Le Proposizioni

Le proposizioni sono enunciati a cui può essere attribuito valore di verità (NB: sia vero che falso!), anche nel tempo.Il valore di verità deve poter essere attribuito in modo oggettivo. La matematica non ammette soggettività.

Le Tavole di Verità

p q ¬ p (non p) ¬q (non q) p∧q (p e q) p∨q (p o q) p⇒q (p implica q) p⟺q (p se e solo se q)V V F F V V V VV F F V F V F FF V V F F V V FF F V V F F V VNB: ∀ p , p∧ (¬ p )=F -> Assurdo o paradosso.NB: ∀ p , p∨ (¬ p )=V -> Terzo escluso (Terzum non datur).

L’importanza dell’implicazione logica

L’implicazione logica si può definire:- Se p allora q- p implica q

- Ipotesi p, tesi q- Antecedente p, conseguente q

p q ¬ p ¬q p⇒q ¬q⇒¬ p ¬ p∨q p∧¬q ( p∧¬q )⇒¬ pV V F F V V V F VV F F V F F F V FF V V F V V V F VF F V V V V V F V

DimostrazioneDiretta

DimostrazioneContronominale

Dimostrazioneper Assurdo

Esempi con dimostrazioni semplici

Introduciamo l’insieme di numeri pari e dispari:N p= {n:∃k∈N :n=2k }Nd={n :∃k∈N :n=2k+1 }N p∪N d=N

T1: se n è pari, allora n2 è pari.Possiamo procedere con la dimostrazione diretta:

n=2k→n2=4 k2→n2=2 (2k2)Cioè n2 è numero pari. q.e.d.

T2: se n2 è pari, allora n è pari.Questa volta procediamo con la dimostrazione contronominale, dimostrando che se n è dispari, allora n2 è dispari.

n=2k+1→n2=4 k2+4 k+1→n2=2 (2k2+2k )+1Cioè n2 è dispari. q.e.d.

I Predicati

Il predicato è un enunciato che contiene o dipende da una o più variabili. Un predicato può diventare una proposizione quando viene assegnato un quantificatore o un valore alla variabile. Es: p (n ) : n è pari

∀n , p (n )=F∃n , p (n )=VNB: ¬ (∀ x : p (x ) )=∃ x :¬ p(x)NB: ¬ (∃ x : p ( x ) )=∀ x :¬ p(x)

NB: I predicati possono contenere più variabili al loro interno. Ovviamente, per trasformarlo in una proposizione, devo dare valore ad entrambe le due variabili. Le loro negazioni vengono trattate in questo modo:

¬ (∀ x ,∃ y : p ( x , y ) )=∃ x ,∀ y :¬ p (x , y )¬ (∃ x , ∀ y : p ( x , y ) )=∀ x ,∃ y :¬ p (x , y )