Capitolo 6 CONCENTRAZIONE DEI DEFLUSSI

1 INTRODUZIONE

Lo studio della formazione dei deflussi a partire dalle precipitazione costituisce uno dei settori centrali della ricerca in campo idrologico ed ha subito un ulteriore impulso dalla diffusione del calcolo elettronico, con lo sviluppo di una grande varietà di modelli. Sono state proposte numerose classificazioni dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi, basate su diversi aspetti dei modelli stessi. Come tutte le classificazioni, ciascuna di esse si presta a critiche e trascura aspetti, anche importati, dei modelli considerati. Per fissare le idee, si farà in seguito riferimento alla classificazione proposta da Todini (1988), indicando con: - modelli stocastici, i modelli in cui si ipotizza soltanto un legame di dipendenza stocastica

tra gli afflussi e i deflussi, senza introdurre elementi descrittivi delle caratteristiche del bacino;

- modelli integrali concentrati, i modelli che rappresentano il bacino come un'unità globale, senza articolazione spaziale, mentre la trasformazione degli afflussi in deflussi è rappresentata aggregando schematicamente le diverse componenti del ciclo idrologico in pochi algoritmi semplici;

- modelli integrali distribuiti, (talvolta indicati anche semplicemente come modelli distribuiti) i modelli che schematizzano il fenomeno idrologico tenendo conto separatamente di un numero maggiore di componenti rispetto ai modelli concentrati, anche se il singolo fenomeno viene rappresentato per mezzo di relazioni matematiche, più che di leggi fisiche. Alla schematizzazione più articolata dei fenomeni si accompagna anche una descrizione della variabilità spaziale del sistema. Il bacino, quindi, non è più concepito come un unico operatore, ma come un complesso di relazioni interconnesse, sia verticalmente - afflusso, trattenuta superficiale, invaso, infiltrazione, deflusso - sia orizzontalmente - trasporto in alveo da un sottobacino all'altro. La precipitazione è descritta da una molteplicità d'ingressi, ciascuno con una sua area d'influenza. Anche i parametri sono ovviamente più numerosi perché relativi ai diversi sottobacini;

- modelli differenziali distribuiti (talvolta indicati anche come modelli a base fisica), in cui tutte le componenti del ciclo idrologico sono descritte da relazioni fisiche differenziali, che devono essere integrate tenendo conto delle condizioni al contorno, costituite dalle caratteristiche fisiche del terreno e degli alvei.

Questa classificazione ha il merito di tenere conto del grado di conoscenza a priori – intesa come conoscenza fisica dei fattori che influenzano il processo di trasformazione – richiesta dal modello. Nei modelli stocastici la conoscenza a priori è minima, perché i parametri del modello sono soltanto stocastici e a essi non viene attribuito alcun significato fisico. Questi parametri vengono stimati con tecniche puramente statistiche a partire dai dati di afflusso e di deflusso. Nei modelli integrali concentrati la conoscenza a priori riguarda soltanto alcune caratteristiche globali del bacino, come l'area, la lunghezza dell'asta principale, la pendenza media dei versanti. Altri parametri, come il tempo di concentrazione, il coefficiente di deflusso, la costante d'invaso sono in genere determinati per taratura dai dati di afflusso e deflusso. In tal caso il contenuto di conoscenza a priori non è molto maggiore di quello dei modelli stocastici. Nei modelli integrali distribuiti la conoscenza a priori è ancora più grande, per il maggior numero di parametri noti, relativi sia alle diverse fasi del processo, sia alla più complessa articolazione spaziale. Anche i parametri da determinare per taratura sono più numerosi. Nei modelli differenziali distribuiti, infine, la conoscenza a priori è massima, perché è necessario conoscere in dettaglio le caratteristiche e le condizioni iniziali del bacino.

2 FORMULA STORICHE

2.1 FORMULA RAZIONALE

La prima relazione formale impiegata per mettere in relazione la portata di piena al colmo con le precipitazioni è stata la formula razionale, introdotta da Mulvaney (1850) intorno alla metà del secolo scorso. Come è noto, questa formula è basata sul concetto di tempo di concentrazione: per un'assegnata intensità di pioggia la massima piena si verifica quando la durata della pioggia raggiunge o supera il tempo di concentrazione del bacino. Col metodo razionale la portata di piena al colmo è espressa dalla formula:

( ) ( ) bbc AT,(i278TQ ⋅⋅⋅= τφ (m3/s) (2.1) dove il coefficiente 278 tiene conto delle unità di misura e:

T è il tempo di ritorno (anni) bA è l'area del bacino (km2),

φ è il coefficiente di deflusso, bτ è la durata critica, intesa come tempo di concentrazione del bacino (h),

i(τb) è l'intensità di pioggia (m/h) di durata critica

Per valutare l'intensità di pioggia si utilizza una relazione intensità-durata. Si conviene quindi di attribuire alla portata Q il medesimo tempo di ritorno della relazione intensità-durata cui si fa riferimento. Questa assunzione è tutt'altro che scontata. Infatti la determinazione della pioggia netta per mezzo di un coefficiente di deflusso costante

2 2

rappresenta una grossolana semplificazione. L'assorbimento, non solo varia durante la pioggia man mano che il terreno si satura, ma è anche influenzato dalle condizioni di imbibizione del bacino all'inizio dell'evento. La probabilità della portata dipende quindi dalla combinazione delle probabilità della pioggia e del coefficiente di deflusso. La relazione (2.1) ha un carattere empirico e ha come parametri il tempo di concentrazione τb e il coefficiente di deflusso φ. Per la scelta del coefficiente di deflusso φ, che è largamente determinato dalle perdite idrologiche, si rinvia al capitolo 3.

Tempo di concentrazione

Nei bacini rurali, in cui sono note solo le caratteristiche generali del bacino, il tempo di concentrazione è ricavato per mezzo di formule globali. Tra le più usate è quella di Kirpich (1940):

(h) (2.2) 385,077,0b JL000325,0 −⋅=τ

con: L lunghezza dell'asta principale (m), J pendenza media del bacino (m/m), ricavata da dati del Soil Conservation Service relativi a bacini rurali, con alveo ben definito e pendenze elevate (3 ÷ 10%). Per scorrimento su falda con superfici bitumate o di calcestruzzo si moltiplica il tempo per 0,4. Per canali di calcestruzzo si moltiplica il tempo per 0,2. Per piste aeroportuali la Federal Aviation Administration (1970) ha sviluppato la seguente formula:

(min) (2.3) ( ) 333,05,0b JL1,126,3 −⋅−= φτ

con: L lunghezza dello scorrimento superficiale (m), J pendenza della superficie (%), φ coefficiente di deflusso, usata anche per lo scorrimento superficiale in bacini urbani. Per lo scorrimento superficiale Morgali e Linsley (1965) hanno proposto l'applicazione del modello dell'onda cinematica su superfici piane, ricavando:

( ) 3,04,0b

6,06,0

bJi

nL441,0τ

τ = (min) (2.4)

con: L lunghezza della falda (m), J pendenza della falda, n indice di scabrezza di Manning, ( )bi τ intensità di pioggia (m/h).

Questa formula è ovviamente iterativa, perché ( )bi τ dipende appunto da τb.

Quando sono note le caratteristiche degli alvei è possibile determinare il tempo di

3 3

concentrazione tenendo conto anche della velocità di scorrimento negli alvei stessi. Questo metodo, usato soprattutto nel calcolo dei sistemi di fognatura e di bonifica, sarà sviluppato nel paragrafo 4.

2.2 METODO DI GIANDOTTI

In Italia, Giandotti (1933) ha messo a punto una formula di struttura analoga a quella del metodo razionale:

( ) bbc Ai278Q ⋅⋅⋅⋅= τκλφ (m3/s) (2.5)

dove Ab, φ e i(τb) hanno il significato noto e: λ è il coefficiente di punta, κ è il rapporto tra la durata della piena e il tempo di concentrazione.

Giandotti (1933) suggeriva di assumere: λ = 6 κ = 4 mentre l’espressione del coefficiente di deflusso φ in funzione dell'area del bacino può essere ricavato dalla tabella 2.1.

Tabella 2.1 - Valori di φ ottenuti da Giandotti

bacino sezione Area formula

(km2) Area bacini

(km2) φ (formula)

Trebbia S. Salvatore 0 ÷ 1.000 619 0,30 Adda Lago di Como 1.000 ÷ 10.000 2.600 0,25 Arno Pisa “ 8.000 0,25

Tevere Roma 10.000 ÷ 70.000 16.545 0,20 Po Pontelagoscuro “ 70.000 0,20

I valori dei parametri della (2.5), sono stati tarati da Giandotti stesso in base alle registrazioni di onde di piena di diversi bacini italiani e delle relative precipitazioni, avendo assunto per il tempo di concentrazione l'espressione:

m

bbb y8,0

L5,1A4 +=τ (h) (2.6)

con: Ab area del bacino (km2), Lb lunghezza dell'asta principale del bacino (km), ym altitudine media del bacino rispetto alla sezione di chiusura (m).

La taratura eseguita da Giandotti, illustrata nella figura 2.1a per la (2.6) e nella figura 2.1b per la (2.5), mostra un adattamento abbastanza soddisfacente, anche se purtroppo gli eventi considerati non sono molti.

4 4

Successivamente Visentini (1938), sulla base di elaborazioni non pubblicate, ha proposto i valori dei parametri della (2.5) indicati nella tabella 2.2. Tali valori sono stati recepiti dallo stesso Giandotti (1937 e 1940), nonché da numerosi testi di idrologia e costruzioni idrauliche italiani (Arredi, 1947 e 1962; Marzolo, 1963; Supino, 1965; Tonini, 1966; Calenda e Margaritora, 1979; Maione, 1981; Moisello, 1985).

0

20

40

60

80

100

120

100 1000 10000 100000

tem

po d

i con

cent

razi

one (

ore)

area del bacino (km2)

osservatocalcolato

Po

Tevere

Arno

Dora Baltea

TaroSesia

a)

0

2000

4000

6000

8000

10000

100 1000 10000 100000

porta

ta al

colm

o (m

3 /s)

area del bacino (km2)

osservatacalcolata Po

Tevere

Arno

AddaTrebbia

b) Figura 2.1 – Taratura delle formule di Giandotti

Tabella 2.2 – Parametri della formula di Giandotti proposti da Visentini

Area (km2)

φ κ

0 ÷ 500 0,5 4,0 500 ÷ 1.000 0,4 4,5

1.000 ÷ 8.000 0,3 5,0 8.000 ÷ 20.000 0,3 5,5

20.000 ÷ 70.000 0,2 6,0 λ

0 ÷ 300 10 300 ÷ 1.000 8

> 1.000 6

Si osservi che, nonostante si riferiscano allo stesso schema concettuale, il metodo razionale e il metodo di Giandotti sono sostanzialmente differenti, in quanto quest'ultimo inserisce un

coefficiente di punta κλ

, che è pari 1,5 con i valori suggeriti da Giandotti nel 1933, ma che

arriva fino a 2,5 per bacini di area inferiore a 300 km2 con i valori proposti da Visentini. Il metodo originario di Giandotti fornisce comunque valori paragonabili a quelli della formula razionale, sia perché i tempi di concentrazione dati dalla (2.6) sono generalmente

5 5

superiori, ad esempio, a quelli della (2.2), ma soprattutto perché i valori del coefficiente di deflusso della tabella 2.1 sono nettamente inferiori a quelli generalmente impiegati per la formula razionale. Se, invece, si usano i parametri proposti da Visentini, la formula di Giandotti fornisce sistematicamente valori molto più elevati della formula razionale, soprattutto per bacini di piccole dimensioni. Poiché la formula razionale è in uso da moltissimi anni in tutto il mondo, e ha subito numerose tarature, mentre la formula di Giandotti è impiegata soltanto in Italia e non è facile accedere alla taratura di Visentini, si ritiene preferibile attenersi alla prima. Se si vuole comunque impiegare la (2.5), è consigliabile attenersi alla formulazione originaria di Giandotti, di cui è possibile controllare la taratura.

3 MODELLI LINEARI

3.1 MODELLO CINEMATICO

Il modello cinematico lineare si basa sul concetto di canale lineare, definito come un operatore che trasforma la portata in entrata qe nella portata in uscita qu con una traslazione in un tempo τ senza modificarne il valore: ( ) ( )τ−= tqtq eu

dove τ è il tempo di corrivazione o tempo di trasferimento. Un bacino può essere schematizzato come un fascio di canali lineari che uniscono ciascun punto della superficie con la sezione di chiusura. Ad ogni punto può essere allora associato un tempo di trasferimento τ. Le linee che uniscono i punti con ugual tempo di trasferimento prendono il nome di isocorrive (figura 3.1). Sia dA(τ) l’areola elementare compresa tra le isocorrive τ e τ + dτ, questa contribuisce alla portata nella sezione di chiusura al tempo t, Q(t), con una portata elementare

isocorriva

dA(τ)τ

τ+dτ

Figura 3.1 – Schematizzazione di un bacino col modello cinematico lineare: isocorrive

( ) ( ) ( )ττ dAtptdQ −=

per cui il contributo, definito come la portata per unità di area totale del bacino Ab, risulta:

6 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ d

ddA

A1tp

AdAtptdq

bb−=−= (3.1)

Il contributo al tempo t è dunque:

( ) ( ) ( ) ττττ d

ddA

A1tptq

t

0b

∫ −= (3.2)

La (3.2) è un’equazione di convoluzione che fornisce il contributo nella sezione di chiusura in funzione dello ietogramma p(t) e della funzione di forma del bacino ( )τA .

3.2 IDROGRAMMA UNITARIO ISTANTANEO

Definizione

Se si sostituisce la variabile τ con una nuova variabile: τθ −= t per cui: τθ dd −=

( ) ( )

θθ

ττ

dtdA

ddA −

−=

la (3.2) diventa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫==

−=

−−=

t

0 b

t

0 bd

dtdA

A1pd

dtdA

A1ptq

θτ

θθ

θθθθ

θθ (3.3)

Ponendo:

( ) ( )dt

tdAA1tub

= (3.4)

la (3.3) si scrive:

(3.5) ( ) ( ) ( )∫ ⋅−⋅=t

0

dtuptq θθθ

La funzione prende il nome di idrogramma unitario istantaneo (IUH – Instantaneous Unit Hydrograph), ed è una caratteristica del bacino.

( )tu

Si definisce pioggia unitaria istantanea una pioggia di durata istantanea e altezza ( )0P unitaria, ossia tale che:

(3.6) ( )⎩⎨⎧

≠==≠

0t per00t per0

tp

(3.7) ( ) ( ) 10Pdttplim0

0t==∫

∞

→

7 7

Una pioggia unitaria istantanea è, dunque, una pioggia di intensità infinita che ha un’altezza unitaria in un intervallo di tempo nullo. Per la (3.5) e la (0.037):

(3.8) ( ) ( ) ( ) ( )tudttu0ptqt

0

=⋅⋅= ∫

Per la continuità è sempre:

(3.9) ( ) 1dttu0

=⋅∫∞

L’idrogramma unitario istantaneo è dunque la risposta del bacino ad una pioggia unitaria istantanea. I modelli lineari si possono tutti esprimere nella forma (3.5) come l’integrale di convoluzione dello ietogramma con l’idrogramma unitario istantaneo ( )tp ( )tu del bacino.

Si osservi che la risposta del modello lineare gode delle seguenti proprietà: - proporzionalità: per cui, se è la soluzione della (3.5) con ingresso , il prodotto

la soluzione con l’ingresso ( )tq ( )tp

( )tqc ⋅ ( )tpc ⋅ ;

- additività: per cui, se e ( )tq1 ( )tq2 sono le soluzioni della (3.5) con gli ingressi ( )tp1 e , la somma è una soluzione con l’ingresso ( )tp2 ( ) )tq1 (tq1+ ( ) (tptp 11 )+ .

È frequente l’uso di idrogrammi unitari rappresentati da funzioni analitiche che godono della proprietà (3.9). Alcuni di questi idrogrammi sono riconducibili, come si vedrà, a degli schemi concettuali semplici.

Lo IUH come distribuzione di probabilità

Si noti che a norma della (3.9) può essere inteso come densità di probabilità del tempo di detenzione t dell’acqua nel bacino.

( )tu

Idrogramma unitario istantaneo rettangolare

Lo IUH rettangolare è rappresentato dalla relazione:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤≤=

b

bb

t per0

t0 per1tu

τ

ττ (3.10)

In questo caso la (3.9) diventa:

( ) 11dttu bb0

=⋅=⋅∫∞

ττ

quindi la (3.10) può rappresentare effettivamente un idrogramma unitario istantaneo. Lo IUH rettangolare può essere considerato la risposta di un bacino la cui funzione di forma è rettangolare, e bτ è il tempo di concentrazione del bacino.

8 8

IUH rettangolare con ietogramma rettangolare

Si consideri il caso in cui un bacino caratterizzato da un IUH rettangolare riceve come ingresso uno ietogramma rettangolare netto d’intensità p e durata uniformemente distribuito sull’area. Lo ietogramma è dunque:

pt

(3.11) ( )⎩⎨⎧

>≤≤

=p

p

tt per0tt0 perp

tp

La (3.5) diventa allora:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>>

≤≤≤≤=−⋅

bp

bpb

-t o tt per0

-t0 e t0 perptup

τθ

τθθτθθ (3.12)

Si esaminano separatamente i tre casi, bpt τ< , bpt τ= e bpt τ> :

A) bpt τ< , ossia il tempo di pioggia è inferiore al tempo di concentrazione del bacino.

L’idrogramma è costituito da tre tratti distinti, a seconda che: ptt0 ≤≤ . bp tt τ≤≤ o

pbb tt +≤≤ ττ :

A1) per (figura 3.2a) è sempre e ptt0 ≤≤ 0p > bptt τθ ≤≤− , per cui a norma della (3.10) ( ) b1tu τθ =− e quindi:

( )b

t

0b

tpd1ptqτ

θτ

⋅=⋅= ∫ (3.13)

L’idrogramma cresce linearmente con t fino al tempo quando raggiunge il valore pt

bptp τ⋅ ;

A2) per bp tt τ≤≤ (figura 3.2b) è solo fino a 0p > ptt = , dopo di che si annulla, mentre è sempre bt τθ ≤− , per cui ( ) b1tu θ τ=− e quindi:

( )b

pt

tb

t

0b

tpd10d1ptq

p

p

τθ

τθ

τ⋅=⋅+⋅= ∫∫ (3.14)

L’idrogramma è costante; A3) per pbb tt +≤< ττ (figura 3.2c) ( ) 0tu =−θ quando bt τθ −< e quindi:

( )b

bpt

tb

t

tb

t

0

ttpd10d1pd0ptq

p

p

b

b

ττ

θτ

θτ

θτ

τ −+⋅=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫

−

−

(3.15)

L’idrogramma decresce linearmente con t fino ad annullarsi per bptt τ+= .

Per bpt τ≤ l’idrogramma di piena di un IUH rettangolare prodotto da uno ietogramma rettangolare è dunque quello illustrato nella figura 3.2.

9 9

t - θ

tp τbtθ τb+ tp

a)

p

t - θ

tθ τb+ tpτbtp

b)

p

c)t - θ

θ τbtp t

τbt-τb

τb+ tp

p

Figura 3.2 – Idrogramma di piena per tp < τb

B) bpt τ=

t

, ossia il tempo di pioggia è uguale al tempo di concentrazione del bacino. È il caso limite del precedente. L’idrogramma di piena (figura 3.3) segue la (3.13) fino al tempo , dove ha il massimo con p

( ) pd1pqb

0bb =⋅= ∫

τ

θτ

τ

tp = τb τb+ tp

p

Figura 3.3 – Idrogramma di piena per tp = τb

10 10

quindi decresce seguendo la (3.15), che si esprime:

( )b

b t2ptqτ

τ −⋅=

Per bpt τ≤ l’idrogramma di piena di un IUH rettangolare prodotto da uno ietogramma rettangolare è dunque quello illustrato nella figura 3.3.

C) bpt τ> , ossia il tempo di pioggia è maggiore del tempo di concentrazione del bacino. L’idrogramma di piena si comporta , dopo di che L’idrogramma è costituito da tre tratti distinti, a seconda che:

pt

bt0 τ≤≤ , pttb ≤≤τ o pbp ttt +≤≤ τ :

C1) per bt0 τ≤≤ l’idrogramma di piena si comporta come nel caso B;

C2) per pb tt ≤≤τ (figura 3.4a) si ha:

τb τb+ tptp

p

t

τbt-τb

θt - θ

a)

τb τb+ tptp

p

t

τbt-τb

θt - θ

b)Figura 3.4 – Idrogramma di piena per tp > τb

( ) pd1pd1pd0ptqt

btb

t

0 p

b

b

b

=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫−

−

τ

τ

τ

τ

θτ

θτ

θ (3.16)

C3) per pbp ttt +≤≤ τ (figura 3.4b) si ha:

( )b

bpt

tb

t

btb

t

0

ttpd10d1pd1pd0ptq

p

p

p

b

b

b

ττ

θτ

θτ

θτ

θτ

τ

τ

τ −+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫

−

−

Per bpt τ> l’idrogramma di piena di un IUH rettangolare prodotto da uno ietogramma rettangolare è dunque quello illustrato nella figura 3.4.

Per facilitare la comprensione, i tre idrogrammi possono essere spiegati facendo riferimento allo schema del modello cinematico con funzione di forma rettangolare: A) per bpt τ< (figura 3.5):

- quando la pioggia inizia arrivano alla sezione di chiusura soltanto i contributi delle zone più vicine (t1) e la portata è bassa;

- col passare del tempo arrivano anche i contributi di zone più distanti, ma dato che la pioggia non ha smesso continuano ad arrivare anche i contributi delle zone più vicine (t2) e la portata sale;

11 11

t1 t2 tp τbt3 t4 t5 Figura 3.5 – Aree contribuenti alla piena per tp < τb

- al tempo tp cessa la pioggia e contribuisce un’area:

( )b

pbp

tAtA

τ=

- da questo momento in poi arrivano ancora contributi di zone più distanti, ma cessano quelli di zone più vicine per cui l’area contribuente trasla verso monte ma non si amplia (t3) e la portata rimane contante;

- al tempo τb arrivano i contributi dell’estremità di monte del bacino; - da questo istante in poi l’area contribuente non si espande più a monte ma, dato che

continua a ampliarsi l’area non contribuente a valle, l’area contribuente si riduce (t4) e la portata cala;

- l’area contribuente si riduce sempre di più (t5) e la portata è ormai molto bassa; Come si può osservare la pioggia è troppo breve e non arriva mai a contribuire tutta

l’area del bacino contemporaneamente. B) per bpt τ= (figura 3.6):

la porta cresce man mano che si amplia l’area contribuente (t1 e t2) e, dato che la pioggia dura quanto il tempo di concentrazione del bacino, piove ancora nell’istante in cui arrivano i contributi provenienti dall’estremità di monte, e per un attimo arriva a contribuire tutto il bacino contemporaneamente (tp = τb); poi, cessata la pioggia, si riducono i contributi di valle e la portata cala (t3 e t4);

t1 t2 tp=τb t4t3 Figura 3.6 – Aree contribuenti alla piena per tp = τb

12 12

C) per bpt τ= (figura 3.7):

tutto procede come nel caso B (t1, t2 e τb) ma quando inizia a contribuire tutto il bacino, la pioggia continua per cui l’area contribuente non si riduce (t3) e la portata rimane costane fino al tempo tp, quando la pioggia cessa e, riducendosi l’area contribuente, le portate calano (t4 e t5)

t1 t2 tpτb t3 t4 t5 Figura 3.7 – Aree contribuenti alla piena per tp > τb

Idrogramma unitario istantaneo esponenziale

Lo IUH esponenziale è rappresentato da una legge esponenziale negativa (figura 3.8):

k

e)t(ukt−

= (3.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

IUH

tempo (ore)5

k = 1

k = 2

Figura 3.8 – IUH esponenziale

In questo caso la (3.9) diventa:

( ) [ ] 1edttu 0kt

0

=−=⋅∞−

∞

∫

quindi la (3.17) può rappresentare effettivamente un idrogramma unitario istantaneo. Lo IUH esponenziale può essere considerato la risposta di un bacino la cui funzione di forma

13 13

è esponenziale. Il tempo di concentrazione dei un simile bacino è infinito.

Modello dell’invaso lineare

Lo IUH esponenziale è anche la risposta di un modello concettuale, detto modello dell’invaso lineare. Il concetto dell’invaso lineare è stato utilizzato in Italia da Paladini (1902) e da Fantoli (1904) nel calcolo delle fognature di Milano come “metodo dell'invaso”, diffusamente impiegato successivamente in Italia per al calcolo delle fognature e delle reti di drenaggio in genere1. Un invaso lineare è caratterizzato dalla relazione: w(t) = kq(t) (3.18) dove w(t) è il volume per unità di area del bacino invasato al tempo t, q(t) è il contributo uscente al tempo t e k è la costante d'invaso. Sostituendo la (3.18) nell’equazione di continuità:

( ) ( ) ( )dt

tdwtqtp =− (3.19)

si ottiene:

)t(p)t(qdt

)t(dqk =+ (3.20)

Moltiplicando ambo i membri della (3.20) per et/k, si ha:

ktktkt e)t(pe)t(qedt

)t(dqk =+

ossia:

[ ] ktkt e)t(p)t(qkedtd

=

che integrata tra θ = 0 e θ = t

[ ] ∫∫ =t

0kt

0k de)(p)(qked θθθ θθ

dà:

∫=t

0kkt de)(p)t(qke θθ θ

e quindi, essendo t costante:

∫−−

=t

0

k)t(d

ke)(p)t(q θθ

θ

(3.21)

La (3.21) si può scrivere anche:

∫ −=t

0d)t(u)(p)t(q θθθ

dove è appunto espresso dalla (3.17). ( )tu

1 Molto dopo Zoch (1934, 1936, 1937) ha diffuso il concetto di invaso lineare nella trasformazione afflussi

deflussi, svincolandolo dalla peculiare applicazione fattane da Paladini e da Fantoli.

14 14

IUH esponenziale con ietogramma rettangolare

Se l'ingresso si mantiene costante pari a p per la sua durata tp la (3.21) risulta: - per t ≤ tp: ( ) ( )k/te1ptq −−= (3.22) - per t > tp:

( ) ( ) ( ) k/ttk/t pp ee1ptq −−−−= (3.22') e il colmo dell'uscita si verifica proprio al tempo t = tp.

Il volume invasato in ciascun istante è dato sempre dalla (3.18). L’idrogramma riportato nella figura 3.9 corrisponde alla risposta di un IUH esponenziale con

ora con ingresso p=1 e e 2 ore. 1k = 1t p =

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

IUH

tempo (ore)5

1 ora

2 ore

tempo di pioggia:

Figura 3.9 – Risposte di un IUH esponenziale a ingressi rettangolari

Idrogramma unitario istantaneo gamma

Lo IUH gamma è rappresentato da una distribuzione gamma (figura 3.10):

k/t1

ekt

k)(1)t(u −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

α

αΓ (3.23)

di parametri α e k, in cui Γ(α) è la funzione gamma:

( ) ∫∞ −−=0

s1 dsesααΓ

La ( )αΓ è riportata numericamente per 21 ≤≤ α nella tabella 3.1 e può essere calcolata per qualsiasi valore di α ricordando che: ( ) ( ) ( 11 −⋅−= )αΓααΓ (3.24)

L’integrale della (3.23) tra 0 e è pari a 1. ∞

15 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

IUH

tempo (ore)

k = 1

α = 1

α = 2

α = 3

a)0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

IUH

tempo (ore)

α = 2

k = 0,5

k = 1

k = 2

b) Figura 3.10 – IUH gamma

Tabella 3.1 - Funzione gamma

α Γ(α) α Γ(α) α Γ(α) α Γ(α) 1,00 1,00000 1,25 0,90640 1,50 0,88623 1,75 0,91906 1,01 0,99433 1,26 0,90440 1,51 0,88659 1,76 0,92137 1,02 0,98884 1,27 0,90250 1,52 0,88704 1,77 0,92376 1,03 0,98355 1,28 0,90072 1,53 0,88757 1,78 0,92623 1,04 0,97844 1,29 0,89904 1,54 0,88818 1,79 0,92877

1,05 0,97350 1,30 0,89747 1,55 0,88887 1,80 0,93138 1,06 0,96874 1,31 0,89600 1,56 0,88964 1,81 0,93408 1,07 0,96415 1,32 0,89464 1,57 0,89049 1,82 0,93969 1,08 0,95973 1,33 0,89338 1,58 0,89142 1,83 0,93969 1,09 0,95546 1,34 0,89222 1,59 0,89243 1,84 0,94261

1,10 9095135 1,35 0,89115 1,60 0,89352 1,85 0,94561 1,11 0,94740 1,36 0,89018 1,61 0,89468 1,86 0,94869 1,12 0,94359 1,37 0,88931 1,62 0,89592 1,87 0,95184 1,13 0,93993 1,38 0,88854 1,63 0,89724 1,88 0,95507 1,14 0,93642 1,39 0,88785 1,64 0,89864 1,89 0,95838

1,15 0,93304 1,40 0,88726 1,65 0,90012 1,90 0,96177 1,16 0,92980 1,41 0,88676 1,66 0,90167 1,91 0,96523 1,17 0,92670 1,42 0,88636 1,67 0,90330 1,92 0,96877 1,18 0,92373 1,43 0,88604 1,68 0,90500 1,93 0,97240 1,19 0,92089 1,44 0,88581 1,69 0,90678 1,94 0,97610

1,20 0,91818 1,45 0,88566 1,70 0,90864 1,95 0,97988 1,21 0,91558 1,46 0,88560 1,71 0,91057 1,96 0,98374 1,22 0,91311 1,47 0,88563 1,72 0,91258 1,97 0,98768 1,23 0,91075 1,48 0,88575 1,73 0,91466 1,98 0,99171 1,24 0,90852 1,49 0,88595 1,74 0,91683 1,99 0,99581

2,00 1,00000

16 16

Modello di Nash

Per n=α intero lo IUH gamma è anche la risposta di un modello concettuale, detto modello dei Nash (Nash, 1957), costituito da n serbatoi lineari con la stessa costante d’invaso k, disposti in serie, in modo che l'uscita dell'uno costituisca l'ingresso nel successivo.

Doppio serbatoio lineare con ietogramma rettangolare

Se l'ingresso mantiene il valore costante p costante per la durata tp, la risposta di due serbatoi uguali in serie è: - per : ptt ≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= −

kt1e1p)t(q k/t (3.25)

- per : ptt >

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= − 1

kt

1e1ektep)t(q pk/tk/tk/t pp (3.25')

Il colmo si verifica per il tempo:

1e

ett k/t

k/t

pp

p

−=

e vale:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−= − 1

kt

1e)1e(1e

ekt

eQ pk/tk/tk/t

k/tp1e

ekt

cpp

p

pk/pt

k/ptp

(3.26)

Il volume invasato per unità di area del bacino risulta: - per : ptt ≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= − k/te

kt22pk)t(w

- per : ptt >

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= − 2

kt

2e1ektpke)t(w pk/tk/tk/t pp

L'uscita di due serbatoi lineari in serie, ciascuno con 1k = , è confrontata: nella figura 3.11a con l’uscita di un serbatoio lineare con 2k = e nella figura 3.11b con quella di un serbatoio lineare con . 1k =

Stima dei parametri dei modelli concettuali

L'applicazione dei modelli lineari richiede la determinazione dei parametri da cui essi

17 17

dipendono. Nel caso degli IUH esposti precedentemente il numero dei parametri è molto limitato (uno per gli IUH rettangolare e esponenziale, due per lo IUH gamma). I valori di questi parametri possono essere ricavati per taratura, se sono disponibili degli idrogrammi di piena nella sezione di chiusura del bacino, oppure possono essere espressi in funzione delle principali caratteristiche del bacino, tramite relazioni empiriche, a loro volta ottenute per mezzo di regressioni dai risultati delle tarature eseguite su altri bacini (Edson, 1951). Anche in questo caso i parametri possono essere stimati col metodo dei minimi quadrati ordinari (ordinary least squares - OLS). Si supponga di avere a disposizione N eventi y, ciascuno di durata descritto da dati di

pioggia e di portata osservati ad intervalli costanti yT yM

*j,yp *

j,yq tΔ , per cui

t

TM y

y Δ= e

ttj

Δ=

In termini discreti l’equazione di convoluzione si esprime:

(3.27) ∑=

+−∗=

j

1i1iji,yj,y Upq

dove:

j,yq è la portata dell’evento y calcolata al tempo j,

jU è il valore dell’idrogramma unitario al tempo j, che è comune per tutti gli eventi perché dipende soltanto dal bacino, ed è dato da:

( ) ttuU j Δ⋅=

Di seguito sono indicate le espressioni di Uj per i diversi modelli concettuali considerati: a) IUH rettangolare: - per t ≤ τb:

t1Ub

j Δτ

= (3.28)

- per t > τb:

(3.28’) 0U j =

b) IUH esponenziale:

( )1eeU k/tk/tj −= − Δ (3.29)

c) modello di Nash:

( )tP)tt(Pdek)(

1Utt

tk/1

j −+== ∫+ −− Δθθ

αΓ

Δ θαα (3.30)

con probabilità cumulata di una distribuzione gamma. ( )tP

Il metodo dei minimi quadrati si basa sulla minimizzazione della somma degli scarti tra portate osservate e portate calcolate rispetto ai parametri degli IUH:

18 18

(3.31) (⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∑∑

= =

∗N

1y

M

1j

2j,yj,y qqSmin

B)

dove B è il vettore dei parametri dell’IUH.

3.3 MASSIMA PORTATA AL COLMO

In fase di progettazione delle opere di difesa dalle piene interessa conoscere la massima portata al colmo che può verificarsi con un tempo di ritorno T. L’ingresso pluviometrico è allora determinato sulla base della legge di probabilità pluviometrica (IDF) con tempo di ritorno T, espressa nella forma a due parametri:

(3.32) ( ) ( ) 1npp tTaT,ti −⋅=

oppure a tre parametri:

( ) ( )( )mp

p tbTaT,ti

+= (3.33)

Si esaminerà di seguito i casi in cui lo ietogramma è rettangolare, le perdite sono calcolate col metodo proporzionale, sicché: ( )T,tip p⋅= φ (3.34)

e il modello afflussi-deflussi è costituito da un modello lineare con IUH rettangolare o esponenziale.

IUH rettangolare

Nel caso in cui l’ingresso pluviometrico è descritto da una legge di probabilità pluviometrica, le onde di piena illustrate nelle figure 3.2, 3.3 e 3.4 hanno l’andamento illustrato nella figura 3.11, e la portata al colmo vale: a) se bpt τ≤ , per la (3.14):

( ) ( ) ( ) ( ) bb

ppb

b

pbc A

tT,ti278A

tTpATqTQ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

τφ

τ (3.35)

b) se bpt τ≥ , per la (3.16):

( ) ( ) ( ) ( ) bpbbc AT,ti278ATpATqTQ ⋅⋅⋅=⋅=⋅= φ (3.35’)

dove il fattore 278 tiene conto del fatto che l’area sono espresse in km2 e l’intensità di pioggia in m/h. Per trovare la condizione di massima portata al colmo QcM si derivano la (3.35) e la (3.35') rispetto a . Esprimendo l’intensità di pioggia tramite la (3.32), si ottiene: pt

a) per bpt τ≤ :

19 19

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2 2,

cont

ribut

o (m

/s)

durata (ore)5

legge IDF nettacontributo

τb

Figura 3.11 – Onde di piena per una legge IDF con ietogramma netto e IUH rettangolare

( ) ( )

b

1np

bc t

nTaA278tTQ

τφ

∂∂ −

⋅⋅⋅⋅= (3.36)

b) per bpt τ≥ :

( ) ( ) ( ) 2n

bc t1nTaA278tTQ −−⋅⋅⋅⋅= φ

∂∂

(3.36')

Essendo n positiva e minore di uno, la (3.36) è sempre positiva e la (3.36') è sempre negativa, sicché la (3.35) e la (3.35') hanno entrambe il massimo per bpt τ= . Si ottiene così la ben nota condizione di massimo della portata al colmo della formula razionale:

(m3/s) (3.37) ( ) ( ) 1nbbcM TaA278TQ −⋅⋅⋅⋅= τφ

In base alla (3.36) e (3.36’) l’andamento del contributo al colmo in funzione del tempo pioggia è illustrato nella figura 3.12, in cui è evidente che il massimo contributo al colmo si verifica per bpt τ= .

IUH esponenziale

Nel caso in cui l’ingresso pluviometrico è descritto da una legge di probabilità pluviometrica, le onde di piena illustrate nella figura 3.9 hanno l’andamento illustrato nella figura 3.13, e per la (3.22) la portata al colmo vale:

( ) ( )k/t1nbc

pp

e1tTaA278)T(Q −− −⋅⋅⋅⋅= φ (3.38)

Per trovare la condizione di massima portata al colmo QcM si uguaglia a zero la derivata della (3.38) rispetto a , ottenendo: pt

20 20

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

cont

ribut

o al

col

mo

tp

τb

qc(tp)

p(tp)

Figura 3.12 – Andamento del contributo al colmo con ietogramma netto e IUH rettangolari

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2 2,

cont

ribut

o (m

/s)

durata (ore)5

legge IDF nettacontributo

k

Figura 3.13 – Onde di piena per una legge IDF con ietogramma netto rettangolare e IUH esponenziale

( ) ( ) ( ) =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+⋅⋅⋅⋅= −−− k/tk/tp2n

pbp

c pp e1)1n(ekt

tTaA278t

TQ φ∂

∂

( ) ( )[ ] 0e1)1n(etTaA278 2npb =−−+⋅⋅⋅⋅⋅= −−− εεεφ (3.38)

dove si è posto:

ktp=ε (3.39)

La (3.38) si annulla per ε = εM tale che:

21 21

M

MM

e1e1n ε

εε−

−

−−= (3.40)

La soluzione esatta della (3.40), che è implicita in εM, è approssimata molto bene dalla relazione esplicita:

(3.41) n49,5e0118,0n22,2043,0M ++−=ε

come mostra la figura 3.14.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

εM

n

esatto (3.40)interpolato (3.41)

Figura 3.14 – Confronto tra la (3.40) e la (3.41)

Sostituendo Mε nella (3.38) si ottiene la ben nota condizione di massimo della portata al colmo del modello dell'invaso: ( ) ( ) ( )Me1kTaA278TQ 1n1n

MbcMεεφ −−− −⋅⋅⋅⋅= (3.42)

In base alla (3.42) l’andamento del contributo al colmo in funzione del tempo pioggia è illustrato nella figura 3.15.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

cont

ribut

o al

col

mo

tp

k

p(tp)

qc(tp)

Figura 3.15 – Andamento del contributo al colmo con ietogramma rettangolare e IUH esponenziale

22 22

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25 25

Tabella 2.1 - Valori di φ ottenuti da Giandotti

bacino sezione Area formula

(km2) Area bacini

(km2) φ (formula)

Trebbia S. Salvatore 0 ÷ 1.000 619 0.3 Adda Lago di Como 1.000 ÷ 10.000 2.600 0.25 Arno Pisa “ 8.000 0.25

Tevere Roma 10.000 ÷ 70.000 16.545 0.2 Po Pontelagoscuro “ 70.000 0.2

Tabella 2.2 - Parametri della formula di Giandotti proposti da Visentini

A (km2)

φ κ

0 ÷ 500 0,5 4,0 500 ÷ 1.000 0,4 4,5

1.000 ÷ 8.000 0,3 5,0 8.000 ÷ 20.000 0,3 5,5

20.000 ÷ 70.000 0,2 6,0 λ

0 ÷ 300 10 300 ÷ 1.000 8

> 1.000 6

Tabella 4.1 - Valori esatti e interpolati di ε

n ε (7.16) (7.16')

0,1 0,207 0,199 0,2 0,431 0,436 0,3 0,675 0,684 0,4 0,947 0,951 0,5 1,256 1,251 0,6 1,619 1,607 0,7 2,065 2,062 0,8 2,660 2,686 0,9 3,615 3,606

26 26

0

20

40

60

80

100

120

100 1000 10000 100000Ab (km2)

τb

(h)

osservaticalcolati

Po

Tevere

Arno

Dora Baltea

TaroSesia

0

2000

4000

6000

8000

10000

100 1000 10000 100000Ab (km2)

QcM

(m3/s)

osservatacalcolata

Po

Tevere

Arno

AddaTrebbia

a) b) Figura 2.1 - Taratura del metodo di Giandotti

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2t

p(t)q(t)

τb

p(t)

q(t)

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2t

p(t)q(t)

τb

p(t)

q(t)

(b)

Figura 3.6 - Uscite del modello cinematico con idrogramma unitario istantaneo rettangolare: a) con τb < tp e b)

con τb > tp

27 27

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.t

5

p q

pq: u retang.q: u triang.

(b)

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5t

u

u rett .u tri.

(a)

Figura 3.7 - Uscite del modello cinematico con idrogramma unitario istantaneo rettangolare o triangolare e tempo di concentrazione pari alla durata della pioggia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6t

q

tp = 1

tp = 2

Figura 3.8 - Uscite del modello dell’invaso lineare con k = 1 e ietogrammi costanti di durata tp = 1 e tp = 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5t

p(t)q(t)

pq 1 serb.q 2 serb.

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5t

p(t)q(t)

pq 1 serb.q 2 serb.

(b)

Figura 3.9 - Confronto tra le uscite di due serbatoi lineari con k = 1 e quella di un serbatoio lineare: a) con k = 1 b) con k = 2

28 28

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t (h)

p, qc

(m3/s)

p(t)qc(t)

k0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t (h)

p, qc

(m3/s)

p(t)qc(t)

τ b

a) b)

Figura 4.1 - Andamento della portata al colmo in funzione del tempo di pioggia a) nel modello cinematico e b) in quello dell’invaso

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1n

εm

esattointerpolato

Figura 4.2 - Funzione εM(n) esatta e approssimata

29 29