Зубович С.О., Суркаев А.Л., Сухова Т.А.,

Кумыш М.М., Рахманкулова Г.А.

КУРС ЛЕКЦИЙ

ФИЗИКА. ЧАСТЬ IV.

МАГНЕТИЗМ

Министерство образования и науки РФ

Волжский политехнический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

С.О. Зубович, А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова,

М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

КУРС ЛЕКЦИЙ

ФИЗИКА. ЧАСТЬ IV.

МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие

Волгоград

2015

УДК. 536.7

Рецензенты:

Зав. кафедрой «Общая физика» филиала ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет (МЭИ)» в г. Волжском

д.ф.-м.н, профессор, В.Г. Кульков.

Доцент кафедры «Физика» ФГБОУ ВПО Волгоградский архитектурно-строительный университет, к. ф.-м. н., доцент А. В. Сопит.

Издается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Зубович, С.О. Курс лекций. Физика. Часть IV. Магнетизм [Элек-тронный ресурс]:учебное пособие/С.О. Зубович, А.Л. Суркаев, Т.А. Сухо-ва, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова //Сборник «Учебные пособия». Вы-пуск 3.–Электрон. текстовые дан.(1 файл–1,03MB) – Волгоград: ВПИ (филиал) ВолгГТУ, 2015 г. – Систем. требования: Windows 95и выше; ПК с процессором 486+; CD–ROM.

ISBN 978-5-9948-0420-9 Учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным

стандартом для высшего специального образования. Небольшой объем учебного пособия достигнут с помощью тщательного отбора

и лаконичного изложения материала. Пособие может использоваться при проведении аудиторных лекционных занятий среди студентов технических специальностей вузов.

Пособие может быть полезно для студентов всех специальностей.

ISBN 978-5-9948-0420-9 Ил. 38, табл.16, библиограф.10 назв.

Волгоградский государственный технический университет, 2015 Волжский политехнический ин-ститут, 2015

- 3 -

Содержание

Предисловие авторов....................................................................................................... - 4 - Глава 1. МАГНЕТИЗМ.................................................................................................... - 5 -

§ 1.1. Магнитное поле. Сила Ампера.......................................................................... - 5 - § 1.2. Закон Био – Савара – Лапласа ........................................................................... - 6 - § 1.3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.................................... - 7 - § 1.4. Магнитное поле кругового тока........................................................................ - 8 - § 1.5. Магнитное поле соленоида................................................................................ - 9 - § 1.6. Сила электрического тока................................................................................ - 10 - § 1.7. Поле движущегося заряда................................................................................ - 11 - § 1.8. Дивергенция и ротор магнитного поля ........................................................... - 12 - § 1.9. Поле тороида и соленоида............................................................................... - 13 - § 1.10. Контур с током в магнитном поле................................................................. - 14 - § 1.11. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле....................................................................................................... - 16 - § 1.12. Сила Лоренца ................................................................................................. - 17 - § 1.13. Электромагнитная индукция ......................................................................... - 18 - § 1.14. Контур в магнитном поле .............................................................................. - 20 - § 1.15. Вихревые токи................................................................................................ - 20 - § 1.16. Явление самоиндукции.................................................................................. - 21 - § 1.17. Взаимная индукция ........................................................................................ - 23 - § 1.18. Энергия магнитного поля .............................................................................. - 23 - § 1.19. Магнитное поле в магнетиках ....................................................................... - 24 - § 1.20. Диамагнетизм................................................................................................. - 27 - § 1.21. Парамагнетики ............................................................................................... - 29 - § 1.22. Ферромагнетики............................................................................................. - 31 - § 1.23. Уравнения Максвелла.................................................................................... - 33 -

Глава 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ .................................... - 36 - § 2.1. Колебательный контур..................................................................................... - 36 - § 2.2. Свободные гармонические электромагнитные колебания............................. - 39 - § 2.3. Свободные затухающие электромагнитные колебания ................................. - 41 - § 2.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре ...................................... - 48 - § 2.5. Векторные диаграммы..................................................................................... - 51 - § 2.6. Переменный ток............................................................................................... - 53 - § 2.7. Трансформатор................................................................................................. - 55 - § 2.8. Способы повышения коэффициента мощности ............................................. - 56 - § 2.9. Резонанс в цепи переменного тока.................................................................. - 59 - § 2.10. Передача электромагнитного поля вдоль проводов ..................................... - 61 - § 2.11. Образование стоячей электромагнитной волны в двухпроводной линии... - 65 - § 2.12. Возникновение свободных электромагнитных волн.................................... - 71 - § 2.13. Получение волнового уравнения для электромагнитного поля................... - 74 - § 2.14. Ортогональность векторов в электромагнитной волне ................................ - 76 - § 2.15. Поперечность электромагнитных волн......................................................... - 77 - § 2.18. Связь между модулями магнитной и электрической составляющими в электромагнитной волне ........................................................................................... - 79 - § 2.19. Энергия электромагнитных волн .................................................................. - 81 -

Приложение ................................................................................................................... - 83 - § Список библиографических источников................................................................... - 88 -

- 4 -

Предисловие авторов

Курс физики в Вузе совместно с курсами высшей математики и тео-ретической механики составляет основу теоретической подготовки инже-неров и играет роль фундаментальной базы, без которой невозможна ус-пешная деятельность инженера любого профиля. Физика является обеспечивающей дисциплиной для многих общеинженерных курсов, на-пример: сопротивления материалов, электротехники, теплотехники, гид-равлики и других, а также для многих спецкурсов различных инженерных специальностей.

Кроме того, курс физики способствует формированию научного ми-ровоззрения студентов, а также призван углубить, расширить, а главное – обобщить и систематизировать знания по физике, полученные ранее в средней школе, ПТУ или техникуме.

Наибольшее обобщение и систематизация возможна на основании раскрытия в курсе физики современной научной физической картины мира (ФКМ). Что такое ФКМ? Начиная с первых шагов зарождения научных знаний, людям было свойственно стремление понять не только отдельные явления природы, но и создавать представления о мире в целом. С разви-тием физики на основе опытных данных создавались различные физиче-ские теории, каждая из которых успешно описывала свой круг явлений.

В настоящее время в физике выделяют пять фундаментальных тео-рий, каждая из которых объединяет вокруг себя ряд родственных теорий. К фундаментальным теориям относятся: механика, электродинамика, стати-стическая физика, квантовая физика, космология. Современная наука ус-тановила существование глубоких связей между фундаментальными тео-риями, показала наличие наряду со специфическими для каждой теории и общефизических идей, понятий, моделей, законов. ФКМ – система обще-физических и специфических для каждой теории идей, понятий, моделей, законов, раскрывающая представления об окружающем мире с физической точки зрения на современном уровне развития физики.

Учебный курс физики, направленный на раскрытие содержания ФКМ, включает в себя сначала изложение общефизических представле-ний, а затем основ пяти фундаментальных теорий. При этом план изучения каждой теории состоит из краткого рассмотрения экспериментальных ос-нов теории, ее фундаментальных идей, понятий, моделей, законов, а также применения теории к решению важнейших физических задач.

В пособии изложено содержание разделов общей физики «Магне-тизм» и «Электромагнитные колебания и волны».

- 5 -

Глава 1. МАГНЕТИЗМ

§ 1.1. Магнитное поле. Сила Ампера

Всякий электрический ток создает вокруг себя магнитное поле. Это по-

ле осуществляет силовое взаимодействие между двумя проводниками с то-

ком, между двумя постоянными магнитами и между проводником с током

и магнитами. Подобно электрическому полю магнитное поле является ма-

териальным объектом и передает взаимодействие с конечной скоростью.

Постоянным магнитом приписывают два полюса - северный и южный. Од-

ноименные полюса отталкиваются, а разноименные - притягиваются.

Подобно напряженности электрического поля для магнитного поля

вводится его силовая характеристика - магнитная индукция B

. Соответст-

венно, магнитное поле может изображаться силовыми линиями, которые,

однако, называются линиями индукции, имеющими направление. Линии

индукции выходят из северного полюса магнита (N) и входят в южный (S).

Но, в отличие от электрических силовых линий, линии магнитной индук-

ции не заканчиваются на полюсах, а представляют собой замкнутые линии.

Одним из первых, кто экспериментально изучал свойства магнитного

поля был французский исследователь А. Ампер. Схема опытов Ампера по-

казана на рис.1.1. Подвижный проводник MN, испытывая силовое воздей-

ствие со стороны поля, двигается по токопроводящим планкам. После об-

работки экспериментальных данных была получена формула для силы,

действующей на проводник, длиной d с током I.

BIFd , (1.1) где

d - вектор, направленный в сторону проте-

кания тока.

M

N

Рис. 1.1

- 6 -

Следует отметить, что силы магнитного взаимодействия не являются

центральными. Они всегда направлены перпендикулярно линиям магнит-

ной индукции и проводникам с токами и существенно зависят от их ориен-

тации. Направление векторов можно найти по правилу левой руки.

§ 1.2. Закон Био – Савара – Лапласа

Экспериментальным путем французские исследователи Ж. Био и Ф.

Савар, при участии Лапласа, который теоретически обработал их данные,

получили следующее выражение для индукции Bd

, созданной элементом

проводника

d в точке, удаленной на вектор r от элемента, по которому

течет ток I.

rrI

4B 3

0

, (1.2)

Где 0 - магнитная постоянная 0=410-7Гн/м; - относительная маг-

нитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз индук-

ция в данной среде больше чем в вакууме.

Кроме индукции B

магнитное поле можно характеризовать напряжен-

ностью H

.

0

B

=H . (1.3)

Используя выражение (1.2) для H

, получаем формулу:

rdr4

IHd 3

= . (1.4)

Из (1.2) и (1.4) видно, что подобно электрическому полю магнитное по-

ле убывает 2r1 .

- 7 -

Магнитная индукция B

подобна напряженности электрического поля

E

, т.к. обе они зависят от характеристик среды ( и ). С другой стороны,

напряженность магнитного поля H

подобна электрической индукции Д,

т.к. обе они не зависят от свойств среды.

Для магнитного поля также справедлив принцип суперпозиции: поле,

порождаемое несколькими токами, равно векторной сумме полей каждого

тока в отдельности.

n

1iiBB

. (1.5)

В соответствии с этим принципом для того, чтобы рассчитать индук-

цию, создаваемую током произвольной конфигурации, необходимо такой

проводник разбить на малые фрагменты, подсчитать поля, созданные каж-

дым из них, а затем векторно их сложить. В пределе бесконечно малых

фрагментов мы приходим к интегралу.

L

BdB

, (1.6)

где интегрирование идет по линии тока.

§ 1.3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Рассмотрим мысленно выделенный участок

цепи, по которой течет ток I, который является

прямолинейным отрезком (рис.1.2). Векторы

d

и r лежат в одной плоскости. Поэтому направ-

ление всех векторов Bd

в исследуемой точке А

одинаково. В этом случае от векторного урав-

нения закона Био – Савара – Лапласа (1.2) мож-

но перейти к скалярному.

2

А

d r 1

d

Рис. 1.2

- 8 -

L

20

rSind

4IB . (1.7)

Из рис.1.2 видно, что

sin

r ;

2sind

sinrdd .

Подставляя эти выражения в (1.7) и интегрируя по в пределах от 1,

до 1 и 2 – (углы между предельными положениями r и отрезком про-

водника), получаем

2

1

2100 coscosI

4dsinI

4B

. (1.8)

§ 1.4. Магнитное поле кругового тока

Найдем индукцию магнитного поля, создаваемого круговым витком с

током в произвольной точке А оси витка (рис.1.3). Пусть R - радиус витка,

- расстояние от А до центра витка О. Вектора idB , созданные элемента-

ми id , образуют коническую поверхность.

Чтобы найти результирующую индукцию, необходимо взять их состав-

ляющие вдоль оси:

dR

RI4

CosadI

4CosdBdB

23

22

02

0i

'i

. (1.9)

А

Рис. 1.3

а dB'1 β

B dB

O

R

dl1

β

L

- 9 -

Так как 22R

RCos

; 222 Ra .

После интегрирования (1.9) по d получаем

R2

0 23

22

20

23

22

0

R

IR2

dR

RI4

B

. (1.10)

Магнитным моментом контура с током называется вектор

nISpm

, (1.11)

где I – ток, текущий в контуре, S - его площадь; вектор n направлен

перпендикулярно плоскости витка и связан с направлением тока правилом

правого винта, т.е. вдоль направления B

.

В этом случае выражению (10) можно придать иную форму:

.

R

p241H;

R

p24

B23

22

m

23

22

m0

(1.12)

Если А лежит далеко от контура, то hR и, пренебрегая R2 в (1.12),

получим для B

:

3m0 p2

4B

. (1.13)

Это выражение аналогично выражению для поля электрического дипо-

ля. Поэтому контур с током называют магнитным диполем.

§ 1.5. Магнитное поле соленоида

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, состоящая из боль-

шого числа намотанных друг к другу проводника в один слой, по которому

идет ток.

Реальный соленоид имеет составляющую тока вдоль оси. Идеальный

соленоид предполагается состоящим из круговых замкнутых токов с об-

- 10 -

щей осью, у которого отсутствует осевая составляющая тока.

Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков. Индукция,

создаваемая слоем d в точке А (рис.1.4) равна:

ndR

IR24

dB23

22

20

. (1.14)

Кроме того

dSin

Rd;Rctg;Sin

RR 222 .

Подставив их в (1.14), получаем dInSin.2

dB 0 .

После интегрирования по в пределах от 1 до 2 получаем

2

1

120 CosCosnI

2dBB . (1.15)

Индукция бесконечно длинного соленоида на его оси:

.nIH;nIB 0 (1.16)

§ 1.6. Сила электрического тока

Если в выражении (1.8) взять значения углов 21 ,0 , то полу-

чим магнитную индукцию для бесконечно длинного прямолинейного про-

2

R B

1

A

l dl

r

Рис. 1.4

- 11 -

водника с током:

I24

B 0

. (1.17)

Подставляя это выражение в (1.1), получим выражение для силы, дей-

ствующей на участок длины проводника с током со стороны параллель-

ного проводника, удаленного на расстояние от него.

210 II24

F

. (1.18)

Это выражение используется в системе СИ для определения единицы

силы тока.

Силой тока 1А называется ток, текущий по параллельным проводни-

кам, удаленным друг от друга на расстоянии один метр, при котором си-

ла, действующая на каждый метр проводника, равна 210-7Н.

§ 1.7. Поле движущегося заряда

Используя закон Био – Савара – Лапласа, можно получить выражение

для поля, создаваемого движущимся одиночным зарядом:

NeSdenSdJId

,

где n – плотность зарядов, N – полное их число в объеме проводника Sd .

Тогда .Nr

re4r

rdI4

Bd 30

30

Тогда поле одного заряда

.r

re4

Bd 30

(1.19)

Здесь – скорость направленного движения заряда во внешнем поле.

Формула (1.19) остается справедливой и в случае, когда - истинная ско-

рость заряда.

- 12 -

Направление B,r

и связаны правилом правого винта.

§ 1.8. Дивергенция и ротор магнитного поля

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии

магнитной индукции замкнуты. Поэтому при любом выборе замкнутой по-

верхности полный поток B

через нее равен нулю. Таким образом

SdB

. (1.20)

Применяя теорему Гаусса - Остроградского, получаем

0Bdiv

. (1.21)

Теперь обратимся к циркуляции вектора B

. Для этого выберем произ-

вольный контур, охватывающий бесконечный прямолинейный проводник

с током в вакууме. Как видно из рис.1.5,

L L L L

2

00

01 Id2

IBrdBddBCosBddB

.

То есть

.IdB 0L

(1.22)

r dl

dφ

φ

dl1

L

I

1

2 I

b

a

Рис. 1.5. а) б)

- 13 -

Здесь под I нужно понимать суммарный ток, текущий через площадку,

ограниченную контуром (рис.1.5,а). Если внутри контура нет, то циркуля-

ция B

равна нулю (рис.1.5,б), т.к. интеграл по линии 1а2 равен интегралу

по линии 1в2. Применяя к формуле (1.22) теорему Стокса, получаем:

.JBrot 0

(1.23)

Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется соленоидальным

или вихревым.

§ 1.9. Поле тороида и соленоида

Тороидальная катушка представляет собой провод, навитый на каркас,

имеющий форму тороида. Тороидом называется поверхность тора, кото-

рый, в свою очередь, можно представить в виде тела в форме автомобиль-

ной камеры. Выберем контур в виде окружности, центр которой совпадает

с центром тороида и радиуса r (рис.1.6). В случаях rR1 и rR2 циркуляция

B

равна нулю, т.к. суммарный ток в обоих случаях равен нулю.

Пусть R1rR2, тогда контур охватывает все N витков тора, направле-

ние тока в которых одного знака.

Тогда L

00 RnI2NIr2BdB

,

r R1

R2

Рис. 1.6

B

1 2

3 4

Рис. 1.7

- 14 -

или ,rRnIB 0 (1.24)

где n - количество витков, приходящихся на единицу длины оси тороида

R1RR2;

R=R1+R2/2.

Аналогичным образом можно получить индукцию бесконечно длинно-

го соленоида, выбирая замкнутый контур согласно рис. 1.7.

Смещение участка 3-4 внутри соленоида не приводит к изменению

циркуляции B

, значит поле внутри такого соленоида однородно. Если бы

контур лежал целиком вне соленоида, то циркуляция также была бы равна

нулю. Это значит, что вне соленоида 0B

. Применяя к изображенному

контуру выражение (1.22), получаем

InBdB 0 или

.nIB 0 (1.25)

Индукция вне соленоида равна нулю. В этом можно убедиться, выби-

рая контур вне соленоида.

§ 1.10. Контур с током в магнитном поле

Рассмотрим плоский контур, помещенный в однородное магнитное по-

ле. Суммарная сила, действующая на него, в соответствии с законом Ам-

пера (1.1) определится выражением

L L

,0B,dIBdIF

(1.26)

где I - ток в контуре,

d - элемент длины контура. Т.о., суммарная сила,

действующая на контур в однородном магнитном поле, равна нулю. Это,

однако, не относится к моменту сил, действующих на контур. В случае, ко-

гда суммарная сила, действующая на тело равна нулю, суммарный вра-

- 15 -

щающий момент не зависит от положения оси, относительно которой он

создается (см. «Курс лекций. Часть I. Механика»).

Пусть угол между магнитным моментом контура и индукцией равен .

Разложим B

на две составляющие - параллельную ||m Bp и перпендику-

лярную Bpm . Силы, действующие на элементы контура со стороны со-

ставляющей ||B

, лежат в плоскости контура, а, значит, они не создают мо-

мента, т.к. ввиду произвольности выбора оси последнюю можно выбрать в

плоскости контура. А силы, проходящие через ось, момента не создают.

Рассчитаем величину момента, создаваемого составляющей B

. Выде-

лим в плоскости контура слой dy (см. рис.1.8). Силы, действующие на

элементы 1d

и 2d

равны:

dyIBdSinIBF 111 ; dyIBdSinIBF 222 .

Тогда соответствующий момент dSIBIBxdyxFxFdM 21 ,

где dS - элемент площади контура. После интегрирования по всем элемен-

там контура, получаем ISBM .

С учетом того, что BnBSinB , где n - нормаль к контуру, получим BpM m

. (1.27)

При повороте контура в магнитном поле внешняя сила совершает рабо-

ту, которая идет на увеличение потенциальной энергии контура. Для эле-

Рис. 1.8

I

y

x

M B

α2

α1

dl1

dy

x dl2

- 16 -

ментарного поворота d имеем: dBSinpMddAdW m , где - угол

между mp и B

. После интегрирования по получаем

BpW;constBCospW mm

. (1.28)

Здесь мы константу положили равной нулю.

В случае неоднородного магнитного поля на контур с током действует си-

ла, втягивающая или выталкивающая его из поля. Считаем в (1.28)

const и, продифференцировав по пространственным координатам, по-

лучим силу:

.BgradpF m

(1.29)

В зависимости от контур втягивается

22 в поле или вытал-

кивается из него

23

2, где - вектор.

§ 1.11. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле

При перемещении проводника с током длины d в магнитном поле со-

вершается работа hdFddA

, где Fd

– сила Ампера, действующая на про-

водник с током BdIFd , hd – вектор элементарного перемещения элемента. В последней формуле осуществим цилиндрическую перестанов-

ку:

IdФSdBIdhdBIhdBdIdA , (1.30) где Sd

– элемент площади, заметаемый элементом проводника

d при его

движении. dФ – изменение магнитного потока через контур при его де-

формации. Для работы получим выражение:

12 ФФIА . (1.31)

- 17 -

§ 1.12. Сила Лоренца

В магнитном поле сила действует не только на проводник с током, но и

на каждый из двух движущихся зарядов. Запишем выражение для силы

Ампера (1.1) и учтем, что NqdSqndSJId

, где n - плотность

носителей в проводнике, q - их заряд, N - полное число носителей в про-

воднике длины d . Тогда

BqFNF;BdIF

л , (1.32)

где лF

– сила, действующая в магнитном поле на один заряд. Эту силу на-

зывают Силой Лоренца. Ее направление можно также найти по правилу

левой руки.

Пусть заряд движется в магнитном поле под углом к вектору B

. Раз-

ложим на две составляющие - || и

, параллельную и перпендикуляр-

ную к B

. Т.к. ||B

, то сила Лоренца на частицу движущуюся со скоро-

стью B

не действует. Напротив, на частицу, движущуюся со скоростью

B

, сила Лоренца действует и является центростремительной. В этом

случае траектория частицы является окружностью. Приравняем силу Ло-

ренца к центростремительной силе:

Bqmr;Bq

rm

, (1.33)

где r - радиус окружности. В общем случае при наличии обеих компонент

скорости частица движения по винтовой линии радиуса (33) с шагом

Th , (1.34)

где Т - период обращения по окружности. Для его нахождения разделим

длину окружности на скорость:

- 18 -

qm

B2r2T

. (1.35)

Этому периоду соответствует частота, называемая циклической:

mqB

. (1.36)

Окончательно

Cosqm

B2h;

BSin

qmr , (1.37)

где - угол между и B

.

§ 1.13. Электромагнитная индукция

При изменении индукции внешнего поля, пронизывающего плоский

контур, в последнем возникает электрический ток. Впервые это явление

экспериментально исследовал Фарадей. Возникновение тока в контуре

связано с действием сторонних сил, т.е. ЭДС, и носит название явление

электромагнитной индукции. Фарадей установил, что величина ЭДС про-

порциональна скорости изменения потока магнитной индукции через пло-

щадь контура. Направление ЭДС считается положительным, если магнит-

ный момент индукциального тока образует острый угол с направлением

внешней индукции B

. Знак ЭДС можно

определить из правила Ленца.

При всяком изменении магнитного по-

тока сквозь поверхность, натянутую на

контур, в нем возникает индукциальный

ток такого направления, что его магнитное

поле противодействует изменению маг-

нитного потока, его вызвавшего.

B

B

I I

0dtdB

0dtdB

Рис. 1.9

- 19 -

Направление тока при изменении B

показано на рис.1.9. Играет роль не

только направление B

, но и знак ее производной по времени.

На основании вышеизложенного можно записать основной закон элек-

тромагнитной индукции в виде:

dtdФ

i . (1.38)

Покажем на примере проявление этого закона. Пусть в магнитном поле

находится такой контур, что одна из его сторон может скользить по на-

правляющим (рис.1.10).

Если участок АВ движется под действием

внешней силы со скоростью , то на электроны

проводника действует сила Лоренца

EeBeF л , что эквивалентно наличию напряженности поля сторонних сил. Найдем

ЭДС этого поля:

B

Ai BdBdBdE

. (1.39)

Интеграл по контуру свелся к интегралу по участку АВ, т.к. движется

только он. Запишем (1.39) в ином виде, осуществив циклическую переста-

новку сомножителей:

dtdФ

dtSdB

dtdtBBi

, (1.40)

где Sd

- элемент площади, направленный вдоль нормали по контуру. Из-

менение Ф в (1.40) осуществляется за счет изменения геометрии контура.

Другой путь - изменение B

без изменения площади. Во всех случаях спра-

ведливо выражение (1.38). Если контур содержит N витков, то (1.38) удоб-

нее записать в виде:

dt

di

, (1.41)

Е

А

В

B

+

Рис.1.10

- 20 -

где N - потокосцепление.

§ 1.14. Контур в магнитном поле

Поместим в магнитное поле с индукцией В контур. Приведем его во

вращение вокруг оси, лежащей в плоскости контура перпендикулярно ли-

ниям индукции. Пусть - угол между n и B

, при вращении с постоянной

угловой скоростью t . Тогда

tCosSB Ф , где S - площадь, ограничен-

ная контуром. Подставляя это выражение в

(1.38), получим

tSinBSdtdФ

i . (1.42)

Т.е. ЭДС индукции меняется по закону си-

нуса от времени. Максимальное значение

ЭДС: BSmax .

§ 1.15. Вихревые токи

Индукционные токи могут возникать не только в контурах, но и в мас-

сивных проводниках, находящихся во внешнем переменном магнитном

поле. Они носят вихревой характер. Сопротивление таких проводников R

может быть очень малым, поэтому величина этих токов может достигать

больших значений, что приводит к разогреву проводника. Вихревые токи

называют токами Фуко. Если внешне поле меняется по гармоническому

закону, то величина тока пропорциональна частоте , т.к.

dtdФ

R1

RI ii

.

n B

Рис. 1.11

- 21 -

Тепло, выделяющееся в проводнике, пропорционально 2iI , а значит и

квадрату частоты. Поэтому, например, для плавления металлов в индукци-

онных печах, принцип действия которых основан на использовании токов

Фуко, применяется высокая частота изменения В. Во всех известных печах

СВЧ частота составляет сотни мегагерц. При этом пища, имеющая в своем

составе влагу и проводящая ток, разогревается до температур ее кулинар-

ной обработки.

Вредное действие токов Фуко связано с ненужным расходованием

энергии на нагрев. Например, сердечники трансформаторов выполняют

наборными из тонких пластин, покрытых лаком или оксидом, чтобы повы-

сить сопротивление токам Фуко. Для высокочастотных полей используют-

ся специальные магнитные материалы ферриты, имеющие высокое удель-

ное сопротивление, которые изготавливаются путем химических

соединений окиси железа (Fe2O3) с окислами других металлов.

Одно из полезных применений токов Фуко измерительные приборы.

К стрелке прибора прикрепляется пластина из металла, помещенная в маг-

нитное поле. Т.к. токи Фуко препятствуют внешнему магнитному полю, то

это приводит к торможению стрелки, т.е. быстрому ее успокоению при из-

мерениях.

§ 1.16. Явление самоиндукции

Если по контуру течет ток, то он создает поток магнитной индукции

через площадь, ограниченную контуром. Этот поток пропорционален маг-

нитной индукции, а последняя, в силу закона Био – Савара Лапласа; про-

порциональна току в контуре. Таким образом

LILIФ = или . (1.43)

- 22 -

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью.

Единицей измерения индуктивности в системе СИ является Генри (1Гн) -

это индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции кото-

рого равен 1Вб при силе тока 1А.

Найдем индуктивность очень длинного соленоида. Индукция в нем, со-

гласно (1.16), равна nIB 0 . Магнитный поток через один виток Ф=BS,

а потокосцепление через nN витков SIn 20 , тогда из (1.43) на-

ходим индуктивность

VnSnL 202

0 . (1.44)

Эта формула справедлива, очевидно, для очень длинного соленоида. В

ней: n - число витков на единицу длины, - длина соленоида, V - его объ-

ем.

Явление самоиндукции - возникновение электродвижущей силы индук-

ции в результате изменения тока в контуре. Подобно выражению (1.38)

величина ЭДС самоиндукции равна:

dtLId

dtd

s

. (1.45)

Взяв производную, получим

dtdIL

dtdLIs . (1.46)

Если геометрические размеры контура не меняются, то 0dtdL

, и в

(1.46) остается только второе слагаемое

dtdILs . (1.47)

- 23 -

§ 1.17. Взаимная индукция

Пусть в пространстве на некотором расстоянии друг от друга находятся

два контура. Если по первому из них течет ток I1, то магнитный поток его

через второй контур пропорционален этому потоку, а при его изменении

во втором контуре индуцируется ЭДС:

1

1212i1212 dt

dIL;IL . (1.48)

Аналогичная ситуация возникает, когда ток течет во втором контуре:

2121 IL ; dtdIL 2121i . (1.49)

Контуры 1 и 2 называются связанными, а возникновение ЭДС в одном

из них, когда ток меняется, вызывает в другом взаимную ЭДС. Коэффици-

енты L12 и L21 называются коэффициентами взаимной индукции. Измеря-

ются как и индуктивность в генри. В отсутствие ферромагнетиков L12=L21.

Коэффициент взаимной индукции двух катушек намотанных на одном

торе

21012 NNSL

, (1.50)

где - длина средней линии тора, S - площадь его поперечного сечения, N1

и N2 - количества витков катушек.

§ 1.18. Энергия магнитного поля

Пусть в замкнутом контуре, содержащем индуктивность, течет ток,

поддерживаемый некоторым источником. Пусть в некоторый момент ис-

точник прекращает работу, не разрывая, однако, цепи. Ток в цепи прекра-

щается не сразу, а при наличии ЭДС самоиндукции убывает с течением

- 24 -

времени. При этом в проводниках контура выделяется тепло, т.е., соверша-

ется работа. Поскольку иных источников нет, то эта работа совершается за

счет убыли энергии магнитного поля, сосредоточенного в индуктивности:

LIdIIdtdtdILIdtdAdW s . (1.51)

После интегрирования (1.51) по току от начального значения I до ко-

нечного 0, получим полную энергию, первоначально занесенную в маг-

нитное поле.

0

1

2

2LILIdIW . (1.52)

Подставим в (1.52) индуктивность очень длинного соленоида (1.44).

Тогда 2

VInW22

0 , но, согласно (1.16), HnI , а BH0 , следова-

тельно,

2VHW

20 . (1.53)

Если ввести объемную плотность энергии VW

, то она определяется

выражением:

0

220

2B

2BH

2H

. (1.54)

По форме эта плотность энергии сходна с подобной для электрического

поля, если заменить B на E и H на Д.

§ 1.19. Магнитное поле в магнетиках

Магнетиком называется вещество, рассматриваемое с точки зрения

его магнитных свойств. Магнитное поле в магнетике, отличается от тако-

- 25 -

вого в вакууме. Если 0B

- индукция поля, созданного внешними токами,

которые еще называют макротоками или токами проводимости; а 'B

- ин-

дукция, создаваемая магнетиком, т.е. его внутримолекулярными токами, то

полная индукция в магнетике:

'0 BBB

. (1.55)

Естественно, что под B

поднимается усредненное, макроскопическое

поле. Индукция 'B

создается движением электронов в молекулах магнети-

ка. За счет этих токов проводимость осуществляться не может, т.к. эти

электроны связаны с ядрами и не покидают пределов молекул. В отсутст-

вие внешнего поля большинство магнетиков не создают поле 'B

. Оно воз-

никает лишь при включении внешнего поля. Механизмы его образования

будут рассмотрены позже.

Состояние магнетика характеризуется его намагниченностью - суммар-

ным магнитным моментом всех молекул в единице объема:

i mip

V1J

. (1.56)

Запишем выражение для ротора индукции '0 BrotBrotBrot

. По-

скольку jBrot 00

(см.(1.23)), то и 'Brot

должен определяться плотно-

стью некоторых токов. Эти токи и явля-

ются молекулярными, т.е. m' jBrot

.

Выберем внутри магнетика произ-

вольный контур L. Найдем полный моле-

кулярный ток, охватываемый этим кон-

туром. Для этого рассмотрим элемент контура d , ось которого составляет

с J

угол . Отличный от нуля ток будут создавать молекулярные токи,

нанизанные на контур L. Все другие либо вообще не связаны с поверхно-

d J

Рис. 1.12

- 26 -

стью, натянутой на контур, либо пересекают ее дважды, что в результате

дает нуль.

Из рис.1.12 видно, что вклад от d в суммарный ток равен:

CosSnIdI mm , (1.57)

где n - количество молекул в единице объема, mI - отдельный молекуляр-

ный ток, mS - его площадь. Учитывая, что

mmm pSI , а Jpn m

,

получим из (1.57): полный ток, охватываемый контуром, равен:

s L

m' dJSdjI

,

где S - поверхность, натянутая на контур.

Используя теорему Стокса, получим:

mss

m jJrot;rotdSJSdj

. (1.58)

Тогда JrotjBrot 00

или jJBrot0

. (1.59)

Сравнивая это выражение с (1.3), приходим к результату

HJB

0

. (1.60)

Вектор намагниченности J

линейно связан с H

при не слишком силь-

ной намагниченности магнетика:

HJ

. (1.61)

Множитель называется магнитной восприимчивостью. В изотропных

магнетиках это скаляр, а в анизатропных - тензор II ранга. Подставляя

(1.61) в (1.60) и выражая B

, получим

HH1B 00

, (1.62)

где 1 - относительная магнитная проницаемость среды.

- 27 -

§ 1.20. Диамагнетизм

В зависимости от структуры и свойств атомов или молекул магнетиков,

а также величины магнитной проницаемости, все они делятся на три ос-

новных типа: диамагнетики, паромагнетики и ферромагнетики.

Диамагнетики представляют собой вещества, атомы которых в от-

сутствие поля не обладают собственным магнитным моментом. Это оз-

начает, что суммарный магнитный момент каждого электрона, движуще-

гося вокруг ядра, равен нулю.

Рассмотрим движение одного такого

электрона (см. рис. 2.13). Будем считать, что

он движется по круговой орбите в плоско-

сти, перпендикулярной вектору магнитной

индукции B

внешнего поля. Уравнения

второго закона Ньютона для случаев, когда

внешнее поле включено и выключено, име-

ют вид: эл21 Frm , (1.63)

reBFrm эл22 . (1.64)

В (1.64) второе слагаемое справа – сила Лоренца, действующая на элек-

трон в магнитном поле. Вычитая из (1.64) выражение (1.63) в предположе-

нии, что 221 для не слишком больших значений В, получаем

m2Be

. (1.65)

Этот результат является частным случаем теоремы Лармора, которая

гласит, что электроны, движущиеся по своим орбитам и имеющие орби-

тальный магнитный момент mp во внешнем магнитном поле, совершают

процессию (вращение вектора mp вокруг направления B

) с угловой час-

тотой, определяемой (1.65).

FК

B

J

FЛ v

Рис. 1.13

- 28 -

Изменение частоты вращения эквивалентно появлению дополнительно-

го микротока I по орбите, а вместе с ним магнитного момента:

m4Be

2eI

2

, (1.66)

ISpm , (1.67)

где S - проекция площади орбиты электрона на плоскость, перпендику-

лярную B

. В случае, более общем, чем изображено на рис. 2.13. умножим

(1.67) на количество электронов в атоме и на концентрацию атомов n,

получаем значение для намагниченности в векторном виде:

Bm4

nZSeJ2

. (1.68)

Обозначив в (1.68) коэффициент при B

через , с учетом формулы

(1.61) получим:

0

00 1

, (1.69)

поскольку считаем 10 .Оценка из (1.68) дает величину 10-5-10-6.

Окончательно выражение для магнитной восприимчивости имеет вид:

m4nZSe2

. (1.70)

Таким образом, в диамагнетиках намагниченность направлена в проти-

воположную сторону по отношению к B

, что говорит о том, что 0 для

них, а 1 . Это объясняется, как отмечено выше, тем, что частота орби-

тального движения электрона, обладающего орбитальным магнитным мо-

ментом, параллельным нулю, уменьшается, а частота орбитального движе-

ния электрона с орбитальным магнитным моментом, антипараллельным

полю, возрастает.

- 29 -

Таблица 1.1. Магнитная восприимчивость диамагнетиков.

ВЕЩЕСТВО

Азот (при Н.У.) -5,010-9

Кремний -4,210-6

Медь -9,510-6

Галлий -2,310-5

Ртуть -2,910-5

Висмут -1,610-4

В таблице 1.1 приведены значения магнитной восприимчивости неко-

торых веществ, являющихся диамагнетиками. Отрицательное значение

приводит к тому, что диамагнетик выталкивается из неоднородного маг-

нитного поля в области с меньшим значением индукции.

§ 1.21. Парамагнетики

В отличие от диамагнетиков парамагнетики состоят из атомов или мо-

лекул, обладающих в отсутствие внешнего поля собственными магнитны-

ми моментами. При нулевой индукции внешнего поля такие элементарные

моменты ориентированы в пространстве хаотически вследствие наличия

теплового движения; поэтому результирующее значение намагниченности

в этих условиях равно нулю.

При включении внешнего магнитного поля происходит конкуренция

между двумя факторами: дезориентирующим действием теплового движе-

ния и ориентирующим действием внешнего поля, старающимся повернуть

элементарные моменты вдоль поля. Кроме описанного процесса, в молеку-

лах парамагнетика, как и любого вообще магнетика, имеется диамагнит-

- 30 -

ный эффект, при котором возникает наведен-

ный момент, направленный против поля. Од-

нако, последний является весьма слабым и его

можно не учитывать.

Классическая теория парамагнетизма была

создана П. Ланжевеном. Им была получена

функция, описывающая намагниченность в за-

висимости от индукции B

kTBpLpnJ mm , (1.71)

где x1cthxL - функция Ланжевена. График зависимости J от B приве-

ден на рис.1.14. Рассматривая поведение функции Ланжевена при больших

и малых значениях аргумента, можно получить соответствующие выраже-

ния для J.

1) 1kT

BPm , т.е. 1x .

Тогда 3x

x1

6x1

2x1

x1

x1

6xx

2x1

1shch

x1cth

22

3

2

x

xx

.

Отсюда BkT3

nPJ2m , так как 1

kT3nP2m , то выражение (1.70) дает

kT3nP2m . (1.72)

2) 1kT

BPm , т.е. 1x .

Тогда 1x1cth x .

В 0

J

npm

Рис. 1.14

- 31 -

Отсюда mnPJ , т.е. намагниченность не зависит от В, а значит, достигает

насыщения. Физически это означает поворот всех элементарных моментов

вдоль поля. Следует отметить что при реальных значениях индукции В

этот предельный случай не достигается.

В таблице 1.2 приведены значения магнитной восприимчивости для не-

которых парамагнетиков.

Выражение (1.72) известно как закон Кюри, а величина k3

nPC2m называет-

ся постоянной Кюри для парамагнетика, т.е. TC

.

Таблица 1.2. Магнитная восприимчивость некоторых парамагнетиков. ВЕЩЕСТВО

Платина +2,910-4

Хром +2,710-4

Ниобий +2,610-4

Алюминий +2,210-5

Литий +2,110-5

Кальций +1,910-5

Натрий +9,110-6

§ 1.22. Ферромагнетики

Ферромагнитные материалы по отношению к магнитным свойствам во

многом схожи с сегнетоэлектриками по отношению к диэлектрическим

свойствам. Внутренняя структура представлена магнитными доменами,

границы между которыми называются стенками Блоха. Магнитные момен-

ты атомов в пределах домена строго параллельны ввиду действия специ-

фических квантовых эффектов, поэтому каждый домен намагничен до на-

- 32 -

сыщения SJ (спонтанная намагниченность) с индукцией насыщения SВ .

Свойства ферромагнитных элементов приведены в таблице 1.3.

Для ферромагнетиков также характерно явление магнитного гистерези-

са (см. § 1.10). Материалы, имеющие узкую петлю, называются магнито-

мягкими, т.к. легко перемагничиваются; они используются в качестве сер-

дечников трансформаторов. Материалы же с большой площадью петли

называются магнитожесткими и используются для изготовления постоян-

ных магнитов, т.к. они обладают значительной остаточной намагниченно-

стью. Вид петли аналогичен представленному на рис.1.18 с заменой осей

координат Е на Н и р на J.

Таблица 1.3. Свойства ферромагнетиков

Материал Температура Кюри Te, K 0Тпри,

мA,JS 0Тпри,Т,В ЛS

Железо (Fe) 1043 1,74ּ106 2,18

Кобальт (Со) 1395 1,45ּ106 1,82

Никель (Ni) 631 5,11ּ106 0,643

Гадолиний (Gd) 289 2,11ּ106 2,65

Диспрозий (Dy) 85 2,92ּ106 3,67

Кроме ферромагнитных, в истинном смысле материалов, имеются дру-

гие материалы с упорядоченным строением магнитных моментов в доме-

нах. Это антиферромагнетики, в которых магнитные моменты соседних

атомов одинаковы и противонаправленны; а также ферримагнетики, где

соседние моменты противонаправленны, но различаются по величине. За-

висимость намагниченности SJ в домене и восприимчивости для ферро-

магнетиков, антиферромагнетиков и ферримагнетиков от температуры

приведены соответственно на рисунке 1.15 (а, б, в). Там же схематично

изображены атомные моменты в домене.

- 33 -

§ 1.23. Уравнения Максвелла

Дж. Максвелл на основе обобщения и математической обработки из-

вестных законов и соотношений электродинамики получил систему урав-

нений, которая позволяет полностью описать электромагнитное поле и все

основные его свойства.

Первое уравнение выражает возможность возникновения вихревого

электрического поля при изменении вектора магнитной индукции. При на-

личии проводящего контура это поле создает в нем индукционный ток. Та-

ким образом, в качестве первого уравнения взят закон Фарадея, записан-

ный для напряженности электрического поля. С учетом того, что

L

dlEi

:

L S

SddtBdSdB

dtdldE

.

В этом равенстве знак производной по времени внесен под знак инте-

грала по поверхности.

Максвелл предположил, что поскольку переменное магнитное поле

создает электрическое поле, то должно существовать и обратное явление –

T T T

SJ SJ

1

1 1

a б в

Рис. 1.15

- 34 -

переменное электрическое поле должно создавать магнитное. В этом слу-

чае закон полного тока IldBL

0

можно записать в виде:

L S

dStDjldH

,

где j – плотность тока проводимости, а tD

имеет размерность плотности

тока и называется плотностью тока смещения. Это название обусловлено

вторым названием вектора D

– электрическое смещение. Полным током

называется величина dtDdj

. В любой цепи, даже с разрывом в виде емко-

сти, полный ток не разрывается и не прекращается, а лишь переходит в

различные формы, соответствующие первому, либо второму слагаемому в

этом равенстве. Уравнение является вторым в системе Максвелла.

Следующие два уравнения являются аналитической формой теоремы

Гаусса:

S V

dVSdD

и условие соленоидальности магнитного поля:

S

dSB 0

.

Уравнения составляют систему Максвелла в интегральной форме. При

помощи математических теорем Гаусса-Остроградского и Стокса их мож-

но представить в дифференциальной форме:

tBErot

,

Ddiv

tDjHrot

0Bdiv

- 35 -

Эти уравнения являются дифференциальными в частных производных.

Они определяют 12 неизвестных функций – компонент векторов

D,B,E,H

. Два уравнения являются векторными, поэтому они эквивалент-

ны шести скалярным уравнениям. Два уравнения скалярные. Получается

всего 8 уравнений. Для замыкания системы используются так называемые

материальные уравнения:

ED

0 ,

HB

0 ,

Ej

.

Их название связано с тем, что они включают константы ,, , харак-

теризующие конкретные среды (материю в форме вещества).

Решения системы приведенных уравнений определяют все свойства

полей. При необходимости они дополняются (в неоднородных средах с по-

верхностями раздела) условиями сопряжения электрических и магнитных

полей, рассмотренными нами ранее.

Для выделения частного решения системы необходимо задать началь-

ные и граничные условия. Первые означают, задание векторов в опреде-

ленный момент времени t = t0, а вторые – задание их значений на границе

рассматриваемой области пространства.

- 36 -

Глава 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§ 2.1. Колебательный контур

Систему, способную совершать свободные колебания называют осцил-

лятором. В случае электромагнитных колебаний, примером такого осцил-

лятора является колебательный контур.

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая

из последовательно включенных конденсатора, емкостью С, катушки ин-

дуктивности L и активного сопротивления R (сопротивления проводников

цепи), причем R – не обязательный элемент контура. На рис.2.1,а изобра-

жены последовательные стадии колебательного процесса в идеализиро-

ванном контуре с активным сопротивлением R, равным нулю.

Чтобы рассмотреть принципа работы колебательного контура, разде-

лим условно один период колебания на 5 стадий (рис.233.1,а), причем ста-

дия 5 идентична стадии 1.

Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный

от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на об-

кладках возникнут разноименные заряды величины qmax (стадия 1). Между

обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна

22

22maxmax

CCU

CqW .

Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индук-

тивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток I, направле-

ние которого обусловлено знаками зарядов на обкладках конденсатора.

Катушка индуктивности обладает свойством при наличии тока, текущего в

ее витках создавать магнитное поле внутри себя. Так как конденсатор тра-

тит энергию на создание электрического тока I в цепи, то энергия электри-

ческого поля WC будет уменьшаться, но зато в индуктивности возникнет

- 37 -

все возрастающее магнитное поле, энергия которого равна

22

22 ILqLWL

, т.е. фактически происходит преобразование энергии

электрического поля WC в энергию магнитного WL.

Так как активное сопротивление цепи равно нулю (R = 0), полная энер-

гия, слагающаяся из энергии электрического поля WC и энергии магнитно-

го поля WL, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной

неограниченное время (такой контур называется идеальным). Поэтому в

момент времени t = T/4, когда напряжение U на конденсаторе, а, следова-

тельно, и энергия электрического поля WC обращаются в нуль, энергия

магнитного поля WL, а значит, и ток I достигают наибольшего значения:

22

22maxmax

LILqLW

(стадия 2; начиная с этого момента ток I течет за счет

ЭДС самоиндукции dtdILS ).

После достижения силой тока своего максимального значения Imax, он

начинает самопроизвольно уменьшаться, стремясь обратно перезарядить

–

+ –

+ WC =

0

+

–

CqWC 2

2max

C +

–

Рис.2.1

2

2maxqLWL

L

R WL =

0

L

R

C

Imax

L

R

C L

R

C

Imax 1) t = 0 2) t = T/4 3) t = T/2 4) t = 3T/4 Стадии:

а)

б)

5) t = T

CqWC 2

2max

WC =

0

WL =

0

2

2maxqLWL

C

qWC 2

2max

C +

– L

R WL =

0

2

2maxxkWпр 2

2maxxkWпр 2

2maxxkWпр

x max

x max

2

2maxxmWпр

2

2maxxmWпр

- 38 -

конденсатор. Но вследствие наличия индуктивности L в цепи, в витках со-

леноида возникает экстраток самоиндукции Iинд, направленный по правилу

Ленца противоположно причине его вызвавшей, т.е. противоположно току

I, текущему в цепи. В результате ток I в цепи изменяет свое направление и

к моменту времени t = T/2 когда заряды на обкладках достигнут первона-

чальной величины qmax (конденсатор перезарядится, но знаки зарядов на

обкладках поменяются по сравнению с 1-ой стадией) сила тока I становит-

ся равной нулю (стадия 3), т.е. фактически происходит преобразование

энергии магнитного поля WL в энергию элект