01 01 Poriez Ort Prima Stesura(1)

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joetex - percorsi didattici

Geometria descrittiva > Le Proiezioni ortogonali

Proiezioni ortogonali

Indice

..................................................................................................................................................1

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Sospeso Nello Spazio.....................................................3

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Pv........................................................3

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Po........................................................4

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Pl.........................................................4

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Ad Un Segmento Ab Perpendiolare Al Pl

! Parallelo Al Pv ! Al Po.............................................................................................................."

- Proiezioni Ortogonali Di Un Segmento Perpendiolare Al Pv ! Parallelo Ai #estanti Piani "

- Proiezioni Ortogonali Di Un Segmento Perpendiolare Al Po ! Parallelo Ai #estanti Piani $

- %e &rae Di Una #etta ..........................................................................................................$ - Proiezioni Ortogonali Di Una #etta Parallela Al Pv ! 'nlinata Ai #estanti Piani................$

- Proiezioni Ortogonali Di Una #etta Parallela Al Po ! 'nlinata Ai #estanti Piani................$

- Proiezioni Ortogonali Di Una #etta Parallela Al Pl ! 'nlinata Ai #estanti Piani............. ....(

- Proiezioni Ortog. Di Una #etta )eneria *on %e &rae Sul Po ! Sul Pl.............................(

- Proiezioni Ortog. Di Una #etta )eneria *on %e &rae Sul Po ! Sul Pv.............................(

- Proiezioni Ortog. Di Una #etta )eneria *on %e &rae Sul Pv ! Sul Pl.............................+

- Proiezioni Ortog. Di Un Segmento Ab )enerio....................................................................+

- *ondizioni Di Appartenenza Di Un Punto Ad Una #etta.......................................................+

- Dimostrazione Della *ondizione Di Non Appartenenza Di Un Punto Ad Una #etta ......... ..,

- Proiezioni Ortogonali Di Due #ette # !d %/ Sg0embe ..................................................,

- Proiezioni Ortogonali Di Due #ette 'nidenti # ! %......................................................1 - %a retta di massima pendenza ...............................................................................................11

- Proiezioni Ortogonali Di Una #etta Di 2assima Pendenza..................................................11

- Proiezioni Ortogonali Di Un &riangolo Appartenente Ad Un Piano Ala )enerio ............1

- Proiezioni Ortogonali Di Un Pentagono Appartenente Ad Un Piano Ala )enerio ........ .1

- Proiezioni Ortogonali Di Una 5orma A 5aralla Appartenente Ad Un Piano Ala )enerio

......................................................................................................................................................13

- Proiezioni Ortogonali Di Solidi ............................................................................................14

- Proiezioni Ortogonali ! 6isione &riedria Di Un &rono Di Piramide *ol 6ertie 6erso 'l

7asso............................................................................................................................................1"

- Proiezioni Ortogonali ! 6isione &riedria Di Un Solido *omposto Da 8uattro &ron0i Di

Piramide Sovrapposti ..................................................................................................................1" - Proiezioni Ortogonali Di Un Prisma %e *ui 7asi Ottagonali Sono Perpendiolari Al Po !

'nlinate Ai #estanti Piani............................................................................................................1$

- Proiezioni Ortogonali ! 6isione &riedria Di Un *ubo Appoggiato Su Un Piano 'nlinato

)enerio. Utilizzazione Del Piano Ausiliario #ibaltato Sul Po. .................................................1$

- Proiezioni Ortogonali ! 6isione &riedria Di Un Prisma A 7ase !sagonale Appoggiato Su

Un Piano 'nlinato )enerio. Utilizzazione Del Piano Ausiliario #ibaltato Sul Po. ..................1(

- %e sezioni ............................................................................................................................1,

- %e Sezioni Dei Solidi 'n Proiezioni Ortogonali.....................................................................1,

- Proiezioni Ortogonali Di Una Sezione Di Parallelepipedo Attraversato Da Un Piano

Perpendiolare Al Po ! 'nlinato Ai #estanti Piani.....................................................................1,

- *ompenetrazioni Di Solidi..................................................................................................1,

- Proiezioni Ortogonali Di Due Solidi *ompenetrati..............................................................1,

%e Proiezioni Ortogonali - " ........................................................................................................3

1


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- %e sezioni oni0e...........................................................................................................4

- %a parabola............................................................................................................................$

- %9'perbole...............................................................................................................................+

%9ellisse.........................................................................................................................................+

- Proiezioni ortogonali

Nelle Proiezioni Ortogonali il entro di proiezione : posto all9ininito; per ui le linee proiettanti

sono tra loro parallele. Nella attispeie


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' prossimi disegni mostrano il modo in ui si ottengono le Proiezioni Ortogonali ongiungendo il

*entro di Proiezione on linee parallele 0e raggiungono gli enti geometrii e poi i tre piani

ormando angoli di ,>.

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Sospeso Nello Spazio

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Pv

3


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- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Po

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Al Pl

Dei disegni 0e abbiamo appena visto dobbiamo per? 0iarire alune ose. Sappiamo 0e i tre piani

di proiezione; il Piano Orizzontale; il Piano 6ertiale e


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8uesta astrazione; 0e i introdue le proiezioni assonometri0e di ui i ouperemo

prossimamente; i porta a onsiderare alune ose. %e rette 0e sono perpendiolari alla linea di

terra e al Piano 6ertiale dovranno neessariamente apparire parallele alle linee 0e ostituisono il

Piano %aterale il Piano %aterale sappiamo essere ortogonale al piano vertiale e orizzontale/.

- Proiezioni Ortogonali Di Un Punto Appartenente Ad Un Segmento Ab

Perpendicolare Al Pl E Parallelo Al Pv E Al Po

- Proiezioni Ortogonali Di Un Segmento Perpendicolare Al Pv E Parallelo Ai Restanti

Piani

"


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- Proiezioni Ortogonali Di Un Segmento Perpendicolare Al Po E Parallelo Ai Restanti

Piani

- Le racce Di Una Retta

%e trae di una retta sono i punti d9intersezione della retta on i piani di rappresentazione. !ssendo

la retta una linea diritta di lung0ezza ininita; le trae di una retta non possono 0e essere due; ossia

soltanto in due punti la retta pu? essere inidente ai piani.

- Proiezioni Ortogonali Di Una Retta Parallela Al Pv E !nclinata Ai Restanti Piani

- Proiezioni Ortogonali Di Una Retta Parallela Al Po E !nclinata Ai Restanti Piani

$


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- Proiezioni Ortogonali Di Una Retta Parallela Al Pl E !nclinata Ai Restanti Piani

- Proiezioni Ortog" Di Una Retta #enerica $on Le racce Sul Po E Sul Pl

- Proiezioni Ortog" Di Una Retta #enerica $on Le racce Sul Po E Sul Pv

(


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- Proiezioni Ortog" Di Una Retta #enerica $on Le racce Sul Pv E Sul Pl

- Proiezioni Ortog" Di Un Segmento Ab #enerico

- $ondizioni Di Appartenenza Di Un Punto Ad Una Retta

Un punto si pu? deinire appartenente ad una retta se almeno due proiezioni del punto appartengono

alle proiezioni della retta.

+


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- Dimostrazione Della $ondizione Di Non Appartenenza Di Un Punto Ad Una Retta

- Proiezioni Ortogonali Di Due Rette %&R& Ed &L&' Sg(embe

Due rette si deinisono sg0embe


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- Proiezioni Ortogonali Di Due Rette !ncidenti &R& E &L&

%a dimostrazione 0e le due rette sono tra loro inidenti risiede nel atto 0e il punto di inidenza

P'/ appartiene alle proiezioni di entrambe le rette e ade sotto la stessa perpendiolare alla linea di

terra e alla linea di terra laterale.

1


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- La retta di massima pendenzaUn altro modo per ottenere la misura vera di una retta inlinata ai tre piani del triedro onsiste nel

ribaltare il piano ala al


12/29

- Proiezioni Ortogonali Di Un riangolo Appartenente Ad Un Piano Al*a #enerico

- Proiezioni Ortogonali Di Un Pentagono Appartenente Ad Un Piano Al*a #enerico

-

Proiezioni Ortogonali Di Un !sagono Appartenente Ad Un Piano Ala )enerio

1


13/29

- Proiezioni Ortogonali Di Una +orma A +ar*alla Appartenente Ad Un Piano Al*a

#enerico

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14/29

- Proiezioni Ortogonali Di Solidi%e proiezioni ortogonali dei solidi sono pratiamente identi0e a


15/29

- Proiezioni Ortogonali E ,isione riedrica Di Un ronco Di Piramide $ol ,ertice

,erso !l asso

- Proiezioni Ortogonali E ,isione riedrica Di Un Solido $omposto Da .uattro

ronc(i Di Piramide Sovrapposti

1"


16/29

- Proiezioni Ortogonali Di Un Prisma Le $ui asi Ottagonali Sono Perpendicolari Al

Po E !nclinate Ai Restanti Piani

- Proiezioni Ortogonali E ,isione riedrica Di Un $ubo Appoggiato Su Un Piano!nclinato #enerico" Utilizzazione Del Piano Ausiliario Ribaltato Sul Po"

1$


17/29

- Proiezioni Ortogonali E ,isione riedrica Di Un Prisma A ase Esagonale

Appoggiato Su Un Piano !nclinato #enerico" Utilizzazione Del Piano AusiliarioRibaltato Sul Po"

1(


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6isione delle proiezioni ortogonali della base del prisma 0e poggia sul piano inlinato=

6isione delle proiezioni ortogonali della base del prisma 0e poggia sul piano inlinato; del piano

ala ausiliario giallo/; del ribaltamento si ala sul PO; della proiezione di tutto il prisma sul PO edel solido verde/=

1+


19/29

- Le sezioni

- Le Sezioni Dei Solidi !n Proiezioni Ortogonali%e sezioni di solidi sono superii delimitate da linee 0iuse appartenenti a piani 0e attraversano e


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1


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Le Proiezioni Ortogonali - /Prisma esagonale on le basi parallele al P% e una aia laterale appoggiata sul PO. Sovrapposta

piramide al PO

*ubo on una aia posta sul PO e un lato di tale aia inlinato di $> al P6. Ad essosovrapposta piramide ottagonale il ui vertie : tangente alla aia superiore del ubo e lCasse

inlinata di $> al PO e parallela al P6

3


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- Le sezioni coniche

%e sezioni oni0e si ottengono sezionando oni regolari. 'l ono pu? essere determinato dalla

rotazione di un retta inlinata generia; detta )eneratrie; su un suo punto


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/ Sezione di un ono on determinazione di una urva a Parabola 3/ Sezione di un ono on

determinazione di una urva ad 'perbole.

4/ Sezione di un ono on determinazione di una urva ellittia

Prima di osservare le proiezioni ortogonali di una Parabola; speii0iamo on due disegni le

sezioni 0e i piani ausiliari determinano on il ono ig. "/. &rattandosi di piani paralleli al PO

determineranno; inevitabilmente; sezioni irolari onentri0e on la base del ono.

"


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- La parabolaPer ottenere le proiezioni ortogonali della parabola e dell9iperbole : suiiente utilizzare un numeroa piaere di piani ausiliari 4 nel nostro esempio/ tutti paralleli al PO. 8uando le trae dei piani

ausiliari inontrano la proiezione della generatrie sul P6; possono determinare i 4 er0i

onentrii sul PO 0e sono le sezioni del ono determinate dai 4 piani ausiliari. %a proiezione sul

PO della ig. $ e (; si ottiene laniando verso il PO stesso i punti d9inidenza delle trae dei piani

ausiliari ol piano ala sezionante; 0e raggiungono le ironerenze onentri0e suddette. Per

ottenere la grandezza vera della parabola :

neessario ribaltare il piano ala sul P6 mediante una semplie rotazione della traia &ala1 sul Pv

sino a disporsi ortogonalmente rispetto alla &ala.

$


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$/ Proiezioni ortogonali di un ono poggiante sul PO sezionato da un piano ala parallelo alla

generatrie; on determinazione di una urva parabolia e sua grandezza vera ottenuta mediante

ribaltamento del piano sezionante ala sul P6 lungo la traia &ala.

(/ Assonometria isometria di un ono poggiante sul PO sezionato da un piano ala parallelo alla

generatrie; on determinazione di una urva parabolia.

- L0!perbole

+/ Proiezioni ortogonali di un ono poggiante sul PO sezionato da un piano ala perpendiolare al

PO; on determinazione di una iperbole.

(


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,/ Assonometria isometria di un ono poggiante sul PO sezionato da un piano ala perpendiolare

al PO; on determinazione di una iperbole.

L0ellisse'mmagine in orso di produzione

1/ Proiezioni ortogonali di una ellisse determinata dalla sezione di un ono attraversato da un

piano ala perpendiolare al P6 e inlinato ai restanti piani. #ibaltamento di ala sul P6 per lagrandezza vera della sezione ellittia.

+


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11/ Assonometria isometria di una ellisse determinata dalla sezione di un ono attraversato da un

piano ala perpendiolare al P6 e inlinato ai restanti piani. #ibaltamento di ala sul P6 per la

grandezza vera della sezione ellittia.

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