STATICA

FORZE - VETTORI MOMENTI DI 1° ORDINE

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LE FORZE – GEOMETRIA DELLE MASSE

SOMMARIOn Introduzione.n La statica.n Composizione di forze.n Scomposizione di forze.n Momenti di forze.n Teorema di Varignon.n Coppie di forze.n Momento di trasporto.n Condizioni di equilibrio.n Momento statico.

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Introduzione.

Normativa di riferimento.Consentono la determinazione dei carichi da considerare agenti sulle costruzioni e le

modalità di esecuzione dei calcoli:- D.M. 16/01/96 “Criteri generali per la verifica e la sicurezza delle costruzioni e dei

carichi e sovraccarichi”.- Circ. 04/07/96 n.156 contenente le istruzioni per l’applicazione del decreto.- D.M. 16/01/96 “Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche”.- Circ. 10/04/96 n. 65 contenente le istruzioni per l’applicazione del decreto.

Sistema Internazionale SI.

Unità del S.I. ConversioniLunghezza: metro m 1 kg 1daNMassa: chilogrammo kg 1 ton 10kNTempo: secondo s 1 kg/cm2 1 daN/cm2

Angolo: radiante rad 10 kg/cm2 1 MPaForza: Newton N 10 kg/cm2 1 N/mm2

Pressione: Pascal Pa

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Introduzione.

Le costruzioni.Si classificano in base al materiale usato per realizzare la struttura e, spesso

conseguentemente, alle caratteristiche degli elementi strutturali:- Muratura tradizionale: gli elementi orizzontali (volte, solai) scaricano

direttamente su elementi continui verticali (muri).- Telaio spaziale: (in ferro o c.a.) gli elementi orizzontali scaricano su un traliccio

costituito da elementi orizzontali (travi) e verticali (pilastri).- Prefabbricate: a pannelli portanti od ossatura.Le tipologie dei carichi agenti sono:- Propri (g1): rappresenta i pesi delle strutture portanti (travi pilastri, solai,

fondazioni).- Permanenti (g2): sono quelli che gravano continuamente (pavimenti, tramezzi,

rivestimenti).- Accidentali: variano a seconda dell’ utilizzo della costruzione (persone, mobili)

o all’ azione di forze esterne (vento, neve, sisma); possono essere statici odinamici, concentrati o distribuiti.

Una struttura è soggetta ad azioni che possono essere:- Dirette: cioè l’insieme dei carichi propri, permanenti e accidentali.- Indirette: dovute al comportamento dei materiali (ritiro, dilatazioni).- Chimico – fisiche: dovute ad agenti aggressivi esterni (ruggine, erosione).

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Statica

Statica.Studia le condizioni di equilibrio dei corpi rigidi sottoposti all’ azione delle forze.Per poter analizzare e rappresentare graficamente tale fenomeno si ricorre alla seguente

schematizzazione:- La struttura viene rappresentata mediante il suo asse (schema unifilare).- I collegamenti con le altre strutture mediante i simboli dei vincoli.- Le forze vengono rappresentate come vettori.

Elementi di una forza.Essendo un vettore la forza (F) viene individuata mediante:- Punto di applicazione (P), cioè il punto in cui agisce la forza.- Linea d’azione (d), cioè la retta d’azione.- Verso (→), indicato dalla freccia.- Modulo (o grandezza) che indica il valore che sta a

rappresentare secondo una scala prefissata.

Proprietà di una forza.- Una forza (F) può spostarsi lungo la direzione (d) a patto che il Punto di applicazione

iniziale (P) resti collegato al nuovo punto (P1).- Un sistema di più forze può essere sostituito da una sola forza, la sua Risultante (R),

a patto che questa produca lo stesso effetto (composizione).- Viceversa può scomporsi una forza in più componenti lungo direzioni diverse

(decomposizione).

d

100

P1cm = 20daN

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Composizione.

Composizione di forze.Tipologia di SISTEMI DI FORZE.

1) Forze aventi stessa linea d’azione ma diverso punto di applicazione.

2) Forze complanari concorrenti in uno stesso punto (A).

3) Forze complanari parallele.

d1

d2

1

1

2

2

F

F

F

F

d

d

1

1

d

d

2

2

1 1

2

2A

AF F

F

F

d3dd 12

312 FFF

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Composizione.

Composizione di forze.Forze aventi stessa (d) ma diverso (P).

Dalla composizione si avrà una nuova forza dettarisultante (R) che avrà:- Stessa direzione (d).- Modulo pari alla somma algebrica dei moduli.- Verso concorde con la forza di modulo maggiore.

d

d

1

1

d

d

2

2

1

1

2

2

F

R

F

R

F

F

7

Composizione.

Composizione di forze.Forze complanari concorrenti.

Sistema di 2 forze – Grafica (REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA).Graficamente la risultante si ricava come segue:- Si tracciano le parallele alle direzioni delle due forze (F1) e (F2) dai loro estremi e si

individua il punto (B).- Si traccia una retta (d) dal punto comune (A) al nuovo punto (B).

La forza risultante (R) avrà:- Stesso punto di applicazione (A)- Direzione (d) della retta per (A) e (B).- Modulo pari alla diagonale.- Verso uscente da (A) → (B).

d1 d2

12

A

B

RFF

8

Composizione.

Sistema di 2 forze – Risoluzione Analitica.Noto l’angolo (α) formato dalle direzioni di (F1) e (F2), la direzione (d) sarà quella del 3° latodel triangolo che si ottiene traslando (F2).Determinato (β) per differenza, il modulo della risultante (R) sarà (Teorema di Carnot):

cosβF2F-F+F=R

α-180°=β

212

22

1 ••

9

Composizione.

Sistema multiplo - Poligono delle forze.Si può facilmente intuire che l’applicazione della regola del parallelogramma diviene ancora più laboriosa per i sistemi di forze costituiti da un maggior numero di forze. Per poter comporre sistemi costituiti da un maggior numero di forze risulta più conveniente costruire il poligono delle forze.Dato un sistema di forze, si costruisca un poligono lati sono ottenuti posizionando in sequenza, secondo la direzione e il verso di ogni forza, tutti i vettori che costituiscono il sistema di forze. Il vettore che si ottiene congiungendo il punto di partenza del primo vettore costituente il poligono e la punta dell’ultimo vettore, rappresenta la risultante del sistema diforze. Il poligono che abbiamo costruito viene detto poligono delle forze.

poligono delle forze

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Composizione.

Sistema multiplo – Posizione della risultante - Poligono funicolare.Per poter individuare la posizione della risultante occorre costruire sul sistema di forze (NON CONCORRENTI IN UN PUNTO) anche il poligono funicolare.

Scelto sul poligono delle forze un polo P arbitrario, si uniscono quindi i punti 0, 1, 2, 3 con il polo P ottenendo i raggi proiettanti a, b, c, d.

poligono delle forze

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Composizione.

Sistema multiplo – Posizione della risultante - Poligono funicolare.Si riporti ora alla sinistra di F1 un segmento arbitrario (a’) parallelo al raggio proiettante (a) che intersecherà la retta sulla quale giace la forze F1. Da questa intersezione si procede col dise-gnare il segmento (b’) parallelo a (b) fino ad intersecare la retta sulla quale giace F2, quindi dall’intersezione trovata si traccia il segmento (c’) parallelo a (c) fino all’intersezione con la ret-ta di F3. Per finire dall’ultima intersezione si traccia il segmento (d’), parallelo a (d). Il poligono costituito dai segmenti (a’), (b’), (c’) e (d’) è detto poligono funicolare. A questo punto per tro-vare la posizione della retta d’azione della risultante R, si prolungano il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare trovando l’intersezione M. La retta parallela a R passante per il punto M in-tersezione del primo e ultimo lato del poligono funicolare è proprio la retta di azione di R.

poligono funicolare

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Composizione.

Sistema multiplo – Posizione della risultante - Poligono funicolare.Si riporta ora un esempio applicativo basato su un sistema di 4 forze. Dato il sistema di forze si costruisce il poligono delle forze e quindi scelto il polo P si determinano i raggi proiettanti. Si costruisce quindi il poligono funicolare facendo attenzione alla corrispondenza tra le forze e i raggi relativi. Prolungando infine il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare si definisce la posizione della risultante R.

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Composizione.

Forze complanari parallele.Sistema di 2 forze parallele concordiSi consideri un sistema di due forze pa-rallele e concordi. La risultante del siste-ma si ottiene ponendo le forze una die-tro l’altra e sarà ovviamente anch’essa parallela alle due forze.Per determinare la posizione della risul-tante si effettui la seguente costruzione grafica.Si riportino sulla retta di azione di F1 la forza F2 mentre sulla retta d’azione di F2 si riporta la Forza F1 con verso op-posto. Si congiungono quindi con due seg-menti la punta di F1 con la punta di F2 e la coda di F1 con la coda di F2. L’intersezione tra i due segmenti così costruiti individua la posizione della risultante R.

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Composizione.

Forze complanari parallele.Posto che d1 sia la distanza della forza F1 dalla retta d’azione della risultante e che d2 sia invece la distanza di F2, considerando che i due triangoli di base F2 e F1 sono simili si può scrivere la seguente relazione:

Dalla relazione appena ricavata si dedu-ce che nel caso sia F1>F2 sarà d1<d2 mentre per F1<F2 si ha che d1>d2.

La risultante R risulta più vicino alla forza di maggiore modulo.

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Composizione.

Forze complanari parallele (discordi o non equiverse).Il modulo della Risultante R si ottiene sottraendo al modulo della forza maggiore quello della forza minore, la direzione della risultante sarà la stessa delle due forze mentre il verso sarà ovviamente quello della forza maggiore.La costruzione grafica per determinare la posizione della risultante viene eseguita nel me-desimo modo scambiando di posizione le due forze ed invertendo il verso di una delle due. L’intersezione dei segmenti che uniscono le forze si ha però all’esterno delle due forze edin particolare dal lato della forza maggiore. Si può verificare che anche in questo caso mantiene la sua validità la relazione analitica ricavata nel caso di forze equiverse.

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Composizione.

Forze complanari parallele.Sistema di più forze - GraficaNel caso di più di due forze concordi o discordi bisogna nuovamente ricorrere al poligonodelle forze e al poligono funicolare.

Sistema di più forze COMPLANARI PARALLELE CONCORDI

F1

F2

F3 P

0

1

2cc

d

d

b

b

a

a

3

17

Composizione.

Forze complanari parallele.Sistema di più forze - GraficaNel caso di più forze concordi o discordi bisogna nuovamente ricorrere al poligono delleforze e al poligono funicolare.

F1F2 F3

F4

F5F6

c

d

gb

ef

a

R

P

0

1

2

c

d

g

be

f

a

3

4

5

6

Sistema di più forze COMPLANARI PARALLELE DISCORDI

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Scomposizione.

SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA.

Il problema è: “assegnata una forza la si scomponga in due forze”.

Il problema si presenta come la regola del parallelogramma all’in-verso e cioè data una forza e due rette di direzione che passino per un estremo del vettore tracciando dall’altro estremo le parallele alle rette date si ottengono le due for-ze che si dicono componenti di F secondo le direzioni r1 e r2.E’ evidente che la forza F è la risultante del sistema composto da F1 e F2 e quindi i due sistemi sono perfettamente equivalenti.

19

Scomposizione.

SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA IN DUE COMPONENTI ┴ TRA LORO.

Una particolare scomposizione che come vedremo ci consentirà di operare algebricamente sui sistemi di forze, si ha quando un vettore forza F viene scomposto secondo due direzioni perpendicolari.Posto un vettore F in un piano cartesiano XY la scomposizione di F secondo due direzioni rispettivamente parallele a X ed a Y, ci forniscono le componenti di F secondo gli assi X e Y che chiameremo quindi FX e FY.

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Scomposizione.

SCOMPOSIZIONE DI UN SISTEMA DI FORZE.

Se il sistema di forze è composto da più forze, ognuna di queste può essere scomposta nelle due direzioni X e Y ottenendo quindi due sistemi di forze paral-lele, equivalenti al sistema di forze originario. Che i due sistemi di forze ottenuti siano equivalenti al sistema originario si può facilmente verificare costruendo un poligono delle forze nel piano XY, determinandone la risultante e componendo tutte le forze compresa la risultante.

Come si può facilmente notare la componente RX è la somma e quindi la risultante di tutte lecomponenti Fx mentre la RY è la risultante di tutte le FY.Essendo RX e RY le componenti di R, i due sistemi di forze otte-nuti componendo il sistema ori-ginario secondo le direzioni X e Y ci forniscono la stessa risul-tante R e quindi sono equivalenti al sistema di Forze originario.

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Momento di una forza

Momento.Assegnata una forza F ed un punto P, si definisce braccio della forza F rispetto a P la distan-za di P dalla retta di azione di F.Si definisce Momento della forza F rispetto a P il prodotto di F per il braccio d.

E’ facile intuire che anche il Momento di una forza è una grandezza vettoriale; infatti se si considera il punto P fisso nel piano e il braccio d come una asta rigida che collega P con la retta d’azione solidale a F, la Forza tenderà ad imprimere una rotazione dell’asta intorno aP. Tale rotazione avrà verso orario o antiorario a seconda della posizione reciproca di F e P e del verso di F. Il momento di una forza è quindi caratterizzato dall’avere una retta d’azione che coincide con la retta passante per P e perpendicolare al piano individuato dal punto P e dalla retta d’azione di F, ha un verso che indica la rotazione impressa e ha un modulo che è dato dal prodotto del modulo di F per il braccio d. Poiché noi ci occupiamo essenzialmente dei sistemi di forze piane, per evitare di rappresentare vettori momento su piani perpendico-lari, per semplicità di rappresentazione indichiamo M con un “vettore” curvo indicante il verso di rotazione

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Momento di una forza

Momento di una forza: effetto fisico.Per meglio comprendere quale sia il significato fisico del momento di una forza, si pensi per un attimo ad una porta che il cui movimento possibile è solo una rotazione intorno ai cardini. Per far ruotare la porta noi esercitiamo una forza sulla sua superficie o sulla maniglia.Si può notare che se dalla posizione della maniglia ci spostiamo verso i cardini, avremo la necessità di imprimere una forza maggiore per ottenere la rotazione della porta.Abbiamo definito il momento di una forza rispetto ad un punto P come il prodotto della forza F per il braccio d. Nel disegno a fianco è riportata la forza F, il punto P e la distanza d braccio della forza F rispetto a P. Collegando punta e coda del vettore forza F con il polo P si ottiene il triangolo 01P la cui area si può esprimere attraverso la formula:

Il momento di F rispetto a P è pari a:

Dal confronto delle due espressioni si os-serva che possono scriversi le seguenti espressione/conclusioni:

Il momento della forza F rispetto a P è pari al doppio dell’area del triangolo che si ottiene con-giungendo punta e coda di F con il punto P.

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Momento di un sistema di forze – Teorema di Varignon

Momento di un sistema di forzeConsideriamo un sistema di forze piano ed un punto O rispetto al quale vogliamo determinare il momento del sistema di forze. Analiticamente il Momento del sistema di forze sarà dato dalla somma dei momenti rispetto a O delle singole forze che costituisce il sistema. Facendo riferimento alla figura si può scrivere:

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Momento di un sistema di forze – Teorema di Varignon

Momento di un sistema di forze - GRAFICOIl procedimento grafico per determinare il momento del sistema di forze viene eseguito nel modo che segue.Costruito il poligono delle forze con un polo P arbitrario si definisce la distanza polare H come distanza del polo P dalle forze. Si costruisce quindi il poligono funicolare prolungandone tutti i lati fino ad intersecare la retta passante per O nei punti: 0’, 1’, 2’,3’.

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Momento di un sistema di forze – Teorema di Varignon

Consideriamo ora i due triangoli tratteggiati 0’1’T1 e 01P. I due triangoli hanno i lati corrispon-denti paralleli e quindi sono simili. Per la similitudine tra i due triangoli si può esprimere la proporzionalità tra le basi e le altezze dei due triangoli e cioè:

Dall’espressione appena scritta si ricava la seguente:

0'1' H = F1 d1

Poiché anche gli altri triangoli1’2’T2 e 2’3’T3 sono simili ri-spettivamente a 12P e a 23P, è possibile concludere con la seguente espressione:

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Momento di un sistema di forze – Teorema di Varignon

Consideriamo ora i triangoli 0’3’T e 03P. Anche questi due triangoli sono simili e tale similitudine implica che:

Il segmento 0’3’ rappresenta quindi il momento della risul-tante R rispetto al punto Orapportato alla lunghezza polare H. Poiché il segmento 0’3’ altro non è che la somma dei segmenti riportato nellaformula precedente consegue che:

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Momento di un sistema di forze – Teorema di Varignon

Formula che esplicita il teorema di Varignon:La somma dei momenti delle singole forze componenti un sistema rispetto ad un punto O è uguale in segno e valore al momento della Risultante rispetto allo stesso punto O.

L’espressione del teorema di Varignonè stata qui ricavata operando su un si-stema di forze paral-lele e quindi partico-lare, ma la validità del teorema si estende a qualsiasi sistema di forze.

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Coppie di forze

Le coppieSi consideri un sistema di forze costituito da due forze parallele di uguale intensità ma di verso opposto. Il sistema presenta la particolarità di avere la Risultante nulla ma un Momento che rispetto a qualunque punto del piano è pari sempre al prodotto della forza per la distanza tra le due forze.

Questo sistema viene definito essere una coppia.

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Coppie di forze

Le coppieSe di tale sistema costruiamo il poligono delle forze ed il poligono funicolare riscontriamo che il poligono delle forze è chiuso (punto di partenza e punto finale coincidenti) infatti la risultante si riduce ad un punto e quindi è nulla. Il poligono funicolare invece non è chiuso ma presenta il primo e l’ultimo lato paralleli (qualunque sia il polo P scelto per disegnare il poligono delle forze il sistema viene sempre scomposto in una coppia equivalente).

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Coppie di forze

Le coppieFacendo riferimento al disegno, considerando un momento orario come positivo, si deter-mini analiticamente il Momento della coppia di forze rispetto al punto O.

Il momento della coppia di forze considerata è antiorario e di modulo pari al prodotto del-la forza per il braccio della coppia. Anche cambiando il punto O di riferimento il momento della coppia non cambia.

Data una coppia di forza il momento rispetto a qualunque punto del pia-no della coppia è pari al prodotto della forza per il braccio della coppia.Il verso è di immediata determinazione e sarà espresso algebricamente positivo se orario, negativo se antiorario.

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Momento di trasporto

Momento di trasportoSi consideri un sistema di forze riconducibile alla forza F rappresentata in figura.

Nel punto O si applichi un sistema costituito da due forze uguali ed opposte di modulo uguale a F. Poiché le forze ag-giunte al sistema costituiscono un sistema nullo la nuova condizione è perfettamente equivalente alla condizione di partenza costituita dalla sola forza F. Il sistema ottenuto può essere interpretato come la somma della forza F originaria applicata in O e della coppia di forze di modulo F e braccio d.

Il sistema ottenuto è dato quindi da F e da una coppia di Momento pari a:

M = F d che viene detto Momento di trasporto della forza F.

Il momento di trasporto e la proprietà di equivalenza dei sistemi di forze che abbiamo quipresentato trova larga applicazione nello studio delle strutture consentendoci spesso di sostituire a sistemi di forza complessi un sistema di forze semplicissimo costituito da una sola forze ed una coppia.

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Condizioni di equilibrio di sistemi di forze

Condizioni di equilibrio per i sistemi di forzeUn sistema di forze che non produce cambiamenti nello stato di quiete o di moto di un corpo si dice un sistema di forze in equilibrio.Analiticamente la condizione di equilibrio di un sistema di forze è che sia la Risultante, che il Momento calcolato rispetto ad un qualunque punto del piano siano entrambi nulli.

Entrambi le espressioni riportate sono espressioni vettoriali, ma componendo il sistema di forze in un piano cartesiano di riferimento in due sistemi di forze paralleli la condizione di equilibrio del sistema di forze potrà essere espressa con un sistema di espressioni scalari (semplici espressioni algebriche) che prendono il nome di equazioni cardinali della statica.

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Condizioni di equilibrio di sistemi di forze

Condizioni di equilibrio per i sistemi di forzeDal punto di vista grafico, si può dire che un sistema di forze è in equilibrio se è scompo-nibile in due forze uguali e contrarie non costituenti una coppia.Tale circostanza si traduce quindi nelle due condizioni che seguono:1. Il poligono delle forze deve essere chiuso, cioè il primo e l’ultimo punto devono coin-

cidere. Se ciò si verifica il sistema di forze presenta un risultante nulla.2. Il poligono funicolare deve avere il primo e l’ultimo lato coincidente. Se ciò avviene il

sistema viene scomposto in due forze uguali e contrarie, che essendo applicate su una stessa retta non costituiscono una coppia (il Momento è nullo)

Il sistema di forze presentato è in equilibrio essendo R=0 e M=0.

Esempio 1a

Dati Unità misuraL= 4,00 m

LC= 2,00 m

LD= 3,00 m

q= 2000 daN/m

F1= 3000 daN

F2= 2000 daN

4.000 daN

16.000 daNm

9.000 daN

1,78 m

Calcolo analitico

Calcolo della risultante:

Calcolo della risultante del carico distribuito:

Calcolo del Momento rispetto ad A:

Calcolare analiticamente e graficamente la risultante delle forze agenti sulla trave.

Rq

F2F1

R

A

q

B PDC

Lc

Ld

LR

L

0

1

2

3

Cq Lq=R •

D2C1C

qA LF+LF+2

LR=M •••

21q F+F+R=R

RM

=L AR

34

Esempio 1b

Dati Unità misuraL= 4,00 m

LC= 2,00 m

LD= 1,00 m

Lq= 2,00 m

LRq= 3,00 m

q= 2.000,00 daN/m

F1= 3.000,00 daN

F2= 2.000,00 daN

4.000 daN

20.000 daNm

9.000 daN

2,22 m

Calcolare analiticamente e graficamente la risultante delle forze agenti sulla trave.

Calcolo analiticoCalcolo della risultante del carico distribuito:

Calcolo del Momento rispetto ad B:

Calcolo della risultante:

Rq

F2

F1

R

A

q

B PDC

LcLq

Ld

LRqLR

L

0

1

2

3

qq Lq=R •

D2C1RqqB LF+LF+LR=M •••

21q F+F+R=R

RM=L B

R35