!"#$%&'$("#)*+#,-%*'+#"#."//"&0+#

!"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

2"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

1&#+&2$%#3*%4."5+#/"%5"-*'$%#

6&#+&2$("#)%&2#-*%7'+5%#$("#."#$%&'$("#,%&%#&+-"#'&#8*"$'+9#3"*#*',%.7"*"#:&#3*%4."5+#$("#&:..+#,"54*+#+7"*"#'&#$%5:&"#$%&#;:",-"#$:*7"<#

Teone di Smirne Eratostene di Cirene

='+5%#+0#>-"&"#'&-%*&%#+.#?@A#+<B<"

3"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Scoppia una terribile epidemia di peste

!+#3",-"#:$$'0"#+&$("#C"*'$."9#'&,'"5"#+#;:+,'#:&#;:+*-%#0"..+#3%3%.+D'%&"#0'#>-"&"<"

4"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

='+5%#+0#>-"&"#'&-%*&%#+.#?@A#+<B<"

!+#3*%)%&0+#'53*",,'%&"#,:,$'-+-+#0+#;:",-+#$+-+,-*%)"#E#)%*,"#+..F%*'/'&"#0'#:&#3*%4."5+#&+**+-%#'&#+&2$('#-",2<#

Una delegazione visita l'oracolo di Delo per chiedere la fine dell’epidemia. L’oracolo risponde che, per placare l'ira degli dei, si deve raddoppiare il volume dell'altare a essi dedicato, a forma di cubo. I delegati fanno immediatamente costruire un altare, sempre a forma di cubo, e con il lato doppio del primo… ma la peste continua. Che cosa avevano sbagliato?

5"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Il problema di Delo

Volume V Volume 8V

!+#0:3.'$+D'%&"#0".#$:4%#Oggi, con il linguaggio dell’algebra, scriviamo la risposta così:

6"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Cubo iniziale: spigolo a, volume V = a3

Cubo di lato doppio: spigolo 2a , volume V’ = (2a)3 = 8a3 = 8V

E, con il linguaggio dell’algebra, descriviamo anche il problema rimasto insoluto: raddoppiare il volume del cubo. Per semplicità, scegliamo il cubo iniziale con spigolo 1 e scriviamo:

Cubo iniziale: spigolo 1, volume V = 13 = 1

Cubo richiesto: spigolo x, volume V” = 2

Così, per avere la lunghezza x dello spigolo, risolviamo l’equazione:

!

x3 = 2" x = 23 #1,26

!+#0:3.'$+D'%&"#0".#$:4%#

7"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Ma i matematici dell’antica Grecia non conoscevano il linguaggio dell’algebra e, per risolvere problemi geometrici, usavano due soli strumenti: il compasso per disegnare cerchi e la riga per disegnare rette.

Compasso Riga non graduata

Nasce così il problema della duplicazione del cubo: costruire con riga e compasso un segmento che è lo spigolo di un cubo con volume doppio di un cubo dato.

!+#0:3.'$+D'%&"#0".#$:4%"Da V secolo a.C. negli antichi testi cominciano a comparire tentativi di soluzione del problema. E i tentativi continuano fino al 1837, quando il matematico francese Pierre Wantzel pubblica una definitiva dimostrazione: è impossibile risolvere con riga e compasso il problema della duplicazione del cubo.

8"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Pierre Wantzel (1814 – 1848)

Menecmo (380 – 320 a.C)

Una delle più antiche e famose ‘duplicazioni del cubo’ è dovuta a Menecmo e segna l’origine delle coniche.

B%&'$("#"#0:3.'$+D'%&"#0".#$:4%"

9"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

A intersezione di due parabole A intersezione di una parabola e un’iperbole

Due soluzioni date da Menecmo, presentate con il liguaggio dell’algebra e i grafici della geometria analitica.

!

x =12y2 y = x2

!

y = x2 xy = 2

>G7'-H##I#<#6&-"*,"D'%&'#0'#I#$%&'$("###

Come si calcolano le coordinate dei punti di intersezione fra due coniche? Quante sono al massimo intersezioni tra 2 coniche? La prossima attività di gruppo è dedicata a rispondere a questa e ad altre domande. Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo

!:"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

B%,+#+44'+5%#-*%7+-%J#

!!"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

!2"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di due coniche

!3"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Rispondere alle domande

Perché il sistema?

Perché risolvere un sistema di due equazioni in due incognite x e y vuol dire ‘trovare tutte le coppie ordinate di numeri reali che soddisfano entrambe le equazioni’

È lo stesso ragionamento seguito per calcolare le coordinate dei punti di intersezione di una conica con una retta.

!4"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Rispondere alle domande

!5"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche ‘in movimento’ File: Coniche_Geogebra_Presenta2

!6"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche e sistemi

Le coniche sono secanti nei punti A, B, C, D

!7"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche e sistemi

Le coniche sono: -  tangenti nel punto A; - secanti nei punti B e C.

!8"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche e sistemi

Le coniche sono tangenti nel punto A

!9"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche e sistemi

Le coniche sono esterne

2:"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Intersezioni di coniche: soluzioni esatte e approssimate

!"#$%&'$("#-*+#*'$"*$+#-"%*'$+#"#+33.'$+D'%&'#

Apollonio (262 a. C. – 190 a. C.) E’ un grande studioso di geometria e sistematore della teoria delle coniche. La sua opera, vasta e difficile, ci è quasi interamente giunta. E’ il primo a dimostrare che è possibile ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecando un cono con un piano e variando l'inclinazione di tale piano. E’ anche il primo ad attribuire i nomi di ellipsis, hyperbola , parabola .

2!"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Ecco qualche altra tappa significativa della lunga storia delle coniche

Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni

22"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Archimede (287- 212 a.C) e Diocle (240 – 180 a.C)

In questi due matematici e scienziati troviamo le radici degli studi applicativi sulle coniche, in particolare sulla riflessione della luce in specchi sferici e parabolici.

Diocle Archimede

Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"Lo studio matematico delle coniche iniziato storicamente per via geometrica è stato poi sviluppato e approfondito da Cartesio nella sua opera “La Geometria” (1637), che introduce la Geometria Analitica. Cartesio espone la scoperta che le equazioni in due variabili descrivono luoghi geometrici, cioè insiemi di punti del piano che verificano determinate proprietà. Le curve cartesiane che verificano un’equazione algebrica di secondo grado sono proprio le coniche di Apollonio, e questo è il motivo per cui le coniche vengono anche dette curve del secondo ordine.

23"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Cartesio (1596 – 1650)

24"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"

Galileo (1564 – 1642 )

Galileo scopre e sperimenta la traiettoria parabolica dei proiettili lanciati sulla Terra.

25"#$%&'"(')'**'$+,"-$.//'&0"1/%+*'"

Le coniche tra ricerca teorica e applicazioni"Keplero (1571 – 1630 ) e Newton (1642 – 1727)

Keplero e Newton trovano tutte le coniche come traiettorie di un corpo (pianeta, cometa, …) che si muove nel sistema solare. La traiettoria dipende dalle condizioni iniziali. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (ad esempio la Terra intorno al Sole). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (ad esempio una cometa intorno al Sole).

Animazione ‘Coniche e moto dei corpi celesti’

Newton Keplero