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3.4 Controllo numerico 42

3.4 Controllo numerico

3.4.1 Funzionalita ed elementi costitutivi del CN

Il controllore numerico e un dispositivo Hardware e Software utilizzato percontrollare macchine utensili tramite istruzioni di comando codificate in unprogramma detto PART PROGRAM, nel quale vengono fornite le indicazionigeometriche e tecnologiche necessarie a realizzare un pezzo.

Figura 3.20: Controllore numerico di una macchina utensile

Il dispositivo di controllo numerico riceve in ingresso il Part Program, emet-tendo in uscita segnali di controllo che determinano i movimenti degli assi dellamacchina utensile; si e visto infatti nella sezione introduttiva come robot emacchine utensili siano caratterizzati da piu gradi di liberta di movimento; al-cune macchine sono da questo punto di vista ridondanti, ossia dotate di gradidi liberta aggiuntivi che vengono attivati in particolari situazioni, in genere insostituzione di uno o piu gradi d liberta di tipo standard.

Vengono inoltre generati segnali ausiliari indirizzati a particolari dispositiviconnessi all’utensile: si pensi ad esempio all’apertura e chiusura di una valvolaper permettere l’erogazione di un getto d’acqua di raffreddamento; un simileevento e di tipo discreto e viene gestito dal controllo logico mediante PLC.

Componenti del controllo numerico CN√

Part Program;√

Interfaccia uomo-macchina;√

Controllo logico;√

Controllo asse (controllo Modulante).


Figura 3.21: Movimenti e riferimenti di una macchina utensile

ProgrammazionePer la programmazione del CN occorre scegliere per convezione degli assi di

riferimento (indicati in figura 3.21):

• Assi principali (X, Y, Z) sono quelli che interessano direttamente i movi-menti degli assi della macchina;

• Rotazioni principali (A,B,C) sono quelli che determinano gli orientamentidella macchina;

• Assi secondari (U, V,W ) sono gli assi di riferimento per dispositivi ausiliarima comunque necessari per la lavorazione del pezzo, per esempio il cambioautomatico dell’utensile della macchina durante la lavorazione;

Figura 3.22: Esempio di Part Program

3.4.2 Il Part Program

Istruzioni

ll Part Program e un file di testo in formato ASCII conforme allo standard ISO6983 (G-CODES); questo file consiste in una stringa di caratteri alfanumerici


suddivisi in unita base (linee di codice) ordinate progressivamente, ciascuna dellequali ha sempre un valore letterale iniziale seguito da un valore numerico.Esempio:

N010 G91 X25.00 Y10.00 Z-15.50 F150 S1100 T06 M06

- La lettera N indica il numero di linea.

- La lettera G indica una funzione di preparazione di posizioni e movimentidell’utensile, di cui si riportano i principali:

G00 Posizionamento rapido dell’utensile, massima velocita program-mata;G01 Interpolazione lineare vuol dire che l’utensile percorre una retta;G02 Interpolazione circolare dell’utensile in senso orario;G03 Interpolazione circolare dell’utensile in senso antiorario;G17 X-Y Piano principale;G18 Z-X Piano principale;G19 Y-Z Piano principale;G90 Sistema di riferimento assoluto;

- Le lettere X, Y, Z, indicano le coordinate posizionali degli assi di ri-ferimento principali; le quote degli spostamenti vengono espresse in mmoppure in pollici.

- La lettera F (feed) indica la velocita di avanzamento dell’utensile espressoin mm/min.

- La lettera S (speed) indica la velocita di rotazione del mandrino espressoin giri/min.

- La lettera T (tool) indica l’utensile selezionato.

- La lettera M indica le funzioni di controllo per i dispositivi ausiliari, dicui si riportano i principali:

M02 Programma finito;M03 Mandrino acceso senso orario;M04 Mandrino acceso senso antiorario;M05 Mandrino spento;M06 Fermata per cambio utensile;M08 Valvola liquido aperta;M09 Valvola liquido chiusa;M30 Programma fermo, avanzamento/rotazione off;

Si distingue anche tra

- Istruzioni modali : istruzioni che rimangono valide finche non vengonoridefinite, ad esempio: G90, G1, F1000, S500, X5, Z5, Y5.

- Istruzioni non-modali : sono le istruzioni che valgono solo per la riga dicomando che li contiene, ad esempio: T03, M06, M03.


Preparazione del Part Program

Soprattutto nel passato per la definizione del part program si faceva ricorso all’esecuzione in linea diretta della lavorazione, nella quale l’utensile viene guidatomanualmente, definendo per ogni passo la relativa riga di istruzione. Le tecno-logie CAD (Computer Aided Design) e CAM (Computer Aided Manufacturing)consentono oggi la generazione automatica del file: si realizza un modello CADda passare ad un dispositivo CAM il quale genera il percorso che l’utensile devecompiere. Vanno definiti parametri tecnologici quali tipo di pezzo, i materialiutilizzati o la velocita di rotazione. Il CAM genera un file CLDATA, scritto in unlinguaggio indipendente dal CNC. Questo file viene trasformato successivamentein Part Program.

Figura 3.23: Progetto del Part Program

Va osservato che in molte lavorazioni complesse e comunque necessaria unaretroazione umana per correggere difetti o apportare migliorie.

Esempio di programmazione del CN

Si vuole realizzare la contornatura del pezzo riportato in figura 3.24: in unsistema di riferimento assoluto le posizioni P1, P2, . . . , P5 indicano le posizioniintermedie che l’utensile percorre durante la lavorazione.

Posizione P0 N10 G90 G17 F300 S1000 T01 M06 M03

N10 = indica il primo blocco di comando;

G90 = indica che si lavora con il sistema di riferimento assoluto (X,Y,Z);

G17 = indica che tutta la lavorazione avviene solamente sul piano XY;

F300 = velocita di avanzamento 300mm/min;

S1000 = velocita di rotazione del mandrino di 1000 giri/min;

T01 = utensile del tipo 01;

M06 = indica che avviene un cambio utensile;


Figura 3.24: Pezzo da lavorare con macchina utensile

M03 = indica che il mandrino viene ruotato in senso orario;

Posizione P1 N20 G00 Y-10 N30 Z-10

N20 N30 = indicano la seconda e la terza riga di comando;

G00 = posizionamento rapido dell’utensile;

Y-10 Z-10 = coordinate dell’utensile che si sposta rispetto agli assi diriferimento;

Posizione P2 N40 G01 Y50

G01 = interpolazione lineare l’utensile segue una linea retta;

Posizione P3 N50 X17.5

Posizione P4 N60 G03 X37.5 I10 J0

I10 J0 = Centro del cerchio in coordinate relative al punto iniziale. Inquesto caso vuol dire che ci si sposta di 10 lungo l’asse x(I) e di 0 lungol’asse y(J).

Posizione P5 N70 G01 X50

Posizione di partenza N80 X0 Y-1.41 N90 M30

M30= Programma terminato, l’utensile e fermo.


Interfaccia uomo macchina

L’interfaccia uomo macchina e composta da un panello operatore e da una partesoftware che comprende:

• Configurazione CN;

• Ambiente di programmazione Part program;

• Monitoraggio e Diagnostica;

• CAD/CAM integrati.

Controllo del movimento

Il controllo del movimento viene eseguito partendo dal Part-program arrivandoall’azionamento, come si puo vedere dal diagramma di figura 3.25.

Figura 3.25: Diagramma di controllo del movimento di unamacchina utensile

Si analizzano le 5 fasi di controllo (di cui le prime tre sono rappresentate infigura 3.26):

Interpretazione

? Lettura/verifica di consistenza del Part-program;

? Preparazione strutturata dati interna (allocazione memoria, conversionepart-program nel formato dati intero);

? Impostazione delle operazioni modali e non modali nella struttura datiinterna.

Preparazione

? Applicazione trasformazioni sistemi di riferimento (passaggio dal sistemadi riferimento ZP al sistema di riferimento ZM)


Figura 3.26: Interpretazione, preparazione, interpolazione

? Applicazione compensazioni utensile (G47,G50,. . . );

? Preparazione del profilo di velocita su piu blocchi (LOOK ahead)

Interpolazione

? Interpolazione percorso utensile;

? Applicazione trasformazioni cinematiche;

? Controllo finecorsa del volume di lavoro in real-time;

? Ricevere ed inviare segnali al PLC;

? Trasferire e ricevere dati dal controllo di posizione.

Vi sono diversi tipi di interpolazione, rappresentati nelle figure seguenti.

Figura 3.27: Interpolazione lineare (G01)

Le interpolazioni riguardano spesso trasformazioni cinematiche. Si pren-dano in considerazione sistemi come quelli in figura 3.30: gli elementi sui qualie possibile esercitare un’azione diretta sono i motori; in un’ottica di controllo


Figura 3.28: Interpolazione circolare (G02/G03)

Figura 3.29: Interpolazioni complesse

Figura 3.30: Sistema con accoppiamento e disaccoppiato


e necessario un passaggio dal riferimento di posizione dell’utensile a quello deimotori (o piu in generale dei giunti).

Tale passaggio viene realizzato attraverso relazioni matematiche dette tra-sformazioni cinematiche.

P END−EFFECTOR ⇐⇒ P GIUNTI

Esempio

Per esempio θ varia in funzione del verso della rotazione del motore come infigura 3.31.

Figura 3.31: Angolo rispetto alla posizione dell’end-effector

x : Peex = lcos(θ)

y : Peey= lsin(θ)

derivando rispetto al tempo si passa alla velocita

x = −(lsin(θ)) · θ

y = lcos(θ) · θ

Si definisce la seguente trasformazione cinematica sulle velocita:

θ =[

xy

]= J(θ)θ

nella quale J(θ) e detto operatore jacobiano o matrice di trasformazione; lavelocita di riferimento per il motore rotazionale e dunque

θ = (J(θ))−1

[xy

]Il controllo numerico calcola il jacobiano o cinematica inversa per ottenere

il riferimento.Nelle figure 3.32 e 3.33 sono illustrati due esempi di macchine che effettuano

il processo appena illustrato.


Figura 3.32: Macchina a tre assi

Figura 3.33: Fresatrice a cinque assi

Figura 3.34: Azionamenti e controllo di posizione


Restano da analizzare le ultime due fasi del controllo del movimento (vedi3.25), illustrate in figura 3.34

Controllo di posizione

? Trasferire dati tra interpolatore ed azionamenti;

? Applicare algoritmi per il controllo della posizione;

? Interpolazione fine a livello asse;

? Monitorare l’errore d’inseguimento, velocita posizione.

Azionamenti

? Controllo di velocita;

? Controllo di corrente;

Per riassumere, a titolo di esempio, di seguito si illustrano gli schemi per ilcontrollo di un servomotore e di un asse.

Figura 3.35: Azionamenti e controllo di posizione

Capitolo 4

Il controllo del moto permacchine utensili

Il capitolo si occupa del controllo dei 3 assi di movimento di una macchinautensile (X, Y, Z) in funzione del tempo, in modo particolare si analizzera ilcontrollo di velocita e di posizione per ogni asse. Il controllo risolve diverseproblematiche, tra le quali:

† l’amplificazione o riduzione di segnali, svolta dai convertitori di po-tenza o amplificatori (che amplificano il segnale erogato dal controllorenumerico) e dai riduttori di velocita che convertono la velocita o coppiaerogata da un motore per adattarla alle esigenze di velocita dell’asse;

Figura 4.1: Modello di controllo del moto di una macchinautensile

† l’attuazione dell’azione di controllo, tramite i motori (trifase, a correntecontinua o brushless);

4.1 Motori elettrici 54

† la rilevazione del segnale (in particolare velocita o posizione), effettuatadai trasduttori.

4.1 Motori elettrici

I motori possono essere alimentati da corrente continua o trifase; essi hannoprincipi di funzionamento comuni derivanti dalle leggi dell’induzione magnetica.

Figura 4.2: Motore elettrico

4.1.1 Motore trifase

Il motore asincrono trifase e costituito da una parte esterna fissa detta STATO-RE e da una parte cilindrica interna ROTORE; rotore e statore sono costituiti damateriale magntico massiccio (di permeabilita infinita) e separati da un sottilestrato di aria (TRAFERRO).

Nello statore e nel rotore sono presenti un numero variabile di CAVE in cuisono alloggiati i conduttori (AVVOLGIMENTI).

La corrente che percorre gli avvolgimenti di statore, alimentati alla ten-sione di targa (tensione nominale), genera un campo magnetico ( H) legatoall’induzione elettromagnetica ( B) dalla legge:

B = µ H (4.1)

in cui:

• µ e il prodotto tra permeabilita del vuoto e del materiale ferromagnetico;


Figura 4.3: Motore trifase

• H = (Nl)I−1 e l’intensita del campo magnetico;

• N e il numero delle spire dell’avvolgimento statorico;

• l e la lunghezza delle spire statoriche;

• I e la corrente che circola nell’avvolgimento statorico.

Il campo magnetico prodotto dalla rete di alimentazione trifase e variabile:quindi genera una tensione indotta, legata alla corrente secondo la legge diLentz:

e = −Ldi(t)dt

(4.2)

in cui

• e e la forza elettromotrice (f.e.m.);

• i e la corrente che circola nel rotore;

• L e l’induttanza dell’avvolgimento rotorico;

La corrente circolante nelle spire del rotore genera una coppia di forze se-condo la legge di Lorentz:

F = qv × B = Il × B (4.3)

in cui

• I e la corrente che circola nel rotore;

• l e la lunghezza dell’avvolgimento rotorico;

• q e la carica che circola nell’avvolgimento rotorico.

Fisicamente, nella macchina asincrona, il rotore e trascinato dal camporotante generato dagli avvolgimenti di statore.

A regime la velocita del rotore e prossima a quella del campo rotante, manon saranno mai coincidenti.


Figura 4.4: Collegamento motore-macchina utensile

La velocita del rotore coincide invece con quella dell’albero a esso agganciato.Nel funzionamento da generatore, assai raro, il rotore e messo in rotazione daun meccanismo esterno, e induce correnti alternate trifase nello statore.

In riferimento all’illustrazione in figura 4.4 e necessario un bilancio tra lacoppia motrice dell’albero motore e la coppia resistiva dell’albero macchina cuie connesso (un trapano nell’ esempio in figura). Nella pratica, il carico di massaM genera una coppia resistente (Cr), in base alla quale si sceglie da catalogoun motore che eroghi un’adeguata potenza.

Questo motore viene usato principalmente a velocita costante o per picco-le variazioni velocita e quindi non va bene per l’azionamento degli assi dellamacchina utensile.

4.1.2 Motore a corrente continua

Eccetto il tipo di alimentazione, questo motore e caratterizzato dagli stessi prin-cipi di funzionamento di quello trifase; servono pero apparecchi in grado distabilizzare la tensione di alimentazione (tipicamente condensatori).

Come tutte le macchine elettriche, il motore a corrente continua e formatoda uno statore e da un rotore.

Sul primo e posta l’alimentazione: essa e data da avvolgimenti avvolti sul-le espansioni polari o dai magneti permanenti (la funzione svolta dai magne-ti permanenti e generare un campo costante, analogamente a quanto fattodall’avvolgimento di eccitazione in corrente continua).

Sul rotore sono realizzate le cave in cui sono collocati gli avvolgimenti.Si ha inoltre il collettore: costituito da piu lamelle di rame, opportunamente

isolate tra loro, e solidale con l’avvolgimento e su di esso strisciano in posizionefissa una o piu coppie di spazzole, che collegano l’avvolgimento con un circuitoesterno. Durante la rotazione del gruppo rotore/collettore, le spazzole raccolgo-no una f.e.m. dalle lamelle che provoca la circolazione di corrente nel circuitoesterno.

Svantaggi

• Nel momento del contatto tra spazzola e statore parte della corrente che


Figura 4.5: Funzionamento di un motore a corrente continua

Figura 4.6: Motore a corrente continua

4.2 Trasduttori elettrici 58

circola nel dispositivo viene persa sotto forma di scariche elettriche, dettescariche di commutazione;

• Soprattutto a prestazioni elevate, la coppia generata da motori di que-sto tipo e molto oscillante: la continua variazione di velocita del motoreproduce una sovrapposizione di frequenze diverse rispetto all’armonicaprincipale, dando luogo ad un fenomeno chiamato ripple di coppia.

4.1.3 Motore Brushless

Il rotore e costituito da un magnete permanete, lo statore da avvolgimenti.L’assenza del collettore e quindi delle spazzole (caratteristica che giustifica ilnome dato a questa macchina) evita la presenza di scariche di commutazione.

Figura 4.7: Motori Brushless (a sinistra) e Brushless Lineare(a destra)

Un ulteriore vantaggio e dato dal fatto che la parte soggetta a riscaldamento eposta sul rotore, il cui movimento favorisce la dissipazione del calore accumulato.Permane tuttavia il problema del ripple di coppia; inoltre la gestione elettronicadella commutazione provoca un aumento dei costi di realizzazione.

4.2 Trasduttori elettrici

I trasduttori sono dispositivi in grado di rilevare una grandezza fisica di naturaqualsiasi e di convertirla in un’altra grandezza, generalmente di tipo elettrico,che puo essere utilizzata dal sistema di controllo come mezzo per misurare lagrandezza di partenza.

A seconda del principio di funzionamento, i trasduttori vengono classificatinelle seguenti categorie:

- Trasduttori analogici: forniscono in uscita un segnale variabile concontinuita nel tempo (es. tensione elettrica);

- Trasduttori digitali: l’uscita e un segnale numerico, Questi trasduttoripossono essere collegati con un sistema a microprocessore, senza utilizzarecome interfaccia un convertitore analogico digitale.

Inoltre i trasduttori di posizione si possono inoltre essere distinti in:


- Trasduttori assoluti: consentono di determinare la posizione assolutache l’asse in movimento assume in ogni istante e in qualunque punto dellacorsa di utilizzo. Sono privi di memoria.

- Trasduttori incrementali: memorizzano la prima posizione rilevata (az-zeramento con impulso a zero) ogni volta che si avvia la macchina, poi, adogni rilevamento, sommano o sottraggono in modo incrementale lo steprilevato.

Quando si utilizza un trasduttore incrementale, l’entita assoluta dello spo-stamento viene ricavata mediante un circuito contatore, in grado di contare, inentrambe le direzioni, i passi elementari rilevati dal trasduttore. Il contatore deveessere azzerato in corrispondenza di una particolare posizione dell’elemento mo-bile, assunta come origine degli spostamenti e solitamente coincidente con unodegli estremi della corsa; per questo motivo e necessario effettuare la proceduradi azzeramento quando si mette in funzione la macchina utensile.

4.2.1 Trasduttori di posizione

Encoder assoluto

L’encoder assoluto e un trasduttore digitale rotativo costituito da un disco tra-sparente suddiviso in diversi settori, solidale con l’albero del trasduttore, sulquale e ricavata una serie di tratti opachi e trasparenti, giacenti su coronecircolari concentriche. La rilevazione elettronica si effettua parallelamente al-la superficie del disco; e costituita da una sorgente luminosa, che emette ragginormali al piano del disco captati da una unita ricevente composta da una seriedi fototransistor.

Figura 4.8: Encoder assoluto

L’intensita luminosa che incide sui fototransistor varia da un minimo adun massimo in corrispondenza dei tratti opachi e trasparenti rispettivamente.Di conseguenza un circuito elettronico traduce i segnali di intensita con unsegnale ad onde quadre, cioe tra 0 e Vmax , corrispondente a livelli logici 0 e1. Ad ogni settore corrisponde una codifica (n bit); comunemente e la binaria,che corrispondera ad una posizione angolare, all’aumentare di n aumenta larisoluzione del trasduttore (vedi figura 4.8).


Encoder incrementale

Il principio di funzionamento e lo stesso dell’encoder assoluto: anche qui il fo-totransistor genera un segnale elettrico di forma triangolare o sinosuidale; talesegnale viene successivamente trasformato in un’onda quadra mediante circui-to elettronico. Quando il disco viene posto in rotazione, si ricava un segnaleperiodico con periodo uguale al tempo impiegato dal disco per ruotare di unangolo pari al passo della scala. La maggior parte degli encoder incrementalie dotata di un canale supplementare che fornisce un impulso detto impulso azero, quest’ultimo viene generato quando la riga di riferimento dello zero passain corrispondenza del fototransistor ed e utilizzato per effettuare l’azzeramentodell’encoder. Infatti, questo tipo di encoder non e in grado di memorizzare leposizioni precedenti in modo assoluto e se viene tolta tensione a qualsiasi po-sizione dell’asse, si perde il riferimento e la misura diventa incosistente, risultapercio necessario azzerare l’encoder incrementale ad ogni riavvio.

Figura 4.9: Encoder incrementale

4.2.2 Trasduttori di velocita

Dinamo tachimetrica

E vista come il contrario di un motore in corrente continua, funge cioe da dageneratore di tensione sfruttando la legge di Lenz:

V = Kω (4.4)

la tensione e proporzionale alla coppia generata (o alla velocita angolare ωprodotta ) tramite una costante K . Risulta quindi semplice rilevare la velocitadel sistema.

E poco precisa a causa dei disturbi di cui sono tipicamente affetti i segnalianalogici.

Trasduttore derivativo

Tale trasduttore misura la velocita e applicando la derivata numerica della po-sizione in due istanti successivi (esempio k e k + 1, vedi figura 4.10). E infattinoto che:


ω =dθ

dte v =

Pk+1 − Pk

∆t(4.5)

Lo svantaggio principale di questo tipo di trasduttore di velocita e dato daltrade off tra precisione e prestazioni imposto dal tempo di campionamento.

Figura 4.10: Campionamento di un encoder derivativo

4.2.3 Riduttori di velocita

In molti casi non e possibile collegare direttamente il motore al carico a causadella differenza di velocita tra motore e carico. Per risolvere il problema, nellemacchine utensili viene spesso utilizzato un riduttore di velocita, destinato adadattare le esigenze del motore a quelle del carico tramite un bilancio meccanicodi velocita.

Figura 4.11: Riduttore di velocita

Nel riduttore di velocita si definisce il rapporto di trasmissione τ :

ω1 =⇒ RIDUTTORE =⇒ ω2

4.3 Modello matematico dei motori in corrente continua e brushless 62

τ =ω2

ω1= 0.01 ÷ 0.3 (4.6)

Trascurando le inerzie e l’attrito, si ha il seguente bilancio energetico:

C1ω1 = C2ω2

percio la coppia all’ingresso vale:

C1 = C2ω2

ω1= C2τ

dalla formula ricavata si deduce che, essendo nella maggior parte dei casiτ << 1, la coppia all’ingresso e bassa; e quindi possibile che il motore di progettoabbia una potenza inferiore a quella richiesta. Altro vantaggio del riduttore ela trasformazione del moto rotatorio a traslatorio (si pensi ad esempio alla vitea ricircolo di sfere). Uno svantaggio dall’uso dei riduttori e dato dal calo diprestazioni nel tempo per il degrado dovuto all’usura delle dentature.

4.3 Modello matematico dei motori in correntecontinua e brushless

Dopo aver preso in esame i componenti in grado di realizzare il controllo delmoto di una macchina utensile, si analizza ora il modello di comportamento delsistema in termini matematici.

Si analizza la fase del trasferimento di potenza dall’alimentazione del motoreall’erogazione della coppia o velocita dell’asse attraverso un bilancio elettricoed un bilancio meccanico.

4.3.1 Il bilancio elettrico

Il modello di un generico motore in corrente continua o brushless puo esseresintetizzato nella figura 4.12.

Figura 4.12: Motore a corrente continua o brushless

In base allo schema, si ricava il seguente bilancio elettrico:

4.3 Modello matematico dei motori in corrente continua e brushless 63

vm(t) = Rim(t) + Ldim(t)

dt+ e(t) (4.7)

in cui i primi due termini nella parte sinistra dell’equazione equivalgonoalla caduta di tensione su R e L, mentre e(t) e la f.e.m. indotta al rotore ed eproporzionale alla pulsazione dell’albero: e(t) = keω(t).

Applicando la trasformata di Laplace, si ottiene l’equazione

Vm(s) = RIm(s) + sLIm(s) + E(s)

esplicitando E(s), si ha che

Vm(s) = RIm(s) + sLIm(s) + keΩ(s) (4.8)

in cui L, R e ke sono parametri del motore.La tensione di alimentazione del motore e regolata dalla tensione erogata

dalla macchina a controllo numerico (vedi figura 4.1), tramite la costante ka:

vm(t) = kavCN

(t) (4.9)

4.3.2 Il bilancio meccanico

Figura 4.13: Bilancio meccanico di un motore

In base allo schema, si ricava il seguente bilancio meccanico:

Cm(t) = Cr(t) + Fc(t) + jω(t) (4.10)

in cui la coppia motrice Cm(t) deve compensare la coppia resistiva Cr(t),i contributi coulombiani (attriti . . . ) sintetizzati nella Fc(t) e il momento diinerzia del motore stesso jω(t).

Applicando la trasformata di Laplace si ottiene la seguente equazione:

Cm(s) = Cr(s) + Fc(s) + jsΩ(s) (4.11)

4.4 Comportamento statico di un motore a corrente continua 64

La coppia motrice e proporzionale alla corrente del motore secondo un coef-ficiente kt:

Cm(t) = ktim(t) (4.12)

Passando alla trasformata di Laplace, si ottiene, in conclusione, che

Cm(s) = Cr(s) + Fc(s) + jsΩ(s) = ktIm(s) (4.13)

4.4 Comportamento statico di un motore a cor-rente continua

L’analisi statica analizza il comportamento del motore a regime, dopo il tran-sitorio. Le grandezze da controllare sono la velocita ω(t) e la coppia motricecm(t).

E noto che Vm(s) = RIm(s) + sLIm(s) + keΩ(s)

Cm(s) = Cr(s) + Fc(s) + jsΩ(s) = ktIm(s)

Si ipotizzano Cr(s) e Fc(s) trascurabili, percio:

Cm(s) = jsΩ(s) (4.14)

A transitorio esaurito:

• Ω diventa costante: Ω = 0;

• la coppia motrice diventa costante: Cm = cost;

• la coppia resistiva eguagli quella motrice: Cr = Cm.

Quindi, la corrente del motore

Im(s) =Vm(s)R + Ls

− keΩR + Ls

(4.15)

diventa

Im(s) =Vm(s)

R− keΩ

R(4.16)

In genere il transitorio che porta Im(s) dalla 4.15 alla 4.16 e molto brevepoiche i valori di L sono in genere molto bassi (quindi la τ e molto piccola),percio tale transitorio, rispetto alla dinamica meccanica, e in genere trascurabile.

Moltiplicando la 4.16 per kt, si trova Cm:

ktIm(s) =ktVm(s)

R− ktkeΩ

R= Cm

dato che Vm(s) = kaVCN

(s), si ottiene che

Cm = ktIm(s) =kakt

RV

CN(s) − ktke

RΩ (4.17)

4.5 Comportamento dinamico di un motore a corrente continua 65

in cui si evidenziano i rapporti (costanti) a regime tra Cm, VCN

(s) e Ω.Dato che a regime Cm = Cr,

Cm = Cr =kakt

RV

CN(s) − ktke

RΩ

da cui:

Ω =R

kekt

(kakt

RV

CN(s) − Cr

)

semplificando si ottiene che

Ω =1ke

(kaVCN

(s) − RCr

kt

)(4.18)

In base alle relazioni 4.17 e 4.18, si nota che Ω aumenta al diminuire di Cm.E possibile scegliere le costanti di progetto adatte a seconda della curva Cm/Ω(vedi figura 4.14) scelta per il sistema; le curve piu in alto rispetto al versodella freccia danno una maggiore velocita al sistema, ma richiedono maggioriprestazioni.

Figura 4.14: Analisi dinamica di un sistema

4.5 Comportamento dinamico di un motore acorrente continua

Per quanto riguarda l’analisi della dinamica del sistema, si e interessati a trovarela funzione di trasferimento da V

CN(s) a Ω(s). Si accorpano, quindi, in un unico

modello, il comportamento elettrico e meccanico del sistema (vedi figura 4.15).

Figura 4.15: Amplificatore o convertitore di potenza

4.5 Comportamento dinamico di un motore a corrente continua 66

Questa funzione di trasferimento determina la conversione di potenza ne-cessaria per controllare il sistema; tale conversione e indispensabile in quanto imotori in corrente continua sono alimentati da una tensione dell’ordine di qual-che centinaia di volt (in genere 220V) e con correnti di qualche ampere. Il CN ein grado di fornire una tensione di qualche volt (1÷10V) ed una corrente dell’or-dine dei mA. Occorre quindi amplificare i valori in uscita dal CN, in modo dapoter alimentare correttamente il motore; si utilizza a tal fine un amplificatoreo convertitore di potenza (vedi figura 4.1).

Considerando che, in base alle precedenti semplificazioni, Cm = jsΩ(s) e iltranistorio elettrico trascurabile, si ottiene che

jsΩ(s) =kakt

RV

CN(s) − ktke

RΩ(s)

da cui si ricava che:

Ω(s)V

CN(s)

=kakt

Rktke

R + js=

kakt

R· R

ktke· 11 + jR

ktkes

semplificando si ottiene, infine

Ω(s)V

CN(s)

=ka

ke

1 + jRktke

s(4.19)

in cui:

µ =ka

ke

e

τm =jR

ktke

La constante di tempo τm del motore dipende dai parametri costruttivi delmotore:

- kt si determina attraverso l’uso di riduttori che cambiano le prestazionidella coppia;

- j e l’inerzia del motore;

- R e un parametro riassuntivo della parte elettrica;

- L in genere e molto piccolo (tale da annullare il transitorio elettrico intempi brevissimi).

Al progettista spetta dunque scegliere µ e τ in base alle dinamiche e aitransitori di cui necessita.

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