2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)

7/25/2019 2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 2Titolo: Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 2 Caratteris tiche inerziali delle sezioni esempi

Nucleotematico

Lez. Contenuto

1 2 Caratteristiche inerziali delle sezioni esempi.

Sono riportate e commentate nel seguito le soluzioni degli esempiproposti nella lezione precedente.

Esempio 2.1

Relativamente alla sezione rettangolare di figura 2.1 si

determinino:i) il momento di inerzia rispetto allasse x;

ii) il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo allasse x epassante per il baricentro;

iii) il momento di inerzia rispetto ad un asse contenente unadiagonale.

Figura 2.1.

Sia b = 300 mm e h = 400 mm.

Si considera il riferimento (xOy) di figura 2.1. Il momento diinerzia della sezione rispetto allasse x

49

x

b

0

33b

0

b

0

h

0

3h

0

2

S

2

x

mm104.6I

3

bhdx

3

hdx

3

ydydxydSyI

=

==

=== (e.1.1)

Il baricentro della sezione il punto intersezione dei suoi assi disimmetria che sono anche gli assi centrali di inerzia della sezione. Siconsidera il riferimento (G) di figura 2.2. Il momento di inerzia della

sezione rispetto allasse parallelo a x e passante per G :

x

b

h

y

O
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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49

2

b

2

b

32

b

2

b

32

b

2

b

2

h

2

h

32

h

2

h

2

S

2

mm106.1I

12bhd

12hd

3dddSI

=

==

===

(e.1.2)

Figura 2.2.

Questo risultato avrebbe potuto pi facilmente trovarsi sfruttando ilteorema del trasporto di Huygens-Steiner. Gli assi x e sono infatti

paralleli e lasse passa per il baricentro; applicando il citato teoremasi ha

12

hb

4

hbh

3

hb

2

hAII

3232

x

=

=

= (e.1.3)

essendo A = bh larea della sezione e h/2 la distanza tra gli assi x e .

Il momento di inerzia rispetto alla diagonale OB (figura 2.3) pudeterminarsi sfruttando la (1.21). Per costruire la matrice di inerziarelativa al punto O si considera ancora il sistema di riferimento (xOy);il momento di inerzia Ix dato dalla (e.1.1); il momento di inerzia Iy

pu calcolarsi in modo analogo e vale49

3

y mm106.33

hbI == (e.1.4)

Il momento di deviazione si determina sfruttando il teorema deltrasporto del momento di deviazione, espresso dalla (1.63):

4922

OOOOxy mm104.34

hb

2

h

2

bbhAAII ====+= (e.1.5)

essendo nullo il momento di deviazione Irispetto alla coppia di assi

centrali di inerzia (,). La matrice di inerzia allora

x

b

h

y

O

G


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[ ] 49yxy

xyx mm106.36.3 6.34.6II

IIJ

=

= (e.1.6)

Figura 2.3.

Il versore della retta r contenente la diagonale OB ha componenti(figura 2.3)

6.0hb

bu22

x =+

= 8.0hb

hu22

y =+

= (e.1.7)

Infine il momento di inerzia rispetto alla retta r

[ ]

49

49r

mm10152.1

mm108.0

6.0

8.0

6.0

6.36.3

6.34.6uuJI

=

==

(e.1.8)

In alternativa avrebbe potuto sfruttarsi la (1.24)49

xy

2

y

2

xr

mm10152.1cossinI2sinIcosII =+= (e.1.9)

essendo

== 13.53b

htana (e.1.10)

Ancora, in alternativa avrebbe potuto scriversi la matrice di inerziarelativa al baricentro G:

[ ] 49 mm109.00

06.1

I0

0IJ

=

=

(e.1.11)

essendo il momento di inerzia Icalcolato, in analogia con la (e.1.3),come

x

b

h

y

O

G

|u|= 1

ux

uy

B

r


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Pagina 4/34



48

3

mm10912hbI == (e.1.12)

e valutare Ircome

[ ]

49

49r

mm10152.1

mm108.0

6.0

8.0

6.0

9.00

06.1uuJI

=

==

(e.1.13)

o come4922

r mm10152.1sinIcosII =+= (e.1.14)

Alcuni dei risultati appena trovati sono di notevole utilit nelcalcolo delle caratteristiche inerziali di sezioni pi complesse qualoraqueste possano essere considerate come ottenute dallunione direttangoli. In particolare, con riferimento alla figura 2.3 si riassumono iseguenti risultati:

- momenti di inerzia di un rettangolo di dimensioni b ed h rispettoagli assi contenenti i lati e momento di deviazione rispetto a dettacoppia di assi:

3

bhI

3

x= 3bh

I

3

y= 4hb

I

22

xy= (e.1.15)

essendo x lasse contenete il lato di lunghezza b ed y lassecontenente il lato di lunghezza h;

- momenti di inerzia di un rettangolo di dimensioni b ed h rispettoagli assi paralleli ai lati e passanti per il baricentro, cio rispettoagli assi centrali di inerzia:

12

bhI

3

= 12

bhI

3

= (e.1.16)

Esempio 2.2

Si determinino i momenti centrali di inerzia della sezione difigura 2.4 e si tracci lellisse centrale di inerzia. Sia a = 100 mm.

Si considera inizialmente il sistema di riferimento (xOy) di figura2.4. Rispetto a questo le coordinate del baricentro sono

mm86.192a14

27a3a8a2

5a15a7

1y

mm86.92a14

13a2a8a

2

3a15

a7

1x

22

2G

22

2G

==

=

==

=

(e.2.1)


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Figura 2.4.

Le coordinate (e.2.1) sono valutate considerando la sezione si area7a2come un rettangolo di lati 3a e 5a privato di un rettangolo di lati 2ae 4a (figura 2.4); il primo ha area 15a2 ed il baricentro nel punto dicoordinate (3a/3, 5/2a), il secondo ha area 8a2 ed il baricentro nelpunto di coordinate (2a, 3a).

I momenti di inerzia rispetto agli assi del sistema di riferimento(xOy) sono

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 422

33

y

422

33

x

a3

31a2a8

12

a2a4

3

a3a5I

a3

127a3a8

12

a4a2

3

a5a3I

=

+

=

=

+

=

(e.2.2)

cio49

xmm10433.6I = 49

x mm10433.6I = (e.2.3)

Nella prima delle (e.2.2) il primo addendo il momento di inerzia delrettangolo di lati 3a e 5a rispetto allasse x, valutato sfruttando la(e.1.15) mentre la quantit dentro parentesi quadra il momento diinerzia del rettangolo di lati 2a e 4a rispetto allasse x. Questultimo asua volta valutato sfruttando il teorema del trasposto di Huygens-Steiner, cio sommando il momento di inerzia di questo rettangolorispetto ad un asse parallelo ad x e passante per il suo baricentro ed ilmomento di trasporto. Analoghe considerazioni valgono per laseconda delle (e.2.2).Il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (x,y)

a a a

a

a

a

a

a

x

y

O


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( ) ( ) 484222

xy mm10250.8a433a2a3a8

4a5a3I === (e.2.4)

in cui il primo addendo il momento di deviazione del rettangolo di lati3a e 5a rispetto alla coppia di assi (x,y), valutato sfruttando la (e.1.15)ed il secondo il momento di deviazione del rettangolo di lati 2a e 4arispetto allasse x. Questultimo a sua volta valutato sfruttando ilteorema del trasposto del momento di deviazione, cio sommando ilmomento di deviazione del rettangolo di lati 2a e 4a rispetto ad assiparalleli a (x,y) passanti per il suo baricentro ed il prodotto della suaarea per il prodotto delle coordinate di O nel riferimento avente origine

nel baricentro del rettangolo e assi paralleli a x ed y; si osservi che nelpresente caso gli assi paralleli ad (x,y) passanti per il baricentro delrettangolo di lati 2a e 4a nullo in quanto questi assi sono gli assicentrali di inerzia di detto rettangolo.

Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) avente gli assiparalleli a x ed y e origine nel baricentro G della sezione (figura 2.5).

Figura 2.5.

I momenti di inerzia ed il momento di deviazione della sezione rispettoagli assi di questo riferimento si determinano con i teoremi deltrasporto e sono

424

GG

2

xyyx

4

2

242

G

2

yy

4

2

242

G

2

xx

a7

30a

14

13a

14

27a7a

4

33yxa7II

a84

361a

14

13a7a

3

31xa7II

a84

1369a

14

27a7a

3

127ya7II

gg

g

g

===

=

==

=

==

(e.2.5)

a a a

a

a

a

a

a

x

y

O

xg

yg

G

xG

yG


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cio

49y

49x

mm104298.0I

mm10630.1I

g

g

=

= 49yx mm104286.0I gg = (e.2.6)

La matrice di inerzia scritta nel riferimento (xgGyg)

[ ] 49 mm104298.04286.0

4284.0630.1J

= (e.2.7)

I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentrici siottengono con la (1.49)

( )494

2

yx

2

yxyxmm10767.1a671.17

2

I4IIIII gggggg ==

+++=

( )484

2

yx

2

yxyx

mm10924.2a924.22

I4IIIII

gggggg

==++

=

(e.2.8)

Le direzioni degli assi centrali di inerzia si determinano con le (1.54)ed (1.56):

=

=

77.17

I

IItana

gg

g

yx

x =

=

23.72

I

IItana

gg

g

yx

x (e.2.9)

e sono rappresentate in figura 2.6.

Figura 2.6.

Infine i semiassi dellellisse centrale di inerzia sono

a a a

a

a

a

a

a

x

y

O

xg

yg

G

xG

yG


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a589.1AI == a646.0AI ==

(e.2.10)

e lellisse centrale di inerzia rappresentata in figura 2.6.

Si osserva che per la determinazione degli assi centrali diinerzia possono adottarsi diverse strategie; ovvio che tra queste opportuno scegliere quella che comporta un minore onere di calcolo.Ad esempio nel presente caso i momenti di inerzia ed il momento dideviazione rispetto al sistema di riferimento (xgGyg) avrebbero potutodeterminarsi direttamente, cio senza la preventiva determinazione diIx, Iyed Ixy. Infatti, con riferimento alla figura 2.7 si ha:

( ) ( )

( ) ( )

422

211

2yx

422

23

21

23

y

422

23

21

23

x

a7

30yxa8yxa15I

a84

361xa8

12

a2a4xa15

12

a3a5I

a84

1369ya8

12

a4a2ya15

12

a5a3I

gg

g

g

==

=

+

+

=

=

+

+

=

(e.2.11)

Figura 2.7.

essendo (x1, y1) le coordinate del baricentro del rettangolo di lati 3a e5a e (x2, y2) le coordinate del baricentro del rettangolo di lati 2a e 4anel riferimento (xgGyg), cio

a7

4a

14

27a

2

5y

a

7

4a

14

13a

2

3x

1

1

==

==

a

14

15a

14

27a3y

a

14

15a

14

13a2x

2

2

==

==

(e.2.12)

a a a

a

a

a

a

a

x

y

O

xg

yg

G

xG

yG

G1

G2

x1 x2

y1

y2


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Nelle (e.2.11) i momenti di inerzia ed il momento di deviazione sono

evidentemente calcolati con i teoremi del trasporto come somma deimomenti di inerzia e dei momenti di deviazione dei due rettangolirispetto ad assi paralleli a xged ygpassanti per i rispettivi baricentri edei corrispondenti momenti di trasporto.

Osservazione: sezioni sottili

Si definiscono sezioni sottili le sezioni generate da unsegmento che si sposta nel piano mantenendosi ortogonale ad unalinea continua detta linea media, essendo la lunghezza del segmento,detta spessore, molto inferiore a quella della linea media. La figura

2.8a, in cui lo spessore delle sezioni indicato con , mostra alcuniesempi di sezioni sottili. Frequentemente le sezioni sottili sirappresentano disegnandone solo la linea media, come in figura 2.8b.

Figura 2.8.

Si consideri la sezione sottile di figura 2.9 avente forma rettangolare edimensioni h e . Applicando la (e.1.15) possono essere calcolati imomenti principali di inerzia baricentrici della sezione:

12

h

I

3

x

= 12

h

I

3

y

= (2.1)

Figura 2.9 immediato osservare che il momento di inerzia rispetto allassecentrale di inerzia y (parallelo alla dimensione h) piccolissimo

x

y

Gh

y

d

1

2

(a)

(b)


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rispetto al momento di inerzia rispetto allasse centrale di inerzia x

(parallelo alla dimensione ). Ad esempio se lo spessore fosse pariad 1/10 di h si avrebbe

120

h

12

h

10

hI

43

x == 12000

h

10

h

12

hI

43

y =

= (2.2)

e quindi Iy= Ix/100.Il momento di inerzia della sezione rispetto ad un asse y parallelo ady posto alla distanza d da questultimo (figura 2.9) si determinaimmediatamente con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner

2

y'y dhII += (2.3)

Se d ha lo stesso ordine di grandezza di h questo momento di inerziaha lo stesso ordine di grandezza di Ix. Ad esempio se d = h/2 si ha:

40h

40h

12000h

I444

'y += (2.4)

che tre volte pi grande di Ix. Questultima relazione rende ancheevidente come il momento di inerzia della sezione rispetto ad un assey ortogonale alla direzione dello spessore sia tecnicamentecoincidente con il solo contributo del momento di trasporto dellaformula di Huygens-Steiner, essendo trascurabile il momento diinerzia rispetto allasse y.Queste semplici osservazioni rendono tecnicamente lecito trascurare imomenti di inerzia dei rettangoli sottili rispetto agli assi ortogonali alloro spessore e quindi consentono di semplificare notevolmente ilcalcolo dei momenti di inerzia delle sezioni sottili formate da rettangoli.Pi in generale, il calcolo dei momenti di inerzia delle sezioni sottilipu essere condotto senza commettere grossi errori semplicementeconsiderando nullo lo spessore e considerando larea della sezionecome se fosse uniformemente distribuita sulla sua linea media.

Esempio 2.3

Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura2.10. Sia a = 100 mm e = a/20.

Figura 2.10.

a/2 a/2

a/4 a/4

a

A1

A2

A3

O

G1

G2

G3

x

y

1

2

3


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Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili indicati infigura 2.10, identificati come 1, 2 e 3. Siano A1, A2 ed A3 le aree diquesti rettangoli e G1, G2e G3i loro baricentri.

Il baricentro della sezione giace sul suo asse di simmetria; sisceglie quindi il sistema di riferimento di figura 2.10 avente lasse ysullasse di simmetria della sezione. Il baricentro della sezione haascissa nulla e ordinata

( ) mm40a5

2yAyAyA

A

1y 3G32G21G1G ==++= (e.3.1)

essendo A larea della sezione2mm1250a

2

5A == (e.3.2)

ed A1A2ed A3le aree dei rettangoli sottili ed essendo yG1, yG2ed yG3le ordinate dei relativi baricentri (figura 2.10):

0y

aA

1G

1

==

2ay

aA

2G

2

==

ay

2aA

2G

3

==

(e.3.3)

Si osserva che considerando la sezione formata dai tre rettangolisottili di figura 2.10 le intersezioni tra i rettangoli vengono consideratedue volte nella successive valutazioni (figura 2.10); questo produceevidentemente una approssimazione che tanto pi accettabilequanto pi lo spessore sottile.

La posizione degli assi centrali di inerzia della sezione nota:lasse y un asse centrale di inerzia in quanto asse di simmetria;laltro asse centrale di inerzia passa per il baricentro della sezione ed ortogonale a y. Si assume quindi il sistema di riferimento (G)avente origine nel baricentro G ed assi coincidenti con gli assi centralidi inerzia (figura 2.11).

Figura 2.11.

A1

A2

A3

O

G1

G2

G3

x

y

2a/5G

a/10

3a/5

a/2 a/2

a/4 a/4

a


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I momenti principali di inerzia baricentrici sono

33

2

3

2

2

32

1

2

a

1212

aI

a52

aAa52

2a

A12a

a52

AI

+

=

+

+

+

=

(e.3.4)

cio

462

462

mm10469.0a

32

3I

mm10167.2a30

13I

==

==

(e.3.5)

Si osservi che nella prima delle (e.3.4) sono stati trascurati i momentidi inerzia dei rettangoli 1 e 3 rispetto agli assi paralleli a e passantiper G1 e G3, mentre nella seconda delle (e.3.4) stato trascurato ilmomento di inerzia del rettangolo 2 rispetto allasse . Ovviamentenella prima delle (e.3.4) il momento di inerzia del rettangolo di area A 2 calcolato con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner comesomma del momento di inerzia di questo rettangolo rispetto ad unasse parallelo a e passante per G2 e del relativo momento ditrasporto.

I semiassi dellellisse centrale di inerzia sono:

mm4.1920

1

2

a

A

I

mm6.4175

13a

A

I

===

===

(e.3.6)

e lellisse tracciata in figura 2.12.

Figura 2.12.

G

a/2 a/2

a/4 a/4

a


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LEZIONE 2 Sessione di studio 1

Caratteris tiche inerziali delle sezioni - esempi

Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia di risolverli inmodo autonomo e di utilizzare la soluzione riportata come controllodel procedimento utilizzato e dei risultati ottenuti.

Esempio 2.4

Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione di figura 2.13.Sia a = 50 mm.

Figura 2.13.

Si considera la sezione formata da un rettangolo di lati 8a e 4a privatodi un triangolo rettangolo di cateti 6a e 2a. Larea della sezione

232 mm1065a262

a2a6a4a8A ==

= (e.4.1)

Nel riferimento (xOy) di figura 2.13, dette (xr,yr) le coordinate delbaricentro del rettangolo e (xt,yt) le coordinate del baricentro deltriangolo, le coordinate del baricentro della sezione sono

( )

( )t2

r

2

G

t

2

r

2

G

ya6ya32A

1y

xa6xa32

A

1x

=

=

(e.4.2)

essendo 32a2larea del rettangolo e 6a

2larea del triangolo.

Le coordinate del baricentro del rettangolo sono evidentemente quelledel punto di intersezione dei suoi assi, quindi

a4xr= a2yr= (e.4.3)

Le coordinate del baricentro del triangolo possono essere determinatesecondo lo schema di figura 2.14 applicando la definizione (1.1):

( )

=b

0

uv

0

G dvduuu ( )

=b

0

uv

0

G dvduvv (e.4.4)

O

y

x

a

2a

a

a6a

a


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essendo v(u) la funzione che descrive la retta contenente lipotenusa

del triangolo, cio

( ) ub

hhuv = (e.4.5)

Figura 2.14.

Sviluppando i calcoli si ottiene

3

b

6

hb

hb

2duu

b

hhu

hb

2dudvu

hb

2u

2b

0

b

0

ub

hh

0

G ==

==

3

h

3

bh

hb

1duu

b

hh

2

1

hb

2dudvv

hb

2v 2

b

0

2b

0

ub

hh

0

G ==

==

(e.4.6)

Nel riferimento di figura 2.13 le coordinate del baricentro del triangolosono quindi

a33

a6auax Gt =+=+= a

3

5a

3

2avay Gt =+=+= (e.4.7)

Quindi le coordinate del baricentro della sezione sono

( )

mm8.103a13

27

a3

5

a6a2a32a26

1

y

mm5.211a13

55a3a6a4a32

a26

1x

t

22

2G

22

2G

==

=

=== (e.4.8)

Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro della sezione ed assi paralleli ad x e y (figura 2.15).Rispetto a tali assi i momenti di inerzia della sezione sono

txrxx gggIII = tyryy ggg III = (e.4.9)

in cui Ixgred Iygrsono i momenti di inerzia del rettangolo rispetto agli

assi xged yge Ixgted Iygtsono i momenti di inerzia del triangolo rispetto

agli stessi assi.

Relativamente al rettangolo si utilizza il teorema del trasporto ditrasporto di Huygens-Steiner:

v

u

h

b

Gt

uG

vGug

vg


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( ) 42

2

3

rx a507

21728a2a1327a32

12a4a8I

g = +=

( ) 42

2

3

ry a507

87392a4a

13

55a32

12

a8a4I

g=

+

=

(e.4.10)

Figura 2.15

Relativamente al triangolo conviene valutare preliminarmente ilmomento di inerzia rispetto agli assi contenenti i cateti; ancora conriferimento alla figura 2.14, il momento di inerzia rispetto allasse v

12

bhduu

b

hhududvuI

3b

0

2

b

0

ubhh

0

2

v =

==

(e.4.11)

Analogamente il momento di inerzia del triangolo rispetto allasse u

12

hbdudvvI

3b

0

ub

hh

0

2

u ==

(e.4.12)

Con il teorema del trasporto di Huygens-Steiner si valutano quindi imomenti di inerzia del triangolo rispetto agli assi u

g e v

g paralleli ai

cateti (ed anche paralleli a xged yg) e passanti per Gt(figura 2.14):

36

hb

3

h

2

hb

12

hbI

323

ug=

=

36

bh

3

b

2

hb

12

bhI

323

v g=

= (e.4.13)

Tornando alla figura 2.15 i momenti di inerzia del triangolo rispetto agliassi baricentrici xged ygbaricentrici sono

( )

( ) 42

2

3

ty

4

2

2

3

tx

a169

3564a3a

13

55a6

36

a6a2I

a169

396a

3

5a

13

27a6

36

a2a6I

g

g

=

+

=

=

+

=

(e.4.14)

I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi xged ygsi valutanoquindi con la (e.4.9) e sono

O

y

x

a

2a

a

a6a

a

yg

xgG

GrGt

xG

yG


16/34


Pagina 16/34



48444

x mm10532.2a39

1580

a169

396

a507

21728

I g ===

48444

y mm10455.9a39

5900a

169

3564a

507

87392I

g===

(e.4.15)

Il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xg,yg)

tyxryxyx ggggggIII = (e.4.16)

in cui Ixgygred Ixgygtsono i momenti di deviazione del rettangolo e del

triangolo rispetto alla coppia di assi (xg,yg).Relativamente al rettangolo si utilizza il teorema del trasporto delmomento di deviazione:

46

42

ryx

mm10550.3

a169

96a4a

13

55a2a

13

27a32I

gg

=

==

=

(e.4.17)

Relativamente al triangolo conviene valutare preliminarmente ilmomento di deviazione rispetto ai cateti; ancora con riferimento allafigura 2.14, il momento di deviazione rispetto alla coppia di assi (u,v)

24

hbduu

b

hhu

2

1

dudvvududvuvI

22b

0

2

b

0

ub

hh

0

b

0

ub

hh

0

uv

=

=

=

==

(e.4.18)

Con il teorema del trasporto del momento di deviazione si valutaquindi il momento di deviazione del triangolo rispetto alla coppia diassi (ug,vg) paralleli ai cateti (ed anche paralleli a xged yg) e passantiper Gt(figura 2.14):

72

hb

3

b

3

h

2

hb

24

hbI

2222

vu gg== (e.4.19)

Tornando alla figura 2.15 il momento deviazione del triangolo rispettoalla coppia di assi xged ygbaricentrici per la sezione quindi

( ) ( )

464

2

22

tyx

mm10435.6a169

174

a3a13

55a

3

5a

13

27a6

72

a2a6I

gg

==

=

+=

(e.4.20)

Il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia di assi(xg,yg) si valuta quindi con la (e.4.16) ed

46444

yx mm10885.2a13

6a

169

174a

169

96I

gg=== (e.4.21)

La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento(xgGyg)


17/34


Pagina 17/34



[ ] 4

4

a282.151462.0462.0513.40

39

a590018181580

J

=

= (e.4.22)

cio

[ ] 46 mm105.945885.2

885.22.253J

= (e.4.23)


( )484

2

yx

2

yxyx

mm10455.9a284.1512

I4IIIII

gggggg

==+++

=

( )484

2

yx

2

yxyx

mm10532.2a511.402

I4IIIII

gggggg

==++

=

(e.4.24)


=

=

76.89I

IItana

gg

g

yx

x =

=

239.0

I

IItana

gg

g

yx

x (e.4.25)


mm61.120a412.2A

I===

mm41.62a248.1A

I===

(e.4.26)

Si osserva che gli assi centrali di inerzia sono quasi coincidenti con gliassi xged yg; coerentemente i momenti principali di inerzia baricentricisono quasi uguali ai momenti di inerzia rispetto agli assi xged yg. Gliassi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati in figura

2.16.

Figura 2.16.

O

y

x

a

2a

a

a6a

a

yg

xgG


18/34


Pagina 18/34



Con riferimento alla figura 2.17, conviene nel seguito riassumere

alcune propriet inerziali del triangolo rettangolo ottenute nel corsodello svolgimento del presente esempio, ed in particolare:

Figura 2.17.

- coordinate del baricentro:

3

bxG=

3

hyG= (e.4.27)

- momenti di inerzia rispetto agli assi contenenti i cateti e momentodi deviazione rispetto a detta coppia di assi:

12

bhI

3

x= 12

bhI

3

y= 24

hbI

22

xy= (e.4.28)

essendo x lasse contenete il cateto di lunghezza b ed y lasse

contenente il cateto di lunghezza h;

- momenti di inerzia rispetto agli assi paralleli ai cateti e passanti peril baricentro e momento di deviazione rispetto a tale coppia di assi:

36

bhI

3

xg=

36

bhI

3

yg=

72

hbI

22

yx gg= (e.4.29)

Esempio 2.5

Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura

2.18. Sia a = 100 mm e = a/10.

Figura 2.18.

x

y

O

a

a

a a a

1

2

3

4

y

x

h

b

G

xG

yGxg

yg


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Pagina 19/34



Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili indicati in

figura 2.18, identificati come 1, 2, 3 e 4. Siano A1, A2, A3ed A4le areedi questi rettangoli e G1, G2, G3e G4, i loro baricentri (figura 2.19).

Figura 2.19.

Nel riferimento di figura 2.19 le coordinate del baricentro della sezionesono

++=

++

=

a5aa2aa23a

Ay

a2

5aa

2

35a

2

aa

Ax

G

G

(e.5.1)

cio

mm55.109a53

527

2

1y

mm35.121a53

52

2

3x

G

G

=+

+=

=+

+=

(e.5.2)

essendo

22 mm5236a524.0a53A ==+= (e.5.3)

larea della sezione.Si assume quindi il sistema di riferimento (xgGyg) di figura 2.20, aventeorigine nel baricentro della sezione ed assi paralleli a quelli delriferimento (xOy). I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assixged ygsono

4x3x2x1xx gggggIIIII +++= 4y3y2y1yy ggggg IIIII +++= (e.5.4)

essendo Ixg1, Ixg1, Ixg3, Ixg4ed Iyg1, Iyg1, Iyg3, Iyg4i momenti di inerzia dei

rettangoli 1, 2, 3 e 4 rispetto agli assi xged yg, rispettivamente.

x

y

O

a

a

a a a

G1

G2

G3

G4

A1

A2

A3

A4


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Pagina 20/34



Figura 2.20.

Relativamente ai rettangoli 1, 2 e 4 questi momenti di inerzia sitrovano applicando il teorema del trasporto di Huygens-Steiner. Si ha:

( )4642

G4x

4642

G2x

464

2

G

3

1x

mm10001.12a120.0yaI

mm10181.8a082.0ya2aI

mm10470.2a025.0ya2

3a

12

aI

g

g

g

===

===

==

+

=

(e.5.5)

464

2

G

3

4y

464

2

G

3

2y

4642G1y

mm10383.17a174.0xa2

5a

12

aI

mm10925.5a059.02

axa

12

aI

mm10726.14a147.0xaI

g

g

g

==

+

=

==

+

=

===

(e.5.6)

avendo trascurato i momenti di inerzia dei rettangoli sottili rispetto ailoro assi baricentrici paralleli al lato pi lungo.

La determinazione dei momenti di inerzia Ixg3 ed Iyg3 del

rettangolo 3 rispetto agli assi xg ed yg richiede la preventivadeterminazione dei momenti di inerzia Ir ed Is di detto rettangolorispetto agli assi r ed s paralleli ad xg ed yg e passanti per G3. Perquesto scopo pu applicarsi la (1.21) relativamente allo schema difigura 2.21. Si ha

[ ] rr3r uuJI = [ ] ss3s uuJI = (e.5.7)

in cui r ed s sono le rette per G3parallele ad xg, ed ygrispettivamente,

[ ]3J la matrice di inerzia del rettangolo 3 relativa al suo baricentroscritta nel riferimento (x3G3y3) avente per assi gli assi centrali di

inerzia del rettangolo 3 ed ru ed su i versori degli assi r ed s rispettoal riferimento (x3G3y3).

x

y

O

a

a

a a a

G1

G2

G3

G4

A1

A2A3

A4

G xg

xG

yG

yg


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Pagina 21/34



Figura 2.21.

La matrice di inerzia

[ ] ( )

4

3

3y

3x3 a00

0093.0

00

012

5a

I0

0IJ

=

=

= (e.5.8)

cio

[ ] 463 mm10000317.9

J

= (e.5.9)

essendo Ix3

ed Iy3

i momenti di inerzia del rettangolo 3 rispetto agli assix3ed y3. Al solito si trascura il momento di inerzia del rettangolo sottilerispetto allasse y3, parallelo al suo lato pi lungo. I versori degli assi red s sono

=

=

447.0894.0

sincos

ur

=

=

894.0447.0

cossin

us (e.5.10)

essendo (figura 2.21)

=== 56.262

1tana

a2

atana (e.5.11)

Quindi

[ ][ ] 46423xss3s

4642

3xrr3r

mm10863.1a019.0sinIuuJI

mm10454.7a075.0cosIuuJI

========

(e.5.12)

I momenti di inerzia del rettangolo 3 rispetto agli assi xg ed yg sonoquindi (figura 2.20)

( )

464

2

Gs3y

4642

Gr3x

mm10698.3a037.0xa2

35aII

mm10657.7a077.0ay5aII

g

g

==

+=

==+=

(e.5.13)

Applicando la (e.5.4) si trovano i momenti di inerzia della sezionerispetto agli assi xged yg

a

a

a

G3

A3

r

x3

y3

s

|ur|= 1

cossin

sin

cos

|

us

|

=

1


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Pagina 22/34



474

4y3y2y1yy

474

4x3x2x1xx

mm10173.4a417.0IIIIImm10031.3a303.0IIIII

ggggg

ggggg

==+++= ==+++= (e.5.14)

Il momento di deviazione della sezione rispetto alla coppia diassi (xg,yg)

4yx3yx2yx1yxyx ggggggggggIIIII +++= (e.5.15)

essendo Ixgyg1, Ixgyg2, Ixgyg3 ed Ixgyg4 i momenti di deviazione dei

rettangoli 1, 2, 3 e 4 rispetto alla coppia di assi (xg,yg).Relativamente ai rettangoli 1, 2 e 4 questi momenti di deviazione sideterminano applicando il teorema del trasporto del momento dideviazione. Si ha (figura 2.20):

( )

4

GG4yx

4

GG2yx

4

GG1yx

a141.0yxa2

5aI

a065.0ya22

axaI

a049.0ya2

3xaI

gg

gg

gg

=

=

=

=

=

=

(e.5.16)

cio

46

2yx

461yx

mm10454.6I

mm10909.4I

gg

gg

==

46

4yx mm10093.14I gg = (e.5.17)

essendo nulli i momenti di deviazione dei rettangoli rispetto agli assiparalleli ad xg ed yg e passanti per i rispettivi baricentri in quantoquesti assi sono centrali di inerzia dei rettangoli.La determinazione del momento di deviazione di Ixg3del rettangolo 3

rispetto alla coppia di assi (xg,yg) richiede la preventivadeterminazione del momento di deviazione Irs di detto rettangolorispetto alla coppia di assi (r,s) paralleli ad xged yge passanti per G3.

Per questo scopo pu applicarsi la (1.20) relativamente allo schema difigura 2.21

( ) ( ) ( )+= 2sinII2

12cosII 3y3xyxrs 33 (e.5.18)

Si ha quindi

( ) 4643xrs mm10727.3a037.02sinI2

1I === (e.5.19)

essendo nullo il momento di deviazione33yx

I del rettangolo 3 rispetto

alla coppia di assi (x3,y3) in quanto questi sono gli assi centrali diinerzia di detto rettangolo. Al solito si trascura il momento di inerziadel rettangolo sottile rispetto allasse y3, parallelo al suo lato pi lungo.


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Pagina 23/34



Il momento di deviazione del rettangolo 3 rispetto agli assi xged yg

quindi (figura 2.20)

( )

464

GGrs3yx

mm10338.4a043.0

aya2

3x5aII

gg

==

=

+= (e.5.20)

Applicando la(e.5.15) si trova il momento di deviazione della sezionerispetto agli assi xged yg

474

4yx3yx2yx1yxyx

mm10979.2a298.0

IIIIIgggggggggg

==

=+++= (e.5.21)

La matrice di inerzia relativa al baricentro

[ ]

47

4

yyx

yxx

mm10173.4979.2979.2031.3

a417.0298.0298.0303.0

II

IIJ

ggg

ggg

=

=

=

=

(e.5.22)

I suoi autovalori, cio i momenti principali di inerzia baricentricisi ottengono con la (1.49)

( )474

2

yx

2

yxyx mm10636.6a664.02

I4IIIII gggggg ==

+++=

( )474

2

yx

2

yxyx

mm10568.0a057.02

I4IIIII

gggggg ==++

=

(e.5.23)


=

=

43.50I

IItana

gg

g

yx

x =

=

57.39I

IItana

gg

g

yx

x (e.5.24)


mm58.112a126.1A

I===

mm95.32a329.0A

I===

(e.5.25)

Gli assi e lellisse centrali di inerzia sono rappresentati in figura 2.22.


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Pagina 24/34



Figura 2.22.

x

y

O

a

a

a a a

G

xg

yg


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Pagina 25/34




Caratteris tiche inerziali delle sezioni esempi

Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia di risolverli inmodo autonomo e di utilizzare la soluzione riportata come controllodel procedimento utilizzato e dei risultati ottenuti.

Esempio 2.6


Figura 2.23.

Si considera la sezione formata da un rettangolo di lati a e 2a eda un semicerchio di raggio a.

Conviene innanzitutto determinare le caratteristiche inerziali delsemicerchio. Nel sistema di riferimento (uOv) di figura 2.24a lascissadel baricentro del semicerchio nulla per simmetria mentre la suaordinata

( )

R3

4ddsin

R

2

ddsinR

2dSPv

A

1v

0

R

0

2

2

0

R

0

2

Sc

G

=

=

=

==

(e.6.1)

essendo Aclarea del semicerchio ed avendo espresso lordinata v(P)del generico punto P del semicerchio in coordinate polari.

Figura 2.24.

u

v

O

R R

R sin

cos

P

u

v vg

O

GC

vG

ug

(a) (b)

a

2a

a a


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Pagina 26/34



Gli assi centrali di inerzia del semicerchio sono quindi lasse v vginquanto asse di simmetria e lasse uGparallelo a u e passante per ilbaricentro GC(figura 2.24b). Il momento di inerzia rispetto allasse u

( ) ( )8

RddsinddsindSPvI

4

0

R

0

23

0

R

0

2

S

2

u

====

(e.6.2)

Il momento di inerzia rispetto allasse v vg evidentemente uguale almomento di inerzia rispetto allasse u.

Tornando alla sezione, si considera il sistema di riferimento(xOy) di figura 2.25.

Figura 2.25.

Larea della sezione

2322

mm10086.20a57.32

aaa2A ==+= (e.6.3)

Nel riferimento assunto le coordinate del baricentro sono

mm00.28a373.0a3

4

2

aaa2

A

1y

mm00.21a280.0

2

aa2

A

1x

22

G

2

G

==

+=

==

=

(e.6.4)

I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed ilmomento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xy) sono

( )

( ) 47422xy

47443

y

47443

x

mm10164.3a4

a2aI

mm10352.3a059.18

a

3

aa2I

mm10680.9a059.38

a

3

a2aI

===

==

+

=

==

+

=

(e.6.5)

x

y

O

a

2a

a a


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Pagina 27/34



Nelle prime due(e.6.5) sono state applicate le (e.1.15); relativamente

alla ultima si rammenti che lasse y un asse principale di inerzia peril semicerchio.Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro ed assi paralleli ad x e y (figura 2.26).

Figura 2.26.

Rispetto a tali assi i momenti di inerzia ed il momento di deviazionedella sezione sono

474

GGxyyx

4742Gyy

4742

Gxx

mm10983.1a627.0yxII

mm10466.2a779.0xAII

mm10105.8a561.2yAII

gg

g

g

======

===

(e.6.6)

La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento(xgGyg)

[ ] 474 mm10466.2983.1983.1105.8

a779.0627.0627.0561.2

J

=

= (e.6.7)


( )474

2

yx

2

yxyx

mm10732.8a76.22

I4IIIII

gggggg

==+++

=

( )474

2

yx

2

yxyx

mm10839.1a851.02

I4IIIII

gggggg

==++

=

(e.6.8)


=

=

56.17I

II

tanagg

g

yx

x

=

=

44.72I

II

tanagg

g

yx

x

(e.6.9)

x

y

O

a

2a

a a

xg

G

xG

yG

yg


28/34


Pagina 28/34




mm94.65a879.0A

I===

mm26.30a403.0A

I===

(e.6.10)

Gli assi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati infigura 2.27.

Figura 2.27.

Esempio 2.7


2.28. Sia a = 100 mm e = a/10.

Figura 2.28.

Si considera la sezione formata dai rettangoli sottili di figura2.28, identificati come 1 e 2 e dalla semicorona circolare di raggiomedio a. Siano A1 ed A2 le aree dei rettangoli e sia A3 larea dellasemicorona circolare. Sino inoltre G1, G2e G3i baricentri di dette aree(figura 2.29).

Conviene innanzitutto determinare le caratteristiche inerzialidella semicorona circolare.

a

2a

a a

1

2

a

2a

a a

xgG

yg


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Pagina 29/34



Figura 2.29.

Nel sistema di riferimento (uOv) di figura 2.30, avente originenel centro della linea media della semicorona circolare, lascissa delsuo baricentro nulla per simmetria; lordinata

( )

=

=

==

R2dsin

RdRsinR

R

1dSPv

A

1v

00Sc

G (e.7.1)

essendo Ac larea della semicorona circolare ed avendo espressolordinata v(P) del generico punto P della semicorona circolare incoordinate polari (figura 2.30).Si osserva che lordinata vGavrebbe anche potuto essere determinata

considerando la semicorona circolare come ottenuta da unsemicerchio di raggio R + /2 privato di un semicerchio concentrico diraggio R /2, essendo lo spessore; in questo caso utilizzando la(e.6.1) per entrambi i semicerchi si ottiene:

( ) ( )

( ) ( )22

33

22

c

G

R2R2

R2R2

3

2

2R

3

4

2

2R

2R

3

4

2

2R

A

1v

+

+

=

=

+

+=

(e.7.2)

essendo Ac larea della semicorona circolare, ottenuta comedifferenza tra le aree dei semicerchi.

Figura 2.30.

u

v

O

R R

R RRsin

Rcos

P

u

v vg

O

GC

vG

ug

(a) (b)

a

2a

a a

1

2

G1

G2

G3


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Pagina 30/34



Si osserva che la(e.7.1) e la(e.7.2) non forniscono lo stesso risultato.In particolare la (e.7.2) dipende da mentre la (e.7.1) ne indipendente. Questo dovuto al fatto che nella (e.7.1) implicitalapprossimazione di sezione sottile, cio si considera larea dellasemicorona circolare concentrata lungo la sua linea media mentre la(e.7.2) considera leffettiva distribuzione nel piano dellarea dellasemicorona circolare. La (e.7.1) fornisce unapprossimazione tanto

migliore quanto pi lo spessore piccolo rispetto al raggio R. Inoltre immediato verificare che se diventa piccolissimo la (e.7.1) e la(e.7.2) forniscono lo stesso risultato, cio

( ) ( )( ) ( )

=++

R2

R2R2

R2R232lim

22

33

0 (e.7.3)

Gli assi centrali di inerzia della semicorona circolare sono quindi lasse

v vgin quanto asse di simmetria e lasse uGparallelo a u passanteper il baricentro GC (figura 2.30b). Continuando a considerare validalapprossimazione di sezione sottile, il momento di inerzia dellasemicorona circolare rispetto allasse u

( ) ( )2

RdsinRdRsinRdSPvI

3

0

23

0

2

S

2

u

====

(e.7.4)

Il momento di inerzia rispetto allasse v vg evidentemente uguale almomento di inerzia rispetto allasse u.

Tornando alla sezione, si considera il sistema di riferimento(xOy) di figura 2.31.

Figura 2.31.

Larea della sezione

( ) 22 mm6142a614.0a3A ==+= (e.7.5)

Nel riferimento assunto le coordinate del baricentro sono

a

2a

a a

1

2

G1

G2

G3

x

y

O


31/34


Pagina 31/34



a326.0a2

aaa2a2aA

1y

a407.0aa22

aaA

1x

G

G

=

+=

= = (e.7.6)

cio

mm71.40xG = mm56.32yG = (e.7.7)

I momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi x ed y ed ilmomento di deviazione rispetto alla coppia di assi (xy) sono

( ) ( )

4

xy

43

23

y

4

33

2x

a3.0aaa2a22

aaI

a390.02

aaa2

3

aI

a824.02a

3a2a2aI

=+=

=

++

=

=++=

(e.7.8)

cio

47

y

47

x

mm10904.3I

mm10237.8I

==

47xy mm10000.3I = (e.7.9)

Si assume ora il sistema di riferimento (xgGyg) con origine nelbaricentro ed assi paralleli ad x e y (figura 2.32).

Figura 2.32.

Rispetto a tali assi i momenti di inerzia ed il momento di deviazionedella sezione sono

474

GGxyyx

4742

Gyy

4742

Gxx

mm10186.2a219.0yxIImm10886.2a289.0xAII

mm10586.7a759.0yAII

gg

g

g

======

===

(e.7.10)

a

2a

a a

1

2

G1

G2

G3

x

y

G

xg

yg

xG

yG


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La matrice di inerzia relativa al baricentro, scritta nel riferimento

(xgGyg)

[ ] 474 mm10886.2186.2186.2586.7

a289.0219.0219.0759.0

J

=

= (e.7.11)


( )474

2

yx

2

yxyx

mm10446.8a845.02

I4IIIII

gggggg ==+++

=

( ) 4742

yx

2

yxyx

mm10027.2a203.02

I4IIIII gggggg ==++=

(e.7.12)


=

=

46.21I

IItana

gg

g

yx

x =

=

54.68

I

IItana

gg

g

yx

x (e.7.13)


mm27.117a173.1A

I ===

mm45.47a574.0A

I===

(e.7.14)

Gli assi centrali e lellisse centrale di inerzia sono rappresentati infigura 2.33.

Figura 2.33.

a

2a

a a

G xg

yg


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Caratterist iche inerziali delle sezioni esercizi

Sono proposti nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione lasciata allettore. Si consiglia di controllare i risultati ottenuti disegnando permezzo di un programma di CAD le sezioni e verificando con questo lecaratteristiche inerziali determinate (ad esempio utilizzando ilcomando propmass di Autocad dopo avere creato una regione aventela forma della sezione).

Esercizio 2.1

Si tracci lellisse centrale di inerzia della sezione sottile di figura2.34. Sia a = 100 mm, = a/10.

Figura 2.34.

Esercizio 2.2


2.35. Sia a = 100 mm, = a/10.

Figura 2.35.

2a

a a

3a

a a a


34/34



Esercizio 2.3


Figura 2.36.

Esercizio 2.4


Figura 2.37.

a

a

a

a a a

a a a

3a/2 3a/2

a

a

a

3a/2

3a/2

2_caratteristiche Inerziali Delle Sezioni (Esempi)

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