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2048 game: Massimo punteggio (teoricamente) realizzabile

Marco Ripà (6 giugno 2014)

sPIqr Society: http://www.spiqrsociety.com/

Email: marcokrt1984@yahoo.it

Se vi dico 2048, cosa vi viene in mente?

Davvero? Dunque, anche voi l’avete già provato e magari sul vostro cellulare è installata l’App del gioco

originale…

Sia che siate riusciti a ottenere la famigerata “tile” da 2048, sia che ancora ci stiate provando, una domanda

di certo ve la sarete posta almeno una volta: “Qual’è il massimo punteggio ottenibile in questo gioco?”

Premesso che la tile più grande che può essere formata, con riferimento alla classica configurazione 4x4 del

gioco, è 2^17=131072 e che questo risulta possibile solo nel 10% delle “partite perfette giocate” (giacché

nove volte su dieci comparirà un “2” e nei restanti casi un “4”), andiamo ad analizzare come vengono

determinati i punteggi.

- Combinando due tile da 2 tra loro si segnano quattro punti, combinandone due da 4 se ne ottengono 12 e

combinandone due da 8 si aggiungono 48 punti al punteggio totale. La regola è pertanto che, combinando

fra loro due tile di valore 2^(k-1) (ed ottenendo una tile da 2^k), si ricevono (k-1)*2^k punti.

- Si inizia il gioco con 2 tile (entrambe da 2, ambedue da 4 o una da 2 e una da 4) sulla board e contano, per

lo score, solo le tile che si combinano fra loro.

- Se non vengono commessi errori e si riesce ad arrivare fino in fondo al gioco, ma non si ha la fortuna di

avere un 4 (anziché un 2) al momento opportuno, la partita termina senza riuscire a comporre la tile da

131072 e ci si ferma alla configurazione illustrata nel diagramma sottostante:

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Figura 1. Configurazione finale nel 90% delle partite perfette.

- Se invece capita di ottenere un 4 al posto del 2 della Figura 1, si può procedere combinando (a cascata) le

tile da 4 per formarne una da 8, quelle da 8 per ottenerne un’altra da 16 e così via, fino alle due da 65536…

in modo da formare la tile da 131072, la massima possibile in questo gioco.

Quale sarà punteggio finale se apparirà un 2 e la partita perfetta terminerà con una tile massima da

2^16=65536?

Come molto spesso accade in matematica, la risposta è… “dipende”!

Dipende, perché non sappiamo quanti “quattro” sono apparsi sulla board… possiamo solo calcolare un

valore massimo, uno minimo e uno atteso. Sapendo che le tile combinate fra loro a questo punto del gioco

sono state circa 131068/2.2=59576.364, e che il massimo punteggio possibile (nell’ipotesi che siano

comparsi solo “2” sulla scacchiera, senza mai un “4” – tranne quello che pone fine alla partita) è

4+16+48+128+320+768+1792+4096+9216+20480+45056+98304+212992+458752+983040=1835012, si

può facilmente stimare il valore atteso (considerando una media di un “4” sulla board ogni nove “2”

random):

Valore atteso (massimo punteggio ottenibile, con partita perfetta, nel 90% dei casi)=1835012-

(59576.364/10)*4≈1811181.45[1811180, 1811184].

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Questo è lo score più probabile nel 90% delle partite perfette giocabili, con probabilità decrescenti man

mano che ci si allontana da tale risultato. In ogni caso, tutti i punteggi saranno compresi fra 1835012-

131068/4*4=1703944 (probabilità infinitesima, pari a 0.1^32766*0.9=9*10^(-32767) delle partite perfette

giocabili) e il massimo di 1835012 punti.

Se invece, al momento propizio, appare un “4” e possiamo chiudere la catena, culminante nell’unione delle

due tile da 2^16, potremo procedere nel gioco. Immaginando che questo raro evento possa ripetersi per 15

volte consecutive (una volta ogni milione di miliardi di partite perfette accadrà!), ci troveremo nella

condizione seguente:

Figura 2. Miglior configurazione finale possibile nel gioco 2048 originale.

In questo caso, dopo 131052 mosse e 131053 tile effettive combinate (l’ultima, che sia un “2” o un “4”, è

assolutamente ininfluente), il gioco si concluderà e il nostro punteggio più plausibile sarà prossimo a

3932160-((((262136-60)/2.2)/10)+15)*4≈3884449.82[3884448, 3884452] (e comunque non inferiore a

3670024); tuttavia, con probabilità 0.1^15*0.9^(131053-15)≈1.0714*10^(-6009)%, si otterrà il massimo

possibile teorico di questo gioco: 3932100 punti!

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Infatti, ∑ ( ) =16*(2^17)+1835012-4-4*15=3932100 (essendo impossibile ottenere i

quattro punti derivanti dalla combinazione di due tile base [2]+[2][4] dopo che la tile massima da 131072

è stata formata e tale situazione si deve ripetere 15 volte in tutto prima di giungere alla configurazione

illustrata in Figura 2).

Immaginando di effettuare (in media) una mossa al secondo, giocando in modo perfetto ed avendo una

fortuna indicibile (una probabilità su 1.0714*10^6011), dovremmo insistere per 131051 secondi prima di

raggiungere il massimo punteggio teorico e per 131052 prima di terminare la partita… oltre un giorno e

mezzo: 36 ore, 24 minuti e 12 secondi.

In generale, considerando un griglia nxn arbitraria (n≥2), il massimo punteggio realizzabile è così definito:

∑( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

A gioco perfetto, per (n≥2), le chance di ottenere tale valore massimo sono appena

( )

(( (

) ( ) )

)

( )

( ( ) )

(( ) )

n max score teorico probabilità di ottenerlo

1 0 1

2 180 9.8477*10^(-5)

3 16352 1.1468*10^(-54)

4 3932100 1.0714*10^(-6011)

5 3221225376 1.4736*10^(-3070755)

6 9620726742900 infinitesma

7 108086391056891712 infinitesma

8 4648579506574807006980 infinitesma

Figura 3. Massimo score teoricamente ottenibile e relative probabilità per griglie di dimensione variabile.

Curiosità: il più basso punteggio realizzabile, sforzandosi di totalizzare il minimo di punti possibile ed

essendo aiutati dalla (s)fortuna, è sempre zero (per qualsiasi valore di { }).