Filtri analogici1915 Primi filtri elettrici per ripetitori

Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissioneTutte le applicazioni di trattamento e trasmissione dei segnali

Un filtro è un calcolatore analogico• componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed

ll’i hi tall’invecchiamento

• tecnologia semplice

• realizzazione poco costosa

• dispositivo affidabile

Un filtro elettrico è un dispositivo progettato perE' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro.

Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per•separare

•far passare•far passare

•o sopprimere

un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo stesso canale ditrasmissione.

Altera l’ampiezza e/o la fase di un segnale rispetto alla frequenza(modifica le ampiezze delle varie componenti e/o le loro relazioni difase).

Idealmente non aggiunge nuove frequenze al segnale in ingresso nèIdealmente non aggiunge nuove frequenze al segnale in ingresso nèmodifica le componenti in frequenza del segnale.

Ha un guadagno che dipende dalla frequenza del segnaleHa un guadagno che dipende dalla frequenza del segnale.

Esempio

indesiderato

Esempi

Eli i iò h t i il l ( i i t i diEliminare ciò che contamina il segnale (rumore nei sistemi di comunicazione)

S ti i f il ti d ll i il tiSeparare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevanti

Demodulare segnali

Limitare i segnali in banda prima del campionamento

Convertire i segnali campionati in continuig p

Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti)

Sintesi del parlatoSintesi del parlato

Equalizzazione

Su larga scala televisione e radio

Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer.

•Quasi tutte le apparecchiature elettroniche utilizzano dei filtriper scopi diversiper scopi diversi.

•Nelle radiocomunicazioni i filtri passa banda nei ricevitoriNelle radiocomunicazioni i filtri passa banda nei ricevitorimigliorano la ricezione limitando l'amplificazione ai solisegnali desiderati.La larghezza di banda dei filtri adoperati nei sistemi dicomunicazione varia, secondo le applicazioni, da meno di 1Hz a molti MHzHz a molti MHz.•Il filtro passa basso, applicato all'uscita dei raddrizzatori dialimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componentialimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componentialternate della componente continua.•L'azione selettiva dei filtri viene anche ampiamente utilizzataper suddividere l'uscita degli amplificatori audio in più banderivolte a sistemi di altoparlanti differenziati in frequenza dirispostarisposta.

Filtro ADSL: una volta inserito sulle prese dove si utilizza un telefono, tale filtro provvederà a escludere tutte le frequenze audio superiori ai 25 KHz, eliminando cosi' il leggero r more di fondo do to al collegamento dati s lle freq en ecosi' il leggero rumore di fondo dovuto al collegamento dati sulle frequenze superiori.

Tecnicamente il filtro ADSL e' un circuito RC passivo in cui i valori dei componentiTecnicamente il filtro ADSL e un circuito RC passivo, in cui i valori dei componenti elettronici sono calcolati in base alle frequenze audio che occorre lasciar passare e quelle che invece occorre filtrare.Si monta semplicemente tra la presa telefonica e il telefonoSi monta semplicemente tra la presa telefonica e il telefono.

Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori)•problemi di costi e ingombri•minore sensibilità rispetto ai filtri attivi•larghezza di banda fino a 500kHz•larghezza di banda fino a 500kHz•Guadagno minore di uno

In genere i vantaggi nell’utilizzo dei filtri attivi superano gli svantaggi in applicazioni relative alla trasmissione di vocisvantaggi in applicazioni relative alla trasmissione di voci e dati. Per questo sono utilizzati in quasi tutti i sistemi elettronici sofisticati di comunicazione ed elaborazioneelettronici sofisticati di comunicazione ed elaborazione dei segnali

Poiché XL=ωL, valori elevati di reattanza richiedono alle basseLfrequenze valori elevati di induttanza.

1f=1 MHz XL=6.28 kΩ

Ex. L=1mH L

f=100 Hz XL=0.628 Ω

Elevato numero di spire della bobina aumento dellaR, della dimensione e del costo dell’induttore

Materiali ferromagnetici con elevata μ

Gli induttori sono generalmente incompatibili con la miniaturizzazione

Filt i tti iFiltri attivi

Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi)•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti integrati)•produzione di serie•pesano poco e occupano poco spazio•larghezza di banda finita (<30kHz)•Guadagno anche maggiore di uno amplificano il segnale•Guadagno anche maggiore di uno, amplificano il segnale filtrato•Assenza di effetto caricante: collegamento in cascata di più celle filtranti che grazie alla loro bassa impedenza d’uscita non risentono dell’influenza del carico.•Effetti delle capacità parassite ridotte (a causa delleEffetti delle capacità parassite ridotte (a causa delle dimensioni ridotte)•Deriva (> sensibilità alle variazioni delle caratteristiche dei

f f )componenti attivi a fronte di modifiche ambientali)• Richiedono una sorgente di alimentazione

I filtri sono definiti dai loro effetti sul segnale nel dominio della frequenza descrizioni analitiche e grafiche nel dominiofrequenza descrizioni analitiche e grafiche nel dominio della frequenza •Curve di guadagno vs frequenza•Curve di fase vs frequenza •Tools matematici nel dominio della frequenza

Risposta in frequenzaEsprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio dellaEsprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio dellafrequenza.E’ la trasformata di Fourier della risposta all’impulso h(t)p p ( )

Vi(s) Vu(s)+ +

-)(sH Funzione di trasferimento

-

s=jω s=jω

+ +Vi(jω) Vu(jω))( ωjH Risposta in frequenza

)()()( ωφ jjjMjH( )

⎨⎧ ωjM Risposta in ampiezza/Guadagno

- -i(j )

)()()( ωφωω jjejMjH =( )

( )⎩⎨ ωφ j

j Risposta in ampiezza/GuadagnoRisposta in fase

M(jω)M(jω)=|H (jω)|M(jω)M(jω)

K K

(j )

ωω ωωωcpassa-basso

ωcpassa-alto

(j ) M(j )

K K KM(jω) M(jω)M(jω)

K

passa-banda passa tutto

ω ωω1 ω2 ω1 ω2 ω

li i b d ( t h)passa-banda passa-tuttoelimina-banda (notch)

.altrove0per 1

)ω(j ha ideale basso passa filtro Il⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤

=H Cωω

è impulsiva risposta entecorrispond Laaltrove0⎪⎩

ω

( ) 002

121

<≠=== −−∫ per t

πtt)sen(ω

eπjt

dωeπ

h(t) Cωω

tjω

ω

tj C

C

C

C

ωω

CAUSALE NON quindi è ideale filtro IlC

La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso

h(t)

L’ordine di un filtroOrdine di un filtro

L ordine di un filtro•è la più alta potenza della variabile s nella H(s).•è pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuitoè pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuito(un capacitore ottenuto combinando 2 o più capacitori èancora un capacitore/ possono esistere casi patologici).

Maggiore è l’ordine del flitro•più è costoso perchè usa più componenti ed è più difficile da•più è costoso perchè usa più componenti ed è più difficile dacostruire.•più è efficace nel discriminare tra segnali a diverse frequenzep ù è e cace e d sc a e t a seg a a d e se eque e

Tanto più alto è l’ordine del filtro reale, tanto più si avvicina al filtro ideale

Performance nel rapporto di frequenze

Ad esempio, spesso si vuole•sapere quanta attenuazione si ha a 2ωc e a 0.5 ωc.•avere le curve di risposta in ampiezza e fase che coprano un ampioavere le curve di risposta in ampiezza e fase che coprano un ampiorange di frequenze (difficile con scala delle f lineare)

Scala delle ampiezze in dbP i hè h il d ll

Scala in frequenza logaritmicaf i l li Poichè anche il range delle

ampiezze può essere molto grande la scala delle

fornisce peso uguale a uguali rapporti di frequenze.

grande, la scala delleampiezze è usualmenteespressa in db p(20log|H(jω)|).db/ottava fattore 2 nelle f

db/decade fattore 10 nelle f

La forma delle curve di risposta dipende dalle rete che le realizza

db/decade fattore 10 nelle f

Picco frequenza

Scale lineari

Picco frequenzadi risonanza/centrale

frequenzefrequenzedi metà potenza

Scala di frequenza logaritmica e scala delle ampiezze in dbNotare la simmetria

1)( 2=

ssH12 ++ ss

Ordine Pendenze (slope) 1° ordine 6 dB/ottava 20 dB/decade 2° ordine 12 db/ottava 40 dB/decade 4° ordine 24 dB/ottava 80 dB/decade

Ottava

Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la4 ordine 24 dB/ottava 80 dB/decade

8° ordine 48 dB/ottava 160 dB/decade di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore.

Decade

La decade è l'intervallo di frequenzel intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore.

Matematica dei filtri

Filtri di ordine elevato difficili da descrivere- occorre un modello matematico generaleg

•usa termini standard per descrivere le caratteristiche del filtro

•semplifica l’applicazione dei computers ai problemi di progetto dei filtriprogetto dei filtri.

H(s)=N(s)/D(s) Funzione di trasferimento

Per una rete di di ordine n (n capacitori e induttori)

1101

11 ...

)(asasasabsbsbsb

ksH nn

mm

mm

++++

++++=

−

−−

I valori dei coefficienti determinano le caratteristiche del filtro.011 ... asasasa nn ++++ −

Esempio: filtro passa banda del II ordine

n = 2, m = 1

Q=f(a1)

1)( 2 ++

=ss

ssHss

zerik

2k

pm)

poli

Zeri e poli sono reali o complessi coniugatiZeri e poli sono reali o complessi coniugati

Esempio: filtro passa banda del II ordine Diagramma poli-zeriRete stabile poli con parte reale negativaP li i i i i t i id l t

Esempio: filtro passa banda del II ordine

Poli immaginari risposta sinusoidale non smorzataPoli reali negativi risposta esponenziale smorzataPoli cc con parte reale negativa risposta sinusoidalePoli cc con parte reale negativa risposta sinusoidale smorzata

Filtri attivi o a capacità commutate3k

Coppia di poli ccH è il prodotto di funzioni di trasferimento del II ordine (anche del I)H è il prodotto di funzioni di trasferimento del II ordine (anche del I)Filtro composto da blocchi elementari connessi in cascata

= H1· H2 H1 H2

LP=Low Pass

HLP filtro del IV ordineHLP filtro del IV ordine,cascata di H1 e H2

H1 e H2, filtri del II ordine

I parametri dipendono daquantità osservabili

4k kk

4Sovraelongazione vicino alla f di

k è un fattore di scala del guadagnok

risonanza

k è un fattore di scala del guadagnoω0 è un fattore di scala della frequenza

Nella risposta in ampiezza, k e ω0 alteranol’ampiezza o la scala delle frequenze ma nonla forma

k’kla forma.

La forma dipende da Q che è determinato

k

La forma dipende da Q che è determinatoda D(s) (log)

Filtri passa basso

Segnale rumoroso

S l filt tSegnale filtrato

Passa Basso (PA)

ripple (variazione del guadagno)g g )

•curve monotone•curve con sovraelongazione

i l•curve con ripple

Filtri passa basso•La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine

0ω ω

0

0

0)(

ωω

ω+

=s

ksH ω0

k guadagno (in continua)

⎪⎧0

0)(ωω

ωω

+=

jkjH

0

0

220

0

)( kkH⎪

⎪⎪⎪

⎨ <<

>>

≅+

= ωω

ωωωω

0

220

2

k⎪⎪⎪

⎩=

+ωω

ωω

-3db

0

max

7.07.0)(

)0(

HkkH

kHH

===

==

ω

3db

max0 7.07.02

)( HkH ω

0ωω0 =ωt pulsazione di taglio/di roll-off/di cut off

RR)(tv

( )&

C )(tvc

( )( ) /1

/1/1

/1)(+

=+

==RCj

RCCjR

CjVVjH c

ωωωω

&

&

1/10

===

kRCtωω

R)(

)(tvR

)(tv

LL

Cf

Ri-+

RfFiltro attivo

+)(tvi )(tvu

11R

1

1

11)(

+

−=

+−=−= fi

f

ff

ii

f

j

CR

R

CjR

RZZ

jHω

ωω

dadipendenon 10 == it

ffff

RCR

CRj

Cj

ωω

ω

ingressi. gli per tutti stessa la rimane , diversecon ingressi diversi sommo Se

p

0

0

i

iff

t

R

CR

ω

1 10 >=<−=→−=

i

f

fi RR

kCRkω

•La funzione di rete di un passa basso del 2° ordine

2 ω pulsazione naturale

20

02

20)(

ωωω

++=

sQ

s

ksH

ω0 pulsazione naturale k guadagnoQ fattore di merito

20

0

)(ω

ωω =→=k

jHjs

Q

⎧

20

02)(

ωωωωωω

++−=→=

jQ

jHjs

⎪⎪⎨

⎧

<<

>>

≅=

0

)( 0

020 ωω

ωωωω kkH

( ) ⎪⎪⎩

⎨

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− k

)(

0

020222

0ωωωωωω Q

Q ⎠⎝ Q

k =1k 1

2max20max11/|)(|11 QfHff −=−=

Per un certo campo di valori di Q, |H| ha un massimo nelle vicinanze di f

2max20max 41/|)(|

21

QQfH

Qff

vicinanze di f0:

Se Q è alto, si ha .|)(|, max0max QfHff =≅22>Q

Fra i filtri che non presentano il picco, quelli con sono lli d d iù id f f f (B tt th)

22=Qquelli con decadenza più rapida e ftaglio=ft=f0 (Butterworth) .

R)/(1)( ω =

RLCjH

L

R)(tv

)( 2

2 )/(1ωω ++−

k

LCjLR

C )(tvC

20

02

20)(

ωωωω

ωω

++−=

jQ

kjH

Q

1

kLC

1

10 =ω

LQ

k

1

1

=

=

CRQ =

1)( =sH1

)( 2 ++=

sssH

Calcolare .,,0 Qkω

Esempio 2pUn convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata

=Ingresso c.a. Uscita c.c.

Ingresso c.a. Uscita c.c.Trasforma-tore

Raddrizza-tore

Filtro

Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta.

Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da alternata a unidirezionale.

Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe d ll tt ( i h )dello spettro (armoniche)

La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è rigorosamente continua ma possiede un certo residuorigorosamente continua ma possiede un certo residuo (ripple)Per far passare la sola componente continua si utilizza unPer far passare la sola componente continua si utilizza un filtro passa-basso

Filtro LC ad ingresso induttivo Filtri ad ingresso capacitivo

Effetto del filtro passa-basso sull'onda quadra.

TT

C1

C2

C3

C1<C2<C3

Filtri passa alto

•La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine

s ω = ω pulsazione di taglio

0)(

ω+=

js

sksHω0 = ωt pulsazione di tagliok guadagno

0)(

ωωωω+

=j

jkjH

⎪⎪⎪⎧

<< 0 0ωωk

⎪⎪

⎪⎪⎨ >>≅

+= )( 022

0

ωωωω

ωωk

kkH

⎪⎪⎩

= 2 0ωωk

R )(tvR)(tv

)(tvR

&

C

( ) /1/1)(

+=

+==

RCjj

CjRR

VVjH R

ωω

ωω

&

&

1/10

===

kRCtωω

R)( )(tv

L )(tvL )(tvL

Esempio

Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti di tipo woofer o tweeter. Un solo altoparlante non sarebbe in grado di riprodurre tutta la gamma delle frequenze acustiche.riprodurre tutta la gamma delle frequenze acustiche.

Crossover a due vie

TweeterC LCVsCanale diR1

WooferL

+- R1

R2

Cs

V1 V2+ +

--

Canale di amplificatore

stereo

WooferR2

L

T WUn woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parteb d ll’i t ll d ll f di (<3 kH ) li tibassa dell’intervallo delle frequenze audio (<3 kHz), non gli acuti.

Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la partealta dell’intervallo delle frequenze audio (3 20 kHz) non bassi e medio bassialta dell intervallo delle frequenze audio (3-20 kHz) non bassi e medio bassi.

Un valore tipico è R=8 Ω.

P.A. 11)(

1

111

CRjj

CRjCRj

VVH

s +=

+==

ωω

ωωω

&

.P.B /)(2

2222

11

Rj

LRLjR

RVVH

CRjjs

=+

==ω

ω

)(1 ωH)(2 ωH

22 LRjLjRVs ++ ωω

ωω0ω0 pulsazione di taglio/di crossover

Crossover a tre vie

MidrangeMidrangePassa banda

Lo stesso principio si usa nelle TVLo stesso principio si usa nelle TV•30Hz - 4MHz (immagini) ampl. video•4.5MHz (audio) ampl. audio

EsempioN l i it d i R R 6Ω D t iNel circuito cross-over a due vie R1=R2=6Ω. Determinare L e C se deve risultare f0=2.5kHz.

FCCR μπω 61.102500210 ≅→==

HLRCR

μπω

μ

382250022

10

≅→== HLL μπω 3822500220 ≅→==

Rf

Ri Ci Filtro attivoi i -+

)(tvi )(tvu)(i u

fRi

ff

i

f

j

RRj

R

RZZ

jH −=−=−= 11)(ω

ω

iiii

iCR

jCj

RZ ++

1

ωω

iit

RCR

==1

0 ωω

i

fR

Rk −=

R s)(2

•Passa alto del 2° ordine

L

R)(tv

)(tvL ++=

ωω sQ

s

ssH )(20

02

C−

=ω

ωωjH

Q

)(202

2

++− ωωωω jQ

20

02

−−−−++−

−−−=

ωωω

jjH

*)( 2

=k0ω

completare

=Q

2

1)( 2

2

++=

ssssH

Effetto del filtro passa-alto sull'onda quadra.p q

C1V0

C2

C3

C1<C2<C3

Filtri passa bandaFiltri del II ordine •Approssimazione poco costosa dei filtri ideali •Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi•Ordine minimo per realizzare passa e oscura banda (notch)p p ( )

k guadagno ω0 pulsazione di centrobanda/centrale/di =)(

0ωQ

sksH 0 p

risonanza (valore di picco)Q fattore di qualitàω1 pulsazione di taglio inferiore/di metà potenza

++)(

20

02 ωω sQ

s

ω2 pulsazione di taglio superiore

==)(202

0

ω

ωωω Q

jkjH

⎧ >>

++−

0

20

02

ωω

ωωωωQ

j

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

=

>>

≅=0

0

)( 0

0

2

0ωω

ωωωωω

kQkH

( ) ⎪⎪

⎩ =

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2/

0

21,

02

02220 ωωω

ωωωωωω

kQ

)(

0

⎞⎛==

ωω

ω kQj

kjH

1

)(

0

020

02

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−++−

ωω

ωωωωωω

ω

jQQj

kjH

212

)(

2

0

02 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⇒=

ωω

ωω

ω QkjH 10

0±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ωω

ωωQ

2 0 ⎠⎝ ωω

:positivequellesoluzioni, 4 delle prendendo,2111 201,2 Q

ωω⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

±+=

0 ⎠⎝ ωω

pqp24

2102021

201,2 QQ

ωωωωωω =→=

⎥⎦⎢⎣

1Q per esimmetrich econsiderar possono si

a rispetto esimmetrich sono non taglio di pulsazioni Le 0

2

.

002,1 Q

ωωω

ω

>>→±≅

Banda di Ampiezza

2

021

,

BQ

Qω

ωω ==−

B. e' stretta piu' tantoe' elevato piu' tanto Fissato ,0 QQ

ω

Il numero di possibili caratteristiche di risposta in banda passante è infinito ma hanno tutte la stessa forma di baseè infinito, ma hanno tutte la stessa forma di base.

R )(tvR LCLRjLRj

LjR

RjH 2 11)(

ωωω

ωω

++−=

⎟⎞

⎜⎛+

=

L

R)(tv

R jC

LjR

01ω

ωω

=

⎟⎠

⎜⎝

−+

C

LRk

LC

00

0

1ωω

=

RLQ

LR

Q00 ωω

=→=

Vedi slide 17 per un altro esempio

R RR-+C

R

Q

RC=

1

10ω

C)(tvi )(tvu2RR (A-1)R

PBandaAQk

AQ

=−

=3

I filtri passivi garantiscono una buona selettività a patto che il fattore di merito sia elevato. Poiché:

sRRLQ+

=ext

0ω

Rs resistenza dell’avvolgimento R tutte le altre resistenze del circuito Rext tutte le altre resistenze del circuito,

Q è effettivamente elevata se le resistenze sono piccole;R dipende dal numero di spire dell’ avvolgimento e dalla Rs dipende dal numero di spire dell avvolgimento e dalla conducibilità del materiale usato.

B bi di f ( L i l h Bobine a radiofrequenza (kHz — 300 GHz) L piccolo poche spire bobine con Rs piccola Q elevato, nel campo delle radiofrequenze, i filtri RLC sono molto usati

Nel campo audio L elevata molte spire bobine ingombranti e costose. In campo audio, sono molto usati i filtri attivi.p ,

Filtri oscura banda/notch

Spesso utilizzati per sopprimere il rumore di rete a 50Hz.

Filtri di ordine elevatoSpesso realizzati come cascata di filtri del II ordine (quando n è dispariSpesso realizzati come cascata di filtri del II ordine (quando n è dispari occorre anche uno stadio del I ordine).

)(1 sV )(2 sV )(3 sV )(sVn )(1 sVn+H1(s) H2(s) Hn(s)

Cascata di n stadi del II ordineUscita stadio i = ingresso stadio i+1Uscita stadio i = ingresso stadio i+1

Molto spesso il comportamento di uno stadio cambia quando viene p p qconnesso ad un altro stadio (caricamento). Il secondo stadio ‘carica’ il primo

Z (s)

)(sVi Zi(s)+-

)()( sVsH i

Zu(s)

Modello circuitale di uno stadioadatto all’analisi del caricamentoi( ) -

Zu1(s) Zu2(s)

)(1 sV Zi1(s) +- 11VH 2V Zi2(s) +

-22VH )(3 sV

112 ' VHV =Senza il 2° stadio si avrebbeInvece si ha

'211

22

223

VVHZZ

ZV

VHV

i ≠=

=

Il 2° stadio carica il 1°. 21 ZZ iu +

Ciò si può eliminare rendendo infinita la Zi2 o nulla la Zu12 VHZHVHV i==

12

23

1121

2223

HZHVH

VHZZ

HVHV

i

iu

==

+==

121

21

HZZ

HV

Hiu +

21 ,0 ZZ iu ∞== se o Se (se il secondo stadio NON carica il primo)

I filtri di Sallen Ke hanno Z 0 pertanto possono essere collegati in

12HHH =

I filtri di Sallen Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in cascata senza caricare l’uscita.

∏∏=i

iHH

I filtri RLC hanno Zu≠0, e Zi ≠∞

∏≠i

iHH

Esempio Sallen Key Passa Banda – Calcolo della Zu uV

Zy u

R

C0=

=iVu

uu I

Z

C

+-

)(V

CR

2R

1 2

3u

C)(sVi

R (A-1)R2R )(sIu)(sVu

⎪⎧

=−

+−

++ 0/1/1

21111

CVV

RVV

CV

RV u

⎪

⎪⎪⎪

⎨ =+− 0

2/1

/1/1212

RV

sCVV

sCRsCR

Vu= 0 Zu= 0

⎪⎪⎪

⎩=

−−

+ 0)1(

22

RAVV

RV u (V3=V2)

EsempioI di id i di li ti d t l f i ltifIndividuazione di segnali generati da un telefono in multifrequenza(devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e #usati per scopi speciali)

697 Hz

770 Hz

1ABC

2DEF

3

GHI JKL MNOBanda

852 Hz

770 Hz4 5 6

PRS7

TUV8

WXY9

Banda bassa

1 segnale = =1 coppia di toni

941 Hz*

oper0 #

1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz

1 coppia di tonisinusoidali

1336 Hz 1477 Hz

Banda alta

Come si individuano i numeri da chiamare?Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme disegnali alla centralina dove vengono decodificati.g g

697 HzBP1 D1

BP Filtri passa-banda D RivelatoreA Amplificatore

770 HzBP2 D2

Passa basso

A Amplificatore

941 Hz

852 HzBP3 D3

BP4 D4

basso

Al sistema di switchA

1209 Hz

1336 Hz

BP5 D5

BP6 D6 1336 Hz

1477 Hz

Passa alto

6 6

BP7 D7

Ogni filtro passa-banda fa passare un solo tono ed è seguito da un rivelatore Dche si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello L’uscita delche si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello. L uscita delrivelatore fornisce il segnale in corrente continua necessario al sistema dicommutazione per connettere l’utente al numero chiamato.

Filtri passa tutto o phase-shift

•Nessun effetto sull’ampiezza del segnale alle diverse frequenze. •Modifica della fase•Modifica della fase

rad)(fase, φ

In ritardo

s) (ritardo, /)( ,

ωφφ

Sono tipicamente usati per introdurre phase shifts neisegnali, per cancellare anche parzialmente phase shiftsg , p p pdovuti ad altra circuiteria o mezzi di trasmissione.

1)( 2

2 +−=

sssH1

)( 2 ++ ss

Il valore assoluto del guadagno è uguale all'unità a tutte le frequenze, ma la fase varia con la frequenza

Le funzioni di trasferimento viste finora per i filtri del II ordine condividono lo stesso denominatore

varia con la frequenza.

denominatore.20

02 ωω

++ sQ

s

Tutti i numeratori sono costituiti da termini trovati nel denominatore:•il numeratore del passa-alto è il primo termine (s2) al denominatore,•il numeratore del passa banda è il secondo termine (s), •il numeratore del passa-basso è il terzo termine (1)il numeratore del passa basso è il terzo termine (1)il numeratore dell’oscura banda è la somma del primo e del terzo (s2 e 1).•Il numeratore per la funzione di trasferimento passa tutto è un po’ diverso, nel senso che include tutti i termini del denominatore, ma uno dei termini ha un segno negativo..

I filtri del II ordine sono caratterizzati da 4 proprietà:• il tipo di filtro (passa alto passa banda ecc)• il tipo di filtro (passa-alto, passa-banda, ecc),• il guadagno in banda passante• la frequenza naturale• la frequenza naturale• il fattore di merito Q utile per descrivere la

forma della risposta in ampiezza Q può essereforma della risposta in ampiezza. Q può esseretrovato dal denominatore della funzione ditrasferimento se il denominatore è scritto nella forma

20

02 ωω

++ ss 0ω++ sQ

s

Per i passa e oscura banda, all’aumentare di Q, larisposta diviene più stretta.I filtri passa-basso e passa-alto mostrano picchi alcrescere di Qcrescere di Q.

Simmetria della risposta in ampiezza per scala logaritmicadelle frequenzedelle frequenze

Le curve per il passa-banda e notch sono simmetriche rispettoa fO: il guadagno a 2fo è pari al guadagni a fO / 2;il guadagno a 10 fO è pari al guadagno a fO/10, e così via.

Le curve per il passa-basso e passa-alto sono simmetriche l’unarispetto all’altra. Esse sono effettivamente immaginirispetto all altra. Esse sono effettivamente immaginispeculari rispetto a fO. Così, il guadagno del passa-alto a 2fo saràpari al guadagno del passa-basso fO/2 e così via.

Le somiglianze tra le varie curve sono molto utili per laLe somiglianze tra le varie curve sono molto utili per laprogettazione di filtri complessi.

Il numero di possibili curve di risposta di un filtro èi fi itinfinito.Le differenze tra le diverse risposte per dato un tipo di filtro (adesempio passa-basso) possono includereesempio, passa basso) possono includere,•frequenze caratteristiche,•ordine del filtro,•roll-off (la pendenza con cui inizia a variare il guadagno delfiltro, appena ci si allontana dalla banda passante; dB/dec )

i tt d ll b d t d ll i i f i b d•piattezza della banda passante e delle regioni fuori banda.

Un filtro distorce il segnale in ingressoUn filtro distorce il segnale in ingresso.

Distorsione d’ampiezzaRisposta in ampiezza non costante componenti inf di d l l lifi t di tfrequenza diverse del segnale amplificate diversamente.

Distorsione di faseDistorsione di faseRisposta in fase non lineare componenti in frequenzadiverse del segnale ritardate diversamente (modifica laforma del segnale).

( ) ( ) ( )Esempio

( ) ( ) ( )tXtXtXtx bbaa ωωω coscoscos)( 00 ++= ω0> ωb >ωa

segnale desiderato( ) ( )tXtXtx bbaa ωω coscos)(ˆ +=

L’uscita accettabile è )(ˆ)( τ−= txkturitardo

Filtro passa basso con risposta in frequenza

L uscita accettabile è )()( τtxktuaattenuazione

Filtro passa basso con risposta in frequenza

f < fb < f < f( ) ampiezzainrisposta0 ωω

ω ⎨⎧ <<

= CkM fa < fb < fc< f0( )

( ) fasein risposta

ampiezzain risposta0

ωφ

ωωω

⎩⎨ <

=C

M

L’uscita del filtro è

Se la risposta in fase è lineare

( )( ) ( )( )bbbaaa tkXtkXtu ωφωωφω +++= coscos)(Se la risposta in fase è lineare

( ) ( )( )⎩

⎨⎧ −=

→⋅−=φ

τωωφτωωφ aa( ) ( )⎩

⎨ −= τωωφ bb

Infatti, in tal caso( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ττωτω −=−+−= txtkXtkXtu bbaa )(cos)(cos)(

L’importanza di avere un filtro con una fase lineare (ritardo di gruppocostante) e un guadagno costante risiede nel fatto che permetterà diottenere in uscita un segnale che risulterà semplicemente una versionescalata e ritardata dell’ingresso. Se la fase del filtro non fosse statalineare, ma avesse avuto una dipendenza non lineare da f, l’uscita delfiltro sarebbe stato una versione più o meno distorta dell’ingresso.