01 Tdc - Lezioni Sicurezza

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Sicurezza strutturaleSicurezza strutturale

1Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

Prof. G. Mancini

Sicurezza strutturaleSicurezza strutturale

Requisito fondamentale in ogni operazione di:Requisito fondamentale in ogni operazione di:1. progettazione2. costruzione3. utilizzazionedelle opere strutturali

Metodi di valutazione della sicurezza che consentano diverificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a trovarsi la struttura

Misura positiva della sicurezza nei diversi stati =

struttura “affidabile”


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struttura affidabile

tensioni ammissibilideterministici

calcolo a rottura

Metodi di misuradella sicurezza

nelle costruzioni

probabilistici

di livello 3

di livello 2probabilistici di livello 2

di livello 1(semiprobabilistico)(semiprobabilistico)


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Metodo delle tensioni ammissibiliMetodo delle tensioni ammissibili

La misura della sicurezza avviene nello spazio delleLa misura della sicurezza avviene nello spazio delle tensioni.

kR kRRS ≤∑γ

ke

RRS =≤ o anche γk

e RS =≤∑


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rappresenta la combinazione tensionale (tensione∑S rappresenta la combinazione tensionale (tensione ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati disollecitazione combinati

∑ eS

tensione “puntuale” nel materiale dovuta alleazioni di esercizio e valutata con analisi elastica

eSazioni di esercizio e valutata con analisi elasticalineare in presenza di qualunque tipo di azione(dirette e indirette)(dirette e indirette)

frattile 5% della distribuzione di frequenza delle i t ( i t tt i ti )

kRresistenze (resistenza caratteristica)

tensione ammissibilekRR =γ

coefficiente di sicurezzaγ


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coefficiente di sicurezzaγ

Svantaggi del metodo delle tensioni ammissibiliSvantaggi del metodo delle tensioni ammissibili

1. sollecitazioni valutate in modo deterministico senza considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà

2. elasticità lineare che non consente di tener conto di fenomeni anelastici e eologici (fess a ione fl agefenomeni anelastici e reologici (fessurazione, fluage, ...) e della eventuale non-linearità di comportamento del materialedel materiale

3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchèdevono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso

4. misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile⇒


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Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibiliVantaggi del metodo delle tensioni ammissibili

1. facilità di determinazione delle sollecitazioni per la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti

2 facilità nell’indi id a ione delle combina ioni di ca ico2. facilità nell’individuazione delle combinazioni di carico più gravose (linee di influenza)

3 buona attendibilità (in campo statico) delle3. buona attendibilità (in campo statico) delle sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego

4. buon comportamento nelle numerose strutture realizzate


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Metodo di calcolo a rotturaMetodo di calcolo a rottura

La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze.p

ueu AA ≤⋅γ ueuγ


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e distinguendo le azioni permanenti :eGg p e

ueue AAG ≤⋅+γ

con :

azioni permanenti di esercizioG azioni permanenti di esercizioeG

azioni variabili di esercizioeA

azioni variabili ultimeuA

coefficiente di sicurezza ultimouγ


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Svantaggi del metodo di calcolo a rotturaSvantaggi del metodo di calcolo a rottura

1. misura della sicurezza ancora deterministica2. non valuta le condizioni di esercizio3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè

de ono cop i e t tte le ca se di ince te a lato a ionidevono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso⇒


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Vantaggi del metodo di calcolo a rotturaVantaggi del metodo di calcolo a rottura

1. possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o reologici o di non-linearità di comportamento dei materiali

2 al ta ione co etta degli effetti delle defo ma ioni2. valutazione corretta degli effetti delle deformazioni impresse

3 possibilità di controllo sperimentale della sicurezza3. possibilità di controllo sperimentale della sicurezza ultima

In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano notevoli lacune nella valutazione della sicurezza strutturale


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Condizione di stato limiteCondizione di stato limite

In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato adIn ambito strutturale, il concetto di stato limite legato aduno specifico requisito è interpretabile come uno statodella struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado disoddisfare il requisito.

Il requisito di stato limite divide lo spazio n dimensionaleIl requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionalein un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non èsoddisfatto) e in un dominio di successo, detto anche ) ,dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto);il confine tra i due domini è detto stato limite.

Si definisce probabilità di insuccesso la probabilità di nonsoddisfacimento del requisito di stato limite


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soddisfacimento del requisito di stato limite.

Funzione di stato limiteFunzione di stato limite

La funzione di stato limite è la rappresentazione analiticaLa funzione di stato limite è la rappresentazione analiticadella condizione di stato limite. Quindi, la funzione distato limite esprime analiticamente una condizione

ò ùraggiunta la quale, la struttura non può più svolgere lefunzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stataprogettataprogettata.


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Metodo probabilistico di livello 3Metodo probabilistico di livello 3

La misura della sicurezza nei confronti di un genericoLa misura della sicurezza nei confronti di un genericostato consiste nella determinazione della relativaprobabilità di insuccesso e nel suo confronto con unrPvalore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato

*rr PP ≤

*rP

rr


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75 1010 −− ÷rottura fragile (acciaio in trazione, cls in1010g ( ,compressione, terreno, instabilità, ...)

*rP 54 1010 −− ÷rottura duttile (acciaio o c.a. in flessione,

cedimenti fondali )cedimenti fondali, ...)

condizioni di esercizio 32 1010 −− ÷ (deformazioni, fessurazione,ib i )vibrazione, ...)


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Sia il vettore rappresentativo delle n variabili aleatorieX ppche intervengono nella definizione della sicurezza; sia inoltre la funzione di densità di probabilità congiuntad ll i bili l t i t li h

Xfdelle n variabili aleatorie, tali che:

=nnX dxdxdxxxxf ...),...,,( 2121

)()[( ≤≤ dXdXP ...)()[( 22221111 ∩+≤<∩+≤<= dxxXxdxxXxP

)]( dxxXx +≤<∩ )](... nnnn dxxXx +≤<∩


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Se è noto il dominio di insuccesso , la probabilità di'rD , p

insuccesso può essere immediatamente calcolata,come la probabilità che il vettore si trovi all’internodi

r

rPX

'di : 'rD

∫ )( dddfP ∫='

...),...,,( 2121

rDnnXr dxdxdxxxxfP

Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le duevariabili aleatorie R ed S, tali che:

)( XXXgR = ),...,,( 21 mR XXXgR =

),...,,( 21 nmmS XXXgS ++=


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), ,,( 21 nmmSg ++

Pertanto, considerata la variabile aleatoria E=R-S, la , ,probabilità di insuccesso è calcolata nel seguentemodo:

{ } ∫=≤= ),(0 ,SRr drdssrfEPP (1)∫'rD

con :con :

dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale cioè

'rD

0≤ecioè

densità di probabilità congiunta delle due variabiliSRf ,

0≤e

aleatorie R ed S,


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Integrando la (1) per strisce si ha:g ( ) p

1. in orizzontale

∫ ∫+∞

∞−

+∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= drdssrfP

rSRr ),(, (2)

∞ ⎦⎣ r

2. in verticale

+∞ ⎤⎡ s

(3)∫ ∫+∞

∞− ∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= dsdrsrfP

s

SRr ),(,


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Se R ed S sono indipendenti, la probabilità congiuntap , p gcorrisponde al prodotto delle probabilità

semplici:),(, srf SR

)()(),(, sfrfsrf SRSR =

quindi la (2) e la (3) diventano:

+∞+∞ +∞ ⎤⎡ [ ]∫∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= drrFrfdrdssfrfP SR

rSRr )(1)()()(

∫∫ ∫+∞+∞

=⎥⎤

⎢⎡

= dssFsfdsdrrfsfP RS

s

RSr )()()()( ∫∫ ∫∞−∞− ∞−

⎥⎦

⎢⎣

dsssfdsdfsf RSRSr )()()()(


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ed, in rappresentazione grafica: , pp g

in orizzontale


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in verticale


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Qualora R ed S, oltre che indipendenti, abbiano ancheQ , p ,distribuzione normale:

( )NR l di( )RRRNR σμ ;→

( )NS σμ ;→

= valore medioμ

= scarto quadratico medioσ( )SSSNS σμ ;→ = scarto quadratico medioσ

èanche la variabile aleatoria Z=R-S è normale:

( )ZZZNZ σμ ;→ ( )ZZZ μ ;

e risulta eSRZ μμμ −= 22SRZ σσσ +=e risulta eSRZ μμμ SRZ σσσ +


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La probabilità di esito negativo vale:

{ } ∫=≤=0

)(0 dzzfZPP Zr { } ∫∞−

≤ )(0 dzzfZPP Zr

Utilizzando la variabile normale standard ,è sostituita da e si ottiene: Z

ZZUσμ−

=( )N σμ ; ( )1;0Nè sostituita da e si ottiene: Z( )ZZZN σμ ; ( )1;0UN

( ) ( )ββ rUUr PFduufP =−== ∫+∞

1)(


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σμβ ZZ= /

Utilizzando le variabili standardizzate ridotte:

R

RRσμϕ −

=S

SSσμψ −

=Rσ Sσ

si ottiene , ,RRR μϕσ += SSS μψσ +=, ,RR μϕ SS μψ

0=−−+=− SSRRSR μψσμϕσ o anche:

( ) 0=−+− SRSR μμψσϕσ Retta di distanza “d” dall’origine

con:

βσσμμ

=+

−=

22SR

SRd


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βσσμμ

=+

−=

22SR

SRd


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SR

Il coefficiente è l’indice di sicurezza e corrispondeZμβ =

all’inverso del coefficiente di variazione della variabileZσ

β

⎞⎛aleatoria Z ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Z

ZZc

μσ

0 1S

S

S

R

SRZ −=

−=

−==

γμμ

μμ

μμμβ222

02

2

2

222SR

S

S

S

RSRZ cc +=

+

=+

==γ

μσ

μσσσσ

β

SS μμ

con coefficiente di sicurezza centraleS

R

μμγ =0

Sμ

Risulta ( )srrr ccPP ,,0γ=


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( )srrr ,,0γ

Utilizzando le precedentil i i i direlazioni per coppie di

valori si possono disegnare le curve

( )sr cc ,disegnare le curve

( )0γrr PP =

Si può notare come per valori elevati di (curve )anche un sensibile aumento di non riesca a confinare

entro valori sufficientemente bassi

rc 169÷0γ

P29

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entro valori sufficientemente bassirP

Per valori bassi di (curve ) risulta invece significa -rc 81÷( ) gtiva la variabilità di S.

Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto unbuon indice per la misura della sicurezza.


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Si possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza:p

k

kk S

R=γ coefficiente di sicurezza caratteristico

kS

dRffi i di i di l l

k

dd S

R=γ coefficiente di sicurezza di calcolo

RRSRRRRkk ck

ckkk

SR

+−

=+−

==11

0γμμ

μμ

σμσμγ

SSRSSSSk ckkS ++ 1μμσμ

ddR 1

SS

RR

R

S

S

R

SSS

RRR

k

dd ck

cdkd

SR

+−

=+−

==11

0γμμ

μμ

σμσμγ


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“k” “d” i di id i f ttili“k” e “d” individuano i frattili

Per distribuzione normale:

645.1=Rk6451k 645.1=Sk09.3=Rd


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Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciarela probabilità in funzione di e al variare di eP γla probabilità in funzione di e al variare di e rP kγ dγ rc

sc


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Si può osservare che utilizzando , il fascio di curve è ancora molto aperto quindi valgono anche se in modo

kγancora molto aperto, quindi valgono, anche se in modoridotto, le osservazioni già fatte per . 0γ

Pertanto non è un buon indice per misurare la sicurezzaa collasso

kγa collasso.


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Nel caso di , si osserva che con i valori usuali di(curve ) un valore di comporta una

dγ rc129 51(curve ) un valore di comporta una

probabilità di rottura compresa tra e ,quindi sensibilmente costante.

129÷ 5.1=dγ4105 −⋅ 510−

quindi sensibilmente costante.


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Pertanto può essere utilizzato come parametro per lavalutazione della sicurezza

dγvalutazione della sicurezza.

Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilitàper la mancata conoscenza delle leggi di distribuzionedi frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto.

Si utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodiapprossimati di livello inferiore.


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Metodo probabilistico di livello 2

1. difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 2

Metodo probabilistico di livello 2

2. la funzione di S. L. g(s, r)=0 è approssimata:a) g(s, r)=0 lineare o linearizzata FORMb) g(s ) 0 non linea e app ossimata con f n ione

→b) g(s, r)=0 non lineare approssimata con funzione

di secondo ordine SORM →

FORM

FOSM (First Order Second Moment) (MVFOSM)

FORM

AFOSM (Advanced First Order Second Moment)


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- FOSM ignora la legge di distribuzione delle variabilicasualicasuali

- AFOSM considera la legge di distribuzione delle variabili casualivariabili casuali

a1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione dia1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione di primo ordine in serie di Taylor della funzione di S. L. linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e covarianze delle variabili casuali (normali e log-normali)

),...,,()( 21 nXXXgXgZ ==


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Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno dei valorimedi:

( )∂n g ( )+−∂∂

+= ∑=i

Xii

X iX

XggZ

1)( μμ

( )( ) ...21

1 1

2

+−−∂∂

∂+ ∑∑

= =ji XjXi

n

i

n

j ji

XXXXg μμ

j ji

da cui:

),...,,(21 nXXXZ g μμμμ ≅

( )n n

XXgg2 ∂∂∑∑ ( )jiji j i

Z XXXg

Xg ,cov

1 1

2

∂∂≅ ∑∑

= =

σ


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La covarianza di due variabili casuali , è il momentojXiXdel 2° ordine rispetto alle rispettive medie e

j

iXμ jXμ

S l i bili i di d tiXSe le variabili sono indipendenti:iX

( )∑ ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

≅n

XVarg2

2σ ( )∑=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

≅i

ii

Z XVarX1

σ

Valutati e si ottieneμ Zσ Zμβ =Valutati e si ottiene Zμ ZσZσ

β =

1,282 2,326 3,090 3,719 4,265 4,753 5,199β

( )βrr PP = 110− 210− 310− 410− 510− 610− 710−


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a2) AFOSM (Hasofer-Lind per variabili normali):l b l l d dusa le variabili normali standard

iXiXX

μ−=' i=1 2 n

iXiX

σ= i 1, 2, …, n

h di ll d i i t d d it i'X ha media nulla e deviazione standard unitariaiX

L’i di di i è d fi it di tβL’indice di sicurezza è definito come distanzaminima dall’origine degli assi rispetto alla superficiedi S L

HLβ

di S.L.


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R S μ22SR

SRHL

σσμμβ+

−=

R

RRRσμ−

='

S

SSSσμ−

='


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La funzione di S. L. è: 0'' =−+− SRSR SR μμσσ SRSR

AFOSM e FOSM danno valori coincidenti se R ed S sononormali e la funzione di S L è linearenormali e la funzione di S. L. è lineare

Per funzioni di S L non lineari la determinazione di βPer funzioni di S. L. non lineari, la determinazione didiventa un problema di ottimizzazione. Si può utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

HLβ

il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.


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**∑ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ ∂n gx

2*

1∑=

⎤⎡ ⎞⎛ ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂−=

n

i ii

HL

Xx

β

1∑= ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂n

i iXg


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b) SORM (Second Order Reliability Method)


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E t b l i i i d ll f i i di S LEntrambe le approssimazioni delle funzioni di S. L.hanno la stessa distanza e l’approccio di FORMfornisce lo stesso livello di sicurezza

βfornisce lo stesso livello di sicurezza. In realtà la probabilità di rottura dell’approssimazionenon lineare della funzione dovrebbe essere minore perpvia della sua forma. FORM ignora la curvatura dellafunzione di S. L. perchè usa un’approssimazione di solo1° di1° ordine.


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SORM migliora l’approccio di FORM includendo g ppinformazioni sulla curvatura della funzione di S. L.Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione nonli ll’i t d l llineare nell’intorno del valore

vale:),...,,()( 21 nXXXgXg =

( )**2

*1 ,...,, nxxx

( ) ( ) +∂∂

−+= ∑=

n

i iiinn X

gxxxxxgXXXg1

***2

*121 ,...,,),...,,(

( )( ) ...21 2

*

1 1

* +∂∂

∂−−+ ∑∑

= = jijj

n

i

n

jii xx

gxxxx2 1 1 ∂∂= = jii j xx

SORM tiene conto delle derivate di secondo ordinementre FORM si ferma a quella di 1° ordinementre FORM si ferma a quella di 1° ordine


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Secondo Breitung, la probabilità di insuccesso può essereg, p pcalcolata come:

( ) ( )∏−

−+Φ≅1 1

1n

kP ββ( ) ( )∏=

⋅+−Φ≅1

21i

if kP ββ

dove sono le curvature principali nel punto di minimakdove sono le curvature principali nel punto di minimadistanza e è valutato tramite FORM.

ikβ


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Tecniche di simulazioneLe tecniche di simulazione consentono di valutare laprobabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S L

ec c e d s u a o e

probabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S. L. esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione piùnota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi:- definizione del problema considerando tutte le variabili

casualiq antifica ione di t tte le a iabili cas ali t amite le PDF- quantificazione di tutte le variabili casuali tramite le PDF

- generazione dei valori delle variabili casuali- valutazione deterministica per ogni insieme di valorivalutazione deterministica per ogni insieme di valori

delle variabili casuali (sperimentazione numerica)- valutazione di informazioni probabilistiche da N

valutazioni- valutazione dell’accuratezza ed efficienza della

simulazione


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simulazione

La generazione dei valori delle variabili casuali avvienegtramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e1. Il numero casuale generato viene eguagliato al

i d t l d ll CDF d ll i bilcorrispondente valore della CDF della variabileconsiderata e tramite questa si perviene al valore della variabile casuale tramite la PDFvariabile casuale tramite la PDF.

La probabilità di insuccesso si calcola come:p

NN

P ff =

casi sfavorevoli (g < 0)Nf

casi totali investigati


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Se si valuta una probabilità di insuccesso pari a 10-5p psolo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi diutilizzare almeno 10x105 = 106 simulazioni per ogni

i bil lvariabile casuale.


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Metodo probabilistico di livello 1Metodo probabilistico di livello 1

La misura della sicurezza in un generico stato si effettuaLa misura della sicurezza in un generico stato si effettuaconfrontando due valori significativi di “R” ed “S”(anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) dettivalori di calcolo.

( )ESTRESTRESTR mRd xxxgR ,...,, 21= ( )ESTRESTRESTR mRd g , ,, 21

( )ESTRESTRESTR nmmSd xxxgS ,...,, 21 ++=

verificando che risulti:

dd SR ≥


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La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettuamaggiorando le n-m variabili (S) e minorando le m variabilimaggiorando le n m variabili (S) e minorando le m variabili(R).


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Per le resistenze si assumono i frattili 0.05:

( ) 05.0..=

INFESTRi iX xF

Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95:

( ) 950=X xF ( ) 95.0..SUPESTRi iX xF


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Il metodo, detto dei valori estremi, non tiene conto delle, ,aleatorietà ed incertezze dei legami funzionalie

( )...Rg( )...Sg

L’utilizzazione “ad litteram” della procedura può talvoltacomportare dei problemi di coerenza, ad esempio quandop p , p qun’azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stessotempo maggiorata e minorata!

Il problema si risolve in tali casi assumendo per taleIl problema si risolve in tali casi assumendo per taleazione un valore deterministico anzichè due valori estremi.


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Metodo semi-probabilistico agli statiMetodo semi-probabilistico agli statilimiteCon tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cuidipende la misura della sicurezza, vengono assunte

d t i i ti h l’ ff tt d ll l l t i tà dcome deterministiche e l’effetto della loro aleatorietà edincertezza è coperto dall’introduzione di un coefficientedi sicurezza (ne esistono di 3 tipi)γdi sicurezza (ne esistono di 3 tipi)γ

→mγ lato resistenze (m=materiale)

→fγ lato sollecitazioni (f=forze)

→nγ fattore di comportamento


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Il metodo deriva in principio da quello di livello 1 ed èp p qquindi definito “semi-probabilistico”.Il termini “stati limite” sottolinea la necessità di effettuarel ifi i i di di t tti li t ti h tla verifica nei riguardi di tutti gli stati che possono portarea comportamento insoddisfacente la struttura.In particolare si assumono:In particolare si assumono:- le dimensioni geometriche come deterministiche- il legame funzionale come deterministico, per ( )...Rgg , p

la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In alcuni meccanismi complessi si introduce a

ll d l l l

( )Rg

Rdn γγ =valle del calcolo

dd RR 1⇒ (incertezza di modello)

con opportuna graduazione (riduzione) del coefficiente

dRd

d γ (incertezza di modello)

mγ


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pp g ( ) mγ

- lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le resistenze a rottura dei materiali cui si applica il coefficienteil l f i l è t d t i i ti

( )yc ff ,mγ

( )- il legame funzionale è assunto deterministico, per cui si rende necessaria l’introduzione dei coefficienti che ne tengano conto Anche in questo

( )...Sg

γcoefficienti che ne tengano conto. Anche in questo caso è possibile introdurre l’incertezza di modello con

fγ

Sdn γγ = Sdn γγ

dSdd SS γ⇒

e viene graduato di conseguenzafγ


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- lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorieconsiderate sono le azioni (A) di cui si considera la statistica dei massimi, per cui è necessarial’i t d i d i ffi i ti hè di lt i il’introduzione dei coefficienti , nonchè di ulterioricoefficienti (coefficienti di combinazione) chetengono conto del riferimento unitario alla statistica

fγψ

tengono conto del riferimento unitario alla statisticadei massimi

Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) siassumono i valori caratteristici (frattile 5%),

(f ttil 95%)kf

A (frattile 95%).kA


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Per le altre cause di aleatorietà si introducono:

- Resistenze

kd

ffγ

=

- Sollecitazioni

mγ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ ikif ASS

iψγ Formulazioni pratiche per

⎠⎝∑ ik

iifi

ψγcostruzioni in c.a., c.a.p., acciaio


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Calcolo dei frattili per distribuzioneCalcolo dei frattili per distribuzione normale e log-normale

I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutatif ttili d ll di t ib i icome frattili delle distribuzioni:

- frattile 5% per resistenza caratteristicafrattile 5% per resistenza caratteristicafrattile ∼ 0.1% per resistenza di calcolo


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Per distribuzione normale:

XXkX σμ 64.1−=

093 XXdX σμ 09.3−=

Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorrevalutare il coefficiente di skewness (obliquità) :Xα

33 XXX VV +=α conX

XXV

μσ

= coefficiente divariazionevariazione


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Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindicon le espressioni:con le espressioni:

( )[ ] 220 1/1lnexp XXXi VVkX ++= μ i = k oppure d( )[ ]0, 1/1lnexp XXpXi VVkX ++μ pp

dove è il coefficiente della distribuzione normale0kdove è il coefficiente della distribuzione normaleper lo stesso frattile (1.64 o 3.09)

0,pk

con 2.0<XV ( )XpXi VkX 0,expμ≅


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Esempio: calcestruzzo con ,MPa 30=Xμ MPa 5=Xσ

20.0167.0305

<==XV

Log-normale ( ) MPa 8.22167.064.1exp30 =×−=kR(scelta consigliata) ( ) MPa 9.17167.009.3exp30 =×−=dR

Normale MPa 8.21564.130 =×−=kR

MPa6.14509.330 =×−=dR


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Rappresentazione unitaria dei metodi di verifica della ppsicurezza (A. Migliacci)


Prof. G. Mancini

Livello 3: ( )∫= ,SRr drdssrfP ( )∫'2

,,D

SRr f

Livello 2: { }0≤−== SREPPσβη *≥Livello 2: { }0≤−== SREPPrEE σβη ≥

Livello 1: punto1M

Tensioni ammissibili: punto M

p1M

Risulta perchè la sicurezza sulle azioni ètrasferita sulle resistenze

dRR <<trasferita sulle resistenze.

SeS η≅ quindi è più prossimo all’origine di M 1M


Prof. G. Mancini

01 Tdc - Lezioni Sicurezza

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