4 CAPITOLO l

1.2 Il giroscopio

Si è vista la necessità di una strumentazione in grado di controllare l'assettodell' aeromobile rispetto all' orizzonte in modo da sottrarsi alle false illusioni cheil pilota può provare nelle varie condizioni di volo.

È anche noto come la bussola magnetica ordinaria non sia di sicuro affida-mento ogniqualvolta l'aeromobile viene sottoposto ad accelerazioni longitudinalio trasversali e come nelle regioni prossime ai poli magnetici essa perda di effica-cia per I'esiguità della forza direttiva dovuta alla forte diminuzione della compo-nente orizzontale H del campo magnetico terrestre. Si rendono quindi necessaristrumenti in grado di indicare la direzione seguita dall'aeromobile basati però sualtri principi.

Nel 1852 il fisico francese Léon Foucault inventò un apparato meccanico ingrado di mettere in evidenza alcuni effetti della rotazione terrestre e che chiamò,per tale motivo, giroscopio (dal greco rivelatore di rotazione). L'elemento prin-cipale era il rotore, corpo solido di rivoluzione capace di ruotare ad elevata ve-locità angolare intorno al proprio asse conservando, quest'ultimo, un certo gradodi libertà in funzione dell'esperienza da realizzare. Tale apparato, tuttavia, nontrovò all 'epoca altre applicazioni pratiche per le difficoltà connesse al manteni-mento di una velocità di rotazione sufficientemente elevata.

L'avvento delle navi in ferro mise in crisi l'impiego delle bussole magnetichee stimolò, all 'inizio del ventesimo secolo, alcuni industriali (Anschutz, Sperry,Brown) a sfruttare le proprietà del giroscopio per realizzare una bussola in gradodi ricercare il nord geografico (girobussola).

Un 'altra applicazione, sempre marina, fu quella di impiegare, a bordo dellegrandi navi per il trasporto dei passeggeri, grossi giroscopi con lo scopo dismorzare il rollio e rendere più confortevole la permanenza a bordo.

Nel 1923, ad esempio, la ditta Sperry installò con successo, sul transatlanticoConte di Savoia di 41000 tonnellate di stazza lorda, un sistema costituito da tregrossi giroscopi (fig. 1.2) che consentiva di smorzare il rollio riducendolo da 15°a 2.5°. Tuttavia il grosso peso del sistema (660 t) e la potenza richiesta (1900CV pari all' 1.5% della potenza motrice necessaria per mantenere una velocità dicrociera di 27 kt) fecero abbandonare tali sistemi per altri più efficienti.

Risalgono al 1929 le prime applicazioni dei giroscopi sugli aerei finalizzateal controllo della direzione e dell 'assetto del velivolo.

Un giroscopio è costituito da un corpo solido di rotazione (rotore) dotato dielevata velocità angolare rispetto ad un asse (asse di spin) coincidente con l'assedi simmetria del rotore. Questo è montato su una sospensione cardanica aventela funzione di permettere al suo asse di assumere tutti gli orientamenti possibilinello spazio con il vincolo che il centro di gravità del rotore coincida con1'intersezione dei tre assi della sospensione cardanica.

STRUM ENT AZIONE GIROSCOPICA 5

Figura 1.2 - Stabilizzatore di rollio della Sperry

Quest'ultima è costituita da un anello interno che porta l'asse di spin xx', unanello intermedio che permette al giroscopio di ruotare intorno all'asse yy' e daun anello esterno che consente la rotazione intorno all'asse zz' (fig. l.3). Il giro-scopio, in tal modo, è completamente libero; esso è detto a due gradi di libertànon tenendosi conto della rotazione del rotore attorno all 'asse di rotazione checostituirebbe il terzo grado di libertà.

Dal momento che gli assi si intersecano rigorosamente nel centro di gravitàdel rotore, quest'ultimo può ruotare in tutti i modi intorno a tali assi e, in tutte leposizioni che assume, è sempre in equilibrio indifferente comportandosi cioècome un solido avente un punto fisso e sottratto completamente all'azione dellagravità.

Di conseguenza se il rotore è fermo, il giroscopio, disposto in una direzionequalsiasi, la conserva, cioè l'asse di spin punta su una direzione fissa rispetto allaTerra presa come sistema di riferimento. Se poi, sempre a rotore fermo, si dispo-ne l'asse di spin orizzontale e si applica ad una delle sue estremità un pesetto, sinota come l'asse si inclina raggiungendo una posizione di equilibrio nell'istantein cui il rotore assume la posizione orizzontale. Nasce, infatti, una coppia intornoall'asse yy' che si annulla soltanto quando l'asse del rotore si dispone lungo laverticale.

6 CAPITOLO l

rotoreI·I~, ~i1f\\\ ,I

,,_--=~\'~X / . '. "'~_X'X--"--\:21 x~

anello interno

x

y

y'

anello intermedio

J,c;z'

Figura 1.3 - Genesi di un giroscopio

1.3 Analisi dei fenomeni giroscopici

Per la comprensione dei fenomeni giroscopici è utile premettere alcune nozionidi Fisica.

Si abbia un corpo solido (rotore) ruotante ad elevata velocità intorno ad unasse ad esso simmetrico (fig. L4a). Immaginiamo di scomporre il rotore in tantemasse elementari m1, m2, •.• , m" . Nella figura lAb viene rappresentata una gene-rica massa m posta ad una distanza r dall' asse di rotazione.

Si definisce velocità angolare Q (omega maiuscola) della massa m, l'angoloche il raggio della circonferenza relativo alla massa descrive nell'unità di tempo.

L'unità di misura è il radiante al secondo (sistema SI) anche se, spesso, lavelocità angolare viene espressa dal numero dei giri n che la massa compie in unminuto. La velocità angolare in radianti al secondo si può ottenere dalla relazio-ne:

STRUMENT AZIONE GIROSCOPICA 7

v

b)

m

a)

Figura 1.4·- Scomposizione del rotore in masse elementari

La velocità angolare è una grandezza vettoriale; essa, infatti, non può essere de-finita soltanto da un valore numerico (come, per esempio, il tempo, la massa chesono grandezze scalari) ma anche da una direzione e da un verso. La velocitàangolare viene quindi indicata con un segmento orientato (vettore) avente comedirezione quella dell'asse intorno a cui ruota il corpo, come grandezza il valoredella velocità angolare espressa in unità SI, come verso quello tale che una per-sona con la testa all'estremità del vettore vede ruotare la massa nel senso contra-rio alle lancette di un orologio (senso diretto o antiorario). Da questo momentole grandezze vettori ali verranno simbolicamente indicate con carattere in gras-setto (ad esempio .Q rappresenta la velocità angolare mentre Q soltanto la suagrandezza).

La velocità lineare v della massa elementare m è, invece, la misura dell'arcopercorsa nell'unità di tempo; essa è legata alla velocità angolare dalla relazione:

(1.1)

Il prodotto della massa m per la velocità v viene definita quantità di moto q:

q=mv (1.2)

mentre il prodotto di q per il raggio r definisce il momento angolare o momentodella quantità di moto e si indica con il simbolo L:

L=mvr

che può anche essere scritto, tenendo conto della (1.1) ed indicando con J la. , 2

quantita m r , con:

8 CAPITOLO l

L=IQ (l.3)

Il parametro I esprime il momento di inerzia che, per un rotore di forma e di-mensioni assegnate, è tanto maggiore quanto più grandi sono le masse dei diver-si punti che lo costituiscono e, per un rotore di massa data, tanto più grandequanto maggiori sono le distanze delle diverse parti del rotore dall'asse di rota-zione. Per tale motivo si preferisce dare al rotore la forma ioroidale di cui allafigura l.4a.

Il rotore, nel suo assieme, una volta messo in rotazione intorno al proprio as-se, acquista un momento della quantità di moto L, rappresentato da un vettoreavente la stessa direzione e lo stesso senso di il, e come momento di inerzia lasomma tori a delle masse elementari che costituiscono il rotore per il quadratodelle loro rispettive distanze:

Dalla Fisica è noto che il momento della quantità di moto di un sistema, al qualenon sia applicata alcuna coppia esterna, è costante. Per esempio se una personaposta su uno sgabello girevole viene fatta ruotare, la velocità di rotazione dimi-nuisce se il soggetto allarga le braccia, al contrario aumenta se porta le braccia ilpiù vicino possibile all 'asse di rotazione. Infatti nel primo caso, allargando lebraccia, aumenta il momento di inerzia I e, affinché L rimanga costante, devediminuire Q ; il contrario si ha nel caso opposto.

Le proprietà dei giro scopi, una volta che il rotore è messo in rapida rotazione,dipendono dal principio di conservazione del momento della quantità di moto epossono così riassumersi.• Inerzia o rigidità giroscopicaDisponendo l'asse di spin in una data direzione, in assenza di coppie esterne, oanche di coppie interne al sistema dovute, per esempio, a resistenze di attrito deiperni o alla non coincidenza del centro di sospensione con il centro di gravità,esso conserva tale direzione rispetto a una tema di assi orientati sulle stelle fisse(tema inerziale).

Per esempio, se il rotore viene diretto su una stella, l'asse di spin, a causadella rotazione terrestre, si muoverà apparentemente seguendo esattamente ilmoto apparente della stella (fig. 1.5a). In particolare, se inizialmente, in una lo-calità di latitudine tp, l'asse di spin viene disposto verticalmente, cioè puntatoverso lo zenit, nel tempo impiegato dalla Terra a ruotare intorno al proprio asse(un giorno sidereo uguale a 23 h 56 min 04 s pari a 86164 s), si vedrà l'asse delrotore descrivere, intorno alla direzione del polo celeste elevato, un cono la cuisemi apertura è uguale esattamente al complemento della latitudine del luogo(fig. 1.5b). Se poi l'asse di spin è diretto sul polo elevato, esso rimarrà in una po-sizione fissa sia rispetto alla Terra sia rispetto alla tema inerziale.

STRUMENTAZIONE GIROSCOPICA 9

Z~-_.

-:

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Z'a)

Figura 1.5 - Inerzia giroscopica

b)Z'

• Precessione liberaSe all ' asse di spin, posto in posizione orizzontale, viene applicata una coppia Crispetto all'asse y appendendo una massa m all'estremità dell' asse del rotore,contrariamente a quanto avviene a rotore fermo, esso non obbedisce all'azionedella forza peso p (uguale ad mg, essendo gl'accelerazione di gravità) ma simette a ruotare intorno all'asse z con una velocità angolare w (omega minusco-la) - uniforme nel caso in cui il modulo di C è costante - fino a quando la massarimane applicata. Il senso della rotazione w è tale che il vettore L tende a so-vrapporsi al vettore C (tendenza al parallelismo delle rotazioni) (fig. 1.6).

Per spiegare tale fenomeno, apparentemente strano, si osservi che sottol'azione della massa m, l'asse del giroscopio tenderebbe a ruotare verso il bassoimprimendo al sistema una velocità angolare diretta lungo l'asse y. Tale velocitàcomponendosi con la velocità propria del rotore diretta lungo l'asse x, darà luogoad una nuova velocità angolare risultante diretta sempre nel piano xy.

La proprietà ora descritta si esprime attraverso la seguente relazione vetto-riale:

C=wxL (l.4)

dove il segno x indica un prodotto vettoriale. La predetta notazione, infatti, adifferenza di una comune moltiplicazione, indica, nel caso di un giroscopio, chei tre vettori C, w, L sono diretti ciascuno lungo gli assi di una tema ortogonale eprecisamente, disponendo la mano destra in modo che l'indice risulti parallelo almomento angolare L e il medio parallelo alla coppia C, il pollice, disposto nor-malmente alle due dita precedenti, indicherà il vettore relativo al moto di preces-sione w.

IO CAPITOLO l

z

ùl

x L

y

Figura 1.6 - Precessione in seguito all'azione di una coppia C

Al moto dell'asse di spin viene dato il nome di precessione libera se essa è pro-dotta applicando al giroscopio opportune coppie, oppure di deriva quando essa èdovuta a coppie parassite. Per esempio, nel caso di un giroscopio in cui L = 105

unità cgs, se si vuole che esso subisca un moto di precessione di 100/h, occorreapplicare una coppia pari a circa 5 unità cgs mentre, se si vuole che lo stesso gi-roscopio non subisca una deriva superiore a 0.1 0/h, è necessario che non vi sianocoppie parassite superiori a 5 x 10-2 unità cgs.

Un esempio di moto di precessione si può facilmente verificare andando inbicicletta: la ruota anteriore può essere assimilata al rotore di un giroscopio a duegradi di libertà. Infatti essa può ruotare: intorno alla verticale, ruotando il manu-brio, e intorno all 'asse longitudinale, inclinando la bicicletta lateralmente. Per-tanto, se si ruota il manubrio a sinistra, la bicicletta tende ad inclinarsi lateral-mente verso destra, mentre se si inclina la bicicletta lateralmente sulla destra. ilmanubrio ruota verso destra.

Da quanto finora detto risulta che quando l'asse del rotore è sottopostoall'azione di una coppia, esso non obbedisce a tale azione, ma si sposta in unpiano normale al piano contenente la coppia stessa.

STRUMENT AZIONE GIROSCOPICA Il

• Precessione forzataSe, infine, si trascina il rotore in un moto di precessione (J) intorno all'asse z,cioè lo si sottopone ad una precessione forzata, si sentirà l'asse sfuggire dallamano in quanto nasce una coppia di reazione uguale e contraria alla coppiaesterna che produrrebbe la precessione libera (J). Il senso di azione di questacoppia risulta tale da tendere a portare l'asse del rotore a coincidere con l'assedella precessione forzata (tendenza al parallelismo delle-rotazioni) e può esseredefinito con la medesima regola descritta precedentemente sostituendo però lamano sinistra alla destra.

La predetta coppia Cr, essendo una coppia di reazione, è data da:

C, =-C=Lxw (1.5)

nella quale, a differenza della (l.4), a causa del segno meno, sono invertiti i fat-tori del prodotto vettori ale.

1.4 Giroscopio a un solo grado di libertà

Se al giroscopio della figura 1.3 limitiamo un grado di libertà impedendo gli, peresempio, di ruotare intorno all'asse zz', il giroscopio può ruotare soltanto intornoall 'asse yy' che assume, pertanto, la denominazione di asse di uscita.

Un tale giroscopio è rappresentato schematicamente nella figura l :7a; se si faruotare l'intero apparato con velocità angolare w intorno all'asse verticale z, in-dicato come asse di ingresso, si osserverà l'asse del rotore ruotare intornoall'asse di uscita y fino a disporsi verticalmente (fig. 1.7b).

z (asse di ingresso)

a) b)

Figura 1.7 - Giroscopio ad un grado di libertà

12 CAPITOLO l

All'asse del rotore non verrà consentito di raggiungere l'asse z in quanto su diesso si faranno agire coppie tali da farlo allontanare dal piano orizzontale sol-tanto di pochi gradi.

Ciò può essere conseguito, per esempio, per mezzo di una molla in grado diprodurre una coppia di richiamo verso la posizione iniziale tanto maggiorequanto maggiore sarà l'angolo di deflessione a.

In definitiva, a seguito di una velocità angolare co diretta lungo l'asse z, sulgiroscopio agiranno due coppie:• la coppia di precessione forzata LUJ;

• la coppia di richiamo elastica Kma.L'equilibrio si ha quando le due coppie sono uguali e di segno opposto, cioè per:

LUJ = Kma

da cui si ricava:

(l.6)

Pertanto l'angolo di deflessione a dell'asse del rotore è proporzionale alla velo-cità angolare di precessione forzata a cui è sottoposto l'asse di ingresso.

TIgiroscopio testé descritto è noto come girometro o rate gyro ed è un misu-ratore di velocità angolare (fig. 1.8).

z

Figura 1.8 - Girometro

STRUMENTAZIONE GIROSCOPICA 13

1.5 Il direzionale giroscopico

Il direzionale giroscopico, se si tiene conto del suo particolare comportamento involo, è uno strumento in grado di sostituire la bussola magnetica migliorandonele prestazioni sia nelle virate, sia in presenza di altre accelerazioni. Non essendosoggetto al campo magnetico terrestre, trova impiego in un qualsiasi punto dellasuperficie terrestre.

Il direzionale è costituito da un rotore completamente libero (due gradi di li-bertà), montato cardanicamente all 'interno della cassa come il giroscopio dellafigura 1.3.

Il rotore, nei primi strumenti, vemva mosso ad aria mentre nei tipi moderni èazionato da corrente elettrica. Nei giroscopi mossi ad aria nell'interno della cas-sa dello strumento era creato un vuoto spinto mediante una pompa a depressio-ne; un flusso d'aria, indotto dalla pressione atmosferica, veniva convogliato allaperiferia del rotore che funzionava come una turbinetta.

Nei moderni girodirezionali il rotore si identifica con il rotore di un motoresincrono (detto a gabbia di scoiattolo) con alimentazione a 115 V, frequenza 400Hz e tale da produrre una velocità angolare pari a circa 24000 giri al minuto.

L'asse del rotore, che può inclinarsi rispetto al piano alare di ± 55°, è affi-dato ad un anello orizzontale portato, a sua volta, da un anello verticale in gradodi ruotare intorno all 'asse VV' solidale con la cassa dello strumento (fig. 1.9).L'asse VV' è perpendicolare al piano alare e coincide con l'asse verticale ZZ' nelcaso di volo livellato.

anello orizzontale

corona circolaregraduata

V'

Figura 1.9 - Schema di un direzionale giroscopico

14 CAPITOLO l

All 'anello verticale sono fissati, nella parte superiore, una corona circolare gra-duata e nella parte inferiore una ruota dentata che può essere messa in rotazione,tramite un pomello che sporge dalla cassa e che si trova al di sotto della fine-strella dello strumento (fig. 1.10).

Il pomello, se spinto in dentro, grazie ad una speciale staffa che agiscesull' asse del rotore, riporta tale asse in un piano parallelo alla corona graduata.Inoltre, ingranandosi con la ruota dentata, consente di ruotare in azimut la coro-na circolare con il rotore, fino a portare, in corrispondenza della linea di fededello strumento (che appare attraverso la finestrella) la graduazione relativa allaprora dell'aeromobile letta alla bussola magnetica.

Con questa operazione, da eseguirsi con aereo animato da moto rettilineo euniforme (in assenza di accelerazioni), l'asse del rotore rimane orientato secondoil meridiano bussola in quanto esso è montato nella cassa in modo tale da giacerenel piano contenente la linea 0°-180° delIa corona circolare.

Figura 1.10 - Direzionale giroscopico mosso ad aria della Sperry

L'asse del rotore, una volta che il pomello viene tirato in fuori e svincola il si-stema, per effetto dell' inerzia giroscopica tende a rimanere nel piano del meri-diano bussola.

In caso di accostata, ancor prima della bussola magnetica, il direzionale de-nuncerà una variazione di prora permettendo al pilota di correggere la traiettoriain modo che il volo sia il più possibile .rettilineo.

Nei giroscopi mossi ad aria il rotore, come già detto, veniva messo in rota-zione dal flusso d'aria proveniente da un ugello solidale all'anello verticale;l'aria, dopo aver messo in rotazione il rotore, attraverso un condotto era diretta

STRUMENTAZIONE GIROSCOPICA 15

su una sporgenza a forma di cuneo posta alla base dell'anello verticale determi-nando due forze di reazioni uguali ed opposte (fig. 1.11a). Nel caso in cuil'anello che portava il rotore non era più perpendicolare all'asse VV', l'aria col-piva in misura maggiore un versante del cuneo piuttosto che quello opposto fa-cendo nascere una coppia di precessione tale da riportare nuovamente l'asse delrotore perpendicolarmente a VV' (fig. 1.11 b).

a)

y

Figura 1.11 - Mantenimento dell'asse del giroscopio nel piano alare

b)

Nei giro scopi mossi elettricamente il meccanismo di mantenimento dell' asse delgiroscopio nel piano alare è assicurato da un interruttore a contatto, montatosull 'anello verticale, in grado di controllare un motorino elettrico (motore dicoppia) posto nella parte superiore dello stesso anello.

Gli inevitabili attriti ed altre cause, come per esempio la non coincidenza delcentro di gravità con il centro di sospensione, producono derive meccaniche; taliderive vengono compensate in sede di taratura dello strumento e in ogni casonon raggiungono valori significativi.

Il girodirezionale è soggetto, però, ad altre derive non dipendenti da causemeccaniche chiamate derive apparenti, dovute alla rotazione terrestre e alla con-vergenza dei meridiani.

La prima deriva apparente dipende dal fatto che l'asse, supposto orizzontale,indica una direzione fissa rispetto allo spazio inerziale e non rispetto alla Terra.È noto, infatti, che la Terra ruota con velocità angolare costante intorno al pro-prio asse tale da compiere un giro completo in un giorno sidereo (periodo T);pertanto la sua velocità angolare è data da:

2Jr 2rr(5. = - = -- = 0.000073 rad/s

T 86164

16 CAPITOLO l

Il vettore (J (sigma) è diretto lungo l'asse di rotazione terrestre verso il polonord in quanto da esso la rotazione terrestre viene vista in senso antiorario; unqualsiasi punto A di latitudine tp è sottoposto alla stessa velocità angolare chepuò essere scomposta in due componenti: (j\ lungo la linea meridiana e a2 lun-go la verticale (fig. 1.12) rispettivamente pari a:

(j\ = o cos cp

a 2 = a sen cp(1.7)

N

Pn :a verticale°1 -:: '\

,

,

0"1' _------------ A

/j<P------------------- ,:_--- -------------:T

s

0",

Ps

Figura 1.12 - Scomposizione della velocità angolare terrestre

Il vettore (J\ produce una rotazione del piano orizzontale intorno alla linea meri-diana tale che la falda ovest dell 'Orizzonte si innalza mentre quella orientale siabbassa giustificando in tal modo il sorgere e il tramonto degli astri (O' \ ha lostesso segno in entrambi gli emisferi); O' 2 produce, invece, una rotazione delpiano orizzontale intorno alla verticale tale che la direzione della linea meridianamoti continuamente verso ovest nell' emisfero nord e verso est nel!' emisfero sud.

In seguito a questa seconda rotazione l'asse del giroscopio subirà una derivaapparente, in senso contrario, di velocità angolare a sen tp; tale deriva è nullaall' equatore (cp = 0°) e massima ai poli (cp = 90°). Alle nostre latitudini la rota-zione a 2 è di circa Ioo/h e per tale motivo il direzionale deve essere frequente-mente sincronizzato con la bussola magnetica tramite il pomello di regolazione.

Tale deriva in alcuni direzionali è compensata meccanicamente applicando algiroscopio una precessione uguale a a2; naturalmente tale compensazione vaaffinata man mano che l'aeromobile cambia di latitudine.

STRUMENTAZIONE GIROSCOPICA 17

La seconda deriva apparente è dovuta alla convergenza dei meridiani e simanifesta quando 1:aeromobile ha una componente di velocità lungo il parallelo.Infatti si può vedere dalla figura 1.13a che, relativamente ai punti A e B, le duelinee meridiane AE e BE non sono parallele ma convergono nel punto E forman-do tra loro un angolo e (detto convergenza dei meridiani). Tale angolo si puòricavare osservando che AB, arco di parallelo, è uguale al raggio R cos rp per ladifferenza di longitudine L1À:

AB ==R cos rp !1À

Lo stesso arco AB è anche uguale al raggio AE ==P =Rcoup (come si può rica-vare dal triangolo rettangolo AEO della figura 1.13b) per l'angolo di convergen-za C:

AB ==Rcotrp eUguagliando le due espressioni precedenti, si ottiene:

e ==!1À sen tp (l.8)

È noto che la differenza di longitudine è data dalla relazione:

L1À ==m sen Te sec rpm

N ell ' ipotesi in cui tp non abbia variazioni apprezzabili (rp m == rp), dopo un' ora(m ==V) si ha:

L1À = V sen Te sec rp

Sostituendo L1À ne1la (l.8) e dividendo per 60, per ottenere la velocità in 0/h, siricava di quanto ruota il meridiano dopo un'ora:

Vc, ==-senTe tan e60

(1.9)

p

E

»: --.~A Rcos<p D \

'-.. )(

' R 90-'1'

\ o

b)~~

Figura 1.13 - Convergenza dei meridiani

jL"l!li,I

18 CAPITOLO l

e pertanto la deriva dovuta alla convergenza dei meridiani è nulla all'equatore(dove i meridiani sono tutti paralleli tra loro) e massima ai poli.

A titolo d'esempio, per un aeromobile con V == 450 kt, TC == 75°, q; = 60°,si ha una deriva apparente di 12.5°/h. Se si compensasse anche tale deriva appli-cando al direzionale una precessione uguale a:

vCl sen q; + - sen TC tan q;

60(1.10)

si avrebbe uno strumento in grado di indicare costantemente la direzione del me-ridiano.

Si è visto che l'asse del rotore è mantenuto sempre perpendicolare all'asseVV' ed è perciò vincolato al piano alare; ne consegue che se tale piano non coin-cide con il piano orizzontale si verificano degli errori, specie quando l'aeromo-bile è in virata, che dipendono unicamente dal modo con cui è realizzata la so-spensione del giroscopio.

Infatti la prora indicata dallo strumento P, è legata alla prora effettiva P eall'angolo di bank rjJ (si trascura il contributo dell'angolo di beccheggio B) at-traverso la relazione:

tan ~ == tan P cos rjJ (1.11)

La precedente relazione si può ricavare facendo ricorso ad una rappresentazionesferica in cui O rappresenta il centro del rotore del girodirezionale, 02 la verti-cale vera e il cerchio massimo, avente come polo 2, il piano orizzontale coinci-dente con il piano alare in un volo livellato. Siano, inoltre, OL· la direzionedell 'asse longitudinale dell' aeromobile e ON la direzione del meridiano verso laquale è diretto l'asse del girodirezionale. L'arco LN rappresenta la lettura P chesi effettua al direzionale (fig. 1.14).

Se il piano alare ruota intorno ad OL (per esempio nel corso di una virata) diun angolo rjJ, 2 si porta in 2' mentre l'asse del direzionale ON, vincolato al pia-no alare, si porta in ON'. Di conseguenza allo strumento si leggerà una proracorrispondente all 'arco LN' (uguale a ~).

Per stabilire la relazione che lega P con ~ SI ponga:

P==~+é"

La (l. 11), che si può ricavare dal triangolo sferico rettangolo LNN' (vedi Cennidi trigonometria sferica a pago 181), diventa:

tan P, == tan(~ + è) cos rjJ

Applicando la formula di addizione della tangente:

STRUMENTAZlONE GlROSCOPlCA 19

zz'

Figura 1.14 - Relazione tra prora indicata e prora effettiva

(P )tan P + tan E

tan + E = ------1- tan PtanE

e sostituendo, si ricava:

tan Pi (1- cos r/J)tan s = 7

cosr/J+ tan P,(1.12)

Da tale relazione si può mostrare che E, correzione da apportare alla prora indi-cata (o apparentey P. per avere la prora effettiva P, si annulla per P, = 0°,90°,180°, 270° mentre raggiunge i valori massimi per prore prossime a 45°, 135°,225°, 315° assumendo pertanto un carattere quadrantale come mostrato nella fi-gura 1.15. Per esempio, se r/J = 45°, si ha per P; = 45° una correzione uguale acirca 10°.

Nell 'impiego pratico dello strumento, quando si vira, ci seconda dell 'angolodi bank si dovrebbe tenere conto della correzione E se ad ogni istante si volesseconoscere l'effettivo angolo di accostata. In caso contrario quest'angolo sarànoto soltanto quando, terminata la virata, il piano alare riprenderà la posizioneorizzontale. Poiché il valore di E è nullo quando l'angolo letto al direzionale èzero, è buona norma regolare sempre su tale valore lo strumento prima di inizia-re la virata; tale accorgimento (che consiste nel porre 1'asse del rotore lungol'asse longitudinale dell'aeromobile) consente un più semplice computo dell'an-golo di accostata.