2. Un teorema geniale e divertenteanche per la scuola elementareLorella Maurizi1

Ho proposto ai bambini di una classe quinta della scuola primaria il teo-rema di Pick2 perché volevo che sperimentassero un metodo facile e «manipolabile»per calcolare l’area delle figure piane.

È vero che per quanto riguarda quadrilateri e triangoli abbiamo giocatomolto (nel senso più serio che si può dare a questo termine) con cartoncini, forbici, can-nucce e altro materiale, ma per le figure «strane» cioè non regolari non è così semplice;il ricorrere alla scomposizione (sia reale col ritaglio, che iconico attraverso il disegno)riporta comunque sempre all’area di figure geometriche conosciute. Mi piaceva poterproporre un metodo che non avesse bisogno della conoscenza delle formule per il cal-colo dell’area di altre figure e che potesse essere «scoperto» da loro, magari in gruppo.

Il pretesto nasce un pomeriggio durante un’attività con l’uso del geo-piano. Volevo che i bambini verificassero concretamente quanti triangoli con la stessabase e la stessa altezza potevano costruire con gli elastici, quali caratteristiche avevanoe perché erano tutti equiestesi. Terminata l’attività, li ho lasciati liberi di giocare colgeopiano.

Giocare con il geopiano e gli elastici piace molto ai bambini: appena con-segno loro le tavolette di plastica si scatenano a costruire figure a volte semplici, a volteanche molto complesse.

Mentre guardo queste costruzioni chiedo loro di scegliere solo una fi-gura, quella che ritengono la migliore e di farla poi vedere a tutti.

Costruiscono figure del tipo di quelle rappresentate in figura 1.

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1. Scuola Primaria M. Peron, Verbania.2. Georg Alexander Pick (Vienna, 1859 - ivi, 1942) matematico austriaco. Si veda anche

l’articolo di Cavalli F., Variazioni su una formula, BDM 51, dicembre 2005.

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Figura 1 Disegni liberi sul geopiano. Gli allievi in un secondo tempo hanno ripassato con un colore solo il contorno esterno.

Ora chiedo loro di trovare l’area della figura costruita.I bambini, senza troppo scomporsi, iniziano a contare i quadratini interi

contenuti nella figura e ad approssimare il conteggio per quelli non interi. Dopo un po’sono in grado di dare una misura approssimata dell’area della loro figura (che a volteè davvero piuttosto articolata) usando come unità di misura il quadratino del geopiano.

Chiedo poi di scegliere una figura più semplice, di costruirla e di calco-lare l’area. Qui le cose si fanno più facili

Figura 2 Disegni più semplici per ricercare.

II. Didattica

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Domando ai bambini se, secondo loro, c’è una strategia per calcolare l’a-rea di una qualsiasi figura costruita sul geopiano. Qui gli allievi sono un po’sconcertati.

Suggerisco, perciò, di provare a costruire e calcolare l’area di figure co-nosciute, per esempio rettangoli o quadrati.

Il lavoro richiede tempo per il confronto e la discussione; dopo circa unamezz’oretta piuttosto animata (i bambini si alzano e confrontano la loro tavoletta conquella dei compagni e scrivono numeri su foglietti o direttamente sul banco, parlano mol-to) finalmente Matteo nota che ci dev’essere una relazione fra i «chiodini» e l’area e Pie-tro aggiunge che ci deve essere una relazione anche fra il contorno e l’area.

Ma quale?Propongo a tutti di costruire un rettangolo, trovare l’area in quadretti e di

verificare se c’è una relazione con i «chiodini» del contorno e i «chiodini» dell’interno.Ma ancora non ce la fanno. Proviamo ad invertire il procedimento.Propongo di costruire un rettangolo di area 12 e di contare quanti chio-

dini ci sono sul contorno e quanti chiodini ci sono all’interno.

Figura 3.

Ora inseriamo i dati in una tabella del tipo

Figura N° chiodini N° chiodini Areasul contorno all’interno della figura

A 16 5 12B 14 6 12C 14 6 12D 26 0 12

Tabella 1

Proviamo a vedere se c’è una relazione fra i numeri, in modo che quellicontenuti nelle colonne due e tre generino, opportunamente combinati, il 12.

Non è facile.Proviamo ancora con un altro rettangolo di area 24.Usiamo lo stesso percorso: costruzione e registrazione in tabella.

A

B C D

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Figura N° chiodini N° chiodini Areasul contorno all’interno della figura

A 20 15 24B 22 14 24C 28 11 24D 50 0 24E 22 14 24

Tabella 2

Chiedo ancora di osservare i numeri delle prime due colonne e di vederese c’è una relazione con la terza colonna.

La figura ritenuta più «illuminante» per la nostra ricerca è quella che ha0 chiodini al suo interno.

Osservando le due figure con 0 chiodini all’interno, quella della primatabella e quella della seconda, i bambini ipotizzano la necessità di dimezzare la cifradella prima colonna cioè di fare la metà del numero di chiodini contenuti sul contorno.

Perciò 26 : 2 = 13 e anche 50 : 2 = 25Per ottenere il risultato esatto, dicono in molti, ora basta fare un «meno 1».Riepiloghiamo:(numero dei chiodini sul contorno : 2) – 1 = areaVerifichiamo se vale anche per gli altri rettangoli. Ora è facile per i bam-

bini comprendere che bisogna aggiungere anche i chiodini dell’interno.È fatta!(nr. chiodini sul contorno :2) + nr. chiodini dentro –1= area della figura

C D A(C : 2) + D –1 = AMa funziona sempre?Verifichiamo se vale anche per figure «strane» cioè diverse da quelle stu-

diate.I bambini provano con figure di vario genere e scoprono che la regola

vale sempre!«E se non abbiamo il geopiano a disposizione?», chiedo.Possiamo usare il foglio quadrettato e contare come «chiodini» i vertici

dei quadretti. Si può usare sia il quaderno che la carta centimetrata.

Figura 4

AB C

D

E

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E se viene richiesta un’area con unità di misura di lunghezza in centi-metri o millimetri?

Risponde Mariele: «basta misurare il lato del quadretto di riferimento,cioè se è il quaderno può essere 0,5 cm oppure 0,4 cm, se è la carta centimetrata saràdi 1cm, e moltiplicare l’area trovata col teorema di Pick per l’unità di misura3».

Propongo ancora qualche esercizio di confronto di area da risolvere colteorema di Pick.

Sono contenta perché l’attività è molto piaciuta. È la prima volta in 25anni di insegnamento della matematica nella scuola primaria che mi viene in mente diproporre Pick. Di solito a scuola non si fa per mancanza di tempo o forse perché nonritenuto immediatamente utilizzabile nella risoluzione di esercizi tradizionali. Consi-glio i colleghi di proporlo in classe perché consente di giocare con la geometria e per-mette ai bambini di effettuare collegamenti e manipolazioni che li portano a nuove sco-perte. Lo scopo non è tanto quello di trovare un altro sistema per calcolare l’area difigure poligonali, ma di ragionare in ambito geometrico, mettendosi nei panni di unmatematico che cerca nuove strade da percorrere.

Foto ricordo

Al lavoro sul geopiano Figure libere: la fantasia non manca…

La chiave: figure senza punti interni Tutti contenti: Pick è conquistato

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3. Mariele intuisce la trasformazione omotetica di rapporto r, ma non sa che l’area andreb-be moltiplicata per r2.

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