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Meccanica2018-2019

Gravitazione

Gravitazione

Forze centrali

( )r

F F r u±=

(repulsiva, attrattiva)

Frdt

Ld

×=

• Teorema del momento angolare per una forza centrale

( )r

r F r u= ± ×

0=

• Piano della traiettoria:

),( vrL

⊥Posizione e velocità (traiettoria) si mantengono sullo stesso piano

Direzione e verso costanti

Forza MediatoreIntensitàrelativa

Andamentoasintotico

Raggiod'azione

Forte gluone 1038 ~r0 (conf.) 10-15 m

Elettromagnetica fotone 1036 1/r2

Debole bosoni Z, W± 1025 (1/r) exp(-r/r0) 10-18 m

Gravità gravitone? 1 1/r2

Il vettore momento angolare si conserva

- Il modulo della forza in P è funzione solo di OPr r=

Proprietà notevoli delle forze centrali

r

P

O

ru

F

- La forza in qualsiasi punto P è nella direzione OP

O = centro della forza

vmrL

×= v

L

r

O

A

B

F

O

P

r

θrmvL =dt

dmr

θ2=dt

dAm2=

Cost.= La velocità areale rimane costante

r

θdr

21

2dA r dθ=

O

m

L

dt

dA

2=

Le forze centrali sono conservative

( )B

rA

W F r u ds= ⋅

( )B

AF r dr=

( ) ( )B A

f r f r= −

( ) rF F r u= ±

• Lavoro di una forza centraleθ

ds

ru

Br

Ar

dr

«velocità areale»rω=

Orbita chiusa:2

A L

T m= 2mA

TL

= Orbitacircolare:

22m rT

mvr

π= 2 r

v

π= 2πω

=

cosr

u ds ds drθ⋅ = =

• «Velocità areale» costante

θvmr×=

Forze centrali

vmrL

×=

Or

v

)( θvvmr r

+×=

θv

rv

t∆

t∆

Gravitazione

Da Keplero a Newton

Giovanni Keplero (1571 – 1630)

Le tre leggi di Keplero

III - Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore

2 3

ST k a=

II - La velocità areale del raggio che unisce il sole al pianeta è costante:

costanteΔA

Δt=

Eccentricità:

2

2

1a

b−=ε 1≤

Area:

abA π= 22 1 επ −= a

0ε = Orbita circolareOrbita

ellittica

Orbita circolare con lo stesso raggio medio

Descrizione empirica del moto dei pianetiBasate sulle osservazioni di Tycho Brahe (1546-1601)

I - Le orbite dei pianeti sono ellittiche, il Sole occupa uno dei fuochi

S

a

b

P

La velocità del pianeta non è costante

(La più rivoluzionaria!)

La stessa costante per le orbite di tutti i pianeti intorno al Sole

Da Keplero a Newton

Isaac Newton (1642 – 1727)

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2

dr

dt

θ= Cost.d

dt

θ =Moto circolare uniforme

rmF2ω=

Forza centripeta

rT

m2

24π=2

2

4

S

m

k r

π= La forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza

Forza che il Sole esercita sulla Terra:2

, 2

4 TS T

S

mF

k r

π=

, ,S T T SF F=

Principio di azione-reazione:

2 24 4

S S T T

Gm k m k

π π= ≡Definiamo:

2 2

2 2

4 4 ST

S T

mm

k r k r

π π=

Assume orbita circolare. II Legge di Keplero:

Cost.dA

dt=

Moto della Terra intorno al Sole Forza attrattiva

2 2

2 2

4 1 4 1

S S T Tk m r k m r

π π=

,T SF=,S TF =

2

1

4

S

S

Gm

k π=

2

S Tm mG

r

III Keplero: 2 3

ST k r=

Dev’esserci una analoga forza che la Terra esercita sul Sole:

2

, 2

4 ST S

T

mF

k r

π=

, ,S T T SF F= −

Gravitazione universale

Corpo di massa m nei pressi della superficie terrestre:

2

T

T

r

mmGF = Corpo a simmetria sferica (Terra)

Come se tutta la massa fosseconcentrata nel centro

Verifica: Forza peso

Se eguaglia la forza peso:

mgr

mmG

T

T =2

Newton: Metodo per stimare il prodotto TGm

Forza della Terra sulla Luna

2,

L

LTLT

d

mmGF =

LLL dm2ω=

2

32T L

L

Gm dT

π =

Calcolo: conferma!(Inizialmente discrepanze significative…)

23

2

2 L

L T

dg

T r

π =

ma G e mT erano ignoti !

rT era noto,

Isaac Newton (1642 – 1727)

noti

2

T

T

Gmg

r=

, 2

S TS T

m mF G

r=

Legge universale?

Vale solo per il moto dei pianeti intorno al Sole?

Legge di gravitazione universale

1 2

2 r

m mF G u

r= −

è la stessa per qualunque m1 e m2G

Misura diretta di G (Cavendish, 1798)

2

A B

rG F

m m=

Momento della forza:

M Fl=

0kF

l

θ=

?GQual è il valore di

2

0

0

r kG

m m l

θ=

Verifica misura di : rimuovendo le masse la torsione del filo deve ristabilire la condizione iniziale

θm

Henry Cavendish (1731-1810)

θ

r

0m

0m0k θ=

Cavendish, 1798

11 3 1 26.67 10 m kg sG− − −= ⋅

Angolo all’equillibrio

m

m

0k

/ 2lBilancia di torsione

Costante di torsione del filo

Misura diretta di G

Massa del Sole

TSTT dm2ω=

2

2T TS

T

m dT

π =

32

2

4 TSS

T

dm

G T

π=

Imm

agin

e del

Sol

e ai

rag

gi X

2 11 3

11 3 1 2 7 2

4 (1.5 10 m)

6.67 10 m kg s (3.15 10 s)

π− − −

⋅=⋅ ⋅

kg102 30⋅=

(III Kelpero)

2

TS

ST

d

mmGF =

Sistema Terra-Sole

Massa della Terra

246 10 kg⋅≃Sistema Terra-Luna

2 3

2

4 LTT

L

dm

G T

π=

Massa inerziale e massa gravitazionale

Massa come agente della interazione gravitazionale

( )gm

“Massa gravitazionale” “Massa inerziale”( )i

m

( ) ( )( )

2

g giT

T

m mG m g

r=Dalla eguaglianza

( ) ( )

2 ( )

g g

T

i

T

m mg G

r m=

Dato sperimentale, precisione 10-12

( ) ( )g im m=

2

T

T

Gm

r=

Teoria della Relatività Generale: basata su ( ) ( )g i

m m=“Principio di equivalenza”

amF

=1 2

2 r

m mF G u

r= −

Massa come resistenza alla accelerazione prodotta da qualunque tipo di forza

Gravitazione universale

Stanza chiusa sulla Terra (gravità, accelerazione g)

Stanza chiusa in assenza di gravità, accelerata

con a = g

S = Superficie chiusa che racchiude la massa m

S

m

Campo gravitazionale

2,12

212,1 u

r

mmGF

−= 22,12

1 mur

mG

−=

=

−=n

i

i

i

i ur

mG

12

1η

2η3η

Campo totale generato in P da n masse:

1

( )n

i

i

Pη η=

=

1m

2m

3m

P

Teorema di Gauss

cosS

dSη θ= −

SGm d= − Ω 4 Gmπ= −

r

dS dS n=

dS

Versore normale all’elemento infinitesimo di superficie

2

n

S

dSGm

r= −

Angolo solido dΩ

Flusso attraverso la superficie S:

SdSηΦ = ⋅

rS

u dSη= − ⋅

2cos

S

GmdS

rθ= −

η

θru

d dSηΦ ≡ ⋅

2

cos

S r

SGm

d θ= − Proiezione di dS perpendicolare a

alla direzione radiale

ndS

Teorema di Gauss

2( ) r

mr G u

rη ≡ −

Vettore «Campo gravitazionale»

1 2mη= ruη= −

«Campo» generato dalla massa (puntiforme) m1

«Massa campione»m2

M

Campo di una distribuzione di massa a simmetria sferica

( ) rS

r u dSη= − ⋅

( )S

r dSη= − 24 ( )r rπ η= −

Costante sulla superficie della sfera di raggio r

Vettori paralleli

Ma sappiamo che per il teorema di Gauss: 4 GMπΦ = −24 ( ) 4r r GMπ η π− = −

2( )

GMr

rη =

Una massa M distribuita con simmetria sferica genera lo stesso campo gravitazionale di un punto materiale di massa M posto al suo centro

Flusso totale del campo attraverso la sfera S:η

SdSηΦ = ⋅

Una massa m a distanza r subisce una forza:2

( ) r r

GMmF r mu u

rη= − = −

m

S

r

Campo sulla superficie della sfera S ?η4 GMπΦ = −Conseguenza del Teorema di Gauss:

( ) ( ) rr r uη η= − - Ha la stessa ampiezza in ogni direzione

η

- E’ diretto radialmentePer ragioni di simmetria: