1905 : l’annus mirabilis diAlbert Einstein

enrico giaché del liceo scientifico “Vito Volterra” di Ciampino

Salve

Questa è una lezione sotto forma di conferenza per

onorare Albert Einstein che nel 1905 stupì il mondo

con la Relatività Particolare/Ristretta/Speciale, dieci

anni dopo lo sconvolgerà con la Relatività Generale.

Isaac Newton

� …se ho visto più in là di Cartesio è perché mi sono drizzato sulle spalle di giganti…

Sulle spalle di giganti

A E

HP

J.C IM N

H G H.AM G L

Il mondo prima di Einstein:

� Galileo Galilei (1564 – 1642) Italia

� Christiaan Huygens (1629 – 1695) Olanda

� Isaac Newton (1642 – 1727) Inghilterra

� James Clerk Maxwell (1831 – 1879) Inghilterra

� Albert Abraham Michelson (1852 – 1931) Polonia/USA

� Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) Olanda

� Henri Poincaré (1854 – 1912) Francia

� Hermann Minkowski (1864 – 1909) Lituania

� Albert Einstein (1879 – 1955) Germania/Svizzera/USA

Galileo Galilei (1564 – 1642)

y y’

v

O’ x’

O x

Galileo Galilei (1564-1642)

� La relatività classica: qualsiasi legge del moto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali

� Trasformazioni di Galileo: trasformazioni delle coordinate per due sistemi di riferimento inerziali SS e SS’’ con SS’’ che si muove con velocità v rispetto a S (per t=0 S ed SS (per t=0 S ed S’’ sono coincidenti)sono coincidenti)

y y’ v

S S’

O x O’ x’

z z’

x = x’ + vt; y = y’; z = z’; t = t’

x’ = x - vt; y’ = y; z’ = z; t’ = t

Galileo Galilei (1564-1642)

�Legge galileiana di composizione delle velocità: u = u’ ± v

dove u’: velocità relativa del punto P rispetto al sistema di

riferimento S’

v: velocità del sistema di riferimento S’ rispetto a quello S

u: velocità assoluta del punto P rispetto al riferimento S

y y’

v P u’

S S’

O x O’ x’

Christiaan Huygens (1629 – 1695)

� Natura ondulatoria della luce

Isaac Newton (1642 – 1727)

� Natura corpuscolare della luce

� Meccanica

James Clerk Maxwell (1831 – 1879)

James Clerk Maxwell (1831-1879)

� La teoria dell’elettromagnetismo, introdotta da Maxwell nel 1864, prediceva, tra le altre cose, che la velocità della luce c è una costante universale (c = 1/√ε0µ0 = 2,997925 x 108 m/s). Poiché in base al principio dei moti relativi della teoria cinematica newtoniana, le velocità dipendono dal sistema di riferimento in cui vengono misurate, l’universalità di c implicherebbe l’esistenza di un sistema di riferimento privilegiato in cui essa assumerebbe questo valore. In tutti glialtri sistemi di riferimento, la velocità della luce differirebbe da c per la velocità di trascinamento. Inoltre, essendo previsto dalla teoria prima di Huygens e poi di Maxwell, che la luce si propaga come un’onda, è stata postulata l’esistenza di un mezzo, l’etere, in cui tale onda si dovrebbe propagare. Il sistema di riferimento privilegiato è il sistema di riferimento dell’etere.

� ε0 (permittività del vuoto) = 8,85 10-12 C2/Nm2 µ0 (permeabilità del vuoto) = 4π 10-7 Tm/A = 1,26 10-6 Tm/A

Albert Abraham Michelson (1852 – 1931; Nobel 1907)

Si suppose quindi che l’etere riempisse tutto lo spazio e fosse il mezzo rispetto al quale la luce avesse velocità c. Ne seguiva quindi che un osservatore in movimento attraverso l’etere con velocità v doveva misurare una velocità c’ per un raggio di luce, dove c’ = c ± v. Era questo risultato che l’esperimento di Michelson nel 1881 e con Morley nel 1887 e poi con tanti altri doveva sottoporre a verifica. L’esperimento non diede mai i risultati attesi.

InterferometroSpecchio 2

d2

Specchio 1

Specchio semiargentato

d1

v

Velocità dell’interferometro rispetto all’etere

Schermo

Analisi quantitativa1Facendo riferimento all’interferometroprecedente, osserviamo che in assenza del vento d’etere il tempo t0 impiegato dalla luce per coprire la distanza d1 e per tornare è t0=2d1/c.

Se invece supponiamo che la velocitàdel vento d’etere si componga con la velocità della luce, il tempo t1 è:

Da notare che è stata usata la composizione classica delle velocità.

d1

velocità dell’interferometro rispetto all’etere

2

1

22

1111

1

122

−

=−

=+

+−

=

c

vc

d

vc

cd

vc

d

vc

dt

Analisi quantitativa2Calcoliamo ora il tempo t2impiegato dal raggio luminoso per coprire la distanza d2 e ritorno. Questa volta, essendo la distanza perpendicolare al vento d’etere, la luce percorre uno spazio diverso

Vt2/2

Specchio 2

d2 percorso effettivo della luce

velocità dell’inerferometrorispetto all’etere

d2

2

22

22

2

+vt

d

2

2

2

22

2

2

1

1222

−

=

+

=

c

vc

d

c

vtd

t

Analisi quantitativa3La differenza dei tempi impiegati dai due raggi per percorrere le distanze fra i due specchi è:

Ma il risultato di questa formula è fortemente condizionato dalle distanze d1 e d2, quindi M.&M. procedettero alla rotazione dell’interferometro di 90° facendo diventare d1 il cammino percorso dalla luce perpendicolarmente a v e d2 quello percorso nella direzione di v; indicando con ∆t’ la differenza dei tempi ottenendo

−

−

−

=−=∆2

1

2

212

11

2

c

v

d

c

v

d

cttt

−

−

−

=∆2

1

2

2

11

2'

c

v

d

c

v

d

ct

Analisi quantitativa4

�Si ha pertanto fra i due intervalli una differenza

Ipotizzando c = 300.000 km/s; v = 30 km/s; d1=d2= 1m otteniamo ∆(∆t) = 6,67 10-14s che moltiplicato per c dà ∆x = 20µm valore piccolo ma l’interferometro era in grado di mettere in evidenza differenze molto piùpiccole.

( )( )

≠≠==

=

−

+−

−

+=∆−∆=∆∆

00

00

11

2')(

2

21

2

21

vper

vper

c

v

dd

c

v

dd

cttt

Analisi� Il risultato più volte ottenuto fu ∆(∆t)=0 in disaccordo con le

aspettative.� Per giustificare il mancato risultato furono proposte diverse

teorie ad hoc:1. la teoria secondo cui la Terra ha velocità nulla rispetto

all’etere, perché il sistema di riferimento dell’etere coincide con quello terrestre (in contrasto con il fenomeno dell’aberrazione della luce).

2. ipotesi della contrazione dei regoli nella direzione del moto rispetto all’etere e sulla dilatazione dei tempi in misura tale da poter ottenere gli stessi dati sperimentali (H.A.Lorentz + George Francis Fitzgerald (Irlanda 1851 – 1901))

3. non esiste alcun riferimento privilegiato, cioè la luce ha la stessa velocità c in tutti i sistemi di riferimento inerziali (A. Einstein).

Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928; Nobel 1902)

Hendrik Antoon Lorentz� Le trasformazioni delle coordinate di Lorentz per due sistemi

di riferimento inerziali S e S’, con S’ che si muove con velocità costante v rispetto a S sono state postulate da Lorentz e da Fitzgerald per spiegare il risultato dell’interferometro di Michelson

S y S’ y’

v

O x O’ x’

z z’

Trasformate L1� Basandoci sull’ipotesi che lo spazio ed il tempo

siano omogenei (tutti i punti nello spazio e nel tempo siano equivalenti) ci aspettiamo che le equazioni di trasformazione cercate siano lineari, cioè equazioni di primo grado

+++=

+++=

+++=

+++=

tazayaxat

tazayaxaz

tazayaxay

tazayaxax

44434241

34333231

24232221

14131211

'

'

'

'

Trasformate L2� Con l’ausilio dei due postulati della relatività e

diverse condizioni al contorno siamo in grado di determinare i sedici coefficienti amn.

� Le equazioni di trasformazione di Lorentz:

−

−=

=

=

−

−=

2

2

2

1

'

'

'

1

'

c

v

c

vxt

t

zz

yy

c

v

vtxx

−

+=

=

=

−

+=

2

2

2

1

''

'

'

1

''

c

v

c

vxt

t

zz

yy

c

v

vtxx

Trasformate L3

( )

+=

=

=

+=

''

'

'

''

2x

c

vtt

zz

yy

vtxx

γ

γ( )

−=

=

=

−=

xc

vtt

zz

yy

vtxx

2'

'

'

'

γ

γ

11

12≥

−=

βγ

� definendo

1≤=c

vβ

Albert Einstein (14/3/1879 ore 11 e 30’ – 18/4/1955 ore 1 e 15’; Nobel 1921)

18 marzo 1905 (da Annalen der Physik)

� Über einen die Erzeugung und Verwandlung desLichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt.

� (Un punto di vista euristico relativo alla generazione e trasformazione della luce)

� Contiene la scoperta dei quanti di luce (fotoni) e come minore applicazione la spiegazione dell'effetto fotoelettrico. Per questo lavoro nel 1921 otterrà il premio Nobel.

euristico: relativo a ipotesi posta a base di una ricerca scientifica

30 aprile 1905

tesi di dottorato

� Uber eine neue Bestimmung derMolekuldimensionen

� Su una nuova determinazione delle dimensioni molecolari

11 maggio 1905 (da Annalen der Physik)

prima memoria sul moto browniano� Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme

geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeitensuspendierten Teilchen.

� (Sul moto di particelle in sospensione in un fluido in quiete, come previsto dalla teoria cinetico-molecolare del calore);

� contiene la teoria del moto browniano (fenomeno che deve il proprio nome al botanico scozzese Robert Brown che nel 1827 aveva scoperto che granelli di polline sospesi in soluzione erano soggetti a un moto continuo e irregolare visibile al microscopio), mostra una volta di più la reale esistenza degli atomi e determina in un nuovo modo il numero di Avogadro.

30 giugno 1905 (da Annalen der Physik)

prima memoria sulla relatività ristretta

� Zur Elektrodynamik bewegter Körper.

� (Elettrodinamica dei corpi in movimento)

� Contiene la teoria della relatività ristretta.

27 settembre 1905

seconda memoria sulla teoria della relatività ristretta

�Ist die Tragheit eines Korpers von seinemEnergieinhalt abhangig?

�L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

E = mc2

19 dicembre 1905seconda memoria sul moto browniano

� Zur Theorie der Brownschen Bewegug

� Sulla teoria del moto browniano

I postulati della relatività ristretta

� Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali. Non esiste un sistema inerziale privilegiato.

� La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sistemi di riferimento inerziali in modo indipendente dal moto del sistema stesso o della sorgente da cui la luce è stata emessa.

Composizione delle velocitàNella fisica classica di Galileo e di Newton, come abbiamo giàvisto, se abbiamo un treno che si muove con velocità v rispetto alla Terra e un passeggero sul treno si muove con velocità u’

rispetto al treno, la velocità u del passeggero rispetto alla Terra è semplicemente la somma vettoriale delle due velocità

u = u’ ± v

Affrontiamo ora lo stesso problema utilizzando le trasformazionidi Lorentz.

Poiché la velocità è il rapporto tra uno spazio e un tempo, e lo spazio e il tempo acquistano valori diversi per i due osservatori nei due sistemi di riferimento, dobbiamo calcolare la velocitàcome rapporto tra lo spazio e il tempo misurati sempre dallo stesso osservatore.

Composizione delle velocità2Se quindi rispetto a O’ è x’

lo spazio percorso dopo il

tempo t’, si ha: x’ = u’t’

Passando dall’osservatore

O’ all’osservatore O, per le

trasformazioni di Lorentz si

ha:

( )

( )

+

⋅+=

⋅+=

+

+=+

+−=

−=−

−

−=

−

−

−

−=

=−

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

'1

'

''

1

''

''

'

1'

1

1'

''1

'

c

vu

tvux

tvuc

vux

vttuc

vxux

vtc

vxutux

c

vxtuvtx

c

vxt

uvtx

xc

vt

t

tuvtx

x

ββ

β

β

Composizione delle velocità3

Se indichiamo con u la velocità del passeggero relativa alla Terra, la sua posizione rispetto alla Terra è data, in funzione del tempo, da x = ut, confrontandola con la precedente otteniamo il Teorema relativistico di addizione delle velocità o di Einstein/Poincaré (1905):

2

'1

'

c

vu

vuu

+

+=

Composizione delle velocità4

ex: per u’ = c otteniamo

ex: per u’ = - c

ex: per u’ = v = c

ex: per u’ = c; v = - c ( )( )

ccccc

ccc

cc

cc

c

cc

ccu

cc

c

cc

ccu

ccvc

vccvc

cv

c

cv

vcu

ccvc

vc

c

cv

vcu

=−−

=−−

=−

−=

==+

+=

−=

−−

−=−−

=−

+−=

=++

=+

+=

22

22

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

'1

'

c

vu

vuu

+

+=

Che cos’è il tempo?� … che cos’è il tempo? Se nessuno me lo chiede, lo so; se

voglio, però, spiegarlo a chi me lo chiede, allora non lo so più. Comunque, posso dire con sicurezza di sapere che, se non passasse nulla, non esisterebbe un tempo passato; se nulla dovesse venire, non esisterebbe un tempo futuro; se non esistesse nulla, non esisterebbe un tempo presente…(da “Le Confessioni” di Sant’Agostino 354-430)

� …il tempo assoluto, per sua stessa natura, scorre uniformemente senza alcuna relazione ad alcunché esterno…(da “Principia” di Isaac Newton)

� In base al presupposto di un tempo universale, il concetto di simultaneità sembrava così chiaro ed evidente che nessuno prima di Einstein aveva cercato di discuterlo.

Simultaneità (gedanken experimenten di Einstein)

…non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere istantaneamente in tutti i punti dello spazio l'informazione dell'avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l'una dall'altra, sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo stato di moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase "le due stelle sono esplose nello stesso istante"; avrebbe cioè un eguale senso per tutti il concetto di simultaneità di due eventi che accadono in punti lontani dello spazio. Ma, se esistesse la simultaneità assoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell'universo, per quanto in moto relativo e lontani uno dall'altro, e quindi esisterebbe un tempo assoluto che "scorrerebbe" uguale per tutti gli osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmettere segnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento, si rende plausibile il fatto che il tempo non "scorre" ugualmente in sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro.

Concetto di simultaneità

� L’assioma della costanza della velocità della luce permette di stabilire in modo operativo e non ambiguo quando due eventi sono simultanei o no.

� Diciamo che due fenomeni F1 e F2 (che avvengono nei punti P1 e P2) sono simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante in un punto P equidistante da P1 e da P2.

� Eventi che sono simultanei in un particolare sistema di riferimento inerziale possono cessare di esserlo se la misura avviene rispetto a un diverso riferimento inerziale.

Simultaneità (esempio)

�Un osservatore si trova al buio al centro di un lungo vagone di un treno in moto con velocità costante. A un certo istante, utilizzando un’apposita sorgente, l’uomo invia due pennelli luminosi diretti verso le due estremità del vagone, sulle cui pareti si trovano dei dispositivi in grado di segnalare l’arrivo della radiazione luminosa. Poiché la velocità della luce è costante, l’onda raggiungerà i due dispositivi segnalatori nello stesso intervallo di tempo. Per l’osservatore posto nell’interno del vagone i due eventi, “luce che raggiunge la testa” e “luce che raggiunge la coda”avvengono simultaneamente.

Simultaneità (segue esempio)

�Consideriamo ora il punto di vista dell’osservatore posto a terra con il proprio orologio mentre passa il treno. Anche per lui la luce si muove in entrambe le direzioni con velocità costante; però, nel valutare la stessa sequenza degli eventi, nota che, mentre la parete posteriore del vagone si avvicina verso la luce, quella anteriore se ne allontana. Per il secondo osservatore, quindi, i due eventi, “luce che raggiunge la testa” e “luce che raggiunge la coda”, non sono simultanei.

Simultaneità

Sequenza degli eventi visti dall’osservatore posto sul treno. Poiché le radiazioni luminose viaggiano con la stessa velocitàfinita in entrambe le direzioni, i due eventi, corrispondenti, all’arrivo del segnale sulle pareti laterali del vagone, sono simultanei.

Sequenza degli eventi visti dall’osservatore posto a terra. Poiché le radiazioni luminose viaggiano con la stessa velocitàfinita in entrambe le direzioni, i due eventi non sono simultanei, in quanto la luce arriva prima sulla parete posteriore che le viene incontro.

Simultaneità (esempio numerico)

Consideriamo l’esempio del treno e calcoliamo l’anticipo con cui l’osservatore posto a terra vede il segnale luminoso emesso dalla sorgente colpire la parete che si muove verso la luce, nell’ipotesi che la distanza fra le due pareti sia ∆x’ = x’2-x’1= 30 m e che la velocità del treno sia v=20m/s.

Nel sistema di riferimento O’ abbiamo t2’ = t1’ e x2’ – x1’ = 30 m

I due eventi non sono simultanei per

l’osservatore a terra.

2

2

11

1

1

''

−

+=

c

v

c

vxt

t2

2

22

2

1

''

−

+=

c

v

c

vxt

t

( )

2

2

12

2

1212

1

''

1

''

−

−

+

−

−=−

c

v

c

xxv

c

v

tttt

( )stt 14

16

28

12 10

10.9

4001

3010.3

20

−≅

−

=−

Contrazione delle lunghezze

� La lunghezza di un corpo è più grandequando esso è in riposo relativamente all’osservatore (lunghezza propria).

� Quando il corpo si muove con una velocità v

rispetto all’osservatore la sua lunghezza misurata si contrae nella direzione del moto del fattore √(1-v2/c2), mentre le sue dimensioni perpendicolari alla direzione del moto non vengono alterate.

Dimostrazione1Immaginiamo un’asta in riposo lungo l’asse x’ del sistema di riferimento S’. Le posizioni misurate dei suoi estremi sono x’2 ex’1 così la sua lunghezza a riposo è ∆x’ = x’2-x’1. Qual è la lunghezza dell’asta misurata dagli osservatori nel riferimento S per il quale l’asta si muove con velocità relativa v?

Nel sistema di riferimento S abbiamo t2=t1→∆t=0, otteniamo quindi

Contrazione delle lunghezze ∆x < ∆x’

2

222

1'

β−

−=

vtxx

2

111

1'

β−

−=

vtxx

( ) ( )2

121212

1''

β−

−−−=−

ttvxxxx

'11

2

2

' xxx

x ∆−=∆→−

∆=∆ β

β

Dimostrazione2Altrimenti si può svolgere il seguente calcolo, più lungo ma non più difficile:

contrazione delle lunghezze'xx ∆<∆

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )

'1'

''

1

1

0'

1

1'

''

''''''''

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

122

12

2

2

112

22

121212222111

xxx

xxxx

c

vc

v

c

v

x

ttvx

c

vc

vv

xtvxc

xvvx

c

xxvvttvxx

c

vxt

c

vxtvxx

ttvxxxxxvtxxvtxx

∆−=∆→∆

=∆→∆=∆→∆=

−

+−∆

→=∆→∆+∆=

−+∆→∆+∆=

∆+∆

−−−+∆=∆→

−−

−+∆=∆

→−+−=−=∆→+=→+=

βγ

γγγ

γγγγγ

γγγγγ

γγγ

Dilatazione dei tempi1� Un orologio va al ritmo più veloce (impiega meno tempo a

compiere un giro, ex. 1 giro in 60 secondi) quando è in riposo rispetto all’osservatore. Quando si muove con velocità v rispetto all’osservatore, il suo ritmo visto dall’osservatore, subisce un rallentamento (impiega piùtempo a compiere un giro, cioè quando l’orologio dell’osservatore segna 60 vede l’altro segnare di meno) di un fattore

� Si definisce tempo proprio l’intervallo di tempo misurato nel sistema di riferimento in cui l’orologio è in quiete.

2

1

−c

v

Intervallo di tempo1�Immaginiamo un passeggero che si muove con velocità uniforme v rispetto alla terra. L’esperimento consiste nell’inviare un fascio di luce su uno specchio posto sul soffitto e misurare il tempo che occorre alla luce per andare e tornare al suo punto di partenza. Il passeggero, che ha un orologio da polso, vede il raggio di luce seguire un percorso verticale da A a B a C e registrerà l’evento con il suo orologio. Questo è un intervallo di tempo proprio, misurato con un solo orologio posto in una sola posizione, in quanto la partenza e l’arrivo del segnale luminoso avvengono nello stesso posto.

y y’ B A

v d

A≡C C

o’ x’

o x

Evento visto da o’

( )0

' 2t

c

ABt ∆==∆

Intervallo di tempo2 �Un altro osservatore nel riferimento O, vede il treno e l’orologio muoversi verso destra durante questo intervallo. Egli misurerà questo intervallo dalle letture di due orologi stazionari, uno nella posizione in cui ècominciato l’esperimento e l’altro nella posizione in cui èterminato l’esperimento. Cosìl’osservatore sulla terra trova che la luce percorre uno spazio maggiore di quella misurata dal passeggero.

B

d

A H C

Visto da O

A C

Intervallo di tempo3 (calcolo)

Visto da O: B

d

A H C

Visto da O

A C

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

0

2

2

22

2

2

2

2

22

22222

'

'

1

'1

'

2/'

2/'11

'

2

22

2

'

2';

tttt

t

c

v

tt

c

v

t

t

t

t

c

v

AB

AH

AB

AH

AB

AB

t

t

AB

AHAB

BCAB

BH

c

BCABc

BH

t

t

HCBCAHABBH

c

BHt

c

BCABt

∆>∆→∆>∆

∆=

−

∆=∆→

−=∆∆

∆∆

−=

−=−=∆∆

−=

+=

+=

∆∆

−=−=

=∆+

=∆

γ

Dilatazione del tempo4� Il tempo misurato da un osservatore in moto è

maggiore del tempo misurato da un osservatore in quiete rispetto all’orologio.

� Gli orologi in moto rispetto al sistema di riferimento dell’osservatore risultano più lenti degli orologi in quiete.

� Tempo proprio: è il tempo misurato dall’osservatore nel proprio sistema di riferimento, in cui l’orologio è in quiete, cioè l’osservatore vede accadere gli eventi nella stessa posizione.

� La relatività afferma che gli oggetti che si muovono velocemente “invecchiano” più lentamente di quelli in stato di quiete.

Muoni1�I muoni (o mesoni µ) si formano continuamente nell’alta atmosfera come conseguenza degli urti tra i nuclei delle molecole dell’aria con i raggi cosmici e piovono verso la superficie terrestre con velocità di 0,998 c. I muoni sono instabili e decadono in un tempo proprio ≈ 2,2.10-6s (determinato da Franco Rasétti (1901-2001) nel 1941). In questo intervallo di tempo percorrono uno spazio che è circa S = v0t = (0,998c)(2,2 10-6) = 659 m. Poiché i muoni si muovono a quote di circa 10 Km nessuno di essi dovrebbe raggiungere la superficie terrestre, edinvece la raggiungono. Questo è dovuto al fatto che per un osservatore sulla terra il tempo di vita del muone è t = γ t0

s = vt = γ v t0Kmc

c

cS 4,10102,2998,0

998,01

1 6

2≅⋅⋅⋅

−

= −

Muoni2�Lo stesso fenomeno può essere spiegato attraverso la contrazione delle distanze: per l’immaginario osservatore a cavallo del muone l’orologio del muone misura l’intervallo di tempo proprio (t0 = 2,2 x10-6 s), ma lo spazio percorso dal muoneè più breve in conseguenza del fenomeno della contrazione delle lunghezze. Con γ = 15,8 (v = 0,998 c) un tratto lungo 10 Km nel sistema di riferimento terrestre se misurato dall’osservatore sul muone risulta: L = L0/γ = 10/15,8=0,633 Km = 633 m. Il muone percorre questa distanza in un intervallo di tempo t=L/v=633/(0,998x3 108) = 2,11x 10-6 s che èapprossimativamente la vita media del muone nel suo sistema di riferimento.

�Quindi può raggiungere la superficie terrestre.

G.P.S. (global position sistem)

ex: ogni satellite del G.P.S. viaggia a circa 14.000 Km/h il chesignifica che l’orologio atomico che ha a bordo rallenta il suo passo rispetto agli orologi sulla Terra di un fattore γ = √1-(v/c)2

che è di circa 7 µs al giorno.

quindi l’orologio sul satellite rallenta di 8,5 x10-11s per ogni secondo di quello terrestre che diventano

∆t = 8,5 x10-11x 60 x 60 x 24 = 7,3 µs/d

con un potenziale errore sulla posizione di

∆x = c ∆t = 3 x108x7,3 x10-6 = 2.190 m

Le cose si complicano con la Relatività Generale

sc

v

skmc

skmskmv 11

2

10.5,811/000.300

/8,3/000.14 −≅

−−⇒

=

==

Paradosso dei gemelli1 (gedanken experimenten)

�Nel 1911 Einstein in un suo scritto aveva osservato che: “se un organismo vivente, dopo un volo arbitrariamente lungo ad una velocità approssimativamente uguale a quella della luce, potesse ritornare nel suo luogo di origine, egli sarebbe solo minimamente alterato, mentre i corrispondenti organismi rimasti,avrebbero già da tempo dato luogo a nuove generazioni”.

Se l’organismo stazionario è un uomo e quello viaggiante è un suo gemello, quando il viaggiatore ritorna a casa ritrova il fratello molto più invecchiato rispetto a lui.

Il paradosso consiste nel fatto che, per la relatività, ciascuno dei gemelli potrebbe considerare l’altro come viaggiatore, e quindi ciascuno dovrebbe trovare l’altro più giovane, il che è una contraddizione logica.

Paradosso dei gemelli2�Cerchiamo ora di spiegare questa apparente contraddizione logica. Si supponga che, ad un certo istante, una persona che sichiama Pietro, parta dalla Terra per raggiungere una data stellaad una velocità prossima a quella della luce, lasciando sulla Terra il fratello gemello Simone ad aspettarlo. Per quanto vistoprima, ciascuno vedrà l’orologio dell’altro andare più lentamente del proprio e quindi vedrà l’altro invecchiare più lentamente di se stesso. Nel momento in cui Pietro farà ritorno sulla Terra, ciascuno dei due gemelli troverà l’altro, invecchiato meno di se stesso: una evidente contraddizione. Tutto questo discorso èvalido per sistemi di riferimento inerziali, ma questa premessa non è rigorosamente vera. In realtà, Pietro per partire dalla Terra ha bisogno di una accelerazione, di una seconda accelerazione ha bisogno quando deve invertire la rotta per tornare indietro, e di una terza al ritorno per potersi fermare. Quindi il suo sistema di riferimento non si muove sempre di moto rettilineo ed uniforme rispetto a quello terrestre.

Paradosso dei gemelli3

Esempio numerico:

�Pietro viaggia alla velocità v = 0,8c rispetto alla Terra ed ipotizzando che nel suo sistema di riferimento il viaggio dura sei anni, troviamo che nel sistema di riferimento terrestre dura invece dieci anni .

Il fatto sorprendente è che anche a livello biologico Pietro è invecchiato solo di sei anni mentre Simone di dieci.

anni

c

ctt 10

8,01

6'

2=

−

=∆=∆ γ

Paradosso dei gemelli4ex.: Con quale velocità ci si deve spostare per andare e tornare da una stella

distante 100 anni luce in soli 10 anni (tempo dell’astronauta)?

100 anni luce è la distanza misurata nel sistema di riferimento Terra (S).

10 anni è il tempo misurato nel sistema di riferimento astronauta (S’).

Dal punto di vista del viaggiatore (contrazione delle distanze):

Per la popolazione terrestre il viaggio è durato

cc

cx

t

c

x

tc

cvc

x

tcv

cvx

tvc

vc

vc

v

c

v

x

t

c

v

vx

t

c

v

v

x

v

x

velocitàt

99875,0

200

101

'1

'1

1'

'1

'

11'

1'distanza

'

222

2

2

22

22

2

22

22

22

2

2

22

=

+

=

∆∆

+

=

∆∆

+

=→=

+

∆∆

=+

∆∆

→−

=

−=

∆∆

→

−=∆∆

→

−∆

=∆

==∆

centesimioregiorniannic

c

v

xt 20,secondi0,2,90,20025,200

99875,0

200===

∆=∆

Paradosso dei gemelli5

Lo stesso problema visto dalla Terra (dilatazione dei tempi):

06,20099875,0

1

10

1

''

22=

−

=

−

∆=∆=∆

c

c

c

v

ttt γ

Insuperabilità della velocità della luceNel sistema S’ un segnale viene lanciato da O’ all’istante t’=0 nel verso negativo dell’asse x’, con velocità w>c. Dopo un tempo t’1 il segnale ha raggiunto una posizione di ascissa x’1=-wt’1 dove viene raccolto da un osservatore P di S. Questo ricevimento che per gli osservatori di S’ ha coordinate (x’1,0,0,t’1) per gli osservatori di S ha coordinate (x1,0,0,t1) che si ricavano dalle trasformazioni di Lorentz;

S y y’ S’

v

P w O x x1

O’ x’

x1’ w

Insuperabilità

Il segnale che gli osservatori di S hanno visto emettere in O all’istante t=0 (dato da )

viene percepito in x1 in un istante precedente.

( )

v

c

c

v

tc

vw

c

v

wtc

vt

c

v

xc

vt

t

c

v

tvw

c

v

vtwt

c

v

vtxx

2

2

12

2

121

2

121

1

2

1

2

11

2

111

per w 0

1

'1

1

''

1

''

;0

1

'

1

''

1

''

><

−

⋅

−=

−

−=

−

+=

<

−

⋅−−=

−

+−=

−

+=

0' e 0' con )''2

==

+= xtxc

vtt γ

Insuperabilità2Supponiamo ora che l’osservatore di S ricevuto il segnale in x1 all’istante t1, ne restituisca immediatamente un altro viaggiante verso O con la velocità w, rispetto a S. Questo secondo segnale che viaggia con la legge oraria x = x1 + w(t-t1) giunge in O all’istante

Quindi il segnale emesso all’istante t’=0 ritorna (per w>c) in O prima di essere stato emesso.

L’effetto precede la causa!!! MAI

( )

cper w 0

1

'

1

'1

1

'11

1

'1

1

'

1

'1

2

1

2

22

2

1

2

2

1

22

1

22

1

2

121

12

><

−

−=

−

−

=

−

+−−=

−

−−−=

−

−−

−

−

=+=

c

v

vt

wc

wc

c

v

vt

c

w

w

c

v

t

w

v

c

cw

c

v

t

w

vw

c

vw

c

vw

tvw

c

v

tc

vw

w

xtt

Albert Einstein

…la Relatività Ristretta poteva formularla chiunque altro…

ma chi!!!

Henri Poincaré (1854-1912)

forse Albert Einstein pensava a Henri Poincaré

La passeggiata è finita

...ma c’è ancora tanto lavoro da fare:

il 25/11/1915 scriverà

equazione di campo

GRAZIE

µνµνµν kTRgR =−2

1

Herman Minkowski (1864 – 1909)

�Geometria a quattro dimensioni

Le trasformazioni delle coordinate spazio temporali possono essere messe in una forma matematica elegante dovuta a Minkowski. Egli introduce uno spazio a quattro dimensioni, tre spaziali e uno temporale. La particolarità di questo spazio è che la distanza “s” tra due punti non è data dal Teorema di Pitagora, che nello spazio ordinario è s2=x2+y2+z2, ma da una forma un po’ diversa: s2=x2+y2+z2-c2t2. In questa metrica spazio-temporale le trasformazioni di Lorentz sono invarianti:

x2+y2+z2-c2t2= x’2+y’2+z’2-c2t’2;

altro punto a favore di questa metrica è che sono invariantianche le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico.

Herman Minkowski (dimostrazione)

( )

( )

( )( ) ..........

22

22

''''

2222222

22

2222

22

222

22

22

24222

22

2222

22

22

22

22

24

22

222

22

22

22

2

2222222

22

2

2

2

22222222222222

24

22222222222

2

2

22222222222

dvctczyxtcvc

vczy

vc

xvc

zyvc

tctvc

vc

xvxc

zyvc

xv

vc

tc

vc

tvc

vc

xc

zyc

xvtctvx

vc

c

tvxc

xvtczyvxttvx

c

tvx

c

xvtczyvxttvx

c

vxtczyvtxtczyx

−++=

−−

−++−−

=++−−

+−−

=++−

−−

−−

+−

=++

−−+

−

=+−−++−+

=

−+−++−+

=

−−++−=−++

γγ

γγγγ

γγ

γγ

Herman Minkowski (nel 1908)

� Rappresentazione geometrica dello spazio-tempo

Riprendiamo e modifichiamo le trasformazioni di Lorentz definendo la velocità w=ct e β=v/c

−

+=

−

+

===>

−

+=

−

+=

−

+

=

−

+=

22

2

2

2

222

1

''

1

''

1

''

1

''

1

''

1

''

β

β

β

β

xw

c

v

xc

vcct

wct

c

v

c

vxt

t

wx

c

v

ctc

vx

c

v

vtxx

−

−=

−

−

===>

−

−=

−

−=

−

−

=

−

−=

22

2

2

2

222

11

''

1

'

111

'

β

β

β

β

xw

c

v

xc

vcct

wct

c

v

c

vxt

t

wx

c

v

ctc

vx

c

v

vtxx

H.M.� Notare la bellezza e la simmetria delle equazioni:

−

−=

−

−=

2

2

1'

1'

β

β

β

β

xww

wxx

−

+=

−

+=

2

2

1

''

1

''

β

β

β

β

xww

wxx

H.M.Introduciamo un nuovo sistema di riferimento con gli assi x e w ortogonali tra loro:

w = ct

linea di universo della luce

S

linea di universo di una particella

ϕ1 =45°

ϕ2 =45°

O x

( )( )

°≥→≥=====

°≤→≤=====

451tg

451

22

11

ϕϕ

ϕϕ

v

c

dt

dx

c

dx

dtc

dx

ctd

dx

dw

c

v

c

dt

dx

cdt

dx

ctd

dx

dw

dxtg

H.M.Consideriamo ora il riferimento accentato S’ che si muove rispetto a S con velocità v lungo l’asse comune x-x’. L’asse delle ordinate w’ è dato da x’ = 0:

quindi l’angolo ϕ tra w e w’ è compreso tra 0° e 45°.

( )°<⇒<==

==

===⇒=−

−=

451

01

'

22

2

2

ϕϕ

ββ

β

c

v

vdt

dtc

v

vtd

tc

vd

dx

dwtg

tc

vvt

c

vxw

xww

H.M.L’asse delle ascisse x’ è dato da w’ = 0:

Quindi le trasformazioni di Lorentz determinano una trasformazione da un sistema ortogonale ad una nonortogonale.

( )°<⇒<==

==

===⇒=−

−=

451

01

'

22

2

2

ϕϕ

ββ

β

c

v

vdt

dtc

v

vtd

tc

vd

dx

dwtg

tc

vvt

c

vxw

xww

H.M.(x=0) (x’=0)

w w’

x’ (w’=0)

ϕϕ

0=0’ x (w=0)

H.M.w2-x2=1 w=ct w’ (x’=0 => x=βw)

x2-w2=1

x’ (w’=0 => w=βx)

P2

x2-w2=1 P1

w2-x2=1

H.M.

Il punto spazio-temporale P1 è l’intersezione del ramo destro dell’iperbole x2–w2 =1 con l’asse x’ rappresentato dall’equazione w= βx.

Sostituite nelle 66 danno l’unità di lunghezza (x’=1).

( )

2121

2

22

22

1

2

22222

222

22

1

1;

1

1

1

11

1

11

11

β

β

β

ββ

β

β

βββ

ββ

β

−=

−=

−±=⇒=−⇒

=

=−

−±=⇒=−⇒

=−

⇒

=

=−⇒

=

=−

wx

xxxxw

wxP

wwwww

wx

wx

xw

wxP

H.M.

Analogamente il punto spazio-temporale P2 èl’intersezione del ramo superiore dell’iperbole w2-x2=1 con l’asse w’ rappresentato da x=βw. Quindi P2 giace su entrambe queste curve e le sue coordinate sono:

Sostituite nelle 66 danno l’unità di tempo (w’=1).Le iperboli vengono chiamate curve di calibrazione

( )

2222

2

22

22

2

22

222

222

22

2

1

1;

1

1

11

1

11

11

11

ββ

β

ββ

β

β

βββ

ββ

β

−=

−=

−±=⇒=−⇒

=

=−

−±=⇒=

−⇒

=−

⇒

=

=−⇒

=

=−

wx

wwwwx

xwP

xxwx

xw

xw

wx

xwP

H.M.

Osserviamo gli eventi da due riferimenti inerziali S ed S’di cui conosciamo la velocità relativa che ci permette di ricavare ϕ=arctg(v/c) ed attraverso le curve di calibrazione ci permette di determinare gli intervalli di tempo e di lunghezza unitari.

H.M.w2-x2=1 w=ct w’

x2-w2=1

x’

1 1

x2-w2=1 1

1 X

w2-x2=1

H.M. (simultaneità)

Misurati da S’ due eventi sono simultanei se hanno la stessa coordinata temporale w’.Gli eventi P1 e P2 sono simultanei in S’ e non in S, mentre Q1 e Q2 sono simultanei in S e non in S’.

w

w’

w2 ........................................... P2

w1 ............................ P1

w’

x’

..................Q1...........Q2

ϕ

ϕ =arctg(v/c) x

Contrazione delle lunghezze (S/S’)

Un’asta di un metro è in riposo in S, con il passare del tempo, la linea di universo di ciascun estremo descrive una retta verticale parallela all’asse w.

Per ottenere la lunghezza dell’asta in S’, in cui l’asta si muove, dobbiamo ottenere la distanza in S’ fra gli estremi misurati simultaneamente. Questa sarà la distanza in S’ delle intersezioni delle linee di universo con l’asse x’, poiché questi punti d’intersezione rappresentano eventi simultanei in S’.

La lunghezza dell’asta in movimento in S’ è minore di un metro.

H.M. (contrazione delle lunghezze S/S’)

Si noti dalla figura che è il disaccordo attorno alla simultaneità degli eventi che conduce ai differenti valori misurati delle lunghezze. Infatti i due osservatori non misurano la medesima coppia di eventi.

w

w’

P4

........................P1................ P2

P3

x’

0,87

ϕ

ϕ 1 x

Contrazione delle lunghezze(S’/S)

�La natura reciproca di questo risultato èmostrato dalla prossima figura dove abbiamo un’asta di un metro in riposo in S’e le linee di universo dei suoi estremi sono paralleli a w’. In S, dove l’asta si muove verso destra, la lunghezza misurata è la distanza in S fra le intersezioni di queste linee di universo con l’asse x. La lunghezza dell’asta (in movimento) in S èevidentemente minore.

H.M. (contrazione delle lunghezze S’/S)

w w’

x’

1

0 0,87 x

Dilatazione del tempo (S/S’)

Un orologio si trovi in riposo nel riferimento S. La linea verticale è la linea di universo corrispondente a tale orologio. T1 e T2 sono gli eventi corrispondenti ai segnali forniti dall’orologio ipotizzando unitario l’intervallo di tempo fra i due segnali. In S’ questo orologio si muove verso sinistra in modo che esso si trova in luoghi differenti ogni volta che emette un segnale. Per misurare l’intervallo di tempo fra gli eventi T1 e T2 in S’ usiamo due orologi differenti, uno in T1 e l’altro in T2.

T2

1

1,

T1

Dilatazione del tempo (S/S’)

La differenza fra le letture di questi orologi in S’ è la differenza in tempo fra T1 e T2

misurata in S’. Dal grafico vediamo che questo intervallo èpiù grande dell’unità. Di conseguenza, dal punto di vista di S’, l’orologio di S in movimento sembra rallentato. Durante l’intervallo di tempo che l’orologio S ha misurato come unitario, l’orologio S’ ha misurato un tempo più grande.

T2

1

1,

T1

Dilatazione del tempo (S’/S)

La natura reciproca del risultato della dilatazione dei tempi èmesso in luce dal grafico.

T2

1,

T1

1

Separazione spazio-temporale degli eventiUn evento è rappresentato da un punto, un fenomeno èrappresentato da una linea (linea di universo del fenomeno considerato). Una retta parallela all’asse delle ordinate rappresenta un punto in quiete nel sistema di riferimento considerato. Qualunque corpo che si muove di moto uniforme ha come linea di universo una retta con pendenza maggiore di 45°.

linea di universo di un segnale di luce

w

2 futuro

B

C C

3 3

presente presente 45° 45° x

o

A

1 passato°≥→≥=== 451 ϕϕ

v

c

t

x

c

x

cttg

Separazione spazio-temporale degli eventiQualunque evento situato nel cono 1 o nel cono 2 possono essere connessi ad O da un segmento avente pendenza maggiore di 45° e quindi l’evento A può essere la causa di O mentre l’evento B può essere l’effetto di O. I punti C non possono essere legati a O da relazione di causa-effetto e può essere considerato il presente di O o l’altrove. Un evento che si trovi nel presente può accadere prima di O, contemporaneamente o dopo ma O non può esserne né la causa né l’effetto.

linea di universo di un segnale di luce

w

2 futuro

B

C C

3 3

presente presente 45° 45° x

o

A

1 passato

La passeggiata è finita

ma c’è ancora tanto lavoro da fare: 25/11/1915

equazione di campo

GRAZIE

µνµνµν kTRgR =−2

1