...ancora onde24 Maggio 2018. Potenza onde sinusoidali, onde acustiche29 Maggio 2018 : effetto Doppler. Cenni a riflessione, interferenza diffrazione.

Equazione per le onde sonoreLa vibrazione crea zone di compressione e di rarefazionedell'aria che si propagano: la grandezza che oscilla è lapressione dell'aria.

∂2p∂t2

− v2 ∂2p∂x2

= 0Il suono è un'onda longitudinaleformata da successivecompressioni e rarefazioni delmezzo.

p = P −P0

(a) Un impulso si propagaverso destra, (b) quando arrivasull’oggetto esso trasferisceenergia

Uλ=1λ

dUλ

∫ = 14 ρω2A2

Energia di un onda sinusoidale

dT = 12ρdxvy

2 =12ρdxω 2A2 cos2 kx −ωt( )

Tλ=1λ

dTλ

∫ = 14 ρω2A2

dU = 12ρdxω 2y2 = 1

2ρdxω 2A2 sin2 kx −ωt( )

Eλ= T

λ+ U

λ=12ρω 2A2W =

λEλT

=12ρω 2A2v

Potenza di un onda sinusoidalein una corda elastica (alt.)

v2 = Tρ

Velocità dell’onda

Ty = −T sinθ = −T∂y∂x

W = Tyvy = −T∂y∂x∂y∂t

y = Asin kx −ωt( )∂y∂x

= ky

∂y∂t= −ωy

W = Tωky2 = ρv2ωωvy2 = ρvω 2y2

Potenzaistantanea

Potenza istantanea (è 0quando vy=0 oppure Ty=0)

W = ρvω 2 y2 = ρvω 2 A2

2Potenza media (media sudi un ciclo)

5. Calcolare la potenza trasmessa da un onda sulla corda deles. 2, quando A=1 mm. 149 mW

Eserc.:1. Una corda di una chitarra (2 g/m) è tesa tra due supporti distanti L=63cm. Quando è eccitata con una frequenza di La-A4 (f=440 Hz) si osservanotre nodi. Calcolare la tensione (v=Lf=277 m/s, T=rv^2=153 N).

4. Determinare la spaziatura dei tasti di una chitarra osservando che unsemitono corrisponde ad un intervallo di frequenza 2^(1/12)=1.0595=s.Primo tasto L=L0/s, secondo L0/s^2.. 12-esimo tasto L=L0/s^12=L0/2

2. Una corda di una chitarra (T=19.5 lbs=87 N, dia=0.036”=0.91 mm) è tesatra due supporti distanti L=63 cm e risuona nel modo fondamentale a 110Hz (A2). Calcolare il peso della corda (v=lf=139 m/s, r= T/v^2=4.5 g/m)

3. La chitarra è accordata con intervalli di quarte (fn/f(n+1)=4/3) volendomantenere la tensione T costante come deve variare la densità?l1=l2=..2L=> f1/f2=v1/v2=(rho2/rho1)^0.5=>rho2/rho1=(f1/f2)^2=1.781 Kgf= 2.20

lbs= 9.8 Newton

https://it.wikipedia.org/wiki/Libbra (lb)La libbra è un'unità di misura di massa di origine romana. Il nome deriva dal latino libra ("bilancia")

La coincidenza delle unità monetarie con quelle di peso (es. una libbra d'oro o una libbra d'argento) era comune nel mondo antico. La più antica unità monetaria dell'antica Roma era l'asse librario, un pezzo di bronzo marchiato del peso di una libbra. Da Carlo Magno in avanti la parola libra denotò direttamente una moneta, quella da cui deriva il nome lira. In inglese tuttora la stessa parola pound indica sia la libbra, la cui abbreviazione lb deriva dal latino libra, che la lira sterlina, il cui simbolo £ è una variazione della lettera L.

La libbra ha avuto valori differenti in diversi paesi ed epoche; attualmente è in uso nel Regno Unito e in altri paesi anglosassoni la libbra inglese (pound), che non fa parte del sistema internazionale.

La libbra britannica (detta anche libbra internazionale) attuale equivale a 453.59237 grammi, e suo sottomultiplo è l'oncia (ounce): una libbra è pari a 16 once; un'oncia quindi è uguale a 28.3495231 grammi.

Quattordici libbre equivalgono a uno stone, unità che attualmente si usa in Gran Bretagna e Irlanda per esprimere il peso delle persone.

La libbra statunitense, in seguito a verifiche effettuate sui rispettivi sistemi di rilevamento della unità, ha riscontrato una infinitesima differenza rispetto alla libbra britannica, inferiore a una parte su 10 milioni, tale differenza agli scopi pratici è considerata trascurabile, per cui i valori di conversione al sistema metrico, per usi correnti, sono considerati gli stessi.

Caratteristiche del suono: FrequenzaLa velocità di propagazione del suono varia a seconda delmezzo materiale in cui il suono si propaga.

Nell'acqua il suono è quasi 5 volte più veloce che nell'aria. Ilsuono è molto lento rispetto alla luce (v=300 000 km/s).

Le caratteristiche del suono: altezza

Il suono è un'onda periodica che ha tre caratteristiche:altezza, intensità e timbro.

L’altezza distingue un suono acuto da un suono grave edipende dalla frequenza.

I do della scala del pianoforte: un intervallo di ottava corrisponde un raddoppio o un dimezzamento della frequenza.

Frequenza maggiore: suono piùacuto.Frequenza minore: suono piùgrave.Frequenza maggiore: suono più acuto.Frequenza minore: suono più grave.

Le caratteristiche del suono: intensità

Distingue un suono ad alto volume da uno a basso volume edipende dall'ampiezza.

Ampiezza maggiore: suono più forte.Ampiezza minore: suono più debole.

Le caratteristiche del suono: timbro

Dipende dalla particolare legge periodica con cui oscillal'onda sonora. E' caratteristico della sorgente del suono:

Onda sinusoidale

Onde periodiche!

Le caratteristiche del suono: l'intensitàL'intensità di un'onda è il rapporto tra la potenza incidentesu una superficie trasversale e l'area della superficie

Quindi l'intensità I èl'energia che incidein 1 s su un'area di 1 m2.

Livelli di intensità acustica

livello di intensità acustica: rapporto in dB fra il flusso di energia I e il flusso della soglia di udibilità, I0=10-12 W/m2

IdB =10 log10II0

!

"#

$

%&=10 log10

p2

p02

!

"#

$

%&

= 20 log10pp

!

"#

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p0 indica la pressione sonora corrispondente alla soglia di udibilità, pari a 20 μPa = 20 × 10-6 Pa

L’intensità di un onda sonora è proporzionale al quadrato dell’ampiezza della variazione di pressione:

I = prms2

ρvρv = 414 N ⋅s/m3

La soglia del dolore:p=60 Pa=7 10-4 Atm

decibel

Il decibel (simbolo dB) è un decimo di bel(simbolo B): 10 dB = 1 B. Sono misure dellogaritmo del rapporto fra due grandezzeomogenee (esprimibili cioè nella stessa unitàdi misura: il loro rapporto è un numero puroadimensionale).

NdB =10 log10NN0

!

"#

$

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Es. il rapporto fra una tonnellata e unchilogrammo è 1000:1, o 3 bel, o 30 decibel;che il rapporto fra un centesimo e 1000 € è1:100000, ossia −5 bel, o −50 dB

I limiti di udibilità in frequenza

L'orecchio umano percepisce suoni di frequenzacompresa tra 20 Hz e 20 000 Hz.f < 20 Hz: infrasuoni;f > 20 000 Hz: ultrasuoni.

La riflessione ∂2y∂t2

− v2 ∂2y∂x2

= 0

y = f x − vt( )+ g x + vt( )y(x = 0) = y(x = L) = 0

Per soddisfare il vincolo agli estremi (y=0 per x=0, L) nasce un onda riflessa.

La riflessione del suono: eco

Il suono emesso dalla sorgente viene riflesso da un ostacoloe viene di nuovo udito come se provenisse da lontano.L'eco si ode dopo un tempo

dove v è la velocità del suono.Se d=20 m, Dt = 0,12 s.

Per Dt minori si ode solo il rimbombo.

L'eco

La frequenza di un'onda periodica, prodotta da una sorgente inmoto con velocità vS rispetto al mezzo di propagazione, è diversada quella con sorgente ferma (vS=0).

Quando sentiamo la sirena di un'ambulanza che prima si avvicinaa noi e poi si allontana, percepiamo prima un suono più acuto epoi uno più grave.

L'effetto Doppler Christian Doppler, (Austriaco 1803–1853)

L'effetto Doppler : sorgente in moto rispetto al mezzo e ricevitore fermo

•L'effetto Doppler varia a seconda di chi è in moto rispetto al mezzo di propagazione.

L'effetto Doppler : sorgente ferma rispetto al mezzo e ricevitore in moto

Se il ricevitore è fermo,Quando il ricevitore si muove (con vel. vO), l non cambia, mentre la velocità che l’osservatore attribuisce al suono è vO+v:

sorgente ferma rispetto al mezzo e ricevitore con velocità vo

v = f ⋅λ

v+vO = f '⋅λ = v ⋅f 'f

sorgente con velocità vS rispetto al mezzo e ricevitore fermo

Quando la sorgente si muove (con vel. vS), v non cambia, mentre l’osservatore attribuisce al suono l’=l-vST::

v = f '⋅λ ' = f 'λ 1− vS f λ( ) = f 'λ 1− vS v( )

L'effetto Doppler : vS velocità sorgente, vO velocità osservatore, v velocità del suono

f ' = f ⋅ v+vOv-vS

• Frequenza percepita

• Frequenza emessa

Δf = f '− fΔff=vOv−-vSv=vO + vSv

• Es.: Calcolare la variazione di frequenza percepita per la sirena di un ambulanza (f=440 Hz [A4], vS=80 Km/h, caso osservatore fremo:vO=0). Confrontarla con la scala musicale (*) . 22 m/s/(343 m/s)=6.4%, 1 st=21/12=1.0595!

fdo-4=261.625 Hz

fdo-5=523.25 Hz

L'effetto Doppler : applicazioni

Molti sensori di movimentosfruttano l'effetto Doppler: l'onda riflessa ha frequenza minore o maggiore a seconda che l'oggetto in moto si allontani o si avvicini.

Mediante l'effetto Doppler degli ultrasuoni si misura la velocità del sangue nelle vene e nelle arterie.

La diffrazione

θo =λa

Cambiamento della direzione di propagazione del fronte d’onda trasmesso da un apertura: caratteristica generale della propagazione ondosa

Angolo diffrazioneDimensioneapertura

LunghezzaD’onda

• Es.: Stimare la diffrazione del suono da un ostacolo di 1 m per il caso delle frequenze estreme del do di un pianoforte (do1: 32.70 Hz, do7:2093 Hz) . 180°(l=10.5 m)!, 10°(l=16.5 cm)

La diffrazioneNel caso delle onde sonore la diffrazione permette di udire le voci di persone che sono dietro l’angolo di un edificio. Tale fenomeno si verifica quando gli ostacoli contro cui incidono le onde hanno dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda. Dal momento che per le onde sonore in aria essa è in genere compresa tra 1.5 cm e 20 m (che rappresentano le normali dimensioni di mobili o edifici) il fenomeno della diffrazione delle onde sonore è piuttosto frequente.

La diffrazioneIl fatto che la diffrazione è più pronunciata per le lunghezze d’onda maggiori (frequenze minori) comporta che le basse frequenze si percepiscano meglio quando si è in presenza di ostacoli (v. figura).

Riassunto

• L’onda è una perturbazione y (della pressione dell’aria, della posiz. di una corda, dell’allungamento di una molla) che si propaga nello spazio e che trasporta energia.

• Abbiamo scritto l’equazione delle onde (ricavandola in due casi)• Abbiamo distinto onde trasversali e onde longitudinali• Abbiamo visto esempi di onde che si propagano senza disperdersi e

in una dimensione: y=y(x±vt) (v=vel. propag.)• Onde stazionarie: nodi e antinodi• Per onde sinusoidali y=Asin(kx±wt) si ha l=2p/k e T=2p/w. Vale

v=w/k(=l/T)• Espressione per la potenza associata ad un onda sinusoidale• Alcuni dettagli delle onde sonore (altezza, timbro e intensità)• Alcuni esempi di interferenza e diffrazione• Esercizi