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ANALISI I (h. 2.30) TEMA A Cognome e nome (in stampatello) Appello del 4 Luglio 2012 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica 1. Determinare le soluzioni z ∈ C dell’equazione z 2 - 2 √ 3iz - 4=0 . Indicate, inoltre, con z 1 ,z 2 le soluzioni della precedente equazione, calcolare √ z 5 1 e √ z 5 2 ed esprimere il risultato in forma algebrica. 2. Determinare l’ordine di infinitesimo, per x → 0 , della funzione f (x) = 1 + sin(2x 2/3 ) - cos ( 2 √ 2 3 x ) - 2x 2/3 . 3. Determinare, al variare del parametro reale λ , la soluzione del problema di Cauchy { y ′ (x)= y 2 (x) - 1 , y(0) = λ. 4. Si consideri la funzione f : R → R definita da f (x)= 1 2 sin(2x) - sin x. Determinare gli eventuali estremanti relativi e assoluti in [0, 2π]. 5. Supponiamo che {a n } e {b n } siano due successioni di numeri positivi tali che a n ∼ n 2 e b n ∼ 1 n . Stabilire, giustificando la risposta, quali delle seguenti affermazioni sono corrette a) +∞ ∑ n=1 log ( 1+ b n a n ) converge; b) +∞ ∑ n=1 1 1+ a n b n converge; c) +∞ ∑ n=1 a n b n 1+ b n a n diverge; d) +∞ ∑ n=1 a n b 2 n 1+ a 2 n b n diverge. Fornire un controesempio per quelle false.
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ANALISI I (h. 2.30)TEMA A
Cognome e nome (in stampatello)Appello del
4 Luglio 2012 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
1. Determinare le soluzioni z 2 C dell'equazione
z2 2p3iz 4 = 0 :
Indicate, inoltre, con z1; z2 le soluzioni della precedente equazione, calcolarep
z51 ep
z52 edesprimere il risultato in forma algebrica.
2. Determinare l'ordine di innitesimo, per x! 0 , della funzione
f(x) = 1 + sin(2x2=3) cos 2
r2
3x
! 2x2=3 :
3. Determinare, al variare del parametro reale , la soluzione del problema di Cauchy(y0(x) = y2(x) 1 ;y(0) = :
4. Si consideri la funzione f : R! R denita da
f(x) =1
2sin(2x) sinx :
Determinare gli eventuali estremanti relativi e assoluti in [0; 2] .
5. Supponiamo che fang e fbng siano due successioni di numeri positivi tali che an n2 ebn 1n . Stabilire, giusticando la risposta, quali delle seguenti aermazioni sono corrette
a)+1Xn=1
log
1 +
bnan
converge; b)
+1Xn=1
1
1 + anbnconverge;
c)+1Xn=1
anbn1 + bnan
diverge; d)+1Xn=1
anb2n
1 + a2nbndiverge.
Fornire un controesempio per quelle false.
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ANALISI I (h. 2.30)TEMA B
Cognome e nome (in stampatello)Appello del
4 Luglio 2012 Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
1. Determinare le soluzioni z 2 C dell'equazione
z2 + 2p3iz 4 = 0 :
Indicate, inoltre, con z1; z2 le soluzioni della precedente equazione, calcolarep
z31 ep
z32 edesprimere il risultato in forma algebrica.
2. Determinare l'ordine di innitesimo, per x! 0 , della funzione
f(x) = 1 cos(2x2=5) + sin( 3p12x4=15) 3
p12x4=15 :
3. Determinare, al variare del parametro reale , la soluzione del problema di Cauchy(y0(x) = 1 4y2(x) ;y(0) = :
4. Si consideri la funzione f : R! R denita da
f(x) =1
2cos(2x) + cosx :
Determinare gli eventuali estremanti relativi e assoluti in [0; 2] .
5. Supponiamo che fang e fbng siano due successioni di numeri positivi tali che an n2 ebn 1n . Stabilire, giusticando la risposta, quali delle seguenti aermazioni sono corrette
a)+1Xn=1
anb2n
1 + a2nbndiverge; b)
+1Xn=1
anbn1 + bnan
diverge;
c)
+1Xn=1
log
1 +
bnan
converge; d)
+1Xn=1
1
1 + anbnconverge.
Fornire un controesempio per quelle false.
