1 La forza forte Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze...
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1 La forza forte Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali: elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale I nucleoni sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (qualche fm)
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1
La forza forte
Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali:
elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale
I nucleoni sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (qualche fm)
2
La forza fra i nucleoni
I nucleoni sono composti dai quark, particelle puntiformi di spin 1/2
I quark sono tenuti assieme dall’interazione forte derivante dallo scambio di altri quark e gluoni di spin 1
La forza fra i nucleoni (la forza nucleare forte) è un problema a molti corpi in cui
• i quark non si comportano come se fossero completamente indipendenti all’interno del volume nucleare
• nè si comportano come se fossero completamente legati in modo da formare protoni e neutroni
La forza nucleare forte perciò non è calcolabile in dettaglio al livello dei quark e può essere solo dedotta empiricamente a partire dai dati nucleari
esempio: interazione pp
3
Caratteristiche generaliIl fatto che un nucleo esista implica che la forza nucleare è
Forte: più forte della forza elettromagnetica, debole e gravitazionale
A corto range: i nuclei sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze ( 2 fm) quando cominciano a sovrapporsi
Attrattiva
Nocciolo repulsivo: Il volume è A, e il nucleo non collassa verso densità infinita
Saturata: B/A costante; in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini
Indipendente dalla carica: non c’è distinzione fra protoni e neutroni. Si ha evidenza di ciò dalla tendenza dei piccoli nuclei ad avere N=Z e dalla somiglianza dei livelli di bassa energia di coppie di nuclei speculari
4
Il potenziale nucleone-nucleone
Studiamo le caratteristiche dettagliate attraverso le interazioni fra due nucleoni:
Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone
Forza = )(rV
Nocciolo repulsivo
B/A~8 MeV V0 ~ qualche decina di MeV
Andamento della parte centrale del potenziale
5
IL DEUTONE
6
Caratteristiche generali del deutone (2H o 2D)Il deutone è il solo stato legato a due nucleoni (n-p). Non esistono stati legati p-p o n-n.
Riassunto delle proprietà:
Energia di legame B = 2.23 MeV
R = 2.1 fm
Non si osservano stati eccitati
JP = 1+
Deduzioni sul momento magnetico:
stato legato n-p 3S1 (L = 0, S = 1, ): = p + n = 0.88 N
1S0 (L = 0, S = 0, ): = p - n = 4.71 N
Valore sperimentale = 0.857 N
n = 1 non ci sono (quasi) contributi orbitali a (L = 0) Il deutone è uno stato (quasi puro) 3S1
Deduzioni sul momento di quadrupolo Q = +2.83x10-31 m2
7
Sistema di due particelleL’hamiltoniana di un sistema di due particelle è
Introduciamo le variabili
212
22
1
21 )(
22rrrrV
m
p
m
p
2121
2211 , rrrmm
rmrmR
Possiamo allora scrivere
rmm
mmRmrmpr
mm
mmRmrmp
21
212222
21
211111 ,
Il momento totale del sistema è
RM
Rmmpp
)( 2121
R = centro di massa
r = coordinata relativa
21 mmM =massa totale
8
L’energia cinetica totale è
Abbiamo l’equazione di Schrodinger per il moto relativo attorno al centro di massa
2121
22
2
22
1
21
111 ,
,2
1
2
1
22
mmmmmM
rmRMm
p
m
pEtot
)(2
)()(2
1 22 r
M
PErrVrm tot
tot
Consideriamo un potenziale centrale
Il sistema è invariante per rotazioni consideriamo ad esempio una rotazione infinitesima attorno all’asse z
)()( rVrV
xyyxy
yxyxx
cossin'
sincos'
M=massa totale
m = massa ridotta
E
Eq. Di Schrodinger nel riferimento del centro di massa
9
dopo la rotazione la funzione d’onda è
Se introduciamo l’operatore Lz componente z del momento angolare
yx
xyyxxyyxyx
),(),()','(
Allora possiamo definire lo stato ruotato come
)(1)(1)'(
)( 1)'(
rHLirELirE
rLiHrH
zz
z
0, zLH
z y xL y x xp ypi x y
),,( 1
),,(),,()',','(
zyxLi
zyxLiyyxzyx
z
z
Richiedendo che (stesso autovalore dell’energia) troviamo )'()'( rErH
Troviamo quindi
10
L’invarianza per rotazioni rispetto all’asse x e y mostra che tutte le componenti del vettore momento angolare commutano con H
dove
o, in componenti
, L r p pi
2, 0, , 0H L H L
,
,
.
x z y
y x z
z y x
L y z yp zpi z y
L z x zp xpi x z
L x y xp ypi y x
Quindi un autostato dell’hamiltoniana è anche un autostato del momento angolare orbitale. Gli stati del sistema saranno etichettati da numeri quantici del tipo n, l, mz.
11
Si dimostra
da cui
priprprL
2222
Poichè in coordinate polari arriviamo all’equazione r
ri
pr
Ponendo
ErVmr
L
rrrr
rrm
)(2
11
2 2
22
priprLr
p
222
2 1
),()(),,( lmnlm YrRr
),()1(),( 22 lmlm YYL
si ha
Equazione di Schrodinger in coordinate polari
Armoniche sferiche
Funzione d’onda radiale
12
Abbiamo quindi una separazione delle variabili e arriviamo all’equazione radiale
Si ha
02
2
)1()(
2222
2
22
2
ER
mR
mrrV
mR
dr
d
rdr
d
arriviamo al risultato finale
Poniamo R(r) = u(r) / r (r = distanza fra i nucleoni)
Probabilità che la particella si trovi fra r e r + dr
drrudrrRr222 )()(
2
2
2
2 12
dr
ud
rr
u
dr
d
rdr
d
02
2
)1()(
222
2
22
2
Eu
mu
mrrV
m
dr
ud
13
Rispetto al caso undimensionale abbiamo due differenze.
La prima è che il potenziale è modificato da un termine repulsivo dipendente da L
Per uno stato legato E < 0 = - energia di legame
b = range dell’interazione
2
2
2
)1(
mrVV
La seconda è che u(r=0) = 0 affinchè R resti finita nell’origine. Questo equivale ad assumere che V = + a sinistra.
Consideriamo una buca quadra
buca quadra
14
Ricerchiamo stati legati caratterizzati da un’energia di legame B
Per L = 0 la funzione u soddisfa l’equazione
)()()(2 2
22
rEururVdr
ud
m
Abbiamo due regioni
1) r < b
0)()(2 02
22
ruVBdr
ud
m
La soluzione generale è
BEVbr
BEVVbr
0
0
)(2
cossin)( 022 BV
mkkrCkrAru
Il problema del deutone
15
Richiediamo che u(r) = 0 per r = 0 C = 0 vale a dire, non vogliamo una densità infinita |R(r)|2 al centro del nucleo) Quindi
2) r > b
La soluzione generale è
brkrAru sin)(
0)(2 2
22
rBudr
ud
m
22
''
2'
)(
mB
k
FeDeru rkrk
Per r exp(k’r) per cui poniamo F = 0 Quindi
brDeru rk )( '
16
Richiediamo che in r = b sia u(r) che du(r)/dr siano continue
Il rapporto ci dà
Assumiamo che V0 >> B. Le due incognite sono b e V0
Abbiamo
'cos /)(
sin )('
'
bk
bk
DekkbkAdrrdu
DekbAru
2/1
0
'cot
BV
B
k
kkb
energia minima
Continuità di
Continuità di
MeV258
2
2)(
,2
5,
2
3,
2 ,0cot
2
22
0
22
022
mbV
bVm
kb
kbkb
V0 è la profondità minima che dà luogo allo stato legato
Per b = 2 fm
17
In realtà la soluzione esatta è un pò maggiore di 25 MeV. L’equazione trascendente
può essere risolta graficamente
2/1
0
'cot
BV
B
k
kkb
kbk cot
'k
][0 MeVV
La soluzione è data dall’intersezione delle due curve
MeV350 V
18
Grande probabilità di trovare protone e neutrone separati a una distanza > b
u(r) non dipende molto dalla forma esatta di V(r)
La dimensione del deutone è determinata dall’energia di legame non dal range della forza
La lunghezza caratteristica
fm 32.42
mB
RD
su cui u(r) diminuisce di 1/e è detta il raggio del deutone. Questo è più del doppio del range b del potenziale.
Quindi i nucleoni hanno una considerevole probabilità di trovarsi al di fuori della buca di potenziale in media si trovano sui suoi bordi
19
SCATTERING NEUTRONE-PROTONE E PROTONE-PROTONE A BASSA
ENERGIA
20
Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo
va = velocità delle particelle
na = densità numero
aaa
a vntS
N
abNdt
dN
Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è
Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio
= sezione d’urto di reazione
Sezione d’urto
Consideriamo una rezione della forma
Xba
Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato.
Il flusso di particelle a è definito come
21
Ninc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t
In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come
incb NS
NN
Nb / S è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora
L = lunghezza del bersaglio
A
LN
S
N Ab
LSnN bb
D’altra parte
Avb
b
bb N
Am
mn ,
22
Teoria dello scattering
La funzione d’onda prima dello scattering è
2cos /2 , mEkee ikrikzin
Nucleone incidente: onda piana
Scattering elastico dal centro di un nucleone
nucleoz
r
ef
ikr
)(
Lo stadio finale dell’interazione è dato dalla sovrapposizione di in e di questa onda sferica
r
efe
ikrikz
out )(
onda piana incidente
onda sferica scatterata
r2ddnel processo di scattering in interagisce con V(r). Dal centro di interazione diverge un’onda sferica della forma
23
Sezione d’urto differenziale
Assumendo che la densità numero di particelle incidenti sia 1, il flusso è
Sia dil numero di particelle incidenti/sec scatterate sull’area r2d
vveikz 2
dvrr
efd
ikr2
2
)(
22)( )( f
d
ddf
dd
incidente flusso
in scatterate sec / particelle di n. 2
drd
da cui
Sezione d’urto: numero di neutroni scatterati per unità di tempo nell’angolo compreso fra ϑ e ϑ+dϑ da un protone quando il flusso del fascio è un neutrone per unità d’area e di tempo
dd sin2
24
0
cos )(cos)( PrBeikr
in
Polinomio di Legendre
dove
,cos
)(
sin ,
sin
)()12()(
210 kr
kr
kr
krj
kr
krj
krjirB
Funzione di Bessel sferica
soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche con V(r)=0
02
2
)1()(
2222
2
22
2
ER
mR
mrrV
mR
dr
d
rdr
d
Espansione di in in armoniche sferiche
Scattering nucleare a basse energie: dobbiamo considerare solo l=0
Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo
25
Argomento classico. Se p è la quantità di moto e b è il parametro d’impatto (distanza classica di massimo avvicinamento) allora
Se le forze nucleari hanno un range finito a, l’interazione ha luogo solo se b < a, cosicchè
a = 2.8 fm
Scattering neutrone-protone a basse energie
0
bpbbpprL
a
Quando contribuirà solo l’onda parziale a
L’energia al di sotto della quale abbiamo solo onda S è
MeV5fm 8 MeV1000
)fm MeV200(
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
22
acm
c
ammm
pE
N
Ncms
m = massa ridotta = mN/2
Al di sotto di questa energia l = 0 per ogni l diverso da zero.
26
fm MeV197 1, fm 348.0
MeV/c940 MeV6.68
2/ridotta massa 52
94022
1-
2
c
m
mmmEk
n
n
Coefficiente |Bl(R)|2
nell’espansione in onde parziali
|Bl(R)|2
krr = 2 fm
0
27
ikr
ee
kr
kr ikrikr
in 2
sin
se L=0 l’espansione in onde parziali si riduce a
In presenza del potenziale: per l’onda uscente out
r
e ikrNon è modificata per r>range del potenziale (cioè prima che la particella raggiunga il centro di scattering)
r
eikrScattering elastico: l’ampiezza deve essere come la parte e-ikr non vengono nè create nè distrutte particelle
spostamento di fase
onda sferica uscente dall’originer
eikr
onda sferica entrante verso l’originer
e ikr
28
V(r) ≠ 0 cambia la fase dell’onda uscente
kr
kre
ikr
ee
i
ikriikr
out
)sin(
2
0
2
0
0
Convenzione: 20 spostamento di fase nell’onda parziale uscente 0 spostamento di fase nell’onda scatterata l=0
Probabilità di scattering data da
k
e
r
e iikr
inoutscat
0sin0
f(ϑ)
Poichè l + n producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -/2,+/2 o 0-
29
Formalismo per qualunque momento angolare
30
L’analisi quantitativa richiede la soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche
0
cos )(cos)( PrBeikr
Polinomio di Legendre
dove
,cos
)(
sin ,
sin
)()12()(
210 kr
kr
kr
krj
kr
krj
krjirB
Funzione di Bessel sferica
Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo
ikr
eerj
krikri
2)(
)2/()2/(
onda sferica divergente dal centro di scattering
onda sferica convergente verso il centro di scattering
02
2
)1()(
2222
2
22
2
ER
mR
mrrV
mR
dr
d
rdr
d
Equazione per una particella di massa ridotta m: stiamo lavorando nel centro di massa. Quando V(r) = 0 la soluzione generale è
31
Se V(r)≠0, nel processo di scattering compare un’ulteriore onda sferica uscente. Quindi la relazione fra onda convergente e divergente cambia in
se non c’è assorbimento, il flusso di particelle nelle due onde non deve cambiare. Quindi
)(2 kieS
l(k) è reale ed è detto spostamento di fase
r
eeSrj
krikri )2/()2/(
)(
Abbiamo quindi
)2/()2/(
0)(cos
2
)12(
krikri
out eeSPikr
i
Questa può essere riscritta anche come
r
eSP
ike
ikrikr
out )1)((cos2
)12(0
cos
onda sfericaAmpiezza dell’onda sfericaonda piana
32
Poichè out = exp(ikz) + f() exp(ikr)/r otteniamo
definendo l’ampiezza di scattering per l’onda parziale L
La sezione d’urto totale è data da
df2
)(
)(cos sin)12(
)1)((cos2
)12()(
0
0
Pk
e
SPik
f
i
sin)(
k
ef
i
)(cos )()12()(0
Pff
Tenendo conto dell’ortogonalità dei polinomi di Legendre otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico
0
22
sin)12(4
k 12
2cos)(cos)(cos '
1
1 ' dPP
33
34
Il segno della fase è determinato dalla natura della forza
Attrazione: u(r) è spinta verso la buca attrattiva e la funzione d’onda acquista uno spostamento di fase positivo
Repulsione: u(r) è espulsa dal range del potenziale repulsivo e acquista uno spostamento di fase negativo
Spostamento di fase
Spostamento di fase
Particella libera
Potenziale attrattivo
Potenziale repulsivo
k
krrru
)sin()( 00
Interpretazione degli spostamenti di fase
35
Il segno della fase non influisce sulla sezione d’urto modulo quadro dell’ampiezza
Determinazione del segno della fase
• interferenza fra scattering nucleare e coulombiano
• interferenza di due scattering nucleari con diverse orientazioni dello spin
36
Al di sotto di 10 MeV (nel sistema del laboratorio) ci aspettiamo quindi che se le forze nucleari sono a corto range, si abbia scattering solo in onda S e la sezione d’urto è
La sezione d’urto è indipendente dalla direzione simmetria sferica
Simmetria sferica dello scattering a bassa energia
confermato dalla osservazioni sperimentali
dd sin22
0
2
0
2sin)(
0
k
eff
d
d i
Da cui
20
2
022
sin
sin
k
d
d
02220
22 cot
4sin
4
kkk
37
La dipendenza dello spostamento di fase dall’energia o da k può essere determinata risolvendo l’equazione di Schrodinger nella regione di interazione
Questo permette di stabilire una relazione col potenziale di interazione
Bisogna congetturare una forma specifica del potenziale. Esempio: buca rettangolare (come nel caso del deutone)
Esempio di determinazione dello spostamento di fase e della sezione d’urto
38
L’equazione d’onda radiale per u(r) = r R(r) è
Regione I (r < b) V = -V0
)()( )()(
2 2
22
rEururVdr
rud
m
/)(2 ,sin)(
0)( 2)(
0
022
2
VEmkkrAru
ruEVm
dr
rud
I
Regione II (r > b) V = 0
/2' ),'sin()(
0)(2)(
0
22
2
mEkrkAru
rEum
dr
rud
II
La buca ha quindi la stessa profondità della buca del deutone e assumiamo che E ( > 0 ) sia simile all’energia di legame B (quindi abbiamo scattering a bassa energia)
39
Possiamo ricavare la fase congiungendo la soluzione interna a quella esterna in r = b. La derivata logaritmica della soluzione esterna in r = b è
)'cot(''
0
bkku
u
br
La derivata logaritmica della soluzione interna in r = b è
kbku
u
br
cot'
Uguagliando le due derivate troviamo
bkkbk
k'cot
'cot 1
0
Utilizziamo i parametri del deutone: V0 ~ 35 MeV e b ~ 2.1 fm Per E < 10 KeV la sezione d’urto è
barn 53'
sin4
20
2
k
[MeV] T
[ba
rn]
40
A basse energie la sezione d’urto in realtà dipende debolmente dalla forma specifica del potenziale
Analisi dello scattering indipendente dalla forma specifica lunghezza di scattering
La sezione d’urto è
Scattering a bassissime energie e stati legati
a = lunghezza di scattering (definita a meno di un segno)
02
2sin
4 k
Assumiamo che a energie molto basse la sezione d’urto resti finita. Allora per k 0
22
20
20
2sina
kk
La funzione d’onda asintotica al di fuori del raggio d’azione delle forze nucleari per k piccolo è proporzionale a
00 )sin( krkr
a definita come l’intercetta di questa funzione d’onda
Linea retta
41
Potenziale repulsivo: a>0 (sempre)Potenziale attrattivo (buca poco profonda): a<0
Potenziale attrattivo (buca profonda): a>0
b
b
b
2
022
02
2
/1
4
cot1
14
sin4
a
k
k
akk
1cotlim 00
Segno meno consistente con la definizione come intercetta della funzione d’onda esterna
42
Funzione d’onda piatta per r>b e simile a exp(-k’r)
ma exp(-k’r): funzione d’onda di uno stato legato con E infinitesimalmente negativa
Funzione d’onda in r<b
krsin 0
22
2VE
m
k
Stato legato E<0
Scattering E>0
Ma se E~0
0
22
2V
m
k
stessa funzione d’onda
b
43
Funzione d’onda piatta C(r-a) per r>b e simile a exp(-k’r)
Stesse funzioni d’onda per r<b:
Uguagliamo le derivate logaritmiche della funzione d’onda dello stato legato
brbr
rk
rk
are
ek
1''
' b<<a
MeVmam
kB
4.122
'2
222
Stima non troppo buona: a= 5.4 fm b<<a non corretto funzioni d’onda per r<b non uguali
b
44
Generalizzazione: per scattering a energie non nulle, introduciamo una funzione a(k) tale che per k 0 a(0) = a
akk
1cotlim 00 Segno meno consistente con
la definizione come intercetta della funzione d’onda esterna
Raggio efficace
nel limite k0 abbiamo posto
2000 2
11
)(
1cotlim kr
akakk
20
22 )2//1(
4
rkak
[MeV] E
[ba
rn]
r0 = raggio efficace
distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione
Per scattering in tripletto di spin i valori misurati di a e r0 sono
fmr
fma
75.1
4.5
0
45
segno della lunghezza di scattering: informazioni sulla possibilità che si formi uno stato legato.
L’equazione
Ammette una soluzione k’ reale, a cui corrisponde uno stato legato, solo se a>0
Dalle misure di sezione d’urto totale si ricava solo il valore assoluto della lunghezza di scattering. Tuttavia, è possibile determinare il segno tramite misure di scattering coerente.
Neutroni di energia nulla: stato di tripletto ha at > 0
ak
1'
tt aak
11cot 0 0
buca di potenziale abbastanza profonda quando S=1
46
Neutroni di energia nulla: stato di singoletto ha as < 0
ss aak
11cot 0 00
non si può formare uno stato legato in singoletto di spin
buca di potenziale non abbastanza profonda quando S=0
La funzione d’onda esterna non piega verso il basso
47
Raggio efficace: trattazione quantitativa
48
A basse energie (per scattering in onda S) 1/a(k) è una funzione lineare dell’energia:
L’intersezione con k=0 dà la lunghezza di scattering a
La pendenza definisce un secondo parametro detto raggio efficace
02
2
11
)(
1rk
aka
Consideriamo l’equazione d’onda di due stati S di energia E1 ed E2
0)( )()(
0)( )()(
22222
2
11221
2
rurVEm
dr
rud
rurVEm
dr
rud
N
N
Moltiplicando la prima per u2, la seconda per u1, sottraendo e integrando fra zero e un valore arbitrario R otteniamo
RR
druukkdr
duu
dr
duu
0
2121
22
0
21
12
49
Consideriamo la forma asintotica delle funzioni u per r grande rispetto al raggio d’azione delle forze nucleari
sin
)sin()sin(
krkrc c scelto in modo che =1
nell’origine
sono autofunzioni della particella libera, e possiamo scrivere
RR
drkkdr
d
dr
d
0
2121
22
0
21
12
Assumiamo che R sia maggiore del raggio d’azione delle forze. Allora, sottraendo membro a membro abbiamo
R
druukk
kakakk
0
212121
22
21112212
)(
)(
1
)(
1cotcot)0(')0('
Per r= R u(R) e (R) coincidono
Per r=0 u(0) = 0
50
Per k2 = k arbitraro e k1 0 ricaviamo
Dove abbiamo definito
Le funzioni e u differiscono solo all’interno del raggio d’azione delle forze – Ma qui dipendono molto poco dall’energia poichè l’energia potenziale e molto maggiore di k2 (per lo meno fino a 10 MeV). Quindi
0
2121 )(),0(2
1druuE
),0(2
11
)(
1cot 2
0 Ekaka
k
0
20
200 )(
2
1)0,0(
2
1),0(
2
1drurE
Costante indipendente dall’energia: raggio efficace
r0 = distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione
51
Consideriamo lo stato fondamentale del deutone e poniamo
Energia di legame del deutone
Allora con k1 0
222
2
/ ,2 Bmke
BE
Nrk
Funzione d’onda del deutone al di
fuori del raggio d’azione delle forze nucleari
ak /1)0(' ,)0(' 122
e
),0(2
11 222 Bk
ak
Nell’approssimazione del raggio efficace (0,-B) = r0, cosicchè
fm
akkr
32
11
2
220
Valido per buche di forma qualsiasi
52
53
Le misure a basse energie portano a = 20 barn
barn 65 4
1
4
3 sst
Se le orientazioni dei neutroni nel fascio incidente e dei protoni nel bersaglio sono casuali, allora
Per k 0
fm 24|| fm 3.4 ),3( 22 stst aaaa
Sezione d’urto di scattering n-p
Energia cinetica del neutrone (eV)
(b
arn)
Poichè abbiamo utilizzato i parametri dei deutone, la sezione d’urto calcolata deve corrispondere a scattering S=1
D’altra parte, la sezione d’urto totale sarà formata da una miscela di interazioni negli
S = 0 1S0 - S = 1 3S1 , , +
Confronto con l’esperimento
54
Possiamo scrivere la dipendenza della sezione d’urto dall’energia
Buon accordo con l’esperimento a bassa energia se Bs = 60 keV
stN BkBkm 22
2 114
20
2220
22 )2//1()2//1(
3
sstt rkakrkak
Facendo uso della teoria del raggio efficace, i risultati sperimentali sono descritti fino a 10 MeV con
Conclusione: - Forte dipendenza dallo spin dell’interazione nucleare - Non esiste uno stato legato di singoletto di spin
fm 76.2 fm 75.1
fm 7.23 fm, 4.5
s
efft
eff
st
rr
aa
N.B. Lo stato di singoletto n-p non è uno stato legato reale stato legato virtuale. Bs non ha un significato fisico particolare
55
Scattering di neutroni su orto e para H2
Per separare i contributi di t e s, consideriamo l’interazione di neutroni di energia molto bassa (E < 1 KeV) con orto- e para-idrogeno (H2)
orto-H2 p()p() SH2 = 1 para-H2 p()p() SH2 = 0
Neutroni di bassa energia (E < 1 keV): >> separazione dei protoni in H2
Abbiamo quindi scattering coerente2
2,1ip-nampiezza
i
(nel caso di scattering incoerente avremmo = (ampiezza)2 )
Gli operatori di spin del neutrone e di ciascun protone sono
Dove n e n sono le matrici di Pauli.
ppnn SS
2 ,
2
56
Poichè S2, S2n, S2
p sono costanti del moto con autovalori S(S+1), Sn(Sn+1), Sp(Sp+1), abbiamo
Abbiamo pertanto
pn Studiamo gli autovalori di . Il quadrato dello spin totale del sistema neutrone-
protone è
pnpn SSSSS
2222
)1()1()1(2
1 ppnnpn SSSSSSSS
o)(singolett 0per 3-
)(tripletto 1per 1
3)1(2
S
S
SSpn
A basse energie l’ampiezza di scattering è pari alla lunghezza di scattering. La seguente formula dà il risultato corretto per scattering nello stato di singoletto o tripletto
)()( 1
)()( 0
44
3
npSa
npSaaaaaaf
t
spn
sttsp
57
Quindi nel caso di scattering coerente di un neutrone sui due protoni dell’idrogeno possiamo scrivere
Nel caso del para-H2 abbiamo Sp1+Sp2 = 0 per cui
Nel caso dell’orto-idrogeno possiamo scrivere
2144
32 ppn
stts aaaaf
2/1 /22/3
2/3 2
)1()1()1(2
1)(
2
3
2
1 222
222
TOTts
TOTt
nnHHTOTstts
Saa
Sa
SSSSSSaaaa
f
2
para 2
34
2
3
tsts aaaaf
58
Arriviamo quindi al risultato
para-H2
22
orto
2
para
2
1
2
3
3
12
3
24
2
3
2
14
tst
ts
aaa
aa
orto-H2
n o-H2 n o-H2
Se la forza nucleare fosse indipendente dallo spin, t = s e at = as per cui para e orto
dovrebbero essere uguali.
Le sezioni d’urto misurate sono invece
La forza nucleare è dipendente dallo spin
b 130 b, 4 ortopara
e ricaviamo 2
paraorto )(2 st aa
59
La grande differenza fra i valori misurati mostra che at as e che at e as devono avere
segni diversi in modo da rendere para piccola rispetto a orto
lo stato di singoletto non è legato lo stato di tripletto è legato
fm 7.23 fm, 4.5 st aa
Come misurare le sezioni d’urto:
Ad alte temperature il rapporto del numero di molecole orto e para è 3:1. A basse temperature (diciamo 20 K) la maggior parte delle molecole sono nel loro stato fondamentale.
Lo stato fondamentale di orto-H2 è 0.015 eV più alto di para-H2 Quindi a 20 K H2 è tutto para-idrogeno
60
Riassunto
A basse energie (< 10 MeV) la meccanica quantistica non relativistica descrive adeguatamente i processi di scattering in onda S introducendo un semplice potenziale
La sezione d’urto non dipende sensibilmente dalla forma del potenziale. Possiamo ricavare solo una stima del range dell’interazione ma non la forma dettagliata del potenziale stesso
L’interazione nucleare dipende dallo spin (più dettagli in seguito)
Possiamo ricavare informazioni sull’esistenza (o non esistenza) di stati legati nucleone-nucleoni in diversi stati di spin e momento angolare orbitale
61
Scattering protone-protone
Poichè non esiste lo stato legato 2He, la forza protone-protone può essere studiata solo attraverso il processo di scattering.
Sperimentalmente lo studio è più semplice: è più semplice produrre fasci collimati e monocromatici e inoltre è molto più semplice rivelare i protoni.
Oltre alla forza nucleare, è presente anche la forza coulombiana repulsiva. Questo dà luogo a un effetto di interferenza che permette di determinare il segno degli spostamenti di fase dell’interazione nucleare.
A basse energie ci aspettiamo che l’interazione nucleare sia dominata dallo stato L=0. D’altra parte, essendo l’interazione coulombiana a lungo range, per questa ci sono contributi anche per L ≠ 0.
62
La sezione d’urto differenziale è data d/d = |f(ϑ)|2. Classicamente le particelle sono distinguibili e la probabilità di osservare o l’una o l’altra è
Studiamo il processo nel riferimento del centro di massa come nel caso dello scattering neutrone-protone
ip1
ip2
fp2
fp1
22)()( ff
Al contrario, quantisticamente le particelle sono indistinguibili e non possiamo quindi distinguere fra questi due diagrammi, i quali devono essere sommati
È presente un effetto d’interferenza)(f
ffii
ffii
ffii
ffii
EEEE
pppp
EEEE
pppp
2121
2121
2121
2121 0
63
Gli spin 1/2 dei due protoni si combineranno in uno stato di spin totale 1 simmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2
Il sistema di due protoni deve obbedire al principio di esclusione di Pauli, per cui la funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica nello scambio delle due particelle.
La funzione d’onda ha la forma
)(r
)2()1(
)1()2()2()1(2
1)2()1(
t
oppure in uno stato di spin totale zero, antisimmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2
parte spaziale parte di spin
S=1, Sz = 1
S=1, Sz = 0
S=1, Sz = -1
)1()2()2()1(2
1 s
S=0, Sz = 0
64
Scambiare le particelle equivale a operare la trasformazione, per cui
Di conseguenza abbiamo le due possibilità
ssim r )(
. )()(2
1)(.
, )()(2
1)(
rrr
rrr
ant
sim
In coordinate polari lo scambio implica
Protoni in singoletto di spin
scattering in singoletto di spin
tant r )(
Funzione d’onda spaziale simmetrica
Protoni in tripletto di spin
Funzione d’onda spaziale anti-simmetrica
rr
, , zzrr
).()()(
),()()(
fff
fff
ant
sim
Corrispondentemente, avremo le ampiezze di scattering
scattering in tripletto di spin
65
)(*)(Re2)()()()(
)(
222
2
ffffff
fd
dsim
s
)(*)(Re2)()()()(
)(
222
2
ffffff
fd
dant
t
)(*)(Re)()(
4
3
4
1
22
ffff
d
d
d
d
d
d ts
La sezione d’urto differenziale per scattering in singoletto di spin è
La sezione d’urto differenziale per scattering in tripletto di spin è invece
Se si utilizzano fasci di protoni non polarizzati, allora gli spin si combineranno in modo da formare una miscela con pesi statistici 3/4 (tripletto) e 1/4 (singoletto)
66
, )(2
)( 3)(
211 rdrVe
mf rkki fi
fi kkq 11
21 rrr
r
erV
2
)(
Calcolo dell’ampiezza di scattering – interazione coulombiana
Approssimazione di Born
Dove e
= momento trasferito
2Nm
m = massa ridotta
Interazione coulombiana
In questo caso abbiamo già calcolato l’integrale sopra nella discussione dello scattering Rutherford
2
23 4
)(q
erdrVe rqi
67
2sin
2sin4
2sin4
222
22222222
relN
Nfi
m
mpppq
)2/(sin)(
22
2
relNm
ef
L’ampiezza di scattering coulombiano è dunque
22
2
2
2
2
3)(
2
4
2
)(2
)( 11
q
em
q
em
rdrVem
f
N
rkki fi
Il momento trasferito può essere espresso come
Dove vrel è la velocità relativa delle due particelle, vrel = 2v.
Arriviamo quindi all’ampiezza di scattering nel referimento del centro di massa
68
)2/(cos)2/(sin
1
)2/(cos
1
)2/(sin
1
)(*)(Re)()(
4
3
4
1
2244
2
2
2
22
relN
ts
m
e
ffff
d
d
d
d
d
d
La sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano (con fasci non polarizzati) è corrispondentemente
Nel riferimento del laboratorio uno dei protoni è fermo, mentre l’altro si muove con velocità vlab = vrel. In questo riferimento l’angolo di scattering è
2/ lab lablablablablab ddd sin2cos42sin4sin2
Quindi, ponendo E0 = mNv2lab / 2 (energia cinetica del protone incidente)
lablablablablab
lablablab
d
E
ed
sin2coscossin
1
cos
1
sin
1
22
4420
4
69
),22lnexp()(
))(lnexp()(
0
iikriikrr
g
zrkiikzr
La formula di Born è approssimata (ordine più basso di un’espansione perturbativa). D’altra parte una soluzione asintotica dell’equazione di Schrodinger per lo scattering di due protoni nel centro di massa è
dove
Utilizzando g(ϑ) la sezione d’urto differenziale (nel centro di massa) è
.)1(
)1( ,
2 ,
, )2/(sinlnexp)2/(sin
)(
0
2
222
2
i
ie
mk
e
im
eg
irelN
relN
Onda incidente approssimativamente piana (a causa del lungo range dell’interazione coulombiana)
Onda sferica diffusa
)2/(cos)2/(sin
)]2/(tanln)/cos[(
)2/(cos
1
)2/(sin
1
22
22
442
2
rel
relN
e
m
e
d
d
70
Questa espressione della sezione d’urto si riduce alla precedente quando
Questa condizione è soddisfatta per
1.0
, MeV1E
1)]2/(tanln)/cos[( 22 rele
cioè
0)2/(tanln 22
rel
e
71
L’interazione nucleare in onda S è descritta dall’ampiezza
Inclusione dell’interazione nucleare
L’ampiezza di scattering totale (in approssimazione di Born per la parte coulombiana) è quindi
e corrispondentemente (la parte nucleare non ha dipendenza angolare e quindi scompare nell’ampiezza antisimmetrica)
)1(2
)( 02 inuc e
k
if
)1(2)2/(sin
)( 0222
2
i
relN
ek
i
m
ef
)2/(cos
1
)2/(sin
1)(
)1()2/(cos
1
)2/(sin
1)(
222
2
2222
20
relNant
i
relNsim
m
ef
ek
i
m
ef
)(2 nucf
72
Procedendo come prima
La sezione d’urto totale diventa
)(*2)(Re2)(2)()( ,
22
,
2 nucsimcoulnucsimcoulsim
s fffffd
d
2
,
2)()(
antcoulantt ff
d
d
02
2
2220
2
2
2
sinsin
2sin2
eem
e
d
d
d
d
Ncoul
Termine di interferenza. Dipendenza lineare: permette di determinare spostamenti di fase molto piccoli
Inoltre si può determinare il segno
nello stato L = 0 il potenziale è attrattivo
Termine che descrive lo scattering se non ci fosse interazione coulombiana
Ad alte energie domina a causa di v2
d
d
d
d
d
d ts 4
3
4
1
73
0 è l’unica incognita
Dalla misura di d/d ricaviamo il segno e il modulo di 0
L’interferenza permette di determinare il segno
b 1.07.36 pp
Totale
Mott
d/d
(cms)
interferenza
74
I dati sperimentali di scattering protone-protone possono essere analizzati col formalismo della lunghezza di scattering e del raggio efficace proprio come nel caso neutrone-protone.
I valori ricavati sono affetti dalla presenza dell’interazione coulombiana. Tuttavia è possibile da essi determinare quale valore avrebbero in assenza di interazione coulombiana (cioè se fosse presente la sola forza nucleare).
Il risultato è per lo scattering nello stato 1S0
fm 17 fm, 8.2 0 spp
eff ar
Buon accordo con lo scattering n-p in singoletto
In buona approssimazione l’interazione puramente nucleare neutrone-protone è uguale all’interazione protone-protone.
Indipendenza dalla carica dell’interazione nucleare
Equivalenza delle forze neutrone-protone e protone-protone
Lunghezza di scattering negativa non esistono stati legati p-p 1S0.
D’altra parte il principio di Pauli esclude lo stato 3S1 analogo del deutone.
75
Lo scattering n-n è difficile poichè non esistono bersagli composti solo da neutroni
Usiamo reazioni per creare 2 neutroni a distanza reciproca minore del range nucleare (paragonabili a un esperimento di scattering)
termine di interferenza
Se 2n legato monocromatico, stato finale a due corpi
Se n-n non legato energia ripartita fra 3 particelle
fm) 1.07.36( fm 8.18.33 ppnn
La forza nucleare è indipendente dalla carica
Scattering neutrone-neutrone
76
L’ISOSPIN
77
Confronto fra protone e neutroneTrascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili
Hanno masse praticamente identiche:
GeV 104.1 3 pn mm
78
Momenti magnetici
79
I momenti di dipolo magnetici derivano da
- il moto orbitale di particelle cariche - lo spin intrinseco
Il momento di dipolo magnetico è la componente misurabile massima dell’operatore momento di dipolo magnetico
Momenti magnetici
La meccanica quantistica porta allo stesso risultato
zLm
er
r
evIA
222
Momento magnetico orbitale
Classicamente se abbiamo una spira di corrente
zLm
eg
2
Fattore g: gl = 1 particelle cariche . gl = 0 particelle neutre
80
La teoria di Dirac (m.q. relativistica) delle particelle di spin 1/2 predice gs=2
Momento magnetico intrinseco
L’operatore momento magnetico intrinseco dovuto allo spin intrinseco di una particella è
zs Sm
eg
2
dove B=eħ/2me è il magnetone di Bohr
Si osservano piccole differenze rispetto a gs=2 a causa di correzioni di ordine superiore di QED
Elettrone
BB
ess
e m
eg
m
eg
22
2
137
1
4 )(
21
22
e
OBs
Esperimento e teoria sono in accordo entro 1 parte su 108!
81
dove è il magnetone nucleare
Protone e neutrone
Nsp
ssp
gm
eg
m
eg
2
1
22
2
pN me 2/
Ci aspettiamo che
p spin 1/2, carica +e, s = N
. n spin 1/2, carica 0, s =
Si osserva invece
p s = +2.793 N gs= +5.586
n s = N gs = -3.826
Protoni e neutroni non sono particelle puntiformi: sono stati legati di quark carichi e gluoni
82
Chiusa parentesi
83
Trascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili
La componente anomala di questo momento magnetico è
Il momento magnetico del neutrone è interamente anomalo
Il momento magnetico del protone è
Quindi
Hanno masse praticamente identiche:
GeV 104.1 3 pn mm
)2/( 793.2 pNNp me
NNpap 1.793
Nn 1.96
apn
Confronto fra protone e neutrone
84
Protone e neutrone possono essere considerati come due stati quantici di una stessa entità, il nucleone. Definiamo un numero quantico intrinseco detto isospin
nntppt zz 2
1 ,
2
1
Definendo z = 2tz, abbiamo
1
0 ,
0
1 ,
10
01 npz
Le altre due componenti dell’isospin sono definite in analogia con lo spin
0
0 ,
01
10
i
iyx
kijkji i 2,
L’isospin
85
Possiamo definire degli operatori di conversione protone neutrone (operatori di innalzamento e abbassamento dell’isospin)
0 ,
,0 ,
nnp
ppn
che sono tali che
In questo formalismo Q può essere espresso come
yx
yx
i
i
z
eQ 1
2
L’operatore di carica deve essere tale che
0
Q p e p
Q n
86
L’isospin si compone come lo spin
e un singoletto di isospin T = 0
Consideriamo un sistema di due nucleoni i cui stati di isospin sono
1 1 2 21/ 2, , 1/ 2,z zt t t t
Abbiamo quindi un tripletto di isospin T=1
Sistema di due nucleoni
, 2121 zzz ttTttT
)2()1(
)1()2()2()1(2
1)2()1(
t
)1()2()2()1(2
1 s
|T=1, Tz = 1>
|T=1, Tz = 0>
|T=1, Tz = -1>
|T=0, Tz = 0>
87
Vediamo che
D’altra parte, e sono stati misti protone-neutrone.
Lo stato in cui la prima particella è un protone e la seconda è un neutrone è una sovrapposizione degli stati di isospin totale T=1 e T=0 con componente z Tz=0
0,00,12
1 zz TTTTpn
1, 1
1, 1
z
z
T T pp
T T nn
stato protone-protone
stato neutrone-neutrone
1, 0zT T 0, 0zT T
pn
88
Nel formalismo di isospin protoni e neutroni sono considerati come stati di una singola particella. La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è espressa come un prodotto (corretto se si trascurano nell’hamiltoniana interazioni fra spin e isospin, spin e coordinate, ecc.)
Possiamo generalizzare il principio di Pauli in modo da richiedere che la funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio di tutte le variabili (coordinate spaziale, spin, isospin)
funzione d’onda spaziale Funzione
(spinore) di spin
Funzione (spinore) di isospin
),(),()(),,,,( 21212121 ttfssfrttssr
21 rrr
Per un sistema p-p o n-n la funzione di isospin è
)2()1(),( 21 ttf )2()1( Simmetrica rispetto allo scambio delle due particelle
),()( 21 ssfr
Antisimmetrica rispetto allo scambio delle coordinate e spin usuale principio di Pauli per due fermioni identici
Principio di Pauli generalizzato
o
89
Se i due nucleoni sono in uno stato di momento angolare orbitale L, la simmetria dello stato rispetto allo scambio delle particelle è
dispari 1)1()1()1( 11 TSLTSL
Se due nucleoni formano uno stato legato, è ragionevole assumere che lo stato di energia più bassa abbia L = 0 S + T = dispari. Poichè nel caso del deutone S = 1, questo deve essere un singoletto di isospin T=0.
Esistono due nuclei con A = 3 che formano un doppietto di isospin T = 1/2
22/2/1
12/2/132
31
zz
zz
TAQTHe
TAQTH
Esiste un solo nucleo con A = 4 (42He) che è un singoletto di isospin ed è una
configurazione particolarmente stabile con energia di legame pari a 28.3 MeV
90
Rotazioni
91
Consideriamo una rotazione attorno all’asse z axis di un angolo
Rotazioni
o, in forma matriciale
con la matrice di rotazione
'
' cos sin
' sin cos
'
t t
x x y
y x y
z z
rRr z
)('
100
0cossin
0sincos
)(
zR
92
È interessante considerare una rotazione “infinitesima”. In questo caso
dove abbiamo introdotto la matrice
e possiamo scrivere
Jz è detto il generatore delle rotazioni attorno all’asse z e vediamo che possiamo scrivere
0
1 ( )zz
dRJ
i d
sin ,1cos
z
z
JiR
1
000
00
00
100
010
001
)(
000
00
00
i
i
J z
93
L’ordine con cui eseguiamo due rotazioni è importante. Ad esempio
In modo simile, se consideriamo rotazioni attorno all’asse x o y, abbiamo i corrispondenti generatori
( ) ( ) ( ) ( )x z z xR R R R
Le rotazioni non commutano: il gruppo delle rotazioni (SO(3)) non è abeliano
00
000
00)(
00
00
000)(
0
0
i
i
d
dR
iJ
i
id
dR
iJ
yy
xx
94
Possiamo costruire una rotazione finita a partire da una infinitesima ponendo
Il fatto che le rotazioni non commutino implica che anche le matrici dei generatori non commutano. Possiamo facilmente verificare che, ad esempio,
,x y y x x y zJ J J J J J iJ e permutazioni cicliche
Queste sono esattamente le relazioni di commutazione soddisfatte in meccanica quantistica dagli operatori del momento angolare.
gli operatori del momento angolare sono i generatori delle rotazioni
, N N
( ) ( )
1
1
z
N
z z
N
z
N
z
iJ
R R
iJ
iJN
e
N
Allora
95
Questo può essere facilmente verificato definendo l’esponenziale di una matrice attraverso la sua espansione in serie di Taylor
Una rotazione finita attorno ad un asse n di un angolo può essere scritta come
( ) iJ nnR e
100
0cossin
0sincos
000
010
100
!3
000
010
001
!2000
010
100
100
010
001
3
2
3
33
2
22/
!3!21
zzziJ Ji
JJie z
96
Chiusa parentesi
97
J è il momento angolare. Una rotazione spaziale induce una rotazione sullo stato di un nucleone nello spazio di isospin ponendo J = / 2,
L’esponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere
Ad esempio, una rotazione di 180 gradi attorno all’asse x dà (a parte un fattore i)
Una rotazione di un angolo ϑ attorno ad un asse n può essere rappresentata attraverso l’operatore
JnienR ),(
),( ,),( 2/ nDenD Rni
2sin
2cos1),( 2/
nienD ni
xxnD ),ˆ(
Indipendenza dalla carica dell’interazione nucleare
Questa inverte l’asse z per cui trasforma un protone in un neutrone (e viceversa).
98
Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0.
Possiamo ruotare lo stato di isospin |T,Tz> della coppia tramite l’operatore
Dove abbiamo posto J=T, essendo T l’isospin totale
Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni
zRzz TTnDTTTT
TninD
,),(,,
,exp),(
Dagli esperimenti di scattering abbiamo visto che n-p e p-p in 1S0 interagiscono allo stesso modo.
Stato p-p 1S0: antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin, T=1, Tz=1.
Stato p-n 1S0: antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin, T=1, Tz=0.
postuliamo che la forza non dipenda da Tz all’interno di un multipletto (ma può dipendere da T)
99
zNzN TTVTTV ,,
e il valor medio rispetto agli stati ruotati
L’indipendenza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi
Questo implica che VN commuta con l’operatore rotazione e quindi in definitiva con i generatori delle rotazioni di isospin T
Possiamo definire l’indipendenza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin
zTni
NTni
z
RzNzRR
TTeVeTT
TTVTTH
,,
,,
TniN
TniNNRN eVeVVV
0, TVN
100
Autostato con la stessa energia
Possiamo formare autostati simultanei di H, T2, Tz e denotarli . Abbiamo
Consideriamo l’hamiltoniana completa del sistema di nucleoni , dove K è l’energia cinetica. Poichè K commuta con T, l’intera hamiltoniana commuta
z
znzz
TTnRD
TTnRDETTnHRDTTnRDH
,,)(
,,)(,,)(,,)(
0, TH
NVKH
zTTn ,,
Assumiamo che |n> e D(R)|n> siano distinti sono stati degeneri
In generale
z
zzT
zTTz TTnRDTTnRD'
' ',,)(,,)(
combinazione lineare
Tutti gli stati |n,T,Tz> con Tz diverso devono avere la stessa energia
101
Il valor medio di H rispetto a uno qualunque di essi è lo stesso.
Una coppia n-p d’altra parte può trovarsi anche in singoletto di isospin
Quindi, se consideriamo i tre stati p-p, n-n, e n-p del tripletto di isospin T=1
0,1),,,()2,1(
1,1),,,()2,1(
1,1),,,()2,1(
2211
2211
2211
zAnp
zAnn
zApp
TTsrsr
TTsrsr
TTsrsr
0,0),,,()2,1( 22110 zSnp TTsrsr
Questo sarà un autostato dell’hamiltoniana in generale con autovalore dell’energia diverso.
L’interazione non dipende dalla componente z dell’isospin, ma porterà a energia diverse a seconda che T=0 o T=1.
102
L’invarianza di VN rispetto a isorotazioni implica che VN deve essere uno scalare nello spazio dell’isospin- ad esempio
( , ) ( , , ) N ij i j i jV i j f r Invariante rispetto a
rotazioni
Poichè
221 2
1
4T
abbiamo2 2
2 21 21 2 2 2 3
2 2T T
e
1 2
3 0, , 2 ( 1) 3
1 1z z
TT T T T T T
T
All’interno di un dato multipletto l’energia non dipende da Tz nuclei speculari membri di un dato multipletto di isospin con ±Tz
103
Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè?
L’indipendenza da Tz implica che un livello corrispondente a un certo valore di T si presenta in 2T + 1 isobari corrispondenti a tutti i possibili valori di Tz.
Livello fondamentale di 6Li: ha T = 0 per cui è un singoletto
Livello eccitato a 3.56 MeV: ha T = 1 e si presenta in tre nuclei 6He, 6Li, 6Be:
104
Consideriamo ora l’azione dell’operatore x
L’operatore
)()2()1(),,2,1( AA xxx
agendo su una funzione d’onda nucleare converte tutti i neutroni in protoni e viceversa
np
pn
x
x
1
0
0
1
01
10
0
1
1
0
01
10
),,2,1,,,2,1(),,2,1,,,2,1(),,2,1( NZNZA
protoni neutroni neutroni protoni
Simmetria di carica
La simmetria di carica deve implicare 0, HHH
Ciò implica che l’interazione n-n è uguale all’interazione p-p. Quindi, l’indipendenza dalla carica è una condizione più forte della simmetria di carica
105
Nuclei speculari
Illustrano la simmetria di carica (indipendenza da Tz)
interazione p-p = interazione n-n
Ciò non implica che p-n = p-p o n-n perchè il numero di coppie p-n è lo stesso in entrambi i nuclei
Esempio 23Na 23Mg
106
Il pione esiste in tre stati carichi +, -, 0 . Di conseguenza possiamo definire un tripletto di isospin T=1 e la carica è data da
L’isospin è conservato nelle interazioni forti. Consideriamo ad esempio le due reazioni
0 )( , )( dnpiidppi
zTQ
T=1 50% T=0 50% T=1
T=0 T=1 T=0 T=1
2
1
)(
)(
i
ii
Estensione del concetto di isospin: il pione
Conservazione significa che l’isospin dello stato finale deve essere uguale all’isospin dello stato iniziale.
ciascuna delle due reazioni può procedere solo attraverso il canale T=1. Abbiamo di conseguenza la predizione
In accordo con le misure!
107
In generale l’hamiltoniana completa di un nucleo contiene anche il termine di interazione coulombiana Vc
NC VVKH
Interazioni coulombiane: rottura della simmetria di isospin
Poichè la carica di un singolo nucleone è
l’interazione coulombiana fra due protoni separati da una distanza r è
Possiamo ragionare in termini di interazione coulombiana fra due nucleoni i e j sostituendo al posto di e2 il prodotto delle cariche QiQj
2 2 1 1( , )
4
i jz zi
Cij ij
Q eV i j
r r
r
eVC
2
z
eQ 1
2
108
L’energia potenziale elettrostatica totale è quindi
Vediamo quindi che Vc è invariante rispetto a rotazioni attorno all’asse z.
D’altra parte però, poichè Tz non commuta con Tx e Ty, in generale abbiamo
2
,
1 11
2 4
i jAz z
Ci j ij
eV
r
Quindi l’interazione coulombiana non è invariante rispetto a qualunque rotazione nello spazio di isospin.
0, zc TV
0, TVc
In pratica questo implica che il valore di aspettazione di H rispetto a uno stato |n,T,Tz> acquisterà una dipendenza da Tz che rimuove la degenerazione.
109
Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè?
effetto coulombiano che rimuove la degenerazione.
110
FORZE DIPENDENTI DALLO SPIN E FORZE NON CENTRALI
111
Consideriamo un potenziale dipendente dallo spin della forma
21)( rVS
Abbiamo
)1()1()1(2 221121 SSSSSS
1 1
0 321 S
S
2122
211
22
2
212
2)1()1()1( SSSSSSSS
SSStot
Poichè Si = hslashi/2
Diversi potenziali per gli stati di tripletto e singoletto
VS può essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle
Forza dipendente dallo spin - 1
112
Interazione tensoriale – considerazioni generaliIl deutone ha un piccolo ma non trascurabile momento di quadrupolo elettrico, Q=2.82x10-31 m2. Quindi la funzione d’onda non è sfericamente simmetrica.
La distribuzione di carica è fusiforme forza tensoriale funzione non solo della distanza n-p ma anche dell’angolo formato dal loro spin con la congiungente delle due particelle.
0Q
r1S
2S
1S
2S
forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro)
forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco)
N
S
N
S
N
S
N
S
r
Esempio classico di forza tensoriale: due barrette magnetiche
forza attrattiva
forza repulsiva
113
0Q
r1S
2S
1S
2S
forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro)
forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco)
Il potenziale tensoriale ha la forma
1 2T T 1 2 T 122
3 ( ) ( )
r rV V r V r S
r
114
Momenti elettrici
115
Momenti nucleariLe proprietà elettromagnetiche statiche dei nuclei sono specificate in termini dei momenti elettromagnetici che danno informazioni sul modo in cui il magnetismo e la carica sono distribuiti all’interno del nucleo.
I due momenti più importanti sono
Momento di quadrupolo elettrico Q Momento di dipolo magnetico
Zerdrrdrr
rrV
33 )( ,'
'
)'(
4
1)(
Momenti elettrici
Dipendono dalla distribuzione di carica all’interno del nucleo e sono una misura della forma nucleare (contorni di densità di carica costante).
La forma nucleare è parametrizzata tramite un’espansione di multipolo del campo elettrico esterno
r-r’ 'rr
116
1cos3'
2
1cos
'1
1
cos'
2'
8
3cos
'2
'
2
11
1'
cos'
2'
1cos'2''
22
2
2
2
2
2
21
2/1
2
22/122
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
r
rrrrrrrr
')'()1cos3('2
1
')'(cos'1
4
1)(
3222
3
rdrrr
rdrrr
Zer
rV
Eseguiamo un’espansione in serie di potenze
Possiamo quindi riscrivere il potenziale elettrico come
117
quadrupolo di momento ' )''3(1
momento
dipolo di momento ' ' momento
carica momento
322*2
3*1
3*0
rdrze
E
rdzE
ZerdE
Definiamo quindi
Nel limite quantistico
Supponiamo che r definisca l’asse z
2)()( rr
zr cos'
118
Le unità sono m2 o barn (un’area)
Nel caso di simmetria sferica si ha z2=r2/3 per cui Q=0 In particolare, tutti i nuclei con J=0 hanno Q=0
' )'3(1 322* rdrze
Q
Momento di quadrupolo elettrico
sferoide prolato Q=+ve a>b=c sigaro
sferoide oblato Q=-ve a=b>c dosco o “lenticchia”
Ellitticità
Sperimentalmente è tipicamente 10%
2/)( ab
ab
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
119
Chiusa parentesi
120
Se ipotizziamo che l’interazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner)
1221 )()()( SrVrVrV TSC Vi possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle
potenziale centrale potenziale tensoriale
Forma del potenziale dettata da principi di invarianza
21221
12
3
r
rrS
121
Un’interazione della forma è invariante sotto rotazioni. Tuttavia, abbiamo un vincolo addizionale: la conservazione della parità nelle interazioni forti.
rrA
)(
r è un vettore
A questa trasformazione nello spazio ordinario corrisponde un operatore agente nello spazio vettoriale degli stati di un sistema,
Parità e invarianza sotto riflessioni spaziali
Una trasformazione di parità è una riflessione rispetto all’origine in cui tutte le coordinate cambiano segno
),,(),,(
:
zyxzyx
rrP
),,( zyx
),,( zyx ),,(),,( zyxzyx
rr
PPU Come è definita?
122
Ricordando che r in meccanica quantistica diventa un operatore (come il momento angolare), possiamo fare l’ipotesi “plausibile”
r è un vettore
L è uno pseudovettore – lo spin ha la stessa proprietà di trasformazione
Dire che la parità è conservata significa che l’hamiltoniana del sistema è invariante sotto Up,
rUrUr PPPP
HHUUHHUUH PPPPPP
rmp Poichè, l’operatore quantità di moto ha la medesima proprietà di
trasformazione. Abbiamo quindi le proprietà di trasformazione degli operatori posizione e momento angolare
LUprUULU
rUrU
pppp
pp
)(
La proprietà di invarianza può essere anche riformulata come
)()(
,0,
kk
P
rHrH
UH
123
r non è invariante sotto riflessioni spaziali
potenze pari sono invarianti (r) (r) (potenze maggiori della seconda possono
essere ridotte alla seconda tramite le relazioni di commutazione per due particelle identiche)
Se ipotizziamo che l’interazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner)
1221 )()()( SrVrVrV TSC Vi possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle
potenziale centrale potenziale tensoriale
Forma del potenziale dettata da principi di invarianza
21221
12
3
r
rrS
124
Potenziale tensoriale e stati del deutone
Il potenziale VC(r) + VS(r)12 è invariante rispetto a rotazioni delle coordinate e nello spazio di spin separatamente.
Il momento angolare orbitale e di spin totali L, S sono i generatori delle rotazioni L ed S commutano con H
0, ,0, SHLH
Questo implica che mzL, mzS sono buoni numeri quantici, ossia costanti del moto: un autostato di H è caratterizzato da valori definiti di mzL, mzS
Inoltre, anche L2 e S2 commutano con H, oltre che con Lz, Sz. Quindi, complessivamente un autostato di H è anche autostato di L2, S2, Lz e Sz con numeri quantici L,S, mzL, SzL
Il potenziale VT(r)S12 è invariante solo rispetto a rotazioni simultanee delle coordinate e nello spazio di spin.
J = L + S è il generatore di tali rotazioni, per cui J commuta ancora con H. Tuttavia, si può mostrare che L non commuta più con H
0, LH un autostato di H può essere una
sovrapposizione di stati di L diverso
E per quanto riguarda lo spin?
125
Ancora sulla parità e parità degli stati nucleari
Sotto una trasformazione di parità la funzione d’onda di un sistema si ottiene invertendo tutte le coordinate
)()( kkP rrU
Supponiamo che sia una autofunzione di UP. Allora
Tuttavia,
per cui
Questo implica
)()( kkP rrU
)())(())(()(2kkPkPPkP rrUrUUrU
1 12
)()( kk rr
Le autofunzioni della parità restano invariate o cambiano segno rispetto allo scambio delle coordinate spaziali.
126
Torniamo a considerare il deutone e sia ora un’autofunzione dell’hamiltoniana del sistema p-n
)()( kk rErH
Consideriamo l’equazione di Schrodinger per l’autofunzione trasformata sotto parità UP
(rk). Poichè H e UP commutano, troviamo
Quindi anche UP (rk) è un’autofunzione di H con autovalore E. Pertanto deve essere
)()()( kkkP rKrrU
Applicando di nuovo UP, deve essere anche (rk) = K (-rk) ,
)()()( kPkPkP rUErHUrUH poichè
H(rk) = E (rk)
)()( kk rKr
Da cui segue che K= ±1. Quindi la funzione d’onda del deutone è anche un’autofunzione della parità.
Proprietà generale: le funzioni d’onda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto all’inversione spaziale.
127
Le funzioni d’onda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto all’inversione spaziale. Questo implica che il momento di dipolo di un nucleo è zero
3*1 rdzE
Sotto inversione spaziale * non cambia segno, mentre z cambia. Quindi E1-E1 per cui E1=0
La condizione di non degenerazione di è essenziale. Consideriamo ad esempio, l’hamiltoniana di una particella libera H = p2 / 2m. Le autofunzioni (onde piane) = exp(±ipx/h) sono degeneri poichè hanno lo stesso autovalore E = p2/2m.
H commuta con UP, mentre d’altra parte le onde piane non hanno una parità definita.
// xpixpi ee
128
Per gli stati del deutone abbiamo trovato che è caratterizzato dai numeri quantici J, mJ e la parità.
H ed S non commutano. Tuttavia, l’hamiltoniana corrrispondente al potenziale
1232121 )()()( SrVrVrV
è simmetrica rispetto allo scambio degli spin. Considerazioni simili a quelle sulla parità:
gli stati di spin devono essere simmetrici (corrispondenti a S=1) o antisimmetrici (corrispondenti a S=0) rispetto allo scambio delle coordinate di spin
l’autovalore di S2 è un buon numero quantico
mS non è un buon numero quantico (possiamo avere sovrapposizioni di diversi stati di tripletto con diverso mS)
Completamento della discussione sugli stati del deutone
129
Mixing di stati di momento angolare orbitale diverso Poichè H e L non commutano a causa del potenziale tensoriale, lo stato del deutone in generale può essere una sovrapposizione di stati di L diverso.
Poichè L e UP commutano, un autostato del momento angolare (L2,Lz) è anche un autostato della parità. Utilizzando coordinate polari sferiche abbiamo visto che la funzione d’onda corrispondente a un definito momento angolare orbitale ha la forma
),()(
mYrR
Sotto parità
immim ee
rr
)1(
-coscos
,
immmm eP
m
mY )(
)!(4
)!)(12()1(),(
L’espressione esplicita delle funzioni sferiche è
Autostato di L2 e Lz
130
Abbiamo per m = 0 il caso speciale
A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari
Vediamo quindi che sotto inversione spaziale
Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare
)(cos4
12),(0
PY
)()1()( zPzP
),(),(
,
1
mm
yx
YYL
iLLL
Poichè L communta con UP, anche L commutano con la parità e quindi in generale sotto inversione spaziale
),()1(),( 00 mm YY
),()1(),( mm YY
131
Poichè L e UP commutano e poichè UP e H commutano, possiamo avere o sovrapposizione di stati di L pari o sovrapposizione di stati L dispari.
non si possono mescolare stati L pari con stati L dispari.
Il deutone ha J=1 e consiste essenzialmente dello stato 3S1 in presenza di forze centrali.
In presenza del potenziale tensoriale consideriamo quindi lo stato 3S1+3D1, cioè una sovrapposizione di stati L=0 e L=2.
consistente col momento magnetico osservato.
Quindi la parità di uno stato di momento angolare orbitale è
dispari 1
pari 1)1(
132
Il momento magnetico del deutoneIl momento magnetico del deutone riceve un contributo dai momenti magnetici intrinseci del protone e del neutrone, e un contributo dovuto al momento angolare orbitale del protone.
La componente intrinseca è
Il moto orbitale del protone forma (classicamente) una spira di corrente che dà luogo a un momento magnetico orbitale
Poichè protone e neutrone hanno sostanzialmente la stessa massa, il momento angolare orbitale del protone Lp è metà del momento angolare orbitale totale
83.3
58.5
,
,
,,
ns
ps
Npnspps
g
g
SgSg
1 , LNpL gLg
totp LL
2
1
133
Il momento magnetico totale è dunque
Il momento angolare totale è
Npnspps LSgSg
2
1,,
LS
LSSJ np
JmJmJJJJ zzz ),1(22
Immaginiamo di eseguire misure lungo l’asse z. La misura del momento angolare dà
L’asse z può essere definito ad esempio da un campo magnetico uniforme. In tale campo l’energia dipende da mj
e J non sono allineati
NjJ BmgBE
134
La misura è fatta in uno stato in cui J è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che z sia la proiezione di su J
Il momento magnetico misurato è per definizione la sua proiezione massimale sull’asse z definito dalla direzione del campo magnetico con mj=J
Jm
jj
jz
JmJzJmJ
ˆ
,ˆ,
J
J
J
J
J
J zz
proietta su J ...
... quindi J su z
Quindi
Jm
j
Jmjj
Jjj
jmz
)1(ˆ
jmJ
jjJ
jz
)1(2
135
Essendo J=1 per il deutone
N
Jm
nnspps
Jm
j
j
JLSgSg
J
2
1
2
1
2
1
,,
Usiamo e scriviamo l’operatore come
Ma gli spin del protone e del neutrone sono allineati (per dare S=1) per cui,
JSJS np
il secondo termine deve dare zero.
SSS np
Nnpnspsnsps LSSggSgg
2
1
2
1
2
1,,,,
136
Quindi per il deutone possiamo scrivere effettivamente
Trucco per i valori di aspettazione. Poichè
Quindi
SLSLSLSLJ
JJJ
2
)1(
222
2
Nnsps JLSgg
,,4
1
SLJ
2222222
222
2
1
2
12
1
SLJSSLJSSLSJS
SLJSLLLJL
137
Possiamo scrivere i momenti magnetici corrispondenti a L=0 e L=2 (J=1, S=1)
Il momento magnetico osservato del deutone è
1 , 221
31
3 baDbSad
NNnsps
NNnsps
ggD
ggS
310.034
1
880.02
1
,,13
,,13
Nd 857.0
Assumiamo quindi che la funzione d’onda del deutone sia una combinazione lineare di stati S e D
Possiamo quindi aggiustare i coefficienti in modo da render conto del momento magnetico osservato
132
1321857.0 DbSbNd
b2=0.04 o una miscela con onda D al 4% spiega il momento magnetico!
138
Lo stato del deutone può essere L=0 o L=2. In entrambi i casi Stot=1 e Sz=1. Si può mostrare che
Il potenziale tende ad allineare r con z modificando la densità del sistema momento di quadrupolo positivo
0Q
)1cos3)((
1,11,1)(1,11,12
12
rV
SSSSSrVSSVSS
T
ztotztotTztotTztot
139
SATURAZIONE DELLE FORZE NUCLEARI E FORZE DI SCAMBIO
140
Finora abbiamo considerato delle funzione Vi(r) attrattive a tutte le distanze e indipendenti dal momento angolare.
Consideriamo un nucleo con A nucleoni. La sua energia totale sarà K + U, dove
U = energia potenziale. Per un potenziale attrattivo fra ciascuna coppia di nucleoni
Saturazione
f(r) = funzione della distanza media fra i nucleoni
)(2
)1(rf
AAU
K = energia cinetica. Se immaginiamo i nucleoni come un gas di fermioni in una sfera di raggio R
2
3/5
R
AK
Per grandi valori di A, E tende ad essere dominata da U per cui ci aspetteremmo che l’energia di legame cresca come A2 (o potenze maggiori).
D’altra parte si osserva che l’energia di legame dei nuclei cresce come A. Questo fatto sembra quindi implicare una saturazione della forza nucleare:
Una particella interagisce solo con un numero limitato di altre particelle.
141
Inoltre possiamo stimare l’energia dello stato fondamentale col metodo variazionale minimizzando
raggio d’azione della forze nucleari
rd
rdH3
3
*
*
Se usiamo come funzioni d’onda onde piane che si propagano nella sfera di raggio R che rappresenta il nucleo, allora si trova che
R
indipendentemente da A. D’altra parte di osserva invece che i raggi nucleari crescono come
3/1AR
Questa discrepanza è di nuovo una conseguenza del fatto che il potenziale tende a tenere troppo unite le particelle.
E’ invece necessario un potenziale che impedisca alle particelle di avvicinarsi troppo. Abbiamo alcune possibilità:
1. Potenziale repulsivo a piccole distanze (lo investigheremo più avanti).
2. Forze di scambio.
142
Scriviamo la funzione d’onda n-p nella forma (r1,s1,r2,s2) (1,2). Analogamente il
potenziale V(r1,s1,r2,s2) V(1,2). Il valore di aspettazione è
Forze di scambio
Tuttavia, anzichè V (detto anche potenziale di Wigner) possiamo considerare un operatore dato dal prodotto di V per uno dei seguenti operatori
23
13 )2,1()2,1()2,1(* rdrdVV
),,,(),,,(
),,,(),,,(
),,,(),,,(
12212211
21122211
11222211
srsrVsrsrVP
srsrVsrsrVP
srsrVsrsrVP
B
M
H
VPH VH interazione di Heisemberg: scambia le particelle sia le coordinate spaziali che di spin
VPM VM interazione di Majorana: scambia le coordinate spaziali delle particelle
VPB VB interazione di Bartlett: scambia le coordinate di spin delle particelle
143
Forza di Majorana. Lo scambio delle coordinate spaziali equivale a r -r. Ma sotto inversione spaziale
Per cui l’interazione di Majorana è
)1(
VVM)1(
Potenziale indipendente dallo spin che cambia segno a seconda che L sia pari o dispari.
Forza di Bartlett. Scambio delle coordinate di spin:
stato di singoletto di spin antisimmetrico il segno cambia stato di tripletto di spin simmetrico il segno non cambia
Quindi
1)1( S
Per cui l’interazione di Bartlett è
VV SB
1)1(
Potenziale che ha segno opposto per stati S = 0 e S = 1. L’interazione nucleare non può essere di Bartlett pura.
144
Per due particelle abbiamo
Per cui possiamo scrivere l’interazione di Bartlett come
0 3
1 121 S
S
Forza di Heisemberg. Poichè in questo caso vengono scambiate sia le coordinate spaziali che quelle di spin, abbiamo
0
1 )1(
2
121 SV
SVVVB
VV SH
1)1(
Potenziale che cambia segno a seconda che L+S sia pari o dispari:
VVVVV
PPSS
H
1313stato
145
Per due nucleoni abbiamo
0 3
1 121 T
T
e possiamo scrivere
Infatti questa cambia segno a seconda che lo stato di isospin sia simmetrico o antisimmetrico, che equivale a dire, in base al principio di Pauli generalizzato, a seconda che (r1,s1,r2,s2) sia antisimmetrica o simmetrica rispetto allo scambio delle coordinate spaziali e di spin.
VVH )1(2
121
146
La differenza fra l’interazione n-p in 3S1 e 1S0 può spiegarsi assumendo
- ~ 25% interazione di Heisemberg o Bartlett
- ~ 75% interazione di Wigner o Majorana
Forze di scambio e saturazione
L’interazione di Bartlett non porta a saturazione. Infatti tende ad allineare gli spin e nei nuclei pesanti l’energia di legame sarebbe A2.
Si può mostrare invece che sia l’interazione di Majorana che di Heisemberg, cambiando segno in stati di L pari o dispari, danno entrambe luogo a saturazione.
L’interazione di scambio predominante sembra essere quella di Majorana.
Fino al nucleo 4He la saturazione non dovrebbe manifestarsi perchè possiamo accomodare tutti i nucleoni in onda S (sia i 2 protoni che i 2 neutroni in singoletto di spin).
In effetti, l’energia di legame cresce da D, ad 3H e ad 4He consistente con l’assunzione che in D abbiamo 2 particelle e un legame , in 3H abbiamo 3 particelle e 3 legami, in 4He abbiamo 4 particelle e 6 legami più legami ci sono maggiore è l’energia di legame.
Se aggiungiamo un quinto nucleone, deve essere necessariamente in onda P. Il segno del potenziale cambia per cui non risulta legato agli altri saturazione. In effetti 5He e 5Li sono entrambi instabili.
147
Lo scattering n-p ad alta energia (100 MeV) dimostra l’esistenza delle forze di scambio.
L’ampiezza di scattering nell’approssimazione di Born nel centro di massa è
Evidenza sperimentale delle forze di scambio
rderVem
f rkirki if
3
2 )(
2)(
m = massa ridotta
r = r1 – r2
V(r) a corto range: l’integrale ha un valore non nullo solo per
0 fi kk Scattering in avanti: ci aspettiamo di
osservare un (solo) massimo a ϑ~0
)neutrone(CMS
d/d
altrimenti l’esponenziale oscilla così rapidamente da dare mediamente un risultato nullo
148
Tuttavia la sezione d’urto osservata presenta un massimo anche per ϑ ~ 180o
corrispondente a neutroni che rinculano indietro.
)neutrone(CMS
d/d
Se ci fosse una forza di scambio di Majorana, allora r va scambiato con –r e
rderVem
rdePrVem
f
rkirki
rkiM
rki
if
if
32
32
)(2
)(2
)(
Allora f(ϑ) è grande per ki + kf ~ 0 scattering del neutrone indietro (e di p in avanti)!
149
La sezione d’urto a 100 MeV (la prima ad essere misurata) presenta due massimi simili. Questo suggerì una miscela di forze ordinarie e di Majorana in parti uguali nota come interazione di Serber,
VSerber è attrattivo per L pari e zero per L dispari. Questo implica che la distribuzione angolare è data da
n p
n
p
ϑInterazione diretta
n p
p
n
ϑInterazione di scambio
)1)(1(
4
11 2121
VVSerber
2
pari
2 )(cos112
)P)(e( i
150
Poichè PL(cosϑ) è pari per L pari, abbiamo infine, come richiesto dalle osservazioni sperimentali a 100 MeV
Tuttavia, misure a energie maggiori mostrano che il massimo a 180o aumenta progressivamente per cui anche il peso delle forze di scambio aumenta rispetto a quello delle forze ordinarie.
d
)(d
d
)(d
)neutrone(CMS
d/d
Inoltre, dati di scattering p-p mostrano come anche gli stati L dispari contribuiscano.
151
SCATTERING AD ALTA ENERGIA: ALTRE CARATTERISTICHE
DELL’INTERAZIONE NUCLEARE
152
Gli elettroni atomici sono soggetti a un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione degli spin elettronici col campo magnetico dell’atomo
I nucleoni sono soggetti ad un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione del loro spin e del momento angolare orbitale.
Si ha evidenza di un termine di spin-orbita dalla polarizzazione dei nucleoni scatterati
Polarizzazione: numero di nucleoni con spin up N() diverso dal numero di nucleoni con spin down N()
Una forza dipendente dal momento può essere rappresentata da un termine di spin-orbita nel potenziale
Potenziale spin-orbita
- P = 1 100 % polarizzazione - P = 0 assenza di polarizzazione
SLrVSO
)(
)()(
)()(ionepolarizzaz
NN
NN
153
Abbiamo 3 possibilità:
(i) il nucleone del fascio ha spin , il nucleone bersaglio ha spin , lo spin totale è S = 1
Osserviamo la polarizzazione del nucleone scatterato quando fascio e bersaglio non sono polarizzati
Assumiamo
Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo
Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo
SLrVV SO
)(
negativo SL
positivo SL
Tutti gli spin incidenti su spin (bersagli) sono deflessi nella stessa direzione a causa del potenziale spin-orbita
154
(ii) il nucleone del fascio ha spin , il nucleone bersaglio ha spin , lo spin totale è S = 1
Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 attrattivo
Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 repulsivo
positivo SL
negativo SL
L’interazione spin-orbita deflette la componente di spin del fascio incidente a sinistra e la componente di spin del fascio incidente a destra
Abbiamo polarizzazione
(iii) il nucleone del fascio ha spin o , il nucleone bersaglio ha spin o , lo spin totale è S = 0
non c’è deflessione a causa dell’accoppiamento spin-orbita0SL
155
Qualunque singolo nucleone che passa attraverso l’interno di un nucleo incontrerà in media un ugual numero di nucleoni con spin e spin , per cui l’interazione spin-orbita complessiva è nulla.
Tuttavia, un’interazione di spin-orbita non nulla si può avere per quei nucleoni che passano vicino alla superficie del nucleo
L’effetto si osserva soltanto quando l’energia del fascio incidente è abbastanza alta da poter avere L > 0
La polarizzazione cresce con l’energia
156
A 300 MeV lo spostamento di fase S diventa negativo forza repulsiva
Classicamente
Il nocciolo repulsivo del nucleone incidente range della forza nucleare
Rr
RrRV
RR
V core
core
0
0
m
pERpL lab 2
,2
max
Per Elab = 300 MeV abbiamo p 1.7 fm-1. Con Lmax 1 troviamo
fm 6.0core R
157
dove in generale ciascun termine Vi (i = C, LS, ecc.) è funzione delle distanze e velocità relative, del momento angolare orbitale e isospin,
Riassunto sui potenziali fenomenologici
LLLLQ
prSL
ppprrr
122112
21
2121
2
12
1
)(2
1 ,
1221 1221 QVppVSVVSLVVV LLpTLSCNN
Riassumendo, la forma più generale del potenziale nucleone-nucleone è
21),,(),,( LprVLprVVi i
oi
Inoltre abbiamo
parte “isoscalare” parte “isovettoriale”
operatore quadratico di spin-orbita
158
TEORIA MESONICA
159
L’idea della forza mediata dallo scambio di particelle
n
p
scattering atteso
n
p
Una possibile spiegazione si ha se assumiamo che durante l’urto una particella carica venga scambiata fra protone e neutrone, cosicchè il neutrone incidente diventa un protone e il protone diventa un neutrone.
Abbiamo visto che le misure di scattering n-p ad alte energie evidenziano, oltre un massimo a piccoli angoli, anche un massimo pronunciato a 1800.
160
Poichè il processo spontaneo di creazione di una particella “virtuale” viola la conservazione dell’energia, vale la relazione di indeterminazione
tE
dove E = mc2 è l’energia richiesta per creare la particella (trascurando l’energia cinetica ). Se la particella si muove alla velocità della luce, allora t R / c cosicchè otteniamo il range
2mc
cR
lunghezza d’onda Compton della
particella
Per ottenere un range di circa 2 fm la massa deve essere circa 100 MeV (hslashc = 200 MeV fm)
161
In elettromagnetismo, i fotoni, particelle di massa nulla, soddisfano l’equazione di campo (equazione di Poisson)
Scambio di particelle di massa non nulla
)()()( )3(2 rerr
La soluzione di questa equazione si ottiene integrando sul volume
222 mpE
Possiamo ricavare un’equazione d’onda relativistica per una particella di massa non nulla a partire dall’invariante
r
er
1
4)(
Operando le sostituzioni
)1 ,1( ,
cipt
iE
Questo porta all’equazione d’onda
02
222
t
m
Equazione di Klein-Gordon
Equazione del moto della particella libera
162
Consideriamo la soluzione in condizioni statiche per cui /t = 0.
In elettromagnetismo le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettromagnetico (i fotoni). In analogia con l’elettromagnetismo, supponiamo che un nucleone sia sorgente di queste particelle di massa m possiamo porre
Consideriamo un nucleone di massa infinita fisso nell’origine
r
egr
mr
4
)(
La soluzione di questa equazione è il potenziale di Yukawa
)()( 22 xxgm
)()( )3(22 rgrm
A causa della forma esponenziale, diretta conseguenza della massa non nulla delle particelle, questo potenziale ha il desiderato range finito
MeV 138per fm 4.11
mm
R
163
Questa stima è abbastanza piccola: il pione comincia a dominare proprio oltre questo range. Applicando un fattore 3 o 4 si ottiene una stima più realistica.
L’energia di interazione con un secondo nucleone posto nel campo del primo è
Possiamo valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento forte g, considerando la sezione d’urto di interazione nucleone-nucleone. Abbiamo
r
egU
rdrrrg
rdgrdU
mr
4
)'( )'(
2
33
33
L’integrale è
rdr
egemqf
rmrqi
N
3
-2
44
1)(
22
2 1
4)(
mq
gmqf N
propagatore del campo bosonico
164
Assumiamo che la sezione d’urto totale (a bassa energia q 0) sia
D’altra parte
2
22 44)(
m
Rdqf
L’ordine di grandezza della costante di accoppiamento è dunque
224
2222
2 222
2222
4
)/2(1
4
4 cos)(
2/sin44)(
mmkm
mgddqf
mq
mgqf
N
N
137
1
41.0
4
22
e
m
mg
N
come ci aspetta dal fatto che a r = 1/m l’interazione nucleare fra protoni deve essere molto maggiore della repulsione coulombiana
165
Il potenziale che abbiamo ricavato descrive l’emissione e l’assorbimento di un pione neutro. Corrisponde quindi ai processi
Mesoni carichi e neutri. Teoria simmetrica
Le forze di scambio indicano però che si può avere anche emissione e assorbimento di pioni carichi
166
Dobbiamo includere anche i pioni carichi. Introduciamo quindi tre campi e
modifichiamo l’equazione di Klein-Gordon (abbiamo un’equazione per ciascun campo)
)()( )3(22 rgrm
sono operatori che agiscono sulla funzione di isospin del nucleone.
Quando viene scambiato un pione neutro (campo 3), il nucleone non cambia per cui 3 deve trasformare un protone in un protone o un neutrone in un neutrone:
1
0 ,
0
1 ,
3
3
nnn
ppp
Possiamo quindi porre
10
013 z
167
Con 1 e 2 dobbiamo rappresentare l’emissione (assorbimento) di pioni positivi e negativi nei processi
npn
pnp
c
c
222
111
,0
,0
Gli operatore 1 e 2 devono quindi trasformare il neutrone in un protone e viceversa. Poniamo quindi
Abbiamo visto già che le combinazioni lineari (x ± iy)/2 scambiano protoni con neutroni e viceversa, per cui poniamo
.01
00
2
,00
10
2
222
111
ci
c
ci
c
yx
yx
solo i protoni emettono +
solo i neutroni emettono -
168
Restano da fissare le costanti c1 e c2. Richiediamo che sia uguale a
2222zyx
Poichè
Troviamo quindi
.2
,2
2
1
c
c
23
22
21
22
22
21
222
21
23
22
21 22 z
yx cccc
Questa scelta assicura che i mesoni carichi (che possono essere emessi solo da un tipo di nucleoni per ogni carica) siano legati ai nuclei altrettanto fortemente dei neutri (che possono essere emessi sia da neutroni che da protoni).
169
Le soluzioni delle tre equazioni di Klein-Gordon sono
r
egr
mr
4
)(
L’energia di interazione fra un nucleone b posto nel campo di un nucleone a è
ba
mr
mr
ba
ba
r
egU
rdrrr
eg
rdU
4
)'(4
2
332
3
Qui è uguale, per come abbiamo fissato le costanti di di normalizzazione a
babababa 332211
zbzaybyaxbxa 21
scalare nello spazio dell’isospin invarianza di carica rispettata
Problema: ab ha segno positivo in tripletto e negativo in singoletto di isospin. Quindi nello stato fondamentale del deutone, che ha T = 0, avremmo una forza repulsiva!
la teoria non funziona!
170
Consideriamo una reazione come
La parità intrinseca
La funzione d’onda dello stato iniziale i e dello stato finale i saranno caratterizzate da una certa parità,
npnp
fifi
)1( ,)1(
La conservazione della parità implica che la parità dello stato finale deve essere uguale alla parità dello stato iniziale
fi
Tutto ciò è basato sulla definizione della legge di trasformazione di una funzione d’onda UP(rk) = (-rk). Adesso generalizziamo questa definizione in
)()( intr kkP rrU
dove
np intr Prodotto di parità intrinseche di protone e neutrone
1 ,1 np
171
La parità dello stato iniziale e finale diventano
Tuttavia, in fisica delle particelle però possono aver luogo reazioni in cui si ha creazione o distruzione di particelle. Ad esempio
finpfnpi
)1( ,)1(
In questo caso la condizione di conservazione della parità è
La condizione di conservazione della parità sopra non viene modificata perchè le parità intrinseche nello stato iniziale e finale sono le stesse e quindi si cancellano.
0 npnp
finpnp
)1()1( 0
Le parità intrinseche del protone e del neutrone si cancellano come prima, ma la parità intrinseca del pione è osservabile e a priori può essere sia +1 che -1.
Nella reazione di scambio carica nppp
Le parità intrinseche dei nucleoni non si cancellano possiamo assegnare una parità intrinseca a tutte le particelle, ma alcune di queste devono essere fissate per definizione
172
La parità intrinseca dei pioni (carichi) può essere determinata studiando la reazione
nnDπ
Pioni lenti vengono catturati dal deuterio in un orbitale K in onda S (l = 0). Il momento
angolare dello stato iniziale è quindi
1010 DDπJSJ
La conservazione del momento angolare implica che il momento angolare dello stato finale è
1 nnnn SJ
Si è soliti assumere per definizione
1
1
n
p
Scelta naturale legata alla simmetria di isospin: p ed n diversi stati di carica della stessa particella
Se Ln = 0 allora il principio di Pauli detta che gli spin siano antiparalleli e Jnn non può essere 1. Quindi deve essere Ln = 1.
173
Poichè nella reazione la parità è conservata, la parità dello stato finale è
Concludiamo quindi che, essendo Ln = 1,
Il pione ha parità intrinseca negativa! – è una particella pseudoscalare.
La parità dello stato iniziale è
πnpπDπDπ
π)( 1
πDπnnn
n)( 12
11 n)(
π
174
L’equazione di Poisson di un dipolo elettrico nell’origine è
Il potenziale viene ottenuto da
Interazione del mesone pseudoscalare col nucleone
)(
)()(
)()()()(
)3(
)3()3(
)3()3(2
rde
d
rdred
rdrerr
rd
e
rdrrr
de
rdrr
rr
1
4
')'('
1
4'
'
)'(
4
1)( 3)3(3
L’accoppiamento fra pione pseudoscalare e nucleone può essere descritto correttamente solo con la teoria di Dirac facendo uso dell’operatore 5.
Qui svilupperemo un’approssimazione non relativistica basata su un’analogia con l’elettromagnetismo.
175
Torniamo adesso le equazioni di Klein-Gordon
)'()( rrm
fr
matrice di spin del nucleone
è una quantità pseudoscalare, interpretabile come un dipolo magnetico dall’analogia con l’elettrostatica, che tiene conto del fatto che i nucleoni hanno spin.
Sfruttando l’analogia con l’elettrostatica per la soluzione del potenziale, abbiamo la soluzione delle equazioni di Klein-Gordon
r
e
m
fr
rm
)(
)( 22 rm
Poichè (r) è una quantità pseudoscalare, anche deve essere pseudoscalare.
Poniamo
08.04
2
c
f
176
L’energia di interazione fra un nucleone in r2 nel campo pionico generato da un altro nucleone posto in r1 è
e integriamo su tutto lo spazio. In questo modo arriviamo al potenziale di scambio di un pione
Sostituiamo il campo pionico
rdrrm
frdU
32122
312 )(
rdrrrr
e
m
fU
rrm
rr
32
)3(
1221121 )(
1
4
121212
2
r
e
m
fU
rm
177
Facendo agire gli operatori gradiente su exp(-mr)/r arriviamo al risultato finale
stati spazialmente simmetrici (ad. es. L=0)
r
e
rmrmS
rmr
emfU
rm
rm
2212
32121
22
331
)(4
34
Il termine
r
e rm
2121
Dà luogo a una potenziale centrale di scambio a causa del fattore (12)(12) . Inoltre
0 ,1
1 ,0per 32121 TS
TS
Quindi la forza centrale prevista negli stati 3S e 1S è la stessa ed è attrattiva.
178
In modo più completo
stati spazialmente simmetrici
La parte centrale di U è attrattiva in stati pari e repulsiva in stati dispari.
Il termine
1per 1))((
0per 9))((
0 ,1
1 ,0per 3))((
2121
2121
2121
TS
TS
TS
TS
È un interazione tensoriale col segno corretto per spiegare il momento di quadrupolo del deutone.
stati spazialmente antisimmetrici
21221
12
221221
3
331
r
rrS
r
e
rmrmS
rm
E’ presente anche un termine di contatto (r). Tuttavia, prima che diventi importante, entrano in gioco altre componenti repulsive dell’interazione.
179
Mesoni … diamo uno sguardo alla tavola del Particle Data Group (PDG)
180
181
Pseudoscalari
JP=0-
scalari
JP=0+
vettoriali
JP=1-
182
I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange).
Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2
Mesoni pseudoscalari e vettoriali
1
0 ,
0
1 du
eQ3
2 u eQ
3
1 d carica elettrica
Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin
1
0 ,
0
1 ud
e Qd 3
1 eQu 3
2 carica elettrica
Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza
183
Combinando un quark (up o down) con un antiquark (anti-up o anti-down) possiamo formare stati di isospin 1 oppure 0. Fra questi abbiamo i pioni (tripletto di isospin) e il mesone (singoletto di isospin)
02
100
02
101
111
111
/
0
uudd
uudd
du
du
eQTT z
I pioni e il mesone sono pseudoscalari. La parità del sistema quark-antiquark è dunque
)( )1()1(1 1qqqq
Questo implica che il momento angolare orbitale è nullo. Inoltre, poichè sia i pioni che la hanno spin nullo, gli spin del quark e antiquark si combinano in un singoletto di spin.
0PJ
184
Consideriamo adesso anche il quark quark s (strange). Possiede un numero quantico detto stranezza. Possiamo combinare i flavor up, down e strange in una simmetria più ampia di quella di isospin SU(2)
Simmetria SU(3)
Si possono formare 9 stati (un ottetto e un singoletto di SU(3))
185
In modo analogo possiamo costruire 9 mesoni vettoriali quando la coppia qqbar si trova in uno stato di spin pari a uno.
Mesoni vettoriali
)(0* sdK )(* suK
)( ud )( du
)(* usK )(0* dsK
0
ss
dduu
2
1
186
Generalizzazione: interazione mediata dallo scambio di vari mesoni anche vettoriali e scalari oltre che pseudoscalari.
One boson exchange potential (OBEP)
187
Lungo range
Riassunto: le parti più importanti della forza nucleare
Forza centraleRange intermedio
Corto range
Forza tensoriale:
Forza spin-orbita:
Scambio di due pioni correlati in uno stato di momento angolare totale zero
188
La forza nucleare alla luce della QCD
189
La “forza forte” fondamentale è fra quark e non fra nucleoni!
Se i nucleoni non si sovrappongono, cosa succede fra di essi?
Si ha solo un’interazione residua!
Ci sono altre forze residue in natura, ad esempio la forza di Van der Waals fra due atomi neutri
Scambio di due fotoni: interazione dipolo-dipolo
190
Analogamente, i quark colorati in un nucleone si combinano in uno stato senza colore. In prima approssimazione un nucleone appare neutro dal punto di vista dell’interazione forte così come un atomo appare neutro dal punto di vista dell’interazione elettromagnetica.
L’analogia perfetta della forza di Van der Waals corrisponde allo scambio di due gluoni
Tuttavia questa idea non può essere vera perchè creerebbe una forza di range infinito (i gluoni sono senza massa), mentre la forza nucleare ha range finito.
Esiste qualcos’altro che può funzionare nel caso di due nucleoni che non si sovrappongono?
191
Lo stesso ma in termini più professionali
Ma se affermiamo che stiamo usando la QCD, allora dobbiamo calcolare questo vertice in termini di scambi di quark e gluoni. Buona fortuna!
192
Quando due nucleoni si sovrappongono, abbiamo un problema a sei quark con interazioni non perturbative fra i quark (scambi gluonici non perturbativi). Un problema formidabile!
Attualmente sono in corso tentativi di calcolare questa interazione con la formulazione della QCD su reticolo.
193
Forze nucleari:
1. Teoria elementare del nucleo – H. Bethe e P. Morrison
2. Nuclei e particelle – E. Segrè
3. Introduzione alla fisica nucleare - Alberico
4. The meson theory of nuclear forces - Machleidt (adv. nucl. phys. 19 (1989) 189
Meccanica quantistica, teoria dello scattering:
1. Quantum mechanics - Sakurai
2. Quantum physics - Gasiorowicz
Letture
194
Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0.
zzzz tttttttt 22112211 ,,,;,
Possiamo ruotare lo stato di isospin di ciascun nucleone tramite l’operatore
L’esponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere
Dove T è l’isospin totale
2/2/21
21),(),( nini eenDnD
ruota |t1,t1z> ruota |t2,t2z>
)exp(
),(),( 2/)11(21
21
Tni
enDnD ni
Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni
195
zzNzzN ttttVttttV 22112211 ,;,,;,
e il valor medio rispetto agli stati ruotati
L’invarianza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi
Questo implica che VN commuta con l’operatore rotazione e quindi in definitiva che
Possiamo definire l’invarianza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin
zzTni
NTni
zz
RzzNzzRR
tttteVetttt
ttttVttttH
22112211
22112211
,;,,;,
,;,,;,
TniN
TniNNRN eVeVVV
0, TVN
196
Scattering p-p. E’ presente sia l’interazione coulombiana che forte. Espressione teorica di d/d per lo scattering p-p
2/cos2/sin
2/tanlncos
2/cos
1
2/sin
1
4
1
4
22
2
4
42
22
T
e
d
d
scattering Rutherford
termine classico Rutherford
termine di interferenza
correzione per due particelle identiche
Scattering Mott
2/cos
2/coslncos
2/sin
2/sinlncossin
22
20
2
20
0
Termini di interferenza fra parte coulombiana e nucleare
02
2sin
4
potenziale nucleare
T= energia cinetica nel lab = angolo di scattering nel c.m.s. = (e2/4)-1 ( = v/c) 0=spostamento di fase L = 0
197
I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange) aventi carica elettrica
Mesoni pseudoscalari
1
0 ,
0
1 du
eQeQeQ3
1 ,
3
1 ,
3
2 sdu Gli anti-quark hanno carica
opposta
Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin
1
0 ,
0
1 ud
e Qd 3
1 eQu 3
2 carica elettrica
Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza
Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2
198
A grandi distanze l’influenza del campo è così debole che la funzione d’onda mantiene la sua forma originale salvo che per la comparsa dello spostamento di fase
In particolare la funzione d’onda per L = 0 sarà data da
e
Poichè l + n producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -/2,+/2
o 0-
)(cos)2/sin(
P
kr
kr
kr
kr )sin(0
k
krrru
)sin()( 00
Interpretazione degli spostamenti di fase
199
Nell’approssimazione più semplice consideriamo un range r0 nullo. Allora
Essendo (E = energia nel CMS)
Ricaviamo
222
22 / ,/ BmkEmk NN
Poichè l’energia cinetica del neutrone nel sistema del lab è T = 2E, otteniamo infine la sezione d’urto in funzione di T
22
222
4
/1
4
kkak
BEmN
14 2
BTmN
2/
14 2
~2.4 barn a bassissima energia
T (MeV)
ba
rn)
DRk
a 2
1
raggio del deutone = 4.3 fm
