1 Introduzione alla Meccanica Quantisticapeople.roma2.infn.it/~stefanuc/Teaching/EFT.pdfChapter 1. I...

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Introduzione alla Meccanica Quantistica

Gianluca Stefanucci

G. Stefanucci: Introduzione alla Meccanica Quantisitca

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Contents

Prefazione iii

1 I concetti fondamentali della meccanica quantistica 11.1 La necessita di abbandonare la fisica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La soluzione quantistica - i primi cinque postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Valor medio, varianza e considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Osservabili a spettro continuo in meccanica quantistica - funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . 101.5 Formalismo Langrangiano e Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Formalismo Langrangiano - equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Particella classica in un campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.3 Formalismo Hamiltoniano - trasformata di Legendre - equazioni di Hamilton . . . . . . . 181.5.4 Simmetrie e leggi di conservazione - parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Il sesto postulato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 La generalizzazione del quinto postulato - equazione di Schrodinger - teorema di Ehrenfest . . . . 251.8 Principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Schema riassuntivo di quanto sinora imparato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sistemi quantistici in spazi di Hilbert di dimensione finita 312.1 Dagli operatori alle matrici, dai kets ai vettori colonna, dai bras ai vettori riga . . . . . . . . . . 312.2 Sistemi quantistici a due stati - matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Una particella in una dimensione 373.1 Operatore momento e Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Potenziale costante a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Potenziale costante a tratti con delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Coefficienti di riflessione e trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Potenziale Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1 Operatori di innalzamento e abbassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.2 Autofunzioni e polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5.3 Stati coerenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Una particella in tre dimensioni 574.1 Operatore momento e Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Particella quantistica in un campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2 Campo elettromagnetico costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Autokets simultanei di L2 e Lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Momento angolare in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.1 Armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5.2 Laplaciano in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6 Potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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ii Contents

4.7 Atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.7.1 Derivazione semiclassica dei livelli idrogenoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7.2 Funzioni radiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Spin e Composizione dei momenti angolari 815.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Matrici di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1 Spin 1/2 e spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Interazione spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.1 Atomo di idrogeno con interazione spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.2 Hamiltoniana di Heisenberg per sistemi magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Teoria delle perturbazioni 996.1 Correzione dei livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1 Correzioni livello non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.2 Correzioni livello degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2 Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2.1 Regola d’oro di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Appendices

A Delta di Dirac: definizione e proprieta 109

B Tensore di Levi-Civita: definizione e proprieta 113

C Gamma di Eulero: definizione e proprieta 115

References 117

Index 117


Prefazione

Queste sono le dispense dell’insegnamento “Elementi di Fisica Teorica”, corso di laurea “Scienzedei Materiali”, che si tiene presso l’Universita degli studi di Roma Tor Vergata. Esse con-tengono una introduzione alla meccanica quantistica chirurgicamente ritagliata per fornire aglistudenti concetti e strumenti indispensabili agli insegnamenti successivi senza rinunciare allacompletezza della trattazione.

La comprensione di queste dispense richiede tuttavia la buona conoscenza di alcune nozionimatematiche insegnate nei corsi precedenti. Per l’esattezza e necessario avere familiarita con:

• limiti, derivate e integrali di funzioni di una variabile

• derivate parziali, gradiente, divergenza e rotore

• integrali multipli e coordinate polari

• sviluppo in serie di Taylor per funzioni di una e piu’ variabili

• trasformata di Fourier

• equazioni differenziali lineari

• delta di Dirac e sua traformata di Fourier

• spazi vettoriali, spazi vettoriali duali e formalismo di Dirac

• operatori lineari, operatori hermitiani e unitari

• autovettori e autovalori

• funzioni di operatori - sviluppo di Taylor e rappresentazione spettrale

Gli argomenti trattati in queste dispense hanno innumerevoli applicazioni che non potremotrattare per carenza di tempo. Per chi pero fosse interessato ad approfondimenti suggeriscocaldamente i seguenti libri di testo:1) Meccanica quantistica moderna, Jun J. Sakurai (Zanichelli, 1996)2) Quantum Mechanics, Vol. 1, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu e Frank Laloe (Wiley,1991)

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iv Contents


Chapter 1

I concetti fondamentali della meccanicaquantistica

1.1 La necessita di abbandonare la fisica classica

Per capire quali siano i problemi della fisica classica nel descrivere il mondo microscopico par-tiamo da un esempio concreto. Consideriamo lo ione della molecola di idrogeno H+

2 . Questoione e composto da due protoni, posti a una distanza di circa 10−10 m, e da un elettrone. La lamassa dei protoni vale mp = 1.67× 10−27 Kg ed e quindi circa 1800 volte piu grande di quelladell’elettrone che vale me = 9.11 × 10−31 Kg. Possiamo allora considerare i due protoni ferminelle loro posizioni di equilibrio, che indicheremo con R1 e R2, e l’elettrone libero di muoversiattorno ad essi. L’elettrone e ovviamente attratto dai protoni per via della forza di Coulombe, se l’elettrone si trova in r, la sua energia potenziale e

V (r) = − e2

|r −R1|− e2

|r −R2|(1.1)

con e = 1.6 × 10−19 C il modulo della carica elettrica. Scegliendo l’origine delle coordinateequidistante da entrambi i protoni, l’energia potenziale di Eq. (1.1) e illustrata in Figura 1.1 eha la forma di una doppia buca.

Classicamente, se l’elettrone si trova in r e ha momento p la sua energia E e la somma

dell’energia cinetica e di quella potenziale, vale a dire E = p2

2m+ V (r). Quindi, lo stato

di piu bassa energia corrisponde ad un elettrone di impulso nullo (in modo da minimizzare

l’energia cinetica p2

2m) fermo nel mezzo della prima o dello seconda buca (in modo da minimizzare

l’energia potenziale). Questa e la predizione classica. Per sapere pero se la predizione e correttadobbiamo fare l’esperimento e misurare la posizione e l’impulso dell’elettrone.

Nell’esperimento mettiamo dapprima in contatto un gas di H+2 con una sorgente a temper-

atura nulla in modo da abbassare al minimo l’energia di ciascuna molecola. A questo puntoprocediamo a misurare la posizione r e l’energia E dell’elettrone in ciascuna molecola (da E

possiamo poi estrarre l’impulso in quanto p =√

2m[E − V (r)] ) . Come vedremo il risul-tato dell’esperimento non confermera la predizione classica. Sara un vero rompicapo, ma neusciremo.

Cominciamo con il misurare la posizione dell’elettrone per un numero molto grande dimolecole. Chiaramente non sara possibile misurare la posizione con precisione infinita, potremopero stabilire se l’elettrone si trova in un piccolo intorno di R1 o di R2. In effetti questo e pro-

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2 1.1. La necessita di abbandonare la fisica classica

R1 R2r

V (r)

Figure 1.1:

prio quello che sperimentalmente succede, l’elettrone si trova sempre nelle vicinanze di una delledue buche, in accordo con la fisica classica. Immediatamente dopo aver misurato la posizioneandiamo a misurare l’energia, di nuovo molecola per molecola. E qui inizia il rompicapo. In-dipendentemente dalla posizione appena misurata, l’energia risulta sempre piu alta del minimoprevisto dalla fisica classica. Cosa ancora piu sorprendente e che nonostante tutte le molecolesi trovino nello stesso medesimo stato, per alcune di esse l’energia misurata e pari a un certovalore Ea, per altre, invece, a un certo altro valore Eb > Ea. La probabilita di misurare Ea e’circa la stessa di misurare Eb ed entrambe sono un po’ meno di 0.5:

P (Ea) ' P (Eb) ' 0.5 (1.2)

Tutti gli altri valori di energia misurati sono ancora piu grandi di Eb e hanno probabilitatrascurabile di essere trovati. Questo e un fatto, accade davvero cosı. E se cosı e, inevitabilmentesorgono delle domande di natura fondamentale: Perche l’energia misurata e sempre piu grandedel minimo previsto dalla fisica classica? E perche non e sempre la stessa? Come facciamo asapere se misureremo Ea o Eb? Da questi dati sembrerebbe impossibile sapere simultaneamentela posizione e l’energia, o equivalentemente, la posizione e l’impulso. Se conosciamo la posizioneallora vi e un incertezza nell’energia, e quindi nell’impulso.

Le stranezze del mondo microscopico non finiscono qui. Prendiamo tutte quelle molecoleche ci hanno fornito energia Ea e orientiamole in modo tale che la posizione dell’elettrone,precedentemente misurata, sia a sinistra dell’origine, quindi in un intorno di R1. Bene, andiamoa misurare di nuovo la posizione dell’elettrone. Quello che si trova e da non crederci. In metadi queste molecole l’elettrone e ancora nell’intorno di R1 mentre nell’altra meta e nell’intornodi R2! Quindi, ora che conosciamo con certezza l’energia non conosciamo piu con certezza laposizione. Se avessimo scelto l’insieme delle molecole con energia Eb avremmo trovato lo stessorisultato. Ne dobbiamo concludere che se conosciamo l’energia allora vi e un incertezza nellaposizione. Nella Figura 1.2 riassumiamo graficamente i risultati ottenuti sperimentalmente. Eevidente che la fisica classica non puo aiutarci a districare questa matassa.

Come se non bastasse, c’e un’ulteriore stranezza. Prendiamo l’insieme delle molecole su cui


Chapter 1. I concetti fondamentali della meccanica quantistica 3

e in R1Misura Energia

Ea

Eb

Misura posizione

e in R1

e in R2

e in R1

e in R2

Figure 1.2:

abbiamo misurato energia Ea. Per ciascuna di esse, dopo la misura, aspettiamo un tempo te misuriamo nuovamente l’energia. Quello che si trova e che per tutte le molecole l’energia eancora Ea. Se avessimo fatto lo stesso esperimento per le molecole con energia Eb avremmotrovato la stessa cosa, ossia dopo un tempo t avremmo sempre misurato Eb. Le cose cambianose misuriamo due volte la posizione a distanza di tempo. Prendiamo l’insieme delle molecole sucui abbiamo misurato la posizione e orientiamole in modo che per tutte l’elettrone si trova inun intorno di R1. Se ora aspettiamo un tempo t e andiamo a misurare nuovamente la posizionedell’elettrone troveremo che l’elettrone si trova in un intorno di R1 per un certo numero dimolecole e in un intorno di R2 per le restanti molecole! A voler essere piu precisi, quello che sitrova e che la probabilita di rimisurare l’elettrone in un intorno di R1 dopo un tempo t oscillanel tempo nel seguente modo

P (R1) = 0.5× [1 + cos(Ωt)] (1.3)

dove

Ω =Eb − Ea

~(1.4)

e la differenza delle due possibili energie divisa per la cosiddetta costante di Planck ~. Lacostante ~ fu introdotta da Planck per spiegare lo spettro del corpo nero, un argomento che nontratteremo in questo corso, e ha le dimensioni di un energia per un tempo o, equivalentemente,di un impulso per una posizione:

~ = 1.055× 10−34J · s. (1.5)

Come vedremo, tutte le equazioni della meccanica quantistica contengono questa costante.Concludiamo osservando che l’elettrone puo trovarsi solo in R1 o in R2, e quindi la somma delleprobabilita P (R1) + P (R2) = 1. Da Eq. (1.3) possiamo allora concludere

P (R2) = 0.5× [1− cos(Ωt)] (1.6)

Nella Figura 1.3 riassumiamo graficamente quest’ultima evidenza sperimentale.


4 1.2. La soluzione quantistica - i primi cinque postulati

e in R1

Misura Energia dopo t

Ea

Misura posizione

dopo t

e in R1

e in R2

Ea

P (Ea) = 1

P (R1) = 0.5 [1 + cos(t)]

P (R2) = 0.5 [1 cos(t)]

Figure 1.3:

1.2 La soluzione quantistica - i primi cinque postulati

La soluzione del rompicapo sperimentale ha richiesto anni e la presenteremo in questa sezione.Come vedremo sara necessario abbandonare alcuni concetti a noi familiari per poter compren-dere cosa accade quando i sistemi sono nanometrici. Anche se la visione quantistica e le regolequantistiche potranno sembrare assurde, anticipiamo che non sono mai state smentite dagliesperimenti.

Cominciamo con una considerazione completamente generale. La fisica e una scienza cheutilizza leggi matematiche principalmente per due scopi1) mettere in relazione le proprieta di un dato sistema (ad esempio nella legge dei gas perfettisi mette in relazione pressione, volume e temperatura del sistema “gas perfetto”)2) predire come cambiano nel tempo le proprieta di un dato sistema tramite delle equazionidifferenziali nel tempo (ad esempio la legge di Newton per il sistema “punto materiale” o leequazioni di Maxwell per il sistema “campo elettromagnetico”)Per poter essere una scienza quantitativa tutte le proprieta devono essere misurabili. Infattiuna legge della fisica e buona se e solo se e sperimentalmente vericata.

Torniamo all’elettrone nello ione H+2 discusso nella sezione precedente. Abbiamo imparato

che se misuriamo la posizione allora il risultato di una misura dell’energia non e univoco. Ese misuriamo l’energia allora il risultato di una misura della posizione non e univoco. Questosignifica che non abbiamo speranza di scrivere delle equazioni in termini di posizione e impulso,quale ad esempio e l’equazione di Newton dp

dt= F (r), in quanto queste equazioni predirebbero

un ben preciso valore di r e p, e quindi di r ed E, ad ogni istante di tempo.

I primi due postulati della meccanica quantistica nascono dalla seguente osservazione. Siconsideri una proprieta misurabile, che da ora in poi chiameremo osservabile, e si prenda notadei possibili valori del risultato di una misura. Nel caso dello ione H+

2 la misura dell’osservabileposizione forniva solo due valori, R1 e R2. Poiche non e possibile conoscere null’altro concertezza assoluta (ricordiamoci che una misura successiva dell’energia non forniva sempre lostesso valore), dobbiamo concludere che lo stato del sistema e completamente caratterizabiledal solo valore della posizione. Assegniamo allora al sistema “elettrone” un ket |R1〉 quando simisura R1 e un ket |R2〉 quando si misura R2. Assumiamo poi che questi kets formino la base



ortonormale di uno spazio di Hilbert H, quindi

〈Ri|Rj〉 = δij, i, j = 1, 2. (1.7)

Se invece della posizione avessimo scelto di misurare l’energia avremmo potuto fare lo stessoragionamento. Poiche non e possibile conoscere null’altro con certezza assoluta (ricordiamociche una misura successiva della posizione non forniva sempre lo stesso valore, vedi Figura 1.2),allora lo stato del sistema e completamente caratterizabile dal valore dell’energia. Assegniamoallora al sistema “elettrone” un ket |Ea〉 quando si misura Ea e un ket |Eb〉 quando si misuraEb. Questi kets formano una base ortonormale dello stesso spazio di Hilbert H (e cambiatal’osservabile ma il sistema e lo stesso):

〈Ei|Ej〉 = δij, i, j = a, b (1.8)

Essendo sia |R1〉, |R2〉 che |Ea〉, |Eb〉 una base di H possiamo esprimere gli uni come com-binazione lineare degli altri

|Ri〉 =∑j=a,b

〈Ej|Ri〉|Ej〉, |Ei〉 =∑j=1,2

〈Rj|Ei〉|Rj〉. (1.9)

Piu in generale, se avessimo scelto di misurare una generica osservabile e se i valori possibilidi una misura fossero stati Oα e Oβ allora avremmo assegnato al sistema il ket |Oα〉 nel primocaso e |Oβ〉 nel secondo. Inoltre, |Oα〉, |Oβ〉 sarebbe stata una base ortonormale dello stessospazio di Hilbert H. Questo modo di caratterizzare il sistema e alla base del

PRIMO POSTULATO:

Lo stato di un sistema e descritto da un ket |Ψ〉 che appartiene ad uno spazio di Hilbert H.

Per determinare il ket |Ψ〉 ∈ H e necessario fare una misura. Supponiamo di voler mis-urare una certa osservabile (come la posizione o l’energia nel nostro esempio dello ione H+

2 )e indichiamo con Oj i possibili valori di una misura. Nel nostro esempio Oj = (R1, R2)se l’osservabile fosse la posizione e Oj = (Ea, Eb) se l’osservabile fosse l’energia. Il secondopostulato stabilisce che

SECONDO POSTULATO:

Lo stato del sistema subito dopo aver misurato Oj e il ket |Oj〉, indipendentemente dallo statodel sistema prima della misura.

Questo postulato prende anche il nome di postulato del collasso dello stato in quanto seil sistema si trova in un generico ket |Ψ〉 un istante prima della misura esso collassa in |Oj〉subito dopo la misura.

Il terzo postulato della meccanica quantistica riguarda invece le osservabili:

TERZO POSTULATO:

Ad ogni osservabile la cui misura puo fornire i valori Oj e associato il seguente operatorehermitiano

O =∑j

Oj|Oj〉〈Oj|, (1.10)



dove gli |Oj〉 formano una base ortonormale di H.

Quindi nel nostro esempio sull’elettrone nello ione H+2 all’osservabile posizione e all’osservabile

energia sono rispettivamente associati gli operatori

R =∑j=1,2

Rj|Rj〉〈Rj|, E =∑j=a,b

Ej|Ej〉〈Ej|. (1.11)

I primi tre postulati servono sostanzialmente a costruire l’apparato matematico e da soli nonconsentono di calcolare nulla. Per questo occorre introdurre due ulteriori postulati. Grazie alquarto postulato possiamo infatti calcolare la probabilita di misurare un certo valore per unadata osservabile. Il quarto postulato afferma che

QUARTO POSTULATO:

Se il sistema e descritto dal ket |Ψ〉 ∈ H con normalizzazione 〈Ψ|Ψ〉 = 1, allora la probabilita

P (Oj) di misurare il valore Oj per l’osservabile O e data da

P (Oj) = |〈Oj|Ψ〉|2. (1.12)

Con il quarto postulato possiamo cominciare a testare l’apparato matematico che stiamomettendo in piedi. Consideriamo la Figura 1.2. In base al secondo postulato subito dopo avermisurato R1 lo stato del sistema e |Ψ〉 = |R1〉. Dal quarto postulato la probabilita di misurareenergia Ej sara allora

P (Ej) = |〈Ej|R1〉|2 ' 0.5 =1

2, (1.13)

dove nell’ultima identita abbiamo utilizzato il dato sperimentale fornito dall’Eq. (1.2). DallaEq. (1.13) segue che 〈Ej|R1〉 = eiθj/

√2 dove le θj sono fasi che al momento non possiamo

determinare. Prendendo in considerazione questo risultato nella prima di Eq. (1.9) troviamo

|R1〉 =eiθa

√2|Ea〉+

eiθb

√2|Eb〉. (1.14)

L’Eq. (1.14) ci consente di esprimere anche il ket |R2〉 come combinazione lineare di |Ea〉 e |Eb〉in quanto sappiamo che 〈R2|R2〉 = 1 e che 〈R1|R2〉 = 0 (vedi terzo postulato). Utilizzandosempre la prima di Eq. (1.9), da 〈R2|R2〉 = 1 si trova

|〈Ea|R2〉|2 + |〈Eb|R2〉|2 = 1, (1.15)

e da 〈R1|R2〉 = 0 si trova

e−iθa

√2〈Ea|R2〉+

e−iθb

√2〈Eb|R2〉 = 0. (1.16)

Da queste ultime due equazioni e immediato ricavare 〈Ea|R2〉 = eiθa/√

2, 〈Eb|R2〉 = −eiθb/√

2.Quindi

|R2〉 =eiθa

√2|Ea〉 −

eiθb

√2|Eb〉. (1.17)



Bene, siamo ora pronti a fare qualche predizione. Supponiamo di aver misurato energia Ea equindi che il sistema sia descritto dal ket |Ea〉. In base al quarto postulato la probabilita dimisurare la posizione Ri sara

P (Ri) = |〈Ri|Ea〉|2 = 1/2, (1.18)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato le Eqs. (1.14) e (1.17). Il risultato appena ot-tentuto e in ottimo accordo con l’esperimento, vedi Figura 1.2. Quindi dalla conoscenza delleprobabilita di misurare l’energia dopo aver misurato la posizione abbiamo dedotto la probabilitadi misurare le posizioni dopo aver misurato l’energia, e ottenuto il risultato sperimentalmentecorretto. Possiamo anche dedurre un altro risultato. Se misuriamo la posizione e troviamo R1

allora subito dopo la misura |Ψ〉 = |R1〉 (secondo postulato). In base al quarto postulato laprobabilita di misurare R1 immediatamente dopo sara

P (R1) = |〈R1|R1〉|2 = 1 (1.19)

mentre quella di misurare R2 sara P (R2) = |〈R2|R1〉|2 = 0. Questo e esattamente quelloche sperimentalmente si trova. Infatti le probabilita sperimentali di misurare R1 e R2 dopoun tempo t sono date dalle Eqs. (1.3) e (1.6). Quindi per conoscere le probabilita sperimen-tali subito dopo la misura dobbiamo valutare Eqs. (1.3) e (1.6) al tempo t = 0. Il risultatosperimentale e proprio quello previsto dalla teoria.

Il quinto postulato e decisamente il piu importante in quanto rappresenta l’analogo dell’equa-zione di Newton in meccanica classica. Esso ci consente di calcolare l’evoluzione temporale dellostato del sistema. Indichiamo con |Ψ(t)〉 ∈ H il ket che descrive il sistema al tempo t. Il quintopostulato, anche noto come equazione di Schrodinger, afferma che

QUINTO POSTULATO:

|Ψ(t)〉 soddisfa la seguente equazione differenziale del primo ordine nel tempo

i~d

dt|Ψ(t)〉 = E|Ψ(t)〉, (1.20)

dove E e l’operatore energia.

Nel caso dell’elettrone nello ione H+2 l’operatore energia e dato dalla seconda di Eq. (1.11).

In realta il quinto postulato e leggermente piu generale di cosı ma per il momento tutta la suageneralita a noi non serve. Avremo modo di tornarci in seguito.

L’equazione di Schrodinger ci consente di calcolare la probabilita del risultato di una misuraal tempo t e quindi di verificare la correttezza della teoria facendo i confronti con gli esperimentidi Figura 1.3. Cominciamo con il trovare la piu generica soluzione dell’equazione di Schrodingernel caso dell’elettrone nello ione H+

2 . Espandiamo il generico ket |Ψ(t)〉 nella base degli autokets

di E:|Ψ(t)〉 =

∑j=a,b

cj(t)|Ej〉. (1.21)

I coefficienti cj(t) = 〈Ej|Ψ(t)〉 dipendono dal tempo in quanto |Ψ(t)〉 dipende dal tempo.L’equazione di Schrodinger fornisce

i~d

dt|Ψ(t)〉 = i~

∑j=a,b

dcj(t)

dt|Ej〉,

E|Ψ(t)〉 =∑j=a,b

cj(t)E|Ej〉 =∑j=a,b

Ejcj(t)|Ej〉, (1.22)



dove nell’ultima identita abbiamo utilizzato che E|Ej〉 = Ej|Ej〉. Uguagliando i membri didestra troviamo ∑

j=a,b

(i~dcj(t)

dt− Ejcj(t)

)|Ej〉 = 0. (1.23)

Questa equazione e soddisfatta se e solo se per ogni j il termine in parentesi e nullo; infatti i kets|Ej〉 sono tra loro ortonormali e quindi indipendenti. Occorre dunque trovare la soluzionedell’equazione differenziale

i~dcj(t)

dt− Ejcj(t) = 0. (1.24)

Si tratta di un’equazione del primo ordine a coefficienti costanti e omogenea. E facile verificareche la soluzione e

cj(t) = e−iEjt/~cj(0). (1.25)

Valutando questa equazione in t = 0 si trova correttamente cj(0) = cj(0). Bene, veniamo oraagli esperimenti di Figura 1.3

Nel primo esperimento si andava a fare una misura dell’energia e si trovava il valore Ea.Quindi, in base al secondo postulato, il sistema subito dopo la misura e descritto dal ket|Ea〉. Scegliamo il tempo della misura come l’istante iniziale, ossia t = 0, e scriviamo allora|Ψ(0)〉 = |Ea〉. Dall’Eq. (1.21) calcolata in t = 0 si ricavano le condizioni iniziali per i coefficienti,ca(0) = 1 e cb(0) = 0. Quindi il ket al tempo t e

|Ψ(t)〉 = e−iEat/~|Ea〉. (1.26)

In base al quarto postulato la probabilita di misurare Ea al tempo t e dunque

P (Ea) = |〈Ea|Ψ(t)〉|2 = 1, (1.27)

che e in accordo con l’esperimento, vedi Figura 1.3.Veniamo ora al secondo esperimento. In questo caso al tempo t = 0 si effettua una misura

della posizione e si trova R1. Quindi, in base al secondo postulato lo stato al tempo t = 0 e|Ψ(0)〉 = |R1〉. Utilizzando l’Eq. (1.14) ne segue che

|Ψ(0)〉 = ca(0)|Ea〉+ cb(0)|Eb〉 = |R1〉 =eiθa

√2|Ea〉+

eiθb

√2|Eb〉. (1.28)

da cui si ricavano le condizioni iniziali per i coefficienti

ca(0) =eiθa

√2, cb(0) =

eiθb

√2. (1.29)

Pertanto, nel secondo esperimento il ket al tempo t e dato da

|Ψ(t)〉 =eiθa−iEat/~√

2|Ea〉+

eiθb−iEbt/~√

2|Eb〉. (1.30)

In base al quarto postulato la probabilita di misurare R1 al tempo t e

P (R1) = |〈R1|Ψ(t)〉|2 =

∣∣∣∣eiθa−iEat/~√

2〈R1|Ea〉+

eiθb−iEbt/~√

2〈R1|Eb〉

∣∣∣∣2 . (1.31)



Sempre dall’Eq. (1.14) abbiamo

〈R1|Ej〉 = 〈Ej|R1〉∗ =e−iθj

√2, j = a, b (1.32)

e quindi

P (R1) =1

4

∣∣e−iEat/~ + e−iEbt/~∣∣2 =

1

2[1 + cos(Ωt)] (1.33)

in perfetto accordo con il dato sperimentale di Eq. (1.3).

1.3 Valor medio, varianza e considerazioni generali

Nella sezione precedente abbiamo gettato le basi della meccanica quantistica. Oltre all’apparatomatematico che avremo modo di approfondire abbiamo introdotto una descrizione completa-mente nuova del mondo che ci circonda. Tanto per cominciare se misuriamo una certa os-servabile su un numero molto grande di sistemi tutti preparati nello stesso medesimo modo ilrisultato non e sempre lo stesso! Non possiamo farci niente, cosı funziona il mondo alla scalananometrica. Il meglio che possiamo predire non e il valore della misura ma la probabilita difare quella misura.

I risultati della misura di una data osservabile sono gli autovalori Oj dell’operatore O asso-ciato a quella osservabile. La probabilita di misurare un certo Oj e data da P (Oj) = |〈Oj|Ψ〉|2dove |Ψ〉 e il ket che descrive lo stato del sistema nell’istante in cui la misura viene effettuata

e |Oj〉 e l’autoket di O con autovalore Oj.Dalla conoscenza delle probabilita possiamo calcolare il valore medio di una osservabile

〈O〉 =∑j

P (Oj)Oj =∑j

〈Ψ|Oj〉Oj〈Oj|Ψ〉 = 〈Ψ|O|Ψ〉, (1.34)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato l’Eq. (1.10) del terzo postulato, ossia∑

j Oj|Oj〉〈Oj| =O. Possiamo poi farci un’idea di quale sia la distribuzione probabilistica calcolando la varianza,definita come la radice quadrata di

σ2O =

∑j

P (Oj)O2j − 〈O〉2 =

∑j

P (Oj)(Oj − 〈O〉)2 = 〈(O − 〈O〉

)2

〉. (1.35)

Piu σ2O e piccola e piu le probabilita P (Oj) sono grandi quando Oj ∼ 〈O〉 e piccole altrimenti.

In questi casi la misura dell’osservabile fornisce un risultato sempre molto vicino a 〈O〉. Comevedremo alle scale macroscopiche le varianze sono molto piccole e i valori medi delle osservabili,quali posizione e impulso, soddisfano le equazioni di Newton. Quindi la meccanica classica sideriva dalla meccanica quantistica andando a identificare le quantita classiche con i valori mediquantistici.

Restano comunque ancora diverse questioni aperte da investigare prima di mostrare il pas-saggio dalla meccanica quantistica a quella classica. Ad esempio: Perche il minimo dell’energiamisurabile nello ione H+

2 non coincide con quello della fisica classica? Come si scrivono le osserv-abili posizione e energia in sistemi che non siano lo ione H+

2 ? Per poter procedere e necessariointrodurre un ultimo postulato. Prima di farlo pero dobbiamo parlare del concetto di densitadi probabilita e poi del formalismo Langrangiano e Hamiltoniano della fisica classica.


10 1.4. Osservabili a spettro continuo in meccanica quantistica - funzione d’onda

1.4 Osservabili a spettro continuo in meccanica quantistica - fun-zione d’onda

In natura esistono molti sistemi “unidimensionali”. Questi sono sistemi che si estendono lungouna direzione su distanze quasi microscopiche (quindi dell’ordine di 10−6 ÷ 10−7 m), e lungole altre due direzioni sono invece confinati, ossia si estendono su distanze nanoscopiche (quindidell’ordine di 10−8 ÷ 10−9 m). Esempi sono i nanotubi di carbonio, le catene polimeriche, icosiddetti quantum wires, etc. Supponiamo di avere a disposizione uno di questi sistemi unidi-mensionali e scegliamo il sistema di coordinate in modo che l’asse x coincida con la direzionepiu estesa, quella microscopica quindi. Se fossimo interessati a misurare la posizione di unelettrone all’interno di tale sistema potremmo predisporre dei detectors lungo il sistema. Idetectors sono infatti dei dispositivi che emettono un “click” quando l’elettrone passa sopra diessi. Indicando con ∆ l’estensione dei detectors disponiamoli uno accanto all’altro nelle po-sizioni xj = j∆ come illustrato in Figura 1.4. Immaginiamo ora di preparare il nostro elettronein un certo stato descritto dal ket |Ψ〉 e di aspettare fino a che non sentiamo “click”. Se ilclick proviene dall’ennesimo detector allora subito dopo la misura sappiamo che l’elettrone sitrova in un intorno ∆ di xn e che il ket di stato |Ψ〉 collassa (secondo postulato) sul ket |n〉.Il ket |n〉 rappresenta quindi l’elettrone in un intorno di xn. Ripetendo questo esperimento unnumero K 1 volte (quindi ogni volta l’elettrone viene preparato nello stesso stato |Ψ〉 e poisi aspetta il click) e annotando per ciascun detector il numero kn di volte che il click provienedall’ennesimo detector possiamo costruire la probabilita

P (n) =knK

(1.36)

di misurare l’elettrone in un intorno di xn. Un esempio di queste probablilita e illustrato nellaFigura 1.4 come istogramma. In base al quarto postulato questa probabilita e identica a

P (n) = |〈n|Ψ〉|2 . (1.37)

Subito dopo il click del, diciamo, detector in xn l’elettrone si trova in un intorno di xn equindi la probabilita di trovarlo in un intorno di xn′ con n′ 6= n e nulla. In base al postulatodel collasso, subito dopo il click l’elettrone e descritto da |n〉 e quindi la probabilita di trovarloin xn′ e data da P (n′) = |〈n′|n〉|2. Dovendo questa essere zero per n′ 6= n e uno per n′ = nconcludiamo che

〈n′|n〉 = δnn′ . (1.38)

L’esperimento appena fatto giustifica l’ultima parte del terzo postulato. Infatti, il terzo postu-lato ci dice che l’operatore posizione e dato da

x =∑n

(n∆)|n〉〈n| (1.39)

e che i kets |n〉 formano una base ortonormale dello spazio di Hilbert H del nostro elettrone.Come abbiamo appena visto con l’Eq. (1.38), il fatto che i kets |n〉 siano ortonormali e unadiretta conseguenza del collasso e del quarto postulato. Il fatto che essi formino una base puoessere sperimentalmente giustificato nel seguente modo. Supponiamo per assurdo che non sianouna base. Dunque deve esistere un ket |χ〉 ortogonale a tutti gli |n〉. Se preparassimo lo statoiniziale dell’elettrone in |Ψ〉 = |χ〉 allora la probabilita che l’ennesimo detector emetta un click



x0 x1x1 x2

P (n)

Figure 1.4:

sarebbe |〈n|χ〉|2 = 0 per tutti gli n. Ma questo significherebbe che l’elettrone non e da nessunaparte, il che e assurdo.

Appurato allora che gli |n〉 sono una base ortonormale possiamo espandere un generico ketdi stato |Ψ〉 su questa base. Per una generica base ortonormale vale la relazione di completezza,detta anche risoluzione dell’identita,∑

n

|n〉〈n| = 1, (1.40)

e quindi

|Ψ〉 =∑n

|n〉〈n|Ψ〉 =∑n

Ψn|n〉, con Ψn = 〈n|Ψ〉. (1.41)

Come si vede dall’Eq. (1.37) la probabilita di trovare l’elettrone in un intorno di xn e nient’altro

che il modulo quadro di Ψn: P (n) = |Ψn|2. E importante osservare che queste probabilita sisommano a uno, ossia

∑n P (n) = 1, solo se il ket |Ψ〉 e normalizzato a uno, ossia 〈Ψ|Ψ〉 = 1.

Infatti∑n

P (n) =∑n

|Ψn|2 =∑nn′

δnn′Ψ∗n′Ψn =

∑nn′

〈n′|n〉Ψ∗n′Ψn =

(∑n′

〈n′|Ψ∗n′)(∑

n

Ψn|n〉)

= 〈Ψ|Ψ〉 (1.42)

dove nel terzo passaggio abbiamo utilizzato l’Eq. (1.38). Quindi se il ket |Ψ〉 non e normalizzatoa uno la somma delle probabilita non fa uno. Dal punto di vista interpretativo non cambiaovviamente nulla, nel senso che il ket |Ψ〉 e il ket C|Ψ〉, con C un arbitrario numero complesso,descrivono lo stesso stato fisico ma la somma delle probabilita nel secondo caso sara |C|2 voltepiu grande. Per ottenere le probabilita corrette bastera quindi dividere per |C|2. Si osservialtresı che se C = eiθ con θ reale allora sia |Ψ〉 che C|Ψ〉 = eiθ|Ψ〉 sono normalizzati a uno.Quindi la normalizzazione da sola non basta per determininare univocamente il ket di stato.


12 1.4. Osservabili a spettro continuo in meccanica quantistica - funzione d’onda

Questa arbitrarieta pero non inficia in alcun modo i risultati fisici in quanto il fattore di fasesi elide sempre. In altre parole siamo liberi di scegliere la fase θ che vogliamo, basta che unavolta effettuata la scelta non cambiamo piu θ.

Supponiamo ora di essere in grado di costruire detectors sempre piu piccoli e quindi diridurre lo spazio ∆ che essi occupano. Idealmente siamo interessati al caso limite di detectorspraticamente puntiformi e quindi al limite ∆→ 0. Nel limite ∆→ 0 la probabilita di misurareun elettrone in un intorno ∆ di xn tende a zero. E molto piu utile parlare in questo caso dellaprobabilita di trovare l’elettrone in un certo intervallo spaziale. Introduciamo allora il concettodi densita di probabilita definita come

P (xn) = lim∆→0

P (n)

∆= lim

∆→0

|Ψn|2∆

. (1.43)

Da questa definizione segue che se volessimo conoscere la probabilita di trovare l’elettrone tradue punti xa e xb dovremmo calcolare l’integrale

∫ xbxadxP (x). L’Eq. (1.43) suggerisce anche di

definire quella che viene chiamata funzione d’onda

Ψ(xn) = lim∆→0

Ψn√∆

(1.44)

in modo da poter riscrivere la densita di probabilita direttamente come

P (x) = |Ψ(x)|2. (1.45)

Nel limite ∆→ 0 conviene anche definire dei kets non normalizzabili. Nulla di trascendentale,non spaventiamoci. Consideriamo l’espansione del ket |Ψ〉 in Eq. (1.41). Essa puo riscriversicome

|Ψ〉 =∑n

∆Ψn√

∆

|n〉√∆, (1.46)

dove abbiamo semplicemente moltiplicato e diviso per ∆. Se definiamo i kets (ricordiamoci chexn = n∆)

|xn〉 = lim∆→0

|n〉√∆

(1.47)

allora nel limite ∆→ 0 l’espansione in Eq. (1.46) fornisce

|Ψ〉 = lim∆→0

∑n

∆ Ψ(xn)|xn〉 =

∫dx Ψ(x)|x〉 (1.48)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di integrale. Notiamo che la fun-zione d’onda puo anche essere riscritta come il prodotto scalare tra |xn〉 e |Ψ〉 in quanto, vediEq. (1.44),

Ψ(xn) = lim∆→0

〈n|Ψ〉√∆

= 〈xn|Ψ〉. (1.49)

Il motivo per cui i kets |xn〉 non sono normalizzabili e presto detto. Risulta

〈xn′ |xn〉 = lim∆→0

〈n′|n〉∆

= lim∆→0

δnn′

∆, (1.50)

quindi la normalizzazione tende a infinito per n = n′. Questo fatto non e in alcun modo unproblema per due motivi. Il primo e che, come abbiamo gia avuto modo di puntualizzare, lo



stato fisico di un sistema e indipendente dalla normalizzazione del ket e quindi e comunqueben definito. Nel nostro caso il ket |x〉 descrive un elettrone esattamente in x (e non in un suointorno come lo erano i kets |n〉). Il secondo motivo e che in tutte le espressioni matematiche ladivergenza causata dal fattore 1/∆ e compensata da infinitesimi di ordine ∆, vedi ad esempioEq. (1.46), e alla fine i risultati dei calcoli sono sempre finiti.

L’Eq. (1.50) puo essere riscritta in una forma piu familiare. Consideriamo l’integrale di unafunzione f(x) moltiplicata per la delta di Dirac1 δ(x− x′):∫

dx f(x)δ(x− x′) = f(x′). (1.51)

Suddividendo l’asse x in intervallini di lunghezza ∆ e definendo come prima xn = n∆ e xn′ =n′∆ possiamo approssimare l’Eq. (A.1) come∑

n

∆ f(xn)δ(xn − xn′) ' f(xn′) (1.52)

dove il simbolo ' diventa un simbolo di uguaglianza nel limite ∆ → 0. L’equazione sopraimplica che ∆δ(xn − xn′) ' δnn′ o equivalentemente che δ(xn − xn′) ' δnn′/∆. Prendendo illimite ∆→ 0 concludiamo allora che

δ(xn − xn′) = lim∆→0

δnn′

∆. (1.53)

Quindi l’Eq. (1.50) ci dice che il prodotto scalare tra due kets non normalizzabili |x〉 e |x′〉 eproporzionale alla delta di Dirac δ(x− x′):

〈x′|x〉 = δ(x− x′). (1.54)

Restano due ultime importanti relazioni da ricavare nel limite ∆ → 0. La prima riguardal’operatore posizione in Eq. (1.39). Moltiplicando e dividendo per ∆, tenendo presente chexn = n∆ e utilizzando la definizione in Eq. (1.47) troviamo nel limite ∆→ 0

x = lim∆→0

∑n

∆ xn|n〉√

∆

〈n|√∆

= lim∆→0

∑n

∆ xn|xn〉〈xn| =∫dx x|x〉〈x|. (1.55)

La seconda riguarda la risoluzione dell’identita in Eq. (1.40). Anche qui moltiplicando e divi-dendo per ∆ troviamo nel limite ∆→ 0

lim∆→0

∑n

∆|n〉√

∆

〈n|√∆

= lim∆→0

∑n

∆ |xn〉〈xn| =∫dx |x〉〈x| = 1. (1.56)

Possiamo facilmente verificare la correttezza di quest’ultima identita nel seguente modo

|Ψ〉 = 1|Ψ〉 =

∫dx |x〉〈x|Ψ〉 =

∫dx Ψ(x)|x〉, (1.57)

e l’ultimo membro coincide con quello di Eq. (1.48).L’operatore posizione in Eq. (1.55) e un operatore a spettro continuo nel senso che

i suoi autovalori sono tutti i possibili x (un insieme isomorfo all’insieme dei numeri reali e

1Per la definizione e le proprieta della delta di Dirac si consulti l’Appendice A.


14 1.5. Formalismo Langrangiano e Hamiltoniano

quindi continuo). Incontreremo altri operatori a spettro continuo come ad esempio l’impulso ol’energia. Questi operatori hanno la forma

O =

∫dOO|O〉〈O| (1.58)

e i kets |O〉 hanno prodotto scalare

〈O′|O〉 = δ(O −O′). (1.59)

E immediato verificare che il ket |O〉 e autoket di O con autovalore O

O|O〉 =

∫dO′O′|O′〉〈O′|O〉 =

∫dO′O′|O′〉δ(O′ −O) = O|O〉, (1.60)

e che la risoluzione dell’identita diventa∫dO|O〉〈O| = 1. (1.61)

1.5 Formalismo Langrangiano e Hamiltoniano

Per poter formulare l’ultimo postulato abbiamo bisogno di introdurre il formalismo Langrangianoprima e Hamiltoniano poi.

1.5.1 Formalismo Langrangiano - equazioni di Eulero-Lagrange

Il formalismo Lagrangiano e particolarmente utile per risolvere problemi di meccanica classicain cui le particelle sono soggette sia a forze esterne che a forze vincolari che ne limitano ilmovimento. Ad esempio, una perlina infilata in un fil di ferro rigido e soggetta sia alla forza digravita che a forze vincolari che la costringono a muoversi lungo il fil di ferro. Supponiamo diavere N particelle e indichiamo con ri, dove i = 1, . . . , N , le loro coordinate. Se queste particellehanno dei vincoli allora possiamo esprimere le coordinate in termini dei gradi di liberta che piuriteniamo convenienti. Ad esempio, se una particella e vincolata a muoversi sulla meta di uncerchio di raggio R possiamo scegliere un sistema di riferimento con origine al centro del cerchio,asse z ortogonale al cerchio e asse x passante per le estremita del semicerchio su cui la particellasi muove. Le coordinate della particella devono allora soddisfare i vincoli

z = 0, y =√R2 − x2. (1.62)

Quindi l’unico grado di liberta sara x ∈ (−R,R) e l’intera coordinata r = (x, y, z) potraesprimersi in termini di x: r = r(x). In alternativa avremmo potuto esprimere il vincolo intermini dell’angolo θ che il vettore r forma con l’asse x:

z = 0, x = R cos θ, y = R sin θ. (1.63)

In questo caso l’unico grado di liberta sara θ ∈ (0, π) e l’intera coordinata r = (x, y, z) potraesprimersi in termini di θ: r = r(θ).

Per sistemi con N particelle e K vincoli il numero di gradi di liberta e M = 3N − K.Nell’esempio precedente avevamo N = 1 particelle e K = 2 vincoli (uno che imponeva z = 0e l’altro che imponeva una relazione tra x e y) e quindi il numero di gradi di liberta era



M = 3− 2 = 1. Indichiamo con q = (q1, . . . , qM) l’insieme dei gradi di liberta che decidiamodi utilizzare. Nell’esempio precedente potevamo scegliere q = (x) oppure q = (θ). Alloratutte le coordinate ri possono esprimersi in termini dei q: ri = ri(q). Indicando con mi lamassa dell’i-esima particella le equazioni di Newton ci dicono che

mid2ridt2

= Fi + Fvinci (1.64)

dove Fi e la forza attiva (gravitazionale, elettromagnetica, etc) mentre Fvinci e la forza dovuta

ai vincoli. Le forze vincolari sono sempre ortogonali agli spostamenti infinitesimi δri che leparticelle possono compiere. Quindi(

mid2ridt2− Fi

)· δri = 0, (1.65)

e sommando su tutte le particelle troviamo∑i

(mid2ridt2− Fi

)· δri = 0. (1.66)

Bene, lavoriamo adesso questa espressione. Poiche ri = ri(q), utilizzando la regola dellacatena

δri =∑α

∂riδqα

δqα, (1.67)

e pertanto∑i

mid2ridt2· δri =

∑iα

mid2ridt2· ∂riδqα

δqα =∑iα

[d

dt

(midridt· ∂riδqα

)−mi

dridt· ddt

∂riδqα

]δqα. (1.68)

Esprimiamo ora la velocita vi = dri/dt della i-esima particella in termini delle velocita dei gradidi liberta

vi =dridt

=∑α

∂riδqα

dqαdt

=∑α

∂ri∂qα

qα . (1.69)

Quindi la variazione di velocita δvi dovuta alla variazione di velocita δqβ del solo grado diliberta β e δvi = (∂ri/∂qβ)δqβ o equivalentemente

∂vi∂qβ

=∂riδqβ

. (1.70)

Possiamo utilizzare questa relazione nell’Eq.(1.68) per ottenere∑i

mid2ridt2· δri =

∑iα

[d

dt

(mivi ·

∂vi∂qα

)−mivi ·

∂vi∂qα

]δqα

=∑α

[d

dt

∂

∂qα

(∑i

mi

2v2i

)− ∂

∂qα

(∑i

mi

2v2i

)]δqα, (1.71)

dove abbiamo definito il modulo quadro del vettore velocita v2i = vi · vi.

Veniamo ora alle forze attive. In generale Fi dipende, oltre che esplicitamente dal tempo t,sia dalla posizione delle particelle che dalle loro velocita: Fi = Fi(r, v, t). Indichiamo con



(F xi , F

yi , F

zi ) le tre componenti della forza che agisce sulla i-esima particella e con ri = (xi, yi, zi),

vi = (vxi , vyi , v

zi ) le componenti della sua posizione e velocita. Nel seguito assumeremo che le

forze possano scriversi come

F xi = −∂U

∂xi+d

dt

∂U

∂vxi, F y

i = −∂U∂yi

+d

dt

∂U

∂vyi, F z

i = −∂U∂zi

+d

dt

∂U

∂vzi(1.72)

dove U = U(r, v, t) e una funzione che puo dipendere dal tempo e dalla posizione e velocitadi tutte le particelle. Come vedremo la forma delle forze che stiamo considerando contempla,oltre alla forza gravitazionale e a quella elastica, anche la forza di Lorentz. Manipoliamo ilsecondo termine di Eq. (1.66)∑

i

Fi · δri =∑iα

Fi ·∂riδqα

δqα

=∑iα

[−∂U∂xi

∂xiδqα− ∂U

∂yi

∂yiδqα− ∂U

∂zi

∂ziδqα

+d

dt

(∂U

∂vxi

)∂vxiδqα

+

(∂U

∂vyi

)∂vyiδqα

+

(∂U

∂vzi

)∂vziδqα

]δqα,

(1.73)

dove per gli ultimi tre termini abbiamo utilizzato l’Eq. (1.70). La somma su i dei primi tretermini fornisce − ∂U

∂qα. Nei casi in cui o la funzione U non dipende dalle velocita, e quindi le

sue derivate rispetto alla velocita sono nulle, oppure ri(q) e una combinazione lineare deiq, e quindi vi = vi(q) e una combinazione lineare delle q, possiamo scrivere gli ultimitre termini in parentesi quadra come

d

dt

(∂U

∂vxi

)∂vxiδqα

+

(∂U

∂vyi

)∂vyiδqα

+

(∂U

∂vzi

)∂vziδqα

=d

dt

(∂U

∂vxi

∂vxiδqα

+∂U

∂vyi

∂vyiδqα

+∂U

∂vzi

∂vziδqα

)=

d

dt

∂U

∂qα.

(1.74)Pertanto ∑

i

Fi · δri =∑α

(− ∂U∂qα

+d

dt

∂U

∂qα

)δqα. (1.75)

Sottraendo Eq. (1.75) a Eq. (1.71) e tenendo conto di Eq. (1.66) arriviamo al seguente impor-tante risultato ∑

α

[d

dt

∂(T − U)

∂qα− ∂(T − U)

∂qα

]δqα = 0, (1.76)

dove abbiamo introdotto l’energia cinetica

T =∑i

1

2miv

2i . (1.77)

La quantitaL = T − U (1.78)

viene chiamata Lagrangiana del sistema. Poiche gli spostamenti δqα sono tra loro indipendentie l’Eq. (1.76) deve essere soddisfatta per arbitrari spostamenti ciascun termine della sommadeve essere separatamente nullo. Arriviamo in tal modo alle equazioni di Eulero-Lagrange

d

dt

∂L∂qα

=∂L∂qα

. (1.79)



Il vantaggio di queste equazioni e che sono equazioni per i gradi di liberta, quindi non dobbiamopreoccuparci di includere ulteriori equazioni per descrivere i vincoli. Inoltre, le equazioni diEulero-Lagrange sono relativamente semplici da derivare una volta nota L = L(q, q, t).Per ottenere quest’ultima bastera scrivere T e U in termini di r e v e poi esprimere questeultime in termini di q e q utilizzando l’Eq. (1.69).

1.5.2 Particella classica in un campo elettromagnetico

In assenza di vincoli il formalismo Lagrangiano fornisce un modo alternativo di ottenere leequazioni di Newton. Nel caso di una singola particella di massa m e carica Q in un campoelettromagnetico le equazioni di Newton sono

mdv

dt= Q(E +

1

cv ×B) (1.80)

dove il secondo membro e la forza di Lorentz con campo elettrico E(r, t) e campo magneticoB(r, t). Non essendovi vincoli possiamo scegliere i gradi di liberta q = (x, y, z) essere propriole coordinate della particella e quindi q = (vx, vy, vz) saranno le componenti della sua velocita.Riscriviamo allora l’equazione di Newton in componenti nel seguente modo

md

dtqα = QEα +

Q

c

∑βγ

εαβγ qβBγ (1.81)

dove nell’ultimo termine abbiamo utilizzato il tensore di Levi-Civita per ottenere la compo-nente α del prodotto vettoriale tra v e B, vedi Appendice B. Il campo elettrico e magneticosono sempre ottenibili da un potenziale scalare φ e un potenziale vettore A nel seguente modo

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t, B = ∇×A, (1.82)

che in componenti diventano

Eα = − ∂φ

∂qα− 1

c

∂Aα∂t

, Bγ =∑µν

εγµν∂Aν∂qµ

. (1.83)

Sostituendo queste espressioni in Eq. (1.81) e utilizzando l’identita, vedi Appendice B,∑γ

εαβγεγµν =∑γ

εγαβεγµν = δαµδβν − δανδβµ (1.84)

troviamo

md

dtqα = Q

(− ∂φ

∂qα− 1

c

∂Aα∂t

)+Q

c

∑β

qβ

(∂Aβ∂qα− ∂Aα∂qβ

)(1.85)

che e un altro modo di scrivere l’equazione di Newton.Vogliamo ora dimostrare che se nella Lagrangiana scegliamo

U = Qφ− Q

cv ·A = Qφ− Q

c

∑β

qβAβ (1.86)



allora le equazioni di Eulero-Lagrange forniscono esattamente l’Eq. (1.85). Scrivendo l’energiacinetica in Eq. (1.77) come T = m

2

∑α q

2α la Lagrangiana diventa

L(q, q, t) =m

2

∑α

q2α −Qφ+

Q

c

∑β

qβAβ. (1.87)

Risultad

dt

∂L∂qα

=d

dt

(mqα +

Q

cAα

)= m

d

dtqα +

Q

c

∂Aα∂t

+Q

c

∑β

∂Aα∂qβ

qβ, (1.88)

∂L∂qα

= −Q ∂φ

∂qα+Q

c

∑β

qβ∂Aβ∂qα

. (1.89)

Uguagliando queste ultime due equazioni si trova esattamente l’Eq. (1.85).

1.5.3 Formalismo Hamiltoniano - trasformata di Legendre - equazioni di Hamilton

Il formalismo Lagrangiano conduce a K equazioni differenziali del secondo ordine nel tempoper i K gradi di liberta q, le equazioni di Eulero-Lagrange per l’appunto. Il formalismoHamiltoniano consente di avere invece solo equazioni differenziali del primo ordine nel tempo.Il prezzo da pagare, come vedremo, e che il numero di equazioni raddoppia.

Prima di introdurre il formalismo Hamiltoniano apriamo una breve parentesi su quella cheviene definita come trasformata di Legendre. Consideriamo una funzione f(x, y) e scriviamola sua variazione a seguito di una variazione delle variabili indipendenti x e y

df =∂f

∂xdx+

∂f

δydy. (1.90)

Le funzioni u = ∂f/∂x e v = ∂f/∂y sono anch’esse funzioni di x e y. Invertendo u = ∂f/∂xpossiamo esprimere x in termini di u e y: x = x(u, y). La trasformata di Legendre consistenella costruzione di una funzione g(u, y) a partire dalla funzione f :

g(u, y) = ux(u, y)− f(x(u, y), y). (1.91)

La funzione g viene detta la trasformata di Legendre della funzione f . Quello che g ha dispeciale e che una sua variazione dovuta alla variazione di u e y si scrive come

dg = udx+ xdu− df (1.92)

e tenendo conto che df = udx+ vdy si trova

dg = xdu− vdy. (1.93)

Quindi x(u, y) e v(u, y) possono essere ottenuti da

x =∂g

∂u, v = −∂g

∂y. (1.94)

Torniamo alla nostra Lagrangiana. Dal punto di vista matematico la funzione L(q, q, t)puo essere considerata come una funzione delle variabili indipendenti q, q e t. Se questesono soggette ad una variazione infinitesima la Lagrangiana varia secondo la regola della catena

dL =∑α

(∂L∂qα

dqα +∂L∂qα

dqα

)+∂L∂tdt. (1.95)



Definiamo il momento coniugato alla variabile qα come

pα =∂L∂qα

. (1.96)

Abbiamo dunque K momenti coniugati, ciascuno funzione di q, q e t. Tenendo conto delleequazioni di Eulero-Lagrange possiamo riscrivere Eq. (1.95) come

dL =∑α

(pαdqα + pαdqα) +∂L∂tdt. (1.97)

Utilizziamo ora le definizioni dei momenti coniugati per esprimere le qα in funzione di q, pe t e costruiamo la seguente trasformata di Legendre della Lagrangiana, detta Hamiltoniana,

H(q, p, t) =∑α

qαpα − L(q, q, t). (1.98)

La variazione di H dovuta ad una variazione infinitesima di q, p e t e

dH =∑α

(qαdpα + pαdqα)− dL =∑α

(qαdpα − pαdqα)− ∂L∂tdt (1.99)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato l’Eq. (1.97). Del resto vale anche

dH =∑α

(∂H

∂qαdqα +

∂H

∂pαdpα

)+∂H

∂t. (1.100)

Uguagliando i differenziali otteniamo le equazioni di Hamilton

pα = −∂H∂qα

, qα =∂H

∂pα,

∂H

∂t= −∂L

∂tdt. (1.101)

Queste sono equazioni differenziali del primo ordine nel tempo per 2K funzioni, vale a direl’insieme dei gradi di liberta q e dei loro momenti coniugati p. Quindi se si vuole usarequesta formulazione occorre 1) scrivere la Lagrangiana 2) calcolare i momenti coniugati edesprimere le velocita q in termini di q e p 3) fare la trasformata di Legendre di L perottenere H e infine 4) utilizzare H per scrivere le equazioni di Hamilton.

La formulazione Hamiltoniana della meccanica classica e particolarmente utile per general-izzare il quinto postulato della meccanica quantistica. Prima di farlo pero vogliamo dimostrareche l’Hamiltoniana e, sotto certe condizioni, proprio l’energia del sistema. La Lagrangiana L ela differenza tra l’energia cinetica a la funzione U . Se quest’ultima non dipende dalle velocitaallora essa coincide con l’energia potenziale V del sistema:

∂U

∂qα= 0 ⇒ U = V (q). (1.102)

Infatti, da Eq. (1.72) abbiamo che in tal caso Fi = ∇iU e quindi il lavoro fatto per spostare leparticelle da una configurazione di coordinate ri a un’altra configurazione r′i non dipende dalpercorso. Veniamo ora all’energia cinetica T . Poiche vi =

∑α∂riδqαqα, vedi Eq. (1.69), avremo

T =∑i

mi

2

∑µν

∂ri∂qµ· ∂ri∂qν

qµqν , (1.103)



da cui

pα =∂L∂qα

=∂T

∂qα=∑i

mi

∑µ

∂ri∂qα· ∂ri∂qµ

qαqµ, (1.104)

dove si e tenuto conto che per ipotesi U e indipendente dalle velocita. Sostituendo questorisultato in Eq. (1.98) troviamo

H =∑i

mi

∑µα

∂ri∂qα· ∂ri∂qµ

qαqµ −∑i

mi

2

∑µν

∂ri∂qµ· ∂ri∂qν

qµqν + V = T + V. (1.105)

Quindi, riassumendo, l’Hamiltoniana coincide con l’energia del sistema se le forze sono conser-vative.

E facile dimostrare che se l’energia potenziale V non dipende esplicitamente dal tempo allora,come correttamente deve succedere, l’energia si conserva. Infatti

dH

dt=∑α

(∂H

∂qαqα +

∂H

∂pαpα

)=∑α

(−pαqα + qαpα) = 0, (1.106)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato le equazioni di Hamilton.

1.5.4 Simmetrie e leggi di conservazione - parentesi di Poisson

In fisica esiste uno stretto legame tra le simmetrie dell’Hamiltoniana e le leggi di conservazione.Che cosa si intende per simmetria? Abbiamo visto che l’Hamiltoniana H = H(p, q, t) euna funzione dei gradi di liberta del sistema e dei loro momenti coniugati. A seguito di unavariazione infinitesima di entrambi, ossia pα → pα + δpα e qα → qα + δqα l’Hamiltoniana variadella quantita

δH =∑α

(∂H

∂qαδqα +

∂H

∂pαδpα

). (1.107)

I cambiamenti per cui δH = 0 sono detti essere una simmetria di H. Ad esempio, nel caso

di una particella libera (quindi in assenza di potenziale esterno) H = p2

2me quindi la variazione

δp = 0 e δq = ε (con ε infinitesimo) sono una simmetria in quanto in tal caso la variazioneδH = 0. Qualsiasi variazione infinitesima di p e q puo scriversi in termini di un parametroinfinitesimo ε e di una funzione G(p, q, t), detta funzione generatrice, nel seguente modo

δpα = −ε ∂G∂qα

, δqα = ε∂G

∂pα. (1.108)

Per l’esempio precedente con δp = 0 e δq = ε la funzione G = p. Sostituendo Eq. (1.108) inEq. (1.107) troviamo

δH = ε∑α

(∂H

∂qα

∂G

∂pα− ∂H

∂pα

∂G

∂qα

)≡ εH,G, (1.109)

dove abbiamo definito le parentesi di Poisson per due funzioni arbitrarie f1(p, q, t) ef2(p, q, t) come

f1, f2 ≡∑α

(∂f1

∂qα

∂f2

∂pα− ∂f1

∂pα

∂f2

∂qα

)= −f2, f1. (1.110)



Possiamo allora dire che se la funzione generatrice G ha parentesi di Poisson nulla con l’Hamil-toniana H allora la variazione generata da G e una simmetria in quanto δH = 0. Supponiamoora di calcolare la funzione generatrice G lungo una traiettoria fisica, ossia per valori di p eq che soddisfano le equazioni di Hamilton. Avremo

dG

dt=∑α

(∂G

∂qαqα +

∂G

∂pαpa

)+∂G

∂t=∑α

(∂G

∂qα

∂H

∂pα− ∂G

∂pα

∂H

∂qα

)+∂G

∂t= −H,G+

∂G

∂t

(1.111)Ne concludiamo che se G genera una simmetria (e quindi H,G = 0) e se G non dipendeesplicitamente dal tempo (e quindi ∂G/∂t = 0) allora G non cambia nel tempo o, in altreparole, la quantita G si conserva: dG/dt = 0. Nell’esempio della particella libera G = p e unasimmetria e quindi l’impulso e una quantita conservata. Questa e una bellissima proprieta ditutte le leggi della fisica: se una quantita si conserva nel tempo allora il sistema e invariantesotto una certa trasformazione.

Le parentesi di Poisson sono particolarmente semplici nel caso si scelgano le funzioni f1 e f2

essere una un grado di liberta, quindi f1 = qµ, e l’altra un momento coniugato, quindi f2 = pν .In tal caso risulta

qµ, pν =∑α

(∂qµ∂qα

∂pν∂pα− ∂qµ∂pα

∂pν∂qα

)=∑α

δµαδνα = δµν . (1.112)

Se invece le due funzioni sono entrambi un grado di liberta o un momento coniugato avremo

qµ, qν = pµ, pν = 0. (1.113)

1.6 Il sesto postulato

Il sesto e ultimo postulato della meccanica quantistica e detto postulato di Dirac e ci consentedi calcolare i prodotti scalari tra gli autoket di un osservabile e quelli di un’altra. Come sie visto, in base al terzo postulato ad ogni osservabile e associato un operatore hermitiano.Consideriamo un sistema caratterizzabile dai gradi di liberta q, e siano p i loro momenticoniugati. Allora, in meccanica quantistica assoceremo a ciasun qα un operatore hermitianoqα e a ciascun pβ un operatore hermitiano pβ. Secondo il sesto postulato questi operatoridevono soddisfare le seguenti regole di commutazione

SESTO POSTULATO:

qαpβ − pβ qα = [qα, pβ] = i~δαβ (1.114)

[qα, qβ] = [pα, pβ] = 0 (1.115)

con ~ la costante di Planck. In altre parole le parentesi di Poisson della meccanica classicavengono rimpiazzate da un commutatore e la delta di Kronecker viene moltiplicata per il fattorei~. I gradi di liberta commutano con i loro momenti coniugati solo se la costante di Planck ~ enulla. Come vedremo, i risultati della meccanica quantistica si riducono a quelli della meccanicaclassica proprio nel limite ~→ 0.

Grazie al sesto postulato possiamo calcolare praticamente tutto. Cominciamo con un esem-pio. Consideriamo una particella in una dimensione e indichiamo con x la sua coordinata e


22 1.6. Il sesto postulato

con p il suo momento coniugato. Gli operatori quantistici associati a queste osservabili sarannol’operatore posizione e l’operatore momento o impulso, vedi Eqs. (1.58) e (1.59),

x =

∫dx x|x〉〈x|, p =

∫dp p|p〉〈p| (1.116)

con prodotto scalare 〈x|x′〉 = δ(x−x′) e 〈p|p′〉 = δ(p−p′). Stiamo qui assumendo che lo spettro,ossia i possibili valori misurabili, sia continuo per entrambi. Questa assunzione e supportatada innumerevoli evidenze sperimentali. Ora, poiche sia |x〉 che |p〉 formano una base dellostesso spazio di Hilbert H possiamo espandere gli uni in termini degli altri. Da Eq. (1.61)infatti

|p〉 =

∫dx 〈x|p〉|x〉, |x〉 =

∫dp 〈p|x〉|p〉. (1.117)

Ma quanto vale il prodotto scalare 〈x|p〉? Chiaramente senza questa informazione non possiamone’ fare il cambio di base ne’ calcolare molte quantita di interesse. Ad esempio supponiamo dimisurare il momento e di trovare il valore p. La particella quindi collassa nello stato |p〉. Sesiamo interessati alla densita di probabilita di trovare la particella in x subito dopo la misura, inbase al quarto postulato dovremmo calcolare |〈x|p〉|2. La conoscenza di questi prodotti scalarie quindi fondamentale, senza essi la meccanica quantistica sarebbe una teoria monca. Il sestopostulato serve proprio a colmare questa lacuna. Vediamo come fare.

Definiamo il commutatoreQn = [x, pn]. (1.118)

Utilizzando l’identita [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] con A = x, B = p e C = pn−1 troviamo

Qn = i~pn−1 + pQn−1

= i~pn−1 + p(

i~pn−2 + pQn−2

)= 2i~pn−1 + p2

(i~pn−3 + pQn−3

)= . . . = (n− 1)i~pn−1 + pn−1Q1 = ni~pn−1. (1.119)

Applichiamo ora l’operatore x al ket e−iap~ |x〉

xe−iap~ |x〉 =

∞∑n=0

1

n!

(− ia

~

)nxpn|x〉 =

∞∑n=0

1

n!

(− ia

~

)n (Qn + pnx

)|x〉

=

(− ia

~

)i~∞∑n=1

1

(n− 1)!

(− ia

~

)n−1

pn−1|x〉+ xe−iap~ |x〉

= (x+ a)e−iap~ |x〉. (1.120)

Il ket e−iap~ |x〉 e pertanto proprzionale all’autoket dell’operatore posizione con autovalore (x+a),

ossiae−

iap~ |x〉 = C|x+ a〉. (1.121)

E immediato rendersi conto che C = 1 in quanto, essendo l’operatore p hermitiano, l’operatore

e−iap~ e unitario e quindi non cambia la normalizzazione. Infatti, facendo il prodotto scalare dei

due membri dell’equazione qui sopra con loro stessi troviamo

〈x|e iap~ e

−iap~ |x〉 = 〈x|x〉 = δ(0) = |C|2〈x+ a|x+ a〉 = |C|2δ(0). (1.122)



Quindi

e−iap~ |x〉 = |x+ a〉. (1.123)

Facciamo ora il prodotto scalare di questa equazione con un autoket dell’impulso. Risulta

e−iap~ 〈p|x〉 = 〈p|x+ a〉. (1.124)

Questa identita vale per ogni x e per ogni a. Posto a = −x

eipx~ 〈p|x〉 = 〈p|0〉 ⇒ 〈p|x〉 = e−

ipx~ 〈p|0〉 . (1.125)

Per determinare 〈p|0〉 bastera usare che 〈p|p′〉 = δ(p− p′) e∫dx |x〉〈x| = 1:

δ(p− p′) = 〈p|p′〉 =

∫dx 〈p|x〉〈x|p′〉 =

∫dx e−

i(p−p′)x~ 〈p|0〉〈0|p′〉 = 2πδ(

p− p′~

)|〈p|0〉|2

= 2π~ δ(p− p′)|〈p|0〉|2 (1.126)

da cui segue che 〈p|0〉 = 1√2π~ . Nel derivare Eq. (1.126) abbiamo usato la seguente rappresen-

tazione della delta di Dirac ∫ ∞−∞

dx eiαx = 2πδ(α), (1.127)

assieme alla proprieta δ(βα) = δ(α)/|β| = δ(β)/|α|, vedi Appendice A. Arriviamo cosıall’importante risultato

〈p|x〉 =e−

ipx~√

2π~. (1.128)

Per un sistema con M di liberta una possibile base dello spazio di Hilbert H e costituitadall’insieme dei kets |q〉 = |q1 . . . qM〉 che sono autokets simultanei di tutti gli operatori qαcon autovalore qα:

qα|q1 . . . qM〉 = qα|q1 . . . qM〉. (1.129)

Infatti tutti gli operatori qα commutano tra loro, vedi Eq. (1.115), e quindi sono simultanea-mente diagonalizzabili su una base ortonormale

〈q1 . . . qM |q′1 . . . q′M〉 = δ(q1 − q′1)δ(q2 − q′2) . . . δ(qM − q′M). (1.130)

E importante apprezzare la fisica nascosta dietro questo prodotto scalare. Se avessimo messo deirivelatori per misurare le osservabili q1,. . . ,qM allora il ket |q1 . . . qM〉 ∈ H corrisponde allo statodel sistema quando tutti questi rivelatori allo stesso istante eseguono la misura e restituiscono ivalori q1 . . . qM . Se il sistema e descritto dal ket |Ψ〉 ∈ H, per il quarto postulato la probabilitache questa misura avvenga e

P (q1, . . . , qM) = |〈q1 . . . qM |Ψ〉|2. (1.131)

Ne segue che la probabilita che subito dopo la misura il sistema possa avere gradi di libertaq′1, . . . , q

′M e nulla a meno che q′1 = q1,. . . ,q′M = qM . Le delta di Dirac nell’Eq. (1.130) esprimono

proprio questo fatto. Il motivo per cui appaiono le delta di Dirac e non quelle di Kroneckere legato al fatto che gli spettri degli operatori q1,. . . ,qM sono continui, vedi discussione nellaSezione 1.4. Come nel caso di un singolo grado di liberta l’Eq. (1.130) ci dice anche comegeneralizzare la risoluzione dell’identita:

1 =

∫dq1 . . . dqM |q1 . . . qM〉〈q1 . . . qM |. (1.132)


24 1.6. Il sesto postulato

Ci si puo facilmente convincere della correttezza di questa equazione moltiplicando ambo imembri per |q′1 . . . q′M〉 e utilizzando l’Eq. (1.130).

In alternativa alla base |q1 . . . qM〉 potremmo scegliere come base l’insieme dei kets |p〉 =|p1 . . . pM〉 ∈ H che sono autokets simultanei di tutti gli operatori pα con autovalore pα:

pα|p1 . . . pM〉 = pα|p1 . . . pM〉. (1.133)

Infatti anche gli operatori pα commutano tra loro e quindi sono simultaneamente diagonalizz-abili su una base ortonormale

〈p1 . . . pM |p′1 . . . p′M〉 = δ(p1 − p′1)δ(p2 − p′2) . . . δ(pM − p′M), (1.134)

da cui segue la risoluzione dell’identita nella base dell’impulso

1 =

∫dp1 . . . dpM |p1 . . . pM〉〈p1 . . . pM |. (1.135)

Piu in generale possiamo costruire una base a partire dagli autokets simultanei |O1 . . . OM〉 ∈ Hdi M osservabili Oα che commutano tutte tra loro. Ad esempio se abbiamo un sistema con tregradi di liberta le osservabili q1, p2, q3 commutano tutte tra loro e quindi una possibile base el’insieme dei kets |q1p2q3〉.

Il calcolo del prodotto scalare tra un ket |q1 . . . qM〉 (autoket degli operatori qα) e un ket|p1 . . . pM〉 (autoket degli operatori pα) si calcola in modo identico a quanto abbiamo fatto nelcaso di un singolo grado di liberta. Utilizzando le stesse manipolazioni abbiamo infatti

qαe−i

∑µaµpµ

~ |q1 . . . qM〉 =∏µ6=α

e−iaµpµ

~ qαe−iaαpα~ |q1 . . . qM〉 = (qα + aα)e−i

∑µaµpµ

~ |q1 . . . qM〉.

(1.136)Dato che questa relazione vale per ogni α ne concludiamo che

e−i∑µaµpµ

~ |q1 . . . qM〉 = |q1 + a1 . . . qM + aM〉. (1.137)

Prendendo il prodotto scalare con 〈p1 . . . pM | e valutando tutto in aµ = −qµei

∑µqµpµ

~ 〈p1 . . . pM |q1 . . . qM〉 = 〈p1 . . . pM |0 . . . 0〉. (1.138)

Utilizzando poi Eq. (1.134) insieme a Eq. (1.132)

δ(p1 − p′1) . . . δ(pM − p′M) =

∫dq1 . . . dqM〈p1 . . . pM |q1 . . . qM〉〈q1 . . . qM |p′1 . . . p′M〉

=

∫dq1 . . . dqMe

i∑µ

qµ(pµ−p′µ)

~ 〈p1 . . . pM |0 . . . 0〉〈0 . . . 0|p′1 . . . p′M〉

= (2π~)Mδ(p1 − p′1) . . . δ(pM − p′M)|〈p1 . . . pM |0 . . . 0〉|2. (1.139)

Ne concludiamo che 〈p1 . . . pM |0 . . . 0〉 = 1/√

(2π~)M e quindi

〈p1 . . . pM |q1 . . . qM〉 =1√

(2π~)Me−i

∑µqµpµ

~ . (1.140)

Per M = 1 questo risultato si riduce correttamente all’Eq. (1.128). Per una particella in tredimensioni di coordinate r = (x, y, z) abbiamo invece

〈p|r〉 = 〈pxpypz|xyz〉 =1√

(2π~)3e−ip·r~ . (1.141)



1.7 La generalizzazione del quinto postulato - equazione di Schrodinger- teorema di Ehrenfest

Il quinto postulato e stato enunciato nella Sezione 1.2 e in sostanza consiste nell’equazionedi Schrodinger. Tuttavia, quando e stato enunciato non avevamo ancora gli strumenti percostruire l’operatore energia nel caso di un generico sistema con M gradi di liberta. Ora inveceabbiamo tutti gli strumenti. Sia H(q, p, t) l’Hamiltoniana di un sistema con M gradi diliberta. Detto |Ψ0〉 ∈ H il ket che descrive il sistema al tempo zero l’evoluzione di questo ket egovernata dall’equazione di Schrodinger

i~d

dt|Ψ(t)〉 = H(q, p, t)|Ψ(t)〉 ≡ H(t)|Ψ(t)〉 (1.142)

con condizione iniziale |Ψ(0)〉 = |Ψ0〉. Si noti che H(t) ≡ H(q, p, t) e un operatore inquanto la funzione H e una funzione di operatori. Nel caso di forze conservative, come e laforza di Coulomb, H e proprio l’energia del sistema. Come vedremo l’Hamiltoniana sara sempreun operatore hermitiano.

Dall’equazione di Schrodinger segue un importante teorema sulla dipendenza temporale deivalori medi delle osservabili. Si consideri una generica osservabile O. Se il sistema e descrittodal ket |Ψ(t)〉 al tempo t il suo valor medio a questo tempo e dato da 〈Ψ(t)|O|Ψ(t)〉. Lavariazione temporale del valor medio e dunque

d

dt〈Ψ(t)|O|Ψ(t)〉 =

(d

dt〈Ψ(t)|

)O|Ψ(t)〉+ 〈Ψ(t)|O

(d

dt|Ψ(t)〉

)=

i

~〈Ψ(t)|

[H(t), O

]|Ψ(t)〉 (1.143)

ossia e pari a i/~ che moltiplica il valor medio del commutatore tra la Hamiltoniana e l’operatorestesso. Questo risultato e noto come teorema di Ehrenfest.

Discutiamo di seguito un caso che si incontra spesso, ossia quello di una Hamiltonianaindipendente dal tempo. Sia H(t) = H e indichiamo con |E, k〉 l’insieme dei suoi autokets conautovalore E:

H|E, k〉 = E|E, k〉. (1.144)

In generale possono esistere piu autokets con lo stesso autovalore, quindi possono esservi piuvalori per l’indice k. Infatti se il sistema ha M gradi di liberta possiamo trovare sempreM − 1 operatori O2, . . . , OM che commutano con H e commutanti tra loro. Allora indicandocon |EO2 . . . OM〉 il ket che descrive il sistema quando una misura simultanea delle osservabili

H, O2, . . . , OM fornisce i valori E,O2, . . . , OM e evidente che al variare di O2, . . . , OM il ket|EO2 . . . OM〉 resta autoket di H con autovalore E. In tal caso l’indice k e un indice multiplo:k = (O2, . . . , OM). Diremo che l’autovalore E e degenere e la degenerazione coincide conil numero di autokets indipendenti aventi quell’autovalore. Lo stato (o gli stati nel caso didegenerazione piu grande di uno) corrispondenti all’autovalore piu basso viene detto statofondamentale. Tutti gli altri stati vengono chiamati stati eccitati. L’insieme degli autovaloridi una osservabile viene anche chiamato spettro. Lo spettro di H puo essere discreto, continuooppure puo avere una parte discreta e una parte continua. Il tipo di spettro dipende dal sistema.Per semplicita nel seguito assumeremo che lo spettro di H sia discreto. Il caso continuo noncomporta alcuna difficolta aggiuntiva, l’unica differenza e che le somme diventano integrali e ledelta di Kronecker diventano delta di Dirac. Avremo modo di vederlo con calma.


26 1.7. La generalizzazione del quinto postulato - equazione di Schrodinger - teorema di Ehrenfest

Come l’insieme dei kets |q1 . . . qM〉 o |p1 . . . pM〉 formano una base ortonormale dello spazio diHilbert H anche l’insieme dei kets |E, k〉 formano, per il terzo postulato, una base ortonormaledello stesso spazio di Hilbert. Avremo

〈E, k|E ′, k′〉 = δE,E′δkk′ (1.145)

da cui ∑E,k

|E, k〉〈E, k| = 1. (1.146)

Espandiamo |Ψ(t)〉 sulla base degli autokets di H

|Ψ(t)〉 =∑E,k

cE,k(t)|E, k〉. (1.147)

Data l’ortonormalita della base, i coefficienti sono dati da cE,k(t) = 〈E, k|Ψ(t)〉 e dunque, peril quarto postulato, il loro modulo quadro corrisponde alla probabilita di misurare energia E altempo t. Ovviamente se per una certa energia l’indice k puo assumere piu valori, la probabilitadi misurare E sara la somma di queste probabilita: P (E) =

∑k |cE,k(t)|2. E immediato veri-

ficare che |Ψ(t)〉 soddisfa l’equazione di Schrodinger se i coefficienti dell’espansione dipendonodal tempo nel seguente modo

cE,k(t) = cE,k(0)e−iEt~ . (1.148)

Risulta infatti

i~d

dt|Ψ(t)〉 =

∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ E|E, k〉 (1.149)

eH|Ψ(t)〉 =

∑E,k

cE,k(t)H|E, k〉 =∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ E|E, k〉. (1.150)

Pertanto la probabilita di misurare una certa energia e indipendente dal tempo in quanto|cE,k(t)|2 = |cE,k(0)|2. Il caso dello ione H+

2 analizzato in Sezione 1.2 e un caso molto spe-ciale della teoria generale appena formulata. Utilizzando il dato sperimentale che vi era unaprobabilita non nulla solo di misurare le due energie piu basse di H possiamo mettere a zerotutti i coefficienti cE,k(t) eccetto quelli associati alle due energie piu basse. Ritroviamo cosıl’espansione in Eq. (1.21) e riconosciamo la soluzione in Eq. (1.25) come caso particolare diEq. (1.148).

Consideriamo ora una generica altra osservabile O con autovalori O e autokets |O, i〉 (questiautokets formano anch’essi una base ortonormale dello spazio di Hilbert H). La probabilita dimisurare O al tempo t e data da

P (O) =∑i

|〈O, i|Ψ(t)〉|2 =∑i

∣∣∣∣∣∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ 〈O, i|E, k〉∣∣∣∣∣2

(1.151)

e, in generale, dipende dal tempo. Tornando ancora una volta all’esempio sullo ione H+2 vediamo

che se |O, i〉 = |R1〉 e il (solo) ket che descrive l’elettrone in R1 e se gli unici coefficienti diversida zero sono ca(0) = cb(0) = 1/

√2 allora P (R1) coincide con Eq. (1.33).

La soluzione formale dell’equazione di Schrodinger per una Hamiltoniana indipendente daltempo puo anche scriversi come

|Ψ(t)〉 = e−i Ht~ |Ψ0〉, (1.152)



come si evince immediatamente derivando rispetto al tempo. Pertanto possiamo anche scrivereEq. (1.151) come

P (O) =∑i

|〈O, i|e−i Ht~ |Ψ0〉|2. (1.153)

E immediato verificare che questa espressione coincide con Eq. (1.151) andando ad espandere|Ψ0〉 come in Eq. (1.147). Due osservazioni:

1) Se O commuta con H allora possiamo scegliere i sui autokets essere anche autokets di H.

Indicando con Ei l’energia del ket |O, i〉 avremo 〈O, i|e−i Ht~ = 〈O, i|e−iEit

~ e dunque la probabilitaP (O) non dipende dal tempo.

2) Se lo stato |Ψ0〉 e un autostato di H con autovalore E allora e−i Ht~ |Ψ0〉 = e−iEt~ |Ψ0〉 e pertantonemmeno in questo caso la probabilita P (O) dipende dal tempo. Questa proprieta vale per

tutti gli autovalori dell’operatore O e dunque nemmeno il valor medio dell’operatore, definitoin Eq. (1.34), dipende dal tempo.

1.8 Principio di indeterminazione di Heisenberg

Nella Sezione 1.1 abbiamo visto che conoscere con certezza la posizione dell’elettrone nello ioneH+

2 implica una incertezza nel valore dell’energia (e quindi del momento) e che, similmente,conoscere con certezza l’energia implica un’incertezza nel valore della posizione. In questasezione intendiamo dimostrare che queste osservazioni empiriche hanno radici nel fatto chel’operatore posizione x e l’operatore momento p non commutano tra loro.

Iniziamo con il richiamare la disuguaglianza di Schwarz. Siano dati due kets |A〉 e |B〉appartenenti a un certo spazio di Hilbert H. Allora

〈A|A〉〈B|B〉 ≥ |〈A|B〉|2. (1.154)

La dimostrazione e immediata. Per la proprieta del prodotto scalare

(〈A|+ λ∗〈B|) (|A〉+ λ|B〉) ≥ 0, ∀λ. (1.155)

Posto λ = −〈B|A〉/〈B|B〉 la disuguaglianza di Schwarz segue.Supponiamo ora che il nostro sistema sia descritto da un ket |Ψ〉. Il valore medio di due

generiche osservabili O1 e O2 e dato da, vedi Eq. (1.34), 〈Oξ〉 = 〈Ψ|Oξ|Ψ〉, ξ = 1, 2. Costruiamodue nuove osservabili

σOξ ≡ Oξ − 〈Oξ〉, ξ = 1, 2. (1.156)

Il valor medio del loro quadrato e dato da

〈σ2Oξ〉 = 〈O2

ξ − 2Oξ〈Oξ〉+ 〈Oξ〉2〉 = 〈O2ξ〉 − 〈Oξ〉2 (1.157)

e coincide proprio con il quadrato della varianza definita in Eq. (1.35). La varianza ci daun’indicazione su quanto sia incerto il valore misurato. Supponiamo che lo stato del sistema siadescritto dal ket |Ψ〉 = |O1〉, ossia da un autoket dell’operatore O1 con autovalore O1. Allorala probabilita di misurare O1 e pari ad uno e quella di misurare un qualsiasi altro valore O′1 enulla. In altre parole non vi e incertezza sul risultato di una misura. Ora e immediato realizzareche se |Ψ〉 = |O1〉 allora la varianza 〈σ2

O1〉 e nulla. Quindi piu e certo il valore di una misura e

piu la varianza e piccola; viceversa piu il valore e incerto e piu la varianza e grande.


28 1.8. Principio di indeterminazione di Heisenberg

Definiamo i kets|A〉 = σO1|Ψ〉, |B〉 = σO2|Ψ〉. (1.158)

Dalla disuguaglianza di Schwarz troviamo

〈σ2O1〉〈σ2

O2〉 ≥ |〈σO1σO2〉|2 . (1.159)

Scriviamo il prodotto di operatori σO1σO2 come la somma di un operatore hermitiano e di unoantihermitiano

σO1σO2 =1

2[σO1 , σO2 ] +

1

2σO1 , σO2. (1.160)

Il primo termine e un commutatore e quindi antihermitiano

[σO1 , σO2 ]† = (σO1σO2 − σO2σO1)† = −[σO1 , σO2 ]. (1.161)

Il secondo termine e un anticommutatore e quindi hermitiano

σO1 , σO2† = (σO1σO2 + σO2σO1)† = σO1 , σO2. (1.162)

Utilizzando il fatto che il valor medio di un operatore hermitiano e reale mentre il valor mediodi un operatore antihermitiano e puramente immaginario possiamo riscrivere l’Eq. (1.159) come

〈σ2O1〉〈σ2

O2〉 ≥ 1

4|〈[σO1 , σO2 ]〉|2 +

1

4|〈σO1 , σO2〉|2

≥ 1

4|〈[σO1 , σO2 ]〉|2 . (1.163)

Tenendo infine conto del fatto che [σO1 , σO2 ] = [O1, O2] troviamo il principio di indetermi-nazione di Heisenberg

〈σ2O1〉〈σ2

O2〉 ≥ 1

4

∣∣∣〈[O1, O2]〉∣∣∣2 . (1.164)

Il principio di Heisenberg traduce in linguaggio matematico il fatto che se due osservabilinon commutano allora il prodotto delle loro varianze non puo essere piccolo a piacere o, equiv-alentemente, che non e possibile ridurre arbitrariamente l’incertezza sulla misura di entrambe.Consideriamo il caso degli operatori O1 = x e O2 = p. In tal caso il commutatore [x, p] = i~ equindi il principio di Heisenberg stabilisce che

〈σ2x〉〈σ2

p〉 ≥~2

4. (1.165)

Quindi se siamo certi sulla posizione, e dunque 〈σ2x〉 = 0 l’incertezza sul momento e massima,

〈σ2p〉 → ∞. Viceversa se siamo certi sul momento, e dunque 〈σ2

p〉 = 0 l’incertezza sulla posizione

e massima, 〈σ2x〉 → ∞. Nel limite ~→ 0 ritroviamo il risultato classico secondo cui e possibile

conoscere con certezza entrambi.Alla luce del principio di Heisenberg possiamo anche comprendere come mai il piu basso val-

ore misurabile dell’energia per l’elettrone nello ione H+2 e maggiore del valore minimo classico,

vedi Sezione 1.1. Il valore minimo classico si ottiene mettendo l’elettrone esattamente nel min-imo di una delle due buche con momento nullo. Quantisticamente tale situazione e impossibilein quanto equivarrebbe ad avere certezza assoluta sia sulla posizione che sul momento. Per untale stato le varianze di x e p sarebbero nulle, in contraddizione con il principio di Heisenberg.



1.9 Schema riassuntivo di quanto sinora imparato

Con la sezione precedente si chiude la prima parte del corso. Riassumiamo brevemente i prin-cipali concetti sinora imparati1) Un sistema con M gradi di liberta e descritto dal ket |q1 . . . qM〉 se una misura simultaneadi questi gradi di liberta fornisce i valori q1 . . . qM (postulato del collasso).2) L’insieme dei ket |q1 . . . qM〉 forma la base ortonormale di uno spazio di Hilbert H.3) Il piu generico stato |Ψ〉 in cui il sistema puo trovarsi e descritto da un ket che appartiene aH.4) Ad ogni osservabile e associato un’operatore hermitiano e i possibili risultati di una misurasono gli autovalori di tale operatore.5) Gli operatori qα associati ai gradi di liberta e gli operatori pα associati ai loro momenti coni-ugati soddisfano le regole di commutazione [qα, pβ] = i~δαβ e [qα, qβ] = [pα, pβ] = 0 (postulatodi Dirac) da cui e possibile calcolare i prodotti scalari 〈p1 . . . pM |q1 . . . qM〉.6) Date M osservabili Oi = Oi(q, p) mutualmente commutanti ciascuna con autovalori Oi ilket |O1 . . . OM〉 descrive lo stato del sistema quando una misura simultanea di queste osservabilifornisce i valori O1, . . . OM . Inoltre l’insieme dei kets |O1 . . . OM〉 forma una base ortonormaledi H.7) Se il sistema e descritto dal ket |Ψ〉 allora la probabilita di misurare O1, . . . , OM per le os-

servabili Oi e data da P (O1, . . . , OM) = |〈O1 . . . OM |Ψ〉|2, vedi Eq. (1.131).8) L’evoluzione temporale del ket che descrive il sistema e governata dall’equazione di Schrodinger

i~ ddt|Ψ(t)〉 = H(t)|Ψ(t)〉 dove H(t) = H(q, p, t) e H e l’Hamiltoniana.

Nella rimanente parte del corso applicheremo questi principi a semplici sistemi e metteremoin risalto le differenze della descrizione quantistica rispetto a quella classica


30 1.9. Schema riassuntivo di quanto sinora imparato


Chapter 2

Sistemi quantistici in spazi di Hilbertdi dimensione finita

E molto piu frequente di quanto si possa immaginare che per un dato problema riguardante unsistema con M gradi di liberta il numero di stati quantici da considerare non sia tutto l’insieme|q1 . . . qM〉 ma solo un numero finito di stati |ϕk〉 (ciascuno dei quali puo ovviamente scriversicome combinazione lineare dei kets |q1 . . . qM〉). Ad esempio, nel caso dell’elettrone nello ione H+

2

lo spazio di Hilbert dell’elettrone e dato dall’insieme degli autokets |x〉 dell’operatore posizionema, a temperatura zero, una buona descrizione e ottenibile considerando solo i kets |R1〉 e |R2〉.La scelta dell’insieme dei kets |ϕk〉 e in generale dettata dal sistema, dal problema e soprattuttodalla nostra intuizione fisica. In questo capitolo non discuteremo su come scegliere i kets |ϕk〉.Assumeremo invece che qualcun’altro lo abbia fatto per noi e semplificheremo le equazioni delcapitolo precedente.

2.1 Dagli operatori alle matrici, dai kets ai vettori colonna, dai brasai vettori riga

Assumiamo dunque che il sistema possa trovarsi solo in numero finito di stati quantici |ϕk〉,k = 1, . . . , N . Senza perdita di generalita possiamo assumere questi stati tra loro ortonormali

〈ϕk|ϕk′〉 = δkk′ . (2.1)

Qualora non lo fossero possiamo infatti ortonormalizzarli utilizzando ad esempio la proceduradi Gram–Schmidt. L’insieme di questi kets forma una base ortonormale di uno spazio di HilbertH′. L’originale spazio di Hilbert H, molto piu grande, e quindi troncato in uno spazio di Hilbertpiu piccolo H′ ⊂ H. Il ket piu generale di H′ puo scriversi come

|Ψ〉 =N∑k=1

Ψk|ϕk〉, Ψk = 〈ϕk|Ψ〉. (2.2)

Da ora in poi, a meno che non specificato, le somme saranno sempre da intendersi da 1 a N .Un generico operatore O, definito in H, quando agisce su |Ψ〉 ∈ H′ ⊂ H non e detto che generiun ket di H′. Tuttavia non siamo interessati a un generico operatore. Le nostre assunzionihanno senso solo per un dato problema e dunque solo per alcuni operatori. Esisteranno quindi

31

32 2.1. Dagli operatori alle matrici, dai kets ai vettori colonna, dai bras ai vettori riga

degli operatori per cui le componenti di O|Ψ〉 che vivono fuori da H′ sono piccole. In tal caso

O|Ψ〉 =∑k

ΨkO|ϕk〉 ∈ H′ (2.3)

Ovviamente affinche questo accada indipendentemente dai coefficienti Ψk e necessario cheO|ϕk〉 ∈ H′ per tutti i k. La conoscenza dell’azione di O su tutti i ket della base ci consente

quindi di calcolare l’azione di O su un generico ket. Di quali informazioni abbiamo bisognoper determinare l’azione di O sui vari |ϕk〉? Osservando che in H′ la risoluzione dell’identita siscrive come ∑

k

|ϕk〉〈ϕk| = 1, (2.4)

avremoO|ϕk〉 =

∑k′

|ϕk′〉〈ϕk′ |O|ϕk〉 =∑k′

Ok′k|ϕk′〉. (2.5)

Pertanto la conoscenza della matrice O di elementi Ok′k ≡ 〈ϕk′|O|ϕk〉 e tutto cio’ che serve. La

matrice O viene detta la rappresentazione dell’operatore O nella base dei |ϕk〉. Chiaramente

la matrice cambia se cambiamo base. Tuttavia, essendo O un operatore hermitiano, ossiaO† = O, la matrice O sara hermitiana indipendentemente dalla base. Infatti

O∗kk′ = 〈ϕk|O|ϕk′〉∗ = 〈ϕk′ |O†|ϕk〉∗ = 〈ϕk′|O|ϕk〉∗ = Ok′k. (2.6)

Inserendo ora Eq. (2.5) in Eq. (2.3) troviamo

O|Ψ〉 =∑kk′

Ok′kΨk|ϕk′〉. (2.7)

Quindi il ket |Φ〉 ≡ O|Ψ〉 e anch’esso una combinazione lineare dei |ϕk〉, come doveva essere.Definiamo il vettore Ψ di componenti Ψk e il vettore Φ di compenenti Φk = 〈ϕk|Φ〉. Questivettori sono la rappresentazione dei kets |Ψ〉 e |Φ〉 nella base dei |ϕk〉. Chiaramente i vettoricambiano se cambiamo base. Notiamo che per un sistema quantistico che descrive una particellain una dimensione, come quello discusso in Sezione 1.4, gli autoket |x〉 dell’operatore posizioneformano una base dello spazio di Hilbert. Se non facciamo alcun troncamento dello spazio diHilbert, e quindi se prendiamo tutti gli |x〉, allora la rappresentazione del ket |Ψ〉 nella basedelle |x〉 e un vettore infinito-dimensionale di componenti Ψ(x) = 〈x|Ψ〉. In altre parole, lafunzione d’onda altro non e che la rappresentazione di un ket su una certa base. Torniamo anoi. Avremo

|Φ〉 =∑k′

|ϕk′〉〈ϕk′|Φ〉 =∑k′

Φk′ |ϕk′〉 =∑kk′

Ok′kΨk|ϕk′〉 (2.8)

da cui segue che, per l’indipendenza lineare dei kets |ϕk〉, Φk′ =∑

k Ok′kΨk. Quindi la compo-nente k′ del vettore Φ si ottiene facendo il prodotto scalare tra la riga k′ della matrice O e ilvettore Ψ. Ma questo significa che

Φ = OΨ. (2.9)

In altre parole il vettore Φ che rappresenta |Φ〉 = O|Ψ〉 nella base |ϕk〉 e il prodotto tra la

matrice che rappresenta O e il vettore che rappresenta |Ψ〉 nella stessa base.Con queste premesse possiamo facilmente calcolare gli autokets e gli autovalori dell’Hamilto-

niana nello spazio H′. Supponiamo di dover risolvere il problema H|E〉 = E|E〉. In base a


Chapter 2. Sistemi quantistici in spazi di Hilbert di dimensione finita 33

quello che abbiamo appena imparato il vettore che rappresenta H|E〉 puo scriversi come HE

dove H e la matrice che rappresenta H e E e il vettore che rappresenta |E〉. Quindi

H|E〉 = E|E〉 ⇒ HE = EE (2.10)

Indichiamo con E(n) gli autovalori di H e con E(n) i suoi autovettori. Poiche H e una matriceN ×N avremo N autovalori (non necessariamente tutti diversi tra loro) e N autovettori:

HE(n) = E(n)E(n), n = 1, . . . , N (2.11)

Gli autoket |E(n)〉 saranno semplicemente dati da

|E(n)〉 =∑k

E(n)k |ϕk〉 (2.12)

dove E(n)k e la componente k del vettore E(n).

Rappresentare operatori e kets su una certa base puo essere molto comodo per portareavanti i conti. Molto spesso nei problemi di meccanica quantistica si omette di specificare ilsignificato fisico della base |ϕk〉 e si scrivono direttamente le rappresentazioni degli operatori odei kets su una certa base. Come abbiamo visto, fissata la base, possiamo facilmente convertirele equazioni scritte in termini di matrici e vettori in equazioni scritte in termini di operatorie kets. E viceversa, un’equazione scritta in termini di operatori e kets puo essere facilmenteconvertita in un’equazione per matrici e vettori. Ma cosa fare nel caso in cui abbiamo unequazione che contiene il prodotto di piu operatori? O nel caso in cui l’equazione contenga deibra?

Si consideri l’operatore prodotto C = AB. La rappresentazione C ha elementi di matrice

Ckk′ = 〈ϕk|C|ϕk′〉 = 〈ϕk|AB|ϕk′〉 =∑p

〈ϕk|A|ϕp〉〈ϕp|B|ϕk′〉 =∑p

AkpBpk. (2.13)

Quindi la matrice C e semplicemente il prodotto della matrice A per la matrice B

C = AB. (2.14)

Piu in generale, se abbiamo una funzione di operatori F (A, B, C, . . .) = F la sua rappresen-tazione e semplicemente data dalla funzione si matrici

F = F (A,B,C, . . .). (2.15)

Supponiamo invece di dover calcolare l’azione di un operatore su un bra 〈Ψ|O = 〈Φ|. Moltipli-cando l’equazione per il ket |ϕk〉 avremo

〈Ψ|O|ϕk〉 =∑k′

〈Ψ|ϕk′〉〈ϕk′|O|ϕk〉 = 〈Φ|ϕk′〉. (2.16)

Ora 〈Ψ|ϕk′〉 = 〈ϕk′ |Ψ〉∗ = Ψ∗k′ e 〈Φ|ϕk′〉 = 〈ϕk′ |Φ〉∗ = Φ∗k. Quindi l’equazione sopra puo anchescriversi come

∑k′ Ψ

∗k′Ok′k = Φ∗k. A sinistra dell’uguale riconosciamo il prodotto scalare tra

un vettore riga di componenti Ψ∗k′ e il vettore colonna dato dalla colonna k della matrice O.Dovendo questa relazione essere vera per ogni k ne segue che

〈Ψ|O = 〈Φ| ⇒ Ψ†O = Φ† (2.17)


34 2.2. Sistemi quantistici a due stati - matrici di Pauli

Quindi la rappresentazione del bra 〈Ψ| e il dagger del vettore che rappresenta il ket |Ψ〉.In conclusione, la rappresentazione di un equazione scritta in termini di bras, operatori e

kets e ottenibile rimpiazzando i bras con la loro rappresentazione in termini di vettori riga, glioperatori con la loro rappresentazione in termini di matrici e i kets con la loro rappresentazionein termini di vettori colonna.

2.2 Sistemi quantistici a due stati - matrici di Pauli

Il sistema quantistico piu semplice e quello per cui e possibile risolvere un determinato prob-lema utilizzando solamente due kets, come nell’esempio dell’elettrone nello ione H+

2 . In questocaso tutte le osservabili saranno rappresentate da matrici 2 × 2 hermitiane. La matrice 2 × 2hermitiana piu generale puo scriversi come

O =

(a0 + a3 a1 − ia2

a1 + ia2 a0 − a3

)(2.18)

dove le costanti a0, a1, a2, a3 sono tutte reali. E infatti facile verificare che indipendentementedal valore di queste costanti O = O†. Definendo le matrici di Pauli

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

), (2.19)

vediamo che possiamo riscrivere O come

O = a0 + a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 = a01 + a · σ (2.20)

dove 1 e la matrice identita 2×2 mentre a e il vettore di componenti (a1, a2, a3) e σ e il vettoredi matrici, tutte hermitiane, (σ1, σ2, σ3). Manipoliamo ulteriormente l’Eq. (2.20). Sia

a =√a2

1 + a22 + a2

3 (2.21)

il modulo del vettore a. Il vettore n = a/a e allora un versore di modulo unitario e come talepuo sempre scriversi come

n =

a1/aa2/aa3/a

=

sin θ cosϕsin θ sinϕ

cos θ

(2.22)

Gli angoli θ e ϕ possono essere espressi in termini di a1, a2, a3 andando a uguagliare le compo-nenti. Ad esempio dall’ultima componente si ricava che θ = arccos(a3/a) mentre dal rapportotra la seconda e la terza componente si ricava che ϕ = arctan(a2/a1). Utilizzando l’espressionedi n in termini degli angoli la matrice O puo riscriversi come

O = a01 + an · σ, (2.23)

dove

n · σ =

(cos θ sin θe−iϕ

sin θeiϕ − cos θ

). (2.24)


Chapter 2. Sistemi quantistici in spazi di Hilbert di dimensione finita 35

Studiamo ora in dettaglio la matrice n ·σ. Gli autovalori di n ·σ sono λ+ = 1 e λ− = −1 eutilizzando le formule trigonometriche

cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

sin(α− β) = sinα cos β − cosα sin β (2.25)

e immediato verificare che gli autovettori ad essi associati sono

ψ+ =

(e−iϕ/2 cos(θ/2)eiϕ/2 sin(θ/2)

), ψ− =

(−e−iϕ/2 sin(θ/2)eiϕ/2 cos(θ/2)

). (2.26)

I vettori ψ+ e ψ− sono correttamente ortogonali in quanto associati ad autovalori distinti dellostesso operatore hermitiano n ·σ. In particolare sia ψ+ che ψ− sono normalizzati ad 1 e quindiformano una base ortonormale. Dunque i kets ad essi associati |ψ±〉 possono essere utilizzatiper scrivere la risoluzione dell’identita come

1 = |ψ+〉〈ψ+|+ |ψ−〉〈ψ−| (2.27)

e in base a quanto appreso nella Sezione precedente la rappresentazione di questa equazione e

1 = ψ+ψ†+ +ψ−ψ

†− (2.28)

in quanto la rappresentazione di 1 e proprio la matrice identita 1. Enfatizziamo che i vettoriψ+ e ψ− sono vettori a due componenti in quanto autovettori di matrici 2×2; essi vanno quinditenuti ben distinti dai vettori a o n che hanno tre componenti e servono per rappresentare lamatrice O.

L’equazione agli autovalori (n · σ)ψ± = ±ψ± implica che a(n · σ)ψ± = ±aψ±. Quindi

Oψ± = a01ψ± + a(n · σ)ψ± = (a0 ± a)ψ±. (2.29)

Pertanto i vettori ψ+ e ψ− sono anche autovettori dell’operatore O con autovalori (a0 + a) e(a0 − a). Inoltre, data una generica funzione di matrice F (O) avremo altresı

F (O)ψ± = F (a0 ± a)ψ± . (2.30)

Particolarmente interessante e valutare la matrice unitaria eiO. Infatti, nel caso in cui O =−Ht/~, con H la Hamiltoniana, la matrice in questione diventa e−iHt/~ e, come sappiamo,questa matrice ci consente di determinare l’evoluzione temporale. Utilizzando l’Eq. (2.28) el’Eq. (2.30) avremo

eiO = eiO1 = eiO

(ψ+ψ

†+ +ψ−ψ

†−

)= ei(a0+a)ψ+ψ

†+ + ei(a0−a)ψ−ψ

†− . (2.31)

Eseguiamo questo calcolo. Risulta

ψ+ψ†+ =

(e−iϕ/2 cos(θ/2)eiϕ/2 sin(θ/2)

)(eiϕ/2 cos(θ/2), e−iϕ/2 sin(θ/2)

)=

(cos2(θ/2) e−iϕ sin θ

2

eiϕ sin θ2

sin2(θ/2)

), (2.32)

ψ−ψ†− =

(−e−iϕ/2 sin(θ/2)eiϕ/2 cos(θ/2)

)(−eiϕ/2 sin(θ/2), e−iϕ/2 cos(θ/2)

)=

(sin2(θ/2) −e−iϕ sin θ

2

−eiϕ sin θ2

cos2(θ/2)

). (2.33)


36 2.2. Sistemi quantistici a due stati - matrici di Pauli

Quindi

eiO = eia0

(eia cos2(θ/2) + e−ia sin2(θ/2) (eia − e−ia)e−iϕ sin θ

2

(eia − e−ia)eiϕ sin θ2

eia sin2(θ/2) + e−ia cos2(θ/2)

). (2.34)

Osserviamo ora che per l’elemento (1,1) vale

eia cos2(θ/2) + e−ia sin2(θ/2) = cos a+ i sin a cos θ = cos a+ isin a

aa3, (2.35)

mentre l’elemento (2,2) e il complesso coniugato dell’elemento (1,1). Per quanto riguardal’elemento (2,1) avremo

(eia − e−ia)eiϕ sin θ

2= i sin a (cosϕ sin θ + i sinϕ sin θ) = i

sin a

a(a1 + ia2), (2.36)

e similmente per l’elemento (1,2) troviamo

(eia − e−ia)e−iϕ sin θ

2= i

sin a

a(a1 − ia2). (2.37)

Sostituendo questi risultati in Eq. (2.34) arriviamo al seguente importante risultato

eiO = eia0

(cos a+ i sin a

aa3 i sin a

a(a1 − ia2)

i sin aa

(a1 + ia2) cos a− i sin aaa3

)= eia0

(cos a1 + i

sin a

aa · σ

). (2.38)

Avremmo potuto ottenere il medesimo risultato utilizzando l’espansione in serie di Taylor dieiO. Abbiamo

eiO = ei(a01+an·σ) = eia0eian·σ = eia0

∞∑n=0

(ia)n

n!(n · σ)n (2.39)

Il prodotto tra due matrici di Pauli e pari a

σiσj = δij1 + i∑k

εijkσk (2.40)

e pertanto

(n · σ)2 =3∑

ij=1

aiaja2

σiσj = 1, (2.41)

dove si e tenuto conto che il prodotto aiaj e simmetrico sotto lo scambio i↔ j mentre il tensoredi Levi-Civita e antisimmetrico, vedi Appendice B. Dividiamo allora l’espansione di Taylor inuna somma su n pari e una su n dispari

∞∑n=0

(ia)n

n!(n · σ)n =

∞∑p=0

(ia)2n

2n!1 +

∞∑p=0

(ia)2n+1

(2n+ 1)!(n · σ). (2.42)

Poiche (ia)2n = i2na2n = (−1)na2n e (ia)2n+1 = i2n+1a2n+1 = ii2na2n+1 = i(−1)na2n+1 riconosci-amo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione coseno e seno. Tenendo presente che n = a/atroviamo

∞∑n=0

(ia)n

n!(n · σ)n = cos a1 + i

sin a

aa · σ (2.43)

Sostituendo questo risultato in Eq. (2.39) otteniamo esattamente l’Eq. (2.38).


Chapter 3

Una particella in una dimensione

In questo capitolo studieremo problemi di meccanica quantistica per una singola particella inuna dimensione.

3.1 Operatore momento e Hamiltoniana

Nella Sezione 1.6 abbiamo visto che il prodotto scalare tra un autoket |x〉 della posizione e unautoket |p〉 del momento e dato da Eq. (1.128):

〈x|p〉 =1√2π~

eipx~ . (3.1)

La funzione a destra dell’uguale viene anche chiamata onda piana. E immediato verificareche per un’onda piana

−i~∂

∂x〈x|p〉 = p〈x|p〉. (3.2)

Consideriamo ora un generico ket |Ψ〉 che descrive la nostra particella in una dimensione eimpariamo a calcolare 〈x|p|Ψ〉 dove p e l’operatore impulso con autokets |p〉 di autovalore p.Inserendo la risoluzione dell’identita

〈x|p|Ψ〉 =

∫dp〈x|p|p〉〈p|Ψ〉 =

∫dp p〈x|p〉〈p|Ψ〉 = −i~

∂

∂x

∫dp〈x|p〉〈p|Ψ〉

= −i~∂

∂x〈x|Ψ〉. (3.3)

Il prodotto scalare Ψ(x) = 〈x|Ψ〉 e la funzione d’onda gia incontrata in Sezione 1.4, il cuimodulo quadro fornisce la densita di probabilita di trovare l’elettrone in x.

I passaggi appena fatti possono facilmente ripetersi per una arbitraria potenza di p. Infatti,e immediato verificare che (−i~)n ∂n

∂xn〈x|p〉 = pn〈x|p〉 e quindi

〈x|pn|Ψ〉 = (−i~)n∂n

∂xnΨ(x). (3.4)

Questo significa che se abbiamo una funzione f(p) espandibile in serie di potenze come f(p) =∑∞n=0

f (n)(0)n!

pn allora

〈x|f(p)|Ψ〉 = f(−i~∂

∂x)Ψ(x). (3.5)

37

38 3.1. Operatore momento e Hamiltoniana

Con queste premesse possiamo affrontare molti problemi in una dimensione. Se la particellae soggetta ad un potenziale V (x) che dipende solo dalla posizione allora la sua Lagrangiana e

L =1

2mx2 − V (x). (3.6)

Il momento coniugato e allora

p =∂L∂x

= mx (3.7)

da cui si ricava x = p/m. Questo ci consente di ottenere la Hamiltoniana a partire dallatrasformata di Legendre

H = px− L =p2

2m+ V (x). (3.8)

Pertanto, l’equazione di Schrodinger per una particella in una dimensione soggetta al potenzialeV (x) si scrive nel seguente modo

i~∂

∂t|Ψ(t)〉 = H|Ψ(t)〉 =

(p2

2m+ V (x)

)|Ψ(t)〉. (3.9)

Nell’Eq. (3.9) l’oggetto incognito da determinare e il ket |Ψ(t)〉. Per trovarlo si usa spessotrasformare l’equazione in una equazione per la funzione d’onda Ψ(x, t) = 〈x|Ψ(t)〉. Chiara-mente conoscere la funzione d’onda e la stessa cosa di conoscere il ket in quanto |Ψ(t)〉 =∫dx Ψ(x, t)|x〉. Moltiplicando l’Eq. (3.9) per il bra 〈x| otteniamo

i~∂

∂tΨ(x, t) =

(− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

)Ψ(x, t) (3.10)

dove si e utilizzata l’Eq. (3.4) e il fatto che 〈x|V (x) = 〈x|V (x).Un modo molto comune di procedere a questo punto e quello di trovare le autofunzioni

ϕE,k(x) = 〈x|E, k〉 dell’Hamiltoniana:(p2

2m+ V (x)

)|E, k〉 = E|E, k〉 ⇒

(− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

)ϕE,k(x) = EϕE,k(x). (3.11)

Infatti l’insieme dei kets |E, k〉 formano una base e quindi possiamo sempre espandere |Ψ(t)〉su questa base. Come visto nella Sezione 1.7 la soluzione e data da

|Ψ(t)〉 =∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ |E, k〉 ⇒ Ψ(x, t) =∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ ϕE,k(x) (3.12)

dove cE,k(0) = 〈E, k|Ψ(0)〉.I possibili autovalori E della Hamiltoniana H = p2

2m+ V (x) soddisfano una importante

disuguaglianza. Indichiamo con Vmin = minxV (x) il valore minimo della funzione V (x). Allora

E ≥ Vmin. (3.13)

La dimostrazione di questa disuguaglianza e presto fatta. Supponiamo per assurdo che esistaun autoket |E0〉 di energia E0 < Vmin. Allora avremmo

E0 = 〈E0|H|E0〉 = 〈E0|p2

2m|E0〉+ 〈E0|V (x)|E0〉

=

∫dp

p2

2m|〈E0|p〉|2 +

∫dx V (x)|〈E0|x〉|2

≥∫dx V (x)|〈E0|x〉|2 ≥ Vmin (3.14)


Chapter 3. Una particella in una dimensione 39

in contraddizione con l’ipotesi originaria.Un’ultima importante osservazione. Non tutte le funzioni che soddisfano Eq. (3.11) ap-

partengono allo spazio di Hilbert generato dai kets fisici. Lo spazio di Hilbert per le autofunzionidell’operatore Hamiltoniana e lo spazio delle funzioni continue tali per cui

limL→∞

1

L

∫ L

−Ldx |ϕ(x)|2 <∞. (3.15)

Quindi se per una certa energia E troviamo una funzione ϕ(x) che soddisfa Eq. (3.11) ma ϕ(x)non e continua o non soddisfa la condizione in Eq. (3.15) allora questa funzione non appartieneallo spazio di Hilbert e non puo considerarsi dunque un’autofunzione.

3.1.1 Equazione di continuita

Una interessante consequenza dell’equazione di Schrodinger e l’equazione di continuita. Ve-diamo come ricavarla e poi commentiamone il significato fisico. Moltiplichiamo l’Eq. (3.10) asinistra per Ψ∗(x, t)

i~Ψ∗(x, t)∂Ψ(x, t)

∂t= − ~2

2mΨ∗(x, t)

∂2Ψ(x, t)

∂x2+ V (x)|Ψ(x, t)|2. (3.16)

Facciamo ora il complesso coniugato di questa equazione

−i~Ψ(x, t)∂Ψ∗(x, t)

∂t= − ~2

2mΨ(x, t)

∂2Ψ∗(x, t)

∂x2+ V (x)|Ψ(x, t)|2. (3.17)

Sottraendo Eq. (3.17) a Eq. (3.16) e omettendo per brevita di scrivere la dipendenza da x e ttroviamo

i~[Ψ∗∂Ψ

∂t+ Ψ

∂

∂tΨ∗]

= − ~2

2m

[Ψ∗

∂2

∂x2Ψ−Ψ

∂2

∂x2Ψ∗]

(3.18)

Il termine a sinistra puo riscriversi come i~∂|Ψ|2

∂tmentre quello a destra puo riscriversi come

− ~2

2m∂∂x

[Ψ∗ ∂Ψ

∂x−Ψ∂Ψ∗

∂x

]. Dividendo tutto per i~ otteniamo allora

∂|Ψ|2∂t

+~

2mi

∂

∂x

[Ψ∗∂Ψ

∂x−Ψ

∂Ψ∗

∂x

]= 0. (3.19)

Ricordiamo che |Ψ(x, t)|2 = P (x, t) e la densita di probabilita di trovare la particella in x, vediSezione 1.4. Se definiamo la corrente di probabilita come

J(x, t) =~

2mi

[Ψ∗(x, t)

∂Ψ(x, t)

∂x−Ψ(x, t)

∂Ψ∗(x, t)

∂x

]=

~m

Im

[Ψ∗(x, t)

∂Ψ(x, t)

∂x

](3.20)

vediamo che l’Eq. (3.19) ha esattamente la forma di un’equazione di continuita

∂P (x, t)

∂t+∂J(x, t)

∂x= 0. (3.21)

Il significato fisico di questa equazione e presto svelato. La probabilita di trovare la particellatra due punti xa e xb si ottiene integrando P (x, t) tra xa e xb. Se lo facciamo l’equazione dicontinuita ci dice che questa probabilita varia nel tempo nel seguente modo

∂

∂t

∫ xb

xa

dx P (x, t) = J(xa, t)− J(xb, t), (3.22)


40 3.2. Potenziale costante a tratti

V (x)

xx1 x2

V0

V1

V2

Figure 3.1:

quindi se la corrente che entra in xa non e compensata dalla corrente che esce in xb la probabilitacambia nel tempo. Si osservi che se la funzione d’onda e puramente reale la densita di correntee nulla.

3.2 Potenziale costante a tratti

Una importante classe di potenziali per cui e possibile trovare analiticamente tutte le autofun-zioni sono i cosiddetti potenziali costanti a tratti. Essi sono caratterizzati da un certo numerodi punti x1 < x2 < . . . < xN in cui sono discontinui e altrimenti sono costanti tra due punticonsecutivi di discontinuita. Quindi

V (x) =

V0 x < x1

Vj xj < x < xj+1, j = 1, . . . , N − 1VN x > xN

(3.23)

Un esempio di potenziale costante a tratti e illustrato in Figura. 3.1 dove i punti di discontinuitasono solamente due. Indichiamo con Rj, j = 0, . . . , N la regione dell’asse reale dove V (x) = Vj.Quindi R0 = (−∞, x1), Rj = (xj, xj+1) se j = 1, . . . , N −1 e RN = (xN ,∞). L’insieme di tuttele regioni Rj e ovviamente l’asse reale stesso.

Nel caso di un potenziale costante a tratti l’equazione di Schrodinger agli autovalori, vediEq. (3.11), puo essere decomposta in N + 1 equazioni, una per ciascuna regione(

− ~2

2m

∂2

∂x2+ Vj

)ϕE(x) = EϕE(x), x ∈ Rj. (3.24)

Notiamo che l’autovalore E e lo stesso in tutte le regioni. Al momento omettiamo di ri-portare l’indice k nell’autofunzione dato che non sappiamo ancora quale sia la degenerazionedell’autovalore E. Lo reinseriremo dopo se la degenerazione dovesse essere maggiore di uno.



Essendo Vj costante, ossia indipendente da x, la soluzione piu generale di Eq. (3.24) e

ϕE(x) =

Aje

iqjx +Bje−iqjx E 6= Vj

Aj +Bjx E = Vj, x ∈ Rj (3.25)

dove

qj =

√2m

~2(E − Vj). (3.26)

Osserviamo che se E > Vj allora qj e reale e quindi nella regione Rj la funzione ϕE(x) e unacombinazione lineare di due esponenziali puramente immaginari. Viceversa se E ≤ Vj allora

qj = i√

2m~2 (Vj − E) ≡ ikj e immaginario e quindi nella regione Rj la funzione ϕE(x) e una

combinazione lineare di due esponenziali puramente reali se kj > 0 mentre e una funzionelineare di x se kj = 0. In questo caso occorre fare una distinzione. Infatti se la regione inquestione e la regione R0 allora per x ∈ R0 l’Eq. (3.25) implica

ϕE(x) =

A0e

−k0x +B0ek0x E < V0

A0 +B0x E = V0, x ∈ R0 (3.27)

e nel caso in cui la costante A0 (per E < V0) o la costante B0 (per E = V0) fosse diversa da zerol’autofunzione non potrebbe verificare la proprieta in Eq. (3.15). Quindi, affinche la soluzioneappartenga allo spazio di Hilbert e necessario porre A0 = 0 se E < V0 oppure B0 = 0 se E = V0.Similmente se la regione in questione e la regione RN allora per x ∈ RN l’Eq. (3.25) implica

ϕE(x) =

ANe

−kNx +BNekNx E < VN

AN +BNx E = VN, x ∈ RN (3.28)

e nel caso in cui la costante BN fosse diversa da zero l’autofunzione non potrebbe verificarela proprieta in Eq. (3.15). Quindi, affinche la soluzione appartenga allo spazio di Hilbert enecessario porre BN = 0.

Le regioni Rj in cui l’energia e minore del potenziale vengono dette regioni classicamenteproibite in quanto classicamente la particella non puo trovarsi in queste regioni. In mecanicaquantistica vi e invece una probabilita non nulla, proporzionale a |ϕE(x)|2, di trovarvi la parti-cella. Notiamo che ancora una volta il limite classico e recuperabile quando ~→ 0. In tal casoinfatti kj → ∞ e pertanto la condizione in Eq. (3.15) ci impone Aj = 0 se x < 0 e Bj = 0 sex > 0. Inoltre se x < 0 abbiamo che Bje

kjx → 0 per kj → ∞ mentre per x > 0 abbiamo cheAje

−kjx → 0 per kj → ∞. In tali regioni quindi la probabilita di trovare la particella e nullanel limite ~→ 0.

Come detto nella Sezione 3.1, affinche ϕE(x) possa essere una buona autofunzione essa deve,oltre che soddisfare la proprieta in Eq. (3.15), essere una funzione continua. La funzione ϕE(x)in Eq. (3.25) e certamente continua in tutti i punti che non siano i punti di discontinuita delpotenziale, ossia x1, . . . , xN . Per garantire che ϕE(x) sia continua anche in quei punti occorrescegliere le costanti Aj e Bj in modo da soddisfare

limε→0

ϕE(xj + ε) = limε→0

ϕE(xj − ε), ∀xj (3.29)

Dall’equazione di Schrodinger agli autovalori possiamo dedurre anche una condizione sulladerivata prima ϕ′E(x) = d

dxϕE(x). Integrando l’Eq. (3.11) tra (xj − ε) e (xj + ε) troviamo

ϕ′E(xj + ε)− ϕ′E(xj − ε) = −2m

~2

∫ xj+ε

xj−εdx [E − V (x)]ϕE(x) (3.30)



Nel limite ε → 0 l’integrale tende a zero in quanto tende a zero il dominio di integrazione.Quindi non solo la funzione ma anche la sua derivata prima devono essere continue:

limε→0

ϕ′E(xj + ε) = limε→0

ϕ′E(xj − ε), ∀xj (3.31)

Utilizzando la forma esplicita di ϕE(x) in Eq. (3.25) le condizioni di continuita della funzione edella sua derivata ci consentono di generare un sistema lineare e omogeneo di 2N equazioni perdeterminare le N + 1 costanti incognite A0, . . . , AN e le N + 1 costanti incognite B0, . . . , BN ,per un totale di 2N +2 incognite. I coefficienti di questo sistema lineare dipendono dall’energiaE tramite i vari qj, vedi Eq. (3.26).

Ricordiamo che un autoket, e quindi un’autofunzione, e definita a meno di una costantemoltiplicativa. Questo significa semplicemente che se ϕE e un autofunzione di energia E alloraanche CϕE e un autofunzione di energia E per qualsiasi numero complesso C. Ovviamente perpoter costruire una base occorre tener conto solo delle autofunzioni linearmente indipendenti.Quindi senza perdita di generalita possiamo assegnare a una delle costanti Aj o Bj un certovalore. Una possibile scelta potrebbe essere AN = 1 ma qualsiasi altra scelta, a questo livello, vacomunque bene. Fissare questa costante determina in modo univoco la norma dell’autofunzione.Per intenderci nel seguito chiameremo questo “fissaggio” la condizione sulla norma. Lacondizione sulla norma equivale ad aggiungere un’ulteriore equazione e quindi a trasformarel’originario sistema omogeneo di 2N equazioni per 2N+2 incognite in un sistema non omogeneo(la condizione sulla norma da origine a un termine noto non nullo) di 2N + 1 equazioni per2N + 2 incognite. Se arrangiamo le 2N + 2 incognite in modo da formare un vettore colonnaX = (A0, B0, . . . , AN , BN) di 2N + 2 componenti, il sistema di equazioni puo scriversi in formacompatta come M(E)X = Q dove M(E) e una matrice rettangolare (2N + 1)× (2N + 2) e Qe il termine noto scritto nella forma di un vettore colonna di dimensione 2N + 1. La matriceM(E) dipende dall’energia E tramite i vari qj. Discutiamo le possibili soluzioni.

Tanto per fissare le idee supponiamo che, come in Figura 3.1, il potenziale VN ≥ V0. Allora

1) Se l’energia E > VN non abbiamo nessun ulteriore vincolo sulle costanti incognite. Ilproblema M(E)X = Q ammettera due soluzioni linearmente indipendenti X1(E) e X2(E) cheandranno a definire due autofunzioni indipendenti di energia E: ϕE,1 e ϕE,2. Quindi in talcaso l’autovalore E e due volte degenere. Un modo per assicurarci di trovare due soluzionilinearmente indipendenti consiste nel risolvere il problema M(E)X = Q imponendo una primavolta la condizione sulla norma essere A0 = 1 e poi aggiungendo la condizione ulteriore BN = 0e una seconda volta la condizione sulla norma essere BN = 1 e poi aggiungendo la condizioneulteriore A0 = 0. Quindi nel primo caso l’autofunzione nelle regioni R0 e RN ha la forma

ϕE,1(x) =

eiq0x +B0e

−iq0x x ∈ R0

ANeiqNx x ∈ RN

(3.32)

mentre nel secondo caso ha la forma

ϕE,2(x) =

B0e

−iq0x x ∈ R0

ANeiqNx + e−iqNx x ∈ RN

(3.33)

Aggiungere la condizione ulteriore BN = 0 nel primo caso o A0 = 0 nel secondo caso e equiv-alente ad aggiungere una riga alla matrice M(E), che cosı diventa una matrice M′(E) di di-mensione (2N + 2) × (2N + 2), e un ulteriore componente, pari a zero, al vettore Q, che cosıdiventa un vettore Q′ di dimensione (2N + 2). Il risultante sistema di equazioni M′(E)X = Q′



ammette una sola soluzione. Troveremo dunque la soluzione X1(E) se aggiungiamo a M(E)la riga che impone BN = 0 e la soluzione X2(E) se aggiungiamo a M(E) la riga che imponeA0 = 0.Applichiamo questa procedura al caso del potenziale in Figura 3.1 dove i punti di discontinuitasono N = 2. Per E > V2 le condizioni di continuita della funzione e della sua derivata forniscono

A0eiq0x1 +B0e

−iq0x1 = A1eiq1x1 +B1e

−iq1x1

A1eiq1x2 +B1e


−iq2x2 (3.34)

e

iq0

(A0e

iq0x1 −B0e−iq0x1

)= iq1

(A1e

iq1x1 +B1e−iq1x1

)iq1

(A1e

iq1x2 +B1e−iq1x2

)= iq2

(A2e

iq2x2 +B2e−iq2x2

)(3.35)

Imponiamo ora la condizione sulla norma essere A0 = 1 in modo da ottenere un sistema nonomogeneo di 2N+1 = 5 equazioni per 2N+2 = 6 incognite. Questo sistema puo scriversi come

M(E)

A0

B0

A1

B1

A2

B2

=

000001

= Q (3.36)

dove M(E) e una matrice 5 × 6 le cui prime 4 righe contengono i coefficienti per generarele Eqs. (3.34) e (3.35) mentre la quinta riga e uguale a (1, 0, 0, 0, 0, 0) e serve a generare lacondizione sulla norma. Aggiungendo la condizione ulteriore B2 = 0 equivale ad aggiungerea M(E) un’ulteriore riga pari a (0, 0, 0, 0, 0, 1), ottenendo cosı la matrice M′(E), e al vet-tore Q un’ulteriore componente pari a 0 ottenendo cosı il vettore Q′. La soluzione del sistemaM′(E)X = Q′ e unica e definira la nostra prima autofunzione ϕE,1. Per trovare l’altra soluzioneindipendente imponiamo la condizione sulla norma essere stavolta B2 = 1 ottenendo cosı unnuovo sistema non omogeneo di 2N + 1 = 5 equazioni per 2N + 2 = 6 incognite. La matriceM(E) di questo nuovo sistema ha ovviamente le prime 4 righe uguali a prima, mentre la quintariga sara adesso (0, 0, 0, 0, 0, 1). Il vettore Q invece non cambia. Aggiungere la condizione ul-teriore A0 = 0 equivale ad aggiungere a M(E) un’ulteriore riga pari a (1, 0, 0, 0, 0, ), ottenendocosı la matrice M′(E), e al vettore Q un’ulteriore componente pari a 0 ottenendo cosı il vettoreQ′. La soluzione del nuovo sistema M′(E)X = Q′ e unica e indipendente dalla prima. Talesoluzione definira la nostra seconda autofunzione ϕE,2.

2) Se l’energia e tale per cui VN ≥ E > V0 allora, come discusso sotto Eq. (3.28), dobbi-amo aggiungere al sistema di equazioni l’ulteriore equazione BN = 0 altrimenti l’autofunzionecorrispondente non soddisfa l’Eq. (3.15). La condizione sulla norma viene in questo caso sceltaessere A0 = 1 e quindi l’autofunzione nelle regioni R0 e RN ha la forma

ϕE(x) =

eiq0x +B0e

−iq0x x ∈ R0

ANe−kNx x ∈ RN

(3.37)

L’equazione BN = 0 equivale ad aggiungere una riga alla matrice M(E), che cosı diventa unamatrice M′(E) di dimensione (2N + 2) × (2N + 2), e un ulteriore componente, pari a zero,



al vettore Q, che cosı diventa un vettore Q′ di dimensione (2N + 2). Il risultante sistema diequazioni M′(E)X = Q′ ammette una sola soluzione X(E) e pertanto esiste una sola autofun-zione ϕE di energia E; in altre parole l’autovalore E e degenere una sola volta.Applichiamo nuovamente questa procedura al caso del potenziale in Figura 3.1. Per V2 = E >V0 le condizioni di continuita della funzione e della sua derivata forniscono

A0eiq0x1 +B0e


−iq1x1

A1eiq1x2 +B1e

−iq1x2 = A2 +B2x2 (3.38)

e

iq0

(A0e


)= iq1

(A1e

iq1x1 +B1e−iq1x1

)iq1

(A1e

iq1x2 +B1e−iq1x2

)= B2 (3.39)

Imponiamo ora la condizione sulla norma essere A0 = 1 in modo da ottenere un sistema nonomogeneo di 2N+1 = 5 equazioni per 2N+2 = 6 incognite. Questo sistema puo scriversi comein Eq. (3.36) dove stavolta pero la matrice 5 × 6 M(E) ha le prime 4 righe che contengono icoefficienti per generare le Eqs. (3.38) e (3.39) mentre la quinta riga e uguale a (1, 0, 0, 0, 0, 0)e serve a generare la condizione sulla norma. A questo punto dobbiamo imporre B2 = 0 altri-menti l’autofunzione non soddisfa la condizione in Eq. (3.15). Questo equivale ad aggiungerealla matrice M(E) un’ulteriore riga pari a (0, 0, 0, 0, 0, 1), ottenendo cosı la matrice M′(E), e alvettore Q un’ulteriore componente pari a 0 ottenendo cosı il vettore Q′. Il risultante sistemadi equazioni M′(E)X = Q′ ammette un’unica soluzione che formera l’unica autofunzione ϕE dienergia E = V2. Il caso V0 < E < V2 si tratta allo stesso modo ma al posto di A2 + B2x2 inEqs. (3.38) dovremo scrivere A2e

−k2x2 +B2ek2x2 e al posto di B2 in Eq. (3.39) dovremo scrivere

−k2(A2e−k2x2 − B2e

k2x2). Imponendo anche qui la condizione sulla norma essere A0 = 1 e lacondizione B2 = 0, necessaria per soddisfare l’Eq. (3.15), troveremo un’unica soluzione cheformera l’unica autofunzione ϕE di energia V0 < E < V2.

3) Se l’energia E ≤ V0 allora, come visto in Eq. (3.13), non esistono soluzioni di energia E < V0

qualora V0 = Vmin. Potremmo invece avere soluzioni di energia compresa tra Vmin e V0 nel casoV0 ≥ Vmin. Come discusso sotto Eq. (3.27) e Eq. (3.28), dobbiamo aggiungere al sistema dueulteriori equazioni. La prima e A0 = 0 se E < V0 oppure B0 = 0 se E = V0. La seconda einvece BN = 0. Cio equivale ad aggiungere due righe alla matrice M(E), che cosı diventa unamatrice M′(E) di dimensione (2N + 3) × (2N + 2), e due ulteriori componenti, pari a zero,al vettore Q, che cosı diventa un vettore Q′ di dimensione (2N + 3). Il risultante sistema diequazioni M′(E)X = Q′ contiene piu equazioni che incognite. Pertanto non esistono vettori Xche soddisfano il sistema a meno che una delle equazioni del sistema sia una combinazione lin-eare delle altre. Questo accade se il determinante D(E) della matrice che si ottiene aggiungendoad M′(E) la colonna Q′ e nullo. La condizione D(E) = 0 e in generale soddisfatta solo da uninsieme discreto di energie. Come vedremo questo insieme puo essere l’insieme vuoto (nessunautostato di energia E < V0) o un insieme costituito da un numero finito di energie o da uninsieme costituito da un numero infinito ma numerabile di energie. Il caso E < V0 rappresentadunque il primo esempio di quantizzazione dell’energia. A differenza del caso classico, nontutte le energie tra Vmin e V0 sono possibili. Le autofunzioni con energie E < V0 prendono ilnome di stati legati. Il nome stati legati deriva dal fatto che le autofunzioni tendono a zeroesponenzialmente quando x→ ±∞ e pertanto la probabilita di trovare la particella e massimanelle vicinanze della buca di potenziale. In altre parole la buca di potenziale tende a legare la



particella.Vediamo esplicitamente come trattare questo caso per il potenziale in Figura 3.1. Per E < V0

abbiamo speranza di trovare stati legati in quanto V0 > V1 = Vmin. Le condizioni di continuitadella funzione e della sua derivata forniscono

A0e−k0x1 +B0e

k0x1 = A1eiq1x1 +B1e

−iq1x1

A1eiq1x2 +B1e

−iq1x2 = A2e−k2x2 +B2e

k2x2 (3.40)

e

−k0

(A0e

−k0x1 −B0ek0x1)

= iq1

(A1e


)iq1

(A1e


)= −k2(A2e

−k2x2 −B2ek2x2) (3.41)

Affinche la funzione possa soddisfare Eq. (3.15) dobbiamo imporre anche A0 = 0 e B2 = 0.Scegliendo poi la condizione sulla norma essere ad esempio B0 = 1 otteniamo un sistema nonomogeneo di 2N + 3 = 7 equazioni per 2N + 2 = 6 incognite. Possiamo rappresentare questosistema in forma matriciale nel seguente modo

e−k0x1 ek0x1 −eiq1x1 −e−iq1x1 0 00 0 eiq1x2 e−iq1x2 −e−k2x2 −ek2x2

−k0e−k0x1 k0e

k0x1 −iq1eiq1x2 iq1e

−iq1x1 0 00 0 iq1e

iq1x2 −iq1e−iq1x2 k2e

−k2x2 k2e−k2x2

1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0

︸︷︷︸

M′(E)

A0

B0

A1

B1

A2

B2

︸︷︷︸

X

=

0000001

︸︷︷︸

Q′

(3.42)Questo sistema ammette soluzione solo se il determinante della matrice che si ottiene aggiun-gendo a M′(E) la colonna Q′ e nullo:

Det

e−k0x1 ek0x1 −eiq1x1 −e−iq1x1 0 0 00 0 eiq1x2 e−iq1x2 −e−k2x2 −ek2x2 0

−k0e−k0x1 k0e

k0x1 −iq1eiq1x2 iq1e

−iq1x1 0 0 00 0 iq1e

iq1x2 −iq1e−iq1x2 k2e

−k2x2 k2e−k2x2 0

1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1

= 0. (3.43)

Le soluzioni di questa equazione forniranno le energie discrete a cui e possibile trovare deglistati legati.

3.3 Potenziale costante a tratti con delta di Dirac

E possibile calcolare esattamente gli autostati dell’Hamiltoniana anche nel caso in cui aggiun-giamo ad un potenziale costante a tratti delle delta di Dirac. La procedura e infatti identica aquella discussa nella Sezione precedente ad eccezione di una piccolissima differenza. Vediamolo.

Indichiamo con x1 < x2 < . . . xN i punti in cui il potenziale V (x) e discontinuo oppurepresenta una delta di Dirac o entrambe le cose. Cio significa che per xj−1 < x < xj+1 il


46 3.4. Coefficienti di riflessione e trasmissione

potenziale ha la forma

V (x) = ajδ(x− xj) +

Vj−1 x < xjVj x > xj

(3.44)

Se aj = 0 e Vj−1 6= Vj allora in xj il potenziale e semplicemente discontinuo, proprio comeprima. Se invece aj 6= 0 e Vj−1 = Vj allora il potenziale presenta una delta di Dirac in xj ma ilsuo valore e lo stesso a destra e a sinistra di xj. Infine se aj 6= 0 e Vj−1 6= Vj allora il potenzialepresenta una delta di Dirac in xj e ha valori diversi a destra e sinistra di xj. Qualsiasi sia ilcaso il potenziale e una costante pari a Vj nella regione Rj = (xj, xj+1). Pertanto nella regioneRj l’equazione di Schrodinger e ancora una volta data da Eq. (3.24) e la soluzione piu generalee esattamente la stessa di prima

ϕE(x) =

Aje

iqjx +Bje−iqjx E 6= Vj

Aj +Bjx E = Vj, x ∈ Rj (3.45)

dove

qj =

√2m

~2(E − Vj). (3.46)

Per calcolare le costanti Aj e Bj possiamo procedere allo stesso modo di prima eccetto per ilfatto che dobbiamo modificare la condizione sulla continuita della derivata. Riconsideriamoinfatti l’Eq. (3.30). Indipendentemente dal valore di ε risulta∫ xj+ε

xj−εajδ(x− xj)ϕE(x) = ajϕE(xj) (3.47)

e quindi

limε→0

[ϕ′E(xj + ε)− ϕ′E(xj − ε)] =2maj~2

ϕE(xj) ∀xj . (3.48)

Se aj = 0, quindi in assenza della delta di Dirac, ritroviamo la condizione sulla continuita delladerivata prima. Viceversa dovremmo imporre la condizione sulla discontinuita della derivataprima, data appunto da Eq. (3.48). Dal momento che abbiamo N punti xj, l’Eq. (3.48) forniraN equazioni e possiamo procedere esattamente come prima a determinare le autofunzioni.

Un’ultima osservazione. Il valore ϕE(xj) dell’autofunzione in xj e unico e ben definitopoiche l’autofunzione e continua. Questo valore lo possiamo scrivere utilizzando o la formadell’autofunzione in Rj−1 = (xj−1, xj) e poi ponendo x = xj oppure la forma dell’autofunzionein Rj = (xj, xj+1) e poi ponendo x = xj. La condizione di continuita in xj garantisce che ilrisultato non cambia.

3.4 Coefficienti di riflessione e trasmissione

Consideriamo un potenziale costante a tratti con o senza delta di Dirac. Abbiamo visto cheper energie E maggiori sia di V0 che di VN esistono due autofunzioni di energia E e che questeautofunzioni nelle regioni R0 e RN hanno la forma in Eq. (3.32) e (3.33). Soffermiamoci su

Eq. (3.32) dato che le stesse considerazioni si applicano all’altra equazione. E molto comunedenotare con la lettera R il coefficiente B0 e con la lettera T il coefficiente AN , quindi

ϕE,1(x) =

eiq0x +R e−iq0x x ∈ R0

T eiqNx x ∈ RN(3.49)



Come sappiamo l’onda piana eiq0x e il prodotto scalare tra un autoket della posizione e unautoket dell’impulso con autovalore q0. Possiamo allora interpretare lo stato dell’elettrone nellaregione R0 come un elettrone di impulso q0 > 0 che va da sinistra verso destra e che, con unaprobabilita proporzionale a |R|2, viene riflesso in un elettrone di impulso −q0 che va da destraverso sinistra. Similmente, possiamo interpretare lo stato dell’elettrone nella regione RN comeun elettrone che, con una probabilita proporzionale a |T |2, viene trasmesso in questa regione conimpulso qN > 0 e quindi si muove da sinistra verso destra. Per via di questa interpretazione fisicai coefficienti R e T vengono detti coefficiente di riflessione e coefficiente di trasmissionerispettivamente.

Vogliamo utilizzare l’equazione di continuita per derivare una relazione esatta tra i coefficientidi riflessione e trasmissione. Dato che l’autofunzione non dipende dal tempo ne segue che ne’ ladensita di probabilita ne’ la corrente di probabilita dipendono dal tempo. Inoltre da Eq. (3.21)deduciamo anche che J(x) deve essere indipendente da x. Calcolando J nella regione R0

troviamoJ = q0(1− |R|2), (3.50)

mentre calcolando J nella regione RN troviamo

J = qN |T |2. (3.51)

Uguagliando queste due relazione arriviamo alla relazione cercata

q0(1− |R|2) = qN |T |2. (3.52)

E interessante osservare che se V0 = VN allora q0 = qN , vedi Eq. (3.26), e la relazione qui soprapuo scriversi come

|R|2 + |T |2 = 1. (3.53)

L’interpretazione fisica di questo risultato e molto trasparente. La probabilita che un elettroneincidente possa essere riflesso sommata a quella che possa essere trasmesso e 1. Un ragionamentoanalogo puo essere fatto per l’autofunzione ϕE,2 a patto di identificare il coefficiente di riflessionecon AN e quello di riflessione con B0.

3.5 Potenziale Armonico

Consideriamo una molla quantistica di costante elastica k avente un’estremita agganciatanell’origine delle coordinate e l’altra estremita agganciata ad una particella di massa m lib-era di muoversi lungo l’asse x. Indicando con l la posizione della particella e con l0 la lunghezzaa riposo della molla, la particella sente una forza pari a F (x) = − d

dxV (x) dove la distanza

x = l − l0 e

V (x) =1

2kx2 =

1

2mω2x2 (3.54)

e l’energia potenziale della particella. Pertanto l’Hamiltoniana quantistica del sistema e

H =p2

2m+

1

2mω2x2 = ~ω

(p2

2m~ω+mω

2~x2

). (3.55)

Tale Hamiltoniana e nota come la Hamiltoniana dell’oscillatore armonico. Come tutte leforme quadratiche del tipo u2 + v2 possono scriversi (u + iv)(u − iv) proviamo a riscrivere la


48 3.5. Potenziale Armonico

Hamiltoniana dell’oscillatore armonico utilizzando gli operatori non hermitiani

a =

√mω

2~x+ i

p√2m~ω

,

a† =

√mω

2~x− i

p√2m~ω

, (3.56)

da cui segue che

p =√

2m~ωa− a†

2i,

x =

√2~mω

a+ a†

2. (3.57)

Ovviamente, a differenza dei numeri complessi ordinari a e a† non commutano. Ricordando che(sesto postulato) [x, p] = i~ troviamo

[a, a†] = − i

2~[x, p] +

i

2~[p, x] = 1 (3.58)

Pertanto

p2

2m~ω+mω

2~x2 =

1

4

(aa† + a†a+ aa† + a†a

)=

1

2

(a†a+ aa†

)= a†a+

1

2. (3.59)

Possiamo allora riscrivere la Hamiltoniana nella seguente forma compatta

H = ~ω(a†a+

1

2

). (3.60)

3.5.1 Operatori di innalzamento e abbassamento

Gli operatori a e a† ci consentono di calcolare tutti gli autoket di H dalla conoscenza di unsingolo autoket. Per dimostrarlo cominciamo con il notare che dalla regola di commutazione inEq. (3.58) segue che

[a†a, a] = a†[a, a] + [a†, a]a = −a, (3.61)

[a†a, a†] = a†[a, a†] + [a†, a†]a = a†, (3.62)

Siano |λ〉 gli autokets normalizzati a uno, ossia 〈λ|λ〉 = 1, di a†a con autovalore λ e quindi di

H con autovalore ~ω(λ+ 12):

a†a|λ〉 = λ|λ〉 ⇒ H|λ〉 = ~ω(λ+1

2)|λ〉. (3.63)

Cerchiamo di capire i possibili valori di λ. Risulta

a†a a†|λ〉 = [a†a, a†]|λ〉+ λa†|λ〉 = (λ+ 1)a†|λ〉, (3.64)

ea†a a|λ〉 = [a†a, a]|λ〉+ λa|λ〉 = (λ− 1)a|λ〉. (3.65)

Quindi il ket a†|λ〉 e il ket a|λ〉 sono autokets di a†a con autovalore λ+1 e λ−1 rispettivamente.Per tale motivo l’operatore a† e detto operatore di innalzamento mentre l’operatore a e



detto operatore di abbassamento. Non sapendo ancora se tali ket sono normalizzati a unopossiamo scrivere

a†|λ〉 = αλ|λ+ 1〉 a|λ〉 = βλ|λ− 1〉. (3.66)

Il calcolo dei coefficienti di proporzionalita e presto fatto

|αλ|2 = 〈λ|aa†|λ〉 = 〈λ|[a, a†] + a†a|λ〉 = λ+ 1 (3.67)

|βλ|2 = 〈λ|a†a|λ〉 = λ (3.68)

Quindi

a†|λ〉 =√λ+ 1|λ+ 1〉 a|λ〉 =

√λ|λ− 1〉. (3.69)

La seconda di queste ultime due relazioni e particolarmente importante. L’Eq. (3.68) vale pertutti gli autovalori λ e quindi tutti gli autovalori devono essere non negativi. Indichiamo conλmin ≥ 0 l’autovalore piu piccolo. La seconda relazione in Eq. (3.69) ci dice che a|λmin〉 e unautoket di autovalore λmin − 1, il che e assurdo essendo λmin l’autovalore piu piccolo. L’unicomodo per uscire da questa contraddizione e che λmin = 0. In tal caso infatti a|0〉 =

√0| − 1〉 =

|∅〉, ossia l’azione di a sul ket |0〉 produce il ket nullo |∅〉 che non e uno stato fisico in quantoha norma nulla (la rappresentazione del ket nullo e, indipendentemente dalla base, un vettorecon tutte componenti nulle).

Ne concludiamo che l’autovalore piu basso di a†a e zero e, in accordo con la notazioneintrodotta, denotiamo con |0〉 il corrispondente autoket. Tutti gli altri autoket e autovalori dia†a possono ottenersi con l’operatore di innalzamento. Dalla prima di Eq. (3.69) abbiamo

|1〉 =a†√

1|0〉

|2〉 =a†√

2|1〉 =

(a†)2

√2!|0〉

|3〉 =a†√

3|2〉 =

(a†)3

√3!|0〉 (3.70)

e piu in generale

|n〉 =(a†)n√n!|0〉 (3.71)

dove n = 0, 1, 2, 3, . . ..I kets |n〉 sono anche autostati dell’Hamiltoniana, come segue da Eq. (3.63),

H|n〉 = ~ω(n+1

2)|n〉. (3.72)

Quindi |0〉 e lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico. Osserviamo che l’autovalore piubasso della Hamiltoniana e ~ω/2 > 0. Classicamente l’energia minima si ottiene quando laparticella e ferma (impulso nullo) nel minimo del potenziale (x = 0). Come abbiamo avutomodo di vedere nella Sezione 1.8 tale stato non e compatibile con il principio di indetermi-nazione di Heisenberg in quanto sarebbero simultaneamente certi sia il valore della posizioneche dell’impulso. Il risultato classico lo si ritrova se la costante di Planck fosse nulla, ossia ~ = 0.Possiamo facilmente verificare che il principio di indeterminazione di Heisenberg e soddisfatto



per un qualsiasi autoket di H. Poiche autoket di energie diverse sono tra loro ortogonali il valormedio di x e p e nullo. Infatti

〈n|x|n〉 =

√2~mω〈n| a+ a†

2|n〉 = 0 (3.73)

〈n|p|n〉 =√

2m~ω〈n| a− a†

2i|n〉 = 0 (3.74)

dato che a|n〉 genera un ket proporzionale a |n−1〉 e a†|n〉 genera un ket proporzionale a |n+1〉.Per i quadrati avremo

〈n|x2|n〉 =2~mω〈n|(a+ a†

2

)2

|n〉 =2~mω〈n| aa

† + a†a

4|n〉 =

~mω

(n+1

2) (3.75)

〈n|p2|n〉 = 2m~ω〈n|(a− a†

2i

)2

|n〉 = 2m~ω〈n| aa† + a†a

4|n〉 = m~ω(n+

1

2) (3.76)

dove si e tenuto conto che a2|n〉 genera un ket proporzionale a |n− 2〉 e (a†)2|n〉 genera un ketproporzionale a |n+ 2〉. In conclusione il prodotto della varianza di posizione e impulso e datoda

〈n|σ2x|n〉〈n|σ2

p|n〉 = ~2(n+1

2)2 ≥ ~2

4, (3.77)

in accordo con Eq. (1.165). In particolare il principio di indeterminazione di Heisenberg vienesaturato (ossia vale il segno di uguaglianza) nel caso dello stato fondamentale n = 0.

3.5.2 Autofunzioni e polinomi di Hermite

In questa Sezione vogliamo calcolare esplicitamente la forma delle autofunzioni Ψn(x) = 〈x|n〉dell’Hamiltoniana, vale a dire il prodotto scalare tra un bra della posizione e un autoketdell’Hamiltoniana. Questo infatti ci consente di conoscere la densita di probabilita di trovarela particella in x quando essa si trova in un autoket della Hamiltoniana. Da a|0〉 = |∅〉 segueche

〈x|a|0〉 = 〈x|√mω

2~x+ i

p√2m~ω

|0〉

=

√mω

2~xΨ0(x) +

√~

2mω

d

dxΨ0(x) = 0 (3.78)

dove abbiamo usato Eq. (3.3). Quindi l’autofunzione dello stato fondamentale soddisfa l’equazionedifferenziale omogenea di primo grado

Ψ′0(x) +mω

~xΨ0(x) = 0, (3.79)

la cui soluzione e una gaussiana Ψ0(x) = Ce−mω2~ x

2con larghezza

x0 ≡√

~mω

. (3.80)



La costante C possiamo determinarla dalla normalizzazione 〈n|n〉 = 1. Avremo

1 = 〈0|0〉 =

∫dx〈0|x〉〈x|0〉 =

∫dx|Ψ0(x)|2 = |C|2

√π~mω

. (3.81)

Quindi

Ψ0(x) =(mωπ~

)1/4

e−mω2~ x

2

=(mωπ~

)1/4

e− x2

2x20 . (3.82)

Per ottenere tutte le altre autofunzioni della Hamiltoniana possiamo utilizzare Eq. (3.71).Riscriviamo l’operatore a† in Eq. (3.56) in termini della larghezza x0:

a† =1√2

(x

x0

− ix0p

~

)(3.83)

Facendo il prodotto scalare con il bra 〈x| avremo

Ψ1(x) = 〈x|1〉 = 〈x|a†|0〉 =1√2〈x| x

x0

− ix0p

~|0〉

=1√2

(x

x0

− x0d

dx

)Ψ0(x) (3.84)

Conviene definire la variabile adimensionale x = x/x0. Allora

Ψ1(x) =1√2

(mωπ~

)1/4(x− d

dx

)e−

x2

2

=1√2

(mωπ~

)1/4

2x e−x2

2 , (3.85)

A partire da Ψ1(x) possiamo ottenere Ψ2(x):

Ψ2(x) = 〈x|2〉 = 〈x|a†|1〉 =1√2〈x| x

x0

− ix0p

~|1〉

=1√2

(x− d

dx

)Ψ1(x)

=

(1√2

)2 (mωπ~

)1/4 (4x2 − 2

)e−

x2

2 . (3.86)

E facile convincersi che la struttura generale delle autofunzioni e

Ψn(x) =

(1√2

)n (mωπ~

)1/4

Hn(x)e−x2

2 (3.87)

dove Hn(x) e un polinomio di grado n in x. In particolare Hn contiene solo potenze pari se ne pari e solo potenze dispari se n e dispari. Questi polinomi prendono il nome di polinomi di



Hermite. Oltre a quelli che abbiamo gia trovato ne elechiamo qui sotto alcuni altri

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 − 2

H3(x) = 8x3 − 12x

H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12

H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x

H6(x) = 64x6 − 480x4 + 720x2 − 120. (3.88)

3.5.3 Stati coerenti

Abbiamo dimostrato che il valore medio della posizione e del momento e nullo se la particellasi trova in un autostato della Hamiltoniana, vedi Eqs. (3.73) e (3.74). Inoltre, come discussosotto Eq. (1.153), il valor medio di un operatore e indipendente dal tempo se lo stato inizialee un autostato della Hamiltoniana. Pertanto il valore medio della posizione e del momentocontinueranno ad essere nulli se lo stato iniziale e uno dei vari ket |n〉. Classicamente, tuttavia,una particella agganciata a una molla e descritta da una traiettoria oscillante x(t) = A cos(ωt−φ) e quindi da un momento oscillante p = mx(t). Cio significa che per ritrovare il risultato

della meccanica classica lo stato iniziale non puo essere un autostato di H. In questa Sezionescopriremo come deve essere preparato lo stato iniziale affinche il valor medio della posizione edell’impulso si comportino come nel caso classico.

Consideriamo l’operatore di abbassamento a e indichiamo con |γ〉 un suo autoket di auto-valore γ normalizzato a uno:

a|γ〉 = γ|γ〉, 〈γ|γ〉 = 1. (3.89)

Poiche a non e hermitiano l’autovalore γ puo anche essere complesso. Vogliamo dimostrare che

|γ〉 = C eγa†|0〉 (3.90)

dove C e una costante di normalizzazione che determineremo in seguito. La dimostrazione epiuttosto semplice. Definiamo il commutatore

Qn = [a, (a†)n] (3.91)

Utilizzando l’identita [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] con A = a, B = a† e C = (a†)n−1 possiamoprocedere come gia fatto in Eq. (1.119) e trovare

Qn = (a†)n−1 + a†Qn−1 = n(a†)n−1. (3.92)

Quindi, tenendo in mente che a|0〉 = |∅〉,

a|γ〉 = C aeγa†|0〉 = C

∞∑n=0

γn

n!a(a†)n|0〉 = C

∞∑n=0

γn

n!Qn|0〉 = C

∞∑n=0

γn

n!n(a†)n−1|0〉

= γC

∞∑n=1

γn−1

(n− 1)!(a†)n−1|0〉 = γ|γ〉 (3.93)



Per trovare la costante di normalizzazione occorre imporre 〈γ|γ〉 = 1. Tenendo presenteEq. (3.71) abbiamo

|γ〉 = C∞∑n=0

γn

n!(a†)n|0〉 = C

∞∑n=0

γn√n!|n〉 (3.94)

Quindi

〈γ|γ〉 = |C|2∞∑

n,n′=0

(γ∗)nγn′

√n!n′!

〈n|n′〉︸︷︷︸δn,n′

= |C|2∞∑n=0

|γ|2nn!

= |C|2e|γ|2 (3.95)

Ne concludiamo che |C| = e−|γ|2

2 e quindi che lo stato |γ〉 e dato da

|γ〉 = e−|γ|2

2 eγa†|0〉. (3.96)

Al variare di γ nel dominio dei numeri complessi questi stati sono detti stati coerenti.Se la particella si trova nello stato coerente |γ〉 la probabilita di misurare energia En =

~ω(n+ 12) e

P (En) = |〈n|γ〉|2 = e−|γ|2 |γ|2nn!

(3.97)

Questa distribuzione di probabilita e nota come distribuzione di Poisson. Veniamo ora alvalor medio dell’operatore posizione. Riscriviamo Eq. (3.57) utilizzando la definizione di x0 inEq. (3.80)

x =x0√

2(a+ a†). (3.98)

Risulta

〈γ|x|γ〉 =x0√

2

(〈γ|a|γ〉+ 〈γ|a†|γ〉

)=

x0√2

2 Re[〈γ|a|γ〉] =√

2x0 Re[γ] (3.99)

Quindi il valor medio dell’operatore posizione non e nullo se la particella e descritta da unostato coerente. Andiamo a studiare come lo stato coerente evolve nel tempo. Essendo laHamiltoniana independente dal tempo vale l’Eq. (1.152) e pertanto

|γ(t)〉 = e−iHt~ |γ〉 = e−

|γ|22

∞∑n=0

γn√n!e−

iHt~ |n〉 = e−

|γ|22

∞∑n=0

γn√n!e−i(n+ 1

2)ωt|n〉

= e−iωt2 e−

|γ|22

∞∑n=0

(γe−iωt)n√n!|n〉 = e−

iωt2 |γe−iωt〉. (3.100)

Questo risultato e estremamente interessante. Esso ci dice che se lo stato iniziale e uno statocoerente caratterizzato dal numero complesso γ allora lo stato al tempo t e ancora uno statocoerente ma stavolta caratterizzato dal numero complesso γe−iωt. Utilizzando Eq. (3.99) neconcludiamo che il valor medio dell’operatore posizione al tempo t e dato da

〈γ(t)|x|γ(t)〉 =√

2x0 Re[γe−iωt] (3.101)

Scrivendo il numero complesso γ in termini del suo modulo e della sua fase, γ = |γ|eiφ, troviamoallora

〈γ(t)|x|γ(t)〉 =√

2x0|γ| cos(ωt− φ). (3.102)



Il valor medio della posizione si comporta dunque come la traiettoria classica. Lo stesso dicasidel valor medio dell’impulso. Per dimostrarlo utilizziamo il teorema di Ehrenfest

d

dt〈γ(t)|x|γ(t)〉 =

d

dt〈γ|ei Ht~ xe−i Ht~ |γ〉 =

i

~〈γ(t)|[H, x]|γ(t)〉. (3.103)

Risulta

[H, x] = [p2

2m+ V (x), x] =

1

2m[p2, x] = − i~

mp (3.104)

e dunqued

dt〈γ(t)|x|γ(t)〉 =

1

m〈γ(t)|p|γ(t)〉 (3.105)

proprio come nel caso classico. Si noti che per ottenere l’Eq. (3.105) non abbiamo utilizzatone’ che lo stato iniziale fosse uno stato coerente ne’ che il potenziale V fosse il potenzialedell’oscillatore armonico. In effetti, qualsiasi sia lo stato iniziale |Ψ〉 e il potenziale V il teoremadi Ehrenfest implica che

d

dt〈Ψ(t)|x|Ψ(t)〉 =

1

m〈Ψ(t)|p|Ψ(t)〉 (3.106)

Per completare la caratterizzazione degli stati coerenti calcoliamo ora la funzione d’ondaΨγ(x) = 〈x|γ〉 associata allo stato coerente. Moltiplichiamo Eq. (3.89) per il bra 〈x| e scriviamol’operatore a come il dagger di Eq. (3.83), vale a dire

a =1√2

(x

x0

+ ix0p

~

). (3.107)

Introducendo come prima la variabile adimensionale x = x/x0 avremo

〈x|a|γ〉 =1√2

(x+

d

dx

)Ψγ(x) = γΨγ(x). (3.108)

E immediato verificare che questa equazione e risolta da

Ψγ(x) = Ce−x2

2+√

2xγ (3.109)

con C costante di normalizzazione. Separiamo γ in una parte reale γ1 e una parte immaginariaγ2: γ = γ1 + iγ2. Possiamo allora riscrivere Ψγ(x) come

Ψγ(x) = Cei√

2xγ2e−γ21e−

(x−√

2γ1)2

2 . (3.110)

Al solito la costante C possiamo fissarla imponendo che 〈γ|γ〉 = 1. Risulta

1 = 〈γ|γ〉 =

∫dx〈γ|x〉〈x|γ〉 =

∫dx|Ψγ(x)|2 = |C|2e−2γ2

1x0

∫dx e−(x−

√2γ1)2

= |C|2e−2γ21

√πx2

0, (3.111)

da cui segue che C = eγ21/(πx2

0)14 . In conclusione

Ψγ(x) =1

(πx20)

14

ei√

2xγ2e−(x−√

2γ1)2

2 . (3.112)



Pertanto la densita di probabilita P (x) = |Ψγ(x)|2 e una gaussiana di larghezza x0 centrata

in√

2x0γ1. La densita di probabilita al tempo t si ottiene semplicemente andando a sostituireγ → γe−iωt = |γ|e−iωt+iφ = |γ| cos(ωt − φ) − i|γ| sin(ωt − φ), vedi Eq. (3.100). Quindi altempo t avremo γ1 = |γ| cos(ωt − φ) e γ2 = −|γ| sin(ωt − φ). Questo significa che la densitadi probabilita al tempo t continua ad essere una gaussiana di larghezza x0 ma il centro dellagaussiana si sposta nel tempo come

√2x0|γ| cos(ωt− φ). Come ci si poteva aspettare il centro

della gaussiana coincide proprio con il valor medio dell’operatore posizione, vedi Eq. (3.102).Poiche la densita di probabilita cambia nel tempo, dall’equazione di continuita ci aspettiamoanche una densita di corrente J(x, t) non nulla. Infatti Ψγ(x) e una funzione complessa ed efacile verificare che J(x, t) e diversa da zero e che l’equazione di continuita e verificata.


Chapter 4

Una particella in tre dimensioni

In questo capitolo affronteremo il problema quantistico di una particella di massa m in tredimensioni.

4.1 Operatore momento e Hamiltoniana

In tre dimensioni il ket che descrive la particella nel punto r = (x, y, z) sara denotato con|r〉 = |xyz〉 mentre il ket che che descrive la particella con un impulso p = (px, py, pz) saradenotato con |p〉 = |pxpypz〉. A volte, per semplicita notazionale, le coordinate della posizione(x, y, z) verranno anche denotate come (r1, r2, r3) mentre le coordinate dell’impulso (px, py, pz)verranno anche denotate come (p1, p2, p3). Similmente denoteremo con ri l’i-esima componentedell’operatore posizione e con pi l’i-esima componente dell’operatore impulso. Quindi

ri|r〉 = ri|r〉, pi|p〉 = pi|p〉. (4.1)

Come abbiamo gia avuto modo di vedere in Eq. (1.130) e (1.134) il prodotto scalare tra dueautokets della posizione e due autokets dell’impulso e

〈r|r′〉 = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) = δ(r1 − r′1)δ(r2 − r′2)δ(r3 − r′3) (4.2)

〈p|p′〉 = δ(px − p′x)δ(py − p′y)δ(pz − p′z) = δ(p1 − p′1)δ(p2 − p′2)δ(p3 − p′3) (4.3)

mentre, da Eq. (1.141), il prodotto scalare tra un autoket della posizione e uno dell’impulso el’onda piana in tre dimensioni

〈r|p〉 =1√2π~

eip·r. (4.4)

Da quest’ultima equazione si evince che

−i~∂

∂ri〈r|p〉 = pi〈r|p〉. (4.5)

Consideriamo allora un generico ket |Ψ〉 che descrive la nostra particella in tre dimensioni eimpariamo a calcolare 〈r|pi|Ψ〉. Inserendo la risoluzione dell’identita nella base dell’impulso,vedi Eq. (1.135), e posto d3p = dp1dp2dp3 avremo

〈r|pi|Ψ〉 =

∫d3p 〈r|pi|p〉〈p|Ψ〉 =

∫d3p pi〈r|p〉〈p|Ψ〉 = −i~

∂

∂ri

∫d3p 〈r|p〉〈p|Ψ〉

= −i~∂

∂ri〈r|Ψ〉, (4.6)

57

58 4.1. Operatore momento e Hamiltoniana

o in forma vettoriale〈r|p|Ψ〉 = −i~∇〈r|Ψ〉. (4.7)

Il prodotto scalare Ψ(r) = 〈r|Ψ〉 e la funzione d’onda gia incontrata in Sezione 1.4, il cui moduloquadro fornisce la densita di probabilita di trovare l’elettrone in r.

I passaggi appena fatti possono facilmente ripetersi per un arbitrario prodotto pipj pk . . ..Infatti, e immediato verificare che

(−i~)∂

∂ri(−i~)

∂

∂rj(−i~)

∂

∂rk. . . 〈r|p〉 = pipjpk . . . 〈r|p〉 (4.8)

e quindi

〈r|pipj pk . . . |Ψ〉 = (−i~)∂

∂ri(−i~)

∂

∂rj(−i~)

∂

∂rk. . .Ψ(r) (4.9)

Per forze conservative F(r) = −∇V (r) la Lagrangiana del sistema e

L =m

2(x2 + y2 + z2)− V (r) =

m

2

∑i

r2i − V (r) (4.10)

e pertanto i momenti coniugati sono

pi =∂L∂ri

= mri. (4.11)

Ne segue che la Hamiltoniana ha la seguente forma

H =∑i

piri − L =∑i

p2i

2m+ V (r) =

p2

2m+ V (r). (4.12)

La conoscenza della Hamiltoniana ci consente di scrivere l’equazione di Schrodinger per unaparticella di massa m in tre dimensioni

i~∂

∂t|Ψ(t)〉 = H|Ψ(t)〉 =

(p2

2m+ V (r)

)|Ψ(t)〉 (4.13)

dovep2 =

∑i

p2i . (4.14)

Si osservi che l’energia potenziale e una funzione degli operatori ri: V (r) = V (r1, r2, r3) =V (x, y, z). Quindi un qualsiasi autoket |r〉 delle tre componenti dell’operatore posizione e ancheautoket di V (r) con autovalore V (r) = V (r1, r2, r3) = V (x, y, z). Possiamo facilmente trasfor-mare l’equazione di Schrodinger in una equazione per la funzione d’onda Ψ(r, t) = 〈r|Ψ(t)〉moltiplicando a sinistra per il bra 〈r|. Tenendo presente che 〈r|V (r) = 〈r|V (r) e utilizzandol’Eq. (4.9)

i~∂

∂tΨ(r, t) =

(− ~2

2m

∑i

∂2

∂r2i

+ V (r)

)Ψ(r, t). (4.15)

L’operatore differenziale

∇2 ≡∑i

∂2

∂r2i

=∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(4.16)


Chapter 4. Una particella in tre dimensioni 59

e noto con il nome di Laplaciano e di fatto e il prodotto scalare tra due gradienti, ossia∇2 = ∇ ·∇ essendo ∇ = ( ∂

∂x, ∂∂y, ∂∂z

).

Come visto ormai piu volte in precedenza, la conoscenza delle autofunzioni ϕE,k(r) = 〈r|E, k〉della Hamiltoniana ci consente di determinare l’evoluzione temporale. Infatti, queste soddisfano(

p2

2m+ V (r)

)|E, k〉 = E|E, k〉 ⇒

(− ~2

2m∇2 + V (r)

)ϕE,k(r) = EϕE,k(r). (4.17)

L’insieme delle autofunzioni formano una base e quindi possiamo espandere |Ψ(t)〉 su questabase. Come visto nella Sezione 1.7 la soluzione e data da

|Ψ(t)〉 =∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ |E, k〉 ⇒ Ψ(r, t) =∑E,k

cE,k(0)e−iEt~ ϕE,k(r) (4.18)

dove

cE,k(0) = 〈E, k|Ψ(0)〉. (4.19)

Si osservi che, similmente al caso di sistemi unidimensionali, non tutte le funzioni che soddisfanoEq. (4.17) appartengono allo spazio di Hilbert generato dai kets fisici. Lo spazio di Hilbert perle autofunzioni dell’operatore Hamiltoniana e lo spazio delle funzioni continue tali per cui

limL→∞

1

L3

∫ L

−Ldxdydz |ϕ(r)|2 <∞. (4.20)

Quindi se per una certa energia E troviamo una funzione ϕ(r) che soddisfa Eq. (4.17) ma ϕ(r)non e continua o non soddisfa la condizione in Eq. (4.20) allora questa funzione non appartieneallo spazio di Hilbert e non puo considerarsi dunque un’autofunzione.

4.2 Particella quantistica in un campo elettromagnetico

Nel caso di una particella in tre dimensioni immersa in un campo elettromagnetico le forze nonsono conservative e la Lagrangiana e data da Eq. (1.87). Riportiamo qui sotto L per comodita

L(q, q, t) =m

2

∑i

q2i −Qφ+

Q

c

∑i

qiAi. (4.21)

Se il potenziale vettore A = 0 allora ritroviamo il caso della sezione precedente, con V = Qφl’energia potenziale associata al potenziale scalare φ. I momenti coniugati ai gradi di liberta(q1, q2, q3) = (x, y, z) sono

pi =∂L∂qi

= mqi +Q

cAi ⇒ qi =

1

m

(pi −

Q

cAi

), (4.22)


60 4.2. Particella quantistica in un campo elettromagnetico

e pertanto l’Hamiltoniana della particella e

H =∑i

piqi − L

=1

m

∑i

pi

(pi −

Q

cAi

)− 1

2m

∑i

(pi −

Q

cAi

)2

+Qφ− 1

m

∑i

(pi −

Q

cAi

)Q

cAi

=1

2m

∑i

(pi −

Q

cAi

)2

+Qφ

=1

2m

(p− Q

cA

)·(

p− Q

cA

)+Qφ. (4.23)

Nota la Hamiltoniana possiamo immediatamente scrivere l’equazione di Schrodinger

i~∂

∂t|Ψ(t)〉 = H|Ψ(t)〉 =

1

2m

[(p− Q

cA(r, t)

)·(

p− Q

cA(r, t)

)+Qφ(r, t)

]|Ψ(t)〉. (4.24)

Analogamente al caso della Sezione precedente sia il potenziale scalare che quello vettore sonofunzioni degli operatori ri. Quindi un qualsiasi autoket |r〉 delle tre componenti dell’operatoreposizione e anche autoket di φ(r, t) con autovalore φ(r, t) = φ(r1, r2, r3, t) = φ(x, y, z, t) e diciascuna componente del potenziale vettore Ai(r, t) con autovalore Ai(r, t) = Ai(r1, r2, r3, t) =Ai(x, y, z, t).

Al solito possiamo trasformare l’equazione di Schrodinger in una equazione per la funzioned’onda Ψ(r, t) = 〈r|Ψ(t)〉 moltiplicando a sinistra per il bra 〈r|. Tenendo presente che 〈r|φ(r) =〈r|φ(r) e che 〈r|Ai(r) = 〈r|Ai(r), e tenendo sempre in mente l’Eq. (4.9) avremo

i~∂

∂tΨ(r, t) =

[1

2m

(−i~∇− Q

cA(r, t)

)·(−i~∇− Q

cA(r, t)

)+Qφ(r, t)

]Ψ(r, t). (4.25)

Manipoliamo la quantita in parentesi quadra. Per non appesantire troppo la notazione ladipendenza da r e t sara sottointesa. Risulta(−i~∇− Q

cA

)·(−i~∇− Q

cA

)Ψ =

(−~2∇2 +

i~Qc

(∇ ·A) +2i~Qc

A ·∇ +Q2

c2A2

)Ψ,

(4.26)e quindi l’Eq. (4.25) diventa

i~∂

∂tΨ = − ~2

2m∇2Ψ +

i~Qmc

A ·∇Ψ +

[Qφ+

i~Q2mc

(∇ ·A) +Q2

2mc2A2

]Ψ. (4.27)

4.2.1 Equazione di continuita

Dall’equazione di Schrodinger in Eq. (4.27) possiamo generalizzare l’equazione di continuita insistemi unidimensionali derivata nella Sezione 3.1.1. L’idea per ottenere questa generalizzazionee molto simile al caso unidimensionale. Moltiplicando l’Eq. (4.27) per Ψ∗ troviamo

i~Ψ∗∂Ψ

∂t= − ~2

2mΨ∗∇2Ψ +

i~Qmc

Ψ∗A ·∇Ψ +

[Qφ+

i~Q2mc

(∇ ·A) +Q2

2mc2A2

]|Ψ|2. (4.28)



Facendo il complesso coniugato di questa equazione otteniamo

−i~Ψ∂Ψ∗

∂t= − ~2

2mΨ∇2Ψ∗ − i~Q

mcΨA ·∇Ψ∗ +

[Qφ− i~Q

2mc(∇ ·A) +

Q2

2mc2A2

]|Ψ|2. (4.29)

Sottraendo questa equazione a quella precedente

i~∂|Ψ|2∂t

= − ~2

2m

[Ψ∗∇2Ψ−Ψ∇2Ψ∗

]+

i~Qmc

[Ψ∗A ·∇Ψ + ΨA ·∇Ψ∗ + (∇ ·A)|Ψ|2

]= − ~2

2m∇ · [Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗] +

i~Qmc

∇(A|Ψ|2). (4.30)

Essendo P (r, t) = |Ψ(r, t)|2 la densita di probabilita di trovare l’elettrone in r al tempo tvediamo che l’equazione di continuita

d

dtP (r, t) + ∇ · J(r, t) = 0 (4.31)

impone di identificare la corrente di probabilita con (reinserendo la dipendenza dalla posizionee dal tempo)

J(r, t) =~

2mi[Ψ∗(r, t)∇Ψ(r, t)−Ψ(r, t)∇Ψ∗(r, t)]− Q

mcA(r, t)|Ψ(r, t)|2. (4.32)

4.2.2 Campo elettromagnetico costante

Tra tutti i possibili campi elettrici e magnetici, quelli indipendenti dal tempo giocano certa-mente un ruolo speciale data la possibilita sperimentale di realizzarli. Una possibile scelta delpotenziale vettore A(r) per generare un campo magnetico costante B e

A(r) = −1

2r×B ⇒ Ai(r) = −1

2

∑mn

εimnrmBn (4.33)

con εimn il tensore di Levi-Civita. Infatti B = ∇×A(r) e quindi, vedi anche Appendice B,

Bk =∑ji

εkji∂Ai(r)

∂rj= −1

2

∑jimn

εkjiεimn∂rm∂rj

Bn = −1

2

∑jin

εkjiεijnBn =∑n

δknBn = Bk. (4.34)

Essendo il potenziale vettore indipendente dal tempo il campo elettrico E sara semplicementedato da E(r) = −∇φ(r). Andiamo a scoprire cosa diventa l’equazione di Schrodinger in questocaso particolare. Sostituendo la funzione A(r) di Eq. (4.33) nell’Hamiltoniana generale diEq. (4.24) e svolgendo i prodotti troviamo l’Hamiltoniana1

H =p2

2m+

Q

4mc(p·(r×B) + (r×B)·p) +

Q2

8mc2(r×B)·(r×B) +Qφ(r, t)

=p2

2m− Q

2mc(r× p)·B +

Q2

8mc2(r2B2 − (r ·B)2) +Qφ(r, t). (4.35)

1Nel derivare il secondo rigo si e usato che, vedi anche Appendice B,

p·(r×B) =∑ijk

εijkpirjBk = −∑ijk

εkjirj piBk = −(r× p)·B,

(r×B)·p =∑ijk

εkij riBj pk = −∑ijk

εjik ripkBj = −(r× p)·B

(r×B)·(r×B) =∑imnpq

εimnεipq rmBnrpBq =∑mnpq

(δmpδnq − δmqδnp)rmBnrpBq = r2B2 − (r ·B)2


62 4.3. Momento Angolare

In questa equazione e comparso un operatore molto importante in meccanica quantistica, ossial’operatore momento angolare r × p. Nelle prossime sezioni introdurremo l’apparato fisico ematematico necessario per trattare questo operatore.

4.3 Momento Angolare

L’operatore momento angolare e un vettore di operatori ed e definito come in meccanicaclassica

L = r× p = −p× r. (4.36)

Si osservi che nonostante l’operatore posizione e l’operatore impulso non commutino la secondaidentita in Eq. (4.36) vale poiche il prodotto vettoriale contiene solo combinazioni ripj coni 6= j, e noi sappiamo che per il sesto postulato [ri, pj] = i~δij. Abbiamo infatti

Lx = ypz − zpy; Ly = zpx − xpz; Lz = xpy − ypx. (4.37)

E facile verificare che tutte e tre le componenti sono operatori hermitiani. Queste equazionipossono riscriversi in forma compatta utilizzando il tensore di Levi-Civita

Li =∑jk

εijkrj pk (4.38)

dove, come per l’operatore posizione e impulso, utilizziamo la doppia notazione (Lx, Ly, Lz) =

(L1, L2, L3).Dalle regole di commutazione [ri, pj] = i~δij e facile calcolare le regole di commutazione tra

le componenti del momento angolare. Queste, a differenza delle regole di commutazione tra lecomponenti dell’operatore posizione, [ri, rj] = 0, e tra le componenti dell’operatore impulso,[pi, pj] = 0, danno un risultato diverso da zero. In particolare

[Lx, Ly] = i~Lz; [Lz, Lx] = i~Ly; [Ly, Lz] = i~Lx. (4.39)

Dimostriamo ad esempio la prima. La dimostrazione delle altre due e del tutto analoga. Abbi-amo

[Lx, Ly] = [ypz − zpy, zpx − xpz]= [ypz, zpx]− [ypz, xpz]− [zpy, zpx] + [zpy, xpz]

= y[pz, z]px + x[z, pz]py

= −i~ypx + i~xpy= i~Lz. (4.40)

Anche le regole di commutazione in Eq. (4.39) possono riscriversi in forma compatta utilizzandoil tensore di Levi-Civita

[Li, Lj] = i~∑k

εijkLk. (4.41)

L’Eq. (4.41) ci sta comunicando che non e possibile trovare degli autokets simultanei dei tre

operatori (Lx, Ly, Lz) in quanto essi non commutano. Tuttavia, a partire da essi e possibile



costruire un operatore che commuta con tutti e tre. Questo e l’operatore quadrato del mo-mento angolare

L2 = L · L = L2x + L2

y + L2z =

∑i

L2i . (4.42)

Risulta infatti

[L2, Lj] =∑i

[L2i , Lj] =

∑i

(Li[Li, Lj] + [Li, Lj]Li

)=∑ik

εijk(LiLk + LkLi). (4.43)

Poiche sotto lo scambio di i e k il tensore di Levi-Civita e antisimmetrico mentre la quantitain parentesi e simmetrica il risultato della somma e nullo. In conclusione

[L2, Lj] = 0. (4.44)

Quindi e possibile trovare degli autokets simultanei di L2 e di una delle tre componenti Lj.

Seguiamo la convenzione adottata da tutti e scegliamo Lz.

4.4 Autokets simultanei di L2 e Lz

Dal momento che L2 e Lz commutano e sono hermitiani essi ammettono una base comune diautovettori e hanno autovalori reali. Scriviamo gli autovalori di L2 come ~2l(l + 1) e quelli di

Lz come ~m. Si osservi che la costante di Planck ha le dimensioni di un momento angolareper cui le quantita incognite l(l + 1) ed m sono adimensionali. Al momento su l ed m non

possiamo dire assolutamente nulla tranne che sono numeri reali. Scrivere l’autovalore di L2

come ~2l(l+ 1) e, come vedremo, una pura comodita per la presentazione che segue. Avremmopotuto anche scriverlo come ~2√g, non sarebbe cambiato nulla, eccetto che troveremmo per gdelle condizioni molto meno eleganti che per l. I possibili valori di ~2l(l+1) e di ~2√g sarebberocomunque gli stessi.

Una prima condizione su l possiamo ottenerla osservando che gli autovalori di L2 non possonoessere negativi. Supponiamo per assurdo che L2 ammetta un autovalore ~2w con w < 0 e in-dichiamo con |w〉 il corrispondente autoket normalizzato a uno: L2|w〉 = ~2w|w〉. Moltiplicandoquesta equazione per il bra 〈w| troviamo

〈w|L2/~2|w〉 =∑i

〈w|L2i /~2|w〉 = w < 0. (4.45)

Se ora definiamo i kets |vi〉 = (Li/~)|w〉, essendo gli operatori Li hermitiani, abbiamo 〈vi| =

〈w|(Li/~). Quindi la disuguaglianza in Eq. (4.45) puo riscriversi come∑i

〈vi|vi〉 = w < 0 (4.46)

il che e assurdo in quanto il prodotto scalare tra un bra e il suo ket non puo essere negativo. Neconcludiamo che w ≥ 0. Un qualsiasi numero maggiore o uguale a zero puo ottenersi da l(l+1)scegliendo l ≥ 0. Quindi da ora in poi considereremo l come un numero reale non negativo.

Diamo anche un nome all’autoket simultaneo di L2 e Lz con autovalore rispettivamente~2l(l + 1) e ~m. Poiche l ed m identificano univocamente gli autovalori chiameremo |l,m〉 ilcorrispondente ket normalizzato a uno. Quindi

L2|l,m〉 = ~2l(l + 1)|l,m〉, Lz|l,m〉 = ~m|l,m〉, (4.47)


64 4.4. Autokets simultanei di L2 e Lz

e〈l,m|l,m〉 = 1. (4.48)

Dimostriamo ora che, ad l fissato, se ~m e un possibile autovalore di Lz allora anche ~(m+ 1)

e ~(m− 1) sono degli autovalori di Lz. A tal fine costruiamo gli operatori

L+ = Lx + iLy, L− = Lx − iLy = (L+)† (4.49)

Utilizzando le regole di commutazione in Eq. (4.39) troviamo

[Lz, L±] = [Lz, Lx ± iLy] = i~Ly ± i(−i~)Lx = ±~(Lx ± iLy) = ±~L±, (4.50)

e[L+, L−] = −i[Lx, Ly] + i[Ly, Lx] = 2~Lz. (4.51)

Bene, costruiamo ora il seguente ket

|Ψ±〉 ≡ L±|l,m〉. (4.52)

E questo ket un autoket di L2? E se si con quale autovalore? Scopriamolo.

L2|Ψ±〉 = L2L±|l,m〉 = L2(Lx ± iLy)|l,m〉 = (Lx ± iLy)L2|l,m〉 = ~2l(l + 1)L±|l,m〉

= ~2l(l + 1)|Ψ±〉. (4.53)

Quindi |Ψ±〉 e autoket di L2 con lo stesso autovalore del ket |l,m〉. Cosa dire riguardo Lz? E

|Ψ±〉 anche autoket di Lz? E se si con quale autovalore? Scopriamo anche questo. Tenendoconto della regola di commutazione in Eq. (4.50) abbiamo

Lz|Ψ±〉 = LzL±|l,m〉 =(

[Lz, L±] + L±Lz

)|l,m〉 =

(±~L± + ~mL±

)|l,m〉

= ~(m± 1)|Ψ±〉. (4.54)

Quindi |Ψ±〉 e autoket di Lz con autovalore ~(m± 1).

Essendo |Ψ±〉 autoket simultaneo di L2 e Lz con autovalore rispettivamente ~2l(l + 1) e~(m± 1) dobbiamo concludere che questo ket e proporzionale al ket |l,m± 1〉:

|Ψ±〉 = L±|l,m〉 = C±|l,m± 1〉. (4.55)

Per determinare la costante di normalizzazione possiamo utilizzare la condizione di normaliz-zazione in Eq. (4.48) valida per ogni l ed m. Avremo

|C±|2 = 〈l,m|(L±)†L±|l,m〉 = 〈l,m|L∓L±|l,m〉. (4.56)

Risulta

L∓L± = (Lx ∓ iLy)(Lx ± iLy) = L2x + L2

y ± i[Lx, Ly] = L2 − L2z ∓ ~Lz (4.57)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo riscritto L2x + L2

y come L2− L2z e utilizzato la prima regola

di commutazione in Eq. (4.39). Sostituendo questo risultato in Eq. (4.56) troviamo

|C±|2 = 〈l,m|L2 − L2z ∓ Lz|l,m〉 = ~2

[l(l + 1)−m2 ∓m

]= ~2 [l(l + 1)−m(m± 1)] . (4.58)



Pertanto l’Eq. (4.55) si scrive in modo esatto nel seguente modo

L±|l,m〉 = ~√l(l + 1)−m(m± 1) |l,m± 1〉. (4.59)

L’Eq. (4.58) impone dei vincoli sui possibili valori di m e l. Infatti se m > l la quantita

l(l + 1)−m(m+ 1) < 0, (4.60)

il che e impossibile essendo |C+|2 > 0. Similmente se m < −l la quantita

l(l + 1)−m(m− 1) = l(l + 1)− |m|(|m|+ 1) < 0, (4.61)

il che e impossibile essendo |C−|2 > 0. Quindi, ad l fissato, m deve essere compreso tra −l e l.Per m = l l’Eq. (4.59) implica che

L+|l, l〉 = ~√l(l + 1)− l(l + 1) |l, l + 1〉 = |∅〉. (4.62)

Quindi l’azione di L+ su |l, l〉 non genera un altro autoket, che e consistente con il fatto che mnon puo superare l. Similmente, per m = −l l’Eq. (4.59) implica che

L−|l,−l〉 = ~√l(l + 1) + l(−l − 1) |l,−l − 1〉 = |∅〉. (4.63)

Quindi l’azione di L− su |l,−l〉 non genera un altro autoket, che e consistente con il fatto che m

non puo essere inferiore a −l. Ora se m = −l e un possibile autovalore allora applicando L+ a|l,−l〉 generiamo un ket proporzionale a |l,−l+1〉, vedi Eq. (4.59). Applicando L+ a |l,−l+1〉generiamo un ket proporzionale a |l,−l + 2〉. Continuando ad applicare L+ dobbiamo neces-

sariamente arrivare al |l, l〉. Infatti, solo in questo modo l’azione di L+ riesce a interrompersi,vedi Eq. (4.62), e quindi solo in tal modo m non puo superare l. Cio implica che la differenzatra l e −l deve necessariamente essere un intero k:

l − (−l) = 2l = k ⇒ l =k

2. (4.64)

Ne concludiamo che i possibili autokets simultanei di L2 e Lz sono i kets |l,m〉 dove l e un

semi-intero e m = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l. E importante osservare che per arrivare a questaconclusione abbiamo esclusivamente usato le regole di commutazione in Eq. (4.39) e non laforma esplicita degli operatori momento angolare in Eq. (4.37). Come vedremo nelle prossimesezioni, nel caso degli operatori momento angolare in Eq. (4.37) saremo costretti a scartarealcuni dei possibili autovalori trovati. Teniamo pero presente che potrebbero esistere altrioperatori che soddisfano le stesse regole di commutazione di Eq. (4.39) ma non sono legati almomento angolare. Qualora questi operatori esitano sappiamo gia quale forma avrebbero i loropossibili autovalori e autokets.

4.5 Momento angolare in coordinate polari

L’operatore momento angolare e un osservabile e come tutte le osservabili agisce sullo spaziodi Hilbert H a cui appartengono i kets che descrivono la nostra particella in tre dimensioni.Dato un generico ket |Ψ〉 ∈ H vogliamo allora imparare a calcolare Li|Ψ〉. Come gia fatto nel


66 4.5. Momento angolare in coordinate polari

x

y

z

@

@

er

e

e

Figure 4.1:

caso dell’impulso, un possibile modo per fare questo calcolo e lavorare nella base degli autoketsdella posizione. Utilizzando Eq. (4.6) e la definizione dell’operatore Li in Eq. (4.38) avremo

〈r|Li|Ψ〉 =∑jk

εijk〈r|rj pk|Ψ〉 = −i~∑jk

εijkrj∂

∂rk〈r|Ψ〉 = −i~

∑jk

εijkrj∂

∂rkΨ(r), (4.65)

o in forma vettoriale

〈r|L|Ψ〉 = −i~ r×∇Ψ(r). (4.66)

Il calcolo della quantita a secondo membro e particolarmente piu semplice se lavoriamo incoordinate polari. Come vedremo queste coordinate sono particolarmente comode anche quandol’energia potenziale V dipenda solamente dal modulo del vettore r. In tali casi infatti laHamiltoniana e invariante sotto rotazioni, ossia H si scrive nel medesimo modo sia che usiamole coordinate x, y, z del nostro sistema S sia che usiamo le coordinate x′, y′, z′ di un sistemaS ′ ruotato arbitrariamente rispetto a S in quanto |r| = |r′| e ∇ · ∇ = ∇′ · ∇′ dove ∇′ =( ∂∂x′, ∂∂y′, ∂∂z′

). Questo tipo di potenziali vengono detti potenziali centrali e avremo modo di

approfondirli in seguito.

In coordinate polari ogni punto dello spazio viene rappresentato da un vettore le cui coor-dinate non sono il prodotto scalare del vettore con la terna di versori cartesiani ex, ey, ez macon la terna di versori polari er, eθ e eφ. I versori polari sono tra loro ortogonali, proprio comeex, ey, ez, ma la loro direzione dipende dal punto che si sceglie come origine, vedi Figura 4.1. Il



versore radiale er ha le seguenti componenti nel sistema cartesiano x, y, z:

er =

sin θ cosφsin θ sinφ

cos θ

= sin θ cosφ ex + sin θ sinφ ey + cos θez. (4.67)

Il versore eθ puo ottenersi dal versore er aumentando l’angolo θ di 90 gradi: θ → θ + π/2. Ilversore eφ puo invece ottenersi dal versore er ponendo θ = π/2 (il versore eφ e indipendente daθ) e poi aumentando l’angolo φ di 90 gradi: φ→ φ+π/2. Tenendo conto che sin(θ+ π

2) = cos θ

e cos(θ + π2) = − sin θ abbiamo quindi

eθ =

cos θ cosφcos θ sinφ− sin θ

eφ =

− sinφcosφ

0

(4.68)

La comodita di questo sistema di riferimento e che un generico vettore r di modulo r puosemplicemente scriversi come

r = r er. (4.69)

Veniamo ora al gradiente. In coordinate cartesiane esso e

∇ = ex∂

∂x+ ey

∂

∂y+ ez

∂

∂z. (4.70)

In coordinate polari dovremo semplicemente rimpiazzare i versori ex, ey, ez con er, eθ, eφ e poirimpiazzare gli incrementi infinitesimi ∂x, ∂y, ∂z lungo le direzioni ex, ey, ez con gli incrementiinfinitesimi, che ora determineremo, lungo le direzioni er, eθ e eφ. Indichiamo con r = r er ungenerico punto nello spazio. A seguito di una variazione ∂r del modulo r, di una variazione ∂θdell’angolo θ e di una variazione ∂φ dell’angolo φ il nuovo punto si trovera in

r′ = r + er ∂r + eθ r∂θ + eφ r sin θ∂φ. (4.71)

Quindi l’incremento infinitesimo lungo er e ∂r, l’incremento infinitesimo lungo eθ e r∂θ el’incremento infinitesimo lungo eφ e r sin θ∂φ. Il gradiente in coordinate polari si scrive dunquecosı

∇ = er∂

∂r+

eθr

∂

∂θ+

eφr sin θ

∂

∂φ. (4.72)

Siamo ora pronti a esprimere l’operatore differenziale r×∇ in coordinate polari. Avremo

r×∇ = r er ×(

er∂

∂r+

eθr

∂

∂θ+

eφr sin θ

∂

∂φ

). (4.73)

Utilizzando la regola della mano destra abbiamo er × er = 0, er × eθ = eφ e er × eφ = −eθ.Quindi

r×∇ = eφ∂

∂θ− eθ

sin θ

∂

∂φ. (4.74)

Da questa equazione possiamo facilmente estrarre le componenti x, y e z da inserire nell’equazione



vettoriale Eq. (4.66). Tenendo conto di Eq. (4.68) avremo

〈r|Lx|Ψ〉 = −i~(− sinφ

∂

∂θ− cotgθ cosφ

∂

∂φ

)Ψ(r), (4.75)

〈r|Ly|Ψ〉 = −i~(

cosφ∂

∂θ− cotgθ sinφ

∂

∂φ

)Ψ(r), (4.76)

〈r|Lz|Ψ〉 = −i~∂

∂φΨ(r). (4.77)

L’altro operatore la cui azione abbiamo interesse a valutare e l’operatore L2. Anche inquesto caso la sua azione su un generico ket dello spazio di Hilbert si semplifica se lavoriamoin coordinate polari. Tenendo conto di Eq. (4.66) abbiamo

〈r|L2|Ψ〉 = 〈r|L · L|Ψ〉 = −~2 (r×∇) · (r×∇) Ψ(r)

= −~2

(eφ

∂

∂θ− eθ

sin θ

∂

∂φ

)·(

eφ∂

∂θ− eθ

sin θ

∂

∂φ

)Ψ(r)

= −~2

(eφ ·

∂eφ∂θ

∂

∂θ+

∂2

∂θ2− eφ ·

∂eθ∂θ

1

sin θ

∂

∂φ

− eθsin θ

∂eφ∂φ

∂

∂θ+

eθsin2 θ

· ∂eθ∂φ

∂

∂φ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)Ψ(r). (4.78)

Si osservi che le derivate dei versori polari non sono nulle in quanto essi, come precedentementeosservato, dipendono dal punto che si sceglie come origine. Utilizzando l’Eq. (4.68) possiamocalcolare agevolmente queste derivate. Risulta

∂eφ∂θ

=∂

∂θ

− sinφcosφ

0

=

000

, (4.79)

∂eφ∂φ

=∂

∂φ

− sinφcosφ

0

=

− cosφ− sinφ

0

, (4.80)

∂eθ∂θ

=∂

∂θ


=

− sin θ cosφ− sin θ sinφ− cos θ

, (4.81)

∂eθ∂φ

=∂

∂φ


=

− cos θ sinφcos θ cosφ

0

, (4.82)

da cui possiamo valutare i prodotti scalari che compaiono in Eq. (4.78):

eφ ·∂eφ∂θ

= 0 eφ ·∂eθ∂θ

= 0 eθ ·∂eφ∂φ

= − cos θ eθ ·∂eθ∂φ

= 0. (4.83)

La maggior parte dei prodotti scalari e zero. Sostituendo questi risultati in Eq. (4.78) arriviamoalla formula finale

〈r|L2|Ψ〉 = −~2

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)Ψ(r). (4.84)



I risultati in Eqs. (4.75-4.77) e Eq. (4.84) ci permettono di valutare l’azione dell’operatoremomento angolare nella base degli autokets della posizione.

4.5.1 Armoniche sferiche

Lo scopo di questa sezione e calcolare le autofunzioni del momento angolare, vale a dire iprodotti scalari 〈r|l,m〉. Moltiplicando le Eqs. (4.47) a sinistra per il bra 〈r| e tenendo contodei risultati precedenti avremo

〈r|L2|l,m〉 = −~2

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)〈r|l,m〉 = ~2l(l + 1)〈r|l,m〉, (4.85)

〈r|Lz|l,m〉 = −i~ ∂

∂φ〈r|l,m〉 = ~m〈r|l,m〉. (4.86)

Similmente moltiplicando le Eqs. (4.59) a sinistra per il bra 〈r| e tenendo conto dei risultatiprecedenti avremo

〈r|L±|l,m〉 = 〈r|Lx ± iLy|l,m〉

= −i~[(− sinφ± i cosφ)

∂

∂θ− cotgθ(cosφ± i sinφ)

∂

∂φ

]〈r|l,m〉

= ±~ e±iφ

[∂

∂θ± icotgθ

∂

∂φ

]〈r|l,m〉 = ~

√l(l + 1)−m(m± 1) 〈r|l,m± 1〉.

(4.87)

Da tutte queste equazioni vediamo immediatamente che la coordinata radiale r e una vari-abile spettatrice in quanto negli operatori differenziali compaiono solamente gli angoli θ e φ.Cerchiamo allora una soluzione della forma

〈r|l,m〉 = R(r)Yl,m(θ, φ). (4.88)

Sostituendo questa forma di 〈r|l,m〉 nelle Eqs. (4.85), (4.86) e (4.87) la funzione radiale R(r) sisemplifica e otteniamo delle equazioni per le funzioni Yl,m(θ, φ) che dipendono solo dagli angoli

−(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)Yl,m(θ, φ) = l(l + 1)Yl,m(θ, φ), (4.89)

−i∂

∂φYl,m(θ, φ) = mYl,m(θ, φ), (4.90)

±e±iφ

[∂

∂θ± icotgθ

∂

∂φ

]Yl,m(θ, φ) =

√l(l + 1)−m(m± 1)Yl,m±1(θ, φ). (4.91)

Osserviamo che se Yl,m(θ, φ) soddisfa queste equazioni allora la funzione 〈r|l,m〉 in Eq. (4.88)soddisfa le Eqs. (4.85), (4.86) e (4.87) per qualsiasi funzione radiale R. Questo significa che

esistono infiniti autokets con gli stessi autovalori di L2 e Lz nello spazio di Hilbert H dellanostra particella in tre dimensioni. Per distinguerli dovremmo aggiungere al ket |l,m〉 unulteriore indice, che possiamo indicare con n, che tiene conto della degenerazione:

|l,m〉 → |n, l,m〉. (4.92)



Per ogni diverso n il prodotto scalare 〈r|n, l,m〉 = Rn,l,m(r)Yl,m(θ, φ) dara origine ad unafunzione radiale diversa, e se gli autokets degeneri li scegliamo tra loro ortonormali alloral’insieme delle funzioni Rn,l,m(r)Yl,m(θ, φ) costituira una base ortonormale per espandere unaqualsiasi funzione d’onda Ψ(r). La scelta piu consona delle funzioni radiali dipendera dalproblema in esame e al momento a noi non interessa. Immaginiamo quindi di aver fissato laparte radiale di tutti i prodotti scalari 〈r|l,m〉 e soffermiamoci sulla parte angolare. Di seguitovogliamo infatti trovare la forma esplicita delle funzioni Yl,m(θ, φ), dette anche armonichesferiche.

La soluzione di Eq. (4.90) e molto semplice in quanto l’operatore differenziale non dipendeda θ, ossia θ e una variabile spettatrice. Quindi cerchiamo, come gia fatto in Eq. (4.88), unasoluzione che e il prodotto di una funzione dipendente da θ e di una funzione dipendente da φ:

Yl,m(θ, φ) = Θl,m(θ)fm(φ). (4.93)

Sostituendo in Eq. (4.90) vediamo che la funzione Θl,m(θ) si semplifica e otteniamo un’equazionedifferenziale per fm:

−i∂

∂φfm(φ) = mfm(φ), (4.94)

la cui soluzione piu generale e banalmente

fm(φ) = Bmeimφ, (4.95)

con Bm una arbitraria costante complessa. Si osservi che affinche fm(φ) = fm(φ + 2π), con-dizione necessaria per la continuita della funzione d’onda, l’indice m non puo essere semi-intero.Partanto, tra tutti i possibili autovalori di L2 e Lz discussi in Eq. (4.64) dobbiamo manteneresolo quelli per cui l e intero, in modo che m sia automaticamente intero. L’intero m dellearmoniche sferiche viene detto numero quantico azimutale.

Ora che abbiamo determinato la forma di fm passiamo a determinare la forma di Θl,m. Perm = l l’Eq. (4.91) con il segno + ci dice che

eiφ

[∂

∂θ+ icotgθ

∂

∂φ

]Yl,l(θ, φ) = 0. (4.96)

Sostituendo a Yl,l la forma in Eq. (4.93), eseguendo la derivata rispetto a φ e semplificandootteniamo un’equazione differenziale per la funzione Θl,l(θ)[

∂

∂θ− l cotgθ

]Θl,l(θ) = 0. (4.97)

Anche questa equazione puo essere facilmente risolta. Dividendo tutto per (sin θ)l abbiamo

1

(sin θ)l∂Θl,l(θ)

∂θ− lcos θΘl,l(θ)

(sin θ)l+1=

∂

∂θ

(Θl,l(θ)

(sin θ)l

)= 0, (4.98)

la cui soluzione piu generale eΘl,l(θ) = Al(sin θ)

l, (4.99)

con Al una arbitraria costante complessa. In conclusione l’armonica sferica Yl,l(θ, ϕ) puoscriversi come

Yl,l(θ, ϕ) = Cl(sin θ)leilφ, (4.100)



dove abbiamo definito Cl = AlBl. La costante Cl viene tipicamente fissata imponendo chel’integrale sull’angolo solido del modulo quadro dell’armonica sferica faccia 1:∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ|Yl,l(θ, φ)|2 = 1. (4.101)

Da ora in poi denoteremo l’integrale sull’angolo solido nel seguente modo∫dΩ ≡

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ. (4.102)

Ad esempio per l = 0 si trova ∫dΩ |Y0,0(θ, φ)|2 = |C0|2 4π, (4.103)

e quindi

C0 =1√4π, (4.104)

mentre per l = 1 si strova∫dΩ |Y1,1(θ, φ)|2 = |C1|2 2π

∫ π

0

dθ(sin θ)3 = |C1|28π

3(4.105)

e quindi

C1 =

√3

8π. (4.106)

Una volta nota Yl,l possiamo generare tutte le altre armoniche sferiche utilizzando l’Eq. (4.91)con il segno −. Ad esempio, possiamo generare Y1,0 a partire da Y1,1. Ponendo infatti m = l = 1in Eq. (4.91) troviamo

−e−iφ

[∂

∂θ− icotgθ

∂

∂φ

]Y1,1(θ, φ) =

√2Y1,0(θ, φ), (4.107)

e utilizzando la forma esplicita appena ottenuta di Y1,1

Y1,0(θ, φ) = − 1√2

√3

8πe−iφ(cos θ + cos θ)eiφ = −

√3

4πcos θ. (4.108)

Una volta nota Y1,0 possiamo poi generare Y1,−1 utilizzando nuovamente l’Eq. (4.91) con il segno− e ponendo m = 0:

−e−iφ

[∂

∂θ− icotgθ

∂

∂φ

]Y1,0(θ, φ) =

√2Y1,−1(θ, φ), (4.109)

da cui

Y1,−1(θ, φ) =1√2

√3

4πe−iφ(− sin θ) = −

√3

8πsin θ e−iφ. (4.110)

Un’ultima importante osservazione. La normalizzazione a 1 delle armoniche sferiche Yl,l ciconsente di derivare una relazione di ortonormalita tra tutte le armoniche sferiche. Infatti,



essendo i kets |l,m〉 tutti ortonormali abbiamo

δl,l′δm,m′ = 〈l,m|l′,m′〉 =

∫d3r〈l,m|r〉〈r|l′,m′〉

=

∫ ∞0

dr r2|R(r)|2∫dΩ Y ∗l,m(θ, φ)Yl′,m′(θ, φ), (4.111)

dove nella seconda uguaglianza abbiamo utilizzato la risoluzione dell’identita nello spazio dellecoordinate. Per l = l′ em = m′ = l l’integrale sull’angolo solido vale 1 e quindi l’integrale radialedeve anch’esso valere 1:

∫∞0dr r2|R(r)|2 = 1. Sostituendo questo risultato nell’Eq. (4.111)

troviamo la relazione di ortonormalita cercata∫dΩY ∗l,m(θ, φ)Yl′,m′(θ, φ) = δl,l′δm,m′ . (4.112)

4.5.2 Laplaciano in coordinate polari

Come visto in Eq. (4.15), l’equazione di Schrodinger per una particella in tre dimensioni contienel’operatore differenziale Laplaciano. Vogliamo qui derivare l’espressione del Laplaciano ∇2

in coordinate polari e dimostrare un’importante relazione tra ∇2 e l’operatore differenzialeche rappresenta L2, vedi Eq. (4.85). Dall’espressione del gradiente in coordinate polari, vediEq. (4.72), abbiamo

∇2 = ∇ ·∇ =

[er∂

∂r+

1

r

(eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

)]·[er∂

∂r+

1

r

(eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

)]. (4.113)

Il calcolo che dobbiamo eseguire e molto simile al calcolo che abbiamo gia eseguito per valutarel’azione di L2 in Eq. (4.78). Poiche i versori polari non dipendono da r la loro derivata rispettoa r e nulla. Quindi, utilizzando l’ortogonalita tra i versori otteniamo una prima semplificazione

∇2 =∂2

∂r2+

[1

r

(eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

)]·[er∂

∂r+

1

r

(eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

)]. (4.114)

Andiamo adesso a calcolare le derivate del versore radiale rispetto agli angoli. Da Eq. (4.67)abbiamo

∂er∂θ

=∂

∂θ


cos θ

=


, (4.115)

∂er∂φ

=∂

∂φ


cos θ

=

− sin θ sinφsin θ cosφ

0

, (4.116)

da cui seguono i prodotti scalari, vedi Eq. (4.68),

eθ ·∂er∂θ

= 1, eφ ·∂er∂φ

= sin θ. (4.117)

Sfruttando nuovamente l’ortogonalita dei versori l’Eq. (4.114) diventa

∇2 =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

1

r2

(eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

)·(

eθ∂

∂θ+

eφsin θ

∂

∂φ

). (4.118)



Utilizzando ora le Eqs. (4.79), (4.80), (4.81) e (4.82) per i versori angolari possiamo agevolmentecalcolare gli altri prodotti scalari

eθ ·∂eθ∂θ

= 0, eθ ·∂eφ∂θ

= 0, eφ ·∂eθ∂φ

= cos θ, eφ ·∂eφ∂φ

= 0, (4.119)

e finalmente ottenere

∇2 =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

1

r2

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

). (4.120)

L’operatore differenziale in parentesi tonda coincide proprio con l’operatore che rappresenta L2,confronta Eq. (4.85), a parte un fattore −~2. Definendo allora la parte angolare del Laplacianocome

∇2Ω ≡

(∂2

∂θ2+ cotgθ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

), (4.121)

possiamo ad esempio riscrivere l’Eq. (4.89) nel seguente modo

−~2∇2Ω Yl,m(θ, φ) = ~2l(l + 1)Yl,m(θ, φ). (4.122)

Infine osserviamo che∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r=

1

r

∂2

∂r2r, (4.123)

e quindi possiamo riscrivere il Laplaciano in coordinate polari in una forma piu compatta

∇2 =1

r

∂2

∂r2r +

1

r2∇2

Ω. (4.124)

4.6 Potenziale centrale

Consideriamo l’equazione di Schrodinger agli autovalori, vedi Eq. (4.17), nel caso di un poten-ziale centrale V (r) = V (r). Tenendo conto del risultato in Eq. (4.124) avremo

− ~2

2m

1

r

∂2(rϕ(r))

∂r2− ~2

2mr2∇2

Ωϕ(r) + V (r)ϕ(r) = Eϕ(r). (4.125)

Questa e un’equazione differenziale alle derivate parziali per una funzione incognita che dipendeda r. Possiamo semplificare il problema lavorando in coordinate polari. Cerchiamo unasoluzione della forma

ϕ(r) = R(r)Yl,m(θ, φ). (4.126)

Tenendo conto di Eq. (4.122) l’equazione di riduce ad un’equazione differenziale per la solafunzione R(r):

− ~2

2m

1

r

∂2(rR(r))

∂r2+

(~2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

)R(r) = ER(r). (4.127)

E interessante osservare che abbiamo generato un potenziale effettivo

Veff(r) =~2l(l + 1)

2mr2+ V (r) (4.128)


74 4.7. Atomo di idrogeno

dato dalla somma del potenziale centrale V (r) e del potenziale centrifugo. Tale risultato non eaffatto sorprendente. Infatti la funzione d’onda in Eq. (4.126) e un’autofunzione del momentoangolare, e quindi descrive una particella con momento angolare ben preciso. Classicamenteuna particella di momento angolare ~l a distanza r dall’origine ha una velocita v = ~l

mre

dunque un’energia cinetica T = m2v2 = ~2l2

2mr2 . Anche classicamente il potenziale centrifugonasce dall’energia cinetica. L’unica differenza rispetto al caso classico e che l2 → l(l + 1). Taledifferenza tuttavia e trascurabile per l molto grandi, quali sono quelli di oggetti macroscopici.

Le soluzioni di Eq. (4.127) forniscono le autofunzioni del problema iniziale una volta che lafunzione radiale viene moltiplicata per l’armonica sferica Yl,m. Andiamo allora a lavorare suquesta equazione. Moltiplicandola per r e definendo

χ(r) = rR(r) (4.129)

otteniamo

− ~2

2m

∂2χ(r)

∂r2+

(~2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

)χ(r) = Eχ(r). (4.130)

Questa equazione va risolta per tutti gli l interi, e per ogni l intero troveremo una serie diautovalori En,l e rispettive autofunzioni χn,l. Sia gli autovalori che le autofunzioni dipendonoovviamente dalla natura del potenziale centrale V (r). Nella prossima Sezione considereremo ilcaso del potenziale Coulombiano.

4.7 Atomo di idrogeno

Consideriamo un elettrone di carica −e immerso nel potenziale generato da una carica positivaZe posta nell’origine delle coordinate. L’energia potenziale e allora quella Coulombiana ed edata da

V (r) = −Ze2

r. (4.131)

Trovare le autofunzioni di Eq. (4.130) con il potenziale centrale in Eq. (4.131) significa trovarele autofunzioni dell’elettrone in un atomo di idrogeno quando Z = 1, in uno ione d’elio quandoZ = 2, in un dicatione di litio quando Z = 3 etc. Stiamo quindi per risolvere un problemadi estrema importanza in quanto gli atomi sono i costituenti della materia che ci circonda el’atomo di idrogeno e il piu semplice tra essi.

Nel caso di energia potenziale Coulombiana il potenziale effettivo in Eq.(4.128) e dato da

Veff(r) =~2l(l + 1)

2mer2− Ze2

r, (4.132)

dove abbiamo denotato con me la massa dell’elettrone. Questo potenziale parte da +∞ perr = 0, decresce al crescere di r fino a raggiungere un minimo pari a Vmin = − Z2e4me

2~2l(l+1)< 0

in r = ~2Ze2l(l+1)me

, poi inizia a ricrescere restando sempre negativo, e tende a zero quandor → ∞. Classicamente quindi l’elettrone rimane legato se la sua energia e minore di zero.Quantisticamente, se l’energia e minore di zero possiamo avere degli stati legati, come quellidiscussi in Sezione 3.2. Siamo particolarmente interessati a questa evenienza in quanto se lateoria non prevedesse stati legati allora non potremmo nemmeno spiegare la stabilita dell’atomopiu semplice che esiste in natura, e tutto lo sforzo sinora fatto andrebbe cestinato. Studiamoquindi se esistono soluzioni di energia E = −|E| < 0.



Dividiamo l’Eq. (4.130) per |E|:

− ~2

2me|E|∂2χ(r)

∂r2+

(~2l(l + 1)

2me|E|r2− Ze2

|E|r

)χ(r) = −χ(r). (4.133)

Per non portarci dietro troppe costanti definiamo

κ2 ≡ 2me|E|~2

> 0 (4.134)

e la coordinata adimensionaleρ ≡ κr. (4.135)

Allora l’Eq. (4.133) diventa

∂2χ

∂ρ2+

(−1− l(l + 1)

ρ2+Ze2κ

|E|ρ

)χ = 0. (4.136)

Infine, sempre per comodita, definiamo anche la costante

α ≡ Ze2κ

|E| =2meZe

2

~2κ, (4.137)

e riscriviamo l’Eq. (4.136) in termini di α

∂2χ

∂ρ2+

(−1− l(l + 1)

ρ2+α

ρ

)χ = 0. (4.138)

Prendiamo le misure a questa equazione differenziale studiando come si comporta nei due casilimite ρ → 0 e ρ → ∞. Per ρ → 0 il contributo dominante in parentesi tonda e quello delpotenziale centrifugo e possiamo approssimare l’equazione come

∂2χ

∂ρ2− l(l + 1)

ρ2χ = 0. (4.139)

Questa e un’equazione differenziale di Eulero in quanto se ρ→ λρ l’equazione non cambia. Lesoluzioni dell’equazione di Eulero sono funzioni della forma χ = ρq. E immediato verificare chese

q(q − 1)− l(l + 1) = 0, (4.140)

e quindi se q = l + 1 oppure q = −l, allora χ = ρq e una soluzione. Quindi la soluzione piugenerale quando ρ→ 0 e

χ = a1ρl+1 + a2ρ

−l, (4.141)

con a1 e a2 costanti arbitrarie. Ricordando che la funzione radiale e R(r) = χ/r, vediEq. (4.129), se a2 fosse diverso da zero allora per piccoli r avremmo R(r) = a2κ

−lr−l−1, chediverge nell’origine per ogni l ≥ 0. Funzioni divergenti non sono continue; pertanto non ap-partengono allo spazio di Hilbert e vanno scartate. Ne concludiamo che per piccoli ρ

χ = a1ρl+1. (4.142)

Veniamo ora all’altro caso limite ρ → ∞. In tal caso gli ultimi due termini nella parentesi diEq. (4.138) tendono a zero e l’equazione puo approssimarsi come

∂2χ

∂ρ2− χ = 0. (4.143)



la cui soluzione piu generale eχ = b1e

ρ + b2e−ρ. (4.144)

Di nuovo occorre limitare la generalita di questa soluzione in quanto se b1 fosse diversa dazero la funzione d’onda divergerebbe in modo esponenziale e la condizione in Eq. (4.20) nonpotrebbe essere soddisfatta. Ne concludiamo che per grandi ρ

χ = b2e−ρ. (4.145)

Alla luce dei comportanti asintotici appena discussi cerchiamo delle soluzioni valide per tuttii ρ aventi la forma

χ = e−ρρl+1

∞∑q=0

cqρq = e−ρ

∞∑q=0

cqρq+l+1, (4.146)

dove i coefficienti cq sono ovviamente da determinare. Inserendo questa espressione in Eq. (4.138)troviamo

e−ρ∞∑q=0

cqρq+l+1

(1− 2(q + l + 1)ρ−1 + (q + l + 1)(q + l)ρ−2 − 1− l(l + 1)ρ−2 + αρ−1

)= e−ρ

∞∑q=0

cqρq+l [α− 2(q + l + 1)] + e−ρ

∞∑q=0

cqρq+l−1 [(q + l + 1)(q + l)− l(l + 1)] = 0

(4.147)

Nella seconda somma il termine con q = 0 e nullo. Possiamo allora far partire la secondasomma da q = 1. Scrivendo poi l’indice q = q′ + 1 in modo che la somma su q′ parta da zero erinominando poi q′ con q troviamo

e−ρ∞∑q=0

ρq+l (αcq − 2(q + l + 1)cq + (q + l + 2)(q + l + 1)cq+1 − l(l + 1)cq+1) = 0. (4.148)

Affinche tale equazione possa essere soddisfatta i coefficienti di tutte le potenze di ρ devonoessere nulli. Quindi

[2(q + l + 1)− α]cq = [(q + l + 2)(q + l + 1)− l(l + 1)]cq+1

= [(l + q + 1)(l + 1 + q + 1)− l(l + 1)]cq+1

= [(q + 1)(q + 2l + 2)]cq+1. (4.149)

Troviamo cosı un equazione ricorsiva

cq+1 =2(q + l + 1)− α

(q + 1)(q + 2l + 2)cq (4.150)

che ci consente di determinare tutti i coefficienti in termini di c0. Infatti

c1 =2(0 + l + 1)− α

(0 + 1)(0 + 2l + 2)c0 =

2(l + 1)− α2(l + 1)

c0

c2 =2(1 + l + 1)− α

(1 + 1)(1 + 2l + 2)c1 =

2(l + 2)− α2(2l + 3)

× 2(l + 1)− α2(l + 1)

c0

. . . (4.151)



e cosı via. Si osservi che ad eccezione di c0, che possiamo fissare in seguito con una opportunanormalizzazione, gli altri coefficienti dipendono da α che a sua volta dipende dall’energia E, vediEq. (4.137). Quindi per ogni energia E l’Eq. (4.150) genera dei coefficienti cq(E) che inseritiin Eq. (4.146) danno luogo ad una funzione χE, e quindi all’autofunzione radiale RE = χE/r.Resta da capire se possiamo accettare tutte queste soluzioni o se alcune di esse vanno scartatein quanto non appartenenti allo spazio di Hilbert. Una delle condizioni per appartenere allospazio di Hilbert e che valga l’Eq. (4.20). Andiamo allora a studiare il comportamento dellafunzione χ nel limite di grandi ρ. In tal caso la funzione e dominata dalle potenze ρq+l+1 conq 1. Per q molto grandi il sistema ricorsivo puo approssimarsi come

cq+1 =2

qcq =

22

q(q − 1)cq−1 = . . . = c0

2q

q!. (4.152)

Quindi, per ρ molto grandi la funzione χ si comporta come

χ = c0e−ρ

∞∑q=0

2q

q!ρq+l+1 = c0ρ

l+1e−ρ∞∑q=0

(2ρ)q

q!= c0ρ

l+1eρ, (4.153)

ossia diverge esponenzialmente. Cio significa che la funzione radiale R = χ/r non appartieneallo spazio di Hilbert! L’unico modo affinche χ possa generare una funzione radiale appartenenteallo spazio di Hilbert e che per qualche q il coefficiente cq si annulla. In tal caso infatti siannullerebbero tutti i coefficienti cm con m > q e quindi la somma in Eq. (4.146) si arresterebbealla potenza ρq+l. Ma quali condizioni devono verificarsi affinche cio accada? Da Eq. (4.150)vediamo che questo puo accadere se α e un intero pari. Vediamolo in dettaglio. Supponiamoche

α = 2n. (4.154)

In tal caso se imponiamo al momento angolare di soddisfare l + 1 ≤ n, e quindi

l ≤ n− 1, (4.155)

potremo generare una funzione χ il cui ultimo coefficiente e quello con q = n− l− 1. Il numerointero n viene detto numero quantico principale.

Riassumendo, le uniche autofunzioni radiali che appartengono allo spazio di Hilbert hannola forma

Rn,l(r) =χn,l(r)

r(4.156)

dove

• il numero quantico principale n puo assumere tutti i valori interi positivi: n = 1, 2, . . . ,∞• Ad n fissato, il numero quantico l del momento angolare puo assumere i valori l =

0, 1, . . . , n− 1

• χn,l e la funzione in Eq. (4.146) i cui coefficienti soddisfano il sistema ricorsivo di Eq. (4.150)con α = 2n (e pertanto tutti i coefficienti cq con q > n− l − 1 sono nulli).

L’autovalore E associato alle autofunzioni radiali e l’energia per cui α soddisfa Eq. (4.154),e quindi dipendera da n: E = En. Da Eq. (4.137) avremo

2n =2meZe

2

~2κ=

√2meZe

2

~√|En|

⇒ En = −meZ2e4

2n2~2. (4.157)



Le En sono proprio le energie degli stati legati e vengono anche dette energie dei livelliatomici. L’energia dello stato fondamentale si ottiene ponendo n = 1 e vale

E1 = −meZ2e4

2~2= −Z2 × 13.6 eV. (4.158)

Le energie degli stati legati En = E1/n2 sono correttamente tutte negative e tendono ad accumu-

larsi al crescere di n. Inoltre, come nel caso dei problemi unidimensionali, esse sono quantizzate.Le autofunzioni della Hamiltoniana aventi come autovalore En sono, vedi Eq. (4.126),

ϕn,l,m(r) = Rn,l(r)Yl,m(θ, φ). (4.159)

Queste funzioni vengono anche chiamate orbitali. Dal momento che l’intero m puo assumere2l + 1 valori e l = 0, 1, . . . , n− 1, la degenerazione Dn dell’autovalore En e

Dn =n−1∑l=0

(2l + 1) = 2n(n− 1)

2+ n = n2. (4.160)

Un’annotazione sulla nomenclatura. Per valori piccoli del momento angolare l si usa alter-nativamente parlare di orbitali s se l = 0, orbitali p se l = 1, orbitali d se l = 2 e orbitali f sel = 3. Quindi lo stato fondamentale dell’atomo di idrogeno viene anche chiamato stato 1s, glistati legati del secondo livello vengono chiamati stati 2s e 2p, quelli del terzo livello vengonochiamati stati 3s, 3p e 3d e cosı via.

I risultati ottenuti in questa sezione sono di straordinaria importanza. Essi infatti dimostranoche la meccanica quantistica e in grado di spiegare uno dei misteri piu grandi dell’universo, ossiala stabilita della materia. Prima dell’avvento della meccanica quantistica non era possibilespiegare nemmeno la stabilita di un sistema semplice come l’atomo di idrogeno. Classicamenteinfatti l’elettrone non potrebbe orbitare infinitamente attorno al nucleo. Essendo una particellacarica esso irraggerebbe luce essendo il suo moto accelerato. Irraggiando luce perderebbe energiafino a collassare sul nucleo. La visione quantistica dell’universo non utilizza posizione e impulsoper descrivere le particelle ma funzioni d’onda. E se l’elettrone si trova in una autofunzionedella Hamiltoniana allora i valori medi di tutte le osservabili sono indipendenti dal tempo, vedidiscussione sotto Eq. (1.153). Dunque tutto e stazionario, fermo, e non vi puo essere nessunirraggiamento.

4.7.1 Derivazione semiclassica dei livelli idrogenoidi

Classicamente un elettrone che si trova ad una distanza r da un nucleo di carica Ze e ha unavelocita in modulo pari a v possiede un’energia

E = T + V =1

2mev

2 − Ze2

r. (4.161)

Affinche l’elettrone possa orbitare attorno al nucleo la forza di attrazione Coulombiana F1 =Ze2/r2 deve essere pari alla forza centrifuga F2 = mev

2/r. Da questa uguaglianza e immediatoricavare

mev2 =

Ze2

r, (4.162)

che sostituita in Eq. (4.161) fornisce

E = −1

2

Ze2

r. (4.163)



Assumiamo ora che sia quantizzato il momento angolare, ossia che mevr = n~. Da Eq. (4.162)segue allora che

v2 =Ze2

mer=n2~2

m2er

2⇒ 1

r=meZe

2

n2~2. (4.164)

Sostituendo in Eq. (4.163) troviamo

E = En = −meZ2e4

2n2~2. (4.165)

che coincide con Eq. (4.157).

4.7.2 Funzioni radiali

Vogliamo ora dare uno sguardo piu da vicino alle funzioni radiali dei primi livelli atomici.Abbiamo

Rn,l(r) =χn,l(r)

r= e−κr

n−l−1∑q=0

cq κq+l+1 rq+l. (4.166)

Osserviamo che i coefficienti cq dipendono da n e l poiche essi vengono determinati dal sistemaricorsivo di Eq. (4.150) in cui appare sia l che α = 2n. Similmente il coefficiente κ dipende dan poiche esso si scrive in termini di E = En, quindi

κ =

√2me|En|~

=

√2m2

eZ2e4

2n2~2

1

~=meZe

2

n~2=

Z

naB

, (4.167)

dove abbiamo introdotto il raggio di Bohr

aB ≡~2

mee2= 0.5× 10−10m. (4.168)

Poiche κ compare nell’esponenziale della funzione radiale la quantita aB/Z ci da una stima diquanto estesa tale funzione sia. Si osservi che l’energia dei livelli atomici puo scriversi in terminidel raggio di Bohr come

En = − Z2e2

2aBn2. (4.169)

Per n = 1 l’Eq. (4.166) fornisce

R1,0(r) = c0

(Z

aB

)e−ZraB . (4.170)

Il coefficiente c0 possiamo determinarlo imponendo che la funzione d’onda totale ϕn,l,m sianormalizzata a uno. Poiche abbiamo normalizzato a uno le armoniche sferiche la condizione dinormalizzazione sara

1 = |c0|2(Z

aB

)2 ∫ ∞0

dr r2e−2Zr

aB = |c0|2aB

Z

∫ ∞0

dx x2e−2x =|c0|2

8

aB

ZΓ(3) =

|c0|24

aB

Z, (4.171)

dove abbiamo riconosciuto la funzione Gamma di Eulero, vedi Appendice C. Pertanto

R1,0(r) = 2

(Z

aB

)3/2

e−ZraB . (4.172)



Quindi la funzione radiale dello stato fondamentale e un semplice esponenziale.Consideriamo ora il numero quantico principale n = 2. In tal caso possiamo avere l = 0

oppure l = 1. Per l = 0 il sistema ricorsivo fornisce

c1 =2− 4

2c0 = −c0, (4.173)

e quindi

R2,0(r) = c0

(Z

2aB

)e− Zr

2aB

(1− Zr

2aB

). (4.174)

Al solito il coefficiente c0 va determinato con la normalizzazione ed e facile dimostrare chec0 =

√2Z/aB. Pertanto

R2,0(r) =

(Z

2aB

)3/2

e− Zr

2aB

(2− Zr

aB

). (4.175)

Si osservi che questa funzione radiale ha uno zero in r = 2aB/Z. Cio significa che esiste unadistanza speciale dall’origine a cui la probabilita di trovare l’elettrone e nulla. Per l = 1 invecel’unico coefficiente diverso da zero e il primo e pertanto

R2,1(r) = c0

(Z

2aB

)2

e− Zr

2aB r, (4.176)

e dalla condizione di normalizzazione si trova facilmente c0 =√

2Z/(3aB). Quindi

R2,1(r) =

(Z

2aB

)3/2

e− Zr

2aBZr√3 aB

. (4.177)

In modo analogo e possibile procedere per determinare tutte le altre funzioni radiali.


Chapter 5

Spin e Composizione dei momentiangolari

5.1 Spin

In questa sezione scopriremo che le particelle elementari, come gli elettroni o i quarks, sonodotate di gradi di liberta interni. In altre parole non bastera piu solo la funzione d’onda perdescriverli.

Consideriamo nuovamente l’atomo di idrogeno (Z = 1) del precedente capitolo e immer-giamolo in un campo magnetico B costante. Per calcolare autovalori e autovettori di questosistema dobbiamo risolvere H|E, k〉 = E|E, k〉 dove l’Hamiltoniana e data da Eq. (4.35) conφ(r) = V (r) = e/r il potenziale Coulombiano, Q = −e la carica dell’elettrone e m = me lamassa dell’elettrone. Per un campo magnetico sufficientemente piccolo possiamo trascurare itermini quadratici in B. Ricordando che L = r× p l’equazione agli autovalori diventa(

H0 +e

2mecL·B

)|E, k〉 = E|E, k〉, (5.1)

dove abbiamo definito H0 come la Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno senza campo magnetico

H0 ≡p2

2me

− eV (r). (5.2)

Scegliamo il campo magnetico orientato lungo la direzione z: B = (0, 0, B). In tal caso il

prodotto scalare L·B = BLz. Moltiplicando Eq. (5.1) per il bra 〈r| e scrivendo il laplaciano incoordinate polari, vedi Eq. (4.124), otteniamo l’equazione agli autovalori per la funzione d’ondaϕE,k(r) = 〈r|E, k〉:(

− ~2

2me

1

r

∂2

∂r2r − ~2

2mer2∇2

Ω −e2

r− eB

2meci~∂

∂φ

)ϕE,k(r) = EϕE,k(r). (5.3)

Nell’ottenere questa equazione abbiamo anche usato Eq. (4.77). Se il campo magnetico fossenullo questa sarebbe proprio l’equazione agli autovalori per l’atomo di idrogeno che, comesappiamo dalla Sezione 4.7, ammette autovalori En = −e2/(2aBn

2) e autofunzioni ϕn,l,m(r):(− ~2

2me

1

r

∂2

∂r2r +

~2l(l + 1)

2mer2− e2

r

)ϕn,l,m(r) = Enϕn,l,m(r), (5.4)

81

82 5.1. Spin

dove si e usata l’Eq. (4.122). Ora il punto e che le funzioni ϕn,l,m(r) = Rn,l(r)Yl,m(θ, φ) contin-uano a essere autofunzioni anche in presenza del campo magnetico in quanto, vedi Eq. (4.90),

−i~∂

∂φϕn,l,m(r) = Rn,l(r)

(−i~

∂

∂φYl,m(θ, φ)

)= m~Rn,l(r)Yl,m(θ, φ) = m~ϕn,l,m(r). (5.5)

Quindi(− ~2

2me

1

r

∂2

∂r2r +

~2l(l + 1)

2mer2− e2

r− eB

2meci~∂

∂φ

)ϕn,l,m(r) =

(En +

e~B2mec

m

)ϕn,l,m(r). (5.6)

Pertanto un debole campo magnetico costante non cambia le autofunzioni ϕn,l,m dell’atomo diidrogeno ma cambia gli autovalori ad esse associati. I nuovi autovalori sono infatti

En,m = En +e~B2mec

m (5.7)

e dipendono, oltre che dal numero quantico principale n, anche dal numero quantico azimutalem. Questo risultato puo essere derivato in due righe se non ricorriamo alla rappresentazionenella base della posizione. Indichiamo con |n, l,m〉 i kets il cui prodotto scalare con il bra 〈r|restituisce l’autofunzione dell’atomo di idrogeno:

ϕn,l,m(r) = 〈r|n, l,m〉. (5.8)

I kets |n, l,m〉 sono pertanto gli autokets di H0 in Eq. (5.2)

H0|n, l,m〉 = En|n, l,m〉. (5.9)

Il lettore puo facilmente verificare che moltiplicando questa equazione per il bra 〈r| si riottiene

l’Eq. (5.4). Essi sono anche autokets di Lz con autovalore ~m. Quindi(H0 +

eB

2mecLz

)|n, l,m〉 = H0|n, l,m〉+

eB

2mecLz|n, l,m〉

=

(En +

e~B2mec

m

)|n, l,m〉. (5.10)

E immediato verificare che moltiplicando questa equazione per il bra 〈r| si riottiene l’Eq. (5.6).La quantita

µB ≡e~

2mec= 5.788× 10−5 eV/T (5.11)

viene chiamata magnetone di Bohr e ha le dimensioni fisiche di un momemto magnetico. Lacorrezione alle energie dell’atomo di idrogeno e pertanto estremamente trasparente. Classica-mente infatti un momento magnetico µ in un campo magnetico B ha un energia pari a −µ ·B.Se il momento magnetico e generato da una spira di raggio r posta sul piano xy e percorsa dauna corrente I allora µ = (0, 0, µ) e diretto lungo l’asse z e, lungo questo asse, ha proiezione

µ =Iπr2

c. (5.12)

Se nella spira c’e un solo elettrone che gira a velocita v allora la corrente che genera e

I = − ev

2πr. (5.13)


Chapter 5. Spin e Composizione dei momenti angolari 83

Sostituendo questa espressione in Eq. (5.12) troviamo il momento magnetico associato ad unelettrone che compie una traiettoria circolare

µ = −erv2c

= − eLz2mec

, (5.14)

dove Lz = merv e il momento angolare dell’elettrone. Se il valore di questo momento angolaree Lz = ~m allora il momento magnetico della spira diventa µ = −µBm e l’energia classica −µBcoincide proprio con il secondo termine di Eq. (5.7).

L’energia dell’elettrone nell’atomo di idrogeno puo essere misurata sperimentalmente. Facen-do l’esperimento in presenza di un campo magnetico costante possiamo verificare se la predizioneteorica e o meno in accordo con l’esperimento. Quello che accade e che c’e una discrepanza.In particolare, la teoria prevede che se l’elettrone si trova nello stato fondamentale |1, 0, 0〉 inassenza di campo magnetico allora al crescere di B la sua energia rimane sempre la stessa inquanto E1,0 = E1 e indipendente da B. Sperimentalmente invece si trova che al crescere di Bil livello energetico si “splitta” in due livelli di energia

E+ = E1 + µBB, E− = E1 − µBB (5.15)

Cosa sta accadendo? Sta accadendo che i numeri quantici (n, l,m) = (1, 0, 0) non sono sufficientia determinare univocamente lo stato in cui puo trovarsi l’elettrone. Infatti, ricordiamolo, inbase al secondo postulato se misurassimo E+ l’elettrone dovrebbe collassare in uno stato che, inbase al terzo postulato, sarebbe ortogonale a quello in cui collasserebbe se misurassimo E− (gliautokets di un’osservabile, quale e la Hamiltoniana, sono tra loro ortonormali se gli autovaloriassociati sono distinti). Come spesso accade nel mondo quantistico le stranezze non finisconoqui. Supponiamo di orientare il campo magnetico lungo x. Ovviamente la direzione z non hanulla di speciale quindi se rifacessimo lo stesso esperimento misureremmo ancora una volta leenergie E+ e E−. Tuttavia stavolta gli stati in cui l’elettrone collassa non sono gli stessi diprima! Infatti quello che sperimentalmente si trova e che se misurassimo ad esempio E+ e poiimprovvisamente cambiassimo l’orientazione del campo magnetico dall’asse x all’asse z allorauna successiva misura dell’energia fornirebbe il valore E+ con probabilita 1/2 e il valore E− conprobabilita 1/2. Da altri esperimenti di questo tipo ci si e resi conto che l’elettrone possiede,oltre ai gradi di liberta “spaziali”, anche due gradi di liberta interni. Inoltre si e capito chetutti i risultati sperimentali possono essere spiegati aggiungendo “a mano” alla HamiltonianaH0 un operatore che agisce esclusivamente sui gradi di liberta interni.1

L’operatore da aggiungere e il seguente

e

mecB · S, (5.16)

dove il vettore di operatori S = (Sx, Sy, Sz) = (S1, S2, S3) soddisfa le stesse regole degli operatoridel momento angolare, ossia

[Si, Sj] = i~∑k

εijkSk, (5.17)

confronta con Eq. (4.41). Inoltre, l’unico possibile autovalore dell’operatore quadrato S2 e paria ~23/4 = ~2 1

2(1

2+ 1). Per questo caso nella Sezione 4.4 abbiamo indicato con |1

2, 1

2〉 e |1

2,−1

2〉

gli autokets simultanei di S2 e Sz. Dal momento che l’elettrone ha pero anche gradi di liberta1Il termine che aggiungeremo “a mano” in realta deriva da un’equazione ancora piu fondamentale di quella di Schrodinger che

in questo corso pero non abbiamo modo di affrontare.


84 5.1. Spin

spaziali dobbiamo necessariamente complicare la notazione. Ad esempio possiamo denotarecon

|r;1

2,ms〉, ms =

1

2,−1

2(5.18)

lo stato in cui l’elettrone collassa quando una misura della posizione fornisce r e una misura diSz fornisce ~ms. Similmente possiamo indicare con

|n, l,m;1

2,ms〉, (5.19)

lo stato in cui l’elettrone collassa quando una misura dell’energia fornisce En, una misura di L2

fornisce ~2l(l+ 1), una misura di Lz fornisce ~m e una misura di Sz fornisce ~ms. Gli operatori

Si, detti operatori di spin, agiscono solo sull’indice ms mentre gli operatori “spaziali” come r,p, L agiscono, come in precedenza, solo sugli indici n, l,m. Particelle dotate di gradi di libertainterni come l’elettrone vengono dette particelle di spin s, dove s si riferisce al semi-interodell’autovalore ~2s(s+1) di S2. Nel caso dell’elettrone s = 1

2e quindi l’elettrone e una particella

di spin 1/2.

Vediamo come l’aggiunta del termine in Eq. (5.16) consente di spiegare i risultati sperimen-tali. La nuova Hamiltoniana e la somma della Hamiltoniana in Eq. (5.1) e del nuovo terminein Eq. (5.16)

H = H0 +e

2mecL·B +

e

mecB · S. (5.20)

I primi due termini contengono, come prima, solo operatori che agiscono sui gradi di libertaspaziali quindi

H|1, 0, 0;1

2,ms〉 = (E1 +

e

mecB · S)|1, 0, 0;

1

2,ms〉. (5.21)

Consideriamo ora il campo magnetico diretto lungo l’asse z. Allora B · S = BSz. Essendo

Sz|1, 0, 0;1

2,ms〉 = ~ms|1, 0, 0;

1

2,ms〉 (5.22)

vediamo che il ket |1, 0, 0; 12,ms〉 e autoket della nuova Hamiltoniana con autovalore

E1 +e~mec

msB = E1 + 2µBmsB. (5.23)

Quindi per ms = 12

troviamo l’autovalore E+ = E1 + µBB mentre per ms = −12

troviamol’autovalore E− = E1 − µBB, in accordo con il risultato sperimentale. Orientiamo adesso il

campo magnetico lungo l’asse x, quindi B · S = BSx. Per semplicita notazionale omettiamodi scrivere la terna 1, 0, 0 dato che nelle considerazioni che seguono non gioca alcun ruolo.Scriveremo dunque |1

2,ms〉 ma intenderemo il ket |1, 0, 0; 1

2,ms〉. E facile verificare che gli

autokets di Sx sono

|ψx,+〉 ≡1√2

(|12,1

2〉+ |1

2,−1

2〉), |ψx,−〉 ≡

1√2

(|12,1

2〉 − |1

2,−1

2〉). (5.24)



Infatti, da Eq. (4.49) si ricava Sx = (S+ + S−)/2 e utilizzando Eq. (4.59) troviamo

Sx|ψx,±〉 =1√2Sx

(|12,1

2〉 ± |1

2,−1

2〉)

=1

2√

2

(S−|

1

2,1

2〉 ± S+|

1

2,−1

2〉)

=~

2√

2

(|12,−1

2〉 ± |1

2,1

2〉)

= ±~2|ψx,±〉. (5.25)

Quindi |ψx,+〉 e autoket di Sx con autovalore ~/2 mentre |ψx,−〉 e autoket di Sx con autovalore−~/2. Ne segue che

H|ψx,±〉 =

(E1 +

e

mecBSx

)|ψx,±〉 =

(E1 ±

e~2mec

B

)|ψx,±〉 = E±|ψx,±〉. (5.26)

Le uniche energie misurabili sono allora E+ e E−, nuovamente in accordo con l’esperimento.Supponiamo ora di aver misurato E+ e quindi che l’elettrone abbia collassato nello stato |ψx,+〉.Se improvvisamente cambiamo orientazione al campo magnetico passando dall’asse x all’assez allora, in base al quarto postulato, la probabilita di misurare energia E+ e data da

P (E+) = |〈12,1

2|ψx,+〉|2. (5.27)

Infatti per un campo magnetico lungo l’asse z l’autoket di energia E+ e |12, 1

2〉, vedi discussione

sotto Eq. (5.23). Tenendo conto di Eq. (5.24) si trova immediatamente

P (E+) = 1/2 (5.28)

ancora una volta in accordo con l’esperimento. Lasciamo al lettore verificare che anche laprobabilita di misurare energia E− e la stessa dell’esperimento.

5.2 Matrici di spin

Come accennato nella precedente Sezione le particelle elementari sono caratterizzate da gradidi liberta di spin. Una base dello spazio di Hilbert per particelle di spin s potrebbe esserel’insieme dei kets |r; s,ms〉 oppure l’insieme dei kets |p; s,ms〉. Piu in generale, indicandocon |bk〉 il ket di una generica base ortonormale per la parte spaziale allora l’insieme dei kets|bk; s,ms〉 costituisce una base del nostro spazio di Hilbert. Il prodotto scalare tra due kets diquesta base e

〈bk; s,ms|bk′ ; s,m′s〉 = 〈bk|bk′〉〈s,ms|s,m′s〉 = δk,k′δms,m′s . (5.29)

Gli operatori spaziali come r o p o L o anche piu esotici come r p3L2 agiscono solo su bk (gli

ms sono meri spettatori) mentre gli operatori di spin come Si o S2 o anche piu esotici come

S2xS

3z agiscono solo su ms (i bk sono meri spettatori). Pertanto l’azione di un generico operatore

spaziale O(space) sara data da

O(space)|bk; s,ms〉 =∑k′

O(space)k′k |bk′ ; s,ms〉 (5.30)


86 5.2. Matrici di spin

conO

(space)k′k = 〈bk′ ; s,ms|O(space)|bk; s,ms〉 = 〈bk′ |O(space)|bk〉, (5.31)

mentre l’azione di un generico operatore di spin O(spin) sara data da

O(spin)|bk; s,ms〉 =∑m′s

O(spin)m′sms|bk; s,m′s〉 (5.32)

conO

(spin)m′sms

= 〈bk; s,m′s|O|bk; s,ms〉 = 〈s,m′s|O|s,ms〉. (5.33)

Poiche gli operatori spaziali e gli operatori di spin agiscono su gradi di liberta diversi, essicommutano tra loro: [

O(space), O(spin)]

= 0. (5.34)

Possiamo facilmente verificare questo fatto facendo il sandwich tra un generico bra 〈bk′ ; s,m′s|e un generico ket |bk; s,ms〉:

〈bk′ ; s,m′s|[O(space), O(spin)

]|bk; s,ms〉 =

∑k′′m′′s

(O

(space)k′′k O

(spin)m′′sms

−O(spin)m′′sms

O(space)k′′k

)×〈bk′ ; s,m′s|bk′′ ; s,m′′s〉 (5.35)

Essendo gli elementi di matrice dei semplici numeri complessi la quantita in parentesi tonda enulla.

Da Eq. (5.32) vediamo che per determinare l’azione di un operatore di spin possiamo ig-

norare la parte spaziale del ket in quanto l’elemento di matrice O(spin)m′sms

e lo stesso per tutti i

bk. Nel seguito, per comodita notazionale, scriveremo semplicemente |s,ms〉 ma intenderemo|bk; s,ms〉 con bk fissato e ms che varia tra −s e s. Il nostro scopo e quello di determinare larappresesentazione degli operatori di spin nella base |s,ms〉, vedi Sezione 2.1. Essendo questauna base ortonormale, da Eq. (4.47) e immediato verificare che le matrici S2 e Sz sono diagonali

S2m′s,ms

= δm′s,ms~2s(s+ 1), Sz,m′s,ms = δm′s,ms~ms (5.36)

In particolare la matrice S2 e proporzionale alla matrice identita con coefficiente di proporzion-alita ~2s(s+ 1). Per ottenere la rappresentazione Sx e Sy degli operatori Sx e Sy iniziamo conl’osservare che da Eq. (4.49) risulta

Sx =1

2(S+ + S−), Sy =

1

2i(S+ − S−). (5.37)

Quindi

Sx =1

2(S+ + S−), Sy =

1

2i(S+ − S−). (5.38)

Utilizzando Eq. (4.59) troviamo

S+,m′s,ms = δm′s,ms+1~√s(s+ 1)−ms(ms + 1), (5.39)

S−,m′s,ms = δm′s,ms−1~√s(s+ 1)−ms(ms − 1). (5.40)

Quindi

Sx,m′s,ms =~2

(δm′s,ms+1

√s(s+ 1)−ms(ms + 1) + δm′s,ms−1

√s(s+ 1)−ms(ms − 1)

)(5.41)



Sy,m′s,ms =~2i

(δm′s,ms+1

√s(s+ 1)−ms(ms + 1)− δm′s,ms−1

√s(s+ 1)−ms(ms − 1)

)(5.42)

Le matrici Sx e Sy nella base |s,ms〉 hanno elementi diversi da zero solo sopra e sotto ladiagonale. Vediamo un paio di esempi.

5.2.1 Spin 1/2 e spin 1

Nel caso di spin s = 1/2 l’Eq. (5.36) fornisce

S2 =3~2

4

(1 00 1

)Sz =

~2

(1 00 −1

)(5.43)

mentre le Eqs. (5.41) e (5.42) forniscono

Sx =~2

(0 11 0

)Sy =

~2

(0 −ii 0

)(5.44)

Quindi le matrici di spin s = 1/2 sono proporzionali alle matrici di Pauli introdotte inSezione 2.2:

Si =~2σi . (5.45)

Possiamo riciclare un po’ di risultati. In particolare, poiche gli autovalori di n · σ = nxσx +nyσy +nzσz sono ±1 allora gli autovalori di nxSx +nySy +nzSy sono ±~/2 con autovettori datida Eq. (2.26). Posto ϕ = 0 e θ = π/2 si trova, vedi Eq. (2.22) nx = 1 e ny = nz = 0. Quindigli autovettori di Sx sono

ψx,+ =1√2

(11

), ψx,− =

1√2

(−11

). (5.46)

Posto ϕ = π/2 e θ = π/2 si trova, vedi Eq. (2.22) ny = 1 e nx = nz = 0. Quindi gli autovettoridi Sy sono

ψy,+ =1√2

(1i

), ψy,− =

1√2

(−1i

). (5.47)

Infine, posto θ = 0 si trova, vedi Eq. (2.22) nz = 1 e nx = ny = 0. Quindi gli autovettori di Szsono

ψz,+ =1√2

(10

), ψz,− =

1√2

(01

). (5.48)

Il lettore puo facilmente verificare che

Siψi,± = ±~2ψi,±, i = x, y, z. (5.49)

Dalla conoscenza degli autovettori possiamo poi immediatamente scrivere gli autokets deglioperatori di spin Si utilizzando l’Eq. (2.2):

|ψi,±〉 =∑ms

ψi,±,ms|1

2,ms〉, (5.50)

dove ψi,±,ms e la componente ms del vettore ψi,±. Il lettore puo facilmente verificare che

|ψz,±〉 = |12,±1

2〉, come doveva essere, e che |ψx,±〉 coincide con Eq. (5.24).


88 5.3. Interazione spin-orbita

x

y

z

dl

r

I = ev/(2r)

B

Figure 5.1:

Consideriamo ora il caso di spin s = 1. L’Eq. (5.36) fornisce

S2 = 2~2

1 0 00 1 00 0 1

Sz = ~

1 0 00 0 00 0 −1

(5.51)

mentre le Eqs. (5.41) e (5.42) forniscono

Sx =~√2

0 1 01 0 10 1 0

Sy =~√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

(5.52)

Lasciamo al lettore verificare che le matrici Sx, Sy e Sz hanno tutte gli stessi autovalori 1, 0,−1ma, ovviamente, diversi autovettori.

5.3 Interazione spin-orbita

Ora che abbiamo capito che l’elettrone e una particella di spin s = 1/2 torniamo ancora unavolta all’atomo di idrogeno. Supponiamo che l’elettrone si trovi ad una distanza media r dalprotone con momento angolare diretto lungo l’asse z. Nel sistema di riferimento dell’elettronevedremmo che e il protone ad orbitare attorno all’elettrone ad una distanza media r con mo-mento angolare diretto lungo l’asse z. Essendo il protone una particella di carica e, esso generauna corrente e quindi un campo magnetico che, in base a quanto visto in Eq. (5.16), si accoppia

allo spin dell’elettrone. Quindi l’Hamiltoniana H0 in Eq. (5.2) e incompleta in quanto non tieneconto del fatto che, anche in assenza di campi magnetici esterni, c’e pur sempre il campo mag-netico generato dal protone. Al fine di correggere questa mancanza dobbiamo valutare il campomagnetico protonico. Esso coincide con quello che si trova al centro di una spira di raggio rposta sul piano xy in cui circola una corrente I = ev/(2πr), vedi Eq. (5.13) e Figura 5.1. Dalla



legge di Laplace2

B(r) =I

c

∫dl× r

r3, (5.53)

con dl il vettore spostamento infinitesimo che corre lungo la spira nella direzione della corrente.Poiche la spira e sul piano xy, il campo magnetico al suo centro ha solo componente z e questacomponente vale

B =2π

c

I

r=e

c

v

r2=

e

mec

merv

r3=

e

mec

Lzr3, (5.54)

dove Lz e il momento angolare dell’elettrone.La direzione z in Eq. (5.54) non ha nulla di speciale, quindi potremmo scrivere questa

equazione direttamente in forma vettoriale rimpiazzando B con B e Lz con il vettore momentoangolare che, in meccanica quantistica, e l’operatore L. Sostituendo il risultante campo mag-netico B in Eq. (5.16) troviamo la seguente correzione all’Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno

e2

m2ec

2

L · Sr3

, (5.55)

dove si e tenuto conto che anche r diventa un operatore. La derivazione euristica di Eq. (5.55)non tiene conto del fatto che il sistema di riferimento dell’elettrone non e un sistema di riferi-mento inerziale. Non e scopo del corso derivare rigorosamente la forma dell’interazione tra lospin dell’elettrone e il suo momento angolare. Basti qui dire che il risultato della derivazionecorretta differisce dal nostro solo per un fattore 1/2. L’operatore corretto da aggiungere alla

Hamiltoniana H0 di Eq. (5.2) e dunque

HSO ≡e2

2m2ec

2

L · Sr3

(5.56)

e viene chiamato interazione spin-orbita. L’interazione spin-orbita contiene il prodottoscalare tra l’operatore spaziale L e l’operatore di spin S.

Chi sono gli autostati della nuova Hamiltoniana H0+HSO ? Se i vecchi autostati |n, l,m; 12,ms〉

fossero autostati di L · S potremmo, ancora una volta, ridurre il problema ad un’equazione perla sola parte radiale. Supponiamo infatti che

L · S|n, l,m;1

2,ms〉 = λl,m,ms|n, l,m;

1

2,ms〉, (5.57)

dove abbiamo indicato con λl,m,ms gli autovalori di L · S. Data allora una generica combinazionelineare che mescola solo autokets di numero quantico principale diverso, ossia

|R, l,m;1

2,ms〉 ≡

∑n

Rn|n, l,m;1

2,ms〉, (5.58)

sarebbe anche vero che

L · S|R, l,m;1

2,ms〉 = λl,m,ms|R, l,m;

1

2,ms〉. (5.59)

2La legge di Laplace rappresenta la soluzione della nota legge di Ampere ∇×B = 4πcJ nel caso in cui J sia la densita di corrente

che fluisce in un filo sottilissimo di sezione S, per cui la corrente nel filo e I = |J|S.


90 5.4. Composizione dei momenti angolari

Facciamo adesso vedere che e possibile scegliere i kets |R, l,m; 12,ms〉 in modo che essi risolvano

l’equazione agli autovalori

(H0 + HSO)|R, l,m;1

2,ms〉 = E|R, l,m;

1

2,ms〉. (5.60)

Tenendo conto di Eq. (5.57) avremmo

(H0 + HSO)|R, l,m;1

2,ms〉 =

(H0 +

e2

2m2ec

2

λl,m,msr3

)|R, l,m;

1

2,ms〉 = E|R, l,m;

1

2,ms〉.

(5.61)L’operatore in parentesi tonda contiene ora solo operatori spaziali e possiamo dunque ignorarela parte di spin (la parte di spin e la stessa a destra e sinistra dell’uguale). Ricordiamo ora che

la parte angolare del prodotto scalare tra il bra 〈r| e un qualsiasi ket che sia autoket di L2 e

Lz, come il ket |R, l,m〉, e l’armonica sferica Yl,m(θ, φ). Necessariamente quindi 〈r|R, l,m〉 deveessere il prodotto tra una funzione puramente radiale e Yl,m, ossia 〈r|R, l,m〉 = R(r)Yl,m(θ, φ).Moltiplicando allora Eq. (5.61) per il bra 〈r| e tenendo conto che 〈r|(1/r3) = 〈r|(1/r3) troviamo(− ~2

2me

1

r

∂2

∂r2r +

~2l(l + 1)

2mer2− e2

r+

e2

2m2ec

2

λl,m,msr3

)R(r)Yl,m(θ, φ) = ER(r)Yl,m(θ, φ). (5.62)

Semplificando l’armonica sferica Yl,m(θ, φ) otteniamo cosı un’equazione agli autovalori per lasola parte radiale, proprio come nel caso analizzato in Sezione 4.7. Risolvendo questa equazionesarebbe allora possibile ottenere gli autovalori E in Eq. (5.61) e ricostruire gli autokets in quantoda Eq. (5.58)

Rn = 〈n, l,m;1

2,ms|R, l,m;

1

2,ms〉 =

Eq. (5.29)〈n, l,m|R, l,m〉

=

∫d3r〈n, l,m|r〉〈r|R, l,m〉

=Eq. (4.111)

∫dr r2Rn,l(r)R(r). (5.63)

Purtroppo tutta questa storia e da cestinare. Infatti l’Eq. (5.57) e sbagliata. Convicerci di

cio e piuttosto semplice. Scriviamo il prodotto scalare L · S nel seguente modo

L · S = LxSx + LySy + LzSz

=1

4(L+ + L−)(S+ + S−)− 1

4(L+ − L−)(S+ − S−) + LzSz

=1

2(L+S− + L−S+) + LzSz. (5.64)

Agendo sul ket |n, l,m; 12,ms〉 con L+S− troviamo un ket avente m aumentato di uno e ms

diminuito di uno, mentre agendo con L−S+ troviamo un ket avente m diminuito di uno e ms

aumentato di uno. I kets |n, l,m; 12,ms〉 sono solo autokets di LzSz con autovalore ~2mms, ma

non autokets del prodotto scalare L · S. Chi sono allora gli autokets di L · S?

5.4 Composizione dei momenti angolari

In questa sezione risponderemo alla domanda posta alla fine della Sezione precedente. Persemplificare la notazione ometteremo di scrivere l’indice n della parte radiale in quanto esso e



un mero spettatore, ossia non cambia mai sotto l’azione degli operatori di momento angolaree di spin. Scriveremo quindi |l,m; s,ms〉 ma intenderemo |n, l,m; s,ms〉. Risolveremo inoltreil problema per un generico s dato che la forma dell’interazione spin-orbita appare spesso infisica e non riguarda solo particelle di spin s = 1/2.

Cominciamo con il ricordare che il ket |l,m; s,ms〉 e lo stato in cui l’elettrone collassa quando

una misura di L2 fornisce il valore ~2l(l+1), una misura di Lz fornisce il valore ~m, una misura

di S2 fornisce il valore ~2s(s+1) e una misura di Sz fornisce il valore ~ms. Gli operatori L2, Lz,

S2 e Sz commutano tutti tra loro e l’insieme dei kets |l,m; s,ms〉 altro non e che la loro basecomune di autovettori, vedi punto 6) di Sezione 1.9. Consideriamo ora l’operatore momentoangolare totale

J = L + S, (5.65)

il cui quadrato e (ricordiamo che un operatore spaziale commuta sempre con un operatore dispin)

J2 = L2 + S2 + 2L · S (5.66)

E semplice dimostrare che le componenti di J soddisfano le stesse regole di commutazione delmomento angolare

[Ji, Jj] = [Li, Lj] + [Si, Sj] = i~∑k

εijk(Lk + Sk) = i~∑k

εijkJk. (5.67)

Quindi J2 ammettera autovalori ~2j(j+ 1) e Jz ammettera autovalori ~mj con mj = −j, . . . , j.Inoltre sia L2 che S2 commutano, oltre che tra loro, anche con Jz e J2. Lasciamo al lettorequesta semplice verifica. Pertanto, in alternativa alla base |l,m; s,ms〉, potremmo considerare

la base costituita dagli autokets comuni degli operatori J2, Jz, L2 e S2. Indichiamo con |j,mj〉ls

i kets di questa base. Avremo dunque

J2|j,mj〉ls = ~2j(j + 1)|j,mj〉lsJz|j,mj〉ls = ~mj|j,mj〉lsL2|j,mj〉ls = ~2l(l + 1)|j,mj〉lsS2|j,mj〉ls = ~2s(s+ 1)|j,mj〉ls (5.68)

Il vantaggio di lavorare con questa nuova base e che i kets |j,mj〉ls sono proprio gli autokets di

L · S. Infatti, da Eq. (5.66) si ha

L · S =1

2(J2 − L2 − S2), (5.69)

e pertanto

L · S|j,mj〉ls =~2

2(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)) |j,mj〉ls (5.70)

I nuovi kets |j,mj〉ls devono potersi scrivere come combinazioni lineari dei vecchi kets|l,m; s,ms〉 (costituendo questi ultimi una base). Nel seguito della Sezione scopriremo qualisiano i possibili valori di j e come esprimere i nuovi kets in termini dei vecchi. Impareremoquindi la composizione dei momenti angolari. Cominciamo con l’osservare che tutti i ketsdella vecchia base sono autokets di L2 con stesso autovalore ~2l(l + 1) e di S2 con stesso au-tovalore ~2s(s+ 1). Quindi qualsiasi combinazione lineare di essi soddisfa automaticamente le



ultime due relazioni in Eq. (5.68). Inoltre, i vecchi kets sono anche autokets di Jz in quanto

Jz|l,m; s,ms〉 = (Lz + Sz)|l,m; s,ms〉 = ~(m+ms)|l,m; s,ms〉. (5.71)

Ne segue che i kets della nuova base devono essere combinazioni lineari dei kets della vecchiabase aventi stesso valore della somma m + ms. Infatti se mescolassimo kets della vecchia baseaventi valori diversi di m+ms non potremmo generare un autoket di Jz. Avendo indicato con~mj gli autovalori di Jz possiamo allora scrivere

|j,mj〉ls =∑

m,ms:m+ms=mj

C(j)m,ms|l,m; s,ms〉. (5.72)

Il lettore puo facilmente convincersi che indipendentemente dai coefficienti C(j)m,ms questo e un

autoket di Jz con autovalore ~mj (e ovviamente anche di L2 e S2 con autovalore ~2l(l + 1) e

~2s(s + 1) rispettivamente). Occorre quindi determinare i coefficienti C(j)m,ms affinche il ket di

Eq. (5.72) sia anche autoket di J2. A tal fine osserviamo che il massimo possibile valore dimj e pari alla somma del massimo possibile valore di m, ossia m = l, e di ms, ossia ms = s.Poiche vi e un solo ket della vecchia base per cui m + ms = l + s la combinazione lineare inEq. (5.72) consta del solo ket |l, l; s, s〉. Questo deve quindi essere anche un ket della nuovabase con mj = l + s. Ma a quale valore di j corrisponde? Dal momento che mj puo variaretra −j e j e che non e possibile costruire kets con mj piu grande di l + s ne deduciamo chej = l + s. Siamo cosı arrivati a stabilire che

|l + s, l + s〉ls = |l, l; s, s〉. (5.73)

Possiamo immediatamente generare un secondo autoket della nuova base applicando l’operatore

J− = L− + S−. (5.74)

Infatti, utilizzando Eq. (4.59) avremo

J−|l + s, l + s〉ls = ~√

(l + s)(l + s+ 1)− (l + s)(l + s− 1) |l + s, l + s− 1〉ls= L−|l, l; s, s〉+ S−|l, l; s, s〉= ~

√l(l + 1)− l(l − 1) |l, l − 1, s, s〉+ ~

√s(s+ 1)− s(s− 1) |l, l, s, s− 1〉

(5.75)

da cui segue che

|l + s, l + s− 1〉ls =

√l(l + 1)− l(l − 1)√

(l + s)(l + s+ 1)− (l + s)(l + s− 1)|l, l − 1, s, s〉

+

√s(s+ 1)− s(s− 1)√

(l + s)(l + s+ 1)− (l + s)(l + s− 1)|l, l, s, s− 1〉. (5.76)

Correttamente il ket |l + s, l + s − 1〉ls, che per costruzione e autoket di Jz con autovalore~(l+s−1), e una combinazione lineare degli unici due kets della vecchia base per cui m+ms =

l + s − 1. Applicando nuovamente l’operatore J− = L− + S− all’Eq. (5.76) otteniamo il ket|l+s, l+s−2〉ls della nuova base scritto in termini dei kets della vecchia base. Continuando ad



applicare l’operatore J− = L−+S− genereremo kets della nuova base con mj = l+s−3, l+s−4,etc. fino a raggiungere mj = −l−s. A questo punto, come sappiamo dalla teoria di Sezione 4.4,

l’applicazione di J− al ket |l + s,−l − s〉ls produce il ket nullo e quindi l’algoritmo termina.

Abbiamo quindi trovato un totale di 2(l + s) + 1 kets della nuova base con j = l + s emj = −l− s, . . . , l + s. Diremo che tutti questi kets appartengono alla “catena” con j = l + s.Ovviamente devono esservi altri kets nella nuova base dato che il numero totale di kets dellavecchia base e (2l+ 1)(2s+ 1) > 2(l+ s) + 1. Per trovarli facciamo la seguente considerazione.Utilizzando gli unici due kets della vecchia base con m + ms = l + s − 1 possiamo fare solouna combinazione lineare ortonormale a quella in Eq. (5.76). Essa si ottiene scambiando icoefficienti e cambiando il segno a uno dei due coefficienti. Infatti se |Ψ1〉 e |Ψ2〉 sono duekets ortonormali e se si considera la combinazione lineare α|Ψ1〉 + β|Ψ2〉 con |α|2 + |β|2 = 1allora la combinazione lineare β|Ψ1〉 − α|Ψ2〉 e ortogonale alla prima e normalizzata a uno.La combinazione lineare ortonormale a quella di Eq. (5.76) deve necessariamente essere un ketdella nuova base in quanto: 1) i kets della nuova base sono tra loro ortonormali e 2) i kets dellanuova base devono avere la somma m + ms fissata. A quale j corrisponde questo nuovo ket?Dal momento che mj puo variare tra −j e j e che non e possibile costruire nessun altro ket,oltre a quello in Eq. (5.73), con mj piu grande di l + s − 1 ne concludiamo che j = l + s − 1.Pertanto possiamo scrivere che

|l + s− 1, l + s− 1〉ls =

√s(s+ 1)− s(s− 1)√

(l + s)(l + s+ 1)− (l + s)(l + s− 1)|l, l − 1, s, s〉

−√l(l + 1)− l(l − 1)√

(l + s)(l + s+ 1)− (l + s)(l + s− 1)|l, l, s, s− 1〉. (5.77)

Possiamo adesso procedere come prima per determinare ricorsivamente tutti i kets della catenacon j = l + s− 1. Bastera infatti applicare l’operatore J− = L− + S− per ottenere tutti i kets|l + s− 1,mj〉ls con mj = −l − s+ 1, . . . , l + s− 1, per un totale di 2(l + s− 1) + 1 kets.

Consideriamo ora i kets |l + s, l + s − 2〉ls (terzo ket della catena con j = l + s) e il ket|l+s−1, l+s−2〉ls (secondo ket della catena con j = l+s−1). Essi hanno lo stesso mj = l+s−2e sono pertanto combinazioni lineari dei kets della vecchia base con m + ms = l + s − 2. Diquesti kets ve ne possono essere al massimo tre in quanto possiamo avere m = l e ms = s− 2oppure m = l − 1 e ms = s− 1 oppure m = l − 2 e ms = s. Date le due combinazioni lineari,vale a dire |l+s, l+s−2〉ls e |l+s−1, l+s−2〉ls, di questi tre kets possiamo costruire solamenteun’altra combinazione lineare ortonormale alle prime due. Per le stesse ragioni di prima essadeve essere un ket della nuova base e, non potendo esservi piu di due kets con mj = l + s− 1,essa deve appartenere alla catena con j = l+ s− 2. Otteniamo cosı il ket |l+ s− 2, l+ s− 2〉lsda cui generare tutti i ket della catena con j = l+ s− 2 applicando l’operatore J− = L− + S−.

Procedendo secondo l’algoritmo appena descritto e possibile costruire il ket |l+ s−3, l+ s−3〉ls, da cui generare tutti i kets della catena con j = l+ s− 3, poi il ket |l+ s− 4, l+ s− 4〉ls,da cui generare tutti i kets della catena con j = l + s − 4, e cosı via. Quando termina questaprocedura? Trovare la risposta e piuttosto semplice. La catena con un certo j contiene 2j + 1kets e i possibili valori di j sono, come abbiamo visto l + s, l + s− 1, l + s− 2 etc. Poiche ilnumero di kets della vecchia base e della nuova base e lo stesso deve necessariamente esistereun valore minimo di j, chiamiamolo jmin, che garantisce cio. Ricordando che il numero di kets



mj = l + s

j = l + s

mj = l + s 1

mj = l + s 2

mj = l s + 1

mj = l s

j = l + s 1

mj = l s + 2

j = l + s 2

….

j = |l s|

Figure 5.2:

della vecchia base e (2l + 1)(2s+ 1) il valore di jmin deve allora essere tale che

l+s∑j=jmin

(2j + 1) = (2l + 1)(2s+ 1) (5.78)

Risulta

l+s∑j=jmin

(2j + 1) = 2

(l+s∑j=1

j −jmin−1∑j=1

j

)+ l + s− jmin + 1

= (l + s+ 1)(l + s)− jmin(jmin − 1) + l + s− jmin + 1

= (l + s+ 1)2 − j2min . (5.79)

Inserendo questo risultato in Eq. (5.78) ed isolando jmin

j2min = (l + s+ 1)2 − (2l + 1)(2s+ 1)

= (l + s)2 + 2(l + s) + 1− 4ls− 2(l + s)− 1

= (l − s)2 (5.80)

e dovendo essere jmin ≥ 0 ne concludiamo che

jmin = |l − s|. (5.81)

In Figura 5.2 mostriamo la struttura della nuova baseIl risultato sui possibili valori di j e piuttosto intuitivo da ricordare. Il momento angolare

totale e la somma di due vettori. Classicamente, se indichiamo con ~l e ~s la lunghezza diquesti due vettori allora la massima lunghezza possibile della somma la si ottiene quando i duevettori sono paralleli, e vale ~(l + s), mentre la minima lunghezza possibile della somma la siottiene quando i due vettori sono antiparalleli, e vale ~|l − s|.



Osserviamo infine che la teoria della composizione del momento angolare e completamentegenerale e non si applica solo al caso in cui si ha a che fare con l’operatore momento angolareL e di spin S. Ad esempio in sistemi con due particelle potrebbe esservi una convenienza alavorare nella base del momento angolare totale Ltot = L1 + L2. Tutti i risultati precedenti siapplicano ancora, bastera identificare J con Ltot, L con L1 e S con L2.

5.4.1 Atomo di idrogeno con interazione spin-orbita

Possiamo utilizzare quanto appena imparato per calcolare autovalori e autofunzioni della Hamil-toniana dell’atomo di idrogeno con interazione spin-orbita. E possibile infatti ridurre il prob-lema generale ad un’equazione agli autovalori per la sola parte radiale. Se reinseriamo il numeroquantico principale negli autokets |j,mj〉ls abbiamo che, vedi Eq. (5.70),

L · S|n, j,mj〉ls =~2

2(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)) |n, j,mj〉ls . (5.82)

Pertanto, data una combinazione lineare di autokets del momento angolare totale che mescolasolo kets di numero quantico principale diverso (notare la differenza con la combinazione linearein Eq. (5.58))

|R, j,mj〉ls =∑n

Rn|n, j,mj〉ls, (5.83)

risulta anche

L · S|R, j,mj〉ls =~2

2(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)) |R, j,mj〉ls. (5.84)

Facciamo vedere che e possibile scegliere i kets |R, j,mj〉ls in modo che essi risolvano l’equazioneagli autovalori

(H0 + HSO)|R, j,mj〉ls = E|R, j,mj〉ls. (5.85)

Tenendo conto di Eq. (5.84) avremo

(H0 + HSO)|R, j,mj〉ls =

(H0 +

e2

2m2ec

2

~2

2

j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)

r3

)|R, j,mj〉ls. (5.86)

L’operatore in parentesi tonda contiene ora solo operatori spaziali. Utilizzando Eq. (5.72)possiamo scrivere che

〈r|R, j,mj〉ls = R(r)∑

m,ms:m+ms=mj

C(j)m,msYl,m(θ, φ)|s,ms〉. (5.87)

Ricordiamo ancora una volta che il prodotto scalare 〈r|R, l,m〉 restituisce il prodotto tra unafunzione puramente radiale e l’armonica sferica Yl,m. Quindi se moltiplichiamo Eq. (5.86) peril bra 〈r| la parte angolare e di spin fattorizza, ossia la combinazione lineare in Eq. (5.87) non

viene cambiata in quanto H0 contiene l’operatore r, che non agisce ne’ sulla parte angolare ne’su quella di spin, e l’operatore L2, di cui la combinazione lineare suddetta e autofunzione conautovalore ~2l(l + 1). Ne concludiamo che se la funzione radiale soddisfa(− ~2

2me

1

r

∂2

∂r2r +

~2l(l + 1)

2mer2− e2

r+

e2

2m2ec

2

~2

2

j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)

r3

)R(r) = ER(r),

(5.88)



allora il ket |R, j,mj〉ls in Eq. (5.83) con

Rn = 〈ls n, j,mj|R, j,mj〉ls =

∫dr r2Rn,l(r)R(r) (5.89)

e autoket di H0 + HSO con autovalore E.

5.4.2 Hamiltoniana di Heisenberg per sistemi magnetici

I cristalli sono strutture fisiche caratterizzate da una cella elementare che si ripete periodica-mente nello spazio e all’interno della quale sono presenti un numero finito di atomi posizionatisempre nello stesso modo. I cristalli possono essere caratterizzati in base alle loro proprietaelettroniche, come la conducibilita, ottiche, come il loro colore, e magnetiche. Riguardo questeultime, esse emergono ad esempio nei cristalli in cui il numero di elettroni in ciascuna cella edispari e pertanto ciascuna cella ha uno spin effettivo diverso da zero. Il magnetismo in questimateriali e essenzialmente dovuto al fatto che lo spin di una cella interagisce con lo spin dellacella vicina, e l’energia associata a questa interazione e minima quando gli spin sono allineati.La Hamiltoniana che governa gli spin delle celle e detta Hamiltoniana di Heisenberg e hala seguente forma matematica

H =∑ij

Jij Si · Sj (5.90)

dove Si e l’operatore di spin della i-esima cella e Jij sono delle costanti di accoppiamento (essenon hanno nulla a che vedere con il momento angolare totale studiato in precedenza). Vediamocome la teoria della composizione del momento angolare ci aiuta a capire il magnetismo nellamateria.

Supponiamo per semplicita di avere solo due celle e indichiamo con S1 e S2 gli spin di questecelle. Allora la Hamiltoniana diventa

H = J S1 · S1, (5.91)

dove abbiamo definito la costante di accoppiamento J ≡ J12. Introducendo l’operatore dellospin totale

S = S1 + S1 (5.92)

possiamo riscrivere la Hamiltoniana utilizzando Eq. (5.69) nel seguente modo

H =J

2(S2 − S2

1 − S22). (5.93)

Se gli spin di entrambe le celle e 1/2 allora i possibili valori dello spin totale sono s = 1 oppure

s = 0 e gli autovalori di H sono

Es =J~2

2

(s(s+ 1)− 3

2

). (5.94)

Nel caso in cui J < 0 vediamo che l’energia piu bassa si ha per s = 1 e i corrispondenti autokets



della Hamiltoniana saranno dunque

|1, 1〉 12

12

= |12,1

2;1

2,1

2〉

|1, 0〉 12

12

=1√2

(|12,1

2;1

2,−1

2〉+ |1

2,−1

2;1

2,1

2〉)

|1,−1〉 12

12

= |12,−1

2;1

2,−1

2〉. (5.95)

Questi tre stati prendono il nome di stati di tripletto. Il primo e il terzo di essi hanno glispin delle due celle allineati tra loro. Invece, lo stato di energia piu alta con s = 0, detto anchestato di singoletto,

|0, 0〉 12

12

=1√2

(|12,1

2;1

2,−1

2〉 − |1

2,−1

2;1

2,1

2〉)

(5.96)

ha gli spin delle celle anti-allineati. Questo semplice esempio ci fa capire come l’interazione diHeisenberg favorisce un certo allineamento di spin e quindi il magnetismo.


Chapter 6

Teoria delle perturbazioni

6.1 Correzione dei livelli energetici

I problemi che possono essere risolti esattamente in meccanica quantistica si contano sulle ditadi una mano. Essi sono i problemi con potenziale costante a tratti, l’oscillatore armonico,l’atomo di idrogeno e pochi altri. Per “risolvere esattamente un problema” intendiamo qui ladiagonalizzazione esatta dell’operatore Hamiltoniana. Nella stragande maggioranza dei casi ladiagonalizzazione esatta e estremamente complicata. Spesso tuttavia ci troviamo ad affrontareproblemi in cui la Hamiltoniana H e la somma di un operatore H0 che sappiamo diagonalizzareesattamente e di un altro operatore P , detto perturbazione, che produce piccole correzioni agliautovalori e autokets di H0:

H = H0 + P . (6.1)

In questi casi e possibile sviluppare un metodo che ci consente di calcolare perturbativamentele correzioni dovute all’operatore P . In questo capitolo ci occuperemo proprio di svilupparetale metodo. Sebbene lavoreremo per correggere gli autovalori e autokets di H0 il metodo eapplicabile anche ad altri contesti. Se siamo interessati a diagonalizzare l’operatore C = A+B econosciamo autovalori e autokets di A, potremo calcolare le correzioni dovute B semplicementerimpiazzando in tutte le formule che seguono H0 con A e P con B.

L’idea alla base del metodo perturbativo e la seguente. Consideriamo la Hamiltoniana

Hλ = H0 + λP , (6.2)

con λ un parametro adimensionale compreso tra 0 e 1. Per λ = 0 la Hamiltoniana qui sopra siriduce a H0 mentre per λ = 1 la Hamiltoniana qui sopra si riduce a quella a cui siamo interessati,ossia quella di Eq. (6.1). Quando λ cresce a partire da λ = 0 gli autovalori En(λ) e autokets

|En(λ)〉 di Hλ partono da quelli imperturbati di H0 e poi se ne discostano fino a diventare quelli

di H quando λ = 1. Il metodo perturbativo consiste nello sviluppare in serie di potenze di λsia gli autovalori che gli autokets. Troncando poi questi sviluppi a una certa potenza di λ evalutandoli in λ = 1 ci consente di ottenere dei risultati approssimati per autovalori e autokets.

6.1.1 Correzioni livello non degenere

Iniziamo a sviluppare la teoria considerando un autovalore non degenere di H0. Diciamo chel’autovalore in questione e quello del livello n quindi

H0|E(0)n 〉 = E(0)

n |E(0)n 〉. (6.3)

99

100 6.1. Correzione dei livelli energetici

Il nostro scopo e quello di trovare l’autovalore En(λ) e l’autoket |En(λ)〉 che soddisfano

Hλ|En(λ)〉 = En(λ)|En(λ)〉. (6.4)

Sviluppiamo in serie di potenze di λ gli autovalori di Hλ:

En(λ) = E(0)n + ∆n = E(0)

n +∞∑k=1

λk∆(k)n , (6.5)

e riscriviamo Eq. (6.4) utilizzando sia la forma esplicita di Hλ che l’Eq. (6.5)

(H0 + λP )|En(λ)〉 = (E(0)n + ∆n)|En(λ)〉, (6.6)

da cui(E(0)

n − H0)|En(λ)〉 = (λP −∆n)|En(λ)〉. (6.7)

Poiche l’insieme degli autokets imperturbati di H0 forma una base ortonormale possiamo es-pandere il ket |En(λ)〉 su questa base

|En(λ)〉 = |E(0)n 〉+

∑m6=n

cm|E(0)m 〉. (6.8)

Si noti che il ket |En(λ)〉 non e normalizzato. Infatti

〈En(λ)|En(λ)〉 = 1 +∑m 6=n

|cm|2 > 1. (6.9)

Ci occuperemo di normalizzarlo in seguito. Sostituendo l’espansione di Eq. (6.8) nel membrodi sinistra di Eq. (6.7) otteniamo∑

m6=n

cm(E(0)n − E(0)

m )|E(0)m 〉 = (λP −∆n)|En(λ)〉, (6.10)

e moltiplicando per il bra 〈E(0)m | possiamo ricavare la seguente espressione per i coefficienti cm

cm =〈E(0)

m |λP −∆n|En(λ)〉E

(0)n − E(0)

m

. (6.11)

Sostituendo questo risultato nell’espansione di Eq. (6.8) arriviamo ad una formula ricorsiva perl’autoket cercato

|En(λ)〉 = |E(0)n 〉+

∑m 6=n

1

E(0)n − E(0)

m

|E(0)m 〉〈E(0)

m |λP −∆n|En(λ)〉. (6.12)

Per meglio riconoscere la ricorsivita di questa equazione definiamo l’operatore

In =∑m 6=n

1

E(0)n − E(0)

m

|E(0)m 〉〈E(0)

m |. (6.13)

Allora l’Eq. (6.12) diventa

|En(λ)〉 = |E(0)n 〉+ In(λP −∆n)|En(λ)〉

= |E(0)n 〉+ In(λP −∆n)|E(0)

n 〉+ In(λP −∆n)In(λP −∆n)|E(0)n 〉+ . . . (6.14)


Chapter 6. Teoria delle perturbazioni 101

Indichiamo con |E(k)n 〉 la correzione all’ordine k in λ, quindi

|En(λ)〉 =∞∑k=0

λk|E(k)n 〉. (6.15)

Utilizzando l’espansione in serie di potenzie di λ in Eq. (6.5) possiamo identificare i vari |E(k)n 〉:

|E(1)n 〉 = In(P −∆(1)

n )|E(0)n 〉

|E(2)n 〉 =

[In(P −∆(1)

n )In(P −∆(1)n )− In∆(2)

n

]|E(0)

n 〉. . . (6.16)

Abbiamo quindi delle espressioni esplicite per correggere l’autoket ad un certo ordine in λ.

Queste espressioni richiedono tuttavia la conoscenza dei ∆(k)n . Come ottenere questi ultimi?

Niente di piu semplice. Moltiplicando Eq. (6.7) per il bra 〈E(0)n | troviamo

〈E(0)n |(E(0)

n − H0)|En(λ)〉 = 0 = 〈E(0)n |(λP −∆n)|En(λ)〉 = λ〈E(0)

n |P |En(λ)〉 −∆n, (6.17)

dove si e tenuto conto che, in virtu dell’Eq. (6.8), 〈E(0)n |En(λ)〉 = 1. Quindi

∆n = λ〈E(0)n |P |En(λ)〉. (6.18)

Utilizzando l’espansione in serie di potenze di λ sia per ∆n, vedi Eq. (6.5), che per |En(λ)〉,vedi Eq. (6.15), e uguagliando i coefficienti con le stesse potenze troviamo

∆(k)n = 〈E(0)

n |P |E(k−1)n 〉. (6.19)

Quindi, in base ai risultati in Eq. (6.16) avremo per la correzione del primo ordine

∆(1)n = 〈E(0)

n |P |E(0)n 〉, (6.20)

per quella del secondo ordine

∆(2)n = 〈E(0)

n |P In(P −∆(1)n )|E(0)

n 〉 = 〈E(0)n |P InP |E(0)

n 〉

=∑m6=n

|〈E(0)n |P |E(0)

m 〉|2

E(0)n − E(0)

m

(6.21)

e cosı via. Osserviamo che se il livello in questione e quello dello stato fondamentale allora

E(0)n < E

(0)m per ogni m 6= n e quindi ∆

(2)n < 0. Dunque la correzione del secondo ordine

all’energia dello stato fondamentale e sempre negativa.

6.1.2 Correzioni livello degenere

Veniamo ora al caso in cui il livello da correggere sia un livello degenere con degenerazione

d > 1. Indichiamo al solito con n il livello in questione, con E(0)n la sua energia e con |E(0)

n,g〉 gliautokets degeneri. Quindi

H0|E(0)n,g〉 = E(0)

n |E(0)n,g〉, g = 1, . . . , d. (6.22)


102 6.1. Correzione dei livelli energetici

Il nostro scopo e quello di trovare gli autovalori En,v(λ) e i kets |En,v(λ)〉 che soddisfano

Hλ|En,v(λ)〉 = En,v(λ)|En,v(λ)〉, v = 1, . . . , d, (6.23)

dove gli autovalori En,v(λ) calcolati in λ = 0 coincidono tutti con E(0)n . In generale non c’e

motivo di aspettarci che la perturbazione λP preservi la degenerazione del livello n, quindidobbiamo contemplare la possibilita che le energie perturbate siano tra loro diverse. Questoe il motivo per cui abbiamo messo un indice anche alle energie. Qualora il livello non restidegenere, e anticipiamo che questo accade nella maggior parte dei casi, diremo che il livello hasubito uno splitting da parte della perturbazione. Espandiamo le energie perturbate En,v(λ)in serie di potenze di λ come abbiamo fatto nel caso non-degenere

En,v(λ) = E(0)n + ∆n,v = E(0)

n +∞∑k=1

λk∆(k)n,v. (6.24)

Procedendo come prima, e immediato verificare che Eq. (6.23) implica

(E(0)n − H0)|En,v(λ)〉 = (λP −∆n,v)|En,v(λ)〉. (6.25)

Poiche l’insieme degli autokets imperturbati di H0 forma una base ortonormale possiamo es-pandere i kets |En,v(λ)〉 su questa base

|En,v(λ)〉 =∑g

cv,g|E(0)n,g〉+

∑m 6=n

cm|E(0)m 〉. (6.26)

Sostituendo l’espansione di Eq. (6.26) nel membro di sinistra di Eq. (6.25) otteniamo∑m 6=n

cm(E(0)n − E(0)

m )|E(0)m 〉 = (λP −∆n,v)|En,v(λ)〉, (6.27)

e moltiplicando per il bra 〈E(0)m | possiamo ricavare la seguente espressione per i coefficienti cm

cm =〈E(0)

m |λP −∆n,v|En,v(λ)〉E

(0)n − E(0)

m

. (6.28)

Sostituendo questo risultato nell’espansione di Eq. (6.26) arriviamo ad una formula ricorsivaper l’autoket cercato

|En,v(λ)〉 =∑g

cv,g|E(0)n,g〉+

∑m 6=n

1

E(0)n − E(0)

m

|E(0)m 〉〈E(0)

m |λP −∆n,v|En,v(λ)〉. (6.29)

A differenza del caso non-degenere questa equazione ricorsiva non ci consente di calcolare|En,v(λ)〉 poiche non conosciamo i coefficienti cv,g. Nel caso non-degenere questo problema nonsi poneva poiche di questi coefficienti ve ne era uno solo, che abbiamo scelto valere 1 dato chela normalizzazione puo sempre essere fissata in seguito. Nel caso degenere questa liberta sullanormalizzazione non basta. Essa ci consente infatti di scegliere il valore di uno dei coefficienticv,g, non di tutti. Determinare questi coefficienti (a meno di una costante moltiplicativa che puoessere fissata in seguito con la normalizzazione) e tuttavia piuttosto semplice. Moltiplicando

Eq. (6.25) per il bra 〈E(0)n,g′ | troviamo

λ〈E(0)n,g′ |P |En,v(λ)〉 = ∆n,vcv,g′ . (6.30)



Questa equazione ci consente di determinare sia i coefficienti cv,g che le correzioni ∆n,v a tuttigli ordine in λ. Nel seguito lavoreremo esplicitamente solo l’ordine piu basso in λ.

L’ordine piu basso in λ della quantita λ〈E(0)n,g′|P |En,v(λ)〉 e il primo ordine e lo si ottiene

approssimando |En,v(λ)〉 con la sua espressione all’ordine zero in λ, vale a dire con il primo

termine a destra dell’uguale in Eq. (6.29). Infatti la quantita λP − ∆n,v e almeno del primoordine in λ. Anche per la quantita ∆n,vcv,g′ l’ordine piu basso in λ e il primo ordine e lo si

ottiene approssimando ∆n,v con λ∆(1)n,v, vedi Eq. (6.24). Uguagliando allora i termini del primo

ordine in λ di Eq. (6.30) troviamo∑g

〈E(0)n,g′|P |E(0)

n,g〉cv,g = ∆(1)n,vcv,g′ . (6.31)

Riconosciamo in questa equazione un’equazione agli autovalori. Infatti se definiamo la matriceP di dimensione d× d con elementi di matrice

Pg′,g = 〈E(0)n,g′ |P |E(0)

n,g〉, (6.32)

e il vettore cv di dimensione d con componenti cv,g, allora possiamo riscrivere Eq. (6.31) informa matriciale nel seguente modo

Pcv = ∆(1)n,vcv (6.33)

In conclusione, data la perturbazione P le correzioni all’ordine piu basso dell’autovalore

degenere E(0)n con autokets degeneri |E(0)

n,g〉 sono gli autovalori ∆(1)n,v della matrice P mentre gli

autokets all’ordine piu basso sono dati da

|En,v〉 =∑g

cv,g|E(0)n,g〉 (6.34)

dove i cv,g sono le componenti dell’autovettore di P con autovalore ∆(1)n,v.

6.2 Evoluzione temporale

Il metodo perturbativo descritto nella sezione precedente consente di calcolare approssimati-vamente autovalori e autokets di operatori dati dalla somma di un operatore di cui si conoscetutto e di una piccola perturbazione. In questa sezione vogliamo invece sviluppare un metodoperturbativo che consente di calcolare l’evoluzione temporale di un ket, indipendentemente dalket, quando la Hamiltoniana ha la forma

H(t) = H0 + P (t), (6.35)

dove la perturbazione P (t) e un operatore che puo dipendere esplicitamente da tempo. Come

nel caso precedente assumiamo di conoscere tutti gli autovalori E(0)n e autokets |E(0)

n 〉 di H0.Essi possono essere sia degeneri che non degeneri; la derivazione che segue non dipende dalladegenerazione dei livelli imperturbati. Introduciamo poi l’operatore

Hλ = H0 + λP (t) (6.36)

tale che per λ = 0 restituisce l’Hamiltoniana H0 mentre per λ = 1 restituisce la Hamiltonianain Eq. (6.35). Svilupperemo tutte le quantita in serie di potenze di λ. Risultati approssimatisi otterrano troncando questi sviluppi a un certo ordine in λ e valutando il tutto a λ = 1.


104 6.2. Evoluzione temporale

Dato il ket |Ψ0〉 al tempo t = 0 e nostra intenzione risolvere in modo approssimato (o meglioperturbativo in λ) l’equazione di Schrodinger

i~d

dt|Ψ(t)〉 =

(H0 + λP (t)

)|Ψ(t)〉. (6.37)

A tal fine espandiamo il ket |Ψ(t)〉 sulla base degli autokets di H0 nel seguente modo:

|Ψ(t)〉 =∑n

e−iE

(0)n t~ cn(t)|E(0)

n 〉. (6.38)

La condizione iniziale |Ψ(0)〉 = |Ψ0〉 implica che

cn(0) = 〈E(0)n |Ψ0〉. (6.39)

Il motivo per cui abbiamo scritto i coefficienti dell’espansione come un esponenziale per i co-efficienti cn e presto detto. Quando λ = 0 il ket |Ψ(t)〉 con cn(t) = cn(0) costante nel temporisolve l’equazione di Schrodinger, vedi Eq. (1.148). Quindi la dipendenza temporale dei cn edovuta alla presenza della perturbazione e fornisce indicazioni sulla sua natura e su quanto essasia rilevante. Sostituendo Eq. (6.38) in Eq. (6.37) e immediato ottenere∑

n

e−iE

(0)n t~ i~

dcn(t)

dt|E(0)

n 〉 = λ∑n

e−iE

(0)n t~ P (t)cn(t)|E(0)

n 〉 (6.40)

Moltiplicando ambo i membri di questa equazione per 〈E(0)m |e

iE(0)m t~ e definendo le frequenze

Ωmn =E

(0)m − E(0)

n

~(6.41)

troviamo un sistema di equazioni differenziali per i coefficienti cn:

i~dcm(t)

dt= λ

∑n

〈E(0)m |P (t)|E(0)

n 〉eiΩmntcn(t). (6.42)

Definendo la matrice dipendente dal tempo P(t) con elementi di matrice

Pmn(t) = 〈E(0)m |P (t)|E(0)

n 〉 = P ∗nm(t) (6.43)

e integrando Eq. (6.42) rispetto al tempo arriviamo ad un’equazione ricorsiva per i coefficienticn:

cm(t) = cm(0)− iλ

~∑n

∫ t

0

dt′Pmn(t′)eiΩmnt′cn(t′). (6.44)

Questa equazione consente di espandere i coefficienti in serie di potenze di λ. Infatti, riscrivendol’equazione qui sopra per cn(t′) invece che per cm(t) e poi sostituendo sotto il segno di integralein Eq. (6.44) abbiamo


~∑n

∫ t

0

dt′Pmn(t′)eiΩmnt′cn(0)

+

(iλ

~

)2∑nn′

∫ t

0

dt′Pmn(t′)eiΩmnt′∫ t′

0

dt′′Pnn′(t′′)eiΩnn′ t

′′cn′(t

′′). (6.45)



Continuando a iterare generiamo la serie di potenze in λ. E importante realizzare che sino aquesto punto non e stata fatta alcuna approssimazione.

In questo corso studieremo solamente l’approssimazione del primo ordine in λ. Cio significache approssimeremo cm(t) con la prima riga di Eq. (6.45). Scriviamo la funzione Pmn(t′) intermini della sua trasformata di Fourier

Pmn(t′) =

∫dω

2πe−iωt′Pmn(ω). (6.46)

Sostituendo in Eq. (6.45) e integrando rispetto al tempo troviamo


~∑n

∫dω

2πPmn(ω)

∫ t

0

dt′ei(Ωmn−ω)t′cn(0)

= cm(0)− iλ

~∑n

∫dω

2πPmn(ω)ei

(Ωmn−ω)t2

sin(

Ωmn−ω2

t)(

Ωmn−ω2

) cn(0). (6.47)

Questa formula si semplifica ulteriormente nel caso in cui il ket al tempo t = 0 e un autoket di

H0, ossia |Ψ0〉 = |E(0)i 〉 per qualche i. In tal caso, vedi Eq. (6.39),

cn(0) = δni, (6.48)

e pertanto per tutti gli m 6= i avremo

cm(t) = − iλ

~

∫dω

2πPmi(ω)ei

(Ωmi−ω)t

2sin(

Ωmi−ω2

t)(

Ωmi−ω2

) . (6.49)

6.2.1 Regola d’oro di Fermi

Consideriamo ora il caso speciale di perturbazioni coerenti e monocromatiche come ad esempioun laser. Per queste perturbazioni la dipendenza temporale dell’operatore (hermitiano) P (t) edella forma

P (t) = Aeiω0t + A†e−iω0t, (6.50)

dove A puo essere un qualsiasi operatore anche non hermitiano. Quindi

Pmi(t) = Amieiω0t + A∗ime

−iω0t, (6.51)

dove abbiamo definito gli elementi di matrici dell’operatore A come Ami = 〈E(0)m |A|E(0)

i 〉. DaEq. (6.46) segue allora che

Pmi(ω) = 2πAmiδ(ω + ω0) + 2πA∗imδ(ω − ω0). (6.52)

Il lettore puo facilmente verificare che sostituendo questa equazione in Eq. (6.46) si trova proprioEq. (6.51). Sostituendo ora Eq. (6.52) in Eq. (6.49) troviamo

cm(t) = − iλ

~

[Amie

i(Ωmi+ω0)t

2sin(

Ωmi+ω0

2t)(

Ωmi+ω0

2

) + A∗imei(Ωmi−ω0)t

2sin(

Ωmi−ω0

2t)(

Ωmi−ω0

2

) ]. (6.53)

Studiamo il coefficiente cm(t) nel limite di lunghi tempi. La funzione sin(αt)α

e una funzioneoscillante di frequenza α. Tuttavia per α→ 0 abbiamo

limα→0

sin(αt)

α= t. (6.54)



-2 -1 1 2

20

40

60

80

100

120

140

t = 12

t = 8

t = 4

g(↵, t)

↵

Figure 6.1:

Pertanto nel limite t → ∞ i coefficienti che dominano su tutti gli altri sono quelli per cuiΩmi + ω0 = 0 oppure Ωmi − ω0 = 0. Questo implica che nel calcolare |cm(t)|2 possiamoignorare i termini misti essendo essi subdominanti nel limite t→∞. Infatti se m e tale per cuiΩmi + ω0 = 0 allora il contributo dominante e dato dal primo termine nella parentesi quadramentre se m e tale per cui Ωmi − ω0 = 0 allora il contributo dominante e dato dal secondotermine nella parentesi quadra. Possiamo allora scrivere che

limt→∞|cm(t)|2 =

λ2

~2|Ami|2 lim

t→∞

[sin2

(Ωmi+ω0

2t)(

Ωmi+ω0

2

)2 +sin2

(Ωmi−ω0

2t)(

Ωmi−ω0

2

)2

](6.55)

Per poter procedere occorre fare lo studio della funzione g(α, t) = sin2(αt)α2 . In Figura 6.1

mostriamo l’andamento della funzione per valori crescenti di t. Essa tende a zero come 1/α2

per α → ∞ mentre tende al valore t2 per α → 0. Inoltre al crescere di t diventa sempre piustretta in quanto, scendendo dal picco principale, tocca l’asse α nei punti ±π/t. Siamo quindial cospetto di una curva che al crescere di t e diversa da zero solo in prossimita di α = 0 eper α = 0 tende a infinito come t2. Questo e il classico comportamento di una delta di Dirac.Scriviamo quindi

limt→∞

sin2(αt)

α2= f(t)δ(α). (6.56)

Per determinare la funzione f(t) integriamo ambo i membri di questa equazione rispetto ad α.Estendendo l’integrale al piano complesso e utilizzando il teorema dei residui avremo

f(t) =

∫ ∞−∞

dαsin2(αt)

α2= πt. (6.57)



Alla luce di questi risultati possiamo quindi scrivere che

limt→∞

sin2(

Ωmi±ω0

2t)(

Ωmi±ω0

2

)2 = πt δ(Ωmi ± ω0

2) = 2π~ t δ(E(0)

m − E(0)i ± ~ω0). (6.58)

Sostituendo in Eq. (6.55) arriviamo alla regola d’oro di Fermi

limt→∞

|cm(t)|2t

= λ2 2π

~|Ami|2

[δ(E(0)

m − E(0)i + ~ω0) + δ(E(0)

m − E(0)i − ~ω0)

]. (6.59)

Quindi la probabilita |cm(t)|2 che partendo dallo stato iniziale |E(0)i 〉 il sistema evolva verso

lo stato |E(0)m 〉 e diversa da zero solo se la differenza di energia tra lo stato iniziale e quello

finale e ±~ω0 e se |Ami|2 6= 0. La regola d’oro di Fermi e di fondamentale importanza per lamanipolazione di sistemi quantistici. Ad esempio se volessimo far transire l’elettrone inizial-mente nello stato fondamentale |1, 0, 0〉 dell’atomo di idrogeno su un generico livello |n, l,m〉dovremmo utilizzare un campo elettromagnetico di frequenza ω0 > 0 tale che ~ω0 = e2

2aB(1− 1

n2 )e assicurarci che la parte spaziale della perturbazione dia origine ad un elemento di matricenon nullo tra lo stato |1, 0, 0〉 e lo stato |n, l,m〉.


Appendix A

Delta di Dirac: definizione e proprieta

La delta di Dirac δ(x) e una funzione (o meglio una funzione limite) tale per cui∫dx′f(x′)δ(x− x′) = f(x) (A.1)

per qualsiasi funzione f . Suddividiamo l’asse reale in intervalli di lunghezza ∆ e definiamoi punti xn = n∆. Al decrescere di ∆ i punti xn diventano sempre piu vicini tra loro e nellimite ∆→ 0 otteniamo tutti i punti dell’asse reale. Utilizziamo la definizione di integrale perriscrivere l’Eq. (A.1) come∫

dx′f(x′)δ(xn − x′) = lim∆→0

∑n′

∆f(xn′)δ(xn − xn′) = f(xn). (A.2)

Dall’ultima identita vediamo che la delta di Dirac puo allora scriversi come

δ(xn − xn′) = lim∆→0

δn,n′

∆. (A.3)

Possiamo utilizzare questo risultato per ottenere un’importante rappresentazione della delta diDirac.

Si consideri la sommaN−1∑k=0

zk =1− zN1− z (A.4)

dove z puo essere un qualsiasi numero complesso. Scegliamo z = e2πiNj con j intero. Se j e

un multiplo di N allora z = 1 e la somma fornisce N . Se invece j non e multiplo di N alloraessendo zN = e2πij = 1 la somma e nulla. Quindi possiamo scrivere

N−1∑k=0

e2πiNjk = N(. . . δj,−N + δj,0 + δj,N + δj,2N + . . .) (A.5)

Moltiplicando questa equazione per e−2πiNjN

2 = e−πij troviamo

N−1∑k=0

e2πiNj(k−N

2) = Ne−πij(. . . δj,−N + δj,0 + δj,N + δj,2N + . . .)

= N(. . . eπiNδj,−N + δj,0 + e−πiNδj,N + e−2πiNδj,2N + . . .) (A.6)

109

110

Se scegliamo N essere un numero pari allora tutti gli esponenziali che moltiplicano le delta diKronecker sono pari a 1. Cambiando poi l’indice della somma in k′ = k −N/2 e rinominandok′ con k possiamo riscrivere l’equazione sopra come

N/2−1∑k=−N/2

e2πiNjk = N(. . . δj,−N + δj,0 + δj,N + δj,2N + . . .). (A.7)

Dividiamo questa equazione per N e definiamo ∆ = 1/N :

∆

N/2−1∑k=−N/2

e2πiNjk = . . . δj,−N + δj,0 + δj,N + δj,2N + . . . (A.8)

Consideriamo ora i punti dell’asse reale qk = k∆ = k/N . Nel limite N →∞, e quindi ∆→ 0,la somma diventa un integrale sulla variabile continua q. Dato che il minimo valore di qk e−1/2 mentre il massimo valore di qk e 1/2 gli estremi di integrazione saranno −1/2 e 1/2.Considerando poi che nel limite N → ∞ l’unica delta di Kronecker che puo essere diversa dazero e δj,0 troviamo ∫ 1/2

−1/2

dq e2πijq = δj,0. (A.9)

Dividiamo ora questa equazione per ∆ e definiamo i punti dell’asse reale xj = j∆:

1

∆

∫ 1/2

−1/2

dq e2πi q∆xj =

δj,0∆. (A.10)

Facendo il cambio di variabile p = 2πq/∆ e quindi dp = 2πdq/∆ possiamo riscrivere questaequazione come ∫ π/∆

−π/∆

dp

2πeipxj =

δj,0∆. (A.11)

Prendendo ora il limite ∆→ 0 e tenendo conto di Eq. (A.3) otteniamo la seguente rappresen-tazione della delta di Dirac ∫ ∞

−∞

dp

2πeipxj = δ(xj). (A.12)

Dovendo questa identita essere vera per ogni xj possiamo porre xj = (x − x′) e riscrivere ilrisultato sopra nella forma piu familiare∫ ∞

−∞

dp

2πeip(x−x′) = δ(x− x′). (A.13)

Andiamo di seguito a dimostrare alcune proprieta di questa funzione

Proprieta 1:

δ(x− x′) = δ(x′ − x) (A.14)

Questa proprieta segue immediatamente da Eq. (A.13) cambiando variabile p→ −p.


Chapter A. Delta di Dirac: definizione e proprieta 111

Proprieta 2:

δ(a(x− x′)) =δ(x− x′)|a| (A.15)

Anche questa proprieta segue immediatamente da Eq. (A.13). Risulta

δ(a(x− x′)) =

∫ ∞−∞

dp

2πeiap(x−x′) (A.16)

Scriviamo a = a|a| |a| = sign(a)|a| e cambiamo variabile p′ = ap, quindi dp′ = adp. Avremo

allora

δ(a(x− x′)) =1

a

∫ sign(a)∞

−sign(a)∞

dp′

2πeip′(x−x′) =

sign(a)

aδ(x− x′) =

δ(x− x′)|a| (A.17)

Proprieta 3: Si consideri una funzione f(x) tale da annullarsi nei punti xm: f(xm) = 0.Allora

δ(f(x)) =∑m

δ(x− xm)

|f ′(xm)| (A.18)

dove f ′(xm) e la derivata prima della funzione f calcolata in xm.Questa proprieta segue dal fatto che che δ(f(x)) e diversa da zero solo se x e uguale a uno

dei punti xm. Nelle vicinanze di uno di questi punti possiamo allora approssimare f(x) =f ′(xm)(x− xm) e riscrivere

δ(f(x)) =∑m

δ(f ′(xm)(x− xm)) (A.19)

La proprieta 3 e adesso una diretta consequenza della proprieta 2.


112


Appendix B

Tensore di Levi-Civita: definizione eproprieta

Il tensore di Levi-Civita εijk e un oggetto a tre indici in cui ciascun indice puo assumere i valoriinteri 1, 2 e 3. Quindi in totale abbiamo 33 possibili combinazioni ε111, ε112, ε113, ε121, ε122,ε123, etc. Il valore di εijk puo essere 0, 1 oppure −1 secondo la seguente regola

εijk =

0 se due o piu indici sono uguali1 se (i, j, k) e una permutazione pari di (1,2,3)−1 se (i, j, k) e una permutazione dispari di (1,2,3)

(B.1)

Il tensore di Levi-Civita e particolarmente utile per scrivere in modo compatto le componentidel prodotto vettoriale tra due vettori. Sia dato il vettore c = a× b. Allora le componenti dic sono

c1 = a2b3 − a3b2, c2 = −a1b3 + a3b1, c3 = a1b2 − a2b1 . (B.2)

Facciamo vedere che queste tre componenti possono essere scritte in forma compatta come

ci =∑jk

εijkajbk . (B.3)

Abbiamo ad esempio per la prima componente

c1 =∑jk

ε1jkajbk . (B.4)

Dal momento che εijk e nullo se due o piu indici sono uguali gli unici contributi non nulli sihanno per (j, k) = (2, 3) oppure (j, k) = (3, 2). Quindi

c1 = ε123a2b3 + ε132a3b2 . (B.5)

Ora (1, 2, 3) e una permutazione pari di (1, 2, 3) mentre (1, 3, 2) e una permutazione dispari di(1, 2, 3). Quindi ε123 = 1 e ε132 = −1. Sostituendo questi valori otteniamo la prima di Eq. (B.2).Similmente per le altre componenti avremo

c2 =∑jk

ε2jkajbk = ε213a1b3 + ε231a3b1 = −a1b3 + a3b1 (B.6)

c3 =∑jk

ε3jkajbk = ε312a1b2 + ε321a2b1 = a1b2 − a2b1 (B.7)

113

114

Vediamo qui sotto alcune proprieta del tensore di Levi-Civita che ci consentono di eseguireagevolmente calcoli in cui compaiono prodotti vettoriali.

Proprieta 1: Se ajk = akj allora ∑jk

εijkajk = 0. (B.8)

Questa proprieta, utilizzata per derivare Eq. (2.41), e di immediata dimostrazione. Dalladefinizione in Eq. (B.1) segue che scambiando j con k si ha εijk = −εikj. Quindi∑

jk

εijkajk = −∑jk

εikjajk. (B.9)

Poiche j, k sono indici muti possiamo rinominare a secondo membro j con k e k con j ottenendo∑jk

εijkajk = −∑jk

εijkakj = −∑jk

εijkajk (B.10)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato che ajk = akj. Pertanto la somma in questione euguale a meno se stessa. Essendo zero l’unico numero uguale a meno se stesso la somma e zero.

Proprieta 2: ∑k

εijkεpqk = δipδjq − δiqδjp. (B.11)

Questa proprieta e stata usata per derivare Eq. (4.35). La dimostrazione e piuttosto sem-plice. Fissata la coppia (i, j) se i = j allora εijk = 0 e otteniamo 0 = 0 dal momento che ancheil secondo membro e nullo. Se invece i 6= j allora esiste un solo k per cui εijk 6= 0. Per quelk affinche εpqk possa essere diverso da zero la coppia (p, q) deve essere uguale alla coppia (i, j)oppure alla coppia (j, i). Nel primo caso, ossia p = i e q = j, l’unico termine della sommae (εijk)

2 = 1 mentre nel secondo caso, ossia p = j e q = i, l’unico termine della somma eεijkεjik = −1. In entrambi i casi il membro di destra coincide con quello di sinistra e quindi laproprieta e dimostrata.

Proprieta 3: ∑jk

εijkεpjk = 2δip (B.12)

Abbiamo usato questa proprieta per derivare Eq. (4.34). La dimostrazione segue diretta-mente dall’Eq. (B.11) ponendo q = j e poi sommando su j:∑

jk

εijkεpjk =∑j

(δipδjj − δijδjp) = 3δip − δip = 2δip (B.13)


Appendix C

Gamma di Eulero: definizione eproprieta

La funzione Gamma di Eulero e definita dalla formula

Γ(z) =

∫ ∞0

dt tz−1e−t (C.1)

Per piccoli t il valore di e−t ' 1 e pertanto la primitiva dell’integrando si comporta come tz/z.Ne segue che se Re[z] < 0 l’integrale diverge. Pertanto l’Eq. (C.1) fornisce una rappresentazionedella funzione analitica Γ(z) soltanto per Re[z] > 0. Questa funzione e di particolare interessein quanto

Γ(z + 1) =

∫ ∞0

dt tze−t = −tze−t∣∣∞0

+

∫ ∞0

dt ztz−1e−t = zΓ(z). (C.2)

Ne segue che se z = n

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 2) = . . . = n! Γ(1). (C.3)

Ora

Γ(1) =

∫ ∞0

dtε−t = 1, (C.4)

e pertantoΓ(n+ 1) = n!. (C.5)

115

116


Index

armoniche sferiche, 72atomo di idrogeno, 77

carica elettrone, 1coefficiente di riflessione, 49coefficiente di trasmissione, 49collasso dello stato, 6composizione dei momenti angolari, 96corrente di probabilita, 41, 63costante di Planck, 3, 52

degenerazione, 26delta di Dirac, 13, 24, 48, 110, 113densita di probabilita, 12, 63distribuzione di Poisson, 56disuguaglianza di Schwarz, 28

equazione di continuita, 41, 49, 63equazione di Schrodinger, 7, 26, 60equazione differenziale di Eulero, 78equazioni di Eulero-Lagrange, 17equazioni di Hamilton, 20

funzione d’onda, 12, 32, 39, 60funzione generatrice, 21

Gamma di Eulero, 119gradiente, 69gradiente in coordinate polari, 70, 75

Hamiltoniana, 20, 26Hamiltoniana di Heisenberg, 100

interazione spin-orbita, 93

ket nullo, 52

Lagrangiana, 17Laplaciano, 61, 74Laplaciano in coordinate polari, 76legge di Laplace, 92livelli atomici, 81

magnetone di Bohr, 86massa elettrone, 1massa protone, 1matrici di Pauli, 34, 91

momento angolare totale, 95momento coniugato, 19

numero quantico azimutale, 73numero quantico principale, 80

onda piana, 39, 59operatore a spettro continuo, 14operatore di abbassamento, 51operatore di innalzamento, 51operatore di spin, 88operatore impulso, 22, 39, 59operatore momento angolare, 64operatore posizione, 22, 59orbitali, 81oscillatore armonico, 50osservabile, 5

parentesi di Poisson, 21particella in campo elettromagnetico, 18polinomi di Hermite, 54postulato di Dirac, 22postulato primo, 5postulato quarto, 6postulato quinto, 7, 26postulato secondo, 5postulato sesto, 22postulato terzo, 6primo postulato, 5principio di indeterminazione di Heisenberg, 29, 52

quarto postulato, 6quinto postulato, 7, 26

raggio di Bohr, 82rappresentazione di un bra, 34rappresentazione di un ket, 32rappresentazione di un operatore, 32rappresentazione operatori di spin, 90regola d’oro di Fermi, 111risoluzione dell’identita, 11, 14, 24

secondo postulato, 5sesto postulato, 22simmetria, 21singoletto, 101spettro, 26

117

118 Index

spin, 88splitting dei livelli, 106stati coerenti, 55stati legati, 81stato di singoletto, 101stato di tripletto, 101stato eccitato, 26stato fondamentale, 26, 52, 83

tensore di Levi-Civita, 18, 36, 63–65, 117teorema di Ehrenfest, 26, 56teoria delle perturbazioni: caso degenere, 106teoria delle perturbazioni: caso non-degenere, 104teoria delle perturbazioni: evoluzione temporale, 108terzo postulato, 6trasformata di Fourier, 109trasformata di Legendre, 19tripletto, 101

valore medio, 9, 28varianza, 9


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