17 La forza nucleare

17.1 Introduzione

La grande varietà di strutture che vediamo attorno a noi (molecole, cristalli,materiali amorfi) è riconducibile al legame chimico, che a sua volta è spiega-bile quantitativamente con la meccanica quantistica. In particolare le forzeche si esercitano fra atomi neutri (che hanno costituenti, nuclei ed elettroni,dotati di carica elettrica) sono spiegabili in termini di potenziali interatomi-ci le cui caratteristiche si possono determinare in base a due classi di datisperimentali:

• dati spettroscopici sugli stati molecolari eccitati,

• energie di legame con le quali gli atomi sono tenuti insieme nellemolecole.

La meccanica quantistica non relativistica permette di spiegare quantitativa-mente le strutture basate sul legame chimico. Ci potremmo aspettare unasituazione analoga per quanto riguarda la forza nucleare che si esercita franucleoni non colorati, ovvero neutri rispetto alla carica di colore (mentre iquark che sono i costituenti del nucleone sono colorati), e ha una portatadello stesso ordine di grandezza del diametro del nucleone. Tuttavia l’ana-logia con il caso atomico e la forza elettromagnetica è limitata: in partico-lare, non si riescono ad avere informazioni dettagliate sulla forza nuclearestudiando la struttura dei nuclei. Il motivo è che i nucleoni si comportanoapprossimativamente come se ciascuno di essi fosse confinato in una buca dipotenziale (cioè i nucleoni si comportano come un gas di Fermi degenere)e il loro comportamento è praticamente indipendente dalla forma del poten-ziale nucleone-nucleone. Di conseguenza bisogna ricorrere ad altri metodiper dedurre la forma di questo potenziale:

• studio dello scattering nucleone-nucleone (in particolare p-p e p-n),inizialmente lo scattering elastico a energie relativamente basse ovveroinferiori alla soglia di produzione di mesoni;

1

• studio dell’unico stato legato nucleone-nucleone, ovvero il deutone1.

Nel seguito affronteremo questi due argomenti, iniziando dallo scatteringelastico nucleone-nucleone a basse energie. Inizialmente considereremo laforma più semplice di potenziale ovvero quella centrale (dipendente solodalla coordinata relativa r dei due nucleoni) e attrattiva. Vedremo però che leosservazioni sperimentali, specialmente i dati sullo scattering, ci porterannoa introdurre vari altri termini in questo potenziale.

17.1.1 Proprietà di saturazione della forza nucleare

La proprietà di saturazione della forza nucleare consiste nel fatto che l’ener-gia di legame per nucleone è approssimativamente costante, e questo ci facapire che il potenziale non può essere dappertutto attrattivo e di tipo ordi-nario: se così fosse, ogni nucleone tenderebbe a stare entro il raggio d’azionedegli altri, il volume del nucleo sarebbe costante e non proporzionale ad A,l’energia di legame sarebbe proporzionale ad A2 e non ad A come invece siosserva.

Un modo per ottenere la saturazione è quello di introdurre l’interazione discambio ovvero un termine nel potenziale che contiene l’operatore di scam-bio di Majorana P, che vale 1 se la funzione d’onda è simmetrica rispetto alloscambio delle coordinate spaziali delle particelle interagenti e vale invece -1se la funzione d’onda è antisimmetrica (in pratica l’operatore di scambio diMajorana moltiplica la funzione d’onda per (−1)`). Però questo non basta,infatti se ipotizziamo un potenziale del tipo:

V (r) = J(r)(α +βP)

con J(r) ovunque negativo, si ottiene la saturazione solo se β > 4α (ovverose predomina la forza di Majorana), ma si trova un disaccordo con i dati sulledistribuzioni angolari dello scattering p-p e n-p ad “alta” energia. Oltre al-l’interazione di scambio è necessario introdurre un nocciolo repulsivo, comevedremo nel seguito.

1In una buca di potenziale rettangolare di profondità V0 e raggio a non si hanno statilegati a meno che V0a2 > π h2/(8µ) ≈ 10−24MeV·cm2, dove µ ≈ mp/2 è la massa ridottadel sistema di due nucleoni. Assumendo a ∼ 2 ·10−13 cm e sapendo che il deutone è legatosi ottiene V0 > 25 MeV.

2

17.2 Scattering nucleone-nucleone

Lo scattering nucleone-nucleone a basse energie, ovvero al di sotto dellasoglia di produzione dei pioni, è puramente elastico e può essere trattatoconvenientemente con la meccanica quantistica non relativistica, utilizzandoun potenziale V (r) che per ora supporremo centrale. I due nucleoni possonoessere considerati puntiformi ma sono comunque dotati di spin e isospin, e sitrova sperimentalmente che la loro interazione dipende dallo spin totale (chepuò essere 0 - singoletto di spin, oppure 1 - tripletto di spin) e dall’isospintotale (che può essere anch’esso 0 oppure 1). Per una comprensione totaledella forza fra due nucleoni è necessario pertanto effettuare esperimenti confasci e bersagli polarizzati, e utilizzare sia protoni che neutroni. Lo scatteringprotone-protone è più facile da studiare sperimentalmente perchè si possonoottenere fasci di protoni monocromatici e polarizzati, e si può avere un ber-saglio di soli protoni (tipicamente, idrogeno liquido). Tuttavia è necessarioricorrere anche a fasci di neutroni (di solito non monocromatici) e a bersa-gli contenenti sia protoni che neutroni (il caso più semplice da analizzare è ilbersaglio di deuterio liquido). Una difficoltà supplementare per analizzare loscattering protone-protone è la presenza simultanea di interazione nuclearee Coulombiana.

17.2.1 La sezione d’urto differenziale per lo scattering elastico

Consideriamo un nucleone che proviene dall’infinito con energia cinetica Ee momento −→p e subisce uno scattering nel potenziale dovuto alla presenzadell’altro nucleone. Il nucleone incidente può essere descritto da una on-da piana mentre dopo lo scattering può essere descritto da un’onda sfericauscente2. La sezione d’urto differenziale corrispondente a un certo elementodi angolo solido dΩ = d(cosθ)dϕ è proporzionale al modulo quadro dellaampiezza di scattering f (θ) (per la simmetria cilindrica del problema, am-piezza di scattering e sezione d’urto differenziale non dipendono dall’angoloϕ ma solo dall’angolo θ ):

dσ

dΩ= | f (θ)|2

2Per maggiori dettagli vedere ad es. i paragrafi 16, 18 e 19 del testo di Schiff

3

Il calcolo (e la misura) della sezione d’urto differenziale va fatto separata-mente per ogni combinazione di spin e isospin del sistema nucleone-nucleone.Quindi andranno trattate separatamente le combinazioni possibili dei casiseguenti:

1. Scattering in condizioni di singoletto di spin: a bassa energia, quindicon momento angolare orbitale nullo, viene indicato con 1S0 seguendola notazione spettroscopica in cui la lettera S indica ` = 0, l’indice inalto a sinistra indica la molteplicità di spin 2s+1;

2. Scattering in condizioni di tripletto di spin: a bassa energia vieneindicato con 3S1;

3. Scattering in condizioni di tripletto di isospin I = 1: è sicuramente ilcaso di protone-protone perché I3 = +1

2 per ciascuno dei protoni, macontribuisce pure al caso protone-neutrone;

4. Scattering in condizioni di singoletto di isospin I = 0: contribuisce alcaso protone-neutrone.

Quando si ha a che fare con un potenziale a corto raggio d’azione è conve-niente effettuare una scomposizione in onde parziali dell’ampiezza di scat-tering, in cui ciascun termine corrisponde a un valore definito del momentoangolare orbitale `; nel caso particolare dello scattering elastico per distanzer abbastanza grandi dal centro di scattering si ottiene la seguente espressioneper l’ampiezza di scattering:

f (θ) = 1k ∑

∞`=0(2`+1)eiδ` sinδ`P (cosθ)

dove P è il polinomio di Legendre di ordine `, k = |−→p |/h =√

2ME/h è il nu-mero d’onda 2π/λ del nucleone che subisce lo scattering e δ` è un angolo disfasamento (phase shift) che descrive la differenza di fase tra onde incidentie onde uscenti3; in generale δ` è funzione dell’energia (ovvero di k). L’in-sieme degli angoli di sfasamento δ` contiene le informazioni cercate sullaforma e sulla intensità del potenziale nucleone-nucleone. Il termine sinδ`

3L’angolo di sfasamento è quello tra la funzione radiale R`(r) soluzione dell’equazionedi Schrödinger con il potenziale considerato e la j`(kr) che è la soluzione con V (r) = 0.

4

che compare nell’ampiezza di scattering (oltre al fattore di fase) deriva dal-la conservazione della corrente di particelle nello scattering elastico e vienecollegato alla richiesta di unitarietà per la sezione d’urto totale. La sezioned’urto totale (integrata sugli angoli θ e ϕ) è data da:

σ =∫ dσ

dΩdΩ = 4π

k2 ∑∞`=0(2`+1)sin2

δ`

Se δ` = 0 il contributo della cosiddetta “onda `” alla sezione d’urto è nullo.La scomposizione in onde parziali è utile a basse energie per un potenzia-le di raggio finito a perché in questo caso contribuiscono all’ampiezza discattering solo le prime onde parziali, e precisamente quelle per cui:

`≤ |−→p |·a

h = ka

In particolare a energia sufficientemente bassa contribuisce solo l’onda par-ziale ` = 0 (onda s) e dato che P0(cosθ) = 1 si ha una espressione parti-colarmente semplice della sezione d’urto differenziale e di quella totale infunzione dell’angolo di sfasamento δ0:

dσ

dΩ=

(sinδ0

k

)2

σ = 4π

(sinδ0

k

)2

17.2.2 Lo scattering nucleone-nucleone a bassa energia

Dai risultati sperimentali sullo scattering nucleone-nucleone a bassa energiasono state estratte due importanti informazioni sul potenziale:

• che contiene una parte repulsiva a corto raggio d’azione, oltre a unaparte attrattiva a raggio d’azione più grande;

• che dipende dagli spin dei due nucleoni.

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Figura 1: Angoli di sfasamento δ0 per lo scattering nucleone-nucleone infunzione del momento relativo dei nucleoni, per lo stato di singoletto di spin- tripletto di isospin e per lo stato di tripletto di spin - singoletto di isospin.Fig. 16.1 di [Povh08].

Assumendo un raggio d’azione della forza nucleare di circa 2 fm, vedia-mo dalle equazioni precedenti che lo scattering neutrone-protone e protone-protone è dominato dall’onda s per momenti relativi fino ad almeno 100MeV/c. In ogni caso anche per momenti relativi superiori è possibile estrarredai dati il contributo di onda s. Nella figure 1 sono mostrati i valori speri-mentali degli angoli di sfasamento δ0 per gli stati di singoletto di spin e ditripletto di spin, in funzione del momento relativo dei due nucleoni.

Notiamo innanzitutto che l’angolo di sfasamento è positivo per valori di mo-mento relativo inferiori a circa 400 MeV/c, e poi diventa negativo. Questofatto ci permette di dedurre informazioni sul carattere attrattivo o repulsivodel potenziale in funzione della distanza, come vediamo di seguito.

Consideriamo la funzione d’onda in onda s (necessariamente a simmetriasferica) ψ(−→x ); se definiamo una nuova funzione d’onda radiale u(r) = r ·ψ(r), essa deve soddisfare all’equazione di Schrödinger nella forma seguen-te:

d2u(r)dr2 + 2m(E−V )

h2 u(r) = 0.

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Figura 2: Schema dello sfasamento tra onde che non hanno subito scattering(linee tratteggiate) e onde che hanno subito scattering (linee continue), perun potenziale repulsivo (a sinistra) e per un potenziale attrattivo (a destra).Fig. 16.2 di [Povh08].

Se risolviamo l’equazione per un potenziale repulsivo rettangolare V (r) conraggio d’azione b e altezza V → +∞, troviamo che l’angolo di sfasamentoè δ0 =−kb : lo sfasamento è negativo, proporzionale al raggio d’azione delpotenziale e proporzionale al numero d’onda k (figure 2).

Se invece consideriamo un potenziale attrattivo rettangolare con un rag-gio d’azione a e profondità −|V |, la soluzione dell’equazione di Schrödin-ger corrisponde a uno sfasamento sempre positivo e con un andamento piùcomplicato che comunque decresce per momenti relativi elevati:

δ0 = arctan(√

EE+|V | tan

√2mc2(E+|V |)·a

hc

)−√

2mc2E·ahc

Se ora sovrapponiamo gli sfasamenti dovuti a un potenziale repulsivo a cor-to raggio d’azione e a un potenziale attrattivo a raggio d’azione più lungootteniamo un andamento come in figure 3, in accordo con i dati sperimenta-li4. Abbiamo ottenuto un primo risultato sulle caratteristiche del potenzialenucleone-nucleone: esso deve comprendere una parte repulsiva a corto rag-gio d’azione (conosciuta come hard core ovvero nocciolo repulsivo) oltrealla parte attrattiva a raggio d’azione più lungo che è comunque necessariaper spiegare lo stato legato del deutone. Uno schema del potenziale centralecon nocciolo repulsivo è mostrato in figure 4.

4Una trattazione più rigorosa si trova ad esempio nel paragrafo 3.8 (Effective RangeTheory in n-p Scattering) di [RoyNigam67].

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Figura 3: Sovrapposizione di sfasamenti (δ0) positivi e negativi in funzionedel momento relativo dei due nucleoni. Fig. 16.3 di [Povh08].

Figura 4: Schema della dipendenza del potenziale nucleone-nucleone dalraggio nel caso ` = 0. Non viene mostrata la dipendenza da spin o isospin.Fig. 16.4 di [Povh08].

Ulteriori informazioni si ottengono dalle sezioni d’urto totali di diffusionen-p a bassa energia e dal fatto che lo stato legato del sistema n-p, il deutone,è un tripletto di spin.

I dati sperimentali sullo scattering n-p a bassa energia danno una sezioned’urto elastica su protoni liberi di circa 20.4 barn costante entro 1-2% nell’in-tervallo di energia 1 < E < 1000 eV (la sezione d’urto totale include anchela sezione d’urto di cattura che vale 0.33 barn)5.

5Vedere ad esempio il paragrafo 10.2 di [Segre82].

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Cerchiamo ora di calcolare la sezione d’urto elastica. Lo sfasamento in ondas ha la seguente espressione6 a bassa energia (indichiamo δ0 per semplicitàcon δ ):

k cotδ =−1a + r0

k2

2

dipendente da due parametri, a detta lunghezza di scattering e r0 detto rangeefficace. Misurando le sezioni d’urto n-p a diverse basse energie si possonoricavare i parametri a e r0, infatti la sezione d’urto totale in base alla formulavista prima7 avrà la seguente espressione:

σ = 4π

k2+

(1a−

r0k22

)2 .

Se ora utilizziamo i valori dei parametri a e r0 ricavati da profondità e lar-ghezza della buca di potenziale che descrive ragionevolmente bene le pro-prietà del deutone (v. paragrafo successivo) troviamo una sezione d’urto di4.4 b, in contraddizione con il dato sperimentale (20.4 b). Wigner nel 1935ha risolto la contraddizione notando che lo scattering avviene sia nello statodi singoletto di spin che nello stato di tripletto, mentre il deutone ci fornisceinformazioni relative al solo stato di tripletto; dobbiamo pertanto utilizzaredue coppie di parametri riferite rispettivamente allo stato di tripletto (at , rt)e di singoletto (as, rs). Notando inoltre che (se fascio di neutroni e bersagliodi protoni non sono polarizzati) la sezione d’urto totale è la somma di quelladi tripletto con peso 3/4 e di quella di singoletto con peso 1/4 si ottiene:

σ = 3π

k2+(

1at− rt k2

2

)2 +π

k2+(

1as−

rsk22

)2

Per riprodurre il dato sperimentale sulla sezione d’urto totale dobbiamo am-mettere che la sezione d’urto di singoletto (il secondo termine della formulaprecedente) per collisioni n-p a bassa energia sia σs w 60b. Avendo realizza-to che la forza tra due nucleoni dipende dallo spin, dobbiamo effettivamenteadottare valori diversi di a e di r0 nel caso del singoletto e del tripletto.

6Vedere ad esempio l’appendice B di [Segre82] oppure il paragrafo 50 del testo di Schiff.7Notiamo che sin2

δ = 1/(1+ cot2 δ ).

9

Utilizzando anche i risultati8 dello scattering di neutroni su ortoidrogeno (idue protoni sono nello stato di tripletto di spin) e paraidrogeno (singolettodi spin) oltre alle misure di scattering su protoni liberi già citate, sono statiottenuti i seguenti valori delle due coppie di parametri:

Riferimento as at rt rs

Noyes (1963) -23.678 5.396 1.726 2.51Hughes et al. (1950-51) -23.67 5.40 1.74Hughes et al. (1950-51) -23.69 5.37 1.70

Shull et al. (1948) -23.5 5.20 1.6 2.7Sutton et al. (1947) -23.71 5.38 1.6

Tabella 1: Parametri dello scattering n-p a bassa energia, espressi in fm (dallaTabella 3-2 nel paragrafo 3.13 di [RoyNigam67]).

Possiamo concludere da questi dati che:

1. Lo scattering n-p dipende dallo spin9;

2. Il maggior contributo alla sezione d’urto di scattering n-p viene dallostato di singoletto di spin;

3. Il valore negativo di as indica che non esiste uno stato legato di singo-letto.

17.3 Il deutone

Esaminiamo ora le caratteristiche principali dell’unico stato legato nucleone-nucleone, ovvero il deutone:

1. Energia di legame: B = 2.225 MeV, ovvero circa 1.11 MeV/nucleone;

2. Spin-parità: JP = 1+;

8Vedere ad es. il paragrafo 12.15 di [Segre82].9La dipendenza dallo spin può venire espressa con l’operatore di scambio di spin 1/2(1+

−→σn ·−→σp) che ha autovalori +1 per lo stato di tripletto e -1 per lo stato di singoletto.

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3. Isospin: I = 0;

4. Momento magnetico: µd = 0.857 ·µN ;

5. Momento di quadrupolo elettrico: Q = 0.282 · e fm2.

L’isospin è zero perché non esistono stati legati protone-protone o neutrone-neutrone. Lo spin totale è 1 (protone e neutrone hanno spin paralleli) quindiabbiamo a che fare con un tripletto di spin. Il deutone è principalmente unostato con `= 0 ma ci deve essere una piccola mescolanza di `= 2 (notiamoche ` = 1 avrebbe la parità opposta e pertanto non si può mescolare con`= 0) per spiegare il momento di quadrupolo elettrico diverso da zero: infattiuno stato puro `= 0 avrebbe simmetria sferica, il che implicherebbe Q = 0.

Un altro indizio della presenza di `= 2 sta nel fatto che il momento di dipolomagnetico del deutone non è esattamente uguale alla somma algebrica deimomenti magnetici di protone e neutrone (in unità di magnetoni nucleari):

µd = 0.857 6= µp +µn = 2.793−1.913 = 0.880

Si trova che le proprietà del deutone possono essere giustificate con unafunzione d’onda del tipo:

|ψd >= 0.98|3S1 >+0.20|3D1 >

pertanto c’è una probabilità del 4% di trovare il deutone nello stato con `=2. Questa mescolanza può a sua volta essere spiegata da una componentetensoriale del potenziale, che dipende dalla orientazione degli spin s1 e s2rispetto al raggio vettore x che collega i due nucleoni:

VT (r)(3(s1 ·x)(s2 ·x)/r2− (s1 · s2)

)/h2

si tratta quindi di una forza non centrale, necessaria per spiegare ad esempioil momento di quadrupolo elettrico diverso da zero.

Esaminiamo ora la funzione d’onda del nucleone all’interno del deutone,in prima approssimazione consideriamo valida la simmetria sferica (` = 0).Ipotizzando per semplicità una buca di potenziale rettangolare senza noccio-lo repulsivo, vogliamo stimare la profondità della buca V e il raggio d’azione

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a; il valore sperimentale dell’energia di legame del deutone ci fornisce unvincolo sul prodotto |V |a2 che possiamo considerare una sorta di "volume"della buca di potenziale.

Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per la funzione radiale u(r) =rψ(r) nelle due regioni sono:

(r < a) uI(r) = Asinkr(r > a) uII(r) = Ce−Kr

con k e K dati da:

k =√

2m(E−V )/h (V < 0)

K =√−2mE/h =

√2m |E|/h (E =−B < 0)

e m ≈ mp/2 massa ridotta del sistema protone-neutrone10.

Imponendo la continuità di u(r) e di du/dr a r = a (limite della buca dipotenziale) si ottiene11:

k cotka =−K

ovvero una equazione trascendente che collega V (tramite k) al raggio d’a-zione a . Dato che |V | B possiamo in prima approssimazione considerare:

cotka ≈ 0, ka ≈ π/2, k2 ≈ 2m |V |/h2

da cui si ottiene l’equazione approssimata che collega la profondità dellabuca al raggio d’azione della forza nucleare:

|V |a2 ≈ π2

8(hc)2

mc2 ≈ 102 MeV · fm2

10V. anche, con una notazione un po’ diversa, il paragrafo 10.1 di [Segre82] e il paragrafo3.2 di [RoyNigam67].

11Oltre a questa equazione si ottiene anche una relazione fra le due costanti dinormalizzazione A e C .

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Valori approssimati ed esatti della profondità della buca di potenziale sonoriportati nella tabella seguente.

a (fm) |V | appross. (MeV) |V | esatto (MeV)1.0 102 1201.5 45 592.0 25.5 362.5 16 25∞ - 2.83

Tabella 2: Valori approssimati (dalla formula precedente) ed esatti (dallatabella 3-1 di [RoyNigam67]) della profondità della buca di potenziale peralcuni valori del raggio della forza nucleare.

I valori attualmente accettati per il raggio d’azione della forza nucleare, a ≈1.2 · · ·1.4 fm, implicano una profondità della buca di potenziale di circa 50MeV, molto maggiore dell’energia di legame B. Il deutone è uno stato pocolegato e non ha stati eccitati. La coda della funzione d’onda si estende adistanze dell’ordine di 1/K ≈ 4.3 fm, molto maggiori del raggio d’azione a.

Nella figure 5 è rappresentata la distribuzione di probabilità in funzione delraggio per due valori di a e V scelto in modo da mantenere il prodotto Va2

costante. I due risultati differiscono poco per grandi valori di r. Un calcolopiù accurato che tiene conto del nocciolo repulsivo del potenziale risultasensibilmente diverso da questo calcolo semplificato solo per r < 1 fm.

17.4 Ulteriori considerazioni sulla forza nucleare

In base ai risultati sperimentali sullo scattering nucleone-nucleone a bassaenergia e sulle proprietà del deutone siamo arrivati a una descrizione al-quanto complicata del potenziale internucleonico, con diversi "ingredienti".L’esame dei risultati di scattering (soprattutto p-p) a energie più elevate finoa circa 300 MeV richiede un ulteriore termine di spin-orbita (ricordiamo cheun simile termine esiste anche nel caso degli atomi). Vedremo più avanti cheil termine spin-orbita è necessario anche nel modello a gusci.

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Figura 5: Distribuzione radiale di probabilità u2(r) = r2 |ψ|2 (r) per il nucleodi deuterio, nel caso di un potenziale attrattivo di raggio d’azione a (curvatratteggiata) e per a→ 0 con valore fissato di Va2 (curva continua). Fig. 16.5di [Povh08].

Anche se diverse forme funzionali del potenziale internucleonico possonospiegare altrettanto bene le osservazioni sperimentali, esiste un consensosulla forma dei quattro termini dominanti (a fissato isospin):

V (r) = V0(r)+Vss(r)s1 · s2/h2

+VT (r)(3(s1 ·x)(s2 ·x)/r2− (s1 · s2)

)/h2

+VLS(r)(s1 + s2) ·L/h2

Cerchiamo ora di giustificare a livello qualitativo le proprietà della forza nu-cleare alla luce del modello a quark costituenti per i nucleoni e con l’idea chela forza sia trasmessa principalmente da coppie quark-antiquark. Notiamocomunque che non esiste ancora una teoria consistente della forza nuclearebasata interamente sulle interazioni di quark e gluoni descritte dalla Cro-modinamica Quantistica (QCD). Consideriamo successivamente tre aspettidella forza nucleare: la repulsione a breve distanza, l’attrazione e quello che

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dovrebbe essere il meccanismo di trasmissione della forza nell’ambito dellaQCD, ovvero lo scambio di quark-antiquark.

17.4.1 Repulsione a breve distanza

Ricordiamo che la repulsione fra due atomi che si trovino a breve distanzaè dovuta sostanzialmente al principio di Pauli applicato agli elettroni: secerchiamo di avvicinare i due atomi, al di sotto di una certa distanza frai nuclei le rispettive nubi elettroniche si dovrebbero sovrapporre e alcunielettroni dovrebbero andare a occupare stati eccitati, a spese dell’energiacinetica degli atomi.

I 6 quark in un sistema di due nucleoni obbediscono al principio di Pau-li, tuttavia sono meno vincolati degli elettroni dato che hanno due numeriquantici in più: la carica di colore, che può assumere tre valori, denominatiRed, Green e Blue, e l’isospin che può assumere due valori (la coppia diquark u e d costituisce un doppietto con isospin I = 1/2). Si possono siste-mare fino a 12 quark con numeri quantici tutti diversi nello stato `= 0 senzaviolare il principio di Pauli. Dato che la parte di colore della funzione d’ondadeve essere antisimmetrica per lo scambio di due quark12e la parte spazialeper ` = 0 è simmetrica, si deduce che la parte spin-isospin della funzioned’onda complessiva dei 6 quark deve essere simmetrica. Vediamo quindiche il principio di Pauli non può spiegare la presenza di un nocciolo repul-sivo nell’interazione nucleone-nucleone, la spiegazione deve essere cercataaltrove.

La ragione della repulsione a brevi distanze si trova nella interazione spin-spin tra quark, che aumenta l’energia potenziale quando ci sono più coppie diquark con gli spin paralleli. Se cerchiamo di sovrapporre spazialmente duenucleoni aumenterà il numero di coppie con spin paralleli e quindi l’energiapotenziale; l’energia potrebbe essere ridotta se alcune coppie di quark aves-sero spin antiparalleli, ma questo richiede una ulteriore energia per passareda ` = 0 a ` = 1, dato che per ` = 0 la funzione d’onda spin-ispospin de-ve essere simmetrica. In definitiva si manifesta una forte repulsione a cortoraggio.

12La QCD gode della proprietà di confinamento per cui gli stati osservabili corrispondentiagli adroni devono essere neutri di colore.

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17.4.2 Attrazione

Per spiegare l’attrazione tra due nucleoni in termini di quark, cerchiamo difarci guidare dall’analogia con le forze che tengono insieme gli atomi nellemolecole. Scartiamo subito l’analogia con il legame ionico, perché sappiamoche le forze responsabili del confinamento in QCD sono troppo intense perpermettere che un quark venga "prestato" a un altro nucleone.

Possiamo tentare l’analogia con la forza di Van der Waals, dovuta a una inte-razione dipolo-dipolo fra due atomi che si polarizzano e acquistano ciascunoun momento di dipolo elettrico. Ma si trova che una forza del genere dovutaa scambio di due gluoni (l’analogo dello scambio di due fotoni nel caso mo-lecolare) risulta troppo debole per spiegare la forza nucleare a distanze perle quali i due nucleoni si sovrappongono in parte e lo scambio di gluoni nonè proibito dal confinamento.

Rimane solo l’analogia con il legame covalente, responsabile per esempiodel legame tra i due atomi di idrogeno nella molecola H2. In questo casogli elettroni vengono continuamente scambiati tra i due atomi e non possonoessere assegnati a uno dei due atomi. La forza attrattiva tra nucleoni è piùforte a distanze dell’ordine di 1 fm e può effettivamente essere spiegata conl’analogo di un legame covalente assumendo che ciascun nucleone sia unsistema quark-diquark (v. figure 6). La configurazione più favorevole dalpunto di vista energetico consiste in un diquark ud con spin 0 e isospin 0(l’alternativa: spin 1 e isospin 1 non è favorita). Il legame covalente risultaquindi dallo scambio di singoli quark.

Il calcolo dettagliato della forza di attrazione dovuta al legame covalente, ba-sato sullo scambio di quark, fornisce una profondità della buca di potenzialepari solo a circa un terzo del valore sperimentale. In parte questo è dovutoal fatto che i due quark scambiati devono avere lo stesso colore, e la proba-bilità che questo avvenga è 1/3. Inoltre il contributo all’attrazione da parte diquesto legame covalente è ulteriormente ridotto dalla presenza di una partedella funzione d’onda in cui il diquark ha spin 1 e isospin 1.

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Figura 6: Rappresentazione simbolica del legame covalente in una molecoladi idrogeno (a sinistra) e in un sistema di due nucleoni (a destra). Il tempoaumenta verso l’alto. Lo scambio di elettroni nella molecola di idrogenoè analogo allo scambio di quark nel sistema di due nucleoni. Fig. 16.9 di[Povh08].

Possiamo dire pertanto che il concetto di legame covalente, trasportato dallemolecole ai nuclei, non rende conto quantitativamente di quello che succedenei nuclei, e questo non tanto per il confinamento quanto per la soppressionedello scambio di quark dovuto alle cariche di colore dei medesimi.

17.4.3 Scambio di mesoni

L’idea di spiegare la forza nucleare mediante scambio di mesoni è stata avan-zata da Yukawa nel 1935. Il mesone più leggero, ovvero il mesone π (pione),è stato confermato sperimentalmente circa 10 anni dopo (inizialmente ci fuconfusione tra il mesone π e il leptone µ , scoperto nel 1937 nei raggi cosmi-ci, che si pensava fosse il mesone di Yukawa a causa della massa non troppodiversa da quella predetta da Yukawa). Si tratta di un mesone pseudoscalarecon JP = 0− e isospin I = 1, che si presenta in tre stati di carica, π+ π0 eπ−.

Lo scambio di un mesone di massa m porta al potenziale di Yukawa:

17

V (r) = g e−mch r

r

dove g è una costante che ha il ruolo di una carica; il potenziale inizialmentedecresce all’aumentare di r come 1/r e poi decresce molto più rapidamen-te, ed ha una portata dell’ordine di h/(mc), che nel caso del pione è pari acirca 1.4 fm. Dato che la portata decresce all’aumentare della massa m , leparticelle che hanno un ruolo più rilevante nel meccanismo di scambio sono,oltre al pione, i mesoni vettori leggeri ρ e ω . Il potenziale centrale nucleone-nucleone in questo schema può essere compreso in base allo scambio di duepioni, in cui i pioni si combinano per dare numeri quantici JP(I) = 0+(0).Invece la dipendenza da spin e isospin della forza nucleare deriva dallo scam-bio di un mesone, e in particolare dal fatto che possono essere scambiati siamesoni pseudoscalari che vettoriali. I pioni sono particolarmente importantidato che essendo molto leggeri possono essere scambiati su distanze > 2fm.

Figura 7: (a) Rappresentazione dello scambio di una coppia quark-antiquarktra due nucleoni; gli antiquark sono raffigurati come quark che si muovonoall’indietro nel tempo. (b) Lo scambio di un mesone è simile allo scambiodi una coppia quark-antiquark. Fig. 16.10 di [Povh08].

Dato che secondo il modello a quark e la QCD i mesoni sono costituiti dacoppie quark-antiquark neutre di colore, lo scambio di mesoni è sostanzial-mente equivalente allo scambio di coppie quark-antiquark (v. figure 7). Cop-

18

pie virtuali quark-antiquark vengono continuamente create e distrutte daigluoni della QCD e possono essere scambiati fra due nucleoni.

Di fatto si trova che il potenziale nucleone-nucleone a distanze relativamen-te grandi è ottimamente descritto dallo scambio di un pione. A piccole di-stanze (nocciolo repulsivo) la descrizione migliore dei dati sperimentali siottiene con lo scambio di quark, mentre la spiegazione alternativa mediantescambio di mesoni ω richiede valori inaccettabilmente alti della costante diaccoppiamento mesone-nucleone. A distanze intermedie entrambi i tipi dimodello richiedono di aggiustare a mano alcuni parametri per accordarsi aidati sperimentali.

19

18 Modelli nucleari: il modello a gas di Fermi

I nuclei nel loro stato fondamentale o nei loro stati eccitati con energia dieccitazione relativamente bassa sono essenzialmente un gas di Fermi dege-nere costituito da nucleoni. La densità nucleare (praticamente costante alvariare di A) è determinata dalle caratteristiche della forza nucleare, in par-ticolare dalla forte repulsione a piccole distanze e dalla debole attrazione adistanze maggiori. I risultati sulla diffusione quasi elastica di elettroni sunuclei ci fanno capire che i nucleoni si muovono liberamente all’interno deinuclei con momenti dell’ordine di 250 MeV/c. Come abbiamo visto nel casodel deutone, il legame nucleare è debole e la distanza media tra nucleoni èsostanzialmente maggiore del raggio del nucleo repulsivo. Dopo aver esami-nato in dettaglio il modello a gas di Fermi per i nuclei, vedremo una ulterioredimostrazione del fatto che i nucleoni si possono muovere liberamente ba-sata sul fatto che una particella Λ (che sostituisce un nucleone nei cosiddettiipernuclei) si può muovere liberamente in una buca di potenziale la cui pro-fondità è indipendente dal nucleo prescelto e la cui larghezza coincide con ilraggio del nucleo.

18.1 Modello a gas di Fermi

Vogliamo dimostrare che il modello a gas di Fermi è in grado di giustifica-re le energie di legame dei nuclei e i termini più importanti della formulasemiempirica di massa, e che riproduce inoltre la distribuzione di momentimisurata con lo scattering quasi elastico di elettroni su nuclei.

I protoni e neutroni che costituiscono un nucleo sono visti come due sistemiindipendenti di fermioni (di spin 1/2) che obbediscono al principio di esclu-sione di Pauli. A parte questo vincolo, si assume che i nucleoni si possanomuovere liberamente nel volume del nucleo. Il potenziale sentito da un sin-golo nucleone è generato da tutti gli altri nucleoni, nel modello si assumeche abbia una semplice forma a buca di potenziale con pareti abbastanzaripide in corrispondenza del raggio del nucleo (v. figure 8). Il numero distati disponibili per un nucleone in un volume spaziale V e in una regione dimomento definita dall’intervallo d p è dato dal volume nello spazio delle fasidiviso per h3:

20

dn = 4π p2d p(2π h)3 ·V

A temperatura nulla, ovvero nello stato fondamentale del nucleo, il numerototale di stati occupati si trova integrando l’espressione precedente da zero aun valore massimo che indichiamo come momento di Fermi pF :

n =V p3

F6π2h3

Dato che ogni stato energetico può essere occupato da due protoni (e da dueneutroni) con spin antiparalleli, troviamo le seguenti formule per il numerodi protoni Z e il numero di neutroni N :

Z =V(pp

F)3

3π2h3 e N =V(pn

F)3

3π2h3 ,

dove con ppF e pn

F abbiamo indicato il momento di Fermi, rispettivamen-te per protoni e neutroni. Utilizzando l’espressione del volume del nucleo(supposto sferico) V = 4/3πR3 = 4/3πR3

0A , con R0 = 1.21 fm come si ricavadallo scattering di elettroni su nuclei, troviamo ad esempio per un nucleo conZ = N = A/2 il seguente valore del momento di Fermi:

ppF = pn

F = hR0

(9π

8

)1/3= 248 MeV/c ≈ 250 MeV/c .

Pertanto i nucleoni si muovono nei nuclei con momenti abbastanza grandi;il valore predetto dal modello a gas di Fermi è in buon accordo con i risultatisperimentali ottenuti mediante lo scattering quasi elastico di elettroni, tranneche per i nuclei leggeri.

L’energia dello stato occupato che si trova più in alto nella buca di potenzialeviene definita energia di Fermi e vale:

EF =p2

F2M ≈ 33 MeV,

dove M è la massa del nucleone e l’approssimazione non relativistica è giu-stificata a posteriori dal valore trovato per EF . In realtà nei nuclei con N 6= Zè necessario distinguere tra l’energia di Fermi dei neutroni e quella dei pro-toni (figure 8). La differenza di energia B′ tra la cima della buca di potenziale

21

Figura 8: Schema dei potenziali per protoni e neutroni e dei relativi livellienergetici nel modello a gas di Fermi. Fig. 17.1 del [Povh08].

e il livello occupato più alto è la stessa per la maggior parte dei nuclei e cor-risponde all’energia di legame per nucleone B/A che vale circa 7-8 MeV.L’energia di Fermi EF e conseguentemente la profondità della buca di po-tenziale V0 sono approssimativamente indipendenti dal numero di massa A:

V0 = EF +B′ ≈ 40 MeV.

Analogamente al caso del gas (di Fermi) di elettroni liberi in un metallo,l’energia cinetica è paragonabile alla profondità della buca di potenziale:questa è una indicazione che i nuclei sono sistemi debolmente legati.

Sappiamo che i nuclei medio-pesanti hanno un eccesso di neutroni. Ma illivello di Fermi per protoni e neutroni in un nucleo stabile deve essere lostesso, altrimenti il nucleo si porterebbe in una condizione energeticamentepiù favorevole mediante decadimento β+ o β−: per far posto ai neutroni ineccesso dobbiamo pertanto supporre che la buca di potenziale "sentita" daineutroni sia più profonda di quella dei protoni (v. figure 8). I protoni sonoquindi (in media) meno fortemente legati rispetto ai neutroni. Questo fattopuò essere compreso come conseguenza della repulsione Coulombiana fraprotoni che introduce un termine addizionale nel potenziale:

VC = (Z−1)α·hcR

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Possiamo calcolare nell’ambito del modello a gas di Fermi la dipendenzadell’energia di legame dall’eccesso di neutroni. Calcoliamo dapprima l’e-nergia cinetica media per nucleone (contrapposta a quella massima che èEF ):

〈Ekin〉=∫ pF

0 Ekin p2d p∫ pF0 p2d p

= 35 ·

p2F

2M ≈ 20 MeV.

L’energia cinetica totale del nucleo, differenziando fra protoni e neutroni,risulta pari a:

Ekin(N,Z) = N 〈En〉+Z⟨Ep⟩= 3

10M

(N · (pn

F)2 +Z ·

(pp

F)2)

e può essere riformulata utilizzando i risultati ottenuti in precedenza come:

Ekin(N,Z) = 310M

h2

R20

(9π

4

)2/3 N5/3+Z5/3

A2/3 .

Va notato che abbiamo assunto che i raggi delle buche di potenziale perprotoni e neutroni siano uguali. Questa energia cinetica ha, per A fissato mavariando N (e di conseguenza Z), un minimo per N = Z. Pertanto l’energia dilegame diminuirà se N 6= Z; facendo l’espansione della formula precedentein serie di potenze della differenza N−Z troviamo:

Ekin(N,Z) = 310M

h2

R20

(9π

8

)2/3(

A+ 59(N−Z)2

A + . . .)

ovvero troviamo la dipendenza funzionale dell’energia cinetica dall’eccessodi neutroni.

Il primo termine in parentesi contribuisce al termine di volume nella formulasempiempirica di massa, mentre il secondo termine descrive la correzionedovuta a N 6= Z. Questo termine di asimmetria dell’energia cinetica aumentacon il quadrato dell’eccesso di neutroni e l’energia di legame diminuisce incorrispondenza. Per riprodurre completamente il termine di asimmetria nellaformula semiempirica di massa occorre considerare anche la modifica delpotenziale per N 6= Z : quest’altra correzione è altrettanto importante dellamodifica dell’energia cinetica.

Vediamo quindi che il semplice modello a gas di Fermi, in cui i nucleoni simuovono in un potenziale medio uguale per tutti, rende plausibili i terminidi volume e di asimmetria nella formula semiempirica di massa.

23

18.1.1 Modello a gas di Fermi e stelle di neutroni

Una forma estrema di materia nucleare è quella presente nelle stelle di neu-troni. In questo caso non occorre considerare la repulsione Coulombiana.Oltre alla forza nucleare attrattiva, che porterebbe da sola a una densità paria quella ordinaria dei nuclei ρ0, occorre considerare anche la forza gravi-tazionale, per cui la densità nel centro di una stella di neutroni può essereanche 10 volte maggiore di ρ0.

Le stelle a neutroni sono residui delle esplosioni di supernovae, ovvero lostadio finale di stelle con massa compresa fra una e due masse solari. Ini-zialmente il residuo dell’esplosione di una supernova è costituito da atomi diferro, ed è sottoposto alla contrazione gravitazionale. La densità crescenteaumenta l’energia di Fermi degli elettroni per cui il decadimento β inversop+ e−→ n+νe diventa favorito mentre il decadimento β ordinario è proi-bito dal principio di Pauli applicato agli elettroni. I protoni si convertonogradualmente in neutroni, la barriera Coulombiana scompare e alla fine lastella equivale a un gigantesco nucleo composto di soli neutroni. La con-trazione ulteriore viene impedita dalla pressione di Fermi dei neutroni e siarriva a una densità di circa 1018 kg/m3; solo se la massa supera le due massesolari la gravità vince la pressione di Fermi e la stella si trasforma in un buconero.

La massa di una stella a neutroni può essere determinata da osservazioniastronomiche se essa fa parte di un sistema binario, mentre il raggio può es-sere valutato spettroscopicamente in base all’effetto Doppler gravitazionale.Tipicamente la massa è compresa fra 1.3 e 1.5 masse solari e il raggio è dicirca 10 km. Cerchiamo ora di stimare l’ordine di grandezza del raggio diuna stella a neutroni con un calcolo semplificato che assume densità costante(in realtà la densità dipende dal raggio) nel volume della stella.

Consideriamo una massa M = 3 · 1030kg (circa 1.5 masse solari) che corri-sponde a un numero di neutroni N = 1.8 ·1057. Il momento di Fermi risultauguale a:

pF =(9πN

4

)1/3 hR

e l’energia cinetica media per neutrone vale:

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〈Ekin/N〉= 35

p2F

2Mn= C

R2 dove C = 3h2

10Mn

(9πN4

)2/3.

L’aver considerato la densità costante ci porta a valutare l’energia potenzialegravitazionale media per neutrone come:

⟨Epot/N

⟩=−3

5GNM2

nR ,

dove Mn è la massa del neutrone e G la costante di gravitazione universale.La stella sarà in equilibrio se l’energia totale per neutrone assume il valoreminimo:

ddR 〈E/N〉= d

dR

[〈Ekin/N〉+

⟨Epot/N

⟩]= 0 .

Troviamo quindi il raggio di equilibrio:

R = h2(9π/4)2/3

GM3n N1/3

che corrisponde numericamente a un raggio di circa 12 km, in buon accordocon le osservazioni; troviamo anche una densità di 0.25 neutroni/fm3 , ov-vero circa 1.5 volte la densità di nucleoni all’interno di un nucleo ordinario.Questa trattazione semplificata (che non tiene conto delle variazioni di den-sità e di pressione in funzione del raggio) ci mostra comunque che il modelloa gas di Fermi è valido anche per una materia nucleare di estensione infinita,in condizioni molto diverse da quelle dei nuclei.

18.2 Ipernuclei

A temperatura zero tutti gli stati energetici più bassi sono occupati senzaeccezioni. Le interazioni fra nucleoni portano semplicemente a scambi dilivello fra due nucleoni che sono inosservabili, dato che l’energia totale nonvaria. Per questo possiamo parlare di singoli nucleoni in stati aventi valoridefiniti di energia e momento angolare; la funzione d’onda complessiva delnucleo può pertanto essere considerata il prodotto di tante funzioni d’ondadi particella singola.

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Sarebbe interessante poter studiare i livelli energetici dei singoli nucleoni setrovassimo il modo di etichettarli. Un modo elegante di farlo sperimental-mente è quello di introdurre nel nucleo un iperone (nel caso più sempliceuna particella Λ) formando in tal modo un ipernucleo. Una particella Λ

nel nucleo non può decadere per interazione forte (la stranezza è conser-vata dall’interazione forte) e quindi ha la stessa vita media del caso libero,circa 10−10 s; questo tempo è sufficiente per fare misure spettroscopiche einvestigare le proprietà degli ipernuclei.

Gli ipernuclei si possono produrre con buona resa in reazioni di scambio distranezza come:

K−+A→Λ A+π−

(il suffisso indica un ipernucleo con una singola particella Λ che ha sosti-tuito un neutrone) dove un neutrone del nucleo si trasforma in particella Λ

secondo la reazione:

K−+n→ Λ+π−.

Esperimenti di questo tipo sono stati effettuati al CERN negli anni 1970con un fascio di mesoni K di momento compreso fra 300 e 1000 MeV/c;la cinematica della reazione è particolarmente favorevole per un momentodel fascio pari a 530 MeV/c e quando i pioni vengono osservati a un angolodi produzione di 0, dato che in questo caso non vi è momento trasferitoal nucleo. In ogni caso, nell’intervallo di momenti citato in precedenza peril fascio, il momento trasferito al nucleo è piccolo rispetto al momento diFermi, per cui il nucleo si può ritenere praticamente indisturbato.

Se la reazione di scambio stranezza avviene con un neutrone legato al nucleoe anche la particella Λ rimane legata nell’ipernucleo, possiamo mettere inrelazione la differenza tra le energie cinetiche del K e del π con la differenzafra le energie di legame nel nucleo ordinario e nell’ipernucleo:

BΛ = Bn +Eπ −EK +(MΛ−Mn) · c2 + energia di rinculo

Nella figure 9 vediamo lo spettro di energia dei pioni prodotti nella reazionesopra indicata su un nucleo di 12C; lo spettro viene rappresentato diretta-mente in funzione dell’energia di legame BΛ. Il valore di Bn da sostituire

26

nella formula precedente è stato preso dal valore sperimentale dell’energiadi separazione di un neutrone per il 12C .

Nella figura si osserva un chiaro picco a BΛ = 0 e un secondo picco con menoeventi a 11 MeV. Questa osservazione può essere interpretata come segue:la sostituzione di un neutrone del nucleo con una particella Λ libera unacerta energia che viene data al pione, questa energia può venire soltanto dallegame nucleare. La spiegazione è questa: il principio di Pauli proibisce a unprotone o a un neutrone di occupare un livello di energia più basso, perchéquesto è già occupato da un fermione della stessa specie. Se trasformiamoun neutrone in una particella Λ, questa può occupare uno stato qualsiasi; laparticella Λ non interagisce individualmente con i singoli nucleoni ma senteun potenziale medio creato da tutti i nucleoni. Bisogna però fare attenzioneal fatto che il potenziale sentito dalla Λ è meno profondo di quello sentito daun neutrone, perché l’interazione Λ-nucleone è più debole (infatti non esisteuno stato legato tra la Λ e un singolo nucleone).

Fatte queste considerazioni possiamo capire lo spettro dei pioni mostrato infigure 9: protoni e neutroni nel nucleo originale di carbonio occupano glistati 1s e 1p; se un neutrone del livello 1p si trasforma in una Λ, questa puòandare a occupare ancora uno stato 1p e in questo caso la sua energia dilegame risulta vicina allo zero. Se invece la Λ va ad occupare uno stato 1s,l’energia di legame risulta pari a circa 11 MeV: ci troviamo di fronte allostato fondamentale dell’ipernucleo 12

ΛC.

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Figura 9: Spettro dei pioni ottenuti dalla reazione K−+12C→ π−+12Λ

C conK− di momento 720 MeV/c. Il tasso di conteggio di pioni emessi a 0 èraffigurato in funzione dell’energia trasferita BΛ che può essere interpretatacome l’energia di legame della Λ nel nucleo. Fig. 17.3 del [Povh08].

Gli stati a una particella per la Λ possono essere identificati ancora più chia-ramente in nuclei più pesanti. Studi sistematici hanno fornito le energie dilegame degli stati 1s e degli stati eccitati p, d e f come mostrato in figure 10.Si vede che gli iperoni Λ occupano livelli energetici discreti con energie dilegame crescenti con il numero di massa A . Le curve mostrate in figurasono il risultato di calcoli effettuati con una buca di potenziale di profonditàcostante V0 ≈ 30 MeV (ridotta rispetto ai 40 MeV per i nucleoni) e una di-pendenza da A del raggio nucleare del tipo R = R0A1/3; la scala delle ascisseA−2/3 corrisponde quindi a R−2 ed è stata scelta perché BΛR2 è all’incircacostante per stati con gli stessi numeri quantici.

28

Figura 10: Energia di legame delle Λ negli ipernuclei in funzione del nume-ro di massa A elevato a potenza −2/3. La notazione sΛ, pΛ e dΛ si riferisceallo stato della Λ nel nucleo. I cerchi pieni sono dati sperimentali, i trian-goli collegati da linee tratteggiate sono predizioni teoriche. Fig. 17.4 del[Povh08].

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19 Modelli nucleari: il modello a gusci

Il modello a gusci del nucleo, basandosi sull’analogia con la fisica atomica,cerca di descrivere il nucleo assegnando una forma esplicita alle funzionid’onda dei singoli nucleoni; nella versione più semplice del modello, un sin-golo nucleone si trova immerso nel potenziale medio dovuto a tutti gli altrinucleoni. Il modello a gusci cerca innanzitutto di spiegare alcune forti di-scontinuità di proprietà nucleari quali l’energia di legame per nucleone, lasezione d’urto di cattura di neutroni e l’energia di separazione di un neu-trone, che sono state osservate in corrispondenza di certi numeri "magici"di protoni o neutroni. È più accurato rispetto al modello a gas di Fermi,grazie all’utilizzo di un potenziale più realistico (rispetto alla semplice bucarettangolare), con un termine di spin-orbita che ha importanti conseguenzesui livelli energetici predetti. Infine, una versione modificata del modello agusci dimostra che l’interazione nucleone-nucleone è in grado di spiegareanche la forma (spesso non sferica) dei nuclei.

19.1 Il modello a gusci

La spettroscopia degli ipernuclei ci ha insegnato che il concetto di un nu-cleone che occupa un livello di energia ben definita è valido. L’esistenza dilivelli discreti ci ricorda il caso degli elettroni che si muovono nel potenzialeCoulombiano (centrale) generato dal nucleo di carica Ze, solo che nel casodel nucleo non c’è un centro vero e proprio ma piuttosto ciascun nucleone simuove nel potenziale generato da tutti gli altri. Sia nel caso degli elettroninell’atomo che in quello dei nucleoni nel nucleo, il riempimento dei livellienergetici è regolato dal principio di esclusione di Pauli.

19.1.1 I numeri magici

Nel caso dell’atomo possiamo calcolare (in alcuni casi con metodi analiti-ci, per esempio per gli atomi idrogenoidi, in tutti gli altri casi risolvendonumericamente l’equazione di Schrödinger) le energie dei livelli e troviamoche si possono raggruppare i livelli vicini in gruppi (detti gusci), chiaramenteseparati da altri gruppi di livelli. Alcuni atomi (i gas nobili) sono eccezional-mente stabili e hanno energie di ionizzazione particolarmente elevate, dato

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che hanno gusci completamente riempiti e il successivo livello energetico,disponibile per eccitare un elettrone del guscio più esterno, è ben separatodal livello normalmente occupato dall’elettrone.

Sembra che possiamo fare lo stesso nel caso del nucleo. Infatti, i nuclidicon certi numeri di protoni o neutroni sono particolarmente stabili: questicosiddetti numeri magici sono 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126. Se un nucleoha un numero magico di neutroni per esempio, l’energia di separazione diun neutrone (Sn) è molto alta, viceversa un nucleo con un neutrone in piùrispetto al numero magico ha una energia di separazione decisamente piùbassa. I nuclei con un numero magico di protoni o neutroni hanno un numeroinusualmente alto di isotopi stabili o a lunga vita media. Inoltre si trovache serve una grande energia per eccitare i nuclei con un numero magico diprotoni o neutroni (v. figure 11).

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Figura 11: Energia E1 del primo stato eccitato dei nuclei pari-pari. Notareche essa è particolarmente elevata per numeri "magici" di protoni o neutroni.Gli stati eccitati hanno generalmente spin e parità dati da JP = 2+. I nucleisopra indicati fanno eccezione alla regola e presentano valori pari a: 0+,3− e 1−. L’energia E1 è tanto minore quanto più ci si allontana dai numerimagici, ed è generalmente più piccola per i nuclei più pesanti. Fig. 17.5 di[Povh08].

I nuclei doppiamente magici, con Z e N uguali a uno dei numeri magici,sono ancora più stabili; si tratta dei nuclei seguenti:

42He, 16

8 O, 4020Ca, 48

20Ca, 20882 Pb.

La spiegazione dell’esistenza dei numeri magici è stata storicamente il pri-mo obiettivo del modello a gusci. Per affrontare questo modello dobbiamocome prima cosa cercare una forma adatta del potenziale medio visto da unnucleone, che sia capace di riprodurre la disposizione dei livelli energetici.

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19.1.2 Autostati di un nucleone nel potenziale medio nucleare

La funzione d’onda di un nucleone nel potenziale nucleare (considerato asimmetria sferica) è costituita - esattamente come nel caso atomico - da duecomponenti, radiale e angolare, caratterizzate da diversi numeri quantici: laparte radiale Rn`(r) è funzione solo del modulo del raggio, la parte angola-re Y`m(θ ,ϕ) dipende solo dalla direzione specificata dai due angoli θ e ϕ .L’energia En` dello stato stazionario non dipende dal numero quantico m (inassenza di campi magnetici) ma solo dai due numeri quantici n e `, e datoche m può assumere tutti i valori compresi tra −` e `, un livello energeticoidentificato dalla coppia di numeri quantici n` corrisponde in realtà a 2`+1stati con la stessa energia: si parla di stato (2`+ 1) volte degenere. Datoinoltre che un nucleone ha spin 1/2 e due possibili orientazioni dello stesso,la degenerazione effettiva dei livelli è 2(2`+1).

Il numero quantico principale n corrisponde al numero di nodi della funzioned’onda radiale, aumentato di uno, mentre il numero quantico ` corrispondeal momento angolare orbitale. Anche nel modello a gusci si usa la notazionespettroscopica per gli stati di singola particella dei nucleoni, con n indicatodal rispettivo numero intero e ` indicato invece per tradizione con le lettere s,p, d, f , g, h, . . . La parità della funzione d’onda dipende dalla parte angolareY`m e vale (−1)`.

Dato che la forza nucleare è a corto raggio, la forma del potenziale medio de-ve seguire abbastanza fedelmente la distribuzione di densità di nucleoni, chedipende dal numero di massa: questa distribuzione è approssimativamentegaussiana per nuclei leggeri e ha la forma di una funzione di Fermi (sferacon superficie diffusa) per nuclei pesanti. Prima di introdurre un potenzialeadatto allo scopo, esaminiamo la struttura dei livelli energetici in due casilimite, per i quali l’equazione di Schrödinger è risolubile in forma analitica:

• la buca di potenziale quadrata di profondità V0,

• il potenziale dell’oscillatore armonico V (r) = 1/2Mω2r2.

Ci aspettiamo di arrivare a riprodurre la struttura dei livelli, e in particolare inumeri magici, interpolando fra questi due casi estremi.

Nel primo caso il potenziale è definito come:

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V (r) = −V0 per 0 < r < R,V (r) = 0 per r > R.

Le autofunzioni di una particella in una buca di potenziale di altezza finita sipossono in realtà calcolare solo con metodi numerici, ma per stati legati conenergia totale E < 0 non troppo vicina allo zero si possono approssimare lefunzioni d’onda con quelle ottenute nel caso (risolubile analiticamente) delpotenziale con pareti infinitamente alte13: si trova la successione di autostatiindicata nella tabella seguente. Il primo livello (partendo dal basso) è 1s condegenerazione 2, seguito dal livello 1p con degenerazione 6, dal livello 1dcon degenerazione 10 e così via.

n` 2(2`+1) somma n` 2(2`+1) somma1s 2 2 1p 6 81d 10 18 2s 2 201f 14 34 2p 6 401g 18 58 2d 10 683s 2 70 1h 22 922f 14 106 3p 6 1121i 26 138 2g 18 156

Tabella 3: Sequenza di livelli energetici predetta nel caso di buca quadratadi potenziale. La terza e la sesta colonna indicano il numero cumulativo distati occupati da neutroni (o protoni) a gusci completamente riempiti.

Contando il numero complessivo di stati ad ogni chiusura di guscio, vediamoche la buca quadrata di potenziale riproduce i primi numeri magici 2, 8 e20 (assumendo che i livelli 1d e 2s siano molto vicini), ma fallisce per isuccessivi (28, 50, 82, 126).

I livelli energetici previsti dal potenziale dell’oscillatore armonico in tredimensioni14 hanno energia data da:

Enl = hω(2n+ `− 1/2) = hω(N + 3/2) (n = 1,2,3, . . . ; `= 0,1,2, . . .)13V. ad esempio la discussione nel paragrafo 7.2 di [RoyNigam67].14Ricordiamo che in una dimensione i livelli sono dati da EN = hω(N + 1/2).

34

avendo definito un nuovo numero quantico N = 2n+ `−2. Anche in questocaso la degenerazione corrispondente a un dato valore di ` è 2(2`+ 1), magli autostati con n e ` diversi corrispondenti allo stesso valore di N, ovveroallo stesso valore di 2n+ `, hanno la stessa energia. Considerando le diversecombinazioni di n e ` che portano allo stesso valore di N (il calcolo va fattoseparatamente per N pari e dispari), si trova la sequenza di livelli indicatanella tabella seguente. Per esempio, gli stati 2s e 1d hanno esattamente lastessa energia, in contrasto con il caso precedente della buca quadrata dipotenziale.

N = 2n+ `−2 stati nl degeneri numero dinucleoni

numero cumulato dinucleoni

0 1s 2 21 1p 6 82 2s, 1d 12 203 2p, 1f 20 404 3s, 2d, 1g 30 705 3p, 2f, 1h 42 1126 4s, 3d, 2g, 1i 56 168

Tabella 4: Sequenza di livelli energetici predetta nel caso di potenziale dioscillatore armonico. La quarta colonna indica il numero cumulativo di statioccupati da neutroni (o protoni) a gusci completamente riempiti.

Anche in questo caso sono riprodotti i primi tre numeri magici ma non isuccessivi. Visti questi risultati sono state proposte varie forme funzionalidi potenziale centrale - tra cui quella di Woods e Saxon15 - per arrivare ariprodurre tutti i numeri magici, ma senza successo.

19.1.3 Il potenziale spin-orbita

Le difficoltà nel predire i numeri magici furono superate nel 1949 con laproposta (Mayer; Haxel, Jensen e Suess) di aggiungere al potenziale centra-le usato fino ad allora un potenziale spin-orbita che accoppia lo spin s del

15Il potenziale di Woods e Saxon ha la forma V (r) =−V0/[1+ e(r−R)/a

].

35

nucleone al suo momento angolare orbitale `16. Il potenziale complessivopuò essere scritto nella forma seguente:

V (r) =Vcentr(r)+V`s(r)〈`·s〉h2

La composizione del momento angolare orbitale ` e dello spin s del nucleoneproduce un momento angolare totale jh = `h± h/2, il valore atteso 〈` · s〉 sipuò calcolare in base ai valori attesi di j2, `2 e s2 e risulta pari a:

〈`·s〉h2 = j( j+1)−`(`+1)−s(s+1)

2 =

`/2 per j=`+1/2−(`+1)/2 per j=`−1/2

Si ha quindi una separazione di livelli energetici che rimuove parte delladegenerazione, in effetti l’energia ora dipende non solo dalla combinazionen` ma anche dalle due possibilità per j. L’energia di separazione tra i livellicresce con il momento orbitale angolare:

∆E`s =2`+1

2 · 〈V`s(r)〉

Sperimentalmente si trova che il valor medio di V`s(r) è negativo, il chevuol dire che il livello j = `+ 1/2 si trova al di sotto del livello j = `− 1/2

(tra l’altro, in opposizione a quanto succede nell’atomo). A questo punto ènaturale distinguere i due livelli aggiungendo un suffisso j al simbolo n`: peresempio il livello 1f si separa in un livello 1f7/2e in uno 1f5/2. Il livello n` j hadegenerazione pari a (2 j+1).

In figure 12 vediamo la sequenza di stati ottenuta con il potenziale sopraindicato, nel quale la separazione spin-orbita è stata adattata ai dati speri-mentali separatamente per ogni guscio n`. I livelli più bassi 1s, 1p, 1d+2ssono ben separati fra loro e spiegano i primi numeri magici 2, 8 e 20 comeperaltro abbiamo ottenuto in precedenza con i due potenziali puramente cen-trali. Per il guscio 1f tuttavia la separazione spin-orbita è abbastanza grandeda creare un intervallo notevole al di sopra dello stato 1f7/2, che rende contodel successivo numero magico 28. In modo analogo vengono giustificati inumeri magici 50, 82 e 126.

16In questa sezione s e ` non sono adimensionali ma hanno dimensioni di momentoangolare e vanno distinti dai numeri quantici s e `.

36

Figura 12: Livelli energetici di particella singola calcolati con il potenzialecentrale e l’aggiunta del potenziale spin-orbita. I numeri magici appaionoquando l’intervallo tra successivi gusci energetici è particolarmente grande.Fig. 17.6 di [Povh08].

Vediamo pertanto che esiste una differenza notevole nel ruolo dell’accop-piamento spin-orbita tra il nucleo e l’atomo: nel primo caso la separazioneintrodotta dall’accoppiamento è del tutto simile alla separazione tra gli statin`, mentre nel secondo caso la separazione produce piccole correzioni del-l’ordine di α2 che danno luogo alla cosiddetta struttura fine degli spettri ato-mici. Storicamente la scoperta di questo ruolo così importante del potenziale

37

spin-orbita per i nuclei ha rappresentato una grande sorpresa.

19.1.4 Stati a una particella e stati a una buca

Il modello a gusci ha avuto grande successo nello spiegare i numeri magicie le proprietà di quei nuclei che hanno un nucleone in più (oppure in meno)rispetto alla chiusura di un guscio. I nuclei con numero di massa compre-so fra 15 e 17 ne sono un ottimo esempio (in effetti, si tratta del caso piùfavorevole al modello nel confronto con i dati sperimentali). Il loro statofondamentale e gli stati eccitati sono rappresentati in figure 13. Ricordiamoche 15N e 15O (a sinistra nella figura) sono due nuclei speculari nel sensoche il numero di protoni dell’uno è uguale al numero di neutroni dell’altro eviceversa. I loro livelli energetici sono molto simili, sia per l’energia sia peri numeri quantici di spin e parità. Questa è una conseguenza della simme-tria di isospin rispettata dalla forza nucleare; le piccole differenze di energiapossono essere interpretate come effetti elettromagnetici.

38

Figura 13: Livelli energetici dei nuclei 15N , 15O, 16O, 17O, e 17F . L’asseverticale corrisponde all’energia di eccitazione con le energie di tutti gli sta-ti fondamentali poste uguali, non sono quindi mostrate le differenze fra leenergie di legame di questi nuclei. Fig. 17.7 di [Povh08].

Mentre i livelli energetici del nucleo di 16O (al centro nella figura) non asso-migliano a quelli dei vicini, i nuclei 17O e 17F (a destra nella figura) sono aloro volta nuclei speculari e presentano uno schema di livelli estremamentesimile. È notevole inoltre il fatto che l’energia del primo stato eccitato (v.anche figure 11) è molto più grande nei nuclei con A = 15 e A = 16 rispettoa quelli con A = 17.

Questi schemi di livelli possono essere ben spiegati dal modello a gusci. Ilnucleo (doppiamente magico) 16O ha 8 protoni e 8 neutroni: nello stato fon-

39

damentale i livelli 1s1/2,1p3/2e 1p1/2 sono completamente riempiti, sia per iprotoni che per i neutroni. Proprio come in fisica atomica, i momenti ango-lari delle particelle in un guscio completo hanno somma zero e la parità èpositiva, pertanto lo stato fondamentale di 16O ha numeri quantici JP=0+.

Poichè l’intervallo di energia tra il livello 1p1/2 e il successivo livello 1d5/2 ènotevole (circa 10 MeV) non ci sono stati eccitati facilmente raggiungibili.

I due nuclei con A = 17 hanno entrambi un singolo nucleone in più nel li-vello 1d5/2 per cui spin e parità di questi nuclei dipendono esclusivamenteda questo singolo nucleone. Siccome il guscio successivo 2s1/2 si trova pocosopra il guscio 1d5/2, bastano 0.5 MeV per eccitare questo singolo nucleonenel caso del 17F . I numeri quantici del nucleo cambiano da 5/2+ a 1/2+ inquesta transizione; successivamente il nucleo si diseccita elettromagnetica-mente tornando allo stato fondamentale. Il successivo guscio 1d3/2 si trovacirca 5 MeV al di sopra del guscio 1d5/2 e pertanto serve questa energia perraggiungere questo particolare stato eccitato che ha JP = 3/2+.

I due nuclei con A= 15 hanno entrambi un nucleone in meno nel guscio 1p1/2

nel loro stato fondamentale rispetto al guscio pieno. Si parla di stato a unabuca e si indica con la notazione 1p−1

1/2: i numeri quantici della buca sono

quelli del nucleo, pertanto gli stati fondamentali di questi due nuclei conA = 15 sono JP = 1/2− (la parità è negativa perché ` = 1). Se un nucleonedal guscio 1p3/2 viene eccitato e va ad occupare la buca nel guscio 1p1/2, sicrea una buca nel guscio 1p3/2: pertanto lo stato eccitato del nucleo ha numeriquantici JP = 3/2−.

20 Momenti magnetici ed elettrici dei nuclei

Poichè i nuclei hanno al loro interno cariche elettriche in moto, la loroenergia dipende dai campi elettrici e magnetici in cui essi possono venir-sci a trovare. Tale dipendenza mette in evidenza alcuni semplici parametridell’intero nucleo.

I nuclei possono essere sottoposti a campi sia di origine esterna che dovutiagli elettroni dell’atomo all’interno del quale si trova il nucleo. I campi ma-gnetici dell’atomo sono diretti lungo il momento angolare totale dell’atomo,

40

il momento magnetico nucleare è invece diretto lungo il vettore del momen-to angolare del nucleo. Sia i campi magnetici esterni che quelli interni sonoimportanti. Quelli esterni possono essere controllati con grande precisione,quelli interni sono noti con minore precisione ma sono più intensi.

20.1 Momento magnetico

Se una particella di massa m si trova in moto rotatorio su una circonferenzadi raggio r, questa possiede un momento angolare:

L = mωr2

Se la particella è carica ad essa è associato anche un momento magnetico:

µ = i ·A = qνπr2 =12

qvr

Il rapporto giromagnetico viene definito come il rapporto tra momento ma-gnetico e momento angolare (dipende da quanto la distribuzione di caricadifferisce da quella di massa). Se, come nel caso precedente, la distribuzionedi carica e massa coincidono questo vale:

γ =µ

L=

qνπr2

mωr2 =qνπ

m2πν=

q2m

Il magnetone di Bohr viene definito come il modulo del momento magne-tico di un elettrone con momento angolare orbitale pari ad uno:

µB =eh

2me' 9.274 ·10−24 J·T−1

Il magnetone nucleare viene definito in modo analogo come:

µN =eh

2mp' 5.051 ·10−27 J·T−1

ed è circa 2000 volte più piccolo del magnetone di Bohr.

Per quanto riguarda l’elettrone che ha anche un momento angolare di spin:

µs = gs−e2m

12

h

41

Secondo la teoria di Dirac il fattore gs per l’elettrone (che è considerata unaparticella elementare) deve valere 2. Sperimentalmente si discosta legger-mente da questo valore e l’effetto è calcolabile in QED. Le misure più recentiriportano [pdg2010]:

g−22

= 1.15965218073(28) ·10−3

In analogia al fattore gs possiamo introdurre un fattore g` = 1 legato almomento angolare orbitale. In generale:

γ = ge

2mdove g viene detto fattore di Landè e quindi:

~µ = ge

2m~J

Per quanto riguarda il moto orbitale, per protone e neutrone:

µ`p = 1 µN µ

`n = 0 µN

Per quanto riguarda lo spin:

µsp ' 2.79 µN µ

sn '−1.91 µN

I due fattori valgono quindi gsp ' 5.58 e gs

n ' −3.82. Dal punto di vista delmomento magnetico il protone e il neutrone quindi non possono essere con-siderate particelle elementari. In particolare il neutrone non avendo caricaelettrica non dovrebbe avere un momento magnetico. Il fatto che sia diversoda zero vuole dire che ha una stuttura interna.

20.2 Momento magnetico nucleare

20.2.1 Indicazioni sperimentali

Sperimentalmente si osserva che nuclei con A anche molto grande tendo-no ad avere, nel loro stato fondamentale, uno spin relativamente piccolo.Si osserva anche che tutti i nuclei pari-pari nello stato fondamentale hannospin e momento magnetico nullo. Possiamo quindi pensare che l’interazio-ne nucleare faccia in modo che i momenti angolari delle coppie di nucleoniidentici si annullino a due a due in modo da dare come risultante uno spinzero e quindi un momento magnetico nullo.

42

20.2.2 Momenti magnetici

Il momento magnetico nucleare viene espresso come la somma di tutti imomenti magnetici orbitali (per i protoni) e di spin (per tutti i nucleoni):

~µ j =eh

2mm

1 ·

Z

∑k=1

~k +gsp·

Z

∑k=1

~sk,p +gsn·

N

∑k=1

~sk,n

Il momento angolare totale del nucleo è invece dato dalla somma di tutti imomenti angolari orbitali e di spin:

~J =A

∑k=1

~k +A

∑k=1

~sk

I coefficienti che moltiplicano ~k e ~sk sono diversi nelle due formule. Neconsegue che ~µ j e ~J non sono paralleli fra di loro.

Anche considerando i soli protoni il fatto che gsp sia diverso da 2 fa sì che i

due vettori non siano paralleli. I neutroni complicano ancora le cose perchèsono neutri e quindi il loro momento angolare orbitale non contribuisce almomento magnetico.~J d’altronde rimane sempre una costante del moto e i numeri quantici as-sociati a ~J sono dei buoni numeri quantici. Non è così per ~µ j, non è unbuon numero quantico, non è conservato. Un buon numero quantico è inve-ce la proiezione di ~µ j su ~J che possiamo indicare con µ j (senza il segno divettore).

20.2.3 Momenti magnetici per i nuclei con A dispari

Possiamo supporre che il nucleo sia costituito da un core pari-pari che haspin e momento magnetico nulli e che il momento magnetico del nucleo siadovuto esclusivamente al nucleone spaiato. Quindi possiamo scrivere che:

~J =~L+~S = ~+~s

e quindi per il momento magnetico:

µ j = g`~L · ~J

J+gs

~S · ~JJ≡ g jJ

43

dove g` e gs dipendono dl fatto che il nucleone spaiato sia un protone oppureun neutrone:

Protone Neutroneg` 1 0gs 5.586 -3.826

Proviamo quindi a calcolare:

g j = g`~L · ~JJ2 +gs

~S · ~JJ2

Per fare questo valutiamo L2:

L2 =~L ·~L =(~J−~S

)·(~J−~S

)= J2 +S2− ~J ·~S−~S · ~J =

= J2 +S2−(~L+~S

)·~S−~S ·

(~L+~S

)= J2 +S2−2~S ·

(~L+~S

)=

= J2 +S2−2~S · ~J

perchè~L ed ~S commutano visto che sono operatori su spazi di Hilbert diffe-renti. E da questo otteniamo:

~S · ~J =J2 +S2−L2

2

Similmente valutiamo S2:

S2 =~S ·~S =(~J−~L

)·(~J−~L

)= J2 +L2−2~L · ~J

~L · ~J =J2 +L2−S2

2Da cui:

g j = g`J2 +L2−S2

2J2 +gsJ2 +S2−L2

2J2

e passando agli autovalori:

g j = g`j ( j+1)+ `(`+1)− s(s+1)

2 j ( j+1)+gs

j ( j+1)+ s(s+1)− `(`+1)2 j ( j+1)

44

Nel caso della composizione di un momento angolare orbitale con uno spin1/2 abbiamo due casi: j = `+ 1

2 e j = `− 12 . Sostituendo nell’espressione

precedente, con un po’ di calcoli si ottiene:

µ j =

g`±

12`+1

(gs−g`)

j

dove per j = `± 12 .

Mettendo in un grafico i valori di µ j in funzione di ` per i due valori di j siottengono le cosiddette “curve di Schmidt”. I dati sperimentali non cadonoesattamente sulle linee, come predetto dal modello a strati, ma sono compresitra di esse. Comunque è già notevole che la teoria riesca a fornire un accordocome quello descritto.

20.2.4 Momenti magnetici predetti dal modello a gusci

Possiamo considerare alcuni esempi.

Sperimentalmente il momento magnetico del nucleo 16O è zero, un fatto chetorna perfettamente con il modello a gusci perché in un guscio completo siai momenti angolari orbitali sia gli spin hanno somma zero.

I nuclei con A = 15 e A = 17 hanno momenti magnetici determinati in buonamisura dal solo nucleone in più o in meno. Considerando il contributo diquesto singolo nucleone, sia per la parte di momento angolare orbitale siaper la parte di spin, si ottengono i valori indicati in table 5, che presentanoun buon accordo con i dati sperimentali.

Nucleo stato JP modello esperimento15N p-1p−1

1/21/2− -0.264 -0.283

15O n-1p−11/2

1/2− +0.638 +0.71917O n-1d5/2

5/2+ -1.913 -1.89417F p-1d5/2

5/2+ +4.722 +4.793

Tabella 5: Momenti magnetici sperimentali (in unità del magnetone nucleareµN) e predizioni del modello a gusci per nuclei con A = 15 e A = 17.

45

Figura 14: Figura 6.34 di [Segre82]46

20.3 Momenti elettrici dei nuclei

20.3.1 Energia del nucleo nel campo elettrico atomico

Consideriamo il nucleo immerso nel campo elettrico generato dagli elettroniatomici e consideriamo come direzione l’asse di quantizzazione z. Il camponella zona in cui si trova il nucleo ha simmetria cilindrica intorno all’assedi quantizzazione. Possiamo considerare che non vi sia una componente delcampo costante in funzione di z altrimenti il nucleo non potrebbe trovarsi inuna posizione di equilibrio. Quindi possiamo considerare:

Ez =∂Ez

∂ z

∣∣∣∣z=0

z = Fz

Poichè le cariche che generano il campo elettrico sono esterne al nucleo sideve avere che:

∇ ·~E =∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂ z

∣∣∣∣z=0

= 0

Poichè il campo ha simmetria cilindrica questo implica che:

∂Ex

∂x=

∂Ey

∂y=−1

2∂Ez

∂ z=−1

2F

e quindi:

Ex =−12

Fx ; Ey =−12

Fy

Il potenziale ϕ (x,y,z) del campo elettrostatico

~E =

(−1

2Fx,−1

2Fy,Fz

)può essere ricavato dalle relazioni:

Ex =−∂ϕ

∂x, Ey =−

∂ϕ

∂y, Ez =−

∂ϕ

∂ z

per cui si ottiene:

ϕ =14

Fx2 +14

Fy2− 12

Fz2 =−14

F(2z2− x2− y2)=

47

=−14

F(3z2− r2)

L’energia potenziale elettrostatica del nucleo in questo campo elettrico è datada:

W =∫

vϕ (x,y,z)ρ (x,y,z)dV

e poichè ρ = e∣∣ψp (x,y,z)

∣∣2 si ha:

W =−14

Fe∫

v

(3z2− r2)∣∣ψp (x,y,z)

∣∣2 dV

Il valore:

Q0 =∫

v

(3z2− r2)∣∣ψp (x,y,z)

∣∣2 dV =⟨3z2− r2⟩

viene detto momento di quadrupolo elettrico del nucleo ed è misurato in cm2

oppure in barn17. Per una distribuzione sferica di cariche i valori medi di x2,y2 e z2 sono uguali: ⟨

x2⟩= ⟨y2⟩= ⟨z2⟩= 13⟨r2⟩

per cui Q0 si annulla. I nuclei sferici cioè hanno momento di quadrupoloelettrico nullo. Se invece si ha che

⟨z2⟩> 1

3

⟨r2⟩ si ha che Q0 > 0, l’altezza

quadratica media è cioè maggiore del raggio quadratico medio. Si dice cheil nucleo ha una forma a sigaro o prolata. Se

⟨z2⟩ < 1

3

⟨r2⟩ il nucleo ha la

forma di un disco (o lente) o anche detta oblata.

L’espressione ottenuta in precedenza è semiclassica. Una trattazione quanti-stica porta a considerare che per un nucleo con J = 0 non esistono direzioniprivilegiate, quindi il momento di quadrupolo elettrico è nullo. La mecca-nica quantistica conduce a definire il momento di quadrupolo elettrico perJ > 0 come:

Q =2J−12J+1

Q0

17N.B. Poichì nel nucleo vi sono Z protoni si ha che:∫v

∣∣ψp (x,y,z)∣∣dV = Z

48

Questo mostra che per J = 12 il momento di quadrupolo si annulla, qualun-

que sia il valore di Q0. Per J molto grande il risultato quantistico si av-vicina a quello classico e cioè Q ≈ Q0. I momenti di quadrupolo elettricosperimentali sono compresi tra −1barn e 8barn.

20.3.2 Perchè per j = 12 il momento di quadrupolo elettrico è nullo

Come detto in precedenza si sceglie come asse privilegiato (z) quello diquantizzazione del momento angolare e nel caso di j = 1

2 avremo jz = ±12 .

Possiamo scrivere:

z =~r · ~J

J=

xJx + yJy + zJz

JFacendone il quadrato otteniamo:

z2 =x2J2

x + y2J2y + z2J2

z + xyJxJy + xzJxJz + yzJyJz + xyJyJx + xzJzJx + yzJzJy

h2 j( j+1)

Passando ai valori medi e ricordando le proprietà dei momenti angolari equelle delle matrici di Pauli18 si ha che:

J2x + J2

y + J2z = j ( j+1) h2 =

34

h2

18Per j = 12 i momenti angolari:

Ji = εi jkx j pk

sono rappresentati dalle matrici di Pauli:

Ji =h2

σi

dove:

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)Per cui valgono sia le proprietà dei momenti angolari:

[Ji,J j] = ihεik jJk ;[Ji,J2]= 0

sia quelle particolari delle matrici di Pauli:σi,σ j

= δi jI da cui: σ

2i = I

49

J2x = J2

y = J2z =

14

h2

JxJy + JyJx = JxJz + JzJy = JyJz + JzJy = 0

ed eliminando gli h:

z2 =14

(x2 + y2 + z2)

34

=r2

3

e questo ha come conseguenza che:⟨3z2− r2⟩= 0

20.4 Nuclei deformati

Il modello a gusci considera i nuclei a simmetria sferica e questa è una buonaapprossimazione per i nuclei con valori di Z e N abbastanza vicini ai numerimagici, ovvero con gusci quasi chiusi. Se prendiamo in considerazione nu-clei con gusci pieni solo a metà, ci aspettiamo che essi siano deformati e chepertanto il potenziale non sia a simmetria sferica. A partire dalla metà deglianni 1930 i dati di spettroscopia nucleare avevano fatto intuire che alcuninuclei potevano essere deformati, in particolare alcuni nuclei presentavanoun momento di quadrupolo elettrico diverso da zero.

Classicamente il momento di quadrupolo elettrico di una distribuzione conti-nua di carica con densità ρ(x) si può calcolare nel modo seguente, indicandocon z la direzione dell’asse di simmetria del nucleo:

Q =∫ (

3z2− x2)ρ(x)dV

Considerando per esempio un ellissoide di rotazione con diametro 2a lungol’asse z e diametri 2b lungo gli altri due assi, con densità di carica costantenel volume dell’ellissoide, si ottiene:

Q = 25Ze

(a2−b2).

50

Per piccole deviazioni dalla forma sferica si usa definire il raggio medio〈R〉 =

(ab2)1/3 e la differenza tra i due semiassi 4R = a− b, e si trova19

che il momento di quadrupolo è proporzionale al parametro di deviazioneadimensionale δ = ∆R/〈R〉 :

Q = 45Ze〈R〉2 δ .

Si introduce poi il momento di quadrupolo ridotto che serve a confrontare inmodo più significativo nuclei aventi carica e numero di massa anche moltodiversi: è la quantità adimensionale definita come (secondo la definizionedel Povh, per il segre

Qrid = QZe〈R〉2

.

I dati sperimentali per i momenti di quadrupolo ridotti sono mostrati in fi-gure 15. Sono esclusi i nuclei pari-pari perché la meccanica quantisticaesclude20 momenti di quadrupolo elettrico per oggetti di spin 0 oppure 1/2.

19Infatti se uguaglio le due espressioni ottengo:

25

Ze(a2−b2)= 4

5Ze〈R〉2 δ

(a+b)(a−b) = 2(ab2)2/3 a−b

(ab2)1/3

a+b = 2(ab2)1/3

e questo è vero perchè:a≈ 〈R〉 ≈ b

20Vedere ad esempio il paragrafo 6.8 di [Segre82] oppure il paragrafo 2.4 di[RoyNigam67].

51

Figura 15: Momento di quadrupolo ridotto Q/(ZeR2) per nuclei con A dispa-ri in funzione del numero di nucleoni dispari, N o Z. Le curve continue sonobasate sui valori misurati per molti nuclei, non solo quelli riportati esplici-tamente in figura. Fig. 17.8 di [Povh08], riproduzione della figura 6.43 di[Segre82]. N.B. unità di misura sbagliata sull’asse delle y.

Notiamo che il momento di quadrupolo ridotto è piccolo per nuclei vicini ainumeri magici (ad esempio il 209Bi) mentre assume valori grandi se i guscinon sono quasi chiusi, in particolare per i lantanidi (176Lu e 167Er). Nel casopiù frequente di Q > 0 il nucleo è prolato ovvero a forma di sigaro (a > b).

I momenti di quadrupolo elettrico dei nuclei deformati sono troppo grandiper essere spiegati solo con la deformazione del guscio più esterno, si ritie-ne che anche i gusci più interni vengano deformati. In figure 16 vengonoindicati dal tratteggio quei casi in cui i gusci parzialmente pieni portano adeformazioni particolarmente grandi. Si tratta in particolare dei lantanidi edei transuranici (o attinidi).

52

Figura 16: Nuclei deformati nel piano N−Z. Le linee orizzontali e verticaliindicano i gusci chiusi. Le regioni tratteggiate indicano i nuclei con notevoledeformazione. Fig. 17.9 di [Povh08].

53

21 Eccitazioni collettive dei nuclei

Il modello a gusci funziona molto bene quando i singoli gusci sono quasipieni o quasi vuoti, ed è in grado di spiegare molte osservazioni con il sem-plice concetto di eccitazione a singola particella: un nucleone di valenza puòsaltare in un guscio vuoto, lasciando una buca nel guscio di partenza.

Tuttavia esistono altri modi di eccitazione dei nuclei, cerchiamo pertanto diandare oltre i modelli a singola particella occupandoci di eccitazioni collet-tive che possono coinvolgere molti nucleoni. Dovremo considerare le tran-sizioni elettromagnetiche nei nuclei in generale e poi ci occuperemo di unfenomeno particolarmente rilevante di risposta dei nuclei a fotoni incidentidi energia 10-20 MeV, la cosiddetta risonanza gigante di dipolo.

21.1 Transizioni elettromagnetiche dei nuclei

Consideriamo in dettaglio le transizioni elettromagnetiche più comuni ovve-ro quelle di dipolo elettrico, poi daremo qualche cenno sulle transizioni didipolo magnetico e sui multipoli di ordine superiore.

21.1.1 Transizioni di dipolo elettrico

La probabilità di transizione per unità di tempo per una transizione elet-tromagnetica può essere ottenuta nell’ambito della teoria semiclassica dellaradiazione, in cui si considera la quantizzazione del sistema materiale (nelnostro caso, il nucleo) ma non della radiazione. Si possono ottenere facil-mente alcuni risultati della teoria quantistica della radiazione considerandol’analogia con la fisica classica. Un dipolo oscillante classico emette una po-tenza proporzionale a ω4 secondo la formula di Larmor21; la probabilità ditransizione per unità di tempo si ottiene dividendo la potenza media emessaper l’energia di un fotone Eγ = hω , e risulta proporzionale a ω3:

λγ =〈W 〉hω

= ω3

3hc3 p20 =

23

e2ωEγ

hc3m

21V. ad esempio [Mazzoldi2] paragrafo 13.6.

54

dove p0 è il momento di dipolo elettrico e nell’ultimo passaggio abbiamousato la relazione tra energia e ampiezza di un oscillatore armonico:

Eγ =12mω2 p2

0/e2.

L’emissione della radiazione di dipolo è determinata dal momento di dipo-lo elettrico del sistema irraggiante che nel caso del nucleo è un vettore dicomponenti:

∑ex, ∑ey, ∑ez

dove la somma è estesa alle cariche presenti nel nucleo.

Per calcolare la probabilità di transizione secondo la teoria semiclassica oc-corre sostituire alle quantità classiche x (e analogamente alle quantità classi-che y e z) gli elementi di matrice x f i:

x→ x f i =∫

ψ∗f xψid3x

dove ψi e ψ f sono le funzioni d’onda del nucleo rispettivamente nello sta-to iniziale e in quello finale. Sostituendo all’espressione classica p2

0 delmomento di dipolo elettrico l’espressione quantistica 4e2

∣∣x f i∣∣2 si ottiene la

probabilità di transizione per unità di tempo nella teoria semiclassica:

λγ =43

e2

hc3 ω3∣∣x f i∣∣2;

come verifica della formula ottenuta, sostituiamo al modulo quadro dell’e-lemento di matrice il valore ottenuto dallo studio dell’oscillatore armonicoquantistico22:

∣∣xn,n−1∣∣2 = hn/(2mω)' Eγ/(2mω2) ⇒ λγ ' 2

3e2ωEγ

hc3m ,

ritroviamo quindi l’espressione derivata dalla formula di Larmor. Passandoal Sistema Internazionale di unità di misura occorre fare la sostituzione e2→e2/(4πε0) per cui in definitiva la probabilità di transizione di dipolo elettricoper unità di tempo risulta pari a:

22V. ad esempio il testo di Schiff, par. 13 e 25.

55

Wf i =1τ= e2

3πε0h4c3 E3γ

∣∣∣∫ ψ∗f xψid3x∣∣∣2

dove x indica il vettore posizione.

Le transizioni di dipolo elettrico (indicate con E1) collegano sempre stati conparità opposta: il fotone porta via una unità di momento angolare |`|= 1 · he quindi gli stati iniziale e finale del nucleo possono differire al massimo diuna unità.

Nel seguito dovremo considerare le transizioni da un guscio parzialmenteo totalmente riempito a quello immediatamente superiore, che svolgono unruolo dominante nelle eccitazioni collettive. Introduciamo pertanto la no-tazione standard del modello a gusci: un guscio chiuso viene indicato conil vettore di stato |0〉 (stato di "vuoto"). Se un nucleone dallo stato φ j1 delguscio chiuso viene eccitato nello stato φ j2 del guscio superiore si crea unostato particella-buca che indichiamo con il vettore di stato |φ−1

j1 φ j2 >. Questatransizione di un singolo nucleone viene descritta dall’elemento di matricedi dipolo seguente:

< φ−1j1 φ j2 |ex|0 >= e

∫φ∗j2xφ j1d3x .

Dato che lo stato di "vuoto" corrisponde a un guscio chiuso e deve avere nu-meri quantici JP = 0+, lo stato particella-buca dopo la transizione di dipoloelettrico deve avere numeri quantici JP = 1−.

21.1.2 Transizioni di dipolo magnetico

Transizioni di tipo magnetico sono generate dalle correnti elettriche dovuteai moti delle cariche nel nucleo e ai momenti magnetici intrinseci legati aglispin. Ricordiamo che il neutrone, benché elettricamente neutro, possiede unmomento magnetico. Consideriamo il caso semplice di un dipolo generatodal moto di una particella carica senza spin, la componente z dell’elementodi matrice per una transizione magnetica è proporzionale a:

∫ψ∗f (xpy− ypx)ψid3x ,

56

poiché l’operatore xpy− ypx = Lz è proporzionale al momento magneticoprodotto dalla corrente elettrica associata alla transizione.

Più in generale, la probabilità di transizione di dipolo magnetico per unitàdi tempo è data da:

Wf i =1τ= µ0

3π h4c3 E3γ

∣∣∣∫ ψ∗f µψid3x∣∣∣2 con µ = e

2m (L+gs)

dove L è l’operatore del momento angolare orbitale e s l’operatore di spin.L’elemento di matrice è diverso da zero solo se lo stato iniziale e finale hannola stessa parità, dato che sia L che s non cambiano la parità. La regola diselezione per una transizione di dipolo magnetico richiede anche che gli statiiniziale e finale del nucleo differiscano di una unità di momento angolare(come nel caso del dipolo elettrico).

21.1.3 Multipoli di ordine superiore

La formula più generale per la probabilità differenziale di transizione perunità di tempo e di angolo solido dipende dal vettore d’onda k e dal vettoredi polarizzazione ε del fotone emesso:

dWf i =e2

8π2ε0h4c3 E3γ

∣∣∣ε · ∫ ψ∗f xψieik·xd3x∣∣∣2 dΩ

La lunghezza d’onda dei raggi gamma è generalmente grande rispetto alledimensioni del nucleo, quindi nell’espansione in multipoli:

eik·x = 1+ ik · x+ . . .

praticamente è importante solo il primo termine non proibito dalle regole diselezione. Nel caso della radiazione di dipolo elettrico si può approssima-re l’esponenziale con l’unità e integrando sulle polarizzazioni del fotone esull’angolo solido si ottiene la formula vista prima.

Se però la transizione di dipolo elettrico è proibita dalle regole di selezione,in altre parole se lo stato iniziale e finale hanno la stessa parità oppure senon si riesce a conservare il momento angolare, allora diventano importanti

57

le transizioni di dipolo magnetico M1 e di quadrupolo elettrico E2, che sonodello stesso ordine nello sviluppo in serie di potenze di k. Abbiamo già vistole regole di selezione per le transizioni M1, per quanto riguarda le transizionidi quadrupolo elettrico (E2), dato che ` = 2, la parità degli stati iniziale efinale deve essere la stessa, mentre la regola di composizione dei momentiangolari implica

∣∣ j f − ji∣∣≤ 2≤ j f + ji. La probabilità di transizione risulta

proporzionale a E5γ perché c’è un fattore ik · x in più nell’elemento di matrice

e |k| è proporzionale a Eγ .

21.2 Reazioni fotonucleari e oscillazioni di dipolo

21.2.1 Reazioni fotonucleari

Si possono ottenere raggi gamma monocromatici da sorgenti radioattive co-me 24Na e 60Co (energie comprese tra 1 e 3 MeV) oppure inviando unfascio di protoni su un bersaglio di litio (la reazione p+ Li produce gam-ma da 17 MeV). Per uno studio dettagliato delle reazioni indotte da fotonisu nuclei, a partire dagli anni 1960 sono state sviluppate sorgenti gammaad energia variabile, tra cui sono particolarmente interessanti quelle basatesull’annichilazione di positroni in volo.

Partendo da un fascio di elettroni inviato su un bersaglio (T1 in figure 17) siutilizzano i positroni creati tramite produzione di coppie e+e− dall’intensofascio ottenuto per bremsstrahlung degli elettroni: i positroni vengono se-lezionati in energia (e segno della carica) tramite alcuni magneti dipolari equindi vengono focalizzati su un secondo bersaglio (T2). Alcuni positroni siannichilano in volo con un elettrone del secondo bersaglio producendo raggigamma con energia (nel sistema del laboratorio) determinata dall’energia deipositroni23. Come sottoprodotto non voluto ci sono anche fotoni di brems-strahlung prodotti dai positroni. Un magnete (M4) spazza via le particellecariche mentre i raggi gamma proseguono verso il bersaglio vero e propriodell’esperimento (S). Cambiando la selezione di energia dei positroni si puòdeterminare l’energia media dei raggi gamma che incidono sul bersaglio S.

23Nel sistema di riferimento del centro di massa e+e− l’energia di questi fotoni è 0.511MeV.

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Figura 17: Apparato sperimentale per ottenere l’annichilazione in volo deipositroni. I fotoni raggiungono il bersaglio finale S. Fig. 18.1 di [Povh08].

Un esempio della distribuzione energetica dei fotoni è mostrato in figure 18(parte inferiore della figura, istogramma indicato con e+). Lo spettro ener-getico comprende oltre al picco principale una distribuzione continua conandamento decrescente al crescere di Eγ , dovuta alla bremsstrahlung dei po-sitroni; per sottrarre questo contributo è necessario ripetere l’esperimentocon un fascio di elettroni (istogramma indicato con e− nella parte inferio-re della figura) e sottrarre i conteggi ottenuti con elettroni da quelli ottenuticon positroni (istogramma indicato con e+− e− nella parte superiore dellafigura).

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Figura 18: Spettro di fotoni dall’annichilazione in volo di positroni. Fig.18.2 di [Povh08].

Con questo tipo di fascio sono stati ottenuti risultati di precisione sia sullasezione d’urto totale γ-nucleo, sia sulla fotoproduzione di neutroni attraversola reazione:

AX(γ,n)A−1X

In effetti questa reazione rappresenta la maggior parte della sezione d’urtototale, poiché la fotoproduzione di protoni è sfavorita dalla barriera Coulom-biana. Esaminiamo come esempio significativo la sezione d’urto di fotopro-duzione di neutroni in funzione dell’energia Eγ del fotone, misurata su variisotopi del neodimio, come viene mostrata in figure 19.

Possiamo fare varie osservazioni:

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1. Il massimo della sezione d’urto si ha per Eγ ' 15 MeV e la sezioned’urto presenta un andamento a risonanza abbastanza larga, si parla dirisonanza gigante24 o più precisamente di risonanza gigante di dipolo(GDR).

2. L’energia di eccitazione della risonanza è pari a circa il doppio del-la separazione tra gusci vicini: questo è sorprendente perché ci sonomolte più transizioni possibili tra un guscio e il successivo (per moti-vi di parità e momento angolare) che non tra un guscio e il secondosuccessivo.

3. Mentre nel 142Nd si osserva una risonanza relativamente stretta, all’au-mentare del numero di massa essa si allarga e finalmente nel 150Nd sidivide in due componenti.

4. La sezione d’urto totale è circa uguale alla somma di tutte le sezio-ni d’urto per transizioni di nucleone singolo dell’ultimo guscio chiuso(calcolate con il modello a gusci): questo fatto sembra indicare che tut-ti i protoni e neutroni del guscio più esterno partecipano coerentementealla risonanza.

In generale la forma della risonanza e l’energia della stessa dipendono da A.Una spiegazione qualitativa della risonanza gigante, proposta da Goldhabere Teller, consiste in un moto collettivo di tutti i protoni rispetto a tutti i neu-troni del nucleo. Questo moto produce un momento di dipolo elettrico (v.figure 20) che spiega l’assorbimento del fotone. Il 150Nd è deformato e ledue energie dei due picchi di risonanza corrispondono a oscillazioni lungol’asse maggiore (energia inferiore) oppure lungo un asse ortogonale (energiasuperiore).

Cerchiamo ora di giustificare questa visione intuitiva della risonanza gigantee le energie tipiche di eccitazione con il modello a gusci.

24Questa risonanza gigante era già stata individuata negli anni 1950, v. ad es.il paragrafo11.12 di [Segre82].

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Figura 19: Sezioni d’urto per emissione di neutroni indotta da fotoni in variisotopi del neodimio. Fig. 18.3 di [Povh08].

21.2.2 La risonanza gigante di dipolo

Consideriamo ancora il nucleo doppiamente magico 16O. Assumiamo chel’assorbimento di un fotone porti un nucleone di uno dei due gusci pieni dienergia più elevata 1p3/2 oppure 1p1/2 a passare in un guscio vuoto 1d5/2 ,1d3/2 oppure 2s1/2. Se questo nucleone ricade nel guscio 1p, può trasmette-re la sua energia di eccitazione per rinculo ad altri nucleoni, che possono aloro volta essere eccitati e portarsi dal guscio 1p al guscio 1d oppure 2s. Segli stati nucleari corrispondenti all’eccitazione di un nucleone in un livello

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Figura 20: La risonanza gigante di dipolo vista (in alto) come oscillazionedei protoni rispetto ai neutroni. Nei nuclei deformati (in basso) esistono duemodi di oscillazione. Fig. 18.4 di [Povh08].

superiore fossero degeneri, allora la probabilità di transire a uno qualsiasidi questi stati sarebbe la stessa e il modello a eccitazione di singolo nu-cleone sarebbe destinato a fallire - come avviene (v. punto 4 dell’elencoprecedente).

In realtà questo è all’incirca quello che succede: gli stati eccitati sono quasidegeneri.

Si possono descrivere questi stati eccitati come combinazioni di una bucanel nucleo residuo e di una particella in un guscio superiore, e l’interazionefra la particella nel guscio superiore e tutti i nucleoni nel guscio rimastoincompleto può essere vista come interazione fra la particella e la buca.Questa interazione dipende da spin e isospin del sistema particella-buca eporta a un forte mescolamento degli stati.

Vogliamo sviluppare nel seguito un modello molto semplificato per dimo-strare come le ampiezze di transizione di tutti gli stati una particella - unabuca si possano combinare attraverso questo mescolamento degli stati.

Denotiamo con H0 l’operatore Hamiltoniano per un nucleone nel potenzialecentrale del modello a gusci a particella singola. Nella transizione di unaparticella al guscio superiore dobbiamo tenere conto anche dell’interazioneparticella-buca: l’operatore Hamiltoniano si scrive allora come somma didue termini:

H = H0 +V

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e le eccitazioni collettive nasceranno dal mescolamento degli stati causatoda questo operatore di interazione V .

Consideriamo ora tutti gli stati particella-buca con spin-parità 1−: questipossono essere solo combinazioni particella-buca tali che i due momenti an-golari j1 e j2 si sommino vettorialmente per dare 1h e la somma dei momentiangolari orbitali `1 + `2 sia dispari. Se ci limitiamo all’eccitazione di un nu-cleone dal guscio 1p a quello 1d oppure 2s, allora saranno possibili i seguentistati particella-buca:∣∣∣φ−1

1p3/2φ1d5/2

⟩,∣∣∣φ−1

1p3/2φ2s1/2

⟩,∣∣∣φ−1

1p3/2φ1d3/2

⟩,∣∣∣φ−1

1p1/2φ2s1/2

⟩,∣∣∣φ−1

1p1/2φ1d3/2

⟩Dato che i gusci sono pieni sia per i neutroni che per i protoni nel nucleo16O, questi stati esistono sia per eccitazioni di protoni sia per eccitazioni dineutroni. Hanno tutti all’incirca la stessa energia e si possono considerarepraticamente degeneri.

Ampliando il discorso ad altri nuclei, il numero di nucleoni per guscio au-menta con A, e il numero di stati particella-buca JP = 1− quasi degeneriaumenta di pari passo. Il numero N di stati particella-buca varia tra 10 e 20per nuclei di media dimensione.

La connessione tra stati a una particella ed eccitazioni collettive può esserechiarita con un semplice modello basato sulla teoria delle perturbazioni in-dipendente dal tempo25. Indichiamo gli stati particella-buca (di cui abbiamovisto un esempio esplicito per il nucleo 16O) con |ψi〉:

|ψi〉=∣∣∣φ−1

j1 φ j2

⟩dove i = 1, . . . ,N.

Questi stati sono per definizione autostati dell’operatore Hamiltoniano nonperturbato H0:

H0 |ψi〉= Ei |ψi〉;

la soluzione dell’equazione di Schrödinger con l’operatore Hamiltonianocompleto:

25V. ad es. il testo di Schiff par. 31.

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H |Ψ〉=(H0 +V ) |Ψ〉=E |Ψ〉

viene indicata con |Ψ〉 e può essere sviluppata rispetto alla base degli stati|ψi〉 nel modo seguente:

|Ψ〉= ∑Ni=1 ci |ψi〉,

con i coefficienti ci che soddisfano la cosiddetta equazione secolare:E1 +V11 V12 V13 · · ·

V21 E2 +V22 V23 · · ·V31 V32 E3 +V33 · · ·

......

... . . .

·

c1c2c3...

= E ·

c1c2c3...

Assumiamo per semplicità che tutti i Vi j (elementi di matrice della perturba-zione V ) siano uguali:

< ψi |V |ψ j >=Vi j =V0.

La soluzione dell’equazione secolare è in questo caso abbastanza sempli-ce26: i coefficienti ci si scrivono come

ci =V0

E−Ei∑

Nj=1 c j,

con ∑Nj=1 c j costante. Sommando su tutti gli N stati particella-buca in en-

trambi i membri si ottiene la relazione:

1 = ∑Ni=1

V0E−Ei

.

Possiamo capire meglio la soluzione dell’equazione secolare con un grafico(v. figure 21) in cui abbiamo assunto V0 > 0. Il secondo membro dell’e-quazione (considerato come funzione di E) ha dei poli in corrispondenza diE = Ei (i = 1, . . . ,N); le soluzioni E ′i corrispondono ai casi in cui il secondomembro vale esattamente 1. Le nuove energie E ′i sono indicate da cerchiettisull’asse delle ascisse: vediamo che N − 1 soluzioni (tre nella figura) so-no "compresse" tra tutte le N energie imperturbate (quattro nella figura) Ei.

65

Figura 21: Rappresentazione grafica della soluzione dell’equazione secolare(a sinistra) e schema dello spostamento dei livelli energetici (a destra). Lostato collettivo è indicato con EC. Fig. 18.5 di [Povh08].

L’eccezione, denotata con EC, è uno stato collettivo, come faremo vedere diseguito.

Una interazione repulsiva (V0 > 0), come assunto nella figura, ha lo statocollettivo a energia superiore rispetto agli stati particella-buca. Per ottenereuna stima quantitativa (anche se grossolana) dello spostamento di energiaassumiamo che i livelli originali siano degeneri: Ei = E0 per ogni valore dii. L’equazione precedente diventa in questo caso:

1 = ∑Ni=1

V0EC−Ei

= NV0EC−E0

,

da cui si ricava EC = E0 +N ·V0. Lo spostamento dell’energia dello sta-to collettivo è proporzionale al numero di stati degeneri. Dagli esperimentisappiamo che l’energia di eccitazione della risonanza gigante è circa il dop-pio della separazione tra due gusci, ovvero deve essere N ·V0 ≈ E0. L’in-terazione efficace V0 decresce per i nuclei pesanti ma questo è compensatodall’aumento del numero di stati N che possono contribuire all’eccitazionecollettiva. Ritornando al caso generale in cui i livelli Ei non sono esattamentedegeneri, notiamo che i coefficienti dello stato collettivo:

26La prima equazione dà (E1 +V0)c1 +V0(c2 + c3 + . . .+ cN) = Ec1 da cui si ottiene(E−E1)c1 =V0 ∑

Nj=1 c j.

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c(C)i = V0

EC−Ei∑

Nj=1 c(C)

j

sono comunque quasi indipendenti da i se l’energia dello stato collettivo ECè ben separata dalle Ei. Pertanto lo stato collettivo ha la seguente configura-zione:

|ψC〉= 1√N ∑ ji jk

∣∣∣φ−1ji φ jk

⟩.

Questo stato si distingue per il fatto che le ampiezze di ciascuno degli sta-ti particella-buca si sommano con lo stesso segno, dato che EC > Ei perogni valore di i. Per gli altri N− 1 stati di energia E ′1, E ′2, . . . solo uno deicoefficienti c j è grande mentre gli altri sono piccoli e hanno segni diver-si. La sovrapposizione delle ampiezze è pertanto distruttiva per questi stati.La sovrapposizione coerente delle ampiezze significa che la probabilità ditransizione è grande nel caso dello stato collettivo e piccola negli altri casi.

Se non assumiamo, come abbiamo fatto finora, che tutti i Vi j siano uguali icalcoli diventano più lunghi ma la conclusione rimane valida: fintanto chei Vi j sono dello stesso ordine di grandezza, lo stato di energia più alta ènettamente separato dagli altri e si manifesta come una somma coerente ditutti gli stati particella-buca.

Risultati quantitativi sulle probabilità di transizione per la risonanza gigantedi dipolo si possono ottenere utilizzando la forma esplicita delle funzionid’onda di nucleone singolo nel modello a gusci.

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