1

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Richiami di ottica geometrica:Sistema diottrico: successione di mezzi omogenei, diversamente rifrangenti,

ingenere delimitati da superfici sfericheCentrato: i centri di curvatura giacciono sull’asse ottico

Condizioni di parassialità (in cui supporremo di essere durante l’esperienza):1) raggi formano angoli piccoli con l’asse ottico2) raggi incidenti su superficie del sistema diottrico a piccole distanze

dall’asse ottico

Lente sottile: lo spessore è trascurabile rispetto ai raggi di curvatura dellesuperfici diottriche che la costituiscono. I piani principali (coppie di pianiconiugati tali che l’ingrandimento trasversale = 1) coincidono e passano per

ilcentro ottico (punto all’interno della lente tale che un raggio attraverso essonon è deflesso)

2

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Lente sottile posta in un unico mezzo (per es. aria): vale l’equazione di Gauss o

legge dei punti coniugati nella forma1/o + 1/i = 1/f o = distanza oggetto dal piano principale

i = distanza immagine dal piano principale

oi

’

F2F1

f

La forma generale è:n1/o + nu/i = n1/f1 = nu/f2dove nu = indice di rifrazionedell’ultimo mezzo

Pertanto f1/f2 = n1/nu 1

Se la lente è in un unico mezzof1/f2 =1

3

o i

2 piani principali

F2F1

Sistema diottrico centrato in un unico mezzo (lente spessa o sistema composto

di lenti sottili): esistono 2 piani principali distinti tali che, rispetto ad essi,

continua a valere l’equazione di Gauss o legge dei punti coniugati nella forma

1/o + 1/i = 1/f o = distanza oggetto dal piano principale

i = distanza immagine dal piano principale 2

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

F1 = o con i = F2 = i con o =

4

oggettoImmagine

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Strumentazione: Banco ottico: consente di allineare tra loro vari componenti ottici

e di variarne la mutua distanza senza alterare l’allineamento E’ costituito da un regolo graduato: barra a sezione trapezoidale

con scala graduata (sensibilità 1 mm) della lunghezza di circa 1.20 m su cui scorrono 3 supporti sui cui cavalieri muniti di indice sono collocati:

proiettore costituito da una lampada a incandescenza con lente condensatrice con mascherine a sagoma variabile (oggetto aghiforme o fenditura)

portalenti con sistema convergente costituito da 2 lenti sottili (biconvessa + menisco divergente) separate da d (piccola)

schermo rivestito di carta mm su cui si raccolgono le immagini reali dell’oggetto

• calibro decimale (sensibilità 0.1 mm) da utilizzareper il metodo di Abbe

d

5

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Attenzione: l’indice I1 relativo al proiettore non è allineato con posizione

dell’oggetto (valutare la correzione xo da applicare nella misura di xo) l’indice I2 relativo al portalenti non è allineato col centro

geometrico del sistema diottrico (valutare la correzione xL da applicare nella misura di xL)

la posizione del piano dello schermo può non essere allineata con l’indice (valutare la correzione xs da applicare nella misura di xs – in alcuni banchi ottici è trascurabile) intervallo di nitidezza: a causa del piccolo diametro delle lenti

l’immagine sullo schermo può apparire a fuoco in un intervallo (non in un’unica posizione). Tale intervallo è più ampio se o non è molto maggiore di f Quando il diametro della

lente è grande l’intervallodi massima nitidezza è piùpiccolo per via della maggiore divergenza dei raggi rispetto a lenti di piccolo diametro

6

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

I1

Proiettore = oggetto

lenti

schermo =immagine

I2I3

xo xL

xL xs

o = xL + xL xo i = (xs+xs) (xL + xL)

xo = posizione oggetto diversa da posizione I1

della quantità xo in figura (aiutarsi con una riga)

xL + xL = posizione del presunto centro otticoXs in molti banchi coincide con posizione di I3

xs

7

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo dei punti coniugati: 1/o + 1/i = 1/f Fissare l’oggetto all’estremità sinistra del regolo e annotare

l’ascissa xo facendo riferimento all’indice I1 e correggere xo rispetto all’indice I1 (xo)

Posizionare il portalenti e annotare il valore dell’ascissa xL facendo riferimento all’indice I2 e correggendola per xL per via del non allineamento tra I2 e il centro geometrico del sistema di lenti (assunto coincidente col centro ottico)

Muovere lo schermo all’estremità opposta per trovare la posizione che fornisce sullo schermo l’immagine reale a fuoco annotando il valore dell’ascissa xs facendo riferimento all’indice I3 e correggendo xs per via del non allineamento con l’indice I3 (xs)

o = xL xo = distanza tra oggetto e centro geometrico del portalentii = xs xL = distanza tra centro geometrico del portalenti e schermo

dove le ascisse sono corrette per i rispettivi x

f = oi /(o + i)

8

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo dei punti coniugati

i=xs – xL

(cm)

o=xL-xo

(cm)(o) (cm)

xsxs (cm)

xoxo (cm)

xL xL (cm)

(i)(cm)

f=oi/(o+i)(cm)

(f) cm

• errore su x differenza di 2 letture con = 1 mm e tiene conto di correzioni x

• errore su fk: (fk) =

• intervallo di nitidezza: quando l’immagine è nitida sullo schermo nell’intervallo tra xs1 e xs2 xs = (xs1 + xs2)/2 e l’errore deve tener conto della media effettuataoppure si può considerare come errore xs2 – xs1

• si calcoli la media pesata di f:

<f> = e (<f>) =

2

2

2

2

)()(

fk fk

oo

ii

kk

kkk

w

fw

k

kw

1 con wk = 1/2(fk )

9

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo dei punti coniugati: esempio con f= 12 cm misure regolari in o: o= 15-85 cm in intervalli di 5 cm misure regolari in 1/o: 1/o= 0.01-0.06 cm-1 in intervalli di 0.004 cm-1

i (cm)

o (cm)

misure regolari in omisure regolari in 1/o

1/i (cm)

1/o (cm)

rettifi-cazione

1/o + 1/i = 1/f y = 1/i x= 1/o y = A x + Bfit lineare A -1

B = 1/f

10

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo dei punti coniugati

iperbole

rettificazionefit linearey = Ax+B con A -1e f = 1/B col suo errore

L’esperienza è stata condottainvertendo il sistema di lenti:La differenza tra le 2 misure non è dovuta all’errore statistico ma all’ignoranza sulla posizione dei piani principali e quindi all’assunzione di un presuntocentro ottico

11

o1

o2

f

f

schermo

L

y’’

y’

Lente sottile y

1a posiz.2a posiz.

2 2

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo di Bessel: Non richiede la conoscenza dei piani principali. E’ però valido

nell’approssimazione che la distanza dei piani principali sia piccola rispetto a

quella oggetto-schermo. Sfrutta la proprietà di reciprocità dei raggi luminosi:

dato l’oggetto e fissato lo schermo esistono sotto opportune condizioni 2

possibili posizioni della lente che danno l’immagine a fuocoL = distanza oggetto - schermo

Nel nostro caso il sistema è costituito da 2 lenti e quindi ha 2 piani principali distinti(e2) ma per semplicità in figura è rappresentato come 1 lente sottile

12

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

L = distanza oggetto - schermo = o + i (trascurando la distanza d tra i piani

principali. Infatti in realtà o + i = L – d)i = L - o 1/o + 1/i = 1/f i = of /(o - f)

i = L - o = of /(o - f) Lo - Lf - o2 + of = of o2 - Lo + Lf =0

o1/2 =L L2 4 L f

2

• L24 L f >0 2 soluzioni reali distinte per L4 f 2 posizioni per cui si ottiene immagine nitida su schermo • 0 2 soluzioni coincidenti• 0 2 soluzioni immaginarie (mai immagine reale su schermo)

a = o2 - o1 = L2 4 L f f = (L2 - a2) / 4 L a2 = L2 - 4 L f

N.B. a = o2 - o1 = x’’1 - x’1= x’’L - x’L

non richiede la conoscenza della posizione di 1

13

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo di Bessel: Fissare oggetto ad estremità sinistra del regolo e annotare

l’ascissa xo facendo riferimento all’indice I1 e correggere xo rispetto all’indice I1 (xo)

Posizionare schermo a distanza > 4 f e annotare ascissa xs con riferimento all’indice I3 e correggere xs rispetto allindice I3 (xs)

Spostare portalenti cercando le 2 posizioni in cui immagini nitide su schermo di oggetto e annotare ascisse x’L e x’’L con riferimento a indice I2

Si ottiene: a = x’L - x’’L e L = xs - xo f = (L2 - a2) / 4 L N.B. non è necessario correggere per non allineamento tra I2 e centro

geometrico del sistema di lenti xL nella misura di x’L e x’’L perché se ne fa la differenza (L)

(cm)

errore su fk: media pesata di fk 2

2

2

2

)()(

fk fk

aa

LL

L=xs – xo

(cm)xoxo (cm)

xsxs (cm)

f = (L2 - a2) / 4L

(cm)

(f) cm

x’’L (cm)

x’L (cm)

a= x’’L-x’L (cm)

(a) (cm)

14

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo di Abbe (utilizza ingrandimento): in teoria più preciso non essendo

necessaria né la conoscenza della posizione dei piani principali nél’approssimazione d << L, in pratica perde precisione nella misura

delledimensioni trasverse oggetto y e immagine y’ (meglio se col calibro)Ingrandimento:

|m| = y’/y = f/ (o - f) m (o - f) = f m o = m f + f o = f + f/m

ok - oj = f/mk - f/mk f = (ok - oj ) / (1/mk - 1/mj)

o i

2 piani principali

F2F1y

y’

oj = f + f/mj

ok = f + f/mk

Date n misure per la j-esima e la k-esima:

15

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo di Abbe: Misurare le dimensioni trasversali dell’oggetto y col calibro Fissare oggetto ad estremità sinistra del regolo Posizionare il portalenti ad una distanza dall’oggetto maggiore di f

e annotarne l’ascissa x’L con riferimento all’indice I2 Spostare lo schermo fino ad ottenere l’immagine a fuoco Misurare sullo schermo le dimensioni trasversali y’ dell’immagine a

fuoco e calcolare l’ingrandimento m = |y’|/y Spostare il portalenti e annotare l’ascissa x’’L con riferimento

all’indice I2 Spostare lo schermo fino ad ottenere l’immagine a fuoco Misurare sullo schermo le dimensioni trasversali y’ dell’immagine a

fuoco e calcolare l’ingrandimento m = |y’|/y Calcolare f = (x’’L – x’L)/(1/m’’ – 1/m’)Iterare questa procedura e calcolare media pesata di f per le possibili

coppieN.B. potete scegliere di misurare y e y’ insieme ad o e i per il metodo

dei punti coniugati

16

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Metodo di Abbe:

• errore su fjk: (fjk) =

• media pesata di fjk

y (cm)

xLj x Lj (cm)

xLk xLk (cm)

(xLj) (cm)

(xLk) (cm)

y (cm)

(y) (cm)

(y) (cm)

(yj’) (cm)

(yk’) (cm)

yj’(cm)

yk’(cm)

mj= yj’/y

mk= yk’/y

Per ogni coppia di misure:fjk=(xLk - xLj) /(1/mk - 1/mj) = xjk/(1/mk - 1/mj)

con y,y’ >0

)()()( j2

2

j

kk

2

2

k

kjk

2

2

jk

k mm

fm

m

fx

x

f

17

Esperienza n. 3 Misura della distanza focale di un sistema diottrico centrato mediante verifica della legge dei punti coniugati e con i metodi di Bessel e di Abbe

Considerazioni comparative sulla precisione dei 3 metodi utilizzati:

•Il metodo dei punti coniugati è concettualmente il più impreciso in quanto siamocostretti ad applicare l’equazione delle lenti utilizzando le distanze dell’oggetto e dell’immagine da un ipotetico centro ottico (come se il sistema ottico fosse unalente sottile) anziché dai piani principali, non determinabili con l’apparato a disposizione•Il metodo di Bessel è indipendente dalle posizioni dei piani principali, sebbene valido nell’ipotesi che si possa trascurare la distanza tra i piani principali rispetto alla distanza oggetto-schermo. La limitazione maggiore alla sua precisione è però dovuta alle dimensioni del regolo che ne limita il numero di misure. •Il metodo di Abbe è in linea di principio il più preciso perché non richiede né la conoscenza della posizione dei piani principali né alcuna approssimazione, ma è di fatto pesantemente penalizzato dall’errore di misura delle dimensionitrasversali di oggetto ed immagine

Il fatto che l’immagine viene vista a fuoco nell’intervallo di nitidezza limitala precisione del risultato per tutti i metodi usati