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CAPITOLO 1: NOTE PRELIMINARI

1.1 Il concetto di Fluido

La materia pu essere suddivisa in soli due stati, solido e fluido. Risulta importantedefinire cosa sia un fluido, ricordando che nella comune accezione essocomprende la classe dei liquidi e dei gas.La differenza di comportamento tra fluidi e solidi riconducibile alle differentistrutture molecolari (aspetto microscopico1).

Nei solidi le molecole sono molto vicine le une alle altre e le forze dicoesione molto elevate; essi hanno pertanto la propriet di mantenereinvariata la propria forma anche sotto lazione di forze esterne

Nei liquidi si hanno legami coesivi di minore intensit, le molecole sonopi distanti tra loro e hanno pi possibilit di movimento

Neigas, infine, tali legami hanno ancora minor forzaSi possono anche dare delle definizioni di fluido sulla base del diversocomportamento macroscopico1:

Un fluido assume la forma del contenitore che lo contiene Un fluido pu assumere facilmente una forma diversa, ma non pu essere

compresso facilmente

Tuttavia una definizione pi corretta considera i diversi tipi di sforzi che unelemento di materia pu subire.Consideriamo la possibilit di creare uno stato di sforzo puramente tangenziale sudi un solido, ad esempio applicando ad un provino due forze parallele eguali edopposte. Il solido si deforma inizialmente e poi tale deformazione, se inferiore aquella di rottura, rimane costante:

A seguito della applicazione di uno stato di sforzo composto da tensioni

tangenziali il solido subisce una deformazione statica

Esaminiamo un esperimento analogo nel caso di un liquido. Si potrebbe pensaread una tavola di legno galleggiante sul pelo libero di una vasca idrodinamicacolma dacqua, opportunamente collegata in modo da potervi applicare una forza.

1 La distinzione fra microscopico e macroscopico verr chiarita nel seguito

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OsservazioneNei liquidi reali lesperienza mostra che le particelle situate in prossimit di una superficie solida,vi aderiscono e mantengono il contatto. Se tale parete si muove, le particelle si muovono con essa;

se la parete ferma, anche le particelle stanno ferme.

Figura 1.1 Applicazione di una forza di taglio ad un sistema fluido

Applichiamo ora anche una forza minima parallela alla superficie libera. Quelloche si osserva che la tavola si mantiene in moto, e cos le particelle che viaderiscono. E come se la deformazione continuasse ad aumentare allinfinito. Dacui la seguente definizione:

Un fluido uno stato di aggregazione della materia tale da deformarsi

continuamente se sottoposto a uno stato di sforzo tangenziale, anche di

lieve intensit

Se ne deduce che:

Se un fluido fermo, in esso non sono presenti sforzi tangenziali

Sforzi interni. Si consideri una porzione infinitesima di forma cubica, allinterno di un provino peri test sui materiali sottoposto a forze esterne. Attorno a tale elementino possibile individuarne unsecondo, uguale, ad esso adiacente; le forze che il primo cubetto scarica sulla faccia che ha incomune col secondo sono eguali ed opposte a quelle esercitate dal secondo sulla stessa faccia

(principio di azione e reazione). Le forze elementari che i volumetti infinitesimi scambiano tra diloro attraverso la superficie di contatto sono detti sforzi interni, e sono riconducibili a due solecategorie: sforzi normali () e sforzi tangenziali (, Vedi figura ).

Figura 1.2 Sforzi interni normali e tangenziali

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1.2 Il fluido come un Continuo

Nello studio del comportamento dei fluidi, non possiamo pensare di partire dal

comportamento delle singole molecole (aspetto microscopico), in quanto ci esuladagli obbiettivi di questo corso e della fluidodinamica classica. Possiamocomunque dire che le molecole hanno dimensioni molto ridotte:

Gasdistanza tra le molecole: 10-6m

molecole contenute in 1 mm3 : 1018

Liquidodistanza tra le molecole: 10-7m

molecole contenute in 1 mm3

: 10

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Quindi anche una piccola porzione di fluido, macroscopica, contiene unelevatissimo numero di molecole. E, cio, piccola rispetto al sistema fluido, magrande rispetto alla dimensione della entit molecolare. Si pu pensare dicaratterizzare tale porzione di fluido attraverso un unico valore per ciascuna dellegrandezze termofluidodinamiche dinteresse, considerato come valore mediostatistico. Se consideriamo un volumetto molto vicino al primo, anche icorrispondenti valori delle grandezze dinteresse saranno prossimi ai precedenti,

la funzione che esprime ciascuna di tali grandezze risulta continua rispetto allecoordinate spaziali e sono validi, pertanto, i concetti di calcolo differenziale.

Nello studio macroscopico del comportamento dei fluidi, la sostanza

trattata come un continuo

Nella fluidodinamica, quindi, il fluido considerato composto non da molecolema da particelle fluide, cio da porzioni di fluido piccole rispetto al sistema instudio, ma sufficientemente grandi da permettere una valutazione statistica dellegrandezze termofluidodinamiche.

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La definizione di Densit

Viene definita densit di un fluido la quantit

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lim

kgm

v m

=

(1.1)

dove v0= 10-9mm3.

In un volume daria di 10-9mm3 alla pressione di 1 bar e alla temperatura di 15C(condizioni ISO) sono contenute approssimativamente 3107 molecole. Per porzionidi materia uguali o maggiori di tale soglia il fluido pu essere considerato continuoe risultano trascurabili le variazioni a livello microscopico delle sue propriet.

Figura 1.3 Variazioni della densit in funzione del volume

Alcuni concetti di Misure

Quando vogliamo definire e misurare una qualsiasi grandezza occorre associarvi:

Una definizione qualitativa Una definizione quantitativa

La prima definizione deve indicare il tipo di grandezza che intendiamo misurare, ad esempiovogliamo misurare la lunghezza di quella condotta

La seconda richiede la scelta di un sistema di misura e la caratterizzazione della misura attraversoun valore numerico ed una unit di riferimento, tipica del sistema di misura adottato: ad esempio,quella condotta lunga 25 mLa definizione qualitativa fa sempre riferimento a delle grandezze primarie, Lunghezza (L), Massa(M), tempo (t) e Temperatura (T), che vengono utilizzate per ricavarne altre pi complesse. Adesempio la velocit espressa dimensionalmente come

= =L

V Ltt

1

In ogni equazione deve essere rispettata lomogeneit dimensionale.

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1.3 Operatori vettoriali

Prodotto Scalare

zyx akajaia

++=

zyx bkbjbib

++=

N.B.2 2 2

1; 1; 1i i i j j j k k k = = = = = =

= = =

i j i k j k0; 0; 0

Prodotto Vettoriale

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

=

Operatore Vettoriale Nabla ( )

i j kx j z

= + +

Prodotto scalare

Divyx z

aa aa a

x j z

= + + =

( una grandezza SCALARE)

. .N B a a

Prodotto vettoriale

x y z

i j k

a rot ax y z

a a a

= =

( una grandezza VETTORIALE)

x x y y z za b a b a b a b = + +

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1.4 Propriet Termodinamiche di un Fluido

Le principali propriet, dal punto di vista termodinamico, sono:

1) Pressione = p [N/m2]2) Densit = [kg/m3]3) Temperatura = T [K]

Tali propriet, assieme alla velocit V, definiscono il campo di moto di un fluido.Vengono definite di seguito le seguenti altre 4 propriet:

4) Energia Interna (specifica) ( )= + +e u V gz21 2 [J/kg]5) Entalpia ( )

= +

ph u [J/kg]

6) Entropia ( ) s [J/kgK]7) Calore Specifico cp, cv [J/kgK]

Gli effetti dovuti allattrito e alla conduzione del calore sono governati da altre duepropriet, dette di trasferimento:

8) Coefficiente di Viscosit [Ns/m2]9) Conduttivit Termica [W/m2K]

Per i gas ideali

= (p,T) ; h = h (p,T); = (p,T)

Per unflusso monofase le propriet termodinamiche del fluido sono regolate da taliparametri.

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1.5 Propriet meccaniche

1) Energia Potenziale

Lenergia potenziale rappresenta il lavoro necessario per portare un corpo dimassa m dallorigine del sistema di riferimento fino a un punto genericoidentificato dal vettore posizione = + +

r ix jy kz, allinterno di un campo

gravitazionale gk

PE m g z= [J]

dovegz lEnergia Potenziale Specifica [J/kg].

2) Energia Cinetica

L energia cinetica il lavoro necessario per accelerare un corpo fermo di massa msino ad una velocit V (o viceversa il lavoro richiesto per arrestare tale corpo inmoto con una velocit V).

=CE mV21

2 [J]

Dove 1/2 V2 una Energia Cinetica Specifica.

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1.6 Relazioni di Stato dei Gas

Laria una miscela di gas, ma fin quando la composizione rimane pressoch costante e latemperatura si mantiene fra 160 e 2200 K, pu essere considerata come una Sostanza Pura.

Legge dei Gas Perfetti

L equazione dei Gas Ideali pu essere cos definita

=

pRT (1.2)

dove R = CP -CV la Costante dei Gas

NotaCiascun Gas ha una sua costante R = R

0/M

gas, dove R

0 la Costante Universale dei Gas eMgas il Peso

Molecolare del gas. Per i Gas Ideali valgono le seguenti relazioni

cos

d( )

dv v

t

u uc c T

T T=

= = =

( )d dvu c T t=

In modo simile

)(ThRTup

uh =+=+=

cos

d( )

dp pp t

h hc c T

T T=

= = =

d ( ) dph c T T =

Per laria:

cp, cv = [J/ kgK] [Nm/kgK] [(kgm/s2)m/kgK] [m2/s2K]

cv = R/( -1) = 718 [m2/s2K] cp = R/( -1) = 1005 [m2/s2K]

Il rapporto fra i calori specifici, = cp/cv, una funzione della temperatura per i gas ideali, (T). Esso costante per laria e vale 1.4

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1.7 Viscosit

Per caratterizzare opportunamente il comportamento meccanico di un fluido

necessario introdurre una importante propriet addizionale chiamata viscosit.Limportanza della viscosit risiede inoltre nel fatto che molte delle difficolt cheincontriamo nella formulazione delle equazioni costitutive dei flussi si devonoproprio alla presenza della viscosit. Per tale ragione in alcuni casi, per flussicosiddetti ideali, la viscosit pu essere trascurata, in modo da semplificare leequazioni di base.Una notevole semplificazione dellanalisi di flussi viscosi si deve a Prandtl, che nel1904 formul la teoria dello Strato Limite.In generale leffetto della viscosit sui flussi ha carattere destabilizzante, essa d

cio luogo a fenomeni casuali di disordine, riassunti sotto il nome di Turbolenza.La sperimentazione in tutti i casi di moto dei fluidi, dai pi elementari ai picomplessi, fornisce un complemento importante alla teoria, infatti, teoria edesperimenti procedono di pari passo in tutti gli studi della Meccanica dei Fluidi.Per determinare tale propriet facciamo riferimento proprio ad un ipoteticoesperimento (Munson et al.). Consideriamo due piastre piane parallele, quellainferiore fissa e laltra libera di muoversi, e analizziamo due diverse situazioni:

1) Poniamo tra le piastre un solido elastico (per esempio un metallo, Fig. 1.3a).Se applichiamo una forza P

alla piastra superiore, questa subir uno spostamento

a rispetto alla lastra inferiore; noto che per i solidi elastici, il piccolo angolo dispostamento (deformazione di taglio) proporzionale allo sforzo di taglio impresso al materiale ( = P/A , dove A la superficie della piastra).

(a) (b)

Figura 1.4 Deformazione stato di sforzo di un solido elastico tra due lastre piane parallele (a);

comportamento di un fluido tra due lastre piane parallele(b).

angolo di rotazione delsolido

P

B'B

A x

yb

a

Piastra inferiore fissa

A

angolo di rotazione delfluido

P

B'B

A x

y

a

Piastra inferiore fissa

U

u

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2) Ora sostituiamo il solido elastico con un fluido (per esempio acqua, Fig. 1.3b).La piastra inferiore ferma, e con essa in fluido che vi aderisce (no slip condition).La piastra superiore si muove con velocit U, e registreremo lesistenza degli sforzitangenziali solo durante il moto relativo della piastra rispetto al fluido. Talecomportamento in accordo con la definizione di fluido. Si dimostra inoltre che:

Il fluido fra le due piastre si muove con velocit u = u (y), ed essa varia

linearmente con y (Fluidi Newtoniani)

In un piccolo intervallo di tempo t, una linea verticale immaginariaAB tracciatanel fluido, ruoterebbe di un angolo , come rappresentato in Fig. 1.3b.

( )

tan

a

b = (1.3)

ma a U t= , per cui

U t

b = (1.4)

Notiamo che non solo una funzione della forza P

(che governa U), ma anchedel tempo. Definiamo la Velocit della Deformazione di Taglio come

0

1 dlim dt

U t U Ut b t b y

= = = = (1.5)

La prosecuzione dellesperimento rivelerebbe che, come lo sforzo di taglio cresceal crescere di P

(P/A = ), cos la velocit di deformazione tangenziale aumenta in

modo direttamente proporzionale ad esso, ovvero

do

d

U

y

Tale proporzionalit si esprime attraverso il Coefficiente di Viscosit Dinamica

d

d

u

y = (1.6)

Come vedremo in seguito, il parametro fondamentale che regola ilcomportamento viscoso di tutti i Fluidi Newtoniani il Numero di Reynolds

=Re

VL(1.7)

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Si osserva che mentre la temperatura ha un effetto sensibile sulla viscosit, lapressione ha su di essa una scarsa influenza.

La viscosit dei gas, al contrario di quella dei liquidi, aumenta conlaumentare della temperatura.

Leggi utili per la determinazione della viscosit dinamica:

nT

T

=

00

Legge della Potenza

( )

ST

STT

T

+

+

=

0

2

3

0

0

Legge di Sutherland

Per laria, n ed S sono delle costanti.

1.8 Conduttivit Termica

Tale propriet lega il vettore della velocit del Flusso di Caloreper unit di area q

con il vettore Gradiente della Temperatura T

, come stabilisce la legge di Fouriersulla conduzione del calore

q k T=

(1.8)

Il segno meno viene introdotto per soddisfare la convenzione usuale secondo cuila direzione del flusso di calore avviene secondo la direzione delle temperaturedecrescenti. Esplicitando il gradiente termico per un sistema di riferimentocartesiano si ha

T T TT i j k

x y z

= + +

(1.9)

il flusso termico risulta dunque cos scomponibile

= = =

x y z

T T Tq k q k q k

x y z; ; (1.10)

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1.9 Il Campo di Velocit

In una data situazione di flusso, la soluzione del problema data dalladeterminazione teorica o sperimentale delle propriet del fluido come funzionedella posizione e del tempo. Si deve cio conoscere il Campo delle grandezze diinteresse. Per grandezze scalari (e.g. Pressione e Temperatura) il Campo appuntouna funzione scalare, per grandezze vettoriali (per esempio la Velocit) si hainvece un Campo Vettoriale. Sovente un problema di fluidodinamica si considerarisolto se noto il Campo di Velocit.Il Campo di Velocit una Funzione Vettoriale che definisce la velocit in tutti ipunti di un flusso in funzione della posizione e del tempo

( ) ( ) ( ) ( )V x y z t i u x y z t j x y z t k w x y z t, , , , , , , , , , , ,= + + (1.11)

La Meccanica pu analizzare i problemi secondo due differenti punti di vista:

Il primo punto di vista detto Lagrangiano o sostanziale e prevede diconsiderare le grandezze termofluidodinamiche cos come viste da unosservatore che si muova con una "particella fluida" (unit elementare difluido, dotata di una propria "identit").

E' maggiormente usato nella Meccanica dei Solidi.

Il secondo punto di vista detto metodo di descrizione Euleriano o locale,prevede di valutare le grandezze termodinamiche relative alle diverseparticelle fluide che passano per un punto (o volumetto infinitesimo) fissonello spazio.

E' molto utilizzato nella Meccanica dei Fluidi.

Facciamo ora riferimento ad un problema di Meccanica dei Fluidi.Si considerino ad esempio due serbatoi aperti a quote geodetiche diverse, collegatida un condotto attraverso il quale una pompa dinamica garantisce un certo flussodal vaso inferiore (A) a quello superiore (B, Figura 1.4).

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Figura 1.5 Esempio sui punti di vista Euleriano e Lagrangiano

Secondo il primo approccio dobbiamo valutare le propriet dinteresse di ciascunvolume fluido elementare, seguendone levoluzione nel sistema, nella fattispecieanche allinterno della pompa. evidente che tale metodo risulta particolarmentedifficile nella pratica.Diversamente con lapproccio locale possibile stabilire dei punti di osservazionefissi nello spazio e qui misurare le grandezze dinteresse.

Nellesempio proposto sono state fissate due sezioni a monte (1) e a valle (2) dellapompa e, attraverso un bilancio differenziale delle grandezze dinteresse registratein tali punti, possibile valutare le prestazioni della macchina operatrice senzaindagare cosa avvenga al suo interno.

Accelerazione Sostanziale

Viene definita Accelerazione Sostanziale o Lagrangiana la quantit vettoriale

dd d d

d d d d

yV V V x V V za t t x t y t z t

= = + + +

(1.12)

dove

( )tzyxfV ,,,=

ma

)();();( tzztyytxx === .

POMPA

B

A

Z0

ZA

ZB

Z

22

1

1

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Pertanto

dd d

; ;d d d

yx z

u wt t t= = =

.

In tal modo risulta

z

Vw

y

V

x

Vu

t

Va

+

+

+

=

(1.13)

LAccelerazione Sostanziale di una particella pu essere cos scritta

( )

d

d

V V

a V Vt t

= = +

(1.14)

nella precedente espressione si possono individuare due distinti contributi

V

t

Accelerazione Locale

( )V V

Accelerazione Convettiva

In generale per quantit ( ) Scalari o Vettoriali valida la seguente relazione

( )d( ) ( )

( )d

Vt t

= +

(1.15)2

2 Per il significato fisico della precedente relazione si veda lAppendice C.

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1.10 Portata Volumetrica e Portata Massica

Viene introdotta ora una delle pi importanti propriet cinematiche nello studiodel moto dei fluidi.

1) Portata Volumetrica Q 2) PortataMassica m (se la densit costante = Q m )

1) Portata Volumetrica

Con riferimento alla Figura 1.5 possiamo chiederci: quanto volume di fluido dv

passa attraverso la superficie S nellunit di tempo dt?Consideriamo una porzione A della superficie totale.

( ) ( )d d d d d cos d dnV l A V n t A V t A= = =

(1.16)

dato che

nV n V

(componente di lungo la direzione ) e d dn nV t l

per lintera superficie risulta quindi

d( ) d d

dn

S S S

VQ V n A V A

t= = =

(1. 17)

Dati perci:

S = Superficie di controllo

n = Versore normale alla superficie infinitesima dA

V

= Vettore Velocit in dA ( lo stesso in tutti i punti di dA)

= Angolo tra la velocitVe il versore n

possibile calcolare la portata di fluido attraverso la superficie S.

NotaSe il prodotto scalare

V n positivo il flusso detto uscente

Se il prodotto scalare

V n negativo il flusso detto entrante

V

n

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Figura 1.6 Portata volumetrica

2) Portata Massica

Per un flusso incomprimibile = cost (esempio: Liquidi) Per un un flusso comprimibile cost (esempio: Gas)

In generale diciamo che

( )d d = =

n

S S

m V n A V A (1. 18)

Se = cost, m Q=

NotaIl flusso dellaria ad un numero di Mach