2 Grandezze vettoriali - ba.infn.itmaggi/edile/dispense_aggiornate_2013_14/Fisica... ·...

2 Grandezze vettoriali 2 Grandezze vettoriali ........................................................................................................................ 32 2.1 Vettore spostamento. ............................................................................................................................ 32 2.2 Regola della somma degli spostamenti. .......................................................................................... 33 2.3 Proprietà della somma tra vettori. ................................................................................................... 35 2.4 Componenti cartesiane di un vettore. .............................................................................................. 35 2.5 Prodotto tra vettori. ............................................................................................................................... 37 2.6 Significato di una relazione vettoriale. ............................................................................................ 44 2.7 Simboli collegati ad un vettore ........................................................................................................... 45

2.1 Vettore spostamento. Supponiamo di avere un piano e di avere un insetto, per esempio una formica, che si muova sul piano. L’insieme delle posizioni via via occupate dalla formica, man mano che passa il tempo, si chiama “traiettoria ”, ed è rappresentata nel disegno dalla curva blu. Supponiamo che la formica all'istante di tempo t1 si trovi nella posizione P1 e all'istante t2, nella posizione P2: indichiamo con s il “percorso effettuato ” dalla formica nell'intervallo di tempo [t1,t2]. Osserviamo però che questa grandezza, il “percorso effettuato”, non contiene molte informazioni. Infatti se si conosce la posizione iniziale P1 e il “percorso effettuato“ s nell'intervallo di tempo [t1,t2], è possibile predire la posizione finale solo se è nota in dettaglio la traiettoria seguita dalla formica. Il moto della formica nell'intervallo di tempo [t1,t2] può essere anche rappresentato attraverso il vettore spostamento (il segmento orientato dal punto di partenza P1 al punto di arrivo P2). Si dirà allora che nell'intervallo di tempo [t1,t2] la formica ha subito uno spostamento da P1 a P2. Lo spostamento è, perciò, caratterizzato da un modulo (la distanza tra P1 a P2), una direzione, (quella della retta passante per P1 e P2), e un verso, (quello da P1 a P2). Indicheremo lo spostamento con uno dei simboli comunemente usati per rappresentare un vettore, per esempio !a . Un vettore si rappresenta con un segmento orientato, un segmento con una freccia ad uno degli estremi: la lunghezza del segmento rappresenta il modulo del vettore, la retta di cui il segmento è parte definisce la direzione del vettore, e la freccia definisce il verso del vettore. Tutti i segmenti orientati di pari lunghezza e paralleli tra loro e con la freccia sempre dallo stesso lato rappresentano tutti lo stesso vettore. Infine per alcuni vettori si definisce anche il punto di applicazione. E' il punto iniziale del vettore. Nel caso dello spostamento della formica il punto di applicazione è il punto iniziale P1.

O

y

x

P

P

1

2

a

G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014

33

E' facile notare che se si conosce la posizione iniziale e lo spostamento subito dalla formica nell'intervallo [t1,t2], è facile predire la posizione finale senza la necessità di conoscere in dettaglio la traiettoria seguita dalla formica.

2.2 Regola della somma degli spostamenti. Supponiamo ora che la formica, continuando a spostarsi sul piano, all'istante t3 si trovi nella posizione P3. Indichiamo con

!b lo spostamento subito dalla formica nell'intervallo [t2,t3]: esso

coincide con il segmento orientato P2P3. Lo spostamento complessivo subito dalla formica nell'intervallo [t1,t3], è dato dal segmento orientato P1P3 che indichiamo con !c . Quest'ultimo vettore altro non è che la somma dei due spostamenti parziali, ossia la somma dello spostamento !a e dello spostamento

!b . Possiamo dire che

! c = ! a +! b .

La somma dei due vettori !a e !b si

ottiene graficamente come mostrato in figura, cioè riportando il vettore

!b a

partire dall'estremo del vettore !a ( o equivalentemente riportando il vettore !a a partire dall'estremo del vettore

!b ):

la somma dei due vettori si otterrà congiungendo il punto iniziale del vettore !a con il punto estremo del vettore

!b (o equivalentemente

congiungendo il punto iniziale del vettore

!b con il punto estremo del

vettore !a ). Questa regola di somma va sotto il nome di regola del parallelogramma. Il vettore somma è infatti dato dalla diagonale del parallelogramma avente per lati i vettori !a e

!b .

Conseguenza immediata della regola del parallelogramma è che la somma di due vettori è commutativa, cioè:

! ! ! !a b b a+ = +

Si dicono vettoriali quelle grandezze che sono rappresentabili con un modulo, una direzione ed un verso e che si sommano con la regola del parallelogramma. (Nel seguito rappresenteremo le grandezze vettoriali con una lettera in grassetto, con sovrapposta una freccia.) Grandezze vettoriali, oltre allo spostamento, sono la velocità, l’accelerazione, la forza, la quantità di moto, il campo elettrico, il campo magnetico, etc. Abbiamo già visto come lo

O

y

x

P

PP

1

32

b

b

aa

c

O

y

x

P

PP

1

32

b

b

aa

c


34

spostamento possa essere rappresentato come un segmento orientato. Anche le altre grandezze vettoriali, pur non avendo le dimensioni di una lunghezza, possono essere rappresentate graficamente con un segmento orientato di lunghezza proporzionale al modulo del vettore. Quelle grandezze che invece sono rappresentabili solo con un numero, come la massa, il tempo, il lavoro, l'energia, la temperatura, il volume, la pressione, etc., si diranno scalari. Nota Bene: non tutte le grandezze rappresentabili con un modulo, una direzione e un verso sono dei vettori, ovvero si sommano con la regola del parallelogramma. Un esempio sono le rotazioni. Una rotazione può essere rappresentata con

un modulo: l'angolo di rotazione una direzione: quella dell'asse di rotazione un verso: verso positivo sull'asse di rotazione per una rotazione in senso antiorario, negativo per una in senso orario.

Però le rotazioni finite non si sommano seconda la regola del parallelogramma, infatti non sono commutative.

x

yz

x

yz

x

yz

x

y

z

x

yz

x

y

z


35

Prendete un libro, assumete un sistema di riferimento con l'asse x lungo il bordo inferiore, l'asse y lungo il dorso, e l'asse z uscente dalla copertina e provate ad eseguire due rotazioni successive di 90°, una rispetto all'asse x e l'altra rispetto all'asse z. Osserverete che il risultato è diverso se si effettua prima la rotazione rispetto all'asse x o quella rispetto all'asse z. Quindi le rotazioni non soddisfano la regola del parallelogramma e non sono rappresentabili con dei vettori. Tuttavia si può osservare che la differenza tra i due stati finali, che si ottengono invertendo l'ordine delle due rotazioni, è tanto più piccola quanto più piccola è l'ampiezza delle due rotazioni: i due stati finali infatti coincidono (o differiscono per un infinitesimo) se le due rotazioni sono infinitesime. Le rotazioni infinitesime commutano, obbediscono cioè alla regola del parallelogramma, e quindi si comportano come vettori.

2.3 Proprietà della somma tra vettori. Abbiamo già sottolineato che la somma di due vettori gode della proprietà commutativa, cioè:

! ! ! !a b b a+ = + proprietà che deriva direttamente dalla regola di somma del parallelogramma. Sempre mediante una rappresentazione geometrica, possiamo verificare che la somma tra vettori gode della proprietà associativa:

( ) ( )! ! ! ! ! !a b c a b c+ + = + + e della proprietà distributiva:

( )! ! ! ! ! !a b c a b c+ + = + +

L'elemento neutro della somma è il vettore nullo

!0 che ha modulo

uguale a zero, direzione e verso indeterminati. La somma di un vettore e del vettore nullo è uguale al vettore stesso.

! ! !a 0 a+ =

2.4 Componenti cartesiane di un vettore. Consideriamo il vettore !a , giacente nel piano xy: possiamo pensare di ottenere !a come somma di due vettori !a1 e !a2 , il primo parallelo all'asse delle x, il secondo parallelo all'asse delle y. I due vettori !a1 e !a2 sono mutuamente ortogonali. ! ! !a a a= +1 2 Si definiscono componenti cartesiane del vettore !a i due scalari ax e ay che sono le proiezioni di !a sull'asse x e sull'asse y rispettivamente.

O

asse x

asse y

asse z

! a

O

y

x

P

PP

1

32

b

b

aa

c

! b

O

y

x

P

PP

1

32

b

b

aa

c

" c

O

y

x

P

PP

1

32

b

b

aa

c

! a +! b

! b + ! c

! a +! b + ! c


36

In particolare ax è uguale al modulo di !a1 preso con il segno positivo se !a1 è diretto secondo l'asse x, con il segno negativo se !a1 è diretto in verso opposto a quello dell'asse x. In maniera analoga ay è positivo se !a2 è diretto secondo l'asse y, negativo se diretto in verso opposto. Se θ è l'angolo che il vettore !a forma con l'asse x ed a è il modulo di !a , allora le due componenti cartesiane ax e ay possono essere ottenute attraverso

ax = a cos θ ay = a sin θ

Si osservi che le due espressioni precedenti determinano correttamente anche i segni delle componenti. Se invece sono note le componenti cartesiane del vettore (ax,ay). Ovviamente le due rappresentazioni sono equivalenti: le relazioni per passare da una rappresentazione all'altra sono date da:

ax = a cos θ a = ax2 + ay

2

ay = a sin θ tanθ = axay

Da notare che mentre i vettori sono indipendenti dal sistema di coordinate usato, le componenti del vettore hanno significato solo se si specifica il sistema di coordinate usato: per un sistema diverso, esse sono diverse.

2.4.1 Somma di due vettori utilizzando le componenti cartesiane. Supponendo di voler sommare i due vettori !a e

!b .

! ! !c a b= +

Come già sappiamo il vettore somma !c si ottiene con la regola del parallelogramma (vedi figura). Sempre dalla figura è facile rendersi conto che la componente x del vettore somma, cx, è data dalla somma delle componenti x dei vettori !a e

!b ,

rispettivamente ax e bx. In maniera analoga può essere ottenuta la componente y. In conclusione:

cx= (ax+ bx) cy= (ay+ by)

Se anziché essere nel piano, fossimo stati nello spazio, allora ci sarebbe stata anche la terza componente, z, cioè

cz= (az+ bz)

O !ux

y

x ax

ay

θ

!a1

!a2

!a

!ux

!uy

O

y

xax

ay!a1

!a!a

by

bx

! b


37

2.5 Prodotto tra vettori. Mentre nell'operazione di somma i vettori addendi devono essere omogenei, devono cioè rappresentare la stessa grandezza fisica (si possono sommare tra loro spostamenti, oppure velocità, o forze, etc, ma non una forza con uno spostamento), nel caso del prodotto tra vettori, i fattori non devono essere necessariamente dello stesso tipo. Si distinguono 3 tipi diversi di prodotto tra vettori:

a) prodotto di uno scalare per un vettore. b) prodotto scalare tra due vettori c) prodotto vettoriale tra due vettori.

2.5.1 Prodotto di uno scalare per un vettore (

! !c a= k ). Il risultato del prodotto di uno scalare k per un vettore !a è ancora un vettore che ha la stessa

direzione del vettore !a , lo stesso verso se k è positivo, verso opposto se k è negativo, e modulo pari a |k| volte il modulo di !a . Se k non è un numero puro, ma ha delle dimensioni, allora !c rappresenta una grandezza diversa da quella rappresentata da !a (per es. se !a rappresenta una accelerazione e k è una massa, allora !c è una forza). Dal punto di vista delle componenti, facendo riferimento alla figura si vede che:

cx= kax cy= kay

Per vettori nello spazio occorre tener conto anche della terza componente, z,

cz= kaz

2.5.1.1 Differenza tra due vettori !a - !b .

Dalla definizione di prodotto di uno scalare per un vettore ricaviamo che il vettore -

!b è un vettore che

ha lo stesso modulo e direzione del vettore !b ma

verso opposto. La differenza tra due vettori, !a e

!b , si interpreta

come la somma di !a col vettore - !b , cioè:

( )! ! ! !

a b a b− = + − La differenza tra due vettori coincide con l’altra diagonale del parallelogramma costruito con i due vettori (l’altra diagonale è la somma).

O

y

xax

ay

k! a !a

! a !a

kax

kay

Caso k=5

−! b

O

y

xax

ay

!a!a

by

bx

! b ! b

! a −" b

! a −" b

! a +" b

-by-bx


38

Utilizzando le componenti cartesiane:

! a −! b ( )x = ax − bx! a −! b ( )y = ay − by! a −! b ( )z = az − bz

2.5.1.2 Versori. I vettori adimensionali di modulo unitario si chiamano versori. Un versore rappresenta una direzione ed un verso nello spazio. Se

! u a è un versore, il vettore !aparallelo e concorde con

! u a di modulo a si può rappresentare come:

! a = a! u a

Deriva dalla definizione di prodotto di uno scalare per un vettore. Particolarmente importanti sono i versori !ux,!uy e

!uz , che rappresentano la direzione ed il verso rispettivamente degli assi x, y e z della terna di assi cartesiani di riferimento.

2.5.1.3 Rappresentazione di un vettore mediante le sue componenti cartesiane. Dato il vettore !a , di componenti ax , ay (e az), ricordando il significato delle componenti cartesiane e dei vettori componenti, nonché la definizione di prodotto di uno scalare per un vettore, si può scrivere:

!a = ax!ux + ay

!uy (+ az!uz )

2.5.2 Prodotto scalare tra due vettori ( c =

! a •! b ).

Il prodotto scalare si indica in generale con un puntino tra i due vettori. Il risultato del prodotto scalare di due vettori è uno scalare.

c =! a •! b = ab cosθ (1)

dove θ è l'angolo minore di 180° formato dai due vettori. Il risultato del prodotto scalare è positivo se θ è minore di 90°, negativo se θ è compreso tra 90° e 180° ( i moduli a e b sono, per definizione, positivi), nullo se θ è uguale a 90°. Poiché la (1) può anche essere scritta come:

O

z

y

x

!ux !uy

!uz


39

a (b cos θ) = b (a cos θ)

possiamo affermare che il prodotto scalare si può calcolare come il prodotto del modulo del vettore !a per la proiezione del vettore

!b sul vettore !a , oppure come il prodotto del

modulo del vettore !b per la proiezione del vettore !a sul

vettore !b .

2.5.2.1 Proprietà del prodotto scalare: a) ! a • ! a = aa cos 0 = a2

b) se !a è perpendicolare a !b , allora

! a •! b = ab cos 90° = 0

c) vale la proprietà commutativa: ! a •! b = ab cos θ = ba cos θ =

! b • ! a

d) ! a • ! u x = a cos α = ax

! a • ! u y = a cos β = ay

! a • ! u z = a cos γ = az

e) ! u x •! u x =! u y •! u y =! u z •! u z = 1

! u x •! u y =! u y •! u z =! u z •! u x = 0

g) vale la proprietà distributiva rispetto alla somma ! a •! b + ! c ( ) = ! a •

! b + ! a • ! c

Infatti, riferendoci alla figura possiamo scrivere:

! a •! b + ! c ( ) = a

! b + ! c ( ) cos θ = ℓOAℓOH

ma ℓOH ="b+"c ⋅cosθ = b ⋅cosα + c ⋅cosγ

pertanto !a•!b+!c( ) = a

!b+!c( ) cosθ = a b ⋅cosα + c ⋅cosγ( ) =

= ab ⋅cosα + ac ⋅cosγ =!a•!b+!a•!c

Nella figura i tre vettori sono complanari ma è facile convincersi che le proiezioni di

!b e !c su !a

sono le stesse, anche se i tre vettori non sono complanari. Valutazione del prodotto scalare per mezzo delle componenti. Siano dati i due vettori: ! ! ! !a u u u= + +a a ax x y y z z e

! ! ! !b u u u= + +b b bx x y y z z .

! a •! b = ax

! u x + ay! u y + az

! u z( )• bx ! u x + by! u y + bz

! u z( ) = applicando due volte la proprietà distributiva e, successivamente la proprietà e), si ottiene:

= ax! u x • bx

! u x + ax! u x • by

! u y + ax! u x • bz

! u z ++ay! u y • bx

! u x + ay! u y • by

! u y + ay! u y • bz

! u z ++az! u z • bx

! u x + az! u z • by

! u y + az! u z • bz

! u z =

= a xbx + ayby + azbz

θ

ba

ab

O H!a

!b

!c

θ

γ

α

! !b c+

A


40

In particolare: !a•!a = ax

2 + ay2 + az

2 = a2 Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al modulo quadro. 2.5.2.2 Applicazioni del prodotto scalare. 1) Dimostrare il teorema di Carnot utilizzando le proprietà del prodotto scalare. Indichiamo con a, b e c le lunghezze dei tre lati di un triangolo. Il teorema di Carnot afferma che

c2 = a2+b2 - 2ab cos θ dove θ è l'angolo tra i lati a e b.

a

bc

θ

Possiamo far corrispondere a ciascun lato del triangolo un vettore e possiamo scegliere i versi in maniera che sia ! ! !c a b= − .

c2 =! c • ! c = ! a −

! b ( ) • ! a −

! b ( ) =

Applicando la proprietà distributiva:

=! a • ! a − ! a •

! b +! b •! b −! b • ! a = a 2 + b2 − 2! a •

! b = a2 + b2 − 2ab cos θ

c.v.d. 2) Trovare la relazione tra i coseni direttori utilizzando le proprietà del prodotto scalare. La relazione da dimostrare è:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1 Sia dato il vettore ! ! ! !a u u u= + +a a ax x y y z z . Utilizzando la proprietà d) possiamo scrivere:

! a = ax! u x + ay

! u y + az! u z =

! a • ! u x( )! u x +! a • ! u y( )! u y +

! a • ! u z( )! u z =

= a cosα! u x + a cosβ! u y + a cosγ! u z =

Allora:

a2 = ! a • ! a = a2 cosα! u x + a cosβ! u y + cosγ

! u z( ) • cosα! u x + cosβ! u y + cos γ

! u z( ) == a2 cos2 α + cos2 β + cos2 γ( )

da cui si può derivare che:

( )cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + =


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c.v.d. 2.5.3 Prodotto vettoriale tra due vettori ( !c = !a∧

!b,!c =!a×!b ).

Il prodotto vettoriale si indica con il segno ∧, o il segno × , tra i due vettori. Il risultato di un prodotto vettoriale è un vettore. Il vettore !c , risultato del prodotto vettoriale

! a ×! b , è così definito:

- la sua direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori !a e !b . Pertanto il

vettore !c è perpendicolare sia ad !a che a !b .

- il suo modulo è dato da c = ab sin θ, dove θ è l'angolo minore di 180° tra !a e !b . (N.B. con

questa limitazione sull'angolo, c è un numero positivo)

!a

!b

!c

θ

- il suo verso è determinato dal verso indicato dal dito medio della mano destra quando il pollice è disposto secondo il vettore !a e l'indice secondo il vettore

!b . Cioè i vettori !a ,

!b e !c sono disposti come gli assi x,y e z di una terna cartesiana destrorsa. (E' facile applicare la

regola della mano destra quando i vettori !a e !b sono all'incirca ortogonali. Quando non è

così allora diventa complicato disporre le dita della mano destra secondo i vettori !a e !b .

Dobbiamo però notare che, in un prodotto vettoriale, la cosa importante è la componente di !b ortogonale ad !a ( b sin θ ), per cui basterà disporre l'indice secondo la componente di

!b

ortogonale ad !a .

Una maniera alternativa per definire il verso del vettore

! c = ! a ×! b , consiste sempre nell'uso della

mano destra, questa volta però chiusa a pugno e con il pollice sollevato. Si orienti il pugno in


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maniera che le dita indichino il verso in cui deve ruotare, dell'angolo θ minore di 180°, il vettore !a per sovrapporsi al vettore

!b . Allora il vettore

! c = ! a ×! b sarà diretto secondo il pollice.

2.5.3.1 Proprietà del prodotto vettoriale:

a) Il prodotto vettoriale non è commutativo infatti ! a ×! b = - ! b × ! a .

b) Se !a e !b sono paralleli, allora

!a×!b = 0.

c) Se !a e !b sono perpendicolari, allora

! a ×! b = ab.

d) !ux ×!ux = 0

!ux ×!uy =!uz!ux ×!uz = −

!uy

e) !uy ×!uy = 0

!uy ×!ux = −

!uz!uy ×!uz =!ux

f) !uz ×!uz = 0

!uz ×!ux =!uy!uz ×!uy = −

!ux

g) Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva rispetto alla somma !a×!b+!c( ) = !a×

!b+!a×!c

2.5.3.2 Valutazione del prodotto vettoriale per mezzo delle componenti. Siano dati i due vettori ! ! ! !a u u u= + +a a ax x y y z z e

! ! ! !b u u u= + +b b bx x y y z z . Il prodotto vettoriale

! a ×! b è dato da:

! c = ! a ×

! b = ax

! u x + ay! u y + az

! u z( ) × bx! u x + by

! u y + bz! u z( )

applicando la proprietà distributiva, si ha:

= ax! u x × bx

! u x + ay! u y × bx

! u x + az! u z × bx

! u x ++a x! u x × by

! u y + a y! u y × by

! u y + az! u z × by

! u y ++a x! u x × bz

! u z + a y! u y × bz

! u z + az! u z × bz

! u z =

= − + +

+ + − +

− + + =

0

0

0

a b a b

a b a b

a b a b

y x z z x y

x y z z y x

x z y y z x

! !

! !

! !

u uu uu u


43

= aybz −a zby( )! u x + azbx − axbz( )! u y + axby − aybx( )! u z Si può perciò scrivere:

c a b a bc a b a bc a b a b

x y z z y

y z x x z

z x y y x

= −

= −

= −

Utilizzando le proprietà dei determinanti si può scrivere:

!a×!b =

!ux!uy!uz

ax ay azbx by bz

=

=!ux

ay azby bz

−!uy

ax azbx bz

+!uz

ax aybx by

=

= aybz − azby( ) !ux + azbx − axbz( )!uy + axby − aybx( )

Possiamo verificare che !c è perpendicolare ad !a e

!b . Calcoliamo

! a • ! c :

! a • ! c = axcx + a ycy + azcz = axaybz − axazby ++a ya zbx − ayaxbz + azaxby − aza ybx = 0

2.5.3.3 Momento di un vettore. Sia !V un vettore applicato ad un punto P, la cui posizione rispetto al "polo" O è individuata dal

vettore posizione !r , si definisce momento del vettore !V rispetto al polo O il seguente prodotto

vettoriale:

! M = ! r ×

! V

Il modulo del momento è dato da M = rV sin θ = bV, dove θ è l'angolo tra !r e

!V , mentre b è la

distanza del punto O dalla retta di azione del vettore V e viene chiamato braccio. La direzione del momento è quella perpendicolare al piano che contiene !r e

!V , mentre il verso può essere

determinato con la regola della mano destra. 2.5.3.4 Interpretazione di una superficie come un vettore.


44

Con riferimento alla figura, l'area del parallelogramma è data da:

A = ah = ab sin θ Facendo corrispondere i vettori !a e

!b ai due

lati del parallelogramma come mostrato in figura, possiamo osservare che il prodotto vettoriale

! a ×! b ha come modulo proprio l'area

del parallelogramma. La superficie del parallelogramma d'altra parte

individua una direzione: quella normale alla superficie, che poi è anche la direzione di ! a ×! b . Se si

assegna alla superficie anche uno dei due versi possibili, per esempio quello coincidente con ! a ×! b ,

allora possiamo pensare di rappresentare la superficie del parallelogramma con il vettore ! a ×! b .

2.6 Significato di una relazione vettoriale. Consideriamo una relazione vettoriale

! a =! b

Dire che il vettore !a è uguale al vettore

! b , vuol dire che i due vettori hanno lo stesso modulo, la

stessa direzione e lo stesso verso. In termini di componenti questo vuol dire che comunque si scelgono due (nel piano, tre nello spazio) direzioni mutuamente ortogonali, le componenti cartesiane dei due vettori devono essere uguali. La singola equazione vettoriale risulta pertanto equivalente a due (nel piano, tre nello spazio) equazioni scalari tra le componenti. Scegliendo le direzioni degli assi coordinati x,y (e z): si avrà:

ax = bx! a =! b ⇔ ay = by

az = bz( )

Consideriamo la seconda legge di Newton:

! F ∑ = m! a

Sulla base di quello che abbiamo visto deve essere:

! F ∑( )

x= m! a ( )x

! F ∑( )

y= m! a ( )y

! F ∑( )

z= m! a ( ) z[ ]

Ma:

! F ∑( )

x= Fx∑ . Relazioni simili alla precedente valgono per le altre proiezioni. Inoltre

m! a ( )x = max e similmente per le altre proiezioni.

Alla fine si può dire che l’equazione vettoriale

θ

h = b sin θ

!a

!b

Area = ah = absinθ =! a ×! b


45

!F∑ =m

!a

è equivalente a due (se siamo nel piano, tre se siamo nello spazio) equazioni scalari del tipo:

F∑ x= max

F∑ y= may

F∑ z= maz[ ]

comunque si scelgano le direzioni degli assi x,y (e z), purché mutuamente ortogonali tra di esse. Nota bene: mentre l'equazione vettoriale è sempre la stessa qualunque sia il sistema di riferimento cartesiano scelto, le tre equazioni scalare ad essa corrispondente mantengono solo la forma passando da un sistema di riferimento ad un altro: infatti i valori delle componenti saranno diverse in sistemi di riferimento diversi.

2.7 Simboli collegati ad un vettore Supponiamo di avere il vettore !a . Richiamiamo in questo paragrafo finale i simbili ed il loro significato che sono collegati al vettore !a . Simbolo Significato !a Il simbolo con cui si indica la grandezza vettoriale.

Sui testi il simbolo utilizzati per rappresentare le grandezze vettoriali è in “grassetto”. Nei manoscritti, dove non è possibile scrivere in grassetto, il simbolo usato per rappresentare una grandezza vettoriale deve essere opportunamente distinto dai simboli che si usano per rappresentare grandezze scalari, per esempio su usa mettere una freccetta sopra al simbolo della grandezza vettoriale.

a Lo stesso simbolo utilizzato per rappresentare la grandezza vettoriale quando viene scritto non in grassetto (oppure senza la freccia sopra) indica il “modulo del vettore”.

ax Componente x del vettore !a ay Componente y del vettore !a az Componente z del vettore !a ar Componente radiale (ovvero parallela al vettore posizione, se positiva ha lo stesso

verso del vettore posizione) del vettore !a aθ Componente trasversa (ovvero perpendicolare al vettore posizione, se positiva è

disposta a+90° rispetto al vettore posizione) del vettore !a at Componente tangente alla traiettoria del vettore !a an Componente normale (perpendicolare alla traiettoria diretta verso la concavità

della traiettoria) del vettore !a !ua Versore del vettore !a , !ua ha la stessa direzione e lo stesso verso di !a !a x Vettore componente di !a parallelo all’asse x !a y Vettore componente di !a parallelo all’asse y !az Vettore componente di !a parallelo all’asse z

O ! i

y

xax

ay

!a1

!a

x'

y'

!a2

ax'

ay'

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