MATRICI ORTOGONALI E FORME QUADRATICHE

MATRICI SIMMETRICHE E ORTOGONALI

Definizione. Dati in Rn due vettori v = (x1, , xn) e w = (y1, , yn), diciamo loro prodotto scalare ilnumero reale (x1, , xn) (y1, , yn) =

ni=1 xiyi. Se identifichiamo v e w come vettori colonna di R

n,1

possiamo scriverev w =t vw

Questo prodotto ha le stesse proprieta riscontrate nel caso n = 2, 3, come si verifica facilmente in basealla definizione:

1) v w = w v2) (mv) w = v (mw) = m(v w)3) u (v +w) = u v + u w4) v v =ni=1 vi2 0, per ogni v e v v = 0 se e solo se v = 0In analogia con quanto accade nello spazio della geometria (n = 2, 3) diremo che in Rn due vettori v,w

sono ortogonali se v w = 0; definiamo inoltre modulo o norma di un vettore v il numero v = v v =(n

i=1 vi2)

12 .

Teorema. La norma di un vettore soddisfa le seguenti proprieta:

positivitav 0 e v = 0 se e solo se v = 0omogeneitamv = |m|vdisuguaglianza triangolarev +w v+ wdisuguaglianza di Cauchy-Schwartz|v w| vw

La nozione di norma permette di definire la distanza tra due vettori:

d(v,w) = v w

Sia ora S Rn,n una matrice simmetrica, cioe una matrice tale che tS = S.

Proposizione. Siano v1,v2 autovettori di una matrice simmetrica S corrispondenti a due distinti autovalori1, 2; allora v1 v2 = 0Dimostrazione. (Sv1) v2 =t (Sv1)v2 =t vt1Sv2 =t v1(Sv2) = v1 (Sv2). Per ipotesi Sv1 = 1v1 eSv2 = 2v2, quindi

1v1 v2 = 2v1 v2

Lemma. Dati m vettori non nulli v1, ,vm Rn, se sono a due a due ortogonali, allora sono linearmenteindipendenti.

Dimostrazione. Infatti moltiplicando scalarmente la relazione a1v1 + + amvm = 0 per vi al variare dii = 1, ,m, si ottiene ai = 0 per ogni i.

1

Definizione. Una base diRn si dice ortonormale se e costituita da vettori di norma 1 a due a due ortogonali.

Definizione. Una matriceP Rn,n si dice ortogonale se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:(a) tPP = In(b) P tP = In(c) P e invertibile e P1 =t P

Teorema. Sia S Rn,n una matrice simmetrica, allora:(a) le radici del polinomio caratteristico di S sono tutte reali;(b) esiste una matrice ortogonale P Rn,n tale che P1SP =t PSP = D, con D matrice diagonale,

avente sulla diagonale principale gli autovalori di S scritti con la dovuta molteplicita.

Classifichiamo ora le matrici ortogonali P R2,2. Sia

P =(p qr s

)una tale matrice; per definizione le sue colonne sono versori ortogonali; gli unici due versori ortogonali a(pr

)sono

(rp

)e(

rp), quindi ci sono solo due possibilita;

P =(p rr p

), P =

(p rr p

)Visto che deve essere p2 + r2 = 1, le due matrici hanno determinante rispettivamente 1 e 1.

Consideriamo il primo caso. E facile osservare che esiste un unico angolo tale che cos = p e sin = r,ossia

P =(cos sinsin cos

)inoltre si ha (

cos sinsin cos

)(xy

)=(xcos ysinxsin+ ycos

)Proposizione. Ogni matrice ortogonale di R2,2 con determinante 1 e del tipo descritto sopra e rappresentauna rotazione nel piano di un angolo con centro nellorigine.

Proprieta. Siano A e B matrici ortogonali di Rn,n, allora A1 e AB sono ortogonali.

Dimostrazione. E noto che t(AB) =t BtA. Per ipotesi tAA = I,tBB = I, quindi tA = A1 e t(A1)A1 =I, cioe A e ortogonale. Inoltre t(AB)(AB) =t BtAAB =t BIB =t BB = I.

Teorema di Binet. Siano A e B matrici quadrate, allora det(AB) = (detA)(detB)

Corollario. Ogni matrice ortogonale ha determinante 1 oppure 1.Dimostrazione. Se P tP = I si ha 1 = detI = det(P tP ) = det(tP )detP = (detP )2, essendo det(tP ) = detP .

Definizione. Una matrice ortogonale con determinante 1 si dice speciale .

FORME QUADRATICHE

Definizione. Una forma lineare e una applicazione lineare f : Rn R.

Segue che f(x1, , xn) = a1x1+ +anxn = Av, dove A R1,n e la matrice (a1 an) che rappresentaf e v il vettore colonna t(x1, , xn). Se A non e la matrice nulla, Imf = R e quindi kerf sara unsottospazio di dimensione n 1 di Rn. Risulta quindi che f e una combinazione lineare di (x1, , xn).

2

Definizione. Una forma quadratica e una funzione q : Rn R del tipo q(x1 , xn) =n

i,j=1 aijxixj , cioeuna combinazione lineare di x21, , x2n, x1x2, x1x3, univocamente determinata da una matrice simmetricaA = (aij).

Per n = 2 otteniamo q(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2, con A =(a11 a12a12 a22

)Per n = 3, q(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz, con A =

a11 a12 a13a12 a22 a23a12 a23 a33

.In generale, q(x1 , xn) =t vAv e la funzione q puo essere semplificata diagonalizzando A. Infatti,

visto che A e una matrice simmetrica reale, esiste una matrice ortogonale P tale che P1AP e una matricediagonale avente sulla diagonale principale gli autovalori di A.

Definizione. Lespressione q(x1 , xn) = 1x21+ +nx2n =t vAv con A matrice diagonale, si dice formacanonica di q.

Segue in particolare che:

Proposizione-Definizione. Se gli autovalori di A sono tutti positivi, q(x1 , xn) > 0 per ogni v 6= 0 e laforma quadratica si dice definita positiva.

Se gli autovalori di A sono tutti negativi, q(x1 , xn) < 0 per ogni v 6= 0 e la forma quadratica si dicedefinita negativa.

Se gli autovalori di A sono tutti positivi o nulli, q(x1 , xn) 0 per ogni v e la forma quadratica sidice semidefinita positiva.

Se gli autovalori di A sono tutti negativi o nulli, q(x1 , xn) 0 per ogni v e la forma quadratica sidice semidefinita negativa.

La forma quadratica si dice indefinita o non definita se non vale nessuno dei casi precedenti.

Per lo studio del segno di una forma quadratica e utile la seguente:

Regola di Cartesio. Dato un polinomio di grado n in una variabile scritto per potenze crescenti (odecrescenti) , avente coefficienti reali e tutte le radici reali, il numero delle radici positive e uguale al numerodi variazioni di segno dei coefficienti del polinomio, trascurando eventuali coefficienti nulli.

3