91

ANALISI DI TABELLE DI CONTINGENZA

92

TABELLE DI CONTINGENZA Una tabella di contingenza è una tabella di frequenza a doppia entrata in cui vengono incrociate due variabili qualitative.

Esempio

SESSO INTERESSE PER

STATISTICA Maschio Femmina Totale

Alto 62 26 88 Medio 35 29 64 Basso 3 45 48 Totale 100 100 200 Si ha una variabile di riga ("Interesse per statistica") e una variabile di colonna ("Sesso"), ciascuna con le proprie modalità o categorie. Ogni intersezione tra una riga e una colonna genera una casella, in cui compare la frequenza dei soggetti che rispondono alle due modalità che si incrociano: 62, ad esempio, indica quanti sono i maschi con un alto interesse per la statistica.

93

TABELLA DI CONTINGENZA 2 X 2 La classificazione di un insieme di soggetti secondo due criteri (ciascuno dei quali avente due livelli di classificazione) può essere rappresentata da una tabella 2 x 2.

I criterio

1 2 Totale

1 a b a+b

II cr

iterio

2 c d c+d

Totale a+c b+d n

2 colonne → 2 livelli del I criterio classificatorio; 2 righe → 2 livelli del II criterio classificatorio.

94

TABELLA DI CONTINGENZA m x n Si classifica secondo due criteri, aventi rispettivamente m ed n livelli di classificazione.

I criterio

1 2 … m

1

2

… II cr

iterio

n

m colonne → m livelli del I criterio classificatorio; n righe → n livelli del II criterio classificatorio.

95

IL TEST DI INDIPENDENZA χχχχ2

Il test χ2 è impiegato in molte aree di ricerca per analizzare dati presentati in forma di tabella di contingenza. Nel test di indipendenza si vuole sottoporre a test l’ipotesi nulla che due criteri di classificazione, applicati al medesimo insieme di dati, siano indipendenti. H0: le due variabili sono indipendenti; H1: le due variabili non sono indipendenti. Due criteri di classificazione sono indipendenti se la distribuzione rispetto a un criterio non viene influenzata dalla classificazione rispetto all’altro criterio. Se l’ipotesi nulla viene rifiutata, si conclude che i due criteri di classificazione non sono indipendenti.

96

Esempio La tabella seguente sintetizza i risultati di uno studio, condotto su un campione di 500 studenti, in cui si vuole indagare sulla relazione tra stato nutrizionale e rendimento scolastico.

Stato nutrizionale Povero Buono Totale

Scarso 105 15 120

Ren

dim

ento

sc

ola

stic

o

Soddisfacente 80 300 380

Totale 185 315 500

Esiste una relazione di dipendenza tra le due variabili?

Ipotesi H0: le due variabili sono indipendenti; H1: le due variabili non sono indipendenti.

Dei 500 soggetti 24% (120/500) 76% (380/500) rendimento scarso rendimento soddisfacente.

97

Calcolo delle frequenze attese Assumendo che H0 sia vera, cioè che lo stato nutrizionale non interferisca con il rendimento scolastico, le stesse percentuali dovrebbero verificarsi sia tra i soggetti con stato nutrizionale povero che con stato nutrizionale buono. La tabella seguente mostra le frequenze calcolate secondo la logica espressa.

Come costruire la tabella?

a =(n1/N)·n3

b =(n1/N)·n4

c = (n2/N)·n3

d = (n2/N)·n4

Stato nutrizionale Povero Buono Totale

Scarso 44.4 a 75.6 b 120 n1

Ren

dim

ento

sc

ola

stic

o

Soddisfacente 140.6 c 239.4 d 380 n2

Totale 185 n3 315 n4 500 N

98

I gradi di libertà Non è necessario calcolare tutte e quattro le frequenze attese. Noti i totali marginali, basta calcolare uno solo dei 4 valori attesi, per poter dedurre gli altri 3 valori per differenza. Per questo si dice che una tabella 2 x 2 ha 1 grado di libertà.

In generale

per calcolare i gradi di libertà di una tabella di contingenza, basta applicare la seguente formula:

gdl=(no di righe –1) x (no di colonne – 1) Esempi: gdl di una tabella 2 x 2 = (2-1) x (2-1) = 1 gdl di una tabella 3 x 2 = (3-1) x (2-1) = 2

gdl di una tabella m x n = (m-1) x (n-1)

99

Confronto tra frequenze osservate e attese Test χχχχ2

Le frequenze nelle due tabelle sono simili?

Stato nutrizionale Povero Buono Totale

Scarso 105 15 120

Ren

dim

ento

sc

ola

stic

o

Soddisfacente 80 300 380

Totale 185 315 500

Stato nutrizionale Povero Buono Totale

Scarso 44.4 75.6 120

Ren

dim

ento

sc

ola

stic

o

Soddisfacente 140.6 239.4 380

Totale 185 315 500

Evidentemente No

100

? Le differenze tra le due distribuzioni sono attribuibili al caso oppure il rendimento scolastico è, in qualche modo, legato allo stato nutrizionale? È necessario un test statistico che indichi se le differenze tra le frequenze osservate e le frequenze attese (sotto l’ipotesi di indipendenza) siano o no attribuibili alla variabilità casuale.

Test χχχχ2

cella nella attesa frequenza

cella) nella attesa frequenza - osservata (frequenza di somma

22 =χ

∑=E

E) - (O 22χ

dove O=frequenze osservate E= frequenze attese

101

Calcolo di χχχχ2 Calcoliamo il valore di χ2 utilizzando le informazioni contenute nelle tabelle precedenti.

Si ottiene un valore del test χ2=172.75 con 1gdl.

La consultazione della tavola sinottica del χ2 consente la lettura dei valori critici. Per α = 0.05 e 1gdl, il valore critico di χ2 =3.84

Decisione statistica

Regola di decisione Poiché 172.75[χ2 calcolato] > 3.84 [χ2 critico] rifiuto l’ipotesi nulla.

( ) ( ) ( ) ( )

172.75

34.15 12.26 58.48 71.82 4.239

36.3672

6.140

36.3672

6.75

36.3672

4.44

36.3672

4.239

)6.60(

6.140

)6.60(

6.75

)6.60(

4.44

6.60

4.239

4.239300

6.140

6.14080

6.75

6.7515

4.44

4.44105

2222

22222

==+++=

=+++=

=+−+−+=

=−+−+−+−=χ

Rifiuto H0 se χ2 calcolato > χ2 tabulato

102

Conclusione

Concludo, con una probabilità di errore di prima specie α α α α =0.05, che esiste una relazione di dipendenza tra stato nutrizionale e rendimento scolastico.

103

RIASSUMENDO:

COME UTILIZZARE IL TEST χχχχ2

- Tabulare i dati in una tabella di contingenza, in cui compaiano i totali marginali (tabella delle frequenze osservate). - Stabilire l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa. - Calcolare le frequenze attese, sotto l’ipotesi che H0 sia vera. - Sulla base delle frequenze osservate e attese, calcolare il test χ2. - Calcolare i gradi di libertà relativi alla tabella di contingenza. - Cercare sulla tabella sinottica del χ2 il valore critico per il valore di α prefissato e per i gradi di libertà calcolati. - Applicare la regola di decisione statistica e trarre la conseguente conclusione.

104

CONDIZIONI PER L’USO DEL TEST χχχχ2 Le frequenze attese piccole

1. Tabella di contingenza 2 x 2 con 1 gdl.

Il test χ2 non dovrebbe essere usato quando n<20 o se 20<n<40 e c’è almeno una frequenza attesa minore di 5. Se n≥40 si può tollerare una sola frequenza attesa minima, non minore di 1.

2. Tabella di contingenza con più di 1 gdl.

Una frequenza attesa minima di 1 è accettabile se non più del 20% delle celle ha frequenze attese minori di 5. Quando ciò non si verifica si possono aggregare opportunamente righe o colonne adiacenti, per aumentare le frequenze nelle celle della tabella.

105

Test χχχχ2 di indipendenza e test z sulla differenza tra 2 proporzioni.

Il test χχχχ2 applicato ad una tabella 2 x 2 corrisponde ad un test sulla differenza tra due proporzioni. (Vedi pagg. 89-90) Stato nutrizionale

Povero Buono Totale

Scarso 105 15 120

Ren

dim

ento

sc

ola

stic

o

Soddisfacente 80 300 380

Totale 185 315 500

? La proporzione di studenti con rendimento scarso è uguale all’interno dei due gruppi con diverso stato nutrizionale? Ipotesi H0 → prendimento scarso | nutrizione povera = prendimento scarso | nutrizione buona

H1 → prendimento scarso | nutrizione povera ≠ prendimento scarso | nutrizione buona

Si tratta di un test bidirezionale; per α = 0.05, z critico = z1-α/2 = z0.975 =±1.96.

106

Calcoliamo z dai dati campionari:

57.0185

105p̂1 == 05.0

315

15p̂ 2 ==

24.0500

120

315185

15105

21

21 ==++=

++

=nn

xxp

( ) ( )13

315

24.0124.0

185

24.0124.0

05.057.0 =−⋅+−⋅

−=z

Decisione statistica Rifiuto H0, perché 13, maggiore di 1.96, cade nella regione di rifiuto.

Conclusione La proporzione di studenti con rendimento scarso non è uguale all’interno dei due gruppi con diverso stato nutrizionale. Ciò equivale a dire che esiste una relazione di dipendenza tra rendimento scolastico e stato nutrizionale.

( ) ( )( ) ( )

21

02121

11

ˆˆ

n

pp

n

pp

ppppz

−+−−−−=

107

MISURE DI ASSOCIAZIONE TRA DUE VARIABILI NOMINALI.

Negli studi epidemiologici (Vedi I parte pagg. 89-90) si è interessati a confrontare la probabilità di un evento (spesso la malattia) in soggetti esposti a un potenziale fattore di rischio e in soggetti non esposti.

Si ricorda che:

- in uno studio prospettivo, studio di incidenza, il ricercatore seleziona due campioni, uno formato da soggetti esposti al fattore di rischio e l’altro da soggetti non esposti. I soggetti vengono seguiti nel tempo in modo da registrare i casi di malattia nei due gruppi; - in uno studio retrospettivo, studio caso-controllo, il ricercatore è interessato a determinare retrospettivamente la distribuzione del fattore di rischio nei casi (soggetti con la malattia) e nei controlli (soggetti sani).

108

STUDI PROSPETTIVI E RISCHIO RELATIVO

I risultati di uno studio di incidenza possono essere sintetizzati in una tabella di contingenza 2 x 2:

INFARTO MIOCARDICO FATTORE DI RISCHIO Sì No Totale

Colesterolo ≥240 mg/dl 9 211 220 Colesterolo <240mg/dl 3 257 260 Totale 12 468 480

In generale:

Il rischio di contrarre la malattia nei soggetti esposti è:

ba

a

+

Il rischio di contrarre la malattia nei soggetti non esposti è:

dc

c

+

MALATTIA FATTORE DI RISCHIO Sì No Totale Esposti a b a+b Non esposti c d c+d Totale a+c b+d n

109

Il rischio relativo RR

Il rischio relativo (RR) è il rapporto tra l’ incidenza della malattia (o rischio assoluto o probabilità di ammalare) negli esposti al fattore di rischio e l’incidenza della malattia (o rischio assoluto o probabilità di ammalare) nei non esposti.

RR= )(

)(

dcc

baa

++

Il rischio relativo RR, calcolato su un campione, può essere usato come stima del rischio relativo RR nella popolazione dalla quale il campione è stato estratto. N.B. RR = rischio relativo calcolato sui dati campionari

RR = rischio relativo nella popolazione

110

Come interpretare i valori assunti dal RR

Il Rischio Relativo può assumere valori compresi tra zero e infinito.

• Se RR=0: non c’è associazione tra la presenza o meno del fattore di rischio e la malattia.

• Se RR=1: il rischio di contrarre la malattia è uguale per i soggetti esposti e per i soggetti non esposti al fattore di rischio.

• Se RR>1: il rischio di contrarre la malattia è maggiore tra i soggetti esposti.

• Se RR<1: il rischio di contrarre la malattia è minore tra i soggetti esposti.

Esempio L’essere sposati con un fumatore è associato a un rischio relativo di malattie cardiache pari a 1.3. Ciò significa che i non fumatori sposati con fumatori sono colpiti 1.3 volte di più da malattie cardiache rispetto a non fumatori sposati con non fumatori.

111

Intervallo di confidenza per RR

Possiamo costruire un intervallo di confidenza per RR con il seguente metodo:

)/(1 ..)%1(100

22/1 χα azRRCI −±=−

dove z1-α/2 è il valore bidirezionale e ∑=

−=k

i i

ii

E

EO

1

22 )(χ

112

Esercizio Daniel pag.506 12.7.1

Tra i dati raccolti in uno studio prospettivo sulla depressione postnatale nelle donne (Boyce et al.) compaiono i dati riassunti nella tabella che segue. Dal campione dei soggetti in studio, si vuole stimare il rischio relativo di diventare un “caso” di depressione postnatale in donne primipare, sposate o conviventi in maniera stabile, ad un mese dal parto, quando è presente il fattore di rischio, rappresentato da un partner indifferente.

Dai dati in tabella calcoliamo RR:

RR= 2.20889.0

1923.0

908

265==

Il rischio di diventare un caso (sviluppare depressione) è 2.2 volte superiore nelle donne che hanno partner indifferenti.

Depressione Partner indifferente Sì No Totale

Sì 5 21 26 No 8 82 90 Totale 13 103 116

113

Calcoliamo l’intervallo di confidenza al 95% per RR con la seguente formula:

)/(1 ..)%1(100

22/1 χα azRRCI −±=−

z=1.96 ∑=

=−=k

i i

ii

E

EO

1

22 1682.2

)(χ

28.6;77.02.2 )/(1 2.1682(1.96/1

22/1 ==

± ±− χazRR Poiché l’intervallo include 1, il RR nella popolazione può essere uguale a 1. Pertanto si può concludere che, ad un livello di significatività dello 0.05%, non ci dovrebbe essere un rischio maggiore di diventare depresse, un mese dopo il parto, se il partner è indifferente.

Depressione Partner indifferente Sì No Totale

Sì 5 (2.92) 21(23.09) 26 No 8(10.08) 82(79.91) 90 Totale 13 103 116

114

STUDI CASO-CONTROLLO E ODDS RATIO

I risultati di uno studio caso-controllo possono essere sintetizzati in una tabella di contingenza 2 x 2: INFARTO MIOCARDICO FATTORE DI RISCHIO Casi Controlli Totale

Colesterolo ≥240 mg/dl 100 70 170 Colesterolo <240mg/dl 87 193 280 Totale 187 263 450

In generale:

L’odds ratio è la misura appropriata per confrontare casi e controlli in uno studio retrospettivo.

MALATTIA FATTORE DI RISCHIO Casi Controlli Totale Esposti a b a+b Non esposti c d c+d Totale a+c b+d n

115

Definizione di odds L’ odds (probabilità) di un evento può essere definito come il rapporto della probabilità che l’evento considerato si verifichi e il suo complemento a 1, cioè la probabilità che l’evento non si verifichi.

)

di àProbabilit

di àProbabilit Odds

EP(

P(E)

E

E ==

malattianon di àProbabilit

malattia di àProbabilit malattia di Odds =

Con riferimento alla tabella,

• l’odds di malattia (probabilità di essere un caso) tra i soggetti esposti è:

b

a

ba

b

ba

a =++

/

• l’odds di malattia (probabilità di essere un caso) tra i soggetti non esposti è:

d

c

dc

d

dc

c =++

/

MALATTIA FATTORE DI RISCHIO Casi Controlli Totale Esposti a b a+b Non esposti c d c+d Totale a+c b+d n

116

L’Odds ratio OR

L’odds ratio OR è il rapporto tra gli odds di malattia nei soggetti esposti al fattore di rischio e gli odds di malattia nei soggetti non esposti:

OR= bc

ad

dc

ba

=

L’odds ratio viene definito rapporto crociato in quanto può essere calcolato come rapporto tra i prodotti dei termini situati sulle diagonali della tabella 2x2. N.B. OR = rapporto di odds calcolato su dati campionari

OR = rapporto di odds della popolazione

117

Come interpretare i valori assunti da =OR

L’Odds Ratio può assumere valori compresi tra zero e infinito.

• Se OR=0: non c’è associazione tra la presenza o meno del fattore di rischio e la malattia.

• Se OR=1: il rischio di contrarre la malattia è uguale per i soggetti esposti e per i soggetti non esposti al fattore di rischio.

• Se OR>1: il rischio di contrarre la malattia è maggiore tra i soggetti esposti.

• Se OR<1: il rischio di contrarre la malattia è minore tra i soggetti esposti.

Intervallo di confidenza per OR

OR è la stima di OR, rapporto di odds nella popolazione.

)/(1 ..

22/1 χazORCI −±= dove ∑

=

−=k

i i

ii

E

EO

1

22 )(χ

118

Esercizio Daniel pag.509 12.7.2

La tavola che segue riporta 158 soggetti classificati come casi e controlli rispetto alla presenza dell’infezione da sifilide e secondo il numero di partner sessuali (fattore di rischio) negli ultimi 90 giorni. Si desidera confrontare l’odds dell’infezione da sifilide tra i soggetti con tre o più partner sessuali, negli ultimi 90 giorni, rispetto all’odds dei soggetti con nessun partner sessuale negli ultimi 90 giorni.

Cohen et al., American Journal of Public Health, 82(1992), 552-556

OR= 46.31058

4941 =⋅⋅==

bc

ad

dc

ba

Coloro che hanno avuto tre o più partner sessuali negli ultimi 90 giorni hanno una probabilità di infezione 3.46 volte più elevata dei non casi.

Infezione da sifilide

NO di partner sessuali negli ultimi 90 gg

Casi Controlli Totale

≥ 3 41 58 99 0 10 49 59 Totale 51 107 158

119

I.C. al 95% per OR

)/(1 22/1.. χazORCI −±=

1223.10)(

1

22 =

−=∑

=

k

i i

ii

E

EOχ

L1;L2= 43.7;61.146.3 )1223.10/96.1(1 =±

I limiti inferiore e superiore dell’intervallo di confidenza di OR sono 1.61 e 7.43. Conclusione Abbiamo un grado di fiducia del 95% che l’OR della popolazione sia compreso entro i due limiti calcolati. Poiché l’intervallo non contiene 1 è possibile concludere che nella popolazione aver avuto 3 o più partner sessuali negli ultimi 90 gg aumenta la probabilità di contrarre la malattia di 3.46 volte.

120

IL χχχχ2 DI MANTEL-HAENSZEL

Variabile di confounding

Nello studio della relazione tra una data malattia e un presunto fattore di rischio, può capitare che vi sia un’altra variabile (associata alla malattia, al fattore di rischio o ad entrambi), che può falsare la vera relazione tra le due variabili. La tecnica di Mantel-Haenszel consente di controllare la variabile di confounding, in modo da ottenere una valutazione non ambigua della relazione tra malattia e fattore di rischio. Come procedere?

I soggetti, casi o controlli, vengono assegnati a strati, che corrispondono alle diverse modalità della variabile di confounding. La variabile di confounding può essere categoriale o continua; se è continua deve essere categorizzata.

Esempio: se la variabile di confounding è l’età, è possibile categorizzarla raggruppando i dati in classi di età mutuamente esclusive.

121

Come calcolare il χχχχ2 di Mantel-Haenszel

1.Formare tanti strati quante sono le classi della

variabile di confounding: ↓

k classi della variabile di confounding k strati. La tabella seguente riporta i dati relativi all’i-esimo strato.

2.Per ogni strato calcolare la frequenza attesa ei

relativa alla cella a sinistra della prima riga della tabella, nel seguente modo:

i

iiiii

n

cabae

))(( ++=

Campione Fattore di rischio Casi Controlli Totale

Presente ai bi ai+bi Assente ci di ci+di

Totale ai+ci bi+di ni

122

3.Per ogni strato calcolare la quantità:

)1(

))()()((2 −

++++=

ii

iiiiiiiii nn

dbcadcbav

4.Calcolare il χ2 di Mantel-Haenszel nel seguente

modo:

∑

∑

=

=

−=

k

ii

k

iii

MH

v

ea

1

1

2

2

)(χ

5.Rifiuta H0, ipotesi nulla di nessuna associazione

nella popolazione tra la malattia e il fattore di rischio sospetto, se il valore 2MHχ calcolato dai dati campionari è ≥ al valore critico, cioè al valore tabulato del χ2 con 1 g.d.l. e con il livello di significatività prescelto.

123

L’ODDS RATIO DI MANTEL-HAENSZEL Quando si hanno k strati, è possibile calcolare l’odds ratio di Mantel-Haenszel, ORMH, nel seguente modo:

∑

∑

=

=

= k

i i

ii

k

i i

ii

MH

ncb

nda

OR

1

1

N.B. → Assunzione: nella popolazione l’odds ratio è uguale in ogni strato.

124

Esercizio Si vuole valutare l’efficacia di una profilassi antibiotica su pazienti da sottoporre a due diversi tipi di intervento chirurgico (intervento A e intervento B), in relazione alla comparsa di eventuali infezioni postoperatorie. Prima dell’intervento, fu somministrato antibiotico a 303 dei 606 pazienti da sottoporre all’intervento A, mentre i restanti 303 ricevettero un placebo; fu somministrato antibiotico a 301 dei 612 pazienti da sottoporre all’intervento B, mentre i restanti 311 ricevettero un placebo. La comparsa di infezioni postoperatorie nei pazienti esaminati è sintetizzata nella tabella seguente.

Antibiotico Placebo Totale Intervento A

Numero totale di pazienti

Numero di pazienti affetti da infezione postoperatoria Intervento B

Numero totale di pazienti

Numero di pazienti affetti da infezione postoperatoria

303

26

301

14

303

43

311

25

606

69

612

39

Esiste associazione tra profilassi antibiotica prima dell’intervento e comparsa di infezioni postoperatorie, in pazienti sottoposti ai due tipi di intervento? Si desidera confrontare i dati rispetto al tipo di intervento chirurgico. Sia alfa = 0.05

125

Soluzione Assunzioni Sono verificate le assunzioni necessarie per un uso appropriato del test χ2 di Mantel-Haenszel Ipotesi H0: non c’è associazione tra trattamento antibiotico perioperatorio e comparsa di infezioni postoperatorie in pazienti sottoposti a intervento di tipo A e di tipo B. H1: c’è associazione tra trattamento antibiotico perioperatorio e comparsa di infezioni postoperatorie in pazienti sottoposti a intervento di tipo A e di tipo B. Test Chi-quadrato con 1 g.d.l.

∑

∑

=

=

−=

k

ii

k

iii

MH

v

ea

1

1

2

2

)(χ

126

Regola di decisione

Per α=0.05 il valore di χ2 critico è 3.841. Rifiutiamo H0 se il valore calcolato della statistica test è ≥ 3.841. Calcolo del χ2

MH

Per prima cosa è opportuno sintetizzare i dati come nelle tabelle seguenti: Infezione

postoperatoria

Fattore di rischio (nessun antibiotico prima dell’intervento)

Sì No Totale

Sì 43 260 303 No 26 277 303 Totale 69 537 606 Infezione

postoperatoria

Fattore di rischio (nessun antibiotico prima dell’intervento)

Sì No Totale

Sì 25 286 311 No 14 287 301 Totale 39 573 612

Intervento A: strato1

Intervento B: strato 2

127

Calcolo delle frequenze attese:

e1=(43+260)(43+26)/606=303·69/606=34.5 e2=(25+286)(25+14)/612=311·39/612=19.82 Calcolo di v1 e di v2:

v1=(303)(303)(69)(537)/(6062)(606-1)=15.3112 v2=(311)(301)(39)(573)/(6122)(612-1)=9.1418 Calcolo di χ2:

05.41418.93112.15

)82.1925()5.3443( 222 =

+−+−=MHχ

Decisione statistica e conclusione Poiché 4.05 > 3.841, rifiutiamo H0 e concludiamo che c’è relazione tra profilassi antibiotica perioperatoria e comparsa di infezioni postoperatorie, dopo aver corretto rispetto alla variabile di confounding “Tipo di intervento chirurgico A o B”.

128

Calcolo dell’odds ratio di Mantel-Haenszel Dai dati stratificati della tabella è possibile calcolare l’odds ratio: - calcoliamo il numeratore del rapporto:

(a1d1/n1) + (a2d2/n2) = = [(43)(277)/606] + [(25)(287)/612] = 31.378972 - calcoliamo il denominatore:

(b1c1/n1) + (b2c2/n2) = = [(260)(26)/606] + [(286)(14)/612] = 17.697599 L’odds ratio sarà:

ORMH = 31.378972 / 17.697599 = 1.77 Da questi risultati è possibile stimare che i pazienti sottoposti ad intervento di tipo A o di tipo B a cui non è stato somministrato antibiotico prima dell’intervento, hanno una probabilità 1.77 maggiore di sviluppare infezioni postoperatorie, rispetto ai pazienti cui è stato somministrato l’antibiotico.