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YESTADISTICA

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TEOR.IA y 760 problennos resueltos

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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

IEONIA Y PROBTEIUIAS

LIIIAIITIGAPor:

MURRAY R. SP!EGEL Ph.D. Antiguo hofesor y Director del Departamento de Matemticu Rensselaer Poly teehnb InstituteTladucido por:JAIRO OSUNA SUAREZ

Bogott, Colombit

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iuDELHI

MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORKAUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL NUEVA PARIS SINGAPUR SAN FRANCISCO ST. LOUIS TOK IO TORONTO

PROBABI LIDAD Y ESTADISTICA

por cualquier rnedio, sin autorizacin escrta del edtor.DERECHOS RESERVADOS

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,

Copyrght O 19zG,Vespecto a la edicin en espaol, por LIBROS McGRAW-HILL DE MEXtCO. S. A. de C. V. Atlacomulco 499-501, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico. Miembro de la Cmara Nacional de la Ind. Editorial. Reg. nm.465 0-07-090922-9Traducido de la primera edicin en ingls de

PROBABLITY AND STATISTICS copyrght @ lszs, by McGRAW-HtLL, BooK, co., tNC., U.s.A. 234567A901 cc-76 7.t23456981 printed n Mexico lmpreso en MxicoEsta obra se terrnin en enero de 1g77 en Ltogrfica Ingramex, S. A. Centeno 162, Col. Granjas Esrneralda, Mxico 13. D. F.Se

tiraron 15 800 eiemplares.

PrlogoEl importante y fascinante tema de la probabilidad comenz en el siglo XVII con los esfuerzos de matemticos como Fermat y Pascal en resolverpreguntas relacionadas con los juegos del aza. Hasta el siglo XX se desarolla una teora matemtica riggrosa basada sobre axiomas, definiciones y teore' mas. Con el correr de los aos, la teora de probabilidad encuentra su cauce en muchas aplicaciones, no solamente en ingeniera, ciencias y matemticas sino tambin en carnpos como la agricultura, la administracin de empresag, la medicina y la sicologa. En muchos casos las aplicaciones contribuyen al desarrollo ulterior de la teora

El tema de la estadstica se origin con anterioridad al de probabilidad, trata principalmente de la coleccin, organizacin y presentacin de los datos en tablas y grficos. Con el advenimiento de la probabilidad se puso de manifiesto que la estadstica podra emplearse en la extraccin de conclusio' nes vlidas y en la toma de decisiones razonables sobre la base del anlisis de datos, por ejemplo en la teora de muestreo y prediccin. El propsito del libro es presentar una introduccin moderna a la probabilidad y la estadstica suponiendo un conocimiento del clculo. Por conveniencia el libro se divide en dos partes. La primera trata con probabilidad (y en s puede utilizarse como introduccin al tema) y la segUnda trata con es'tadstica.

El libro se dise para utilizarse como texto de un curso formal en pro' babilidad y estadstica o como suplemento a los textcs tpicos. Tambin es de considerable valor como libro de referencia para investigadores o para aquellos interesados en el tema. El libro puede emplearse para un curso anual o mediante una seleccin juiciosa de los temas para un curso semestral.Agradezco al Ejecutor Literario del Sir Ronald A. Fisher, F. R. S., al doctor Frank Yates, F. R. S., y a Longman Group Ltda., Londres, por el permiso para utilizar la tabla III de su libro Statistical Tables for Biological, Agicultural and Medical Research (6a. edicin,1974). Deseo aprovechar esta oportunidad para agradecer a David Beckwith por su sobresaliente edicin ya Nicola

Monti por su habilidad artstica.M. R. SPIEGEL

Septiembre 1975

ContenidoPRIMERA PARTECaptulo

PROBABILIDADPg.

f

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

1

Ca1to 2

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

38

captulo

3

ESPERANZA MATEMATICA

76

Capftulo

4

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CON NOMBRE

Y

nea inomial. Distribucin hiperg.eomtrica. Ditribucin uniforme. Diehibucin de Cauchy. Distribucin gamma. Distribucin beta. Distribucin chi+uadrado. Dstribucin de Sudent. Distribucin F. Relaciones entre lae distribuciones chi-cuadrado, t y ^F, Distribucin normal bidimeneional, Distribucionee diversas,

gunas propiedades de la distribucin normalr Relacin entre las distribuciones binomial n n de poission. Rel las ditribucio-

. . 108 Distribucin binomial o de Bernoulli. Alguns propiedades de la distribucin binomial. La ley de los grarides nmeros para las pruebas d Bernulli, Distribucin normal. Al-

PROPIO

.

SEGUNDA PARTE ESTADISTICAOaptulo

5

TEORIADEMUESTREO..Poblacin

Pg.

y

Muestras aleatorias, Nmeros aleatorios, Parmetros poblacionales, Estadsticos muestrales. Distribucin muestral. Media muestral. Distribucin muestral de medias. Distribucin muestral de proporciones. Distribucin muestral de diferencias y sumas. Varianza muestral. Distribucin muestral de varianzas. Caso donde la varianza poblacional se desconoce. Dstribucin muestral de relaciones de varianzas. Otros estadsticos. Distribuciones de frecuencia. Distribuciones de frecuencia relativa y ojivas. Cmputo de la media, varianza y momentos para datos agrupa.dos.

muestras. Inferencia estadstica, Muestreo con

y sin remplazamiento,

.....155

Captulo

6

TEORIA DE

ESTIMACION

Estirnas insesgadas y estimas eficientes. Estimas por puntos y estimas por intervalos. Seguridad. Estimas por intervalos de confianza, de parmetros poblacionales. Intervalos de confianza para medias. Intervalos de confianza para proporciones. Intervalos de confianza para diferencias y sumas. Intevalos de confianza para varian4as. Intervalos de confianza para relaciones de varianzas. &timas de mxima verosimilitud.

.

L94

Captulo 7

ENSAYOSDEHIPOTESISYSIGNIFICACION.

.,...21-I

Decisiones estadsticas, Hipesis estadsticas. Hiptesis nula, Ensayos de hiptesis y significacin. Errores de tipo I y tipo II. Nivel de significacin. Ensayos referentes a la distribucin normal, Ensayos de una y dos colas. Ensayos especiales de significacin para grandes muestras. Ensayos especiales de significacin pata pequeas muestras. Relacin entre la teora de estimacin y ensayo de hiptesis. Curvas caractersticas de operacin, Potencia de un ensayo. Grficos de control de calidad. Ajuste de las distribuciones tericas a distribuciones de frecuericia muestrales, Ensayo chiruadrado para la bondad del ajuste. Tablas de contingeircia. Correccin de Yates para la continuidad. Coeficiente de contingencia.

Captulo 8

CURVA DE AJUSTE, REGRESION Y

CORRELACION

.

..

258

Curva de ajuste. Regresin. Mtodo de mnimos cuadrados. Recta de mfnimos cuadrados. Recta de mnimos cuadrados en trminos de varianzas y covarianza muestrales. Parbola de mnimos cuadrados. Regresin mItiple. Error tpico de la estima, Coeficiente de correlacin lineal. Coeficiente de correlacin generalizado. Correlacin gradual' Interpreacin probabilstica de Ia regresin. Interpretacin probabilfstica de la conelacin. Teora muestral de la regresin. Teora muestral de correlacin. Correlacin y dependencia.

Captulo

9

ANALISISDEVARIANZA.

.....306

Propsito del anlisis de varianza. Clasificacin simple o experimentos de un factor, Variacin total. Variacin dentro de tratamientos. Variacin entre tratamientos. Mtodos cortos para obtener variaciones. Modelo matemtico lineal para anlisis de varianza. Valores esperados de las vriaciones. Distribuciones de las variaciones. Ensayo F para la hiptesis nula de medias iguales. Notacin para experimentos de dos factores, Variaciones para experimentos de dos factores. Anlisis de varianza para experimentos de dos factores. Experimentos de dos factores con repeticin. Diseo experimental.

Ps.

ApndiceA TemrmemticoApndice

A

.....341 e z .. .... 944 ... liberted .345

Bl1l U

&denad(y)dclcurvanormltipificadt

Andice

ArearbrjolacurvnomltipicededeOzPercenil (r) de le diHbucin t dc Student

Apndce

D E F G Ha\

con, gndo

de

346

Apndice

Percendla

(f) delditribucinchiruedndocon/radordebcrtrd ..... f .. cory gador de

947

Apndce

Percentila 96 y 99 pera t. ditribuci

11,

liberted

.

. .

348

Apndice

Logaritmor dccimlc con cultro cifta

860

Apndice

Vdores de

-r

. 962

T Apndicel Nmeroaletorio

..,..962

RESPT'ESTASAPROBLEMASSI.'PI,EMENTARIOS..

....

863

INDIGT.

. 369

Parte

I

PROBABILIDAD

_l

'CuptuloConiuntos y probqbilidqdEL CONCEPTO DE CONJUNTO

7

El concepto d,e conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadstica y de la matemtica en general. Un conjunto puede considerarse como una coleccin de objetos, llamados membros o elernentos del conjunto. En general, mientras no se especifique lo contrario, denotamos un conjunto por una letra mayscula A, B, C, y un elemento por una leha minsculao,b. Sinnimos de conjunto son c/cse, grupo y coleccin. _ Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a C. Sic noperteneceaC escribimos a C. Si o y b pertenecen aC escribimos a, b e C.Para que un conjunto seabiendefnido, como siempre lo supondremos, debemos estar capacitados para determinar si un objeto especfico pertenece o no al conjunto. Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El primero se denomina el mtodo de extensin y el segundo el mtodo de comprensin.uloporelmtododecomprensincomo{rlreeunavocal}, lase"elconjuntodeloselementostalesquees una vocal" donde la lnea vertical I se lee "tal que" o "dado que".EJEMPLO 1.2. El conjunto {Obsrvese que el mtodo de extensin no puede utilizarse aqu.

EJEMPLO 1,1. El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el mtodo de extensin como { a, e, i, o,

|

es

un tringulo en un plano ) es el conjunto de los tringulos en un plano.

EJEMPLO 1.3. Si lanzamos un par de dados comunes los "nmeros" o "puntos" posibles que pueden resultar sobre la cara superior de cada dado son elementos del conjunto { 1, 2, 3, 4,5,6}.

SUBCONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A tambin pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjuntodeB,escritoAcB6B:Ayledo"AestcontenidoenB"o"BcontieneaA"respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos exactamente los mismos elementos.

A tenemos A

C A.

Si Ac B y B CAllamamosa A y B iguales y escribimos A

: B. En este caso AyB

tienen

A+

Si A no es igual a B, es decir si B.

A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimosde B.

SiA

C B pero

A + B llamamos aA un subconjunto propio

EJEMPLO 1.4. I a, i, u ) es un subconjunto propio de {o, e, i, o, u}.

EJEMPLO 1.5. { 4 o, a, u, e } es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {o, e, i, o, u}, puesto que los dos conjuntos son iguales. Obsrvese que la sola redistribucin de los elementos no cambia el conjunto. EJEMPLO 1.6. Al lanza un dado los resultados posibles cuando el resultado es "par" son elementos del conjunto {2, 4,6\, el cual es un subconjunto (propio) del conjunto de todos los resultados posibles {L,2, 3,4, 5, 6).

aCONJUNTOS Y PROBABILTDAD

lcAP.

1

El teorema siguiente es verdadero para cualesqTeorema

I-I;

Si

AC B y B CC, entonces AC

C.

CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJI.JNTO VACI(Para muchos propsitos restringimos nuestrad

fico denominado el uniuerso del discurso, o simp espacio uniuersal y se denota por u. Los elemenrEs til considerar un conjunto que no tiene r uaco o el conjunto nulo y se denota por p; es unEJEMPLO 1.7. Un conjunto importante que no8 es famili que pueden reprecentarre por puntoe en una lnea reol lor subconjuntos{ | o < x = } y{r I a1x(} deR (r ( b ee denominan interualos centdo y abierto reepeciv I o 1x < b) se denominn intcrvalo eemi-abiertos o semi-t,T,

EJEMPLO 1.8. El conjunto de todos los nmeros reale nulo o vaco ya que no hay nfimeros reales cuyos cuanmeros complejoe el conjunto no es vacfo.

EJEMPLO 1.9. Si lanzamos un dado, el conjunto de todoe los resultados posibles es el universo {L,2,3,4, 5, 6}1. El conjunto de loe rcsultados que consisten de las caras 7 u 11 sobre un solo dado es el conjunto nulo.

DIAGRAMAS DE VENN Un rniverso u puede representarse geomtricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectngulo. En tal caso los subconjuntos de zt (como A y B indicados y sombreados en la Fig. 1-1) se representan por conjuntos de puntos dentro de los crculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para danos una intuicin geomtrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNT\OS

1.

Unin. El conjunto de todos los elementos (o puntos) que pertenecen a A o a B, o tanto como aB, se llamala unin deA yB y se escribe Au B (regin sombreada en la Fig. 1-2).

Fig.

l -2

Fig. l-3

Fig.

1-4

2.

Interseccin. El conjunfio de todos los elementos que pertenecen simultneamente a A y a llamala interseccin dd Ay By se escribe A B (regin sombreadaen laFig. 1-3).

cAP.1l

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

DosconjuntosyBtalesqueAnB:p,esdecir,guenotienenelementoscomunes'sellaran coniuntos disiuntos. En la Fig. L'L, A y B son disjuntos.

3. 4.

Diferencia. El conjunto que consiste en todos los elementos de A qtlle no pertenecen a B llama la diferencia e A y B, escrita por A - B (regin sombreada en la Fig. 1-4).

se

B

Si A :

UB),.u

el 1/, el B y lo escrise llama

saXl-BFig. 1'6).

se escribe

Fig. l-5

Fig. l-6

AIGUNOS TEOREMAS RELATIVOS A CONJI,'NTIOS

AUB = BUA Au(BuC) : (.4u^B)uC

I.cy conmutativa de ls uniones

=

AUBUC

Ley asociativa de las unionesLey conmutativa de las intersecciones Ley asociativa de las interseccionesPrimera ley distributivaSegunda ley distribuva

AB = Bl\A.An(BnC)

= (nB) nC -- AB1C An(BuC) = (AnB)u(AnC') .4u(anC) = (AuB)n(AuC)

A-B = AB'Si AcB, entonces

A')B' 6 B'c.{=APrimera ley De MorganSegunda ley De Morgan Para cualquier conjunto generalizarse (vanse Problemas 1.69

AUQ-A,AnQ=9AU'al -- 11, AnU

(AuB)' = A'B' (AnB)' = A'UB' A = (AnB)u(AnB')Los teoremas L-Lzo, t-Lzb

A YB

y 1-13 pueden

y

1.74).

PRINCIPIO DE DUALIDAI) Cualquier resultado verdadero relativo a conjuntos tambin es verdadero si remplaz-anosrniones -conjuntos por sus complementos y si invertimos los por inteecciones, interrecciones por uniones, cyf. smbolos de inclwin

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

[cAP.

1

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Todos estamos familiarizados con Ia importancia de los experimentos en la ciencia y en la ingeniera. Un principio fundamental es que si efectuamos tales experimentos repetidamenle bajo condiciones aproximadamente idnticas obtenemos resultados que son esencialmente los mismos.Sin embargo, hay experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idnticas. Tales experimentos se denominan experimentos aleatorios. Los siguientes son aLgunos ejemplos.EJ EMPLO 1 .1 0. Si lanzamos una moneda eI resultado del experimento es un "sello", simbolizado por S ( 0 ), o una "cara", simbolizadaporc(1),esdecirunodeloselementosdelconjuntqs)({0, 1)).

'EJEMPLO

5,6).

1.11. si lanzamos un dado el resultado del experimento

es

uno de los nmeros en el conjunto {L,2, g, 4,

EJEMPLO1.12. Silanzamosunamonedadosveces,elresultadopuedeindicarsepor{CC,CS,SC,SS)caras, cara la primera y sello la segunda, etc.

,dsdecirdos

EJEMPLO 1.13. Si tenemos una mquina que produce tornillos, el resultado del experimento es que algunos pueden estar defectuosos. As cuando se produce un tornillo ser un miembro del conjunto {defectuoso, no defectuoso}.

EJEMPLO 1.14. Si un experimento consiste en medir "la vida" de las lmparas elctricas producidas por una compaa, entonces el resultado del experimento es el tiempo f en horas que se encuentra en algn intervalo, por ejemplo, 0 :: 4000, donde suponemos que ninguna lmpara elctrica dura ms de 4000 horas.

=

ESPACIOS MUESTRALES

Un conjunto oj que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral, Con frecuencia habr qs de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comnmente slo uno que suministra la mayora de la informacin. Obsrves que eJ crresponde al conjunto universal.EJEMPLO 1.15. Si lanzamos un dado, un espacio o conjunto muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 6 | en tanto que otro es lpar, impar) Sin embargo, es lgico que el ltimo no sera adecuado pan determinar, por ejempio, si un resultado es divisible por 3.

2,3, 4,5,

Frecuentemente es til dibuja-r un espacio muestral grficamente. En tal caso es deseable utilizar nmeros en cambio de letras siempre y cuando sea posible.EJEMPLO 1.16. si lanzamos una moneda dos veces y utilizamos 0 para represenmr sellos y l para representar caras el espacio muestral (vase Ejemplo 1.12) puede dibujarse por puntos en la Fig. 1-7 donde, por ejemplo, (0,1 ) representaselloen el primer Ianzamiento y cara en el segundo lanzamien[tr, es decir SC,

Si un espacio muestrdl tiene un nmero finito de puntos, como en el Ejemplo 1.16,se denomina espacio muestral finito. Si tiene tantos punl'ig. l-? tos como nmeros naturales 1,2, 3,. . ., se denomina espacio muestral infinito contable. Si tiene tantos puntos como hay en algn intervalo en elejer,tal como 0 f r: S 1, sedenominaespacio muestral infinito no contable. Unespacio muestral que es finito o infinito contable frecuentemente se denomina espacio muestral discreto,en tanto que uno que es infinito no contable'se llama espacio muestral continuo o no discretoSUCESOS

posibles. Si

elemental o simple.

Un suceso es un subconjunto A del espacio muestral.or , es decir es un conjunto de resultados el resultado'de un experimento es un elemento de A decimos que el suceso A ha ocunido. Un suceso que consiste de un solo punto de cJ frecuentemente se llama un sueeso

cAP. 1l

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

EJEMPLO 1.17. si lanzamos una moneda dos veces, el suceso que slo resulte una cara es el subconjunto del espacio muestral que consiste de los puntos (0, 1) y (1, 0), como se indica en la Fig. 1-8.

Como sucesos particulares tenemos el suceso en s mismo. que es el suceso certo o seguro ya que un elemento de eJ debe ocurrii, y el conjunto vaco Q, que se llama el suceso imposible puesto que un elemento de Q no puede ocurrir.nes relativas a sucesos pueden traducirse en el lenguaje de-laPu-esto que los sucesos son conjuntos es lgico que las

particular tenemospgina 3.

w

tlor de conjuntos e inversamente. En lgebra de sucesos que coffesponde al lgebra de conjuntos indicada en lae,[

proposicio

Fig'

1-8

Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en As si A y B son sucesos, entonces

podemos obtener otros sucesos en

cJ.

1. AU B es el suceso "A B o ambos". 2. A n B es el suceso'qtanto A como B" 3. A' es el suceso "no A". 4. A- B es el suceso "A pero no ,B".SilosconjuntosconespondientesalossucesosAyBsondisjuntos,esdecirAB:Q,frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente. excluyentes. Esto quiere decir que no pueden ocunir ambos.EJEMPLO 1.18. Haciendo referencia al experimento de lanzar una moneda dos veces sea A el suceso "por lo menos resulte una cara" y B el suceso "el segundo lanzamiento sea un sello". Entonces A : {CS, SC, CC}, B : { CS, SS }as tenemos

A

U

B:

{Cg

A': {SSl

SC, CC, SS)

: eJ A-B-

A

B:

{CS}

{^SC. CC}

EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD En,cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbe sobre si un suceso especfico ocurrir o no. Como medida de la oportunidd o plobabilid.ad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un nmero enhe 0 y 1. Si estamos seguros de que el iuceso ocurrir decjmos que su probabildad es 100% 1, perosi estamos regutJs de que'el suceso no ocurri d_e9.lm9s que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidd es de 1f4, diramos que hay y 26Vo de oportunidad de que ocurra y un 767" de opoitunidad de que no ocurra. Equivale adecirque laprobabilidad contrasu ocurrenciaesdel 75% al25vo o de B ai.Flxisten dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.

1.

Enfoque'clsico o a priori Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un nmero total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n.

EJEMPLO 1.19. Supngase que deseamos la probabilidad de que resulte una cara en un solo lanzamiento de una moneda- Puesto que hay dos maneras igualmehte factibles del resultado de la moneda, simplemente "cara" y ,'sello" (suponiendo que la moneda no se pierda ni caiga verticalmente), y de estas dos maneras una cara puede aparecer en una sola manera, razonarno{ que la probabilidad requerida es 112, Al llegar a este resultado suponemos que la moneda es honrado, es decir que no est cargado.

2.

Enfoque- como frecuencia relativa o a posteriori. Si despus de n repeticiones de un experimento, donde n es muy gmnde, un suceso ocurre h veces, entonces ta prbauilidad del suce es h/n. Esto tambin se llama laprobabilidad emprica del suceso.

CONruNTOS Y PROBABILIDAD EJEMPLO 1.20. Si lanzamos una moneda 1000 veces probabilidad de una cara es 532/1000 = 0.632.

[cAP.

1

y

hallamoe que 532 veces resultan caras estimamos que la

Ambos enfoques el clsico y el de frecuencia prcsentan serias dificultades, el primero debido a la vaguedad de las palabras "igualmente factibles" y el segundo debido a la vaguedad incluida en un "nmero muy grande". A causa de estas dificultades los matemticos en los ltimos aos se han orientado avn enfoque axiomtico utilizando conjuntos.LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAI)Supngase que tenemos un espacio muestral e.t. Si d es di5creto todos los subconjuntos corre6ponden a sucesos y recprocamente, peto si ef es continuo solamente subconjuntos especiales (llamados medibles) corresponden a sucesos. A cada suceso A en la clase C de sucesos asociamos un nmero real P (A), es decir P es una funcin de valor real definida en f. As P se llama la funcin de probabilidad, y P(A) la probablidad del suceso A, si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1. Para cada suceso A en la clase

C

P(A)P(eJ)A,:

0

(r)

Axioma 2. Paru el suceso cierto o seguro eJ en la clase C

=IAt, Bz, . . . eh la clase C

(2)

3.

Para cualquier nmero de sucesos mutuamente excluyentes

P(AtuAzu

'..) -

P(/.1) + P(A2)

+ .'.

(e)

En particular, para solo dos sucesos mutuamente excluyentes At, Az,

P(AL:AI) = P(Ai+P(Ar)ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE PROBABILIDAD

(4)

De losTeorema Teorema

a-r.iomas anteriores podemos demostrar varios teoremas sobre probabilidad que son

importantes en el estudio posterior.

7-14:1-15:

Si

r cA2

entonces

P(Ai < P(Az) y

P(Az- ,)

=

P(42)

-

P(A).(5)

Para cada sucesoes

A

0g}

y

B:

{fr |

r 0 por el Arioma 1. Para demostrar que observamos que A C et. As por el Teorema 1-14 [partc (o)] y el Axiom 2

P(A) < 1 primero

P(A)=P()=1 (c)Tenemos eJ

:

eJuQ.Puesto que P(eJ)

sfnp = Q se sigue del AxiomaP({))

3 que s

= P(d)+P(Q) 6

=

1.14. Demostrar (a) el Teorema 1-17 y (b) el Teorema 1-19. (o)Tenemos

AV A' :s[.

Entonceepuesto gue. A'

:

Qtenemog1

es decir

PIAJA') = P() 6 P(A)*P(A') = P(A') = l-P(A)

(b)

Tenemos el diagrama de Venn de la Fig. 1-15

(1)

AUB: AUIB -(.4n8)l

Entonces puesto que los conjuntos A y B - (A .B) son mutuamente excluyentee, tenemos usando el Axioma 3 y el Teorema 1-14:P

(A u

B)

| i',^^'rl i'

r"u

r--'

resultado (l ) puede establecerse directarnerte (vase Problema 1.77).

Aunque hemos utilizado el diagrama de Venn el

i rlu^') ",

Fig. l-15

(An

CALCULO DE PROBABILIDADES

1.15. Una carta se extrae aleatoriamente de una barqia de 52 cartas. Encontrar la probabidad de

16

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

[cAP.

1

que sea (g) un as, (b) una jota de corazones, (c) un tres de trboles o un seis de diamantes, (d) un corazn, (e) cualquier palo excepto corazones, (f) un diez o una pica" (g) ni un cuatro ni un trbol.Por simplicidad uticelnos C, P, D. ? para indicar coraz6n, pica, diarnante, trbol, respectivamente,y 1,2, ..., 13 pot aa, doo, .,., rcy. Asf g n C significa tree de corazoneo, en tanto que S U C significa tres o corazn. Empleemoe el espacio muegtral del Problema 1.10(tr), asignando probabilidades iguales de tl52 : L162. a cada punto muehal. As, por ejemplo, P(6 n

(o)

") P(1): PG^e 1nP ,L D 1 n ") =P((1 n c) +P(1 nP) +P (1 nD) +P(1 n r) 11111 = 52- n- 52- sz = Lg

Tbmbin haba sidq posible conseguir este resultado del espacio mueshal del Problema 1.10(o) en donde cad punto mueehal, en particular "as" tiene una probabilidad de 1/13. Tambin se hubiera llegado a este resultado por un razonamiento sencillo de que hay 13 nmeros y as cada uno tiene una probabilidad de ger extrado igual a 1/13,t (b) P(11 C= :-

(c)

I * -I^ 26 ) +P(6 D: 62 52 = I " .* (d) P(c):P(ln c 62c6...lsnc) = #,* h* . # -- # = iP(s

T 66D=P($ n

Tambin s haba podido llegar a ete reultado observando que hay cuatro palos y cada uno tiene una probabilidad igual de ser extrafdo, eeto es 1/4.(e)

P(C')

-

1

- P(C) = ! P(L0

Ln

=

?uti[zando laparte (d)y elTeorema 1-1?, pgina 6.P

@ Puesto que 10 y P no son mutuamente excluyentes tenemos del Teorema 1-19

UP):P(10) +P(P)-P(10

:

1/13

+ rl4

-

7152

: 4lI3

@) La probabilidad de no cuatro no trbol pgina 9,4' T' = (4 U ?)'. Por tanto

puede denotarse por P(4'

?'). Pero por el Teorem a 1-t2 (a),

P(4'^T')= 4(4

U

")'l:

L-

P(4 U ?

: 1- [P(4) +P(")-P (4 n T)] _, l-r 1- 1l _ 9 - 13 - r-L-Z-521

Tambin podamos obtener este reeultado observando que el diagrama de Venn favorable a este suceso es el oomplemento del suceeo moetrado como la parte sombrcada en la Fig. 1-16, Puesto que este complemento tiene 52 - 16 : 36 puntos muestrales en l y cada punto muestral tiene una asignacin de probabilidad Il52,la probabilidad requerida es 36/52 = 9/13.

1.16. Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea (c) roja, (b) blanca, (c) azul, (d) no roja, (e) roja o blanca.

cAP. 1l

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD Mtodo 1.Dentese por R, B y A los sucesos de extraer una bola roja, blanca y azul, respectivamene. Entonees

L1

(o)

P(n)=Mtodo 2.

--6+4+5=1b=s

662

Nuestro espacio muestral corisiste de 6 * 4I 6:15 puntos muestrales. Entonces si asignamos probabili' dades iguales Ll15 a cada punto muestral observamos que P(.R ) : 6/15 : 215, debido a que hay 6 puntos muestrales que corresponden a "bola rojatt,

(b) P(B)

=

6i+5

= ftporparte(o)

(c) P(A) =

6+j+b = # = i=?

(d) P(noroja) = P(R") = 1-P(E) = l-?(e) Mtodo 1.P(roja o blanca)

:

P(R u

r) : -"""';'"::,::"fl'"",J,t""i: ;H 10 2 6+4 6+4+5 - 15 - 5

o blanca

Tambin puede resolverse ltilizando el espacio muestral como en la parte (c).

Mtodo 2.

r(RUB)=P(A'): 1-P(A): I - = |Mtodo 3.

norparte(c).

.

Puesto que los sucesos R y B son mutuamente excluyentes se deduce de (4), pgina 6, que

P(nuB):P(R)

+P(B):?*# = ?

PROBABILIDAD CONDICIONAL Y SUCESOS INDEPENDIENTES 1.1?. Un dado honesto se Ianza dos veces. Hallar la probabilidad de obtener 4, 6 6 6 en el primer lanzamiento V 1, 2,3 6 4 en el segundo lanzamiento. ' SeanAl elsuceso "4rS 6 enelprimerlanzamiento" y Az elsuceso "7r2,364en elsegundolanzamiento". Luego estamos buscando P(Ar

A2).

Mtodo 1.

P(AroAr)

=

P(At)P(A2lAr\ -- P(At)P(A,) '!'

- l+)l+) = I \6/\6/3

Hemos empleado aqu el hecho de que el resultado del segundo lanzamiento esindependiente del primero as que p(ArlAr): pier)- Tambin i"-or usado P(.4 1) :316 (ya que 4, 5 6 son 3 resultados de las 6 probabilidads igualmente factibles) y P(Az): ltO (ya que 7,2,3 4 son 4resultadosdelasGprobabilida' des igualmente factibles).

.

Mtodo 2.

de las 6 maneras en que cae en el segundo lanzamiento, un total defactibles.

Cada una de las 6 maneras en las cuales un dado cae en el primer lanzamiento puede asociarse con cada una 6.6:36 maneras, todas igualmente Cada una de las tres maneras en que A1 ocurre puede asociarse con cada una de las 3 mrneraa en que A2 ocurre para dar 3. 4: 12 maneras en que tanto A1 como ,42 ocurren. Entonces

P(ArnAzl .

19

1

;;

;

18

coNJUNTos

y

pRoBABILTDAD

lcAP.

1

Esto indica directamente que A 1 y A2 son independientes puesto que

.

r'(A,nA")

=+:(;)() = P(ArP\A2l(2, 6)a

1.18. Encontrar la probabilidad de no obtener un total de 7 u 11 en ningun de los dos lanzamientos de un par de dados honrados.dados se muestra en la Fig. 1-17. Por ejemplo (5,2) signitica que el resultado del primer dado es b y el del segundo 2. Puesto que los dados son honestos y hay 36 puntos muestrales asignamos la probabilidad 1/36 para cada uno.

oaa

(3, 6)

({,

6)

El espacio muestral para cada lanzamiento de los

(r.6)a

(3,6)(2, Ia a

aa

(r,6)I (,

{)

(5,

aa

{)

(6,

r)

(2,3)

(3,3) (8,2)a a

aa (5,3)(4,2a

(6,3)

Si A es el suceso "7 u 11" entonces A se indica por Ia porcin sombreada en la Fig. 1-17. Puesto que se incluyen 8 puntos tenemos que P(A ): 8/36 : 219.

(2,2la

a

(6.2,

a

(2, l)

(3, l)

(1,1)

a

Se deduce que la probabidad de no

dada por

? u 11 est

345Primer dado

P1A' '=

| - P(Al --

L

27 -::991o.

l'ig. l-17

Utizando subndices

t,2gara indica

y 2o. lanzamientos de los dadosobservamosquelaprobabilidad

de no 7 u 11 en el primero o segundo lanzamientos est dada por

empleando el hecho de que los lanzamientos son independientes.

1.19. Se extraen dos cartas. de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de queases si la cata

(c) se remplaza, (b) no

ambar sean

se

remplaza.

Mtodo 1.Sea

A1

buscando

suceso ttas en la primera extraccint' y .42 suoeso "as en la segunda P(Ar A2): P(A1) P(A2l A t).

extraccin". Entonces

estamos

(o)

Puesto que para la primera extraccin hay 4 ases en las 52 cartas, P(A): 4152. Tambin, si la carta se remplaza para la segunda extraccin, entonces P(A2 | A r) : 4152, puesto que tambin hay 4 ases en las 2 catas para la segunda extraccin. Entonces

P(A,"A) = P(A) P(A, , A,) =(b)Como en la parte (o),

/, \,'(

#)l#) == #

r\

P(A1l:4152.=

las 51 cartas restantes, as que P(A2l Ar

Sin embargo si ocurre un as en la primera extraccin quedarn 3 en ) : 3/51. Entonces

P(ArnA,lMtodo 2.

p(A,tp(A2 A\ = (52")(*) = ,"t

(ol La primera carta puede extraerse en una

de las 52 maner:u posibles y ya que hay rempl,azamiento la segunda cata tambin puede extraerse en una de las 52 maneras posibles. As que ambas cartas pueden extraerse en (52)(52) maneras, todas igualmente factibles.

En este caso hay 4 maneras de sacar un as en la primera extraccin y 4 maneras de saca un as en la segunda exhaccin de tal forma que el nmero de maneras de sacar :rses en la primera y segunda extraccin es ( ) (a)i As la probabilidad requerida es

(4)(4) = (52\(52\

1

169

(b)

La primera carta puede extraerse en una de las 52 maneras posibles y ya que no hay remplazamiento la segunda carta puede extraerse en una de las 51 maneras posibles. As ambas cartas pueden extraerse en (52 ) ( 51 ) maneras, todas igualmente factibles,

cAP. 1l

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

19

En este caso hay 4 maneras de saca un as en la primera extraccin y 3 maneras de sacar un as en lia segunda extraccin de tl forma que el nmero de maneras de sacar ares en la primera y segunda extraccin es (4) (3). As la probabilidad pedida es(4X3) (52)(51)

I2

1.20. Se extraen tres bolas sucesivamente de la caja del Problema 1.16. llallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si las bolas (a) se remplazan, (b) no seremplazan.Si Rl - suceso "roja en la primera extraccin", I}2 : scso "blanca en la segunda extraccin", A3 "azul en la tercera extraccin". Requerimos P(Rl 82 n A!\.

:

guCeo

(o)

Si cada bola se remplaza, entonces los sucesos son independientes y

p(.Rr

n 82 At):p(,Rr ) p(82 lnr )p(A3 In, nar

:P(Rr )P(82)P(A1)

e \/ n u =(\6+4+5/\6+ 4+5/\/\6+4+5/\=_9_ 225(b)Si no se remplazan las bolas, entonces los suceeos son dependientes y

p(nr n 82 n At)=p(Rr ) p@2lR )p(Ar I Er n 82)

:1\6 | u+ 5/\5 +4+5/\/ u 5/ el \/ n \5+ 3+ \=, 4Az

1.21. Hallar la-probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado honrado.Sea A

I:

suceso

"4

en el primer lanzamiento" y

:

suceso

"4 en el segundo lanzamiento", As

Art.Jrequerimos

A2: :

suceso

"4 en el prirner lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o ambos" suceso t'al menos un 4"A2).

P(ArU

Mtodo 1.Los sucesos A

t I Az no son mutuamente excluyentes, pero Bon independientes, P(A'tuA) = P(A) + P(A) - P(AL42) = P(A) + P(A!) - P(At) P(Az\ 1 r /t\/t\ rr

Por anto, por (1Ol V

QI

)

=

6'u-\ui\u/*

=

*

Mtodo 2.P(al menos un 4) Entonces P(al menos un 4) P (ningn 4)

=

1

: 1 - P(ningn 4) : 1 -P(no 4 en 1er. lanzamiento y no 4 en el 2o, lanzamiento) = | - P(A'rnA'"\ = | - P(A')P(A'2|

= '! -(8X*) = *"Mtodo 3.Nfrmero total de maneras igualmente factibles en las que ambos dados pueden caer Tambin,

:

6.6

:

36.

nmero de maneras en las que A 1 ocurra pero no Aznfmero de maneras en las que .A2 ocurra pero

: no At :

5 5

nmero de maneras en las que tanto A 1 como ,42 ocurran

:

1

20

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD Luego el nmero de manera en las cuales por lo menos uno de los sucesos 11. Por tanto P(,41 U Az): 11/36.

fcAP.

1

:

Ar A2 ocurraes-

5

+5+

1

L.22. Un talego contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras; otro contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se extrae una bola de cada talego, hallar la probabilidad de que () ambas sean blancas, (b) ambas sean negras, (c) una sea blanca y una negra.SeaB

:

suceso "bola blanca del primer talego", I|2

:

scso "bola blanca del segundo talego".

(d)

P(BtnBil:P(Br )P(B2lBt):P(Br )P(B) = lt!")/-=) + 5/ = I 4 \4 + 2/ \3 P(B'tnb:pelp@;lB't)=P(B')P(Bi =1-P(Br B)-P(Bin B'r):

(b)(c)

(-1=)1=+) + 2/\3 + 5/\4

=

:

24

La probabilidad pedida es

t -i-*

=

#

1.23. Demostrar el Teorema 1-23, pgina 8. Demostramos el teorema para el cso n : 2. Extensiones

para valores mayores de n se obtienen fcilmente,

Si el suceso .4 debe resultar en uno de los dos sucesos mutuamente excluyentes

At, Az entonces

A = (AnAr)u(A42)PeroA

At

y

A Az son mutuamente excluyentes puesto que A1 y A2 lo son. Aspor P(A) = P(AIA)+P(A^AI') = P(A) P(A i A) + P(42\ P(A I A2)8.

Axioma 3

empleando

(I8), pgina

t.24. La

contiene 3 bolas rojas y 2 azules en tanto que la caja II contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda honrada. Si se obtiene cara se saca una bola de la caja.I; si se obtiene sello se saca una bola de la caja /I. Hallar Ia probabilidad de sacar una bola roja. Si R indica el suceso "sacar una bola roja" mientras que 1 y 1I indican los sucesos escoger caja f y cajacaja

I

/d respectivamente. Puesto que una bola roja puede resultar al escoger cualquiera de las cajas podemos em. plear los resultados del Problema 1.23 con A: R, At : I, Az: II. As la probabilidad de sacar una bola roja

P(Rt

-

P(nP@ Il+P\II\P(RIII =

/t\/ I \ /r\/ z (;)("+-ri-r:ri ---r:\ \2/\2+8/ \-/\-,2/

5

z

TEOREMA DE BAYES

L25. Demostrar el teorema

de Bayes (Teorema L-24,pryina9).

Puesto queA resulta en uno de lossucesos mutuamene excluyentes 1-22 (Problema 1.23)

Ay A2, ..., An tenemos por el Teorema

P(A) = P(AI)P(A Ar) + ' " + P(A,\P(A:A,,) .. jDor tanto

",O*'

P(A\'Aki

\

P1A

A =

P(A) P(A I Ak) P\Ak^A) = --Pt ) P(Al P(A' Akl

1.26. Supngase en el Problema 7.24 que quien lanzala moneda no revela si resulta cra o sello (de tal forma que la caja de 14 cual se sac la bola no se revela), pero revela que se sac una bola

cAP. 1l

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

2L (es decir que el resultado de la

roja. Cul es la probabilidad de que se escogiera la caja,fmoneda sea cara)?

Utilicemos la misma terminologfa del Problema I.24, ea decir, A : R, At : I, Az : I/. Buscamos la probabilidad de que se bscoja la caja / y se conoce que se sac una bola roja. Empleando la regla de Bayes con

n:

2 er;ta probabilidad ect dada por

P(Blr) P(I lP) = P(rl P(R | /) + P(I/) P(BlIIlP(r, As podemoo dar una probabilidad de 3 a 1 que

s /r\/ + \ \-3 4 =/t\/r\ \ti /r\/z\ \zi \E-+z/ ' \t/\2 + 8/la caja I.

3

4

ee escogi

ANALISIS COMBINATORIO, CUENTA Y DIAGRAMAS ARBOL

1.27.

Se va a conformar un comit de 3 miembros compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la adminishacin y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores, 2 de la administracin y 4 del gobierno, determina cuntos comits diferentes pueden conformarse, empleando (c) el principio fundamental de cuenta y (b) un diagrama rbol.

(a)

formarseesS'2'4=21. (b)

Podemos elegir un representante de los trabajadores en 3 maneras diferentes y luego un repreeentante de la adminishacin en 2 formas diferentes. Aaf hay 3 . 2 : 6 mineras difeentes de elegir un representante de los trabajadores y de la adminitracin. Con cada una de estas eleccionee podemoe escoger un representante del gobierno de 4 maneras diferentes. Asl el nmro de los diferentescomits que pueden

Reprentense los 3 candidatos de los habajadores por Lt, Lz,.L3; los candidatos de laadministracin pot My, M2; y la candidatos del gobierno pot Py,.P2, Ps, Pc. Enonces el diagrama rbol de la Fig. 1-18 muestra que hay en total 24 comisiones diferente. De este diagrama rbol podemos lista toda la comisionee, por ejemplo LrMrPr, L1M1P2, etc. I2

I4D

68

q10

1l t2t8

l{

l l61t l920

2l22 2824

Fig.

l-rt

PERMUTACIONES

1.28.

De cuntas maneras diferentes pueden ordenase 5 bolas en una frla?

22

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

[cA?.

1

Debemos ordena 5 bolas en 5 posiciones as -. La primera posicin puede ocuparse por cualquiera de las cinco bolas, es decir hay cinco maneras de llenar la primera posicin. Cuando esto se haya hech hay 4 maneras de llenar la segunda posicin. Luego hay 3 maneras de llena la tercera posicin, maneras de llenar la cuarta posicin, y finalmente slo 1 manera de llena la ltima poeicin, por tlnto:

El nmero de ordenacionesde lag 5 bolasen una filaesEn general,

=

5. 4. 3. 2.

L = b! =. 120

Elnhmerodeordenacionesdenobjetosdiferentesenunafilaes=n(n-l)(n-2\...1 =nlEsto se conoce como el nmero de permutaciones de n objetos diferentes tomados de n en n y se denota por pn' n.

1.29. De cuntas maneras pueden 10 personas sentarse en una banca si slo bay 4 puestos disponibles? El primer puesto puede ocuparse con cualquiera de las 10 personas y, cuando esto est hecho, hay 9 formas para ocupar el segundo puesto, S para ocupar el tercero y 7 para ocuparel cuarto. Por tanto:

El nmero de ordenacionesde 10En general,

persona! tomadasde

4en 4es

=

tC.

g.8.T = -

5040

El nmero de ordenaciones de n objetos diferentes tomados de r en r ean

=

n(n

1) . . . (n

- r * l)

Esto se conoce como el nmero de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r y se denota por P,. Obsrvese que cuando | = tr, nPr, = r ! como en el Problem a 1.28,

1.30. Hallaelvalorde (a) ,Pr, (b) uPo, (c) tsPt, (d) rPr. () aP = 8.7.6 .- 336 (b) Pq = 6.5.4.3 = 860 (c) ,rP, =e

15

(d) P = 3.2.1 =

6

1.31. Se quieren sentar 5 hombres

puede asociarse con cada ordenacin de las mujeres. As pues,

y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. De cuntas formas pueden sentarse? Los hombrcs pueden sentarse de 5P5 formas y las mujeres de 4Pa formas, Cada ordenacin de los hombresElnmerodeordenacionespedidoes =

"Pr.oPo

= 514! = (lZO)\24)

2gg0

1.32. Cuntosnmerosdecuatrocifraspuedenformarseconlosl0dgitos0,1,2,3,...,9si(c)los nmeros pueden repetirse, (b) si los nmeros no pueden rcpetirse, (c) si el ltimo nmero ha de ser cero y los nmeros no pueden repetirse? (o) La primera cifra puede ser cualquiera entre 9 (puesto que el 0 no tiene valor). La segunda, tercera y cuara pueden ser cualquiera de las 10, Entonces I ' 10 ' 10 ' l0 : 9000 son los nmeros que puedenformarse.

(o)

La primera puede ser cualquiera entre g (el 0 no). La segunda puede ser cualquiera entre 9 (no puede ser la que ocup el primer puesto), puestos). puestos).

l,a tercera puede ser cualquiera entre 8 (no pueden ser ninguna de las que ocupan los dos prifneros

La cuarta puede ser cualquiera entre 7 (no pueden ser ninguna de las que ocupan los tres primerosEntonces 9 .

I .8.7:

4536son los nmerosque pueden formarse.

Otro mtodP(B ) entonces P(A I B)Si

> P(.8 I ,4 ).B',(b ) A' es independiente de

A

es independiente de B demostrar que (o ) A es independiente de

B

.

L,92. SiA, B, Csonsucesosindependientes,demostrarquependientes.

(c)

AyBUC, (b)AyBC, (c)A y B-C, son

inde-

34

CONJUNTOS Y PROBABILIDADSea

lcAP.

1

1.93.

A

:

auceao

At, Az, .43 no son independientec.

suceso "nmero impar en el primer dado", A2 = BuGso "nmeo impar en el segundo dado", 3 : "total impa en ambos dados". Demostrar que A , AziA2, Atl At, A3 lon independientes pero que

1.94. La

escoge una bola aleatoriamente de la primera caja y se coloca en la sgunda cja sin obervar su color. Luego ee extrae una bola de la segunda caja. Hallar la probabilidad de que sea blanca.

caja

/

contiene 3 bolasrojasy Sblancas,entnoquelacajalfcontiene4bolarojasy2blancas.

Se

TEOREMA O REGLA DE BAYES

1.96.

Una caja contiene 3 bolas azules y 2 rojas mienras que otra caja contiene 2 bola azulee y 5 rojas. Una bola extrafda aleatoriamene de una de las- cajas reeulta azul.Gul es la probabilidad de haberla exbado de la primera caja?Ttes joyeros idnticos tienen dos compartimiento. En cada compartimiento del primer joyero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del Begundo joyero hay un reloj de plata. En el tercer joyero e un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto que en el oho hay un reloj de piata Si seleccionamos un joyero aleatoriamente, abrimos uno de los compartimientoa y hallamos un reloj de plaa, cul es la pobabilidad de que el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

1.96.

1,9?.

La urna

I tiene 2 bola blanca y 3 negras;

Se selecciona una urna aleatoriamente

la urna II, 4 blancae y I nggra; y lrr urna ffl, 3 blancas y 4 negras. y una bola ertrada aleatoriamente e blanca. Hallar la probabidad de

haber escogido la urna I. ANALTSIS COMBINATORIO, CUENTA Y DTAGNAMAI ARBOL

1.98. 1.99.

Se lanza una moneda tres veces. Utiliza un diagrama rbol para determinr la diferentes poribilidades que pueden suceder. Se extraen tres cartas aleaoriamente (sin remplazarniento) de una baraja de 62 catas. Uilizar un diagrama bol paa determinar el nfmero de maneras en las que se puede exhaer (o) un diamante y un trbol y un corazn en secuencia (b) dos corazones y luego un trbol o una pica.De cuntas maneraa pueden colocase

l.1OO.

I

monedae diferentes en 2 posiciones diferentes?

PERMUTACIONES

1.101. Hallarelvalor de(a) oP2, () zPs, () roP.

L.lO2.

Para

qu valor de n es

,+tPt =

nPtl.

1.1O3. De cuntas formas pueden 5 personas sentarse en un sof si tiene solmente tres asientos?

1.104. De cuntas forma pueden ordenase 7 libros en un

eEtane ei (a) er posible cualquier ordenacin, (D) 3 libros determinados deben estar juntos, (c) 2 libros deerminados deben ocupar lo exremos?(o )

1.106. Cunto nmeros de cinco cifras pueden formarse con los dgitos L, 2, 3, . . . , 9 iimpares, (b) las primeras dos cifras de cada nmero son paes?

lor nmeros deben ser

1.106. Resolver el problema anterior si

la8 cifre de los nmeros pueden estar repetidas.

1.1O?. Cuntos nmeros diferentes de 3 cifra pueden formare con 3 cuaEog,4 doeee y 2 tress?

1.10t.

De cuntas formas pueden 3 hombres y I mujerec sentarse alrededor de una meea ei (o) no se impone ninguna resriccin, (b) doe mujerer determinadas no deben centare juntar, (c) cada mujer debe eetarentredos hombres?

COMBINACIONES

1.109. Hallar el valor de (a) rC3, (b) C, () roC.

cAP. 1l 1.110. 1.111,Para qu

CONruNTOS Y PROBABILIDADvalor de n s cumple que

35

3' n+rC : 7'

nCzl.

De cuntas maneras pueden seleccionarse 6 preguntae de

un total de 10?

1--112" Ctntos comits diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 muieres?

1.113. De cuntas formas pueden seleccionarse

4 nios y 5 nias si (o) nodeterminados?

2 hombres,4 mujeres, 3 nios y 3 nias con 6 hombres,8 mujeres, s impone ninguna restriccin, (b) deben seleccionarse un hombre y una mujer

1.114.

f),e cuntas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en (o) dos grupos de 7 grupos de 5, 3 y 2 personas?

y 3 personas, (b)

tres

1.115. Con 5 estadistas y 6 economistas quiere formarse un comit de 3 estadistas y 2 economistas. Cuntos comits diferentes pueden formarse si (o) no se impone ninguna restriccin, (b) dos estadistas determinados deben estar en el comit, (c) un economista determinado no debe estar en el comit?

1.116. Halla el nmero de (o) combinacionee y (D) permuaciones de cuatro letras cada una quepuedenformarsecon las letras de la palabra Tennessee,

COEFICIENTES BINOMTALES

1.117. Calcular, (c) eC, () ( ), t"l kCz\QC)/DC;. \4 / 1.118. Expandir (o) (o+y)6, (b)

/11

\

(r-a)4,

(c)

(t-r

t)s, (d) (rz*21t.

1.119. Hallar el coeficiente de en

lt * )t. \ r/

1.120. Demostrar que (c)(b)

\rl \o/ \r / + 1") * '. +/"\ \2 / /"\ - /"\ .( ") - ...+ r-''i" 2/ \l )=o \o/ \r/

/"\ * /"\

I

1.121. Demostrar que (o)

,,"",, j=1

= n.2n-1,

(b)

j=t

(-1);-tj(,C,) =

0.

PROBABILIDAD UTILIZANDO ANALISIS COMBINATORIO 1.122. Hallarlaprobabilidaddeobtenerunasumade?puntos(o)unavez,(b)almenoedos lanzamientos de un par de dados honradoe. 1.f 23. Se extraen dos cartas sucesivamente de una baraja de 52 eartas, Hallar la probabilidaddeque (o)laprimera carta no Bea un diez de trboles o un aa, (b) la primera cata sea un a pero la eegunda no, (c) al menos una carta sea un diamante, (d) las cartas no sean del mismo palo, (e) no ms que una carta sea figura (jota, reina' rey), (f) la seErnda carta no sea una figura, (g) la seg.rnda carta no sea una figura dadoque la primera e lo es, (h) las cartar son frguras o picas o ambas.

unavez'(c)dosveces'en

1.t24. lJna caja contiene 9 tiquetes numerados del 1 al 9. Si s extraen 3 tiquetes de la caja uno a uno' hallar laprobabilidad de que alternativamente san impar, par, impar o par' impar' par.

1.125. La apuestas en favor de A de ganar un juego de ajedrez contraB son 3:2. Si se van a jugar tres juegos cules son la apuestac (a) en favor de A de ganar al menoa doc de los tre juegos, (b) en contra de A de perder losprir4eros dos juegos?

1.126. En un juego de naipee

ee reparte a cada uno de loe 4 jugadores 13 cartas de una baraja de 52 cartae. Halla la probabilidad de que uno de loe jugadores obtenga (o) ? diamantea, 2 hboles, 3 corazones y 1 pica; (b) un palo completo.

36

CONruNTOS Y PROBABILIDAD

lcAP.

1

1.127. Una urna contiene 6 bolas rojas y 8 azules. Se extraen cinco bolas aleatoriamente sin remplazamiento. Hallala probabilidad de que 3 sean rojas y 2 azules.

1.12E. (o) Hallar la probabilidad de obtener la suma 7 en al menos uno de tres lanzamientos de un par de dador honrados, (b) Cuntos lanzamientos se necesitan para quela probabilidad en (o) eea mayor que 0.96?

1.129. Se extraen 3 caas de una baraja de 52. Halla la probabilidad de que (o) las cartas eean de un palo, (b)almenos dos sean ages.

1.130. Hallar la probabilidad de que un jugador tenga de 13 cartas g de un mismo palo.

APROXIMACION DE STIRLING A n! 1.131. De cuntas formas pueden seleccionase 30 individuos de un total de 100? 1.132. Demostrar que aproximadamente2nCn

-

22"1\/, rara valores de n grandes.

1.133. Hallar porcentaje de enor en la frmula de Stirling para n

:

10.

1.134. Obener una aproximacin al resultado del Problema 1.51.

PROBLEMAS DIVERSOS

1.135. Un espacio muestral consiste de 3 puntos muestrales con probabilidadeg aociadas dadas gor 2p, p2 y 4pHalla el valor de p.

-

L.

1.136. Demostrarque 1.13?. Demosrarque

siACB'

entonces

AnB:Q.

A-(A nf:

AB'.

1.138. Cuntas palabras pueden formaree con 5 letras si (o) lae letras son diferentes, (D) 2 letras son idnticas, (c)todas las letras son diferentes pero dos letras determinadae no puden estar juntas? tes, (b) mximo dqs sean igualee.

1.139. Cuatro enteros se eligen aleatoriamente entre 0 y 9 inclusive. Halla la probabildad de que (o) sean diferen1.140. Un par de dados se lanzan repetidamente. Hallar la probabilidad de que ocurta 11 por primera vez en elsexto lanzamiento.

1.141. Cul es el menor nmero de lanzamientos necesarios en el hoblema 1.140 para que la probabidad deobtener 11 por primera vez sea mayor que (a) 0.5, (b) 0.95?

1.142, Esudiar lo eiguiente: no hy tal cosa de que una moneda

sea honesta pu6to que en cualquier nmero de lanzamientos es extremadamene difcil que el nmero de caras y Eelor eea igual.

1.143. Supngaae que al lanzar una moneda 500 veces hay una secuenci de2(lsnzanientosqueresulan"carast'.Puede consideraee la moneda cmo honrada? Expcar.

1.144. Demostrar que para cualesquiera sucesos Ar, Az, . . . , An

P(ArvA"u...uAn) < P(4,) + P(A)+ .'. +P(")1.145, Al lanzar un par de dados la suma puede ser 2,3, . . ., 12. Podramos asignar probabilidadee de 1/11 a cada uno de esos puntos? Explicar, 1.146. Enunjuegodepkerhallarlaprobabidaddeobtener(o)unaescaleraflor,queconsistedediez,jota,reina, rey y as del mismo palo; (b) tn full que consiste en 3 cartas de un valor y 2 de otro (por ejemplo 3 diecer y 2 jotas, etc.); (c) catas diferentes, (d) 4 ases.

l.l47.I's

probabilidad de que un tirador d en el blanco eede 213. Si diepara al blanco hastaqueledalprimera vez, hallar la probabilidad de que necesie 6 disparos.

cAP. 1l1.148.

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

37

(c) Un

estanque contiene 6 compa.rtimientos separados.De cuntas maneras pueden colocarse 4 bolas idnticas en los compartimientos? (b) Resolver el problema si hay n compartimientos y r bolas. Este ipo de problema se presenta en fsica en conexin eonlaestadstica Bose-Einstein.

1.149. (a) Un estante contiene 6 compartimientos separados. De cuntas formas pueden colocarse 12 bolas idnticas en los compartimientos de tal manera que ningn compartimiento quede vaco? (b) Resolver el problema si hay n compartimientos y r bolas para r ) n. Este tipo de problema se presenta en fsica en conexin con laes

tad sca

Fermi-Diroc.

1.150. Un jugador de pker tiene las cartas 2, 3, 4,6,8. Desea descartar el 8 y remplazarla por otra cara que espera sea un 5 (err ese caso obtendr una "escalera"). Cul es la probabilidad de que obtenga el 5 suponiendo que los oro tres jugadores en conjunto tienen (a) un cinco, (b) dos cincos, (c) trer cincoe, (d) ningfrn 5? Puede resolverse el problema sin saber el nmero de cincos que tienen los otros jugadores?Expcar.

1.151. Resolver el Problema 1,50 si el juego

se

mita a

B

lanzamientos.

1.152. Generaliza el resultado del Problema 1.151. 1,13. Hallar la probabilidad de que en un juego de bridge (o) dos jugadores, () tres jugadores, (c) los cuatrojugadores tengan un palo completo.

1.154. Demostrar que

/"\ = ! 1t'" - t't .)va", una interpretcin combinatoria. ,:).\/(;_ \r/ (1 + rt (1 + o"-t y hallar el coeficiente de j en el producto).que

(Sugerencia: Consisar

1.155. Demostrar

l") - 11)'-* 1i)'-l \"/ \o/ \t/

- (i)'

una interpretacin combinatoria.

"dar letras en los

1.156. Demostrar que la probabidad para que la secretaria del Problema 1.54 obtenga exacamente

I -c / r\k sobres correctos ". ; u fi.ISr"r"ncia.'

Denoando la probabilidad deseada comop (a), demostrar

que p"(a) = 1 fipn-o (0) y luego emplear

el resultado del Problema 1.541.

Captulo 2Voriobles qleqtorios y distribuciones de probobilidodVARIABLES ALEATORIAS

un espacio muestral asignamos un nmero. As definimos una en el espacio muestral. Esta funcin se llama wriable aleatoria (o uariable estocastiea) o funcin ms precisamente funcin aleatoria (funcin estocstica). Comnmente se denota por una leha mayscula como X 6 Y. En general una variable aleatoria tiene algn signifrcado fsico, geomtrico u otro.Supngase que a cada punto deEJEMPLO 21. Supngase que se lanza una moned dos veces de tal forma que el espacio muestral es f : {Cq Cg Sq SS). Repreonteee por X el nmero de caas que pueden resultar. Con cada puno muestral podemoe arcciar un nfrmeo para X como se muesha en la Tabla 2-1. As en el caso de CC'(es decir 2 carae) X :2 e tanto que para SC (1 cara) X = 1. Se concluye que X eo una variable aleatorir.

Tabl 2-1Punto muestral

ccE

cs I

sc

ss0

x

I

Debe obervare que tambin podran definirre otras muchac variables aleatorias en este espacio mueehal, por ejemplo el cuadredo del n(rmero de carac, el nlmero de caras men(x el nmero de eelloa, etc.

Una variable aleatoria que toma un nmero frnito o infinito contable de valores (vase pgina 4) se denomina wriable aleatoria discreta mienhas que una que toma un nmero infinito no contable de valores s llama variable aleatoria no discreta 6 continua. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETASea X una variable aleatoria discreta y supngase que los valores posibles que puede tomar estn ordenados en orden creciente de magnitud. Supngase tambin que los dados por rr , x2, ! valores se asumen con probabilidades dadas por

P(X=ryl=f(rx\P(X =

k=L,2,...

(I)de(2)

Es conveniente introduct la funcn de probabilidad, tambin conocida como la distrbucin probabiliM, definida por

r) = l(a)si

Para

:

nr (2) se reduce a (l)

en tanto que para otros valores de

r, f() :

0.

En general

f() es una funcin de probabilidad 1. f(a) > o 2.- >(sl = t

38

cAP.2l

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

39

donde la suma en 2 se toma sobre los valores posibles de probabilidad.

r.

Una grfica de

f()

se llama

grdfica de(b )

EJEMPLO 2.2. (a) Halla la funcin de probabilidad correepondiente a La variable aleatoria X del Ejemplo 2.1 y construir la grfica de probabilidad.(o

)

Suponiendo que la moneda es honrada tenemos

P(CC)Luego

I4

P(CS)

1

4

P( SC)

1

4

P(SS)

1

4

P(X-0)=P(ss)=;P(X:1) = P(CSuSC) = p(cs)+ p(sc) = i*iP(X=21 = P(CC)As,

Tabla 2-2

=I

rf(r)

0

Ir/2

,r/4

=I

r/4

la

funcin de probabilidad est dada en la Tabla 2-2.

(b) I

grfica de probabilidad puede reprecentarse comoleindica en la Fig. 2-1, o por un histogromo, como se indica en la Fig. 2-2. En la FA. 2-1 la suma de las ordenadas es 1 mientras que en el histograma la suma de l reas rectangulares es 1. En el cao del hislogama podemos considerar la vaiable aleatoria X como continua, por ejemplo X: 1 significa que es enre 0.5 y 1.6.

Fig.2-f

Eepectro

Fg.2-2 Histograma

FUNCIONES DE DISTRIBUCION PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASvaridble aleatoria X se define por

La funcin de distribucin acumuhda, o simplemente la funcin de dstribucin, pata vrta

donde

obtenerse.de la funcin de probabilidad notando que

r

es cualquier nmero

rl = F(u) real, es decir - - 1 x ( -.P(X 2 ) y compararlo con elresultado en (o).Sean X1

1

3.95.

,

X2, . . . , Xn n vaiables aleatoria independientes cada una con funcin de densidad

f(r\ = [l/2 |. 0Si S*

-1 0 2)P(X =2)

* P(X=3) *

P(X=4)

*

P(X=5)

= ll)/1\'19)'** II)/l\'/q)'* /u)1lY11\',- /s\/t\'/qY \2/\6i \6/ \'i \ei \o/ * \o/\e/ \6/ * \s/\a/ \a/ 626 r25 25 1 763 - 3888 ' 3888 ' 7776 ' 7776 - 38884,3. HaIaf la probabilidad(o) p(lnio)p(3nios)Entonc.es

sea nio y al menos 1 Ll2.

de que en una familia de 4 hijos (c) al menos 1 sea nio, (b) al menos 1 sea nia. Suponer que la probabilidad del nacimiento de un varn es

t-. -' /t\/ 1l\'/+)' = t, \r \zi\z/- \s/\z) \z/ - L' = /1\/1\'/l)'= l.P(al menos 1 nio)

/t)l+)'ll\' = \.;i \t/ \t/ = 2 8 p(4 nios) = (l\ /1)'11)'= f x-/\z) \z/ - 16P(2 nios)

: P(l nio) *

P(2 nios)16 16

*

P(3 niror)

*

P(4 nloa)

1 3 1 1 4 8',4 16Otro mtodo.

P(almenorlnio):1-P(nirgfrnnio) = l(b)P(al menos 1 nio y al menos una nia)

ll)t \2/

= , -l 16 = E 16

= 1 -P(ningn nio) -P(ninguna nia)

=1-1-1-1 -16168Tambin podemos resolver este problema si X e! una variable aleatori que denota el nmero de nio erl fania con 4 hijos. Entonces, por ejemplo, (o ) ee covierte en

P(X>l) : P(X:l)*P(X=2)*P(X=3)*P(X=4) =

18

4.4,

De 2000 familias r-:on 4 nios, cuntas calcula deben tener (c) al menos 1 nio, (b) 2 nios, (c) 1 2 nias, (d) ninguna nia?Refirindonos al Problema 4.3 vemoe que

(o) (b)

N(rmero esperado de familia con al menos 1

nio = ,ooo (lf)

=2000

18?5

Nmero esperado de familia con 2 nio 20OO ' P(2 nios) 2 nias)

=

(3) = \.i

tUO

(c) P(l

: P(l nia) *

P(2 nia)nioe)

:P(l

nio)*P(2

: I +3 : *

L22

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CON NOMBRE PROPIO

lcAP.4

Nmero esperado de familias con 1 2 nias

=

tZOOOill) ' '\ 6 /

\/ =125

1250

(d)

Nfrmero esperado de famias sin nias

=

(2000)(

i ) =

4.6.

Si el 20 % de los tornillos producidos por una mquina son defectuosos, determinar la probabidad de que de 4 tornillos escogidos aleatoriamente (a) 1, (b) 0, (c) menos de 2, seandefectuosos.La probabilidad de un tornillo defectuoso e8 p :0.2, de un tornillo no defectuoso vaiable aleatoria X el nlmero de tornillos defectuosos. Entonceses

g

: I - p:0,8,

Sea la

(o) P(X: t) =

(rn

),0.r,'

(0.8)a

=

s.46e,;

() p(X = 0) = (c) P(x

= (r-\)'1t - i)-' + m/ \ \clculo

=

-tr

empleando el resultado conocido del

;rl ('* i) =Se deduce que cuando n(2')

/

\

eu

-

pero

I

permanece frjo (es decir p -+ 9

P(X=r) +

:q;

que ee la distribucin de Poisson.

Otro mtodo.La funin generatriz de momentos para la distribucin binomial(3)es

(q*pet)" = (1-p+pet)" = [1+p(et-l\]n

Si

\:

np de modo que p

:

)t/n, esto se convierte en

(+)

[' * rc=t"oeto tiende atr(et--l)

A medida que n -+ (5)

que es la funcin generahiz de momenos de la distribucin de Poisson. El reeultado pedido entoncec ededuce utilizando el Teorema 3-10, pgina 80.

4.21. Verificar que la funcin lmite (2) del Problema 4.20 realmente es un funcin de probabili'dad.Primero, obseryamos

queP(X: ) )r=0

O

para

r = 0, 1, ' . . , dado que ), )

0. Segundo, tenemos

>{] !a1*=" = t=O -.

= "-^;+:: =(l ''

e-)..er

=

1

y

se

completa la verificacin.

130

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CON NOMBRE PROPIO

lcAP.4

4.22. Diez por ciento de las herramientas producidas en un proceso de fabricacin determinado re. sultan defectuosas. Halla la probabilidad de que en una muestra de 10 henamientas seleccionadas aleatoriamente, exactamente 2 estn defectuosas, empleando (o) la distribucin binomial, (b) la aproximacin de Poisson a la distribucin binomial. (o)La probabilidad de una herramienta defectuosa es p :0,1. Dentese por X el nmero de herramientas defectuosas de las 10 escogidas. Entonces de acuerdo con la distribucin binomial

p(x:zl(b) Tenemos )\:np

(tJ )10.rr1s.e' =

\z/

0.1e37

o.re

=

(10)(0.1)

-

1. Entonces de acuedo con la distribucin de PoissonI-

P(x--x) - ;-

6

P(X=2) =

%:

=

0.183e

0.18

En general la aproximacin es buena si p 0.1

y \ = np 5 5.

4.23. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reaccin por una inyeccin de un determinado suero, es 0.001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos (c) exactamente 3, (b) ms de 2 individuos tengan reaccin.Dentese por X el nmero de individuos que sufren una reaccin. X tiene una distribucin de Bernoulli, pero ya que las reacciones se suponen sucesos raros, podemoa suponer que X tiene una distribucin de Poisson, es decir

P(X:x\ -;(d)

I-)\

donde

p(x-Bt - 1#

^:?p:(2000)(0.001)

:2

_

0.180

(b)

P(X>2) = 1-[P(X=0) *P(X:1) +P(X=2)] _ I fzo-z- 2te-z --z! , Zze-21 -- r -Lt 1! ) = l-6e-z = 0.323

Una evaluacin exacta de las probabilidades empleando la distribucin binomial requeiira mucho ms trabajo.

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

4.24. Yerificar el teorema del lmite central para una variable aleatoria X que est distribuida binomialmente y as establecer la validez de la aproximacin nonnal a la distribucinbinomial.La variable tipificada para X es

X* = (X - np)/l/nW y la funcin generatriz de momentos Eletx' E(et 0, tiene unadistribucin Cauchy en- @ 1x1*.'La funcin de densidad de@ es

fun

=

0.15

ML=Zy =

o.BB

M= >fu2 ny de (32), lttt =ffi2= ffi3=0

0.97

M,^=>+=2.53

M'r') = 9[0.9? - (0.1s)2] = ca(ML-gLI|Mi+ zM'Lz) = 2?[0.88 "z1ML-

8.6275B(0.15X0.9?)

+ z(0.1b)B]

=

-2.6982

,nL

= ca(M't- 4MiML+ 6M'r2ML-

BMin)

81[2.53-4(0.15)(0.33) + 6(0.15)2(0.97) -3(0.15)41

:

199.3?59

5.42. Hallar los coeficientes de (o) sesgo y (b) curtosis para la dishibucin de estaturas delProblema 5.33.

(o)

DeI Problema 5.41,

ffi2=s2=8.5275Entonces

mB

= -2.6932a3

Coeficiente de eesgo = a,

fflg

= p: { (8.5275)3(b)Del Problema 5.41,

-0.14

m+Entonces

=

199.3759

ffiz:s2=8.5275rttt

Coeficiente de

cutosis as=E =

:

199.3759

qa-szrgy

_ 6 al = z't+

De (o) vemos que la distribucin est modetadamente sesgada a la izquierda. De (D) yemos que e8 menoc apuntada que la dishibucin normal (que tiene un coeficiente de curtosir: 3).

PROBLEMAS DIVERSOS

5.43. (a) Demostra cmo escoger 30 muestras aleatorias de 4 estudiantes cada una (con remplazariiento) de la tabla de estaturas en la pgina 163 utilizando nmeros aleatorios. (b) Hallar la media y la desviacin tpica de la distribucin muestral de medias en (o). (c)Comparar los resultados de (b) con los valores tericos, explicando cualquier discrepancia. (o) Emplear dos dgitoe para numerar a cada uno de los 100 estudianes: 00, OL, 02,... , 99 (vase Tabla 5-14). Asf los 5 estudiantes con esaturas 60-{2 Tabl 6-14 pulgadas s numeran 00-{4, los 18 eetudiantes con estaturas 63-65 pulgadas se numeran 05-22, etc. Cada Nfmero Estaturan(rmero de estudiantes se denomina nmero'muestral. Entonces extraeremo8 nlmeros muestrales de la tabl de nfmeros aleaorios (Apndice I). Del primer rengln hallamos la secuencia 5I, 7'1, 27, 46, 40, etc., que tomamos como n(meros muestrales aleatorios, cada uno de los cuales determina la estatua de un eetudiante determinado. As 51 conesponde a un estudiante con estatura 66-68 pulgadas, que tomamos como 67 pulgadas (la marca de elase). En forma semejante 77,(pulgadae)

Frecuencia5

muestral

60-62 63-65 66-68 69-71 72-74

00-04

18 42 278

05-22 23-6465-91 92-99

27, 46 resultan en'estatuas de 70, 67,67

pulgadas

respectivamente.

184

TEORIA DE MUESTREO

lcAP.5

Por eete proceso obtencmo l Tblr Fl quc rnuetra lo n(mcro muetrale extrafdor, l.8s estatuas correspondientee y la esttun mcdb pan cde un de h 30 muegtraa flebe menciorarse que aunque eecogimos el prirner rengl,n dc l trbl de nlrncro dcatoiio hbrfrmo podido inici en eualquier parte y escoger cualquicr patrn dctetmindo,

Tbh 6-rNfmeros muesFale

Esttwr

o-

Ela+

Nfrmeros muestralea

extrafdo

rrcqrondieatcc67, 70, 67 , 67 67, 67, 67, 64 70, 67, 67, 67 64, 67, 73, 73 67, 64, 67, 70 64, 67, 64,70

medi67.75 66.25 67.75 69.25 67.00 66.25 65.50 68.50 68.50 67.00 66.25 68.50 68.60 67.75 67.00

extnfdo

Estatras corespondientec64, 67, 67, 67 70, 67, 73, 67 70, 67, 73, 67 70, 67, 70, 67 67, 67, 64, 67

rff

media66.25 69.25 69.25 68.50 66.25 69.25 64.00 67.75 69.25 66.25 67.00 70.00 68.50 68.50 65.50

1. 51,77,27, 46 2. 40,42,33, 12 3. 90,44,46,62 4. 16,28,98,93 5. 58, 20,41, 86 6. 19,64,09,70 7. 56,24,03,32 8. 34,91,83,58 9. 70, 65, 68,2L 10. 96,02, 13, 87 fl. 76, 10, 51,08 12. 63,97, 45, 39 13. 05,91, 45,9314.96,0L,73,52

13.

11,64, 55, 5870, 56,91, 43

1f.19.

1t.74,28,93,5079, 42,'7L,3058, 60, 21, 33

m.

21. 75,79,74,542:2. 06,31,04,18

70,70,70,6764, 67, 6L, 64

67,67,6L,6767, 70, 70, 67 70, 70, 70,64

73,6r,64,7070, 64, 67, 64 67, 73, 67, 67

23. 67, 07, L2,97 24. 31, ?1,69, g8 25. tt,64,2L,87 26. 03,58,57,93 27. 53, 81, 93,9923.23,22,96,79

70,64,64,7367, 70, 70, 70 64, 67, 64, 70 6L, 67, 67, 73 67, 10, 73, 70 67, 64, 73, 70 73, 67, 67, 67

64,70, 67,7373, 61, 70, 6?

15.

07,82,54,24

64,70, 67, 67

29. 30.

98, 56, 59,36 08, 15,08,84

64.64, 64,70

Trbl 6-16Media muestral64.00 64.75 65.5066'.25

Clenta

1

u

fu

fu216 08 6

0 2

(/t/t)#{

6 4A

a+67,0067.75 68.50 69.25 70.00

-4 -3 -2 -101

-40

-4 -60

0

4

/28 45 16 23

dD

,3

14 164

I l,f = n 30

4

),fu. =

2 fuz

=

123

(b) I Tabla 5-16 da I ditribuci6n

de ftecucrci dc I media muestral de las estaturas obtenidas en (o). Esta ee una distribucin mucetal de mediu. L medi y la derviacin tfpica ee obtienen como es usual por los mtodos claves delcrito anterbrmeue.

Medi = a*cDerviacin

= o*c2fu tpicr = =e

-

6?.00 (0'75)(23\ = * '-

67'58 Pulgadaa

2fuz />1"\' n -\ i

"

(0.76)

=

1.41 pulgadar

cAP.5l(c

TEORIA DE MUESTREO

185

)

es

t a media terica de la distribucin muestral de medias, dada por a, es igual.a la media poblacional r que 67.45 pulgadas (vase hoblema 5.33), de acuerdo.con el valor de 67.58 pulgadas de la parte (b).

La desviacin tpica terica (error tpico) de la distribucin muestral de medias, dada por o*, es igual a o/y'[, donde la dewiacin tpica poblacional o = 2.92 pulgadas (vase hoblema 6.40) y el tamao de la muestra n : 4. Puesto que o/t6':2.g2/fi = 1.46 pulgadas, estamos de acuerdo con el valor de 1.41 pulgadas de la parte (b), Las discrepancias se deben a que solamente 30 muestras fueron seleccionadae y el tamao de la muestra fue pequeo.

5.44. La desviacin tpica de los pesos de una poblacin muy grande de estudiantes es de 10.0 libras. Se escogen muestras de 200 estudiantes de esta poblacin y se calculan las dewiaciones tpicas de las estaturas de cada muestra. Hallar (c) la media y (b) la dewiacin tpica de la distribucin muestral de las dewiaciones tpicas.Podemos considera que el muestreo es o de una poblacin infinita o con remplazamiento de una poblacin finita. De la Tabla 5-1, pfuina 162, tenemos:(

[,)

ps: o =ts=-'o

10.0 lb

(

lr)

\/2"

+ = 0.50Ib v400

5.45.

Qu porcentaje de las muestras del Problema 6.44 tendran dewiaciones tpicas (o) mayores que 11.0 libras, (b) menores que 8.8libras? La distribucin mueetral de desviaciones tpicas es aproximadamente normal con media 10.0 libras y desviacin tpica 0.50 libras.

(a)

:

11.0 libra en unidades tpicas: (11.0 - 10.0)/0.50 : 2.0. El rea bajo la curva normal a la derecha de z 2.0 es (0.5 - 0.4772) = 0.0228; por tanto el porcentaje pedido es 2,3'/'.de

(b) 8.8 libras en unidades tpicas : (8.8 - 10.0y0.50 : -2.4. El rea bajo la curva normal a la izquierda z : -2.4 es (0.5 - 0.4918) : 0.0082; por tanto el porcentaje pedido ec 0.8%.5.46. Una muestra de

Por

6 observaciones se hace aleatoriamente de una poblacin. Cul es la probabilidad de que las dos ltimas observaciones sean menores que las primeras cuatro? Suponemos que la poblacin tiene funcin de densidad f(xl. Ia probabilidad de que 3 de las primerae 4 observaciones sean mayores a u mientras que la cuata obsenacin se encuentre entre u y u I du et dada

(1)

.".

- ?dL

-r;t

J,

/(r) tr.rJ f eL) du

La probabilidad de que las 2 ltimas obervaciones sean menores que u (y por tanto menores que las primeras 4) est dada por(2)

fnu12

l) --na a. )ea el

producto de (1 ) y (2),

Entonces la probabilidad de que las primeras 4 sean rnayores que y las 2 ltimas 6ean menores que u es decir-

nc,,f 'LJ" f t@ta*l'/t,,r ,t,,1 aJ. 1r)drl'z I J e la probabilidad total de que las 2 ltimac'obervacione Puesto que u puede tomar valores entre menores que las primeras 4 es la integral de (3 ) desde o hasta , esto es Q\

(r)

f"

sean

,r,

:-l,'

p

a*)"lJ'"-r,a a,l'

ra,) au

186Para evalua esta erpreein hacemos(5)

TEORIA DE MUESTREO

lcAP.5

1,

:

!l_ ,r" o'

Entonces(6)

d.o

- f(u)itu@, u

r-o = !"'nO*(4 ) se

Cuando u

: -

u

:

1 y cuando u

=-

= 0. Por tanto

convierte enF(B)

cus

t1

('

Jo

f(4) z(t-)titp = 4=6-a

= G

I

que es la probabilidad pedida. Es intereant notar que l,a probabilad no depende de la distibucin de probabilidad f(r). Este es un ejemplo del eatdstico no paromtrico puesto que no ae necesita oonocerningn rarmetro poblacional.

5.47. Sea

xn} una muestra aleatoria de tamao n extrada sin remplazamiento de {xr, x2 una poblacin finita de tamao N. Demostrar que si la media y varianza poblacional son J y o2 entonces (a) E(Xi) = r, (b) Cov (X,X): -"21(N -L).

Suponer que la poblacin conie del conjunto de nmeros {dt, ez,. . . , oN}, donde las c no son neceesriamente ditintas. Un procedimiento de muestreo aleatorio es aquel bajo el cual cada seleccin de n de un total de N c tiene h misna probabilidad (es decir LlttC"). Eato quiere decir que las XJ eetn dishibuidasidnticamente. prob.

xj=

prob.

l/N l/N

(i = 1,2,...,n)

X

Sin embargo, no son mutuanente independientes. En verdad, cuandoest dada por

i*h,la

distribucin conjunta de X1 y

P(Xr= a, X= ar) = P(X:

a^)

P(X = a, I X= a)au I

= *4,"0

=

X;:lt# \=y

a)

v

dondelyzvarande1aN.N

(o)(b) Qov

E(xi\(X,Xyl

).: I

)

aP(X - a) =p)l

J,* =

tN

P

EIX:- pXxr NN

= +("+)^,donde la (rltim suma contiene un total de N(Nsibles de l, y z deaiguale.s.

(or-r)(o'-r)

-

1) trminos, que correqronden a todas las parejas poN N ) = I=1 ("^-t'\2 +. l+v:l _ ("^-pl(o,-p) .).

Entoncee, por lgebra

elemental.

t(or-,)I(oz-p)+'..*(or-p)12

cAP.6l

TEORIA DE MUESTREOEn esta ecuacin, el lado izquierdo e8 cero, ya que por definicina1

187

-la2+'," +av =a N 02,

N

y la primera suma en el lado derecho er igual

por definicin. Por tanto

I+v:lCov (X,

g

(o

-

p)(o,

- p) =

-Noz

r \ -2 'r' X) = ;( rr-:--r l(-,1'", = - N-1 ^' - N\N-rl'

't/

5.48. Demostrar que (c) la media y (b) la varianza de la media muestral del Problema6.47 estn dadas respectivamente por

t*=(o)

E6) =

"1 =*"(x=) /X' +...f x"\ D

p

(.'

"

) = ;iE(x)+"'+E(x")l1

=1 n (p -r "'+p)donde hemoe empleado el Problema 6.a7 @).

=

p

(b)

Uilizando loe Teoremar 3-5 y 3-16 (generalizadoe), y el Problema 6-4?, obtenemos

var(x)

=

Sv^,(,t

",) = #[, var(X) * ,,

cov(x,x)]

= #* *,,(n_',(-r_ i)] = Lfr-"-rf = 4(N-"\ nl- N-1J'\N-1/

ProblernDISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

a,t

suplernenta,rlo s

6.49,

adecudas.

Una poblacin est6 formada por los cuatro nfrmeros 3,7,LL, 15. Considerar toda lae posibleamuestrasde tamao dos que pueden extraers de esta poblacin con remplazamiento. Hallar (o ) la media poblacional, (b ) la dewiacin tpica poblacional, (c) la media de la digtribucin mueshal de medias, (d) la dewiacin tpica de la distribucin muestral de media. Encontrar (c) v (d) directamente de (c) y (b) mediante las frmula

5.50. .51.

Resolver el Problema 5.49 si el muestreo fuese sin remplazamiento.

remplirzamiento.

Loa peeos de 1600 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con medla 22.40 onzas y dearriacin tfpica 0.048 onza. Si se erraen 300 mueetras de tamao 36 de ea poblacin, determirar la media y la dewiacin tpica eeperada de la ditribucin muetral de medias si el muestreo se hace (o ) con remplazamiento, (b ) sin

6.62. 5.53.

Resolver el Problema 6.51 si la poblacin 5e compone de 22 cojineter.

En el Problema 5.51, en cuntae de lag muetras aleatoria cabe ecperar que sus medias (a) ertn enl'l.e 22.39 onzas, (b) sean rnayor de 22.42 onzae, (c) sean menor de 22.37 onzaa, (d) ean menor de 22.38 o mayor de 22.4L onzas?

y 22.4L

188

TEORIA DE MUESTREO

lcAP.6

6.54.

Ciertos tubos fabricados por una compaa tienen una duracin media de 800 horas y una dewiaein tpica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 tubos, tomada de entre ellos tenga una duracin media de (a) entre 790 y 810 horas, (b) menor de 785, (c) mayor de 820 horas, (d) enhe ??0 y 830horas.

6.55. 5.56.

Lo mismo del Problema 5.54 si la muestra extrada

ee

de 64 tubos. Explica la diferencia.

Los pesgs de los paquetes recibidos n un departamento de almacenamiento tienen una media de 300 libras y una desviacin tpica de 5O libras. Cul es la probabilidad de que el peso de 25 paquetes recibidos aleatoriamente y cargados en un ascensor supere el lmite de seguridad del ascensor, que es de 8200 libras?

DISTRTBUCION MUESTRAL DE PROPORCIONES

5.57. llallar Ia probabilidad de que de los prximos 200 nios nacidoe (o ) menos d,el 4Oi'o sean nios, ( ) entre el 43% y el 57% sean nias, (c) ms del 640/o sean nios. Supnganse iguales las probabilidades de nacimientoede nio y nia.

5.5t.5.59. 5.60.

De un total de 1000 muestras de 200 nios cada una, en cuntas cabe esperar que (o) menos del 4OVo sean nios, (b ) entre el 4O% y el 60% sean nias, (c ) el 63"h o ms sean nias?

Resolver el Problema 5,57 si se consideran 100 en lugar de 200 niosresultados.

y

explic.ar las diferencias en los

Una una contiene 80 bolas de las que 6oo/a son rojas y 4OToblanca* De un total de 50 muestras de 20 bolss cada una, sacadas de la urna con rempliazamiento, en cuntas cabe esperar (a) igual nmero de bolas rojas y blancas, (b) l2 bolas rojas y 8 blancas, (c) 8 bolas rojas y 12 blancas, (d) 10 o ms bolas blancas? Dsea un experimento que ponga de manifiesto los resultadoe del Problema 5.60. En lugar de bolas rojas y blancas, se pueden usar hojas de papel, sobe las que se escrriba la inicial .R o I en las proporciones adecuadas. Qu enores pueden introducirse al utilizar dos conjuntos diferentes de monedas? lotes de 100 bombillas cada uno. Si normalmente el 6Vo de las bombillas es defectuoso, en cuntos lotes cabe esperar (o) menos de g0 bombillas buenas, (b) 98 o ms bombillasbuenas?

5.61.

6.62. Un fabricante despacha 1000

DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DIFERENCIAS Y ST'MAS

5.63. A y B fabticzn dos tipos de cables, que tienn unas registencias ,nedias a larotura de 4000 y 4500 libras con desviaciones tpicas de 300 y 200 libras, respectivamente. Si se comprueban 100 cablesdeA y 50 cablesde B' cul es la probabilidad de que Ia media de resistencia a b rotura sea de (a) al menos 600 libras ms que A,() al menos 450 libras ms que A?

5.64.

Cules son las probabilidades del Problema 5.63 si se comprueban 100 cables de cada fabricante? Explicar las diferencias.

5.65. En una prueba de aptitudpuntos?

la puntuacin media de lo estudiantes es de ?2 puntos y la dewiacin tpica de 8 puntos.' Cul es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 eetudiantes, respectivamente, difieran en su puntuacin media en (o) 3 o ms puntos, (b) 6 o ms puntos, (c) entre 2 y 5 Una urna tiene 60 bolas rojas y 40 blancas. Se extraen dos cotecciones de 30 bolas cada una con remplazamiento y s anotan sus colores, Cul es la probabilidad de que las dos coleccionee difieran en 8 o ms bolagResolver el Problema 5.66 si las exracciones son sin remplazamiento al obtener cada coleccin,

5.66.

rojas?

5.6?.

5.6t.5.69.

Los resultados de una eleccin mostraron que un cierto candidato recibi el 65% de los votos. Hallar la probabilidad de que en dos muestras aleatorias compuesta cada una de 200 votantec, haya una diferenciasuperior al1^o"k en las proporciones que votaron por dicho candidato. Si U y U2 son los cor\ntos de nhmeros del Problema 5.12, comprobar que

cAP.5I

TEORIA DE IIIUESTREOttur2

189

(a) 4.tr*Lrr: ru, I6.70.

(b)

ou1+ur

= \Grtr.

Se pesan tres cantidades dando 20.48,35.97 y 62.54 libras con dewiacionee tpicar de 0.21,0.46 y 0,54 libras, respectivamente. Hallar (o ) la media y (b ) la desviacin tpica de la suma de las cantidades.

6.71. El voltaje

medio de una baterfa e de 15.0 voltios y la dewiacin tfpica 0.2 voltios. Cul er la probabilidad de que cuatro de estas baterfas conectadae en serie tengan un voltaje conjunto de 60.8 o msvoltios?

DISTRIBUCION MUESTRAL DE VARIANZAS

6.72. Con 6.73. 6.74. .75.

referencia al Problema 6.49, hallar (o) Ia media de la distribucin muestral de varianzas, (b) el error

tfpico de varianzas.Reeolver el Problema 6.72 ei el muestreo es sin remplazamiento.

Una poblacin normal tiene una varinza de 15. Si se extraen muestrae de tamao 5 de esta poblacin, qu porcentaje puede tener varianzas (a) menores que 10, (b) mayores que 20, (c) entre 5 y 10?

la duracin de tubos de televisin fabricados por una compaa tienen una media de 2000 horas una dewiacin de 60 horas, Si se seleccionan 10 .tubos aleatoriamente hallar la probabilidad de que la dewiacin tfpica muestral (o) no exceda a 50 horas, (b) se encuentre enre 50 y 70 horas.

y

Se halla que

CASO DONDE SE DESCONOCE LA VARIANZA POBLACTONAL

5.?6.

De acuerdo con la tabla de distribucin de Student para 1 grado de libertad (Apndice D) tenemos P(-1 < 1) : 0.50. Verificar si los resultados del Problema 5.i se confirman por este valor y explicar cualquier diferencia.

?s

6.77. Verificar si los resultados del Problema 5.49 se confiman utilizando (a) P(-1 < f < 1) = 0.50, () P(1.3?6 < ? 1.376) - 0.60, donde ? tiene, una distribucin de Student con r, = 1. = 5.78. Explicar cmopodra utilizar el Teorema 5-7, pgina 161, para disear una tabla de distribucin f de Student como la dada en el Apndice D.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE RELACIONES DE VARIANZAS

5.79. 5.E0.

Dos muestras de tamaos 4 y 8 se extraen de una poblacin distribuida normalmente, Es la probabilidad de que una ttarianza sea mayor que 1.5 veces la otra mayor que 0.05, entie 0.05 y 0.01, o menor que 0,01? Dos compaas, A y B fabrican bombillas. La duracin parz A tiene una desviacin de 40 horas la duracin de B tiene una desviacin tpica de 50 horas. Unaen tanto que

muestra de 8 bombillas se toma de A y 16 de 8. Determinar la probabilidad de que la varianza de la primera muestra sea mayor que (o) dos veces, (b) 7.2 veces, la de la segunda.

Tabla 5-17

Duracin(horas)

5.8f

.

Nmero de tubosL4 46 58 76 68 62 48 226

Solueionar el Problema 5.80 si las desviaciones tpicas de las duraciones son (o) ambas 40 horas, (b) ambas b0 horas.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

5.82.

La Tabla 5-17 rmuestra una distribucin de frecuencias de la duracin de 400 tubos de radio comprobados en la L & M Tube Company. Con referencia a esta tabla determinar:

() f 'mite superior de la quinta clase. (b) Lmite inferior de la octava clase. (c) Marca de clase de la sptima clase. (d) Lmites reales de la ltima clase, (e) Tamao del intervalo de clase. 6 Frecuencia de Ia cuata clase. (g) Flecuencia relatira de la sexta clase. (h) Porcentaje de tubos cuya duracin no sobrepasa

- 399 400 - 499 500 - 599 600 - 699 700 - 799 800 - 899 900 - 999300

1000-1099 1100-1199las 600 horas. TOTAL

400

190(i) (j)

TEoRTA DE MUEsTREoPorcentaje de tubos cuya duracin es mayor o igual a 900 horas. Porcenaje de tubos cuya duracin es al menos de 500 horae pero menor de 1000 horas.

lcAP.5

5.83. Construir (a) un histograma y () un polgono de frecuenciaeciaa del hoblema 5.82.

correspondientes a la distribucin de frecuen-

5.t4.5.E5'

Para los datos del Problema 5.82 construir (o ) una distribucin de frecuencias reliativas o porcentual, (b un ) histograma de frecuencias relativas, (c ) un polgono de frecuencia relativas. Para los datos del Problema 5.82 construir (o) una distribucin de frecuencis acrmuladas, (b) una distribucin acumulada relativa o porcentual, (c) una ojiva, (d) una ojiva porcentual. horas, (c) entre 620 y 890 horas.

5.86. 5.87.

Estimar el porcentaje de tubos del Problema 5.82 con duraciones de (o) menos de 560 horas, (b) 9?0 o mg

Los dimetros interiores de las arandelas producidas por una compaa pueden medirse con aproximacin de milsimas de pulgada. Si las marcas de clase de gna distribucin de fiecuenciaa de estoe dimetros vienen dadas en pulgadas por los nmeros 0.321,0.324,0.327,0.330, 0.333 y 0.386, hallar.(a) el tamao de intervalo de clase, (b) los lmites reales de clase, (c) los lmite de clase. 5-18 niuestra los dimetros en pulgadae de una muestra de 60 cojinetes de bolas fabricados por una compaa. Construir una distribucin de frecuencias de los dimetros utilizando intervalos de clase

5.88. La Tablados.

"de"*-

Tabla 5-18

0.738 0.729 0.728 0.737 0.746 0.736 0.733 0.?30 0.735 0.732 0.732 0.737

0.743 0.740 0.?36 0.735 0.742 0.740 0.732 0.730 0.735 0.72t 0.731 0.746

0.736 0.724 0.128 0.739 0.734 0.735

0.7410.733 0.738

0.734 0.7320.735

0.735 0.731 0.742 0.736 0.725 0.733 0.738 0.?39 0.736 0.741 0.729 0.734

0.726 0.737 0.739 0.735 0.734 0.732 0.727 0.735 0.736 0.744 0.?30 0.740una

5.89. Con los datos del Problema 5.88 consruir (o) un histograma, (b) un polgono de frecuencias, (c)

ditribucin de frecuencias relativas, (d) un histograma de frecuenoias relativas, (e) un polgono de frecuencias relativas, (f) una distribucin de frecuencias acumuladas, (g) una distribucin acumuhd porcentual, (h) una ojiva, (i) una ojiva porcentual.

.90.

Con log resultados del Problema 5.89 determinar el porcentaje de cojinetes de bolas que tienen dimetros (o) superiores a 0.732 pulgadas, (b) no superioree a 0.?36 pulgadas, (c) entre 0.?30 y 0.?38 pulgadar. Comparar estos resultados con los obtenidos directamente de la coleccin de datos de la Tabla -18.Resolve el Problema 5.89 para los dato del hoblema 5.82.

6.91.

CALCULO DE LA MEDIA, DESVIACION TIPICA Y MOMENTOS PARA MUESTRAS

6.92. .93.

Las calificacione de un estudiante en cinco aeignaturaa fueron 85, ?6, 93, 82 y 96. Hallar la media aitmtica de dichas calificaciones.

O.44los.

Los tiempos de reaccin de un individuo a determinadoe estmulos fueron 0.63, 0.46, 0.50, 0,49, 0.52, 0.63, y 0.55 segundos, respectivamente. Deerminar el tiempo medio de reaccin del individuo a los estmu-

6.94. Una 6.95.

eeie de nfimeros est formada aitmtica ?

por seis 6, siete 7, ocho 8, nueve 9 y diez 10.

Cul es

u media

Las calificaciones de un estudiante en las tres asignaturas del curso fueron 77,78 y 89. (c) Si las ponderaciones asignadas a cada asignatura rcn 2, 4 y 6, respectivamente, cul es el promedio adecuado para sus calificaciones? (b ) Cul sera si todas las ponderaciones son iguales?

6.96. Tles profesore

de economfa regienron una ealificacin media en sus eimenes de 79,74

y 82;

sue clasee

cAP.5lestaban formadas por 32, 25las clases.

TEORIA DEMUESTREO

191

y 11 estudiantes, reqrectivamente. Determinar lacalificcinmediaparatoda8

5.g?. El salario medio anual

pagado a todos los empleados de una compaa fue de $6000. Log salarios medios anuales pagados a hombies y mujeres de la compaa fueron $200 y $4200, respectivamente. Determinar el porcentaje de hombres y mujeres empleados en la compaa.

5.98. La Tabla 6-19

muestra la distribucin de las cargas mximas en toneladas cortas (1 tonelada corta : 2000 libras) que soporan cieros cables producidoe por una compala. Determinar la media de la carga mxima empleando (a) el "mtodo latgo", (b) el mto' do clave.para los daos de la Tabla 6'20 empleando (o) el "modo largo", (b) el mtodo clave.

Tabla 6-19Carga mxima

Nlmero decableg

(toneladas cortas)

9.3-

9.7

,i)

5.99.

Halla

i

9.8-10.2 10.3-10.7 10.8-11.2 11.3-11.7

t217

l4631

Tabla 6-2Ofr

11.8-r2.26242

462 480 498 516 534 552 570 588 606

12.3-L2.7 L2.8-L3.2TOTAL

98 75 56 42 30 21 15 11 6compaa. Calcular el dimetro medio.Tabla 5-21

60

.100. La Tabla 5-21 muetra Ia distribucin de los dimetros de las cabezas de los remaches fabricadoe por unaTabla 6-22 FreeuenciaI 68

Dimetro (pulgadas)0.7247-0.7249 0.7250-0.7252 0.7253-0.7255 0.7256-0.7258 0.7259-0.726L0.7.262-0.7264

Clase

Frecuencia de 16 de 20253 7

15 42 68 49 25 18 L241

lG-menoe 16-menoe 20-menos 26-menos

0.7265-0.7267 0.7268-0.7270 0.7271-0.1273 0.7274-0.?276 0.7277-0.7279 0.7280-0.7282TOTAL

de de Sfmenos de 36-menos de 40-menos de