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CAPITOLO 4. Il TEOREMA DI TRASPORTO DI REYNOLDS

4.1 Il Teorema di Trasporto di ReynoldsLe leggi di conservazione della Massa, della Quantit di Moto e dellEnergia

costituiscono le relazioni di base della Fluidodinamica. Esse si ricavano

applicando alcuni principi fisici fondamentali ad una parte del fluido in studio

(il Sistema), sia in termini finiti che infinitesimi. La forma finita o integrale,

applicata ad una porzione di spazio scelta in maniera opportuna (il Volume di

Controllo), permette di ottenere le equazioni da utilizzare per la risoluzionedegli esercizi in casi di flussi pi o meno semplici. La forma differenziale porta

invece alle equazioni alle derivate parziali che reggono i moti fluidi pi

generali. Al fine di procedere nel discorso necessario premettere le seguenti

definizioni:

Definizione di Sistema

Il Sistema una quantit di fluido avente una ben determinata identit, che pertantodeve considerarsi come composto sempre dalle stesse particelle fluide, e che pu

muoversi, deformarsi, e interagire con lambiente esterno.

Il Sistema cos definito utile perch ad esso sono immediatamente applicabili

tutta una serie di principi fisici. Come esempio, che verr ripreso nel seguito, si

consideri il fatto che essendo il sistema composto sempre dalle stesse particelle

fluide, per esso si possa affermare il principio fisico di conservazione della massa:

Durante levoluzione del Sistema, la sua massa si mantiene costante

Definizione di Volume di Controllo

Il Volume di Controllo un volume individuato nello spazio, scelto in maniera

completamente arbitraria. E unentit geometrica indipendente dalla massa, e con un

volume che pu essere fisso, mobile, indeformabile o deformabile.

Attraverso la Superficie di controllo, che avvolge il Volume di controllo, il

fluido pu fluire (entrare o uscire). Come si deduce dalle definizioni, nel caso

pi generale il Volume di Controllo (Control Volume, CV) pu contenere masse

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diverse di fluido in istanti diversi. Per esigenze di semplificazione, in taluni casi

il CV verr considerato a volume costante e fisso nello spazio, oppure a volume

costante e in movimento rispetto ad un osservatore assoluto.

Lintroduzione delle due diverse entit, Sistema e Volume di Controllo,

associata alla difficolt che si ha nello studio del moto dei Fluidi di identificare e

monitorare sperimentalmente una ben definita porzione di fluido (Sistema)

durante il suo movimento. Per esempio, non possibile seguire cos facilmente

una specifica porzione dacqua che fluisce in un fiume, come invece si pu

seguire un oggetto solido, ad esempio un ramo, che galleggia sulla sua

superficie [Munson], poich mentre il fluido scorre quasi impossibile

identificare le particelle che costituiscono il sistema. Per rimuovere tale

difficolt pi conveniente, per lo studio del moto fluido, fissare la propria

attenzione su uno specifico Volume di Controllo, del quale si definisce la forma

e la posizione, e valutare le grandezze termofluidodinamiche del fluido in esso

contenuto.

La relazione tra la variazione nel tempo delle propriet del fluido che

costituisce il Sistema e la variazione temporale di quelle del fluido contenuto

nel Volume di Controllo data dal Teorema del Trasporto (di Reynolds), ed in

qualche modo analoga a quella che esiste tra la descrizione Lagrangiana e

quella Euleriana di un flusso (si veda il capitolo sulla Cinematica).

Teorema di Trasporto di Reynolds

Consideriamo una generica variabile termofluidodinamica B riferita ad una

determinata massa fluida, cio tale che sia

( )B b m b = = dove

B una variabile globale del fluido (Grandezza Estensiva);

m la massa della porzione di fluido considerata;

b il valore del parametro B per unit di massa (Grandezza Intensiva);

la densit del fluido, supposta costante;

il volume occupato dal fluido.

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Esempi rappresentativi di grandezza estensiva di una porzione di fluido sono la

sua massa totale, la sua quantit di moto totale, la sua energia totale etc., con

immediata derivazione della grandezza intensiva corrispondente.

In termini differenziali, ovvero per una particella di massa m

BB b m b b

m

= = =

Il Sistema si pu pensare composto da particelle di massa m, pertanto

( ) 0 0lim lim dSys i i i

i i sys

B B b b

= = =

Si definisce la derivata rispetto al tempo di una grandezza estensiva di un

sistema fluido come

( )d ddd d

SyssysbB

t t

=

Lanaloga derivata relativa alle particelle fluide contenute in Volume di

Controllo (CV)

( )dCVCV

bB

t t

=

Osservazione

Sebbene le due espressioni precedenti possano sembrare simili,linterpretazione fisica, come si vedr, molto diversa. Se il Volume di

Controllo e il Sistema in un certo istante coincidono, i due integrali relativi a CV

e Sys coincidono. Le derivate temporali dei due integrali sono per diverse, in

quanto fatte da punti di vista diversi (si noti la diversa notazione delle due

derivate).

Come gi anticipato, pi semplice ricavare le equazioni della fluidodinamica

applicando ad un Sistema alcuni principi fisici fondamentali. Per altre esigenze,

pi comodo riferire tali equazioni al Volume di Controllo. E pertanto

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necessario mettere in relazione la derivata rispetto al tempo della generica

propriet B valutata sul Sistema, con la derivata rispetto al tempo della stessa

grandezza valutata su una definita regione dello spazio (Volume di Controllo).Questa relazione sar fornita dal cosiddetto Teorema di Trasporto di Reynolds.

4.2 Teorema di Trasporto di Reynolds per un CV fisso ed indeformabileIl caso pi semplice, ma molto frequente in realt, ed relativo a un Volume di

Controllo fisso e indeformabile, in un flusso quasi mono-dimensionale.

Questultima definizione si riferisce al fatto che la sezione del condotto varialungo il suo sviluppo, e che tutte le variabili termofluidodinamiche si

considerano uniformi sulla generica sezione, ma possono variare da una

sezione allaltra.

Si consideri la Fig.4.2. In essa riportato il Volume di Controllo, scelto

opportunamente in modo che allistante coincida con il Sistema (in rosso nellafigura). In nero poi rappresentato il Sistema allistante + d.

Fig. 4.2.

Si osservi come il Sistema si muova nellintervallo di tempo prescelto, come

denotano gli spostamenti delle due sezioni (1) e (2)

i iV t = i i iA =

Poich al tempo il Sys ed il CVcoincidono, si ha

III

III

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( ) ( )sys cvB t B t= (4.1)

Al tempo t t+ , il Sys si spostato nella nuova configurazione, mentre il CV

fisso. Osservando la figura 4.2, si pu scrivere la relazione

( ) ( ) ( ) ( ) sys cv I II B t t B t t B t t B t t+ = + + + +

Perci la variazione di del sistema, nellintervallo di tempo data da( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) sys sys sys cv I II sysB B t t B t B t t B t t B t t B t= + = + + + +

Ricordando la (4.1) si ha

( ) ( ) ( ) ( ) Sys CV CV I II B B t t B t B t t B t t= + + + +

Dividendo per lintervallo infinitesimo di tempo e passando al limite per 0t

, si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )0 0

d lim lim

d

sys sys CV CV I II

t t

B B B t t B t B t t B t t

t t t t t

+ + + = = +

(4.2)

Il primo termine dentro la parentesi quadra la derivata temporale della

grandezza estensiva B riferita al Volume di Controllo, indicata col simbolo

, in analogia con la derivata Euleriana. Infatti, la derivata considerata riferita ad un ben determinato Volume di Controllo, fisso nello spazio, e valuta

le variazioni delle grandezze fluidodinamiche caratteristica dei diversi Sistemi

che transitano in esso. Lanalogia completa, in quanto in cinematica si visto

che la derivata Euleriana riferita alle variazioni delle grandezze relative alle

diverse particelle che transitano in un determinato punto dello spazio.

Pertanto, la (4.2) si scrive:

( ) ( )0 0

d lim lim

d

Sys I IICV

t t

B B t t B t tB

t t t t + +

= +

(4.3)

Ricordando che B b m b= = , si possono definire i diversi termini che

compaiono a secondo membro della relazione (4.3):

Il primo la derivata temporale, riferita al CV, della grandezza estensiva B

( )dCVCV

bB

t t

=

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Il secondo rappresenta il flusso, o portata inB

, della grandezza B in

ingresso al Volume di Controllo

( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) I IB t t b b A V t+ = = ( )I

1 1 1 10

lim

in

t

B t tB b A V

t +

= =

Il terzo rappresenta il flusso, o portata outB

, della grandezza Bin uscita dal

Volume di Controllo

( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) II II B t t b b A V t+ = = ( )II

2 2 2 20

lim

out

t

B t tB b A V

t +

= =

Utilizzando le precedenti e la (4.3) si ottiene la relazione che esprime il Teoremadi Reynolds

2 2 2 2 1 1 1 1

d

d

Sys CV CV out in

B B BV A b V A b B B

t t t

= + = + +

Questa espressione del Teorema di Trasporto di Reynolds valida sotto le

seguenti ipotesi restrittive

1 volume di controllo fisso;

2 flusso quasi mono-dimensionale (cio uniformit delle propriet sulle

sezioni dingresso e duscita del volume di controllo)

Si pu generalizzare il Teorema considerando un flusso tridimensionale (3D),

sempre con un Volume di Controllo fisso e indeformabile, come quello

rappresentato schematicamente in figura 4.3.

Figura 4.3

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Lespressione del Teorema di Reynolds trovata precedentemente vale anche in

questo caso pi generale

d

d

sys CVout in

B BB B

t t

= + +

(4.2)

Si tratta di esprimere con la pi ampia generalit i termini di flusso di B in

ingresso e in uscita dal volume CV. Ci verr effettuato nel prossimo paragrafo.

Flusso in uscita da una superficie

Si consideri una generica porzione di superficie orientata (cio sulla quale sipossa definire un versore normale positivo) attraversata da un flusso, come

rappresentato in figura 4.4. Il flusso si considera uscente se il vettore velocit ha

componente nella direzione e verso del vettore normale alla superficie. Per una

superficie chiusa si usa sempre la convenzione che il vettore normale punta

verso lesterno della superficie considerata.

Figura 4.4

Dalla superficie infinitesima A fuoriesce nel tempo t il volume fluido

tratteggiato in figura 4.4(b)

= cosPertanto, la portata della grandezza B in uscita attraverso lelemento di area

infinitesima A data da

0 0

( cos )lim lim cos

out

t t

b bV t AB bV A

t t

= = =

(4.3)

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Si osservi infatti che

lim0 rappresenta un flusso di volume, o portata volumica

lim0 rappresenta un flusso di massa, o portata massica

lim0 rappresenta un flusso, o portata volumica, della

grandezza

La (4.3), integrata sulla superficie duscita del flusso, permette di ottenere la

portata totale, o flusso totale, della grandezza attraverso la superficie CSoutd cos d ( )d

out out

out outCS CS

B B bV A b V n A= = =

(4.4)

Flusso in ingresso attraverso una superficie

In maniera analoga si procede per determinare il flusso in ingresso attraverso

una generica porzione di superficie, rappresentata in figura 4.5

Figura 4.5

Si ha

cos d ( ) din

inCS

B b V A b V n A= = (4.5)

Tornando alla espressione 3D del Teorema di Trasporto di Reynolds per un CV

fisso ed indeformabile, il flusso netto della grandezza B attraverso una

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superficie chiusa CS dato dalla somma dei suoi contributi in ingresso ed in

uscita, ottenuti mediante le (4.4) e (4.5)

( )d ( )d ( )dout in

out inCS CS CS

B B b V n A b V n A b V n A+ = + =

Inserendo questa espressione nella (4.2) si ha

( )d

d ( )dd

sys CVout in

CV CS

B BB B b b V n A

t t t

= + + = +

(4.6)

La (4.6) lequazione del Teorema di Trasporto di Reynolds per un flusso

tridimensionale.

Osservazione

Poich il Volume di Controllo fisso, lelemento di volume d non cambia,

nellequazione (4.6), si pu invertire lordine di derivazione ed integrazione

d( d ) ( )d

d

sys

CV CS

Bb b V n A

t t

= +

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4.3 Teorema di Reynolds per un CV indeformabile in movimentoSe il Volume di Controllo ancora a pareti indeformabili, ma si muove con una

velocit relativa VCV costante rispetto ad un riferimento inerziale (assoluto), un

osservatore solidale con il Volume di Controllo osserver il fluido attraversare

la superficie del CV con una velocit relativa Vr, legata alla precedente ed alla

velocit assoluta dalla nota legge del moto relativo

= + = + V

la velocit assoluta dellle particelle fluide, valutata cio rispetto ad un

sistema di riferimento fisso o assoluto; CVV

la velocit di trascinamento del CV, cio la velocit del Volume di

Controllo rispetto al riferimento assoluto;

rV

la velocit relativa del flusso, cio la velocit del flusso valutata

rispetto al sistema di riferimento in moto con il CV.

Nellipotesi che la velocit CVV

si mantenga costante nel tempo, poich il flusso

attraverso una superficie CS in moto determinato dalla velocit relativa con laquale il fluido la attraversa, il Teorema di Reynolds si modifica come nella (4.7):

dd =

d +

d

(4.7)

Osservazione:

Se il CV ha pareti indeformabili, e si muove con una velocit variabile in

funzione del tempo ( )CV CV

V V t=

, lespressione del Teorema di Reynolds

rimane la precedente con ( ), ( , ) ( )r CVV r t V r t V t=

. La velocit relativa quindi

funzione della posizione spaziale (rappresentata dal vettore di posizione r) e

del tempo.

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4.4 Teorema di Reynolds per un CV in moto e deformabileLa situazione pi generale quella in cui il Volume di Controllo si muova e si

deformi in modo arbitrario. Anche in questo caso il flusso determinato dalla

componente normale della velocit relativa, rV n

. In ogni istante la velocit

relativa legata a quella assoluta e a quella di trascinamento dalla relazione

( , ) ( , )r CSV V r t V r t=

Nella espressione precedente compare la velocit della superficie del CV, in

quanto rispetto ad essa deve essere valutato il flusso. Questo introduce

unulteriore difficolt, dovuta al fatto che la superficie di controllo subisce una

deformazione continua e la ( , )CSV r t

una funzione della posizione spaziale e

del tempo. Con le osservazioni fatte, lespressione pi generale del Teorema di

Reynolds ha la forma vista nel precedente paragrafo

dd =

d +

(, ) d

(4.8)

4.5 Significato Fisico del Teorema di Trasporto di ReynoldsIl Teorema di Trasporto di Reynolds stabilisce una fondamentale relazione tra il

punto di vista riferito al Volume di Controllo e quello riferito al Sistema. Nella

(4.8) o comunque in una qualsiasi delle espressioni viste del Teorema del

Trasporto, si ha:

A primo membro la derivata temporale, della grandezza B associata al

Sistema;

Il primo termine a secondo membro derivata temporale della

grandezza estensiva B associata al Volume di Controllo;

Il secondo termine a secondo membro rappresenta il flusso netto

(somma di flusso entrante ed uscente, con i rispettivi segni) di B

attraverso la Superficie di Controllo.

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Limportanza reale del Teorema di Trasporto, dovuta al fatto che ottenere le

equazioni fondamentali della Fluidodinamica riferite al Sistema, sar

relativamente semplice, in quanto baster applicare ad esso dei principi fisicifondamentali. Le equazioni riferite al Sistema sono per di minima utilit nella

risoluzione di esempi pratici, in quanto poco agevole seguire il Sistema,.

Mentre risulta pi pratico definire un opportuno Volume di Controllo. Il

teorema di trasporto di Reynolds permetter di passare dalle equazioni scritte

per il Sistema a quelle scritte per il Volume di Controllo.

Nei prossimi capitoli saranno ottenute le equazioni fondamentali di

Conservazione della Massa, della Quantit di Moto e dellEnergia. Le equazioni

saranno inizialmente riferite al Sistema ed a un Volume di Controllo di

dimensioni finite, e saranno in forma integrale. Quelle ottenute per un Volume

di Controllo infinitesimo (e quindi riferite ad un punto spaziale) sono dette in

forma differenziale, e sono rappresentate da equazioni alle derivate parziali.

Osservazione:

La forma in cui si presentano le equazioni ottenute da un Volume di Controllo

fisso nello spazio, sia in forma integrale che alle derivate parziali, detta forma

conservativa. La forma in cui si presentano le equazioni ottenute da un volume

di controllo che si muove esattamente con le particelle fluide (quindi coincide

con il Sistema), sia in forma integrale che differenziale, detta forma non

conservativa.