Flussi Secondari poliba

5 FLUSSI SECONDARI 161

5 Flussi secondari

In generale il flusso all’ingresso delle turbomacchine risulta essere non uniforme, comeillustrato da alcuni esempi in figura 5.1. Il gradiente in direzione radiale di velocita,

Figura 5.1: Non uniformita del flusso all’ingresso di unaturbomacchina (Lakshminarayana, 1996).

pressione totale e temperatura totale puo essere indotto dallo strato limite sulle paretiai raggi interno ed esterno (figure 5.1a e 5.1e) o dalla presenza di una schiera a mon-te (figure 5.1b e 5.1f), specie nel caso di una progettazione non di tipo vortice libero.Inoltre, la camera di combustione a monte della turbina produce una non uniformita ditemperatura sia in direzione radiale che tangenziale (figura 5.1d); mentre nelle macchi-ne pluristadio (principalmente compressori) si ha la formazione del flusso completamentesviluppato (figura 5.1c). Tali disuniformita derivano sia da effetti viscosi che non viscosie la loro presenza produce dei flussi secondari nelle turbomacchine.

Per illustrare la formazione dei flussi secondari si consideri una schiera rettilinea conun profilo di velocita in ingresso non uniforme per la presenza di uno strato limite, comeillustrato in figura 5.2. Nella rappresentazione si e usato il riferimento ortogonale naturaleindividuato dai versori s, n e b, rispettivamente lungo la direzione della velocita, s, lanormale, n, e la bi-normale, b. La linea di corrente nella regione di flusso uniforme eindicata con la lettera A, mentre quella nella regione dello strato limite e indicata con lalettera B. Se si trascunaro gli effetti viscosi e le variazioni di velocita nella direzione n,normale alla linea di corrente A, e si assume il flusso incomprimibile e stazionario, si hache lungo n si bilanciano il gradiente di pressione e la forza centrifuga,

(

∂p

∂n

)

A

= u2

A

RA

, (5.1)


Figura 5.2: Flussi secondari (Lakshminarayana, 1996).

dove RA indica il raggio di curvatura locale. Poiche nell’approssimazione della teoria dellostrato limite la pressione nella direzione perpendicolare alla parete risulta essere costante,il gradiente di pressione lungo b e lo stesso sulle linee di corrente A e B,

(

∂p

∂n

)

A

=

(

∂p

∂n

)

B

= u2

A

RA

> u2

B

RB

. (5.2)

Dato che uB < uA e RB = RA, l’equilibrio lungo n per la particella lungo la linea dicorrente B non e soddisfatto, per cui la linea B dovra presentare una maggiore curvatura(minor raggio di curvatura), come indicato dalla linea BB’B” in figura 5.2 in cui RB′ < RA,sviluppando un flusso trasversale dal lato in pressione a quello in depressione della palaadiacente. La presenza del flusso trasversale, corrispondente alla componente v di velocita,indica una deviazione rispetto alla direzione del flusso principale (lungo s) ed e per questochiamato flusso secondario. Per ragioni di continuita sara presente anche una componentedi flusso lungo l’altezza della pala, w: se ∂u/∂s = 0, allora ∂w/∂b = −∂v/∂n. Tale flussosecondario e caratterizzato da una vorticita secondaria, in particolare da una componentenella direzione del flusso principale, ωs = −∂v/∂b + ∂w/∂n. Nella figura 5.2 la vorticitanormale, ωn, e diretta nella direzione negativa di n e anche ωs e negativa. Il flusso


secondario descritto, che genera un vortice detto vortice di passaggio, si determina quandoin ingresso alla palettatura e presente una componente di vorticita in direzione normale,ovvero un flusso di taglio (causato dalla presenza di uno strato limite a monte) che vienesuccessivamente deviato dalla palettatura stessa.

Un altro esempio in cui si verifica l’insorgere di flussi e vorticita secondari, che verradescritto nel seguito, e quello del flusso di taglio che interagisce con un ostacolo, comeavviene in presenza del flusso che, avendo sviluppato uno strato limite sulle pareti deldisco e della cassa, impatta sul bordo d’attacco di una pala (horseshoe vortex ).

L’importanza dell’analisi dei flussi secondari e dovuta al loro effetto sulle prestazionedelle turbomacchine, che possono essere schematizzati come segue:

1. introducono componenti di velocita trasversali (v e w) rispetto al flusso principale;

2. tendono a formare strutture vorticose che possono portare alla formazione di zonedi separazione;

3. hanno un effetto non trascurabile sulla deflessione del flusso, che si ripercuote sulladifferenza di pressione nella turbomacchina;

4. le perdite conseguenti ai fenomeni sopra descritti comportano un incremento delleperdite complessive e quindi una diminuzione del rendimento (le perdite dovute allosviluppo dello strato limite sulle pareti del disco e della cassa interna e ai flussisecondari comportano una riduzione di rendimento fino a 5 punti percentuali);

5. la presenza di flussi secondari comporta l’insorgere sulle palattature a valle di unadeviazione rispetto alle condizioni di progetto.

5.1 Flussi secondari e vorticita

Per analizzare meglio la natura dei flussi secondari risulta utile considerare l’equazione ditrasporto per la vorticita

∂ω

∂t+(V ·∇)ω = (ω ·∇)V −ω(∇ ·V )−∇×

(

∇p

)

−∇×

[

µ

× ω −

4

3

µ

∇ (∇ · V )

]

.

(5.3)L’espressione della vorticita e la seguente:

∇ × V = ωs s + ωn n + ωb b,

con V = u s e ωn = ∂u/∂b. Le tre componenti della vorticita nel caso di flusso stazionario(e trascurando le forze di massa) si scrivono:

∂

∂s

(

ωs

u

)

=2 ωn

u R−

1

3 u2

[

∂p

∂n

∂

∂b−

∂

∂n

∂p

∂b

]

+µ

2 u2s · ∇2ω, (5.4)

∂

∂s(ωn u) =

u ωb

τ+

ωn u

an

∂an

∂s− ωb u

∂αb

∂s+

1

2

[

∂p

∂s

∂

∂b−

∂p

∂b

∂

∂s

]

+ n ·µ

∇2ω, (5.5)


∂

∂s

(

ωb

)

=ωn

R+

ωb

ab

∂ab

∂s+

ωn

∂αn

∂s+

1

3 u

[

∂

∂s

∂p

∂n−

∂

∂n

∂p

∂s

]

+ b ·µ

2 u∇2ω. (5.6)

Nel ricavare queste espressioni si e trascurato per semplicita l’effetto di comprimibilita suitermini viscosi; inoltre, R indica il raggio di curvatura principale e τ il raggio di torsionedefinito dalle formule di Frenet:

∂s

∂s=

n

R,

∂b

∂s= −

n

τ,

∂n

∂s=

b

τ−

s

R;

infine an e ab indicano le distanze tra due linee di corrente adiacenti nelle direzioni n e b, e∂αn/∂s e ∂αb/∂s sono le velocita angolari di n e b lungo la direzione principale del flusso, s.Nella maggior parte delle applicazioni ωb e trascurabile e solo le equazioni (5.4) e (5.5) sonorilevanti per l’analisi dei flussi secondari. Inoltre, i termini ωb e ∂αb/∂s nell’equazione (5.5)possono essere trascurati nelle macchine assiali, semplificando ulteriormente il problema.Esaminando i termini non viscosi dell’equazione (5.4) si nota come la vorticita secondariasi generi per effetto di una componente normale di vorticita, ωn, in un flusso con raggio dicurvatura R e in presenza di gradienti di densita e pressione nelle superfici b e n in direzionimutuamente perpendicolari 15. Anche in assenza di tali effetti la vorticita secondaria varia(a causa della comprimibilita e delle variazioni di velocita) per effetto del fenomeno divortex streching, dovuto al termine ∂(ωs/ u)/∂s, e per effetto della dissipazione.

Si consideri l’equazione (5.4), che rappresenta l’evoluzione della vorticita secondarianella direzione principale del flusso ed e la piu significativa delle tre componenti; per flussonon viscoso con ∂p/∂b = 0 e ∂p/∂n = − u2/R, si ha:

∂

∂s

(

ωs

u

)

=2 ωn

u R+

1

2 R

∂

∂b=

2 ωn

u R−

1

R T

∂T

∂b. (5.7)

Poiche nelle turbomacchine si ha una variazione di temperatura, mentre per un flussoadiabatico la temperatura totale per uno statore e quella totale relativa per un rotoresono costanti lungo una linea di corrente, si preferisce esprimere l’equazione precedentein termini di T0:

∂

∂s

(

ωs

u

)

=2 ωn

u R

(

1 +γ − 1

2M2

)

−| ∇T0 |

R Tcos β, (5.8)

dove β indica l’angolo tra ∇T0 e la coordinata b e indica la rotazione delle superfici isoter-me nell’attraversare la turbomacchina. Dall’osservazione delle equazioni semplificate (5.7)e (5.8) si deduce che il flusso secondario si sviluppa: (a) in presenza di componenti nor-mali di vorticita come quelle causata dello strato limite a parete; (b) in presenza di ungradiente radiale di temperatura (statica o totale) in ingresso come quelli prodotti dallacamera di combustione. In entrambi i casi e presente un gradiente di pressione totale indirezione radiale.

15infatti i vettori ∇(−1) e ∇p sono perpendicolari rispettivamente a superfici di densita e pressionecostante e il vettore ∇(−1) × ∇p e tangente alla curva all’intersezione di tali superfici.


Figura 5.3: Flussi secondari in una macchina centrifuga: (a)effetto della curvatura nel piano meridiano, (b) effetto dellarotazione (Lakshminarayana, 1996).

Consideriamo ora il caso di un rotore per verificare l’effetto della rotazione sui flussisecondari. L’espressione della vorticita secondaria in presenza di una schiera che ruotacon velocita angolare Ω si ottiene applicando l’operatore curl all’equazione (3.75). Nel-l’esprimere tale equazione di trascurano per semplicita i termini viscosi e si utilizza unriferimento naturale le cui linee coordinate sono s′, n′ e b′ rispettivamente lungo la direzio-ne della velocita relativa W , e lungo la normale principale e la binormale, vedi figura 5.3.La vorticita assoluta ω e quella relativa ζ sono legate dalle seguenti relazioni:

ζ = ω −Ω,

ζs′ = ωs′ − 2Ω · s′,

ζn′ = ωn′ − 2Ω · n′ =∂W

∂b′,

ζb′ = ωb′ − 2Ω · b′ = −∂W

∂n′+

W

R′,

(5.9)

dove R′ indica il raggio di curvatura principale. Nelle applicazioni turbomacchinistiche lacomponente principale della vorticita assoluta secondaria nel riferimento relativo e ωs′, la


cui equazione e la seguente:

∂

∂s

(

ωs′

W

)

=2 ωn′

W R′−

2Ω × ω

W 2· s′ −

1

3 W 2

[

∂p

∂n′

∂

∂b′−

∂

∂n′

∂p

∂b′

]

. (5.10)

Da questa equazione si possono trarre le stesse conclusioni ricavate in precedenza perl’equazione (5.4) a proposito della generazione di flussi secondari. In aggiunta, si ha laformazione di flussi secondari per la presenza della rotazione quando il vettore Ω × ω

presenta una componente lungo la direzione del flusso relativo. Per un rotore assiale ω sitrova nel piano s′n′ e la componente del vettore Ω×ω lungo s′ e trascurabile e quindi i flussisecondari indotti dalla rotazione sono trascurabili. La presenza degli effetti viscosi e dellavariazione della sezione di passaggio lungo l’asse puo rendere non piu trascurabile questocontributo. Viceversa, per rotori radiali la vorticita secondaria prodotta dalla rotazione,2Ω × ω · s′, e dello stesso ordine di grandezza di quella prodotta dalla curvatura R′.L’equazione (5.10) puo essere semplificata supponendo che il flusso sia incomprimibile,non viscoso e omogeneo. In tal caso il flusso secondario si genera per la presenza dellavorticita normale, ωn′, unitamente alla curvatura, e per effetto della rotazione. La vorticitasecondaria in una generica sezione 2 si calcola a partire dalle condizioni in ingresso:

(

ωs′

W

)2

1

=

2∫

1

2 ωn′

W R′ds′ −

2∫

1

2 (Ω × ω) · s′

W 2ds′. (5.11)

Per una macchina assiale (Ω × ω) · s′ e trascurabile; assumendo , W e R′ costanti,l’equazione (5.11) diventa:

ωs′2− ωs′

1= 2 ωn′ǫ′,

dove ǫ′ indica la deflessione della corrente relativa attraverso il rotore. Nel caso di unamacchina radiale si possono riconoscere nell’equazione (5.11) tre diverse cause di forma-zione di flussi secondari: (1) la curvatura del flusso nel piano meridiano in presenza diuna componente normale di vorticita ωn′ , vedi figura 5.3a; (2) la deflessione prodottadalla curvatura della pala, sempre in presenza di una componente normale di vorticita,analogamente a quanto illustrato in figura 5.2; (3) l’effetto della rotazione, conteggiatodal secondo termine dell’equazione (5.11). Per un compressore puramente radiale s′ coin-cide con la direzione radiale, n′ con quella assiale e b′ con quella tangenziale; nel casodi flusso assoluto irrotazionale si ha ζ = −2Ω e ζn′ = −2 Ω, per cui la vorticita assialesara presente in tutto il vano palare, dall’ingresso all’uscita e sul piano blade-to-blade, ede opposta alla rotazione. Nel caso di una macchina a flusso misto (dapprima assiale, poidebolmente radiale e quindi radiale) il flusso secondario sara diverso nella parte inizialeed in quella finale del rotore. Nella prima parte la curvatura nel piano meridiano, Ω · n′

e ∂W/∂b sono quantita piccole, quindi da essi non si ha la formazione di flussi secondari;analogamente, il flusso secondario dovuto alla presenza di vorticita normale e curvaturadelle pale non e praticamente presente a causa della lieve curvatura delle pale. Inoltre,in ingresso (Ω × ω) · s′ e trascurabile e cosı il suo contributo alla formazione di flussisecondari. In definitiva nella prima parte della macchina non si hanno flussi secondari


significativi. Viceversa, nella regione in cui il flusso devia verso un andamento prevalen-temente radiale, indicata con AB nella figura 5.3a, le tre cause prime elencate concorronoalla formazione di una complessa struttura di flussi secondari. In particolare:

1. Curvatura nel piano meridiano e ωn′(∂W/∂b′ + 2Ω · n′). Nella seconda parte delrotore lo strato limite ha avuto modo di svilupparsi, per cui ωn′ non e trascurabile.Il flusso secondario dovuto a ∂W/∂b′ e confinato nello strato limite sulle pareti,indicati con “a1” in figura 5.3a; il contributo dovuto a 2Ω · n′ coinvolge l’interopassaggio, indicato con “a2” in figura 5.3a.

2. Curvatura delle pale. In questo caso n′ e quasi coincidente con la direzione tangen-ziale, pertanto Ω · n′ e una quantita piccola e la causa principale della formazionedel flusso secondario e il gradiente di velocita ∂W/∂b′ nello strato limite sulle paretiinterna ed esterna della macchina. Questo flusso secondario e diretto dal lato inpressione a quello in depressione su entrambe le superfici e, analogamente alla con-figurazione delle macchine assiali rappresentata in figura 5.2, e rappresentato dallacurva “C1” in figura 5.3b.

3. Effetto della rotazione. Il flusso secondario e dovuto al termine −2Ω×ω ·s′/( W 2)che e uguale al termine −2Ω × ζ · s′/( W 2): il suo contributo principale derivadalla componente ζb′ (figura 5.3b). Tale termine per flussi radiali, in cui Ω ∼= −Ωn,diventa

−2

W 2[Ω × (ζs′ s

′ + ζn′ n′ + ζb′ b′)] · s′ ≈

2 Ω ζb′

W 2≈

2 Ω

W 2

(

−∂W

∂n′+

W

R′

)

.

Il primo termine produce un flusso secondario dal lato in pressione a quello indepressione sulle superfici interna ed esterna, indicato con “C1” nella figura 5.3b,che risulta dominante nelle regioni dello strato limite, mentre il secondo termine (chedipende dalla curvatura del flusso nel piano meridiano) produce un flusso secondarionon confinato nello strato limite che coinvolge l’intero passaggio, indicato con “C2”nella figura 5.3b, con un flusso che va dal lato in depressione a quello in pressionevicino alla parete interna e viceversa sulla parete esterna.

E interessante verificare l’ordine di grandezza dei termini dovuti alla curvatura e alla rota-zione nella generazione dei flussi secondari. Il rapporto tra i due termini a secondo membronell’equazione (5.11) puo essere approssimato dal rapporto W/(R′Ω); se approssimiamoW con Ω r, tale rapporto diventa pari a r/R′. Quindi i flussi secondari causati dallacurvatura nel piano meridiano sono dominanti se r/R′ e relativamente elevato, viceversala rotazione e la causa principale dei flussi secondari se tale rapporto e piccolo.

5.2 Flussi secondari nelle turbine

Lo schema classico dei vortici secondari in una schiera rettilinea di turbina e rappresen-tato in figura 5.4, con una componente di vorticita nella direzione del flusso causata dalla


deflessione della schiera e dalla presenza in ingresso di filamenti vorticosi a loro volta pre-senti per effetto dello strato limite che si sviluppa sulle pareti interna ed esterna della pala(vortice di passaggio). La scia vorticosa al bordo d’uscita e causata dall’effetto combinatodi: (a) filamenti vorticosi dovuti allo stiramento dei filamenti in ingresso nel passaggioattraverso la schiera con diverse velocita sulle superifci in pressione e in depressione, (b)vortici di estremita dovuti alla variazione della circolazione lungo l’altezza della pala. In

Figura 5.4: Schema classico di flussi secondari (Hawthorne, 1955).

aggiunta a tale schema, nelle turbine e rilevante anche il sistema vorticoso causato dal-l’avvolgimento che lo strato limite a parete subisce quando incontra un cilindro postoperpendicolarmente alla suddetta parete, vedi figura 5.5. Tale fenomeno e noto come vor-tice a ferro di cavallo (horseshoe vortex) a causa della forma particolare della struttura diflusso intorno al cilindro. Per effetto della combinazione del vortice di passaggio (PV) e di

Figura 5.5: Formazione di un vortice a ferro di cavallo.

quello a ferro di cavallo (HV), la struttura dei flussi secondari e complessa, come illustratoin figura 5.6 secondo il modello di Langston: il ramo di HV lungo sul lato in depressio-ne, Hp, presenta lo stasso verso di rotazione del vortice di passaggio e da questo vieneinglobato per formare un unico vortice; il ramo di HV sul lato in depressione, Hs, ruotain senso opposto al vortice di passaggio e si muove lungo il lato in depressione della palaadiacente in prossimita della parete. Questo schema trova conferma nelle visualizzazioniriportate in figura 5.7, ottenute mediante piani di luce, in cui si mostra la formazione delvortice a ferro di cavallo al bordo d’attacco della pala e la combinazione del vortice di


Figura 5.6: Schema di flussi secondari secondo Langston (1980).

passaggio e di quello a ferro di cavallo sul piano di uscita della schiera. In particolare siosserva come Hp e PV si uniscono a formare un unico vortice, mentre Hs si trova quasinella sezione di mezzeria della pala, ovvero in una posizione diversa da quella ipotizzatada Langston. Una descrizione piu dettagliata dell’evoluzione della struttura dei vorticisecondari in schiere rettilinee di turbina, con particolare enfasi sull’interazione tra vorticedi passaggio e a ferro di cavallo, e stata fornita da Sieverding & Van den Bosche (1983).Questi autori, mediante una particolare tecnica di visualizzazione, sono riusciti a carat-terizzare l’evoluzione di superfici di flusso attraverso una schiera di turbina, consentendola formulazione del modello di flusso riportato in figura 5.8. La figura mostra la forma didue superfici di flusso attraverso il vano palare; la prima, SS1, inizia a monte della schierae all’interno dello strato limite di parete, mentre la seconda, SS2, inizia all’esterno dellostrato limite di parete e ad una diversa posizione assiale rispetto ad SS1. Quando il flussoprocede verso il bordo d’attacco della pala, le estremita di SS1 cominciano ad avvolgersisu se stesse a formare i due rami contro rotanti del vortice a ferro di cavallo, Hp e Hs,mentre la maggior parte della superficie di corrente resta indisturbata. Appena dopo ilbordo d’attacco, l’intera superficie SS1 comincia gradatamente a ruotare, inclusi i vorticiHp e Hs, dando vita al vortice di passaggio. Le rilevazioni sperimentali mostrano comeil ramo Hp del vortice a ferro di cavallo segue una traiettoria graduale attraverso il vanopalare, senza moti vorticosi osservabili, confermando che il suo centro coincide con quellodel vortice di passaggio. D’altra parte il ramo Hs del vortice a ferro di cavallo si avvolgeintorno al vortice di passaggio; la posizione di Hs ad una data posizione assiale dipendedalla velocita di rotazione del vortice di passaggio, ovvero dalla geometria della schierae dalle condizioni generali del flusso. E importante osservare come il tracciamento dellatraiettoria di Hs sia particolarmente critico. Infatti, nella prima parte della schiera (dove


Figura 5.7: Visualizzazione di flussi secondari (Marchal & Sieverding, 1977).

avviene l’accelerazione del flusso) il vortice si sposta dalla parete e rimane vicino al lato indepressione della pala: le piccole dimensioni e l’intensita dello stretching nella direzionedel flusso ne rendono difficile l’individuazione; nella seconda parte della schiera (decele-razione del flusso) le dimensioni del vortice aumentano ma la sua intensita diminuisce alcontatto col vorrtice di passaggio per effetto della dissipazione.

Nell’analisi dei flussi secondari e delle relative perdite si nota la presenza di un’ulte-riore struttura, nota come vortice d’angolo (corner vortex). Questo e un vortice che ruotain senso opposto al vortice di passaggio ed e localizzato sempre nell’angolo tra la pala ela parete. In generale esso risulta di piccole dimensioni, ma la sua presenza e facilmenteindividuata dall’andamento lungo l’altezza della pala dell’angolo all’uscita dalla schiera.Infatti, spostandosi dalla mezzeria verso la parete, a causa del vortice di passaggio, taleangolo risulta dapprima minore e quindi maggiore rispetto al valore in mezzeria, provo-cando una sovra deflessione della corrente a parete. Tuttavia, la presenza di un vorticed’angolo porta ad una riduzione della sovra deflessione, come mostrato in figura 5.9. Peridentificare l’origine del vortice d’angolo e necessario investigare piu in dettaglio il flus-so all’interno del vano palare. A tale scopo si puo fare ricorso ad analisi sperimentali o


Figura 5.8: Evoluzione dei vortici di passaggio e a ferro di cavallosecondo il modello di Sieverding & Vanden Bosche (1983).

numeriche. Ad esempio, la visualizzazione in figura 5.10 mostra le limiting streamline16

di una schiera rotorica ad azione (alta deflessione). L’intensita del vortice di passaggioe tale che le limiting streamline interagiscono quasi ad angolo retto con la superficie indepressione della pala in prossimita del punto di massima curvatura. Si puo ipotizzarein questo caso per il flusso secondario legato al vortice di passaggio la presenza di unfenomeno simile a quello che si verifica sul bordo d’attacco della pala e genera il vortice aferro di cavallo. Tornando alla figura 5.10, la linea S3 rappresenta una linea di separazionetridimensionale che e caratteristica dell’esistenza di un vortice che ruota in senso oppostoal vortice di passaggio; questa linea di separazione inizia in prossimita del punto in cui ilflusso secondario a parete interagisce con il lato in depressione della pala. L’analisi dellestrutture a parete riportate in diverse analisi sperimentali ha condotto Sieverding (1984)a proporre lo schema generale delle caratteristiche a parete del flusso in una schiera diturbina riprodotto in figura 5.11. A monte del bordo d’attacco sono presenti due lineedi separazione principali: la linea S1 indica la separazione dello strato limite davanti alvortice a ferro di cavallo, mentre la linea di separazione secondaria S2 e causata dallapresenza del vortice stesso. A queste due linee e dovuta la presenza dei punti di sella A1

e A2, evidenziata nella figura 5.11c, individuati dall’intersezione delle linee di seprazionecon la linea di corrente passante per il punto di ristagno, indicata con R in figura 5.11a. Ipunti di sella separano i rami delle linee di separazione S1 e S2 relativi al lato in pressione,S1,p e S2,p, e a quello in depressione, S1,s e S2,s. All’intersezione della regione di flusso abassa quantita di moto contenuta tra le linee S1,p e S2,p con la superficie in depressione

16La definizione di separazione in un flusso tridimensionale e molto piu complessa rispetto al casobidimensionale, in cui e sufficiente verificare che lo sforzo a parete sia nullo. A tale scopo si usa definire lelimiting streamline, che possiamo pensare come le linee di corrente in un piano molto prossimo alla paretein esame, ovvero linee definite mediante il campo vettoriale a parete dello sforzo d’attrito. Le limiting

streamline convergono sulle linee di separazione, in modo da lasciare la parete, mentre divergono dalle


Figura 5.9: Variazione lungo l’altezza della pala (dalla base alla mez-zeria, mediata sul passo) della differenza tra l’angolo in uscita locale equello in mezzeria (Gregory-Smith & Graves, 1983).

della pala adiacente si possono verificare due diversi tipi di interazione, di tipo debole oforte, in funzione del carico della pala. Nel caso di interazione forte si ha la formazione diun vortice d’angolo con conseguente formazione della linea di separazione S3 che inizia inprossimita dell’intersezione della S1,p con la pala adiacente. La linea S2,p prosegue paral-lelamente alla S3 verso la sezione di uscita della schiera. Nel caso di interazione debole, lasperimentazione mostra solo la linea S2,p che si muove in prossimita del lato in depressione.Queste due diverse configurazioni sono riprodotte anche in figura 5.11d, in cui e riportatala regione in prossimita dell’intersezione tra la parete e il lato in depressione della pala:alla linea di separazione S2,p corrisponde la linea di riattacco R2,p. Di notevole rilevanza ela linea S4, chiaramente visibile sulla superficie della pala, figura 5.11b,d, rappresentativadella separazione del vortice di passaggio sul lato in depressione della pala. L’evoluzionedelle linee di separazione S1,s e S2,s e dominata dalla forte accelerazione del flusso nellaregione del bordo d’attacco sul lato in depressione e dal gradiente di pressione trasversale.La linea di separazione primaria S1,s si ricongiunge rapidamente con la linea secondariaS2,s che, a sua volta, interseca subito dopo la superficie della pala, indicando che Hs sisposta dalla parete alla superficie (lato in depressione) della pala. La traccia di questalinea di separazione si puo infatti seguire sulla superficie della pala, come indicato dallafigura 5.11b, finche il vortice si sposta verso l’interno del vano palare sotto l’effetto dellarotazione del vortice di passaggio, vedi figura 5.8.Infine, la figura 5.11a mostra la presenza di una linea di riattacco R5 indicativa dellapresenza di un vortice d’angolo anche sul lato in pressione della pala, evidente per elevateintensita del vortice di passaggio e alti valori dell’angolo di attacco. Questo vortice ruotanello stesso verso del vortice sul lato in depressione, quindi in verso opposto al vorticedi passaggio, contribuendo a ridurre la sovradeflessione a valle della schiera in prossimita

linee di riattacco, in modo da avvicinarsi a parete.


Figura 5.10: Formazione di un vortice d’angolo in una schiera ad altadeflessione (Belik, 1975).

della parete.Per concludere, la figura 5.12 mostra l’evoluzione delle limiting streamlines al variare delladeflessione della schiera.

Ai flussi secondari sopra analizzati sono associate delle perdite, classificabili comesegue (Sieverding, 1984): (1) incremento dello strato limite di parete sino alle linee diseparazione; (2) bolla di separazione nella regione del bordo d’attacco tra le linee S1 e S2;(3) formazione dello strato limite a partire dalla linea S2,p; (4) perdite d’angolo sia sullato in pressione che su quello in depressione (quest’ultimo piu importante); (5) perditeassociate a tutte le linee di separazione; (6) dissipazione dei vortici a valle della schiera.Risulta inoltre rilevante la distribuzione delle perdite secondarie lungo l’altezza della palae in direzione tangenziale. Dalla figura 5.11 si osserva come il fluido nello strato limite aparete in ingresso alla pala venga portato verso il lato in depressione della pala lungo lalinea S1,p, ad eccezione della zona del bordo d’attacco. Qui, infatti, una parte del fluidosi trova nella bolla di separazione tra le linee S1,p e S2,p e viene indirizzata sul lato indepressione della pala adiacente, mentre la parte rimanente puo seguire diverse strade.Una parte e coinvolta nel vortice a ferro di cavallo e puo essere indirizzata verso il centrodel vortice di passaggio (la parte di Hp) oppure essere convettata intorno al vortice dipassaggio (la parte di Hs); la parte non coinvolta nel vortice a ferro di cavallo puo esseretrascinata dal vortice di passaggio lungo S2,p o andare a formare lo strato limite che iniziada S2,p. In conclusione, si possono distunguere tre tipi principali di concentrazione diperdite secondarie a valle di una schiera di turbina: (a) perdite d’angolo; (b) perditeassociate col vortice di passaggio; (c) perdite lungo la linea di separazione S4. In funzionedella deflessione della schiera e dello spessore dello strato limite in ingresso, queste perditesi possono sovrappore in maniera diversa. Due esempi sono riportati in figura 5.13. Laposizione del vortice di passaggio nel piano in cui si analizzano le perdite (piano del bordod’uscita per la figura 5.13) e di primaria importanza. Si osserva come all’aumentare di


Figura 5.11: Schema generale delle caratteristiche a parete del flusso in unaschiera (Sieverding, 1984).

α1, per fissati α2 e spessore dello strato limite, il centro del vortice di passaggio si spostaverso la superficie in depressione della pala; a questo spostamento in direzione tangenzialesi associa uno lungo l’altezza della pala. Una riduzione dello spessore dello strato limitein ingresso sposta il centro del vortice verso la parete e verso il lato in depressione dellapala. Una riduzione del rapporto tra altezza e corda delle pale al di sotto di un valorecritico, valore per cui si ha interferenza tra i flussi secondari sulle due pareti, produce unospostamento del vortice di passaggio verso le pareti.

A valle della schiera, la distribuzione delle perdite (mediata sul passo) lungo la pala eovviamente legata alla posizione del vortice di passaggio, quindi dipende dalla deflessionedella schiera e dalle caratteristiche dello strato limite di parete in ingresso alla schiera.Casi tipici sono rappresentati in figura 5.14: la distribuzione di perdita si spostera dalcaso (a) al caso (d) all’aumentare del carico (deflessione) della pala. In tal senso la cresta


Figura 5.12: Effetto della deflessione sulle linee di separazione (Sieverding, 1984).

nella distribuzione (b) e i picchi di perdita locale nei casi (c) e (d), che si verificanoa distanza dalla parete, sono causati dall’azione di spostamento del vortice di passaggiosullo strato limite di parete. La presenza di un doppio picco puo essere dovuto alle rilevantiperdite lungo la linea di separazione S4 o alla suddivisione del vortice principale per effettodell’azione di taglio tra vortice di passaggio e vortici al bordo d’uscita. Ovviamente questeconsiderazioni a proposito delle perdite secondarie dipendono dalla distanza tra il pianodell’analisi e il bordo d’uscita delle pale; infatti, le perdite di parete crescono spostandosiin sezioni sempre piu a valle della schiera a causa degli sforzi d’attrito a parete e la lorointerazione con le perdite secondarie rende difficile una accurata valutazione di questeultime.

La descrizione dei flussi secondari svolta sin qui si riferiva a schiere rettilinee. Si cer-chera ora brevemente di mettere in evidenza le peculiarita dei flussi secondari in schiereanulari. In funzione del criterio progettuale il flusso in una schiera anulare e caratterizzatodalla presenza di un gradiente di pressione radiale che ha un effetto non trascurabile sull’e-


Figura 5.13: Influenza della geometria della schiera sulla distribuzione di perditenel piano del bordo d’uscita; δ⋆

1indica lo spessore di spostamento dello strato

limite in ingresso alla schiera (Sieverding, 1984).

voluzione dei flussi secondari lungo le pareti interna ed esterna. Pertanto la distribuzioneradiale delle perdite e dell’angolo all’uscita della schiera sara diversa dal caso rettilineo.Inoltre, nel caso di una schiera progettata con un criterio diverso da quello del vorticelibero, il carico (portanza) sulla pala non e costante al variare del raggio; questo provocail rilascio di una scia vorticosa dal bordo d’uscita e, di conseguenza, la comparsa di flussisecondari. La figura 5.15 mostra schematicamente i flussi secondari nel piano di uscitadella schiera: nella figura 5.15(a) si osserva la struttura classica del vortice di passaggio,mentre nella figura 5.15(b) vi evidenzia la presenza di strutture secondarie causate da unaprogettazione diversa da quello a vortice libero.L’analisi sperimentale condotta da Rohlik e colleghi (1954) alla NASA nel caso di flussosubsonico ha messo in evidenza come la distribuzione di velocita radiale sia all’incirca lastessa per una pala progettata a vortice libero ed una ad angolo di uscita costante; quindile perdite sono qualitativamente simili nei due casi con perdite alla radice maggiori diquelle alla punta, come riportato in figura 5.16. La concentrazione di perdite al raggiointerno e attribuita alla presenza del gradiente di pressione radiale che genera nella scia avalle della schiera un trasporto di fluido dallo strato limite sulla parete al raggio esternoverso la parete al raggio interno. Questo fenomeno e ancora piu marcato per flusso connumero di Mach in uscita supersonico a causa di un ulteriore flusso radiale generato sullato in depressione della pala e prodotto dall’interazione dello strato limite sulla stessasuperficie con l’urto che parte dal bordo d’uscita della pala adiacente. Una descrizione piudettagliata dell’evoluzione del flusso in una schiera anulare e fornita dai risultati dell’ana-


Figura 5.14: Diversi casi tipici di distribuzione di perdite (Sieverding, 1984).

Figura 5.15: Schema dei flussi secondari in una schiera anulare (Glynn& Marsh, 1980).

lisi sperimentale di Sieverding e colleghi (1984). L’analisi fornisce i diagrammi, riportatiin figura 5.17, delle perdite di pressione totale, della pressione statica e dell’angolo radiale(pari a tan−1(Vr/Va)) in diversi piani assiali. Sono anche forniti i grafici dei vettori dellavelocita secondaria, ottenuta scomponendo la velocita misurata in due componenti, unanella direzione principale del flusso e l’altra perpendicolare; la direzione principale delflusso e stata determinata mediante la simulazione di un flusso potenziale bidimensionalesu diversi piani blade-to-blade17. All’interno della schiera il flusso e rappresentato nei piania x/cax pari a 0.4 e 0.9 (x e misurato in direzione assiale e cax indica la corda assiale). Inentrambi si nota gia la presenza del vortice di passaggio che causa lo spostamento tangen-ziale e radiale degli strati limite di parete. La differenza tra la situazione alla radice e alla

17questo implica che i vettori della velocita secondaria devono essere considerati solo in maniera quali-tativa, data l’impossibilita dell’analisi potenziale bidimensionale di predire in maniera accurata il flussoin prossimita delle pareti interna ed esterna


Figura 5.16: Isolinee delle perdite di energia cinetica all’uscita di dueschiere di pale statoriche per flusso subsonico (Rohlik e colleghi, 1954).

punta e attribuibile alla diversa intensita dei vortici e al gradiente di pressione radiale,quest’ultimo molto piu marcato nella seconda sezione (oltre all’influenza di eventuali nonradialita delle pale). A x/cax = 0.4 si osserva la presenza di Hs, mentre la presenza diHp e qui difficilmente individuabile in quanto ha lo stesso senso di rotazione del vorticedi passaggio. Nelle sezioni a valle della schiera (x/cax pari a 1.11, 1.31 e 1.68) l’aspettopiu rilevante e quello del gradiente di pressione radiale. A x/cax = 1.11 all’esterno dellascia si nota un addensamento delle isolinee di pressione totale al raggio interno e un dira-damento a quello esterno, con valori di perdita maggiori sulla parete interna. All’internodella scia si osserva il trasporto radiale di fluido dal raggio esterno a quello interno, confer-mato dalla distribuzione dell’angolo radiale che in questa zona raggiunge valori di −20.Nella scia e da osservare anche la presenza di un gradiente di pressione tangenziale chepotrebbe influenzare la dissipazione delle perdite lungo il passo nelle sezioni piu a valle.La convezione radiale delle perdite prosegue nella sezione x/cax = 1.31, insieme ad unospostamento delle perdite in direzione tangenziale alla radice e alla punta. Nell’ultimopiano si osserva una crescita notevole dello strato limite sulle pareti e dello spessore dellascia che e quasi doppio rispetto al piano precedente. Il gradiente di pressione radiale e sololievemente diminuito di intensita, quindi la sua azione e evidente anche in questa sezione:i valori negativi minimi dell’angolo radiale sono leggermente inferiori e sono piu vicinial raggio interno. Per completare l’analisi del flusso si fornisce anche l’evoluzione assialedella distribuzione lungo l’altezza della pala dell’angolo di flusso (mediato in direzione delpasso), indicato con α in figura 5.18. All’inizio la distribuzione dell’angolo e influenzata


Figura 5.17: Flussi secondari, isolenee di pressione statica, pressione totale eangolo radiale su diversi piani assiali (Sieverding e colleghi, 1984).


Figura 5.18: Evoluzione assiale dell’angolo di flusso lungo l’altezza della pala(Sieverding e colleghi, 1984).

principalmente dalle differenze degli strati limite sulle pareti a monte della schiera, mentrepiu a valle, per x/cax ≥ 0.58, la distribuzione di α e dominata dalla presenza dei vorticidi passaggio. Il diverso comportamento radiale al raggio interno ed esterno e indicativodella diversi intensita dei vortici di passaggio, causata dal diverso carico palare e dallediverse caratteristiche dello strato limite.

5.3 Flussi secondari nei compressori

Nei compressori assiali, in funzione della geometria della schiera, si riscontra una fortetridimensionalita del flusso a causa della curvatura, del gradiente di pressione radiale e,per flussi transonici, di superfici d’urto. Le caratteristiche del flusso in una schiera dicompressore assiale possono essere schematizzate come segue:

(a) rotazione, curvatura e gradiente di pressione radiale introducono una tridimensio-nalita degli strati limite sulle superfici della pala i quali risultano sostanzialmen-te differenti da qualli valutabili su schiere bidimensionali; si osserva, inoltre, unatridimensionalita della scia a valle della schiera;

(b) i flussi secondari sono evidenti sia al raggio interno che a quello esterno, con la for-mazione del vortice di passaggio; quest’ultimo causa anche la formazione del vorticed’angolo nella regione tra la parete e il lato in depressione della pala; questi flussicausano perdite secondarie e producono una deviazione del flusso dalla condizionedi progetto sulla schiera di valle;


(c) la presenza di giochi provoca la formazione di flussi secondari di estremita, descrittinel paragrafo successivo, che, combinandosi con gli altri flussi secondari, rendonoancora piu complesso il quadro generale;

(d) in schiere transoniche, la presenza di onde d’urto tridimensionali provoca un gra-diente di pressione radiale con conseguente intensificazione dei flussi e delle perditesecondari.

La descrizione dei meccanismi di formazione dei flussi secondari in schiere di compres-sori assiali e essenzialmente la stessa analizzata per il caso delle turbine. Ovviamente,poiche le caratterisitche di una schiera di compressore sono diverse da quelle di una tur-bina18, la rilevanza dei diversi flussi secondari risultera quantitativamente diversa nei duecasi. In particolare, il gradiente di pressione avverso puo provocare la presenza di sepa-razione dello strato limite sia sulle pareti (interna ed esterna) che sulla pala. Nel caso distrato limite turbolento sul lato in depressione, caratterizzato da uno spessore relativa-mente piccolo, si puo avere la separazione in prossimita del bordo di uscita, nella zonain cui si ha il recupero di pressione. Lo stesso gradiente di pressione imposto allo stratolimite piu spesso che si sviluppa sulle pareti del canale e piu probabile che provochi laseparazione del flusso, tipicamente nella regione di intersezione tra la parete e il lato indepressione della pala. A questo proposito si osserva come lo spessore dello strato limitesulle pareti e dello stesso ordine di grandezza della corda delle pale mentre lo spessoredi spostamento e di un ordine di grandezza inferiore: questo comporta la presenza di uneffetto di bloccaggio non trascurabile che bisognera tenere in conto in fase di verifica eprogetto. Nelle regioni d’angolo tra le pareti e le superfici delle pale, in particolare quellein depressione, si ha la formazione di rilevanti zone di flusso separato (vortice di passaggioe vortice d’angolo) che contribuiscono ad aumentare il fenomeno del bloccaggio e delleperdite. Inoltre, la presenza dello strato limite sulle pareti nel flusso che si avvicina albordo d’attacco delle pale si associa alla presenza del vortice a ferro di cavallo: il ramodel vortice che si sviluppa vicino al lato in depressione si muove verso la superficie dellapala, mentre il ramo sul lato in pressione (di verso opposto al precedente) viene stiratoattraverso il vano palare e raggiunge in lato in depressione della pala adiacente in modoche nella regione d’angolo tra la parete e il lato in depressione si ha la presenza di duevortici controrotanti in prossimita di una regione di flusso separato.

Il flusso e poi ulteriormente complicato dalla presenza di vortici di estremita, dallarotazione e dalla non uniformita (in direzione radiale e tangenziale) del flusso in ingresso.

A differenza del flusso nelle turbine, a causa del diverso valore della deflessione e dellaforma del bordo d’attacco, nei compressori e meno rilevante l’effetto del vortice a ferro dicavallo e piu importante la presenza del vortice d’angolo, associata ad un’ampia zona diseparazione. Sulla base di risultati di una estesa campagna di sperimentazione condottasu una schiera statorica lineare Schultz e colleghi (1990) hanno proposto un modello perla struttura del flusso d’angolo, riportato in figura 5.19. Le limiting streamlines mostrano

18alla diversa direzione del gradiente di pressione, che rende meno agevole il flusso in un compressore,si associa una minore deflessione e un minore rapporto di pressione


Figura 5.19: Modello per la struttura del flusso separato d’angolo: (a)limiting streamlines; (b) schema topologico in cui la linea tratteggiataindica il vortice a anello (Schultz e colleghi, 1990).

la presenza di un vortice sulla parete e sul lato in depressione della pala (indicati cona e b in figura 5.19a) dal cui centro il flusso si sposta verso l’interno del vano palare:si ha la fromazione di un vortice ad anello, vedi figura 5.19b, con asse perpendicolarealla parete e alla superficie della pala. All’inizio della regione di flusso separato il flussoprincipale forma un terzo vortice (c) a causa dell’ostruzione creata dalla separazione. Ilflusso inverso nella zona di separazione si muove verso monte e forma un ulteriore vortice(d). Uno schema della struttura della regione di flusso separata e fornita nella figura 5.19bin cui le superfici che la delimitano, limitate dalle linee di separazione sulla parete e sullasuperficie della pala, sono chiuse dal vortice ad anello in prossimita del bordo d’uscita. Lazona di separazione non puo sostenersi a valle della schiera e si ha il riattacco prima dellasezione di uscita. Il flusso vede la zona di separazione come un ostacolo con conseguentedeflessione del flusso principale.

5.4 Flusso di estremita

Nei rotori delle turbomacchine i giochi tra la pala in movimento e la cassa producono delleperdite di flusso. Tali perdite si verificano in tutte le situazioni in cui sono presenti deigiochi, ovvero quando la palettatura e la superficie interna o esterna della macchina sono


in moto relativo. La figura 5.20 mostra uno schema di principio della formazione dei flussi

Figura 5.20: Flussi di estremita (Lakshminarayana, 1996).

di estremita in funzione del tipo di macchina e delle caratteristiche della palettatura. Laperdita di fluido attraverso i giochi si verifica per effetto della differenza di pressione trale due superfici della pala. In assenza di fenomeni viscosi e per flusso incomprimibile, lavelocita del flusso attraverso i giochi si puo esprimere come segue

QL =

√

2(pp − ps)

. (5.12)

Tale relazione presuppone, in accordo con le ipotesi, che la pressione totale (o la pressionetotale relativa per un rotore) attraverso i giochi sia costante e che il flusso sia unicamentedovuto alla differenza di pressioni statiche. Pertanto, uno dei parametri fondamentalinella definizione di questo flusso e rappresentato dal carico sulla pala, che si ripercuotesulla differenza di pressione tra superficie in pressione e lato in depressione. Ovviamente,la massa che attraversa i giochi non partecipa al processo di conversione di energia che


avviene nella palettatura e la sua entita e direttamente proporzionale alla dimensione deigiochi rispetto all’altezza delle pale. Se le dimensioni dei giochi sono molto piccole sia ifenomeni di natura non viscosa che quelli di natura viscosa contribuiscono a contenere lepertide.

La velocita all’interno dei giochi nel riferimento relativo si puo considerare come larisultante della componente principale non viscosa in prossimita della pala in assenza digioco (componente indicata con up in figura 5.20) e di quella attraverso il gioco, QL. Ilflusso tendera a formare un getto con un angolo diverso da quello del flusso principaleattraverso la pala e, nei casi in cui l’intensita della perdita sia sufficiente, si avra la presenzadi una zona di ricircolazione. Tale zona, oltre ad interessare la porzione di punta dellasuperficie in depressione della pala, potra essere presente anche sulla superficie della puntadella pala. La struttura del flusso di estremita e complicata dalla presenza di altri flussisecondari (vortice di passaggio e vortice d’angolo), dello strato limite sulle pareti internaed esterna del canale e di onde d’urto. In particolare, se lo spessore dello strato limite sullaparete e maggiore dell’altezza del gioco, i fenomeni di natura viscosa sono predominantie le perdite risultano ridotte. Il vortice di estremita agisce in direzione opposta a quellodi passaggio (figura 5.20c) e la sua presenza puo risultare vantaggiosa al fine di evitare laformazione del vortice d’angolo grazie all’intensita del getto dal lato in pressione a quelloin depressione, che opera un lavaggio della zona d’angolo a bassa quantita di moto versoil centro del canale (figura 5.20d). Anche la direzione del moto relativo ha un’influenzanon trascurabile sull’intensita e la posizione del flusso di estremita. Infatti, la rotazionein un compressore tende ad incrementare il flusso attraverso i giochi e a spostare il gettodi estremita verso il lato in pressione, come mostrato in figura 5.20e, mentre il fenomenocontrario si verifica per una turbina, figura 5.20f. Ovviamente la differenza di pressionee molto piu alta in una turbina che in un compressore, per cui le velocita nei giochi, econ esse anche l’entita dei flussi secondari, tendono ad essere maggiori nelle turbine. Daqueste considerazioni si evince come l’interazione delle perdite di estremita col flusso inuna turbomacchina risulta un fenomeno molto complesso; gli effetti fondamentali possonoessere sintetizzati come segue: (a) la presenza del flusso di estremita ed eventualmente delvortice ad esso associato introduce un’ulteriore tridimensionalita nel flusso; tale effettonon e confinato alla punta della pala in quanto tende a diffondere verso la mezzeria dellastessa (sino al 30% dell’altezza) e verso il centro del canale; (b) la dissipazione conseguentealla formazione del flusso (vortice) di estremita comporta un incremento delle perdite euna riduzione dell’efficienza che in alcuni casi puo arrivare a 4 punti percentuali; (c) ladeviazione del flusso dalle condizioni di progetto nelle vicinanze della punta della palaproduce una riduzione del rapporto delle pressioni prodotto dalla pala, con una minordeflessione; (d) il flusso di estremita in una pala e visto come una distorsione del flusso iningresso alla pala successiva con conseguente influenza sia sulle caratteristiche del flusso(strato limite, transizione, rumore) che strutturali (vibrazioni).

Flussi Secondari poliba

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