1/89 Statistica Aziendale Linformazione statistica per le decisioni aziendali 1. Informazione già...

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Statistica Aziendale

L’informazione statistica per le decisioni aziendaliL’informazione statistica per le decisioni aziendali

1. Informazione già esistente (dati secondari) Statistiche ufficiali e non

2. Informazione creata attraverso indagini ad hoc (dati primari) Tecniche di campionamento

3. La matrice dei dati e le analisi preliminari Indici di distanza tra unità (e di associazione tra variabili)

4. Relazioni causali tra variabili Regressione multivariata

5. Segmentazione per omogeneità delle unità Metodi di analisi dei gruppi

6. Produttività ed efficienza aziendale Numeri Indici

Metodi statistici per l’analisi dei dati aziendaliMetodi statistici per l’analisi dei dati aziendali

2/89Bracalente, Cossignani, Mulas, Statistica aziendale, 2009, McGraw-Hill

Le indagini campionarieLe indagini campionarie

Le fasi di un’indagine campionaria Il campionamento: schemi e stima dei

parametri Gli errori campionari e non campionari Tipologie di quesiti, scale di valutazione, classificazione dei caratteri statistici


Indagini censuarie e campionarie

Un’indagine conoscitiva può essere condotta secondo due approcci distinti:

indagine totale o censuaria indagine parziale o campionaria

Il collettivo di unità su cui deve essere effettuata l’indagine è esaminato in maniera completa

È esaminata solo una parte del collettivo - un campione - anziché la sua totalità


Confronto tra indagine censuariae indagine campionaria

AspettiIndaginecensuaria

Indagine campionaria

Risorse economiche Elevate Contenute

Durata delle operazioni Lunga Breve

Errore campionario Assente Presente

Altri tipi di errore Presenti Presenti


Il campionamento - prime definizioni

InferenzaInferenza statisticastatistica: si desumono le caratteristiche di una popolazione attraverso lo studio di una parte di essa detta campione

Popolazione o universo: un insieme di unità che soddisfano in maniera esaustiva uno o più criteri

Indagine campionaria: metodologia per conoscere le caratteristiche della popolazione tramite un campione

Il campionamentocampionamento può essere:- probabilistico: scelta delle unità affidata al caso

- non probabilistico: scelta delle unità dipendente dalla soggettività di chi raccoglie le informazioni


Confronto tra campionamento probabilistico e non probabilistico

Campionamento probabilistico

Campionamento non probabilistico

Risorse economiche

Relativamenteelevate Contenute

Durata delle operazioni

Relativamentelunga Breve

Errore campionario Valutabile Non valutabile Rappresentatività della popolazione Buona Non valutabile


Le fasi di un’indagine campionaria

1. Formulazione degli obiettivi dell’indagine1. Formulazione degli obiettivi dell’indagine

- Si decide quali informazioni rilevare

- informazioni prioritarieprioritarie (relative agli obiettivi principali dell’indagine)

- informazioni complementaricomplementari (relative agli obiettivi secondari)



2. Individuazione della popolazione obiettivo2. Individuazione della popolazione obiettivo

- E’ l’insieme delle unità sulle quali si intende ottenere le informazioni obiettivo dell’indagine

- definito in base ad alcuni criteri (in particolare criteri spazio-temporali) - Lista di campionamento: elenco esaustivo delle unità

appartenenti alla popolazione obiettivo



3. Individuazione tecnica di campionamento3. Individuazione tecnica di campionamento

- Metodo di selezione del campione

- prima distinzione: metodi probabilistici e non probabilistici

- Scelta dipendente da:

- livello di attendibilità desiderato

- vincoli sui costi dell’indagine

Diversi schemi di campionamento probabilistico e non probabilistico



4. Individuazione modalità di raccolta dati4. Individuazione modalità di raccolta dati

- Osservazione diretta (es.: rilevazione prezzi)

- In genere intervista, con diverse modalità:

- postale (con autocompilazione del questionario)

- telefonica (compilazione assistita)

- diretta o faccia a faccia (compilazione assistita)

- via internet o email (con autocompilazione)

Par. 2.4 per i dettagli sulle tecniche di rilevazione dei dati

(vantaggi e svantaggi delle diverse tecniche)

Scelta modalità: compromesso tra diversi obiettivi spesso contrastanti: partecipazione; qualità dei dati; costi



5. 5. Progettazione del questionarioProgettazione del questionario

- Strumento per la rilevazione dei dati

- Caratteristiche (lunghezza, complessità dei quesiti, istruzioni)

dipendenti dalla modalità di rilevazione:

- con autocompilazione (breve e semplice; istruzioni per l’intervistato)

- intervista telefonica (breve e semplice; istruzioni per l’intervistatore)

- intervista diretta (anche più complesso)

- Test (indagini pilota) e revisioni



6. 6. Rilevazione dei datiRilevazione dei dati - Determinazione del periodo più appropriato per la raccolta dei dati

- Evitare i periodi non idonei

- Concentrazione in un breve periodo

7. Codifica e archiviazione dei dati7. Codifica e archiviazione dei dati - Codifica numerica delle variabili qualitative (in particolare, in caso di domande a risposte aperte)

- Inserimento delle informazioni in un supporto informatico



8. Analisi dei dati8. Analisi dei dati - Produzione delle stime campionarie dei valori ignoti relativi alla popolazione

9. Redazione di un rapporto di ricerca9. Redazione di un rapporto di ricerca - Descrizione delle caratteristiche dell’indagine

- Descrizione dei principali risultati ottenuti


Il processo di stima– concetti di base

Processo di stima: procedimento per ricavare, tramite una funzione delle osservazioni campionarie, il valore incognito di una caratteristica della popolazione

Il parametro da stimareparametro da stimare: la caratteristica della popolazione che costituisce l’obiettivo dell’indagine

Lo stimatorestimatore: una formula analitica atta a stimare il valore incognito della caratteristica della popolazione sulla base dei dati campionari

Il valore della stima o stimastima: il risultato dell’applicazione dello stimatore ai dati campionari


Il processo di stima– un esempioIl parametro da stimareparametro da stimare è la media aritmetica del fatturato delle aziende di un paese, le quali costituiscono la popolazione di riferimento (composta da N unità):

1

1 N

ii

Y YN

1

1 n

jj

y yn

Dalla popolazione si estrae un campionecampione casuale di n unità sulle quali si rileva il fatturato.La stima del parametro della popolazione si ottiene applicando ai dati campionari lo stimatore stimatore media aritmetica:


Il processo di stima

Altri parametri da stimareparametri da stimare (oltre la media):

- Il totale:

- La varianza: 2 2

1

1( )

N

Y ii

S Y YN

1

N

Y ii

t Y

Stima del totale: 1

ˆn

Y ii

t y

?

ˆYt N Y N y No


Il processo di stima

Caso di variabile binaria o dicotomica

Codifica: Y = 1 (presenza attributo); Y = 0 (assenza attributo)

- Totale:

- Frequenza (proporzione):

1

N

Y ii

t Y

1

1 NY

ii

tP Y Y

N N

ˆP Y y p ˆ

Yt N Y N y N p

Stima di una frequenza:

Stima del totale:


Gli stimatori

Lo stimatorestimatore di un parametro θ della popolazione: una funzione dei dati campionariper assegnare un valore a θ sulla base del campione

ˆ ( )cf Y

Stimatore correttoStimatore corretto (o non distorto): se nell’insieme dei campioni casuali estraibili il valore medio delle stime è pari al valore del parametro nella popolazione:

ˆ( )E

ˆ ˆ( ) ( )B E

Altrimenti, stimatore non corretto

DistorsioneDistorsione:


Gli stimatori - Esempio

Campionamento casuale semplice senza ripetizionePopolazione di N = 4 unità; campioni di n = 2 unità

Popolazionen. Y

Possibilicampio

ni

Valori di y

1 1102 1203 804 90

(1; 2)(1; 3)(1; 4)(2; 3)(2; 4)(3; 4)

110; 120110; 80110; 90120; 80120; 9080; 90

11595

10010010585

( ) 100 E y

y

100 Y


Gli stimatori

Uno stimatore corretto è sempre da preferire a uno distorto?No se è caratterizzato da una molto maggiore dispersione delle stime intorno al valore del parametro da stimare

2ˆ ˆMSE( ) ( )E

Errore statistico: differenza tra la stima e il parametro da stimare:

Errore quadratico medioErrore quadratico medio: valore medio, nell’insieme dei campioni estraibili, dell’errore statistico al quadrato


Gli stimatori - Esempio

Campionamento casuale semplice senza ripetizionePopolazione di N = 4 unità; campioni di n = 2 unità

Popolazionen. Y

Possibilicampioni

Errorestatistico

Erroreal

quadrato

1 1102 1203 804 90

(1; 2)(1; 3)(1; 4)(2; 3)(2; 4)(3; 4)

11595

10010010585

15-5005

-15

2252500

25225

( ) 100 E y MSE = 83.3

y

100 Y


Gli stimatori

Scomposizione dell’errore quadratico medio:

2ˆ ˆ ˆMSE( ) var( ) ( )B ˆ ˆMSE( ) var( ) Se lo stimatore è

corretto:

Stimatore piùStimatore più efficienteefficiente: dati due stimatori di uno stesso parametro si definisce stimatore più efficiente quello con minore MSE

2ˆ ˆMSE( ) ( )E

Se lo stimatore è corretto, lo stimatore più efficiente è quello a varianza minima


Lo stimatore fondamentale nel campionamento probabilisticoNel campionamento probabilistico la probabilità di probabilità di inclusione nel campione è notainclusione nel campione è nota e diversa da zero per ogni unità della popolazione

Probabilità di inclusioneProbabilità di inclusione: probabilità che una unità appartenga al campione. Non necessariamente uguale per ogni unità

Esempio: Campionamento casuale semplice senza ripetizionePopolazione di N = 4 unità: 1; 2; 3; 4

Insieme dei possibili campioni di n = 2 unità (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4)

Probabilità di inclusione dell’unità 1: 3/6= ½ (= n/N)(idem per 2, 3, 4)


Lo stimatore fondamentale

Stimatore corretto per il campionamento probabilistico senza ripetizione - Notazioni:Probabilità di inclusione: j

1 1

1 1ˆn n

jj j

j jj

yY w y

N N

1/j jw

1 1

ˆˆn n

jY j j

j jj

yt NY w y

Coefficienti di espansione:Stimatore fondamentale (di Horvitz-Thompson) della mediamedia:

e del totaletotale:


Stimatore fondamentale - Esempio

Popolazione di N = 4 unità:

Y1 = 110; Y2 = 120; Y3 = 80; Y4 = 90;

100; 400YY t

1ˆ (2 110 2 80) 954

Y

ˆ 4 95 380Yt

Campione estratto di n = 2 unità: (1,3)

1

1ˆn

j jj

Y w yN

ˆ

Yt NY


Le tecniche di campionamento probabilistico

Principali tecniche di campionamento probabilistico: casuale semplice (CCS) sistematico (CSI) stratificato (CST) a grappoli (CGRA) a più stadi (CSTA)


Il campionamento casuale semplice Tecnica di campionamento più elementarepiù elementare tra i metodi probabilistici

Rappresenta il naturale punto di partenzapunto di partenza per lo studio di tutti gli altri metodi di campionamento

La probabilità di inclusioneprobabilità di inclusione nel campione è la stessa per ogni unità della popolazione - pari alla frazione di campionamento - data da:

j

nf

N


La tecnica di estrazione del CCS- illustrazione

1 2

50 49

3 6

11 12

25 28

31

44

37

46

Dato N=50, le unità della popolazione sono numerate da 1 a 50

Per estrarre un CCS di 10 unità (f = 1/5) si genera una sequenza di numeri casuali {3, 6, 11, 12, 25, 28, 31, 37, 44, 46}

Le unità corrispondenti a tali numeri d’ordine costituiscono il campione


Pro e contro del CCS

La semplicità semplicità concettuale è il suo principale punto di punto di forzaforza

Il CCS presenta tuttavia anche alcuni possibili svantaggi:svantaggi:

Il campione potrebbe presentarsi sparsosparso sul territorio con conseguenti costi elevaticosti elevati di organizzazione

Poiché tutti i possibili campioni hanno uguale probabilità di essere estratti, è possibile estrarre un ‘‘cattivo’’‘‘cattivo’’ campione campione (poco rappresentativopoco rappresentativo della popolazione)


Il campionamento sistematico

Tecnica alternativa assimilabile a quella per l’estrazione di un CCS

Consiste nella selezione di una unità ogni k presenti nella lista

k è il passo di campionamento: la parte intera del reciproco della frazione di campionamento k = N/n


La tecnica di estrazione del CSI- illustrazione

Dato N = 50 e fissata la dimensione campionaria n = 10, si

determina il passo di campionamento, dato da k = N/n = 50/10 = 5

Si estrae un numero casuale compreso tra 1 e k (5) per esempio 2 e si seleziona l’unità corrispondente

Si procede selezionando le unità corrispondenti ai seguenti n. d’ordine: 2+k = 7, 2+2k = 12, 2+3k = 17, … fino ad esaurimento della lista

2 1

50 49

7

12 17

22 27

32 37

42 47


Pro e contro del CSI

ProPro: Per formare il campione è sufficiente una sola estrazione casuale Teoricamente si potrebbe prescindere dalla lista di campionamento

ControContro: Se la lista presenta particolari ordinamenti il CSI produce un ‘‘cattivo’’ campione: esclude a priori alcuni segmenti di popolazione legati alla periodicità della lista


Le stime con il CCS

Media:Media:

Lo stimatore corretto della media della popolazione è lamedia campionaria

Totale:Totale:

VarianzaVarianza (stima della varianza di Y nella pop. ):

1 1

1 1n nj

jj j

yy y

N n N n

yt N y

22

1

11

n

y jj

s y yn

1

1ˆn

j

j j

yY

N

2 2

1

1( )

N

Y ii

S Y YN


Stima di una frequenza

Popolazione: Yi = 1 se l’attributo è presente; Yi = 0 se assente

Stimatore fondamentale della frequenza: frequenza:

1

1 N

ii

P YN

1 1

1 1ˆn n

jj

j jj

yP y p

N n


Varianza degli stimatori

Varianza teorica della media campionaria:Varianza teorica della media campionaria:

Stima della varianza della media campionaria:Stima della varianza della media campionaria:

Varianza della stima del totale:Varianza della stima del totale:

2

var( ) (1 ) ysy f

n

2

Var( )1

YN n Sy

N n

2ˆvar( ) var( )yt N y ˆ( )yt N y


Varianza degli stimatori - EsempioPopolazionen. Y

Possibilicampio

ni

1 1102 1203 804 90

(1; 2)(1; 3)(1; 4)(2; 3)(2; 4)(3; 4)

11595

10010010585

12.5112.5

50200

112.512.5

( ) 100 E y

y

(var( )) 83.3 E y

var( ) y

2 4 2 250Var( ) 83.3

1 4 1 2YN n S

yN n

Y =1002S =250Y

2

var( ) (1 ) ysy f

n

(25 25) /1(1 0.5) 12.5

2

Varianza teorica: Stima – campione (1; 2):


Intervalli di confidenza per le stime

Per n sufficientemente elevato la distribuzione campionaria

della media può essere approssimata con una normale

Intervallo di confidenzaIntervallo di confidenza per la media campionaria: per la media campionaria:

2 2

2 2[ (1 ) ; (1 ) ]y ys sy z f y z f

n n

2[ var( )]y z y


Intervalli di confidenza per le stime

Intervallo di confidenzaIntervallo di confidenza per il totale: per il totale:

2 2

2 2[ (1 ) ; (1 ) ]y yy y

s st z N f t z N f

n n

2ˆ ˆ[ var( )]y yt z t

2ˆvar( ) var( )yt N y2

2 (1 ) ysN f

n


Il campionamento stratificato

L’obiettivo è estrarre un campione più efficiente più efficiente rispetto al CCS: stime più precise (o numerositàcampionaria inferiore)

Esempio: Popolazione di N = 12 imprese

Media ROI popolazione: 3.75

Campioni CS: (4; 6; 9; 10) media ROI: (3+2+3+2)/4 = 2.5

(2; 3; 7; 12) media ROI: (4+6+4+6)/4 = 5

Risultato: stime poco precise e a forte variabilità

N. imp.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

ROI 3 4 6 3 2 2 4 6 3 2 4 6



Disponibilità informazione aggiuntiva: settore di attività

Riorganizzazione informazioni: Popolazione: Campione:

N. imp.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

ROI 3 4 6 3 2 2 4 6 3 2 4 6

Settore

A C M A T T C M A T C M

Settore

N. imp.

ROI

A 3 3; 3; 3

T 3 2; 2; 2

M 3 6; 6; 6

C 3 4; 4; 4

N=12 Media 3.75

Settore

n. imp.

ROI

A 1 3

T 1 2

M 1 6

C 1 4

n=4 Media3.75



a. La popolazione obiettivo è classificata in sottopopolazioni - esaustive e mutuamente esclusive - dette stratistrati

b. Gli strati devono essere possibilmente omogenei al loro interno ed eterogenei tra di loro

c. Da ogni strato si estrae un campione casuale semplice

d. Infine l’aggregazione di tali campioni produce il campione stratificato

NB: E’ necessario disporre di informazioni aggiuntive - variabili ausiliarie - per ogni unità della popolazione


La tecnica di estrazione del CST

Schema di campionamento stratificato:

In blu le unità campionate in ciascuno dei tre strati


Campionamento stratificato

Schema di popolazione di dimensione N ripartita in H strati

Strato Unità Dimens. Media Varianza

1

.

h

.

H

Y11 … Y1i … Y1N1

Yh1 … Yhi … YhNh

YH1 … YHi … YHNH

N1

Nh

NH

S12

Sh2

SH2

1

1 hN

h hiih

Y YN

2 2

1

1( )

hN

h hi hih

S Y YN

1

H

hh

N N

Parametri di strato:

1Y

hY

HY


Campionamento stratificato

Schema di campione di dimensione n estratto dagli H strati

Strato Unità Dimens. Media Varianza

1

.

h

.

H

y11 … y1j … y1n1

yh1 … yhj … yhnh

yH1 … yHj … yHnH

n1

nh

nH

s12

sh2

sH2

1

1 hn

h hjjh

y yn

2 2

1

1( )

1

hn

h hj hjh

s y yn

1

H

hh

n n

Media e varianza campionaria di strato:

1y

hy

Hy


Stime con CST

In caso di CCS negli strati, la probabilità di inclusione

per l’unità i dello strato h è:

Lo stimatore della mediamedia:

hhj h

h

nf

N

hh

NW

N

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1ˆh h hn n nH H H H

hj h hST hj hj h h ST

h j h j h j hhj h h

y N NY y y W y y

N N n N n

: peso di strato Lo stimatore del totaletotale:

,1

H

Y ST ST h hh

t N y N y


Esempio stima con CST

Popolazione: Campione:

Settore

N. imp.

ROI

A 2 3; 3

T 3 2; 2; 2

M 2 6; 6

C 3 4; 4; 4

N=10 Media 3.6

Settore

n. imp Pr.incl.

ROI

A 1 1/2 3

T 1 1/3 2

M 1 1/2 6

C 1 1/3 4

n=4 Media 3.6

1

0.2 3 0.3 2 0.2 6 0.3 4 3.6H

ST h hh

y W y

1 1

1 1ˆn n

jj j

j jj

yY w y

N N

1

(2 3 3 2 2 6 3 4) 3.610


Le stime con il CST

Varianza della media campionaria:Varianza della media campionaria:

Varianza del totale:Varianza del totale:

2

2 2

1 1

var( ) var( ) 1H H

hST h h h h

h h h

sy W y W f

n

2

2 2,

1

ˆvar( ) var( ) 1H

hyST ST h h

h h

st N y N f

n

1

H

ST h hh

y W y

,Y ST STt N y


Le stime con il CST

Intervalli di confidenzaIntervalli di confidenza

media campionaria:media campionaria:

totale:totale:

2[ var( )]ST STy z y

, 2 ,ˆ ˆ[ var( )]y ST y STt z t


L’allocazione della numerosità campionaria tra gli stratiAllocazioneAllocazione proporzionale:proporzionale: La numerosità campionaria n viene ripartita tra gli strati in proporzione al peso di ogni strato nella popolazione:

Pesi di strato nel campione = pesi di strato nella popolazione:

h hn n W

( = 1,..., )hh

h

n nf f h H

N N

;h hn N

n N

(campione autoponderante)

Frazione di campionamento uguale in ogni strato (pari alla frazione di campionamento globale f)


Campionamento stratificato -Schema con allocazione proporzionale

Dato N=50 e fissata la dimensione campionaria n=10, si determina la frazione di campionamento f = 1/5

Nella popolazione sono stati individuati 3 strati: N1=10; N2=25; N3=15

Applicando f = 1/5 ad ogni strato si ottengono le numerosità campionarie di strato:

1 1 2 2 3 3

1 1 110 2; 25 5; 15 3.

5 5 5n f N n f N n f N

h=1

h=2 h=3


Stima CST con allocazione proporzionale

Media campionaria:Media campionaria:

Varianza della media campionaria:Varianza della media campionaria:

,1 1 1 1

1 1hnH H nh

ST PR h h hj jh h j jh

ny W y y y

n n n

22 2

, 21 1

(1 )var( ) (1 )

H Hh

ST PR h h hh hh

s fy W f n s

n n


L’allocazione non proporzionale

Applicazione di frazioni di campionamento differenti nei diversi strati.

Preferibile in caso di maggiore variabilità del fenomeno oggetto di studio in alcuni strati rispetto ad altri

Esempio:

Strati N. impr. ROI

1 5 5.5; 5.7; 6; 6.3; 6.5

2 5 2; 3; 4; 5; 6

Al fine di produrre stime più efficienti, negli strati a maggiore variabilità si può intenzionalmente applicareuna frazione di campionamento maggiore


L’allocazione non proporzionale

AllocazioneAllocazione ottimale di Neyman:ottimale di Neyman:la numerosità campionaria di strato è direttamente proporzionale, oltre che al peso di strato Wh, alla variabilità di strato espressa da Sh:

1

h hh H

h hh

W Sn n

W S

Esempio: Popolazione N = 10; Campione n = 5

Strati N. impr. ROI Sh nh ottimale

1 5 5.5; 5.7; 6; 6.3; 6.5 0.369 1

2 5 2; 3; 4; 5; 6 1.414 4


Pro e contro del CST

ProPro: Guadagno in efficienza rispetto al CCS

Possibilità di stimare le variabili in sottopopolazioni di particolare interesse per gli scopi della ricerca

Riduzione della probabilità di estrazione di campioni poco rappresentativi della popolazione obiettivo

ControContro: Se le variabili ausiliari non sono di buona qualità (sufficientemente correlate con il fenomeno oggetto di studio) ne può derivare una perdita di efficienza


Il Deff

Sulla base della variabilità delle stime è possibile calcolare una misura del guadagno in efficienzamisura del guadagno in efficienza derivante da un disegno di campionamento alternativo al CCS

La misura è denominata effetto di disegno effetto di disegno o DeffDeff

In generale, il Deff è definito come segue (dove ALT sta per disegno di campionamento alternativo al CCS):

( )( )

ALTALT

Var yDeff

Var y

< 1 guadagno in efficienza

> 1 perdita in efficienza


Il Deff

Nel caso di campionamento stratificato in genere si ha:

var( )1

var( )ST

ST

yDeff

y

Più specificamente, in genere si verifica:

, ,var( ) var( ) var( )ST OT ST PRy y y


Il campionamento a grappoli

Una popolazione oggetto di indagine può essere talvolta considerata come costituita da sottoinsiemi “naturali” di unità elementari denominati grappoligrappoli

Esempi: - la popolazione delle persone residenti in una città è costituita dalle persone appartenenti alle famiglie residenti;

- gli studenti di una scuola sono costituiti dagli appartenenti alle sue diverse classi


Il campionamento a grappoli

Lo schema di campionamento a grappoli prevede: a. l’estrazione casuale di alcuni grappoli (es: famiglie)b. l’analisi completa di tutte le unità in essi contenute

ObiettivoObiettivo diverso da quello della stratificazione: convenienza in termini di costi e di tempo, facilitare il processo di raccolta delle informazioni

Può essere anche più efficiente? In teoria: se i grappoli fossero eterogenei al loro interno e omogenei tra essi (alcuni grappoli rappresentano anche quelli non selezionati) Ma nella realtà in genere si verifica il contrario


La tecnica di estrazione del CGRA - illustrazione

La popolazione di 50 unità è suddivisa in 7 grappoli Vengono estratti casualmente 3 grappoli Per ognuno di essi vengono esaminate tutte le unità Il campione risultante si compone di 20 unità


La stima della media con il CGRA

1

A

N B

1

a

n B

Grappoli N. unità per grappolo

Unità Totale di grappolo

1

α

A

B1

Bα

BA

Y11 … Y1β …Y1B1

Yα1 … Yαβ …YαBα

YA1 … YAβ …YABA

tY1

tYα

tYA

1

A

Y Yt t

1

1 A

YY tN

Campione di a grappoli; probabilità di inclusione: a/AStimatore fondamentale della media:

GRA1 1

1 1 1 1( )

a ay

y y

ty t t

N a A N A a N A

Num. campionaria:

1

B

Yt Y


La stima della media con il CGRA

GRA1

1 1( )

a

yy tN A a

N/A = n/a :

GRA1 1 1 1

1 1 1B Ba a

y y yn a a n

1

B

yt y

Media delle osservazioni campionarie

Dimensione media dei grappoli nella popolazione

=Dimensione media dei grappoli nel campione


La stima della varianza con il CGRA

Varianza della media campionaria:2

2var( ) var( )GRA y

Ay t

N

2 2

1

1( )

1y

a

t y ys t ta

Dove:

f = a/A: frazione di campionamento

22

1

11

n

y jj

s y yn

Stima varianza del totale: corrisponde alla stima della varianza di Y nel caso di CCS:

GRA

1y y

Ay t t

N A N

NB: var( ) corrisponde alla stima della varianza di nel CCS:

y

22

2var( ) (1 ) yt

GRA

sAy f

N a yt

2

var( ) (1 ) ysy f

n


Pro e contro del CGRA

ProPro: Vantaggioso quando i grappoli costituiscono una naturale aggregazione delle unità finali per le quali invece non si possiede una lista

Effettuare la rilevazione solo su alcuni grappoli è molto meno dispendioso rispetto al CCS soprattutto se: a) si rende necessario un contatto diretto; b) le unità sono caratterizzate da dispersione sul territorio

ControContro: E’ in genere meno efficiente: i raggruppamenti naturali di unità tendono ad essere omogenei al loro interno ed eterogenei tra loro


Campionamento a due stadi

Nella popolazione vengono individuati:

- raggruppamenti di unità (grappoli) denominati unità di primo stadiounità di primo stadio (esempio: comuni)

- unità elementari appartenenti alle unità di primo stadio denominate unità di secondo stadiounità di secondo stadio (esempio: aziende)

Lo schema di campionamento a due stadi consiste:

- nel selezionare casualmente un campione di unità di primo stadio (es: comuni)

- nel selezionare casualmente un campione di unità di secondo stadio da quelle di primo stadio (es: aziende)

Può essere visto come un campionamento a grappoli in cui si osserva solo una parte delle unità appartenenti ai grappoli campione


La tecnica di estrazione del CSTA -illustrazione

1° stadio sono estratte casualmente 3 UPS 2° stadio da ogni UPS selezionata sono estratte casualmente delle USS (f = 1/2)


Pro e contro del CSTA

ProPro: nelle indagini con rilevazione diretta tramite intervistatori consente di ridurre notevolmente la dispersione territoriale della rilevazione e quindi i suoi costi

ControContro: Di norma si verifica che le UPS sono omogenee al loro interno ed eterogenee tra esse. Di conseguenza il CSTA risulta meno efficiente del CCS


Tecniche di campionamento non probabilistico

Trovano largo impiego in particolare nelle ricerche di mercato

VantaggiVantaggi: la semplicità organizzativa i bassi costi di realizzazione la velocità di esecuzione

Limiti:Limiti:

- l’arbitrio di chi raccoglie i dati può comportare una distorsione da selezione del campione

- non è possibile effettuare una stima della precisione dei risultati


Il campionamento per quote

Il metodo si basa sulla riproduzione nella composizione del campione di alcune caratteristiche distributive note della popolazione, nonostante che:

• non si dispone di una lista di campionamento

• non si applicano criteri di casualità nella selezione delle unità campionarie


Il campionamento per quote

Fasi del metodo:Fasi del metodo:

1. Si individuano le caratteristiche rilevanti della popolazione da riprodurre nel campione (esempio: genere e/o età degli individui; settore e/o dimensione delle aziende)

2. Attraverso idonee fonti statistiche si calcola il peso percentuale dei corrispondenti gruppi sul totale della popolazione

3. Stabilita la numerosità campionaria, essa è ripartita tra i gruppi individuati in modo che il campione rispecchi la composizione della popolazione

4. Ai rilevatori sono assegnate le quote, ovvero il numero di interviste da effettuare liberamente in ognuno dei gruppi


Profilo dell’errore

Errore statistico:Errore statistico: differenza tra il valore vero - relativo ad una certa caratteristica della popolazione - ed il valore osservato sui dati campionari

Ignota la vera entità dell’errore, poiché è ignoto il valore vero della caratteristica oggetto di studio

Scomposizione dell’errore statistico in:

1. errore campionario:1. errore campionario: derivante dal fatto che si esamina solo un campione della popolazione, anziché la sua totalità

2. errore non campionario:2. errore non campionario: a sua volta scomponibile in diversi tipi di errore a seconda delle fonti


L’errore campionario

La stima dell’errore campionario definisce l’intervallointervallo didi confidenza. confidenza. Nel cNel campionamento casuale semplice:

ErroreErrore campionariocampionario:

Errore standardErrore standard:

2

2 2ˆ(1 ) ( )ys

e z f z ES yn

2 2

2 2[ (1 ) ; (1 ) ]y ys sy z f y z f

n n

2

ˆ( ) var( ) (1 ) ysES y y f

n


L’errore campionario

Sulla base della sua espressione si deduce che l’ errore l’ errore campionario è tanto più grandecampionario è tanto più grande:

quanto maggiore è il livello di fiduciamaggiore è il livello di fiducia che si vuole avere nella stima i valori dei coefficienti zα/2 crescono al crescere del livello di fiducia

quanto più elevata è la variabilità della caratteristicapiù elevata è la variabilità della caratteristica studiata nella popolazione tale variabilità si riflette in quella osservata sul campione (e quindi sulla varianza e sull’errore standard della media campionaria)

quanto minore è la dimensione del campioneminore è la dimensione del campione legata alla varianza della media campionaria secondo una proporzione inversa


L’errore campionario - Esempio

- Popolazione di 10.000 imprese (N = 10000); - Estratte 400 unità (n = 400) mediante CCS- Stima della media del fatturato: 495 (migliaia di euro);- Stima della varianza: 2500 (migliaia di euro).

La stima dell’errore campionario, in corrispondenza di un livello di fiducia del 95%:

Conclusione: nella stima della media del fatturato delle aziende - per un livello di fiducia del 95% - si può commettere un errore pari a 4,8 migliaia di euro, per difetto o per eccesso

Ovvero, al 95% di probabilità, il valore vero incognito si trova nell’intervallo di confidenza [495 - 4,8; 495 + 4,8]

400 25001,96 (1 ) 4,8

10000 400e


L’errore campionario - Esempio

Per una diversa numerosità campionaria: n = 300(e a parità di livello di fiducia e stima della varianza nella popolazione)

Errore campionario:

Intervallo di confidenza: [495 – 5,6; 495 + 5,6]

300 25001,96 (1 ) 5,6

10000 300e


Calcolo numerosità campionaria

Stabilita prima di estrarre il campione in base in base all’errore campionario massimoall’errore campionario massimo che si è disposti a commettere

Come si fissa l’errore massimo?

Non possiamo partire dalla sua stima campionaria (non abbiamo ancora il campione)

Dobbiamo partire dai valori teorici La varianza teorica della media campionariavarianza teorica della media campionaria nel CCS:

2

Var( )1

YN n Sy

N n



Da cui deriva il valore teorico dell’errore standard:

e il valore teorico dell’errore campionario:

da cui si ottiene n in funzione di e (e di altri parametri):

2

1YSN n

ESN n

2 222 2

22 1

Y

Y

S zn

S zNe

N N

2

2 1YSN n

e zN n



Poiché la varianza della caratteristica nella popolazione S2

Y è ignota, in genere si ricorre a:

una misura della variabilità derivante da eventuali indagini pregresse

una stima proveniente da un’indagine pilota



Caso di stima di una frequenza stima di una frequenza Variabile dicotomica: Y = 1 (presenza attributo); Y = 0 (assenza attributo)

La varianza di Y nella popolazione è: S2Y = P (1 - P)

La numerosità campionaria può essere determinata assumendo il valore massimo della varianza, che si ha per P = 0.5, e sostituendolo nella formula generale, ottenendo:

22

222

0.25

0.251

zn

zNe

N N


Calcolo numerosità campionaria - EsempioPopolazione di N = 10000 imprese Calcolo della numerosità campionaria per la stima della proporzione di imprese che hanno fatto investimenti nel triennio precedente, con - un errore massimo del 3% in più o in meno (e = 0.03)

- un livello di fiducia del 95% (α = 0.05; zα/2 = 1.96)

2

22

0.25 1.96964

0.25 1.9699990.03

10000 10000

n

Per N = 100.000 ?

Per N = 1.000.000 ? n = 1066

n = 1056


Calcolo numerosità campionaria - Esempio

Per P = 0.2 ? (e N = 10000)

2

22

0.16 1.96640

0.16 1.9699990.03

10000 10000

n

2

(1 ) 0.2(1 0.2)(1 ) =1.96 (1 0.0964) 0.024

1 963p p

e z fn

Bastava un campione più piccolo:

Oppure (per n = 964) avremo un errore campionario minore:

e quindi un intervallo di confidenza meno ampio


Errore non campionario

• Casuale

• Sistematico

è attribuibile unicamente al caso e i suoi effetti tendono ad annullarsi all’aumentare della numerosità campionaria 1. di copertura

2. di non risposta

3. di misura

4. di codifica e archiviazione dei dati

a. totale

b. parziale

imputabile a insufficienze metodologiche o

organizzative che possono originare in ogni fase di una

indagine


Errore di copertura

Legato al grado di corrispondenza tra le unità elencate nella lista di campionamento e quelle effettive della popolazione

Due tipi di errore:1. SovracoperturaSovracopertura - la lista include unità non appartenenti alla popolazione

2. SottocoperturaSottocopertura - la lista esclude unità appartenenti alla popolazione (es. elenchi telefonici)

• si diagnostica con un quesito iniziale per verificare l’appartenenza• si risolve eliminando le unità e con un campione di riserva per la loro sostituzione

• si diagnostica analizzando le caratteristiche della lista • si risolve con riponderazione o post-stratificazione


Errore di non risposta

Deriva dalla mancata osservazione sull’unità di rilevazione di alcune o di tutte le caratteristiche oggetto di studio Si distingue in:

a.a. non risposta totalenon risposta totale - se riguarda tutte le caratteristiche

b.b. non risposta parzialenon risposta parziale - se riguarda un numero contenuto di caratteristiche oggetto di indagine

• si previene con: motivazione unità selezionate; semplicità del questionario; solleciti; incentivi; sovracampionamento• si risolve con: sostituzione unità; riponderazione, post- stratificazione

• si previene con: chiarezza domande; attenzione alla riservatezza; addestramento intervistatori• si risolve con: imputazione dati mancanti (Cap. 3)


Errori di non risposta o di copertura

Effetto sul campione delle non risposte totali o della sotto-copertura: alcune componenti della popolazione sottorappresentate, altre sovrarappresentate; composizione campione diversa da quella della popolazione

EsempioEsempio (mancate risposte): M F TOTPopolazione: 8000 12000 20000 (40%) (60%) (100%)

Campione: 160 240 400 (40%) (60%) (100%)

Rispondenti 90 210 300 (30%) (70%) (100%)N. R. 70 30 100

Tassi di risposta: 56.2% 87.5% 75%


Errori di non risposta o di copertura

EsempioEsempio (sottocopertura): M F TOTPopolazione: 8000 12000 20000 (40%) (60%) (100%)Campione Selezionato: 120 280 400 (30%) (70%) (100%)Rispondenti: 90 210 300 (30%) (70%) (100%)Tassi di risposta: 75% 75% 75%


Riponderazione / post-stratificazione Nota la composizione della popolazione secondo una o più caratteristiche, la riponderazioneriponderazione consiste: - nell’aumentare il peso delle unità campionarie sottorappresentate - e nel diminuire il peso di quelle sovra-rappresentate (fino a riportare i pesi a quelli noti nella popolazione)

Informazioni necessarie:Informazioni necessarie:Composizione della popolazione (oltre che del campione) secondo le k modalità della caratteristica (o delle caratteristiche) utilizzata/e per la riponderazione(Esempio: percentuale di M e di F nella popolazione e nel campione)


Riponderazione / post-stratificazione

Composizione della popolazione e del campione secondo le k modalità della caratteristica: Popolazione: Campione:

Pesi di riponderazione: (per ogni unità j appartenente al sottocampione i):

iPi

NP

N ( 1,..., )i ki

Ci

nP

n

Pi iij

Ci i

P N Nw

P n n ( 1,..., )i k

unità sottorappresentate: peso aumentato

1ijw

1ijw unità sovrarappresentate: peso diminuito


Riponderazione / post-stratificazioneStima della mediaStima della media:

1 1

1 1

; ( 1,..., )

i

i

nk

ij iji j i

ijnki

iji j

w yN N

y w i kn n

w

EsempioEsempio (mancate risposte): M F TOTPopolazione: 8000 12000 20000 (40%) (60%) (100%)Campione: 160 240 400 (40%) (60%) (100%)Rispondenti 90 210 300 (30%) (70%) (100%)Pesi riponderazione: 1.333 0.857


Riponderazione / post-stratificazione

1 1

1 1

( );

i

i

nk

ij iji j i

ijnki

iji j

w yN N

y wn n

w

1

ki

ii

Ny y

N

Formula del campionamento stratificato applicata ai k strati costruiti a posteriori

Riponderazione = Post-stratificazione

Classificazione del campione secondo le k modalità:classificazione del campione in k strati (post-stratificazione)


Post-stratificazione - Esempio

EsempioEsempio (mancate risposte): M F TOTPopolazione 8000 12000 20000 (40%) (60%) (100%)Rispondenti 90 210 300 (30%) (70%) (100%)N. R. 70 30 100

Post-stratificazione:

Pesi (Ni / N) 0.4 0.6

Medie 30 20

1

0.4 30 0.6 20 24k

ii

i

Ny y

N

Senza tenere conto della diversa incidenza delle mancate risposte ?

1

0.3 30 0.7 20 23k

ii

i

ny y

n


Le tipologie di quesiti

Classificati in base alle modalità di rispostamodalità di risposta- domande a risposta apertadomande a risposta aperta (o domande aperte): - non sono fornite le categorie di risposta; - l’intervistato deve fornire un valore numerico esatto oppure rispondere con parole proprie

domande a risposta chiusadomande a risposta chiusa (o domande chiuse): - sono elencate le possibili categorie di risposta tra cui il rispondente deve indicarne una o più di una


Domande aperte vs domande chiuse

Pro aperte:Pro aperte: consentono l’espressione libera del rispondente consentono l’acquisizione di dati numerici esatti

nelle fasi di test del questionario consentono di individuare le categorie di risposta per le domande chiuse della versione finale

Contro aperte:Contro aperte: interpretazione soggettiva della domanda

carico di lavoro più elevato con maggiori probabilità di errore e/o abbandono


Le scale di valutazione

Utilizzate nella rilevazione di opinioni o atteggiamenti

Esempio: accordo/disaccordo molto, abbastanza, … Oppure: soddisfazione/insoddisfazione Trovano impiego nei sondaggi di opinione e nelle ricerche di mercato


Le scale di valutazione

Scala continua: opzioni di risposta un insieme continuo di valori

Scala ancorata: possibilità di selezionare valori interi all’interno di un certo intervallo 1 2 3 4 5Totalmente Abbastanza Né d’accordo Abbastanza Totalmente in disaccordo in disaccordo né in disaccordo d’accordo d’accordo


Classificazione dei caratteri statisticiPrincipale distinzione Caratteri quantitativi:Caratteri quantitativi: che derivano da misurazioni o operazioni di conteggio (es: reddito, n. di addetti) Caratteri qualitativi:Caratteri qualitativi: in cui è assente il concetto di quantità (es: condizione occupazionale)

Classificazione più fine, fondata sulla scala di scala di misurazionemisurazione:

da essa dipendono le operazioni che si possono compiere


La scala di misurazione

Caratteri qualitativiCaratteri qualitativi

Scala nominale:Scala nominale: le modalità non possono essere messe in ordine secondo una sequenza logica (es: nazionalità)

Confronto ammissibile tra due unità statistiche: se sono uguali o diverse rispetto a quel carattere

Scala ordinale: Scala ordinale: le modalità possono essere messe in ordine secondo una sequenza logica (es: titolo di studio)

Confronto ammissibile tra due unità statistiche: se l’una ha modalità maggiore o minore dell’altra secondo quel carattere



Caratteri quantitativiCaratteri quantitativi

Scala di intervalli:Scala di intervalli: le modalità non possiedono uno “zero assoluto” che indichi assenza della quantità

Esempio: temperatura; zero convenzionale, diverso a seconda della scala adottata

Confronto ammissibile: per differenza tra i valori assunti dal carattere sulle unità

Esempio: l’aumento di calore che si verifica tra 0° e 20° della scala Celsius è lo stesso che si verifica tra 20° e 40°. Ma non si può affermare che il caldo a 40° è doppio che a 20°



Caratteri quantitativiCaratteri quantitativi

Scala di rapporti: Scala di rapporti: le modalità possono essere misurate partendo da un’origine che rappresenta l’assenza della quantità (Esempio: fatturato)

Confronto ammissibile: rapporto tra i valori assunti dal carattere in due diverse unità

(Esempio: se il rapporto è 2 il fatturato è doppio)


La classificazione dei caratteri statistici

Esame del carattere statistico: le modalità sono ordinabili?

Esame del carattere statistico: si individua zero assoluto?

Scala nominale

Sì No

Scala ordinale

Scala di intervalli

Sì No

Scala di rapporti

Sì No

Esame del carattere statistico: si denota concetto di quantità?

Carattere quantitativo Carattere qualitativo

1/89 Statistica Aziendale Linformazione statistica per le decisioni aziendali 1. Informazione già...

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