice nerina perdete il raggio di
convergenzaNient NÈ Iri È 1 el
D r 1
La serie data converge sicuramente Axe 2 1,2 1cioè Axe 1,3
Er
1 la serie si scrive ÈHI faed è quindidivergentepositivi
3 la serie si pain È LÌ Questaserie converge grazie al criterio di Leibniz
in definitiva la serie dataè convergente tre E 11,3a
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Oss che Viani VII foga0 L
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D E IR insieme di convergenza Eta
376
