0 1 2 3 -2 -3 -2 -3 1 2 3 Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali...

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))

x

y

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali


x

y

Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali (x;y), data dalle coordinate dell’estremo del segmento orientato

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

uu

u =(-1;-3)u =(-1;-3)

Q (-1; -3)


Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3 T (2; 3)

w

w = (2;3)w = (2;3)

ii

i = (1;0)i = (1;0)

rr

r =(1;-3)r =(1;-3)

S (1; -3)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

i = (1;0)i = (1;0)

j = j = (0;1)(0;1)

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)

0 = (0;0)0 = (0;0)


I vettori

1 2 3-1

-2-3

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

-1-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

Ogni vettorevettore nello spazio nello spazio tridimensionale si può tridimensionale si può rappresentare come rappresentare come

terna ordinata terna ordinata di numeri reali di numeri reali

(rappresentazione algebrica/analitica)

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

i = i = (1;0;0)(1;0;0)j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)V

x

y

z

1 2 3-1-2-3-1

-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

I vettori di modulo unitario(lunghezza = 1)

si dicono versoriversori

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

V

i = (1;0;0)i = (1;0;0)

j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)

x

y

z

00

I versori lungo i tre assi coordinati i=(1;0;0), j= (0;1;0), k= (0;0;1)Sono i versori principali

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori

In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla

“regola del parallelogramma”:

uu

vv

u + vu + v


In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura:

(“La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo con l’opposto del secondo” )

u - vu - v uu

vv

u - vu - v

(I due segmenti orientati gialli sono equipollenti e quindi rappresentano lo stesso vettoredifferenza u – vu – v))


In rappresentazione algebrica la somma (o la

differenza) di due vettori (di coordinate date) è un

terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la

differenza) delle coordinate corrispondenti.

Es,:

dati: u = (1; -3; 2); v = (2; 0; 5)

u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-1; -3; -3)

Scomposizione lungo gli assi cartesianiSi tratta di un caso particolare di scomposizione, lungo le direzioni ortogonali degli assi cartesiani

x

y

v

vxî

vy ĵ

jvivv yxˆˆ

Vettori nello spazioz

x

y

v

vxî

vy ĵ

vzk̂

kvjvivv zyxˆˆˆ

2z

2y

2x vvvv

La direzione di v risulta definita dagli angoli θ e φ

θ

φ

x

y

z

v

varctan

v

varccosθ

Prodotto scalare

Dati due vettori a e b, il prodotto scalare tra a e b è una grandezza scalare definita nel modo seguente:

cosα ba ba

a

b

α

Il prodotto scalare tra a e b è un numero che è pari al prodotto del modulo di a per la componente di b lungo la direzione di a

bcosαOvviamente il prodotto scalare a · b è anche pari al prodotto del modulo di b per la componente di a lungo la direzione di b

acos

α

Prodotto scalare in componenti cartesiane

Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, si ha che:

1kk0jk0ik

0kj1jj0ij

0ki0ji1ii

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha:

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

zzyyxx babababa

Caso particolare: b = a22

z2y

2x aaaaaa

Prodotto vettorialeDati due vettori a e b, il prodotto vettoriale c = a × b è un vettore che gode delle proprietà seguenti:

• il modulo di c è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra a e b

• la direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b

• il verso di c è calcolato applicando la regola della mano destra

a

b

c

θ

La regola della mano destra

a

b

a × b

• Prima formulazione– Si dispone il pollice lungo il primo vettore– Si dispone l’indice lungo il secondo vettore– Il verso del medio individua il verso del

prodotto vettoriale• Seconda formulazione

– Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice

– Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°

– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale

a

b

a × b

Proprietà del prodotto vettoriale• Il modulo del prodotto vettoriale è

pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori

• Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0)

• Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa:

a

b

θ

baab

Prodotto vettoriale in componenti cartesiane

Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni:

0kkijkjik

ikj0jjkij

jkikji0ii

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:

)bab(ak)bab(aj)bab(aiba xyyxzxxzyzzy ˆˆˆ

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

ˆˆˆ

Posizione di un punto nello spazioUna volta fissato un sistema di riferimento nello spazio, la posizione di un qualsiasi punto P dello spazio è individuata tramite il vettore posizione, ossia il vettore r che congiunge l’origine con il punto P

xO

y

P

r

xî

yĵ

In coordinate cartesiane, se P(x,y) il vettore posizione è dato da:

jyixr ˆˆ

Posizione in coordinate polari

asse polareO

P

φ

r

ûr

ûφ

La posizione di P è sempre data dal vettore posizione r

Il vettore posizione r è ora espresso in termini dei versori ûr e ûφ

ûr = versore nella direzione radiale

ûφ = versore perpendicolare a ûr nella direzione delle φ crescenti

I versori ûr e ûφ dipendono dalla posizione del punto P !!!

rurr ˆ

Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo

la rappresentazione algebrica rappresentazione algebrica ( o( o analitica analitica)):

Un vettore è rappresentato da una

successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)

v = (x1; x2; x3; ….; xn)

Vettori delloVettori dello spazio n-dimensionale spazio n-dimensionale ((R R nn))

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

Esempi:Esempi:

u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4

v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5

w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

La sommaLa somma di due vettori nello spazio di due vettori nello spazio R R nn è un è un vettore che ha per coordinate la somma delle vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza).differenza).

Se: Se: u = (x1; x2; x3; …xn) e v = (y1; y2; y3; …yn)

Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)Es,:

u = (1; -3; 2.5; 2); v = (2; 0; 5; -2)

u + v = (3; -3; 7.5; 0)

Dato il vettore Dato il vettore vv, il suo , il suo modulomodulo vv èè la la lunghezzalunghezza, in valore , in valore

assoluto, del segmento orientato che rappresenta il assoluto, del segmento orientato che rappresenta il

vettore (fino a tre dimensioni - spazio vettore (fino a tre dimensioni - spazio R R 33))

Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:

vv = (x; y; z) = (x; y; z) vv= =

L’espressione sotto radice (xL’espressione sotto radice (x22 + y + y22 + z + z22) è anche detta) è anche detta norma norma del vettoredel vettore vv. . Come si vedrà più avanti, essa è Come si vedrà più avanti, essa è uguale al uguale al prodotto scalareprodotto scalare del vettore per se stesso, del vettore per se stesso, vv vv = = vv22

222 zyx

E, in generale, per un vettore dello spazio R n

(vettore a n coordinate), il suo modulo è dato da:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

ModuloModulo di un vettore di un vettore

Dato il vettore Dato il vettore vv sul piano (spazio sul piano (spazio R R 2 2 ), ), definito definito

analiticamente daanaliticamente da due due coordinate, coordinate, vv = (x;y), = (x;y), il suo il suo

modulomodulo vv è dato daè dato da::

vv= =

22 yx


v

x

y

Esso deriva dall’applicazione del Teorema di Pitagora nella rappresentazione geometrica, come facilmente si desume dalla figura


V

x

y

zLa precedente relazione per il modulo di un vettore dello spazio R 3

(vettore a tre coordinate):

vv = (x; y; z) = (x; y; z)

vv==

deriva dal Teorema di Pitagora generalizzato nello spazio.

222 zyx

Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione generale:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

Il modulo della Il modulo della differenza differenza tra i due vettori tra i due vettori uu e e vv (in (in R R 2 2 o o

R R 33 u - u - vv è dato daè dato da::

u - u - vv= =

dove il terzo addendo (zdove il terzo addendo (z11-z-z22))2 2 è nullo nel caso che i vettori è nullo nel caso che i vettori siano siano

di di RR2 2 (vettori del piano x, y).(vettori del piano x, y).

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

221

221

221 )()()( zzyyxx

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33); ); vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

se consideriamose consideriamo i loro estremi Pi loro estremi P11 e P e P2 2 (le cui coordinate (le cui coordinate sono quelle indicate), il sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due modulo della differenza dei due vettorivettori (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) corrisponde alla corrisponde alla distanzadistanza (numero assoluto!) tra i punti (numero assoluto!) tra i punti estremi Pestremi P11 e P e P22..

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

uu

vv

u - vu - v

P1

P2

Nell’ esempio in figura abbiamo:

P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)

La loro distanza, d(P1P2) è:

d(P1P2) =

x1

x2

y1

y2

221

221 )()( yyxx

Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (reale) c per un vettore prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :v :

u = c vIl risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha:

- stessa direzione di v (u parallelo a v)

- verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo

-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v

u= cv

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore

Es.:Es.:

u = 3 v

v

u

v

u = -2 v

u

PRODOTTIPRODOTTI


In rappresentazione analitica (vettori rappres. In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore vettore vv si ottiene moltiplicando ciascuna si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per c.coordinata per c.

Es.: Es.: sia dato: sia dato: v v = (2; -3; 1)= (2; -3; 1)

uu = 3 = 3 v v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)= 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)

ww = -2 = -2 v v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)= -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)

PRODOTTIPRODOTTI


Quindi si può dare un Quindi si può dare un criterio di criterio di parallelismoparallelismo tra due tra due vettori:vettori:

PRODOTTIPRODOTTI


Due vettori u e v (non nulli) sono Due vettori u e v (non nulli) sono paralleliparalleli (o (o proporzionaliproporzionali) ) se se e solo see solo se uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionalivettori sono proporzionali

Ovvero: Ovvero: u || vu || v

se esiste un numero c tale che se esiste un numero c tale che v v = c= cuu

Es.:Es.: uu = (2; -1; 5) e = (2; -1; 5) e v v = (-8; -4; -20) = (-8; -4; -20)

sono paralleli, poiché sono paralleli, poiché v v = -4= -4uu

Le coordinate di u e v risultano Le coordinate di u e v risultano proporzionaliproporzionali (è costante il (è costante il rapporto tra le coordinate corrispondenti:rapporto tra le coordinate corrispondenti:

2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) 2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4= -4

Esso Esso nonnon è un vettore, ma un è un vettore, ma un numeronumero (o (o scalarescalare))

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori

In rappresentazione geometrica:In rappresentazione geometrica:

u vu v = = uuvvcos cos

uu

vv

Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell’angolo tra i vettori

ovvero: modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sulla direzione del primo

Esempio 1:Esempio 1:

vv= 2; = 2; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 2 = 2 2.2 2.2 3/2 3/2 3.81 3.81

uu

vv

30°30°

= 30° = 30° cos cos = = 3/23/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 (-1/2) = -1.1(-1/2) = -1.1

uu

vv

120°120°

= 120° = 120° cos cos = - = -1/21/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 0 = 00 = 0

uu

vv90°90°

= 90° = 90° cos cos = 0 = 0

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori :coordinate dei vettori :

uu = (x = (x11; y; y11; z; z11))

vv = (x = (x22; y; y22; z; z22))

Il loro prodotto scalare è:Il loro prodotto scalare è:

u vu v = x = x1 1 xx22 + y + y1 1 yy2 2 + z+ z1 1 zz22

Es.: u = (3; -1; 4) ; v = (2; 5; -3)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-dimensionale dimensionale R R nn (n coordinate): (n coordinate):

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33; … ; y; … ; ynn ) )

Il loro Il loro prodotto scalareprodotto scalare è: è: u vu v = =

Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ; v = (2; 5; -3; 1; -2)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0 1+5 (-2)= -21

ii

n

i yx1

PRODOTTIPRODOTTI


Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:

Condizione di perpendicolarità tra due vettori :

Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se

Il loro prodotto scalare è nullo (uv=Il loro prodotto scalare è nullo (uv=00))

Es.: u = (3; -1; -1); v = (2; 5; 1)

u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) = 0 ;

i due vettori sono perpendicolari

PRODOTTIPRODOTTI


Il Il modulomodulo ( o ( o normanorma) di un vettore) di un vettore di uno spazio R n

(vettore a n coordinate):

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= =

si può esprimere come la radice quadrata del si può esprimere come la radice quadrata del prodotto prodotto scalare del vettore per se stessoscalare del vettore per se stesso ( (v v x x v = vv = v22):):

vv= = ((v v x x v)v)1/21/2 = = ((vv22))1/2. 1/2.

Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice “norma dei suoi vettori si dice “normatonormato”.”.

n

ii x1

2

0 1 2 3 -2 -3 -2 -3 1 2 3 Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali...

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