1. Graficando con Maple

Maple es un programa de computacion simbolica que permite, entre otras cosas, calcular derivadas,lımites, integrales de funciones de una o varias variables; graficar funciones en el plano o en elespacio, etc.

Intentaremos establecer caracterısticas de las graficas de algunas funciones a partir de la facilidady rapidez que brinda esta herramienta, pero a la vez mostraremos algunos enganos en los quepodrıamos caer si no hacemos un estudio analıtico de la situacion en cada caso.

El comando para graficar funciones en un sistema cartesiano ortogonal en Maple, si las mismasestan dadas por una ley explıcita, es plot:

Por ejemplo:plot(x2)

La grafica que se obtiene por defecto corresponde a un rango de variacion de x de −10 a 10. Si

1

queremos cambiar el intervalo donde pretendemos que varıe x para visualizar la grafica, debemosexplicitarlo en el comando:plot(x2, x = −3..5)

Esta claro que las escalas en ambos ejes no son las mismas; el programa elige una ventana queconsidera adecuada para una visualizacion agradable de la imagen. Si se desea forzar que enambos ejes la escala sea la misma, se puede colocar dentro del comando una opcion de escala; eneste caso: scaling=constrained. O, mas sencillamente, haciendo click con el boton izquierdo delmouse sobre la grafica anterior, se despliegan usa serie de opciones graficas en la barra superior,una de las cuales es 1:1. Seleccionando esta opcion se lograra que las escalas de ambos ejes seanlas mismas.

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Ojo con el infinito!

Maple admite la posibilidad de que x varıe en todos los reales, colocando en el comando plot elrango x = −∞..∞. Esto puede darnos una idea del comportamiento de la funcion completa:

plot

(

1

x, x = −infinity..infinity

)

3

pero tambien puede mostrarnos una imagen como:plot(sen (x), x = 0..infinity)

y esto ocurre porque el programa convierte el intervalo [−∞,∞] en [−1, 1].

4

Otra posibilidad para restringir la visualizacion de la curva es colocar un rango de valores parala imagen. Por ejemplo:plot(x2, x, y = −10..10)

Ejercicio

Grafica la funcion f (x) = x3 − 7x2 + 28 para los siguientes rangos de valores de x e y:

1. x ∈ [−10, 10] , y ∈ [−10, 10]

2. x ∈ [−4, 4] , y ∈ [−50, 10]

3. x ∈ [−4, 10] , y ∈ [−60, 60]

¿Que concluyes?

Es importante tener una idea del comportamiento de la funcion para que lo que veamosen la pantalla resulte una visualizacion adecuada de la grafica.

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Por ejemplo, podrıamos establecer cuales son los puntos (si es que los hay) donde la grafica dela funcion corta al eje x. Es decir, encontrar los valores de x para los cuales f (x) = 0.

El comando solve (donde debemos indicar quien es la variable cuyos valores queremos establecer)permitira resolver esta ecuacion. En este caso:solve(x3 − 7x2 + 28 = 0, x)

Como el programa trabaja con aritmetica exacta, da las soluciones escritas en una forma queno es util para los fines de la graficacion. Basta obtener soluciones aproximadas de la ecuacion,lo cual se logra con:fsolve(x3 − 7x2 + 28 = 0, x)

Vemos que en este caso un rango de valores para x en el intervalo [−3, 8] muestra un grafico quenos da una idea clara del comportamiento de la funcion.

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Para establecer un rango de valores para y, podrıamos analizar tambien donde se encuentranlas lomas de esta curva. Para esto y otros analisis como prever en que intervalos la funcionsera creciente o decreciente, etc. necesitamos otras herramientas que veremos mas adelante.

Mas opciones

Otra opcion para agregar al comando plot que puede resultar de utilidad, tiene que ver conaquellos puntos donde la funcion puede no estar definida. Por ejemplo, si queremos graficar la

funcion f (x) =1

x − 2, escribimos:

plot

(

1

x − 2, x = −5..5

)

Lo primero que observamos es que, como cerca de 2 los valores de la funcion son, en valorabsoluto, muy grandes, no es posible una visualizacion adecuada sin acotar el rango de variacionde y:

plot

(

1

x − 2, x = −5..5, y = −5..5

)

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Algo mejora. Sin embargo, aparece una linea vertical que no es parte de la grafica de la funcion.Esto sucede porque el programa calcula los valores de la funcion en algunos puntos y une consegmentos de recta los puntos que obtiene. Ası por ejemplo, si calcula: f (1,9999) = −10000 yf (2,0001) = 10000 tendra que unir los puntos de coordenadas (1,9999,−10000) y (2,0001, 10000)pareciendo el resultado una linea vertical. Para eliminar estas irregularidades, pedimos a Mapleque tenga en cuenta que la funcion no esta definida en ese punto, y no intente unir puntos cuyasabscisas estan de un lado y del otro de este punto problematico. Esto lo hacemos agregando laopcion discont=true:

plot

(

1

x − 2, x = −5..5, y = −5..5, discont = true

)

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Este problema tambien se soluciona si el programa no une los puntos de manera de obteneruna curva continua, sino solo grafica los puntos que ha obtenido. Esto se consigue agregandola opcion style=point dentro del comando o, mas sencillamente, marcando el grafico y - con elboton derecho - seleccionar el estilo: punto. Tambien es posible elegir la forma de esos puntos(asterisco, cırculo, cruz, etc.).

Ejercicio

Grafica la funcion menor entero (en el programa se llama floor) en el intervalo [−5, 5]

Otro problema de visualizacion que puede ocurrir es el caso de una funcion con un gran numerode oscilaciones en un intervalo pequeno.

Si queremos graficar la funcion f (x) = sen (x) en el intervalo [−2π, 2π], pondremos:plot(sin (x), x = −2Pi..2Pi)

(notemos que la funcion seno debe ponerse en ingles sin, y que el programa conoce la constanteπ, que debe ponerse con p mayuscula; otra opcion es seleccionar esta constante de la lista deCommon Symbols que aparece en la barra de la izquierda).

Grafiquemos en el mismo intervalo la funcion sen (100x):plot(sin (100x), x = −2Pi..2Pi)

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¿Por que ocurre esto?

¿Como se calcula el perıodo de esta funcion?

Podemos calcular con el programa Maple:2π

100pero recordando que el programa trabaja con

artimetica exacta, nos conviene otra vez una aproximacion:

evalf

(

2Pi

100

)

Por lo tanto un grafico en el intervalo [−0,1, 0,1] dara una mejor idea del comportamiento de lafuncion.

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Ejercicio

Busca un rango de valores para x que permita una visualizacion adecuada de la funcion f (x) =

cos (x) +1

50sen (50x)

Redefiniendo funciones

Otro problema (mas grave) es que las funciones potenciales con exponente no entero estandefinidas solo para valores de x > 0. Entonces si queremos graficar: f (x) = 3

√x y ponemos:

plot( 3√

x, x = −3..3)

obtendremos solo la parte de la grafica que corresponde a x > 0. La forma de solucionar esto es

redefiniendo la funcion. Por ejemplo en este caso: f (x) =x

|x| |x|1

3 . ¿Por que?

Varias curvas juntas

Si queremos mostrar varios graficos simultaneamente, podemos utilizar el comando display. Loscomandos que hemos visto hasta ahora son comandos basicos que estan a disposicion apenas seabre el programa. El programa posee ademas paquetes con comandos especıficos para distintasareas. El comando display, por ejemplo, se encuentra dentro del paquete plots y para poder

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usarlo debe cargarse este paquete colocando: with(plots). Entonces por ejemplo:with(plots):display(plot(x2 + x + 1, x, color = blue),plot(2x2 + x + 1, x, color = green)

Un recurso un poquito mas sofisticado permite mostrar una secuencia (seq), en este caso degraficos:display(seq(plot(i ∗ x2 + x + 1, x, color = COLOR(RGB, rand()/1012, rand()/1012, rand()/1012), )i = 1..10)

Con estas herramientas podemos resolver los ejercicios 1 a 40 de la seccion 1.7 del libro deThomas: Calculo. Una variable.

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PRACTICA

En los ejercicios 1 a 4 determina la ventana devisualizacion mas adecuada para la grafica dela funcion especificada:

1. f (x) = x4 − 7x2 + 6x

a) [−1, 1] por [−1, 1]

b) [−2, 2] por [−5, 5]

c) [−10, 10] por [−10, 10]

d) [−5, 5] por [−25, 15]

2. f (x) = x3 − 4x2 + 16

a) [−1, 1] por [−5, 5]

b) [−3, 3] por [−10, 10]

c) [−5, 5] por [−10, 20]

d) [−20, 20] por [−100, 100]

3. f (x) = 5 + 12x − x3

a) [−1, 1] por [−1, 1]

b) [−5, 5] por [−10, 10]

c) [−4, 4] por [−20, 20]

d) [−4, 5] por [−15, 20]

4. f (x) =√

5 + 4x − x2

a) [−2, 2] por [−2, 2]

b) [−2, 6] por [−1, 4]

c) [−3, 7] por [0, 10]

d) [−10, 10] por [−10, 10]

En los ejercicios 5 a 30 determina el ran-go de variacion de x mas apropiado paravisualizar la funcion dada:

5. f (x) = x4 − 4x3 + 15

6. f (x) =x3

3− x2

2− 2x + 1

7. f (x) = x5 − 5x4 + 10

8. f (x) = 4x3 − x4

9. f (x) = x√

9 − x2

10. f (x) = x2 (6 − x3)

11. y = 2x − 3x

2

3

12. y = x

1

3 (x2 − 8)

13. y = 5x

2

5 − 2x

14. y = x

2

3 (5 − x)

15. y = |x2 − 1|

16. y = |x2 − x|

17. y =x + 3

x + 2

18. y = 1 − 1

x + 3

19. f (x) =x2 + 2

x2 + 1

20. f (x) =x2 − 1

x2 + 1

21. f (x) =x − 1

x2 − x − 6

22. f (x) =8

x2 − 9

23. f (x) =6x2 − 15x + 6

4x2 − 10x

24. f (x) =x2 − 3

x − 2

13

25. y = sen (250x)

26. y = 3 cos (60x)

27. y = cos( x

50

)

28. y =1

10sen( x

10

)

29. y = x +1

10sen (30x)

30. y = x2 +1

50cos (100x)

En los ejercicios 31 a 36, grafica las curvasque se indican:

31. La mitad inferior de la circunferenciadefinida por la ecuacion x2 + 2x = 4 +4y − y2

32. La rama superior de la hiperbola y2 −16x2 = 1

33. Cuatro perıodos de la funcion f (x) =− tan 2x

34. Dos perıodos de la funcion f (x) =

3 cotx

2+ 1

35. La funcion f (x) = sen 2x + cos 3x

36. La funcion f (x) = sen3 x

Grafica las funciones de los ejercicios 37a 40 en modo de puntos:

37. y =1

x − 3

38. y = sen1

x

39. y = x ⌊x⌋

40. y =x3 − 1

x2 − 1

Ahora responde las preguntas del final delCapıtulo 1 (Ejercicios Adicionales y Avanzados25 al 27).

1. ¿Que le pasa a la grafica de y = ax2 +bx + c conforme:

a) a cambia mientras b y c permanecenfijos?

b) b cambia (a y c fijos con a 6= 0)?

c) c cambia (a y b fijos con a 6= 0)?

2. ¿Que le pasa a la grafica de y =a (x + b)3 + c conforme:

a) a cambia mientras b y c permanecenfijos?

b) b cambia (a y c fijos con a 6= 0)?

c) c cambia (a y b fijos con a 6= 0)?

3. Encuentra todos los valores de la pendi-ente de una recta y = mx + 2 para los

que la interseccion con el eje x excede1

2

2. Para resolver y completar

Considera la funcion f(x) = x3 − 7x + 6 en el intervalo [−5, 5]

1. Grafıcala para un adecuado rango de valores de y.

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2. Encuentra las raıces de la misma.

3. Grafica las funciones:

a) g1(x) = f(x + 1)

b) g2(x) = f(x +1

2)

c) g3(x) = f(x − 3

4)

d) g4(x) = f(x − π)

¿En que intervalo debes graficarlas para reproducir la forma de la curva y = f(x)? ¿Cuales el rango de valores de y en cada caso?

a) .......................................

b) .......................................

c) .......................................

d) .......................................

Define una funcion (explicita ley y dominio) cuya grafica reproduzca la curva anterior ycuyas raıces sean −6, −2 y −1.

....................................................................................................................

Si se conoce la grafica de la funcion f : [a, b] → R la grafica de g(x) = f(x + c) se obtiene:

................................................................................................................... si c > 0

................................................................................................................... si c < 0

y el dominio de g es el conjunto:.............................................................................

4. Grafica las funciones:

a) h1(x) = f(x) + 2

b) h2(x) = f(x) +3

2

c) h3(x) = f(x) − 4

5

15

d) h4(x) = f(x) −√

2

¿En que intervalo debes graficarlas para reproducir la forma de la curva y = f(x)? ¿Paraque rango de valores de y?

a) .......................................

b) .......................................

c) .......................................

d) .......................................

Define una funcion (explicita ley y dominio) cuya grafica reproduzca la curva anterior quecorte al eje y en el punto de ordenada 10. ¿Cual es el rango?

....................................................................................................................

Si se conoce la grafica de la funcion f : [a, b] → [c, d] la grafica de h(x) = f(x) + k se obtiene:

.................................................................................................................... si k > 0

.................................................................................................................... si k < 0

El dominio de h es el conjunto:................................. y el rango:.......................................

5. Recordemos que una funcion f : A → R definida en un dominio simetrico A se dice par sif (x) = f (−x) ∀x ∈ A y se dice impar si f (x) = −f (−x) ∀x ∈ A. Determina si cada unade las siguientes funciones es par o impar (o ninguna de las dos cosas) y efectua la graficaen un adecuado dominio simetrico.

a) f (x) = x2 sen x

b) f (x) = x2 cos x

c) f (x) = x − cos x

d) f (x) = x + sen x

e) f (x) =1

x

f ) f (x) =cos x

x2

g) f (x) = 3√

1 + x2

h) f (x) = x2 − x6 + 1

i) f (x) = 3x + 2x3

j ) f (x) = x

2+ x3 − 1

Infiere a partir de lo hecho:

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Las graficas de funciones pares son curvas ..........................................................................

Las graficas de funciones impares son curvas ........................................................................

Las graficas de funciones impares definidas en un dominio que contiene al 0 pasan por ..........

6. Grafica una secuencia de funciones potenciales f (x) = xn para valores de n ∈ N de 1 a 10y completa:

Las funciones potenciales son crecientes para n.............................

Las funciones potenciales son pares para n..................................

Las funciones potenciales son impares para n................................

Las graficas de y = xn son curvas que pasan por el origen de coordenadas para n...........

Para valores de x > 0, si n1 < n2 ¿que relacion existe entre xn1 y xn2?

.......................................................................... si 0 < x < 1

............................................................................ si x > 1

Si las afirmaciones que acabas de proponer son ciertas, deberıan poder demostrarse.No es objetivo de esta guıa que realices estas demostraciones, pero debes tener encuenta que a partir de los graficos solo puedes conjeturar resultados.

3. Modelos a partir de datos empıricos

A la hora de tener que resolver un problema, modelizar una situacion para sacar conclusiones,predecir comportamientos, etc. es muy frecuente que no dispongamos de una ley explıcita quenos diga como varıa una cantidad respecto de otra: muy difıcilmente sepamos cual es la ley que encada instante del movimiento de un vehıculo permita establecer la velocidad del mismo, cual esla ley que en cada momento permita determinar la cantidad de habitantes de una poblacion, cual

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es la ley que en cada punto de un alambre metalico que se ha calentado en un extremo permitaconocer la temperatura a la que se encuentra, etc. Sin embargo, algunos datos observados,algunas mediciones realizadas o algun experimento en particular nos pueden hacer suponer queexiste una relacion entre esas cantidades. Un grafico de estas observaciones o mediciones enun sistema de ejes cartesianos nos puede mostrar una tendencia, un comportamiento a grandesrasgos de esta relacion. Por ejemplo:

x 1 3/2 2 5/2y 1 4 3 11/2

Para graficar estos puntos con Maple:

Si quisieramos predecir el comportamiento de la variable y para valores de x que no estan en latabla, podrıamos pensar que existe una curva que pasa por los puntos dados, que es la graficade una funcion definida, ademas de para las absisas de esos puntos, para todos los x de algunintervalo que las contiene. Sin embargo, alguna recta que pase por el origen tambien puede seradecuada para aproximar el valor que buscamos. Existen diversos criterios para buscar la masadecuada a la situacion. Uno de ellos es buscar aquella recta tal que la suma de los cuadrados delas diferencias entre las ordenadas de los puntos que estan sobre ella y las de los puntos dadoscorrespondientes, sea mınima. Es el llamado criterio de los mınimos cuadrados.

Entonces en este caso, para encontrar la recta, de ecuacion y = mx, debemos encontrar el valorde m que haga mınima la expresion:

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n∑

i=1

(yri− yi)

2 (1)

siendo yi la ordenada del punto dato de abscisa xi, e yrila ordenada del punto de abscisa xi

sobre la recta. Es decir, debemos encontrar el mınimo valor de una funcion de m:

f (m) =n∑

i=1

(mxi − yi)2 =

n∑

i=1

(

m2x2

i− 2mxiyi + y2

i

)

= m2

n∑

i=1

x2

i− 2m

n∑

i=1

xiyi +n∑

i=1

y2

i

En el caso del ejemplo

f (m) = m2

(

12 +

(

3

2

)2

+ 22 +

(

5

2

)2)

− 2m

(

11 +3

24 + 23 +

5

2

11

2

)

+

(

11 + 42 + 32 +

(

11

2

)2)

=27

2m2 − 107

2m +

225

4

es una funcion cuadratica cuya grafica es una parabola con ramas hacia arriba y cuyo valor

mınimo se asume en el vertice, de abscisa: − b

2a=

107

2

227

2

=107

54

De modo que la recta que pasa por el origen, que mejor ajusta estos puntos segun el criterio de

mınimos cuadrados es y =107

54x:

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En realidad, para simplificar los calculos, hemos impuesto la condicion de que la recta pase porel origen. Si quisieramos buscar una recta mas general que cumpla esta condicion de minimizarlos cuadrados de las distancias de las ordenadas de los puntos dados a las de los puntos sobrela recta, habrıa que buscar m y h que satisfagan esta condicion para la recta y = mx + h, peroesto significarıa buscar el valor mınimo de una funcion que depende de dos parametros, cosa quetodavıa no sabemos hacer. De la misma forma, si quisieramos encontrar una parabola que ajustelos datos segun el mismo criterio, deberıamos buscar a, b y c de la parabola y = ax2 + bx + cde manera que tambien se minimicen los cuadrados de las diferencias de las distancias entre lasordenadas de los puntos dados y los que estan sobre la parabola, y esto significarıa encontrarel mınimo de una funcion que depende de tres parametros, y ası sucesivamente. Esto es lo quehace Maple con el comando Fit que esta dentro del paquete Statistics :

O para ajustar un conjunto de puntos con una parabola:

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Resolvamos a modo de ejemplo el ejercicio 41 de la seccion 1.7. del libro (pag. 66).

En la tabla se muestra el salario medio anual de los trabajadores de la industria de la construc-cion.

Ano Compensacion anual (dolares)1980 22, 0331985 27, 5811988 30, 4661990 32, 8361992 34, 8151995 37, 9961999 42, 2362002 45, 413

1. Encuentra una funcion de regresion lineal para los datos.

Definamos los vectores X e Y con los datos de los anos y compensaciones anuales respec-tivamente, y luego con el comando Fit encontremos una recta de regresion (Observacion:la palabra lineal no se refiere a que el ajuste deba hacerse necesariamente con una recta,sino que la funcion es lineal en los parametros).

La recta tiene ecuacion y = −2,07497222731896352 × 106 + 1059,13965341483346t

2. ¿Que representa la pendiente de la recta de regresion?

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Sabemos que la pendiente de una recta puede interpretarse como la catidad de unidades enque se modifica la variable dependiente por cada unidad en que se incrementa la variableindependiente. En este caso el numero 1059,13965341483346 estarıa representando, enpromedio, la cantidad de dolares en que se incrementa anualmente (ya que la variableindependiente se mide en anos) el salario anual de los trabajadores de la industria de laconstruccion.

3. Grafica juntos la recta de regresion lineal y los puntos dato.

4. Usa la ecuacion de la recta para predecir el promedio salarial anual de los trabajadores dela industria de la construccion en el 2010:

Reemplazando en la ecuacion:

−2,07497222731896352 × 106 + 1059,139653414833462010 = 53898,476

obtenemos que el promedio salarial anual en el 2010 sera de 53898,476 dolares.

PRACTICA

1. El precio medio de las casas unifamiliares en Estados Unidos se ha incrementado de maneracontinua desde 1970. Sin embargo, los datos de la tabla indican que tal aumento ha sidodiferente en distintas partes del paıs.

a) Encuentra la ecuacion de una recta de regresion para el costo de las casas en elnoroeste del paıs

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b) ¿Que representa la pendiente de la recta de regresion?

c) Encuentra la ecuacion de una recta de regresion para el costo de las casas en el mediooeste de la nacion.

d) ¿En que region del paıs se esta incrementando mas rapidamente el precio medio?

Ano Noreste (dolares) Medio oeste (dolares)1970 25, 200 20, 1001975 39, 300 30, 1001980 60, 800 51, 9001985 88, 900 58, 9001990 141, 200 74, 0001995 197, 100 88, 3002000 264, 700 97, 000

2. La tabla muestra la distancia de frenado total de un automovil como una funcion de suvelocidad.

a) Encuentra la ecuacion de una parabola de regresion para los datos de la tabla.

b) Grafica juntas la parabola y el diagrama de dispersion de los datos.

c) Usa la grafica de la parabola para predecir el promedio de la distancia total de frenadopara las velocidades 72 y 85 mph y confirma el resultado algebraicamente.

d) Ahora usa una recta de regresion para predecir el promedio de la distancia total defrenado para las velocidades de 72 y 85 mph. Grafica la recta junto con el diagramade dispersion de los datos. ¿Cual grafica ofrece el mejor ajuste?

Rapidez (mph) Promedio de la distancia de frenado total (pies)20 4225 5630 73,535 91,540 11645 142,550 17355 209,560 24865 292,570 34375 40180 464

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3. Las observaciones de las olas de pola que siguen a un barco en angulo recto a lo largo desu curso han revelado que la distancia entre las crestas de estas olas (su longitud de onda)aumenta segun la velocidad del barco. La tabla muestra la relacion entre la longitud deonda y la velocidad del barco.

a) Encuentra una funcion de regresion potencial y = axb para los datos de la tabla,donde x es la longitud de onda e y es la velocidad del barco.

b) Grafica juntas la ecuacion de regresion potencial y el diagrama de dispersion de losdatos.

Longitud de onda (m) Rapidez (kn/h)0,20 1,80,65 3,61,13 5,42,55 7,24 95,75 10,87,80 12,610,20 14,412,90 16,216 1818,40 19,8

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