1. Esercizio Calcolare il potenziale elettrico nel punto A sull’asse di simmetria della distribuzione di cariche in figura. Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 µC dall’infinito al punto A?

Soluzione. Il potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare Vsx dovuto alla carica a sinistra: Vsx = (8.99 109 Nm2/C2) (7 10-6 C) / 5 m = 12.6 103 V e calcolare Vdx dovuto alla carica posta a destra: Vdx = (8.99 109 Nm2/C2) (-3.5 10-6 C) / 5 m = -6.3 103 V In virtù del principio di sovrapposizione, sommare i valori ottenuti: Vtot = +12.6 103 V + (-6.3 103 V) = +6.3 103 V Il lavoro necessario per portare una carica da 2 µC dall’infinito al punto A coincide con la variazione di energia potenziale elettrica, che in questo caso è positiva (U finale è maggiore di U iniziale = 0): L = ∆U = ∆V q = (+6.3 103 V) (2 10-6 C) = +12.6 mJ

2. Esercizio Due cariche positive uguali di carica Q = 5 10-4 C sono fissate rispettivamente nei punti di coordinate A(1 m, 0) e B(-1 m, 0) di un sistema di assi cartesiani (x, y). Si calcoli:

(a) Modulo, direzione e verso della forza che agisce si una carica positiva q = 10-6 C che si trova nel punto P(0, 1 m)

(b) Il campo elettrico ed il potenziale elettrico nell’origine degli assi cartesiani (c) Il lavoro dalla forza elettrostatica quando la carica positiva q si sposta dall’origine degli assi

al punto P. Soluzione.

3. Esercizio Due piani infinitamente estesi sono posti a distanza d = 20 cm. I piani sono elettricamente carichi con carica opposta e densità di carica superficiale uniforme. pari, in valore assoluto, a σ = 20 nC/m2. Una pallina di massa trascurabile e carica positiva q = +1 nC è mantenuta in equilibrio tra i due piani mediante un filo isolante di lunghezza L = 10 cm, vincolato al piano carico positivamente, come mostrato in figura. Si svolgano i seguenti punti (trascurando gli effetti della forza gravitazionale):

(a) Determinare il campo elettrico E fra i due piani e la tensione T del filo, specificando per entrambi il modulo, la direzione ed il verso

(b) Si supponga di tagliare il filo: calcolare il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per portare la pallina dal punto di equilibrio precedente sino alla lamina di carica negativa.

Soluzione.

4. Esercizio Una pallina carica di plastica di massa m = 5 g è sospesa ad un filo di lunghezza L = 10 cm. Il filo è vincolato ad una superficie piana infinitamente estesa e con densità di carica superficiale σ = +20 nC/m2, come mostrato in figura. Se all’equilibrio il filo forma un angolo di 20° con la superficie piana, qual’é la carica elettrica della pallina? Soluzione.

5. Esercizio Le cariche +2q e -q sono fissate lungo l’asse x, rispettivamente nei punti O(0, 0) ed A(d, 0). Stabilire:

(a) il campo elettrico nel punto dell’asse x di coordinata x0 = 2d + √2 d (b) se esistano punti dell’asse x, compresi tra O ed A, in cui il potenziale è nullo e, se sì,

calcolarne la distanza da O (c) se esistano punti del semiasse positivo x in cui il campo elettrostatico totale sia nullo e, se sì,

calcolarne la distanza da O. Soluzione.

6. Esercizio Una particella A con carica positiva Q = 2 10-8 C è fissata in un punto O. Una particella B di massa m = 2 10-6 g e carica negativa q = 10-10 C, si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di centro O e raggio R = 1 cm. Si determini:

(a) il modulo della velocità della particella B (b) l’energia totale del sistema delle due cariche.

Soluzione.

7. Esercizio Una particella P di massa m = 2 10-14 kg e carica negativa q = -2 10-12 C si muove di moto circolare uniforme in un piano orizzontale attorno ad una particella A di carica positiva pari a 10q, fissata in un punto O. Il raggio della circonferenza è R = 2m. Trascurando la forza gravitazionale tra le due particelle, si determini:

(a) il modulo della forza a cui è soggetta la particella P (b) il modulo della velocità della particella P.

Soluzione.

8. Esercizio In una regione compresa tra due lamine piane e parallele, cariche con la stessa densità superficiale ma di segno opposto, c’è un campo elettrico di intensità E = 104 N/C. La lunghezza delle lamine è pari a L = 5 cm. All’istante iniziale, un elettrone (me = 9.11 10-31 kg, e = -l.6 10-19 C) entra tra le lamine con velocità v0 = 107 m/s, parallela alle lamine stesse. Trascurando la forza di gravità,

(a) Determinare la forza, in modulo direzione e verso, di cui risente l’elettrone (b) Determinare il modulo della velocità e l’angolo di deflessione dell’elettrone all’uscita dal

campo elettrico. Soluzione.

9. Esercizio Due lamine piane infinitamente estese poste alla distanza d = 1.5 in sono uniformemente cariche, con densità di carica uguale ed opposta e pari in valore assoluto a σ = 3 µC/m2. Una carica negativa q = -1 10-12 C è posta nel punto A(0.5 m, 0). Si calcolino:

(a) intensità, direzione e verso del campo E fra le lamine e della forza di cui risente la carica q

(b) il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per spostare la carica q dal punto A al punto C(1 m, 0.5 m), seguendo il percorso A-B-C mostrato in figura.

[Nota: ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2] Soluzione.

10. Esercizio Una lamina piana, infinitamente estesa, uniformemente carica con densità di carica superficiale positiva σ, è posta a distanza d dall’origine O di un sistema d’assi cartesiani (x, y). Dall’origine O viene lanciata una particella di massa m che ha carica positiva pari a q e velocità v0 inclinata di 45° rispetto all’asse x. Trascurare la forza peso agente sulla particella.

(a) Determinare la traiettoria della particella carica (si supponga che la particella non colpisca mai la lamina)

(b) Calcolare la quota massima raggiunta dalla particella carica.

Soluzione.

11. Esercizio Una carica positiva pari a +2q è fissata nel punto A(d, 0) di un sistema di assi (x, y). Si calcoli:

(a) il modulo del campo elettrostatico nel punto B(0, d) (b) il lavoro che le forze del campo compiono quando una carica positiva pari a 4q si sposta dal

punto B al punto C(0, 2d).

Soluzione.

12. Esercizio Ne1l’origine O degli assi (x, y) è fissata una particella carica positivamente con carica Q = +2 10-8 C. Una carica di prova positiva q = +4 10-16 C, si sposta dal punto A(2 m, l m) al punto B(4 m. 1 m). Si calcoli:

(a) il modulo del campo elettrostatico nel punto A (b) il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante lo spostamento della particella da A a B

Soluzione.

13. Esercizio Una piccola sferetta carica elettricamente, q = +2.5 10-15 C, m 3 10-6 Kg, si trova al tempo t = 0 nella posizione O che prendiamo come origine di un sistema di riferimento (x, y). La carica si trova immersa nel campo elettrico generato da un piano infinito posto alla distanza xp = 50 cm dall’origine (vedi figura) con una densità superficiale di carica positiva a pari a 4 10-4 C/m2. Al tempo t = 0 la carica q si sia muovendo con velocità v0 di modulo pari a 10 cm/s, lungo una direzione che forma un angolo α = 45° con l’asse delle x. Si calcoli:

(a) Quanto vale la minima distanza nella direzione x tra la carica e il piano generatore del campo

(b) Posizione (x1, y1) e velocità (v1x, v1y) della particella all’istante t1 = 30 s Soluzione.

14. Esercizio Data la lamina piana, infinitamente estesa, uniformemente carica positivamente con densità superficiale σ = 10-6 C/m2, passante per il punto A(2 m, 0) e la cui sezione è parallela all’asse y, e la carica positiva Q = 2 10-6 C, posta nell’origine degli assi in figura, si determini:

(a) in quale punto P dell’asse x (si indichi con d l’ascissa del punto P) debba essere posta una carica puntiforme positiva q = +10-8 C, perché q risulti in equilibrio

(b) il lavoro che la risultante delle forze elettrostatiche compie, quando la carica q viene spostata dal punto B(1 m, 0) al punto C(0, 1 m)

(Note: Trascurare la forza peso; ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2) Soluzione.