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CAPITOLO 9. Equazioni di Navier-Stokes

9.1 Il problema matematico della Fluidodinamica

Si consideri un fluido in moto in un dominio tridimensionale, per il quale

valgano le ipotesi di incomprimibilit e di flusso isotermo, e si scrivano

per esso le equazioni fondamentali di conservazione della portata massica

e della quantit di moto. Per le ipotesi fatte in precedenza non necessario

utilizzare lequazione dellenergia.

Equazione di Continuit

La forma pi generale, in notazione vettoriale, data da

0=V+t

(9.1a)

Essendo il flusso incomprimibile, essa diventa

= 0 (9.1b)che rappresenta una sola equazione scalare, nelle tre variabili dipendenti

, , , in funzione di tre variabili indipendenti , , , e riscrivibile anchenella seguente notazione cartesiana

+

+

= 0 (9.1c)

Equazione di conservazione della quantit di motoSi riscriva lequazione della quantit di moto in forma differenziale nella

notazione vettoriale non conservativa.

dd = + (9.2a)

In questo caso si tratta di una equazione vettoriale, con

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10 variabili dipendenti: , , , , 4 con variabili indipendenti , , ,

In questo caso lequazione vettoriale equivalente a tre equazioni scalari,

ad esempio ottenibili proiettando lequazione nelle direzioni , , di unsistema di assi cartesiani:

+

+

+

=

+

+

+

z

y

x

x

pw

y

uv

x

uu

t

u zx

yxxxxg

z

u

+

+

+

=

+

+

+

z

y

xy

pz

vwy

vvx

vut

v zyyyxyyg (9.2b)

+

+

+

=

+

+

+

z

y

x

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w zzyzxzzg

Il problema matematico della fluidodinamica consiste nel valutare se in

ogni punto di un dominio di definizione delle equazioni differenziali sia

possibile ricavare matematicamente (ovvero il problema sia ben posto) una

e una sola soluzione per le diverse variabili dipendenti, in funzione di

quelle indipendenti. Cio, se sia possibile ricavare le 10 variabili

(,, , ) (,, , ) (, , , ) (, , , ) (, , , )

Per fare ci si hanno a disposizione solo 4 equazioni scalari n1 equazione scalare di continuit n3 equazioni scalari della quantit di moto

Cos come nei problemi algebrici, il problema ben posto se il numero

delle equazioni eguaglia quello delle incognite (variabili dipendenti), cosa

che non verificata in questo caso. Si osserva infatti che si ha un numero

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di incognite superiore di sei unit a quello delle equazioni a disposizione.

Tale differenza coincide con il numero delle tensioni tangenziali , checostituiscono infatti laspetto critico del problema. Solo se si trovano dellerelazioni che permettano di esprimere le tensioni tangenziali in funzione

delle altre variabili dipendenti si ha la possibilit di risolvere il problema

matematico.

Analogo problema si avrebbe, ovviamente, se si considerasse il flusso

come tridimensionale, comprimibile e non isotermo, e varierebbe solo il

numero delle equazioni e delle variabili dipendenti.

9.2 Relazioni tra tensioni tangenziali e velocit di deformazione

Nella teoria dellelasticit (solidi) le componenti tensionali sono legate in

maniera lineare alle componenti di deformazione. Nel caso dei fluidi, si

definiscono Newtoniani quei fluidi nei quali le componenti dello stato di

sforzo viscoso sono legate in maniera lineare alle componenti dellavelocit di deformazione, attraverso le seguenti relazioni di Stokes (vedi

appendice 3):.

+==

+==

+==

=

=

=

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

3

2

z

w2

3

2

y

v2

3

2

x

u2

xzzx

zyyz

yxxy

zz

yy

xx

V

V

V

(9.3)

Sostituendo nelle equazioni scalari della quantit di moto (9.2b), alle

componenti del tensore degli sforzi le espressioni (9.3), si ottiene:

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( )

( )

( )Vz3

2

z

w

y

v

x

u

zz

w

y

w

x

w

z

p

t

w

Vy3

2

z

w

y

v

x

u

yz

v

y

v

x

v

y

p

t

v

V

x3

2

z

w

y

v

x

u

xz

u

y

u

x

u

x

p

t

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

z

y

x

gd

d

gd

d

g

d

d

(9.4a)

Le equazioni (9.4) cos ottenute, possono essere riscritte nella forma

vettoriale, pi compatta

)( Vgdt

d

++=3

2Vp

V 2 (9.4b)

Le (9.4a-b) rappresentano le equazioni di Navier-Stokes per flussi comprimibili.

Si ricorda che esse sono state ottenute dalle equazioni di conservazione

della Quantit di Moto, insieme alla definizione delle relazioni di Stokes

per le tensioni tangenziali viscose, tipiche dei fluidi Newtoniani.

Nel caso di flussi incomprimibili, il termine 2/3 e nullo, inquanto = 0, pertanto la (9.4b) diventa:

VpV 2

+= gdt

d(9.5)

Queste equazioni sono generali, in quanto applicabili al moto istantaneo di

qualsiasi particella fluida, e possono perci essere applicate sia a flussi

laminari, sia a flussi turbolenti. Nel caso di flussi laminari ci

effettivamente possibile, mentre nel caso dei flussi turbolenti laapplicazione corretta delle (9.4) richiederebbe di seguire anche le pi

piccole fluttuazioni della velocit (e degli altri parametri p e ) tipiche di

questa situazione di flusso. In questo modo la turbolenza sarebbe vista

come un caso estremo di flusso non stazionario. In realt si pu

dimostrare che questa strada non percorribile, nemmeno risolvendo

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numericamente le equazioni utilizzando le attuali potentissime stazioni di

calcolo numerico [D.C.Wilcox].

9.3 Le equazioni per moto turbolento e le tensioni di Reynolds.

Ricordando quanto visto nel capitolo 8 sui flussi viscosi turbolenti,

indicando rispettivamente con il valore istantaneo della velocit, con ilvalore medio nel tempo, e con

il valore fluttuante, cio la differenza tra il

valore istantaneo e quello medio, si pu scrivere (decomposizione di

Renolds):

= + (9.6)dove il valore medio temporale valutato in un intervallo di tempo diopportuno valore, ed cosi definito

=

1

(

,

,

,

)d

0+

0

Una volta definito il valore medio, pu essere scritta lespressione del

valore fluttuante. Per questultimo si dimostra che il valore medio nello

stesso intervallo zero. Infatti

( ) ( ) 0111' =

=== + ++

TVT

VdtVVdtT

dtVVT

VTt

t

Tt

t

Tt

t

o

o

o

o

o

o

NOTA

Per caratterizzare quantitativamente il livello delle fluttuazioni presenti in un

flusso turbolento, e rapportarle al rispettivo valore medio temporale, viene

spesso definita lintensit di turbolenza o livello di turbolenza (Turbulence

Intensity, TI), di seguito riportata

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V

dtVT

V

VIT

Tt

t

o

o

+

==

22 )'(

1)'(

..

A scopi ingegneristici pi importante determinare gli andamenti dei

termini medi delle grandezze del flusso piuttosto che i termini istantanei,

che comprendono i termini fluttuanti, e quindi non sono di mmediata

interpretazione. A tal fine in questo capitolo si vuole verificare se sia

possibile ottenere, a partire da quelle di Navier-Stokes, delle equazioni che

comprendano solo i termini medi delle variabili Termofluidodinamiche.

Risulta conveniente esprimere le componenti della velocit = + + con la decomposizione di Reynolds, cio come somma di unacomponente media e di una fluttuante:

+=

+=

+=

w'ww

v'vv

u'uu

In maniera analoga, tale scomposizione pu essere effettuata per le

variabili dipendenti e .Si consideri ora, per semplicit, il caso di un flusso incomprimibile e siriscriva lequazione della Quantit di Moto lungo la direzione :

z

y

x

x

p g

z

u w

y

u v

x

u u

t

u zx

yxxxx

+

+

+

=

+

+

+

(9.7)

Dallequazione di continuit per flussi incomprimibili, moltiplicando tutti

i termini per u si ha:

0=

+

+

z

w u

y

v u

x

u u (9.8)

Sommando la (9.7) e la (9.8) si ottiene:

z

y

x

x

pg

z

wu

z

uw

y

vu

y

uv

x

uu

t

u zx

yxxxx

+

+

+

=

+

+

+

+

+

2

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Osservando che la densit costante e che 2/ = (2)/ eanaloghe, la precedente si pu riscrivere:

( ) ( ) ( )z

y

x

x

p g

z

u w

y

u v

x

u

t

u zx

yxxxx

+

+

+

=

+

+

+ 2

Raccogliendo a secondo membro i termini con derivate effettuate rispetto

alla stessa variabile indipendente, si ha

( ) ( ) ( ) u wz

u vy

uxx

p g

t

u zxyxxxx

+

+

+

= 2 (9.9)

La (9.9) valida per velocit e pressione istantanee (la densit costante

perch si supposto il flusso incomprimibile). Utilizzando la

decomposizione di Reynolds, la (9.9) diventa

( ) ( ) ( )

( )

( )wu'w'uu'w'wuz

vu'v'uu'v'vuy

u'uu'ux

p'px

gu'ut

zx

yx

xxx

+

+

+

++

=+

222

(9.10)

Per eliminare le componenti fluttuanti dalla (9.10), si pu ricordare che il

valore medio nel tempo di un valore medio pari a se stesso, e che quello

di un termine fluttuante pari a zero. Applicando pertanto loperatore

media temporale (o media di Reynolds) al primo termine a primo

membro, si ha

1

( + )d0+

0=

1

d0+

0+1

d0+

0= + 0 =

Ripetendo per i diversi termini della (9.10) si ha

+

+

+

=

u'w'

z

u

zu'v'

y

u

yu'

x

u

xx

pg

t

u x

2 (9.11)

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Equazioni analoghe alla (9.11), definite equazioni di Navier-Stokes

mediate secondo Reynolds (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS), si

ottengono lungo le direzioni coordinate e .I termini che includono valori medi delle grandezze fluttuanti, quali2 , , , sono chiamati tensioni turbolente o tensioni diReynolds e sono dovute al trasporto di quantit di moto associato alle

componenti fluttuanti della velocit. Che i termini suddetti rappresentino

fisicamente delle tensioni si pu vedere considerando un elemento dS di

superficie infinitesima di fluido, mostrato in Figura 9.1 [Comolet], e su di

essa la componente fluttuante v normale e la componente fluttuante u.

Figura 9.1

La portata massica che attraversa la superficie d data da d. Il flussoattraverso tale superficie subir una variazione di quantit di moto pari a:

(d)di conseguenza sulla superficie dsi eserciter una forza infinitesima paria d = (d), e di conseguenza una tensione tangenziale

d

d = Il valore medio nel tempo di tale tensione tangenziale, di origine

turbolenta, sar dato da

= Leffetto di questa tensione turbolenta si sommer a quello della tensione

tangenziale di origine viscosa (laminare), e la tensione tangenziale totale

sar data da

u

'u'v

Sd

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= + Pertanto, le tensioni di Reynolds si sommano algebricamente alle tensioni

dovute al trasporto di quantit di moto a livello molecolare. Dal punto di

vista sperimentalmente le tensioni di Reynolds possono essere misurate

utilizzando strumenti ad alta risposta in frequenza come lanemometro a

filo caldo o lanemometro laser.

9.4 Soluzione empirica delle equazioni di Reynolds nei flussi quasi-

monodimensionali, incomprimibili e isotermi

Nel precedente paragrafo si visto come le equazioni RANS contenganodei termini relativi alle grandezze medie, ma anche termini relativi alle

tensioni di Reynolds che, essendo caratterizzati da medie temporali di

grandezze fluttuanti, sono anchessi variabili del problema matematico

della fluidodinamica. Passare dalle equazioni di Navier-Stokes alle

equazioni RANS non risolve pertanto il problema, a meno che non si

esprimano le tensioni turbolente di Reynolds in funzione delle altre

variabili medie del flusso. I modelli matematici che vengono utilizzati a tal

fine sono definiti modelli di turbolenza. Nel seguito verr presentato un

semplice modello di questo tipo.

Nel caso di flusso incomprimibile, isotermo e 2D, ma prevalente lungo la

direzione dellasse x ( 0=v ), le equazioni di Continuit e di Reynolds,

diventano:

0=x

u

+

+

+

= u'w'

z

u

zu'v'

y

u

yu'

x

u

xx

p g

d t

ud x

2

Ad esempio, nel flusso su una lastra piana e ed in quello nei condotti ad

asse rettilineo, si pu ipotizzare, senza scostarsi troppo dalla realt, che le

tensioni di Reynolds si riducano al termine , e perci la equazionedella quantit di moto diventa

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+

u'v'y

u

yx

pg

dt

ud x

Il termine tra parentesi pu essere interpretato come la somma di due

tensioni tangenziali, la prima dovuta alla viscosit molecolare, la seconda

dovuta alla viscosit turbolenta:

u'v'y

u turblamt

=+=

Il termine dovuto alla turbolenza pu essere semplificato introducendo la

cosiddetta Viscosit Turbolenta, spesso indicata con . Con tale approccio(noto come ipotesi di Boussinesq) la tensione turbolenta pu essere riscritta

in una forma analoga a quella laminare

y

uu'v' tturb

==

In questo modo, introducendo una grandezza chiamata Lunghezza di

miscelamento di Prandtl, possibile esprimere la viscosit turbolenta come:

y

ul mt

= 2

E la tensione turbolenta diventa:

2

2

=y

ul mt

Il problema perci ricondotto alla determinazione della lunghezza di

miscelamento, in quanto per il resto occorre conoscere la densit del

fluido, e i gradienti della velocit media, ma sia la densit, sia la velocit

media sono delle variabili dipendenti del problema matematico. La

lunghezza di scala , un parametro che pu facilmente essere ipotizzato

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per flussi semplici, ma per flussi complessi questo modello di turbolenza

non da risultati accurati.

Si cosi introdotto uno dei pi semplici modelli di turbolenza, per risolverealcuni tipi di flussi turbolenti incomprimibili. In letteratura e nei codici

CFD (Computational Fluid Dynamics) sono proposti diversi modelli di

turbolenza che vengono propriamente impiegati in relazione ai diversi tipi

di flusso da analizzare [D.C.Wilcox]