ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ - volpi.ru...А. Матвеева , В. Б. Светличная , Н....
42
Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 2004
Transcript of ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ - volpi.ru...А. Матвеева , В. Б. Светличная , Н....
Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Волгоград 2004
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н.Короткова
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Учебное пособие
РПК “Политехник” Волгоград
2004
УДК 53
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук Лосева Н.В.
канд. физ.-мат. наук Меркулова Н.И.
Т.А. Матвеева, Светличная В.Б., Н.Н. Короткова. Числовые ряды. Учеб. пособие / ВолгГТУ. – Волгоград, 2004. – 45 с.
ISBN 5 – 230 –
Рассматриваются вопросы, касающиеся решения задач по числовым рядам. Приводятся основные теоретические положения и методические указания
для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами
заданий для самостоятельного решения. Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших
технических заведений. Табл. 1 Библиогр.: 5 названий Печатается по решению редакционно – издательского совета Волгоградского
государственного технического университета ISBN 5 – 230 –
Волгоградский государственный технический университет, 2004
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие посвящено числовым рядам. Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразное практическое применение.
Правила действий над рядами не всегда совпадают с правилами действий над конечными суммами. В частности, в конечных суммах можно произвольно менять порядок слагаемых, как угодно группировать члены, сумма от этого не изменится. Слагаемые конечной суммы можно складывать в обратном порядке, для ряда такой возможности нет, ибо у него не существует последнего члена.
Основные разделы пособия: 1. Основные понятия числового ряда.
2. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
3. Сходимость знакопеременных рядов.
4. Сходимость рядов с комплексными членами.
Пособие включает в себя задачи по теории рядов с подробными решениями. В каждом разделе даны основные теоретические положения и краткие
пояснения решения типовых задач. Вопросы для самопроверки даны с целью помочь студенту в повторении,
закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи. В конце
пособия предложены контрольные задания для самостоятельного решения. При решении задач студент должен дать пояснения со ссылками на используемые теоремы, свойства, признаки и т.д.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛОВОГО РЯДА
Если { }+∞=1nna – числовая последовательность, то сумма
......211
++++=∑∞
=n
nn aaaa (1.1)
называется числовым рядом. Числа ...,, 21 aa называются членами ряда, а число
na – общим членом ряда. Сумма первых n членов ряда
∑=
=+++=n
kknn aaaaS
121 ... (1.2)
называется его частичной суммой.
Если последовательность { }+∞=1nnS частичных сумм ряда (1.1) имеет конечный
предел S, SSnn
=+∞→
lim , то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S – его
суммой; в противном случае, т.е. когда этот предел не существует или равен бесконечности, ряд (1.1) называется расходящимся.
Ряд ...321 +++ +++ nnn aaa , полученный из ряда (1.1) отбрасыванием n первых его членов, называется остатком ряда (1.1).
Свойства рядов
Свойство 1. Если ряд (1.1) сходится и его сумма равна 1S , то ряд
......211
++++=∑∞
=n
nn akakakak , где k – произвольное число, также сходится и
его сумма равна 1Sk . Если же ряд (1.1) расходится и 0≠k , то ряд ∑∞
=1nnak
расходится.
Свойство 2. Если ряды ∑∞
=1nna и ∑
∞
=1nnb сходятся и их суммы равны 1S и 2S
соответственно, то сходятся и ряды ∑∞
=±
1
)(n
nn ba , причем сумма каждого равна
соответственно 21 SS ± .
Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося
рядов есть расходящийся ряд.
Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как
сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.1) прибавить (или отбросить) конечное число
членов, то полученный ряд и ряд (1.1) сходятся или расходятся одновременно.
Необходимый признак сходимости числового ряда (1.1) (но недостаточный) состоит в следующем:
если числовой ряд (1.1) сходится, то 0lim =+∞→ n
na . (1.3)
Из этого признака следует достаточный признак расходимости ряда (1.1):
если 0lim ≠+∞→ n
na , то ряд ∑
∞
=1nna – расходится.
Основная задача теории числовых рядов – установление сходимости или расходимости – иногда может быть решена непосредственным нахождением суммы ряда, т.е. вычислением предела частичных сумм: n
nS
+∞→lim .
Пример 1.1. Используя определение (вычислением nn
S+∞→
lim ), исследовать на
сходимость ряд ∑∞
= −+12 5129
1
k kk.
Решение. Для преобразования частичных сумм используем разложение дроби на простейшие:
53135129
12 +
+−
=−+ k
B
k
A
kk.
Методом неопределенных коэффициентов нашли значения: 61=A и
61−=B .
Следовательно, общий член ряда запишется в виде:
+−
−=
−+ 53
1
13
1
6
1
5129
12 kkkk
.
Тогда частичную сумму можно представить следующим образом:
∑∑==
=
+−
−=
−+=
n
k
n
kn kkkk
S11
2 53
1
13
1
6
1
5129
1
+
−+
−+
−+
−= ...17
1
11
1
14
1
8
1
11
1
5
1
8
1
2
1
6
1
=
+−
−+
+−
−+
53
1
13
1
23
1
43
1...
nnnn
+−
+−=
+−
+−+=
53
1
23
1
10
7
6
1
53
1
23
1
5
1
2
1
6
1
nnnn.
Таким образом, получаем
60
7
10
7
6
1
53
1
23
1
10
7lim
6
1lim =⋅=
+−
+−=
+∞→+∞→ nnS
nn
n.
Так как сумма ряда существует и равна конечному значению, то искомый ряд сходится. ■
Пример 1.2. Используя определение (вычислением nn
S+∞→
lim ), исследовать на
сходимость ряд ( )( )∑∞
= ++−
1 13
3
k kkk
k.
Решение. Для преобразования частичных сумм используем разложение дроби на простейшие:
( )( )13
3
++−
kkk
k
31 ++
++=
k
C
k
B
k
A.
Методом неопределенных коэффициентов нашли значения: 1=A , 2−=B и 1=С . Следовательно, общий член ряда запишется в виде:
( )( )13
3
++−
kkk
k
3
1
1
21
++
+−=
kkk.
Тогда частичную сумму можно представить следующим образом:
=nS ( )( ) =++
−∑
=
n
k kkk
k
1 13
3 =+
++
−∑= 3
1
1
21
1 kkk
n
k
++
+−+
+−+
+−+
+−+
+−= ...8
1
6
2
5
1
7
1
5
2
4
1
6
1
4
2
3
1
5
1
3
2
2
1
4
1
2
2
1
1
=
++
+−+
++−
−+
++
−−
−+
3
1
1
21
2
12
1
1
1
1
1
2
2
1
nnnnnnnnn
3
1
1
2
2
1
1
1
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
++
+−
++
+++−+−=
nnnn.
Таким образом, получаем
6
1
3
1
1
2
2
1
1
1
3
1
2
1limlim =
++
+−
++
++−=
+∞→+∞→ nnnnS
nn
n.
Так как сумма ряда существует и равна конечному значению, то искомый ряд сходится. ■
При исследовании сходимости рядов непосредственно нахождение предела частичных сумм часто связано с большими трудностями. Поэтому используют тот или иной признак сходимости, дающий достаточные условия сходимости или расходимости ряда, которые изложены в следующем разделе.
2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
Теоремы, перечисленные в этом разделе, относятся к знакоположительным числовым рядам (1.1), все члены которых неотрицательны.
Признак Даламбера:
если qa
a
n
n
n=+
+∞→1lim , то ряд (1.1) с неотрицательными членами сходится при
1<q и расходится при 1>q ; при 1=q вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Признак Коши: если qan
nn
=+∞→
lim , то ряд (1.1) с неотрицательными членами сходится при
1<q и расходится при 1>q ; при 1=q вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Первый признак сравнения:
если для двух знакоположительных рядов ∑∞
=1nna и ∑
∞
=1nnb , начиная с некоторого
номера n, выполняется неравенство для общих членов: nn ba ≤ , то ряд с меньшими членами сходится, если сходится ряд с большими членами; если ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.
Второй признак сравнения:
если для двух рядов ∑∞
=1nna и ∑
∞
=1nnb с неотрицательными членами существует
конечный предел qb
a
n
n
n=
+∞→lim , то при 0≠q оба ряда ведут себя одинаково в
смысле сходимости, т.е. либо оба ряда сходятся, либо оба - расходятся. Интегральный признак Коши: если члены ряда (1.1) удовлетворяют условиям nn aa ≤+1 и 0lim =
+∞→ nn
a , а
непрерывная убывающая неотрицательная функция вещественной переменной ( )xf такова, что при ...,,...,2,1 nx = ее значения равны соответствующим
членам ряда (1.1) и 0)(lim =+∞→
xfn
, то ряд (1.1) и несобственный интеграл
∫+∞
1
)( dxxf либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Когда приходится исследовать на сходимость конкретный ряд, то естественно встает вопрос о том, каким из перечисленных признаков (а они не исчерпывают все известные признаки) воспользоваться. Полезно, прежде всего, проверить выполнение необходимого условия сходимости (1.3): 0lim =
+∞→ nn
a . Если оно
нарушено, то ряд расходится. Если же оно выполнено, то для исследования сходимости следует обратиться к наиболее простым признакам – Даламбера или Коши (выбор одного из них легко определяется видом общего члена na ).
Отметим, что когда признаки Даламбера и Коши «не действуют» (т.е. если 1=q ), часто оказывается полезным обратиться к признакам сравнения. Этими
признаками удобно пользоваться, когда исследуемый ряд сравнивается с другим рядом, поведение которого с точки зрения сходимости известно, либо который легче поддается исследованию. Такими рядами достаточно простого вида являются обобщенный гармонический и геометрический ряды. Исследуем их на сходимость (см. далее примеры 2.1 и 2.2).
Пример 2.1. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
(иногда его называют рядом Дирихле) pnn
p,
1
1∑∞
= – любое вещественное число.
Решение. Если 0<p , то общий член na ряда при +∞→n стремится к
бесконечности; если 0=p , то при любом 1: =nan , и, следовательно, по достаточному признаку расходимости исходный ряд расходится. Если 0>p , то данный ряд удобно исследовать на сходимость с помощью интегрального
признака Коши. Действительно, общий член ряда pn
na
1= стремится к нулю при
+∞→n , причем это стремление монотонно относительно n. В качестве функции
( )xf выберем функцию px
xf1
)( = , которая удовлетворяет всем условиям,
наложенным на нее в формулировке интегрального признака (она определена при 1≥x , непрерывна, неотрицательна, монотонно убывает и стремится к нулю при
+∞→x ). Остается выяснить, сходится ли несобственный интеграл ∫+∞
1px
dx, при
0>p . Так как первообразная неопределенного интеграла имеет вид:
( )
=
≠−
−= −∫
,1при,ln
,1при,1
11
px
pxp
x
dx p
p
то определенный интеграл
( )
≤∞+
>−
−=∫∞+
.1при,
,1при,1
1
0 p
pp
x
dxp
Итак, обобщенный гармонический ряд
∑∞
=1
1
npn
.1при,расходится
,1присходится,
≤>
p
p (2.1)
При 1=p ряд ...1
...3
1
2
11
1
1
+++++=∑∞
= nnn
называется гармоническим, и как
установили, он является расходящимся. ■
Пример 2.2. Исследуем на сходимость геометрический ряд ∑∞
=0n
nq (иногда его
называют рядом геометрической прогрессии). Решение. Как известно, сумма первых n членов геометрической прогрессии
(это и есть частичная сумма ряда) nn qqqqS +++++= ...1 32 находится по
формуле 1,11 ≠
−−= q
q
qS
n
n . Найдем предел этих частичных сумм:
q
q
qS
n
n
n
nn
n −−
−=
−−=
+∞→+∞→+∞→ 1lim
1
1
1
1limlim . Рассмотрим следующие случаи в
зависимости от величины q :
1) если 1<q , то 0→nq при +∞→n . Поэтому q
Snn −
=+∞→ 1
1lim , т.е. ряд
сходится;
2) если 1>q , то +∞→nq при +∞→n . Поэтому +∞=+∞→ n
nSlim , т.е. ряд
расходится;
3) если 1=q , то:
при 1=q ряд принимает вид ...1...111 +++++ , для него частичная сумма:
nSn = и +∞=+∞→ n
nSlim , т.е. ряд расходится;
при 1−=q ряд принимает вид ...1111 +−+− , в этом случае частичная
сумма: =
.нечетномпри,1
,четномпри,0
n
nSn Следовательно, n
nS
∞→lim не существует, т.е.
в этом случае ряд расходится. Итак, получили, что ряд геометрической прогрессии
∑∞
=0n
nq .1при,расходится
,1присходится,
≥<
q
q ■ (2.2)
Пример 2.3. Исследовать на сходимость числовой ряд ...74
53
32
1 ++++
Решение. По виду членов ряда можно утверждать, что общий член ряда имеет
вид: 12 −
=n
nan . То есть мы исследуем на сходимость ряд ∑
∞
= −1 12n n
n. Проверим
необходимый признак сходимости ряда: =+∞→ n
nalim =
−+∞→ 12lim
n
nn
02
1 ≠ . Т. к. он
нарушается, то данный ряд расходится (или говорим, расходится по достаточному признаку расходимости). ■
Пример 2.4. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑∞
= +13 1
1
n nn.
Решение. Учитывая, что 1
13 +
=nn
an ~2
5
1
nbn = при +∞→n (так как
1lim =+∞→ n
n
n b
a), то по второму признаку сравнения ряды ∑
∞
= +13 1
1
n nn и ∑
∞
=125
1
n n
ведут себя одинаково, в смысле сходимости. Ряд ∑∞
=125
1
n n – обобщенный
гармонический, и т.к. 125 >=p , то по (2.1) он является сходящимся.
Следовательно, искомый ряд также сходится. ■
Пример 2.5. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑∞
= −+
1
2
23
12
nn
n.
Решение. С помощью второго признака сравнения упростим исходный ряд,
так как 23
12 2
−+=
nnn
a ~ nnn
b3
2 2
= при +∞→n , то о сходимости искомого ряда
можно судить по ряду ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
===
1
2
1
2
1 32
3
2
nn
nn
nn
nnb . По виду общего члена последнего
знакоположительного ряда можно сделать выбор достаточного признака, в данном случае признака Коши. По признаку Коши
( )3
1
3lim
3limlim
22
===+∞→+∞→+∞→
n
nn
nnn
nn
nna
(учли известный факт из матанализа: 1lim =∞+→
n
nn ). Так как 1
31 <=q , то
искомый ряд сходится. ■
Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд ( )∑∞
=23ln
1
n nn.
Решение. Для того чтобы исследовать данный знакоположительный ряд на сходимость, удобно применить интегральный признак Коши, положив, что
( ) ( )xxxf
3ln
1= . Условия, допускающие применение этого признака, выполнены,
ибо функция ( )xf непрерывна при 2≥x , положительна при этих значениях x,
монотонно убывает с ростом x и ( ) 0lim =+∞→
xfx
; выполнение условия ( ) nanf =
очевидно. Исследуем соответствующий несобственный интеграл на сходимость:
( ) ( ) 2ln2
12ln2
1ln
ln 222ln
32
32
=∞+
−====
== ∫∫∫∞+∞+∞+
tt
dt
x
dxdt
xt
xx
dxdxxf .
Итак, несобственный интеграл сходится, следовательно, вместе с ним сходятся и искомый ряд. ■
Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд ( )∑∞
= +1 !4
5
n n
n.
Решение. Так как общий член ряда ( )!4
5
+=
n
nan ~
!
5
nb
n
n = , при +∞→n , то
исследуем по достаточному признаку Даламбера эквивалентный искомому ряд в
смысле сходимости: ∑∑∞
=
∞
==
11 !
5
n
n
nn n
b :
n
n
n a
a 1lim ++∞→ ( ) ( ) 10
1
5lim
!15
!5lim
!
5:
!1
5lim
11
<=
∞=
+=
+=
+=
+∞→
+
+∞→
+
∞→
c
nn
n
nn nn
n
n
nn
n,
следовательно, исходный ряд сходится. ■
Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
++
1
2
2
1
n
n
n
n.
Решение. Форма общего члена данного знакоположительного ряда наводит на мысль об использовании признака Коши. Действительно:
=
+−=
++=
+∞→+∞→+∞→
n
n
nn
n
n n
n nn
na
2
11lim
2
1limlim
2
==
+=
+−=
∞→
+−+−
+∞→ en
n
nn
n
α
α α1
1lim:предел
ныйзамечательвторой
21
1lim2)2(
12lim −+−
+∞→== ee n
n
n.
Так как 111 <=− ee , то по признаку Коши исходный ряд сходится. Решение возможно и с помощью признака Даламбера, но в этом случае его
использование было бы нерационально. ■ При исследовании некоторых задач на сходимость числовых рядов удобно при
применении признаков сравнения использовать следствия первого и второго замечательных пределов: применительно к рядам считаем ( )nα бесконечно малой величиной, т.е. ( ) 0→nα при +∞→n .
Таблица эквивалентностей
( ) αα ~sin ( ) αα ~tg ( ) αα kk ~11 −+
( ) αα ~arcsin ( ) αα ~arctg ( ) αα ~1ln +
( )2
~cos12αα− ( )
αα 1
~ctg ( ) ( )bb ln~1log
αα+
( ) ααπ ~arccos2− αα ~1−e ( )bb ln~1 ⋅− αα
Пример 2.9. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
++++⋅
13
23
3 12
1ln
1
n nn
nn
n.
Решение. Так как
++−+=
++++
12
21ln
12
1ln
3
2
3
23
nn
nn
nn
nn и 0
1
12
2n3
2
→→++
−nnn
n
при +∞→n , то можно применить эквивалентность: ( ) αα ~1ln + . Тогда общий
член исследуемого ряда
++++⋅=
12
1ln
13
23
3 nn
nn
nan ~
34
1
nbn = при +∞→n . Из
второго признака сравнения и сходимости обобщенного гармонического ряда
∑∞
=134
1
n n (см. (2.1)) следует сходимость искомого ряда. ■
Пример 2.10. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
+−12 1
1
n nnarctg .
Решение. По таблице эквивалентностей общий член искомого ряда
+−=
1
12 nn
arctgan1n
1~
2 +− n~
2
1
nbn = , +∞→n , так как 0
1n
1lim
2=
+−+∞→ nn.
Из сходимости (2.1) обобщенного гармонического ряда ∑∞
=12
1
n n следует
сходимость данного ряда. ■
Пример 2.11. Исследовать на сходимость ряд ( )( )∑
∞
= +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
1 14...1395
23...741
n n
n.
Решение. Выпишем несколько первых слагаемых исходного ряда ( )( ) ...
1395
741
95
41
5
1
14...1395
23...741
1
+⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+=
+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
∑∞
=n n
n:
По форме общего члена данного ряда решаем использовать признак Даламбера. Выпишем ( )1+n -ый член этого ряда:
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )5414...1395
1323...74111414...139521323...741
1 +⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=
++⋅+⋅⋅⋅⋅−+⋅−⋅⋅⋅⋅=+ nn
nn
nn
nnan .
Тогда по признаку Даламбера:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) =
−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=
+∞→+
+∞→ 23...741
14...1395
5414...1395
1323...741limlim 1
n
n
nn
nn
a
ann
n
n
143
5413
lim <=++=
+∞→ n
nn
,
и искомый ряд сходится. ■
Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
+1
)!1(
nnn
n.
Решение. Так как общий член ряда ( )
nnn
na
!1+= ~ nn
n
nb
!= при +∞→n , то
по второму признаку сравнения исследуем на сходимость ряд ∑∑∞
=
∞
==
11
!
nn
nn
n
nb .
Применим к нему достаточный признак Даламбера:
=+⋅+
⋅+=⋅++=
+∞→++∞→+
+∞→ n
n
n
n
nnn
n
n nn
nn
n
n
n
n
b
b
)1()1(
)1(lim
!)1(
!)1(limlim
11
( ) enn
nnn
n
n
1
11
1lim
1lim =
+=
+=
+∞→+∞→.
Так как 11 <e , следовательно, полученный и исходный ряды сходятся. ■
Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
+15
3
2sin
n n
n.
Решение. Так как =++∞→ 2
lim5
3
n
nn
01
limlim61325
31
==+∞→+∞→ nn
nnn
, то к общему
члену ряда можно применить эквивалентность: ( ) αα ~sin . Поэтому
=na
+ 2sin
5
3
n
n
2~
5
3
+n
n~
613
1
nbn = , при +∞→n . Из сходимости (2.1)
обобщенного гармонического ряда ∑∞
=1613
1
n n ( 1613 >=p ), следует сходимость
искомого ряда. ■ Пример 2.14. Исследовать на сходимость числовой ряд
( )∑∞
=−+−++
1
22 11n
nnnn .
Решение. Упростим общий член ряда na , умножив и разделив его на сопряженное:
( ) ( ) =−++++−+−++=−+−++=11
1111
22
22
22
22
nnnn
nnnnnnnnan
2222
2~
11
2
nnnnnn +−++++=
n
1= при +∞→n .
То есть по второму признаку сравнения искомый ряд эквивалентен в смысле
сходимости с рядом ∑∞
=1
1
n n. Так как гармонический ряд расходится (см.(2.1)), то из
этого следует расходимость данного ряда. ■ Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных
рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакопеременными. 3. СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Числовой ряд
...321
1 +++=∑∞
=aaaa
nn (3.1)
называется знакопеременным, если члены этого ряда na не все являются неотрицательными числами.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд:
( ) ...1 43211
1 +−+−=−∑∞
=
+ aaaaann
n (3.2)
Например, ряд ( )
∑∞
=12
sin
n n
n – знакопеременный, но не является знакочередующимся.
Знакопеременный ряд ∑∞
=1nna называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
...3211
+++=∑∞
=aaaa
nn , (3.3)
составленный из абсолютных величин его членов.
Числовой ряд (3.1) ∑∞
=1nna называется условно сходящимся, если он сходится, а
ряд, составленный из абсолютных величин ∑∞
=1nna , расходится.
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов: если члены знакочередующегося ряда (3.2) монотонно убывают по
абсолютной величине и стремятся к нулю при +∞→n , то ряд сходится, иначе
говоря, если члены ряда ∑∞
=
−−1
1)1(n
nn a , 0≥na удовлетворяют условиям:
1) 0lim =+∞→ n
na , 2) nn aa ≤+1 ,
то ряд сходится.
Отметим, что из сходимости ряда (3.3) ∑∞
=1nna следует сходимость и ряда (3.1)
∑∞
=1nna , причем абсолютная, а из расходимости ряда (3.3), установленной с
помощью признаков Даламбера или Коши, – расходимость ряда (3.1): ∑∞
=1nna .
Только для знакочередующихся рядов верна оценка остатка ряда:
1+< nn aR , (3.4)
т.е. ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов. В ряде не всегда можно группировать члены. Например, ряд
( ) ...1...1111 1 +−++−+− −n , является расходящимся, так как частичные суммы четного, нечетного чисел членов равны
...)3,2,1(02 == mS m , ...)3,2,1(112 ==+ mS m и, следовательно, нет предела его частичных сумм. После группировки членов
( ) ( ) ( ) 0...0...00...11...1111 =++++=+−++−+− получаем сходящийся ряд, сумма которого равна нулю. При другой группировке членов
( ) ( ) ( ) 1...0...001...11...11111 =−−−−−=−−−−−−−− получаем сходящийся ряд, его сумма равна единице.
Приведем два утверждения: Утверждение 1. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не
нарушает его сходимости, сумма ряда при этом остается прежней. Утверждение 2. Если ряд сходится неабсолютно (т.е. сходится условно по
признаку Лейбница), то путем надлежащей перестановки его членов всегда можно придать сумме ряда произвольное значение и даже сделать ряд расходящимся.
Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
−1
)1(
n
n
n.
Решение. Это знакочередующийся гармонический ряд. Первоначально, исследуем исходный ряд на абсолютно сходимость. Для этого составим ряд из
абсолютных величин его членов ∑∞
=1
1
n n – это гармонический расходящийся ряд.
Следовательно, абсолютной сходимости нет. Поэтому исследуем исходный ряд по признаку Лейбница на условную сходимость.
Условия для 01 ≥=n
an : 1) nn
11
1 ≤+
, 2) 01
lim =+∞→ nn
выполняются,
следовательно, искомый ряд сходится условно. ■
Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
+−1
2
11
2
)1(
n
n
n
n
n.
Решение. Составим ряд из абсолютных величин его членов: ∑∞
=
+1
2
11
2
1
n
n
n n.
Применим к получившемуся знакоположительному ряду достаточный признак
Коши: 2
11lim
2
111
2
1lim
2
e
nn
n
n
nn
nn=
+=
++∞→+∞→
(в силу второго
замечательного предела). Из расходимости данного ряда по признаку Коши (так
как 12
>e) следует расходимость исходного ряда. ■
Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
−
−1
31
2sin)1(
n
n
n
π.
Решение. Искомый ряд является знакочередующимся, исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин его
членов ∑ ∑∞
=
∞
=
=
1 1
33
2sin
2sin
n n nn
ππ. К общему члену получившегося
знакоположительного ряда можно применить эквивалентность αα ~sin , так как
02 ∞→
→nn
π. Тогда
33
2~
2sin
nn
ππ при +∞→n . Из сходимости ряда
=∑∞
=12/3
3
8n n
π ∑
∞
==
12/3
3 18 n n
π (см. (2.2) – сходимость обобщенного гармонического
ряда, 12
3 >=q ) следует сходимость ряда ∑∞
=
1
3
2sin
n n
π. Следовательно,
исходный ряд сходится абсолютно. ■
Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд ( )
∑∞
= ++−
12 13
2)1(
nn
nn
n.
Решение. Исследуем исходный ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд
из абсолютных величин ∑∞
= ++12
2
13
2
nn
n
n. Из оценки общего члена получившегося
знакоположительного ряда n
n
n
n
n 3
2
13
2 2
2
2
<++
и первого признака сравнения
следует сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, т.к.
n
3
2 есть
общий член сходящегося геометрического ряда со знаменателем 132 <=q .
Поэтому исходный ряд ( )
∑∞
= ++−
12 13
2)1(
nn
nn
n сходится абсолютно.■
Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд n
n
n
n
n∑∞
=
++−
1 32
23)1( .
Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин. По виду общего члена полученного ряда делаем выбор достаточного признака сходимости.
Применим признак Коши с общим членом n
n n
na
++=
32
23. Очевидно, что
12
3
32
23limlim >=
++=
+∞→+∞→
n
n
nn
n n
na . Так как ряд, составленный из абсолютных
величин, расходится по признаку Коши, то и искомый ряд расходится. Можно было исследовать этот ряд с помощью необходимого признака
сходимости. Так как +∞=
=
++=
+∞→+∞→+∞→
n
n
n
nn
n n
na
2
3lim
32
23limlim , то исходный
ряд расходится (не выполняется первое условие Лейбница). ■
Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
−1 !5
)1(
nn
nn
n
n.
Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, исследуем на сходимость по признаку Даламбера. Так как общий
член )!1(5
)1(;
!5 1
1
1 ++== +
+
+n
na
n
na
n
n
nn
n
n , то
=+
+= +
+
+∞→+
+∞→ !5:
)!1(5
)1(limlim
1
11
n
n
n
n
a
an
n
n
n
nn
n
n=
++
+
+
+∞→ !)1(5
!)1(5lim
1
1
nn
nnnn
nn
n
=
+=+∞→
n
n n
n 1lim
5
11
5
11lim
5
1 <=
++∞→
e
n
n
n,
и данный ряд сходится. Поэтому искомый ряд сходится абсолютно. ■
Пример 3.7. Исследовать сходимость ряда ( )
∑∞
=12
2sin
n n
nπ.
Решение. Поскольку ( ) 0lim 2 ≠∞=∞→
nn
π , то нельзя применить
эквивалентность: αα ~sin . Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим
ряд из модулей членов исходного ряда ( )
∑∞
=12
2sin
n n
nπ. Так как ( )2sin nπ 1≤ , то
( )∑∞
=12
2sin
n n
nπ∑∞
=≤
12
1
n n. Из сходимости обобщенного гармонического ряда
∑∞
=12
1
n n по первому признаку сравнения следует сходимость исходного ряда. ■
Пример 3.8. Исследовать сходимость ряда ( )
( )∑∞
=
−
+−
12
1
cos
1
n
n
nn.
Решение. Данный знакочередующийся ряд исследуем на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин исходного ряда
( )∑∞
= +12cos
1
n nn. Очевидно, что ( )∑
∞
= +12cos
1
n nn∑∞
= +≥
1 1
1
n n. Ряд ∑
∞
= +1 1
1
n n по
второму признаку сравнения одновременно расходится с ∑∞
=1
1
n n ( 121 <=p ).
Тогда, по первому признаку сравнения из расходимости «меньшего» ряда следует
расходимость ряда ( )∑∞
= +12cos
1
n nn. Следовательно, абсолютной сходимости
исходного ряда нет. Проверим выполнение условий признака Лейбница на
условную сходимость. Отметим, что вместо члена ( )nn 2cos
1
+ можно
рассматривать 1
1
+n. Условия 1)
∞→nlim 0
1
1 =+n
и 2) 11
1
++n 1
1
+≤
n
выполняются, следовательно, исходный ряд условно сходящийся. ■
Пример 3.9. Вычислить сумму ряда ( )∑
∞
=1 !
1
nnn
с точностью 510−=ε .
Решение. ( )∑
∞
=1 !
1
nnn
...24
1
6
1
2
1
1
1432
++++= . Так как 53 10−>a , а 5
4 10−<a , то
для вычисления приближенного значения ряда с требуемой точностью достаточно взять четыре первых слагаемых:
( )∑∞
=1 !
1
nnn
=+++=432 24
1
6
1
2
1
1
125463,1
331776
1
216
1
4
11 =+++ .
Отметим, что оценкой (3.4) в данном случае нельзя воспользоваться, так как ряд знакоположительный. ■
Пример 3.10. Вычислить сумму ряда ∑∞
=
−
⋅−
1
1
2)!2(
)1(
n
n
nn с точностью 510−=ε .
Решение. ...8!8
16!6
14!4
12!2
12)!2(
)1(
1
1
+⋅
−⋅
+⋅
−⋅
=⋅
−∑∞
=
−
n
n
nn. Так как четвертый
член 00001,0000003,08!8
1 <≈⋅
, то согласно неравенству оценки остатка
знакочередующегося ряда (3.4), для вычисления приближенного значения ряда с требуемой точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами ряда:
( )23981,0
4320
1
96
1
4
1
6!6
1
4!4
1
2!2
1
2)!2(
1
1
1
≈+−=⋅
+⋅
−⋅
=⋅
−∑∞
=
−
n
n
nn. ■
Пример 3.11. Докажите, с помощью рядов, что 0!
lim =
+∞→ nn n
n.
Решение. Составим числовой ряд, общий член которого задан по формуле:
nnn
na
!= . Полученный ряд – знакоположительный, поэтому применим к нему
достаточный признак сходимости. По виду общего члена ряда останавливаем свой выбор на признаке Даламбера:
=++=
++= ++∞→+
++∞→ !)1(
)!1(lim
!:
)1(
)!1(lim
111
nn
nn
n
n
n
n
a
an
n
nnnn
n
n=
++
++∞→ 1)1(
)1(lim
n
n
n n
nn
=+
=+∞→ n
n
n n
n
)1(lim
( )1
1
11
1lim <=
++∞→ en nn
(использовали второй замечательный предел). Следовательно, ряд сходится. По необходимому признаку сходимости (1.3): если числовой ряд сходится, то
0lim =+∞→ n
na , следовательно 0
!lim =
+∞→ nn n
n. ■
4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Рассмотрим числовые ряды, членами которых являются не вещественные
числа, а комплексные.
Пусть дан ряд ......21 ++++ nccc , (4.1)
где общий член ряда nc – комплексное число, т.е. nnn biac += , причем
( ) ( ) nnnn bcac == Im,Re .
Если последовательность частичных сумм nn cccS +++= ...21 ряда (4.1)
имеет конечный предел S: biaSSnn
+==+∞→
lim , то ряд называется сходящимся, а
комплексное число S – его суммой. В противном случае, когда этот предел не существует или равен бесконечности, ряд (4.1) называется расходящимся.
Теория рядов с комплексными числами тесно связана с теорией вещественных
числовых рядов. Вместе с рядом (4.1) рассматривают ряды ∑∞
=1nna (4.2) и ∑
∞
=1nnb
(4.3), составленные из вещественных и мнимых частей комплексных членов ряда. Теорема (необходимое и достаточное условие сходимости). Числовой ряд с
комплексными членами (4.1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда с вещественными членами (4.2) и (4.3). Ряд (4.1) расходится, когда расходится хотя бы один из числовых рядов (4.2), (4.3).
Это дает нам метод исследования сходимости и расходимости ряда (4.1) с
комплексными членами, заключающийся в исследовании сходимости и
расходимости двух числовых рядов (4.2) и (4.3) с вещественными числами, для
которых применимы ранее рассмотренные приемы.
Пример 4.1. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑∞
=
++
142 1
1
n n
ni
n.
Решение. Так как данный числовой ряд с комплексными членами, то для
исследования его на сходимость составим два ряда, полученные из вещественных
и мнимых частей комплексных членов ряда:
∑∞
=12
1
n n и ∑
∞
= +14 1n n
n.
Первый из составленных рядов является обобщенным гармоническим рядом, он сходится, так как 12 >=p . Второй ряд по второму признаку сравнения
эквивалентен в смысле сходимости ряду ∑∞
=13
1
n n, т.к.
14 +n
n ~
34
1
nn
n = при
+∞→n . Поэтому ряд ∑∞
= +14 1n n
n сходится в силу сходимости обобщенного
гармонического ряда ∑∞
=13
1
n n ( 13>=p ). По теореме ряд ∑
∞
=
++
142 1
1
n n
ni
n
является сходящимся, так как сходятся ряды ∑∞
=12
1
n n и ∑
∞
= +14 1n n
n. ■
Необходимый признак сходимости ряда (4.1):
Если ряд (4.1) сходится, то 0lim =+∞→ n
nc . (4.3)
Достаточный признак расходимости ряда (4.1):
Если для ряда (4.1) 0lim ≠+∞→ n
nc , то ряд расходится. (4.4)
Заметим, что на практике удобно находить предел модуля общего члена ряда
при +∞→n , т.к. 0lim =+∞→ n
nc ⇔ 0lim =
+∞→ nn
c .
Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=
+1 2
)2(
nn
nin.
Решение. Рассмотрим общий член исследуемого ряда =+=n
n
nin
c2
)2(
ni
n
+=2
1 . Вычислим модуль этого комплексного числа: =
+=
n
n nc41
1 .
n
n
=
25
Тогда 025
limlim ≠+∞=
=
+∞→+∞→
n
nn
nnc , поскольку 1
25 > .
Следовательно, по достаточному признаку расходимости (4.4) искомый ряд
расходится. ■
На ряды с комплексными членами переносится понятие абсолютной
сходимости.
Ряд (4.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится
знакоположительный ряд с вещественными членами, составленный из модулей
членов ряда (4.1), т.е. ряд
=∑∞
=1nnc ∑
∞
=+
1
22
nnn ba . (4.5)
Утверждение. Из абсолютной сходимости ряда (4.5) следует, сходимость
рядов ∑∞
=1nna , ∑
∞
=1nnb и искомого ряда (4.1): ( )∑∑
∞
=
∞
=+=
11 nnn
nn biac .
Этот результат дает нам удобный метод исследования сходимости рядов с
комплексными членами.
Пример 4.3. Исследуем на сходимость ряд ( )∑∞
= +1
1
n nin.
Решение. Приведем общий член ряда к алгебраической форме комплексного
числа, умножив его на сопряженное знаменателя:
( ) ( ) ( ) ( )1
1
11
1
+−
+=
+−
=+ nn
inn
n
nn
in
nin.
Составим ряд из модулей членов исходного ряда
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
= +=
++=
++
+ 1122
12222 1
1
1
1
1
1
1 nnn nnnn
n
nnnn
n.
Так как 23
1~
1
1
nnn + при +∞→n , и обобщенный гармонический ряд
∑∞
=123
1
n n сходится ( 123 >=p ), то сходится и ряд ∑
∞
= +1 1
1
n nn. Следовательно,
искомый ряд сходится абсолютно. ■
Справедливо и обратное утверждение: если абсолютно сходятся ряды
∑∞
=1nna и ∑
∞
=1nnb , то абсолютно сходится и ряд ( )∑∑
∞
=
∞
=+=
11 nnn
nn biac .
Пример 4.4. Исследовать сходимость ряда ∑∞
=1n
n
n
i.
Решение. Перепишем ряд в виде: =∑∞
=1n
n
n
i∑∞
=
−
−−+−
1
1
12
)1(
2
)1(
n
nn
ni
n. Исследуем
ряды: ∑∑∞
=
−∞
= −−−
1
1
1 12)1(
,2
)1(
n
n
n
n
nn на сходимость. Оба ряда эквивалентны ряду ∑
∞
=
−1
)1(
n
n
n,
поэтому, они сходятся по признаку Лейбница (см. пример 3.1). Следовательно,
сходится и исследуемый ряд. Если же составить ряд из модулей членов искомого
ряда: ∑∞
=1
1
n n, то он расходится (см. пример 2.1). Таким образом, исходный ряд
является условно сходящимся. ■
Пример 4.5. Исследовать сходимость ряда ∑∞
=
−1 7
34
n
ni
.
Решение. Проверим необходимый признак сходимости ряда с комплексными
членами nn
c∞→
lim =
+=+−=
∞→∞→
n
n
n
ni
49
16
49
9lim
7
4
7
3lim 0
7
5lim =
∞→
n
n.
Необходимый признак сходимости выполняется, но он не является достаточным.
Составим ряд из модулей членов исходного ряда
∑∑∞
=
∞
=
=−11 7
5
7
34
n
nn
n
i.
Полученный ряд является геометрическим рядом. Он сходится, так как 75=q .
Следовательно, исходный ряд абсолютно сходящийся. ■
5. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте
сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.
2. Докажите необходимый признак сходимости.
3. Дайте определения линейных операций над числовыми рядами.
4. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его
сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых
его n членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного ряда
отбрасыванием этих n членов.
5. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите
пример применения этого признака.
6. Докажите признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.
Приведите пример применения этого признака.
7. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
Приведите пример применения этого признака.
8. Докажите интегральный признак Коши сходимости ряда. Приведите пример
применения этого признака.
9. Дайте понятие знакопеременного ряда, его условной и абсолютной
сходимости. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.
10. Докажите, что из абсолютной сходимости знакопеременного ряда следует его
сходимость.
11. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Приведите пример на применение этого признака.
12. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его
членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого
отброшенного члена.
13. Дайте определение сходимости рядов с комплексными членами. Приведите
примеры сходящихся и расходящихся рядов. Сформулируйте методы
исследования на сходимость ряда с комплексными членами.
14. Используя неравенства
yxyxiyxz +≤+=+= 22 ,
yixyyixx +≤+≤ ; ,
докажите необходимый и достаточный признаки сходимости ряда с комплексными членами.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти сумму ряда:
1. а) ∑∞
= −+12 584
1
n nn; б) ∑
∞
= −−−
3 )2()1(
54
n nnn
n.
2. а) ∑∞
= −−12 3816
1
n nn; б) ∑
∞
= ++1 )3()2(
1
n nnn.
3. а) ∑∞
= −+12 5129
6
n nn; б) ∑
∞
= −−
32 )1(
53
n nn
n.
4. а) ∑∞
= −−22 5129
24
n nn; б) ∑
∞
= +−−
3 )2()1(
25
n nnn
n.
5. а) ∑∞
= −+12 869
6
n nn; б) ∑
∞
= −−−
3 )2()1(
4
n nnn
n.
6. а) ∑∞
= −+12 8219
9
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )2()1(
6
n nnn
n.
7. а) ∑∞
= ++02 384
2
n nn; б) ∑
∞
= −−3 )2()1(
4
n nnn.
8. а) ∑∞
= −−12 452849
14
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )3()1(
35
n nnn
n.
9. а) ∑∞
= −+12 239
3
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )3()2(
6
n nnn
n.
10. а) ∑∞
= −−12 12749
7
n nn; б) ∑
∞
= −32 )4(
1
n nn.
11. а) ∑∞
= −+22 2
1
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )2()1(
23
n nnn
n.
12. а) ∑∞
= −−12 481449
14
n nn; б) ∑
∞
= +−−
1 )2()1(
25
n nnn
n.
13. а) ∑∞
= −−12 52436
6
n nn; б) ∑
∞
= −22 )1(
1
n nn.
14. а) ∑∞
= −−12 138449
14
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )2()1(
83
n nnn
n.
15. а) ∑∞
= −+12 344
4
n nn; б) ∑
∞
= ++1 )3()1(
1
n nnn.
16. а) ∑∞
= −+12 63549
7
n nn; б) ∑
∞
= −−−
32 )2()1(
24
n nn
n.
17. а) ∑∞
= −+12 2039
9
n nn; б) ∑
∞
= ++−
1 )2()1(
23
n nnn
n.
18. а) ∑∞
= −−12 404249
14
n nn; б) ∑
∞
= −−+−
3 )2()1()1(
108
n nnn
n.
19. а) ∑∞
= −−12 15816
8
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )2()1(
43
n nnn
n.
20. а) ∑∞
= −−12 102149
7
n nn; б) ∑
∞
= +−+
1 )1()1(
13
n nnn
n.
21. а) ∑∞
= −+12 6525
5
n nn; б) ∑
∞
= ++−
1 )3()1(
2
n nnn
n.
22. а) ∑∞
= −12 94
6
n n; б) ∑
∞
= +++
1 )4()1(
43
n nnn
n.
23. а) ∑∞
= −−12 63549
7
n nn; б) ∑
∞
= −−+
3 )2()1(
2
n nnn
n.
24. а) ∑∞
= −+22 2
1
n nn; б) ∑
∞
= ++1 )2()1(
2
n nnn.
25. а) ∑∞
= −+12 351236
12
n nn; б) ∑
∞
= −−
32 )1(
13
n nn
n.
26. а) ∑∞
= −+12 102149
12
n nn; б) ∑
∞
= +++
1 )3)(1(
95
n nnn
n.
2. Исследовать ряды на сходимость, используя признаки сравнения:
1. а) ( )
∑∞
= +1
2
)1(
cos
n nn
n; б)
( )( )∑
∞
= −−+
1 ln
12
n
n
nn.
2. а) ∑∞
=
−+1 6
)1(5
nn
n
; б) ( )∑∞
= ++
1 1ln
1
n nn
n.
3. а) ( )
∑∞
=1
2 3sin
n nn
n; б)
( )∑∞
= −23
2
5
ln
n n
nn.
4. а) ∑∞
= +12 1
)(
n n
narctg; б)
( )∑∞
= −+
12 12
)(cos2
n n
nn π.
5. а) ∑∞
= ⋅+
1
2
5
)1(
nnn
narctg; б)
( )∑∞
= −
−2 3 3 3
)1(arcsin
n nn
nn.
6. а) ( )
∑∞
= ⋅+⋅
1
4
3)1(
sin
nnn
nn; б) ∑
∞
= −
+
22
2 3ln
n nn
nn.
7. а) ( )
∑∞
= +12
4
4
2cos
nn n
nπ; б)
( )∑∞
= −⋅
22 3
ln
n n
nn.
8. а) ∑∞
=1
1
nnn
; б) ( )( )∑∞
= π+⋅+
13
2
2sin2
3
n nn
n.
9. а) ( )
∑∞
= +1
2
39
3cos
nn
n; б)
⋅∑∞
=n
nn 31
sin1
24 3
.
10. а) ( )
∑∞
=12
2sin
n nn
nn; б) ∑
∞
= −⋅
−⋅
22
2 13
n nn
narctg
π.
11. а) ( )
∑∞
= +⋅+⋅1
2
)2()1(
2cos
n nnn
nπ; б)
( )( )( )∑
∞
= +−+
1 1ln
12
n
n
n
arctg.
12. а) ( )
∑∞
=13 7
ln
n n
n; б) ( )∑
∞
= −22 6cos
1
n nn.
13. а) ( )
∑∞
= +12
2
5
sin
n n
n; б)
( )∑∞
= −−+
5 4
13
n
n
n.
14. а) ( )
∑∞
=
+1
2
2sin1
n n
nπ; б) ( )∑
∞
= ⋅−+
2 ln1
2
n nn
n.
15. а) ( )( )
∑∞
= +⋅+
1 4 7 10
2cos2
n n
nnπ; б)
( )∑∞
= −⋅
534
3
4
ln
n nn
nn.
16. а) ∑∞
=+−+
122
)1(3
nn
n
; б) ( )
∑∞
= −++
2 23
2sin2
n n
n ππ.
17. а) ∑∞
= +1 )2(n nn
narcctg; б)
( )∑∞
= −−
2 4 4
22
2
)1(arccos
n n
nn.
18. а) ( )
∑∞
= +⋅
14
2
4
cos
n n
nn; б)
( )∑∞
= −
+2 3 23
2ln
n nn
n.
19. а) ( )
∑∞
= ++13 1
ln
n nn
n; б)
( )∑∞
= −6 5
ln
n n
n.
20. а) ( )
∑∞
= +1
2
213
3cos
nn
nπ; б) ( )( )∑
∞
= ++
12 2cos2
4
n nn
n
π.
21. а) ( )
∑∞
= ++15 1
ln
n nn
n; б)
( )
−+⋅−
∑∞
= 6
12cos
4
1
34 3
n
n nn.
22. а) ∑∞
=
−+⋅+1 4
)1(3arcsin
4
1
n
n
n n; б) ∑
∞
= −⋅
−⋅
34 34
2
2
12
n nn
narctg
π.
23. а) ∑∞
=
−+⋅+1
3 2
)1(1
6
1
n
n
narctgn
; б) ( )∑
∞
= −22 3sin
1
n nn.
24. а) ∑∞
=
+⋅−⋅
+22 1
)1(arccos
2
1
n
n
n
n
n; б)
( )∑∞
= −+
5
2
2
2cos1
n
n
n.
25. а) ( )
∑∞
=12
2 2sin
n
n
n; б)
( )( )( )∑
∞
=
−+2 ln
14
n
n
n
arctg.
26. а) ( )
∑∞
= +14
2
2
4cos
n
n
n; б) ∑
∞
= −−+
2
)1(5
n
n
nn.
3. Применяя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряды:
1. n
n
n n 4
111
2
1
⋅
+∑∞
= 2.
2
1 1312
n
n n
n∑∞
=
+−
3. ∑∞
=
++
12
22
1
12
n
n
n
n 4. ∑
∞
=
+
1
12
nn
n
n
5. n
n n
nn∑
∞
=
+
⋅1
4
532
6. ∑∞
=
π1
2
2sin
n
n
nn
7.
2
1 2312
n
n n
n∑∞
=
−+
8. ∑∞
=1
3
)(lnnnn
n
9. 3
1
)1(13
22 +
++
∑∞
=n
n
nn
n
10.
3
1 13
n
n n
n∑∞
=
−
11. n
n n
nn∑
∞
=
+−
1 1534
12. ∑∞
=1
2
3n
n
narctgn
π
13.
2
1 510
n
n n
n∑∞
=
+ 14. ∑
∞
= +⋅
1
5
)12(
3
nn
n
n
n
15. ∑∞
=1 4arcsin
n
n
nn
π 16. ∑
∞
=
−− ⋅1
12n
nn e
17.
2
1 13
2n
n n
n∑∞
=
−+
18.
2
1 342
n
n n
n∑∞
=
+
19. n
n
n
n
n
n
5
1
1
⋅
−∑∞
= 20.
n
n n
nn
2
1 24
13∑∞
=
+−
21. ∑∞
=
++
1
2
1
32
n
n
n
n 22. ∑
∞
=
+⋅
1
2
5
3
nn
nn
23. ( )∑∞
=−⋅
−+
1
2114
23
n
n
nn
n 24. ∑
∞
=1
24
4n
n
narctgn
π
25.
2
1 32
1n
n n
n∑∞
=
−+
26. 2
13
1
1
n
nn n
n −∞
=
+∑
4. Применяя признак сравнения и интегральный признак Коши, исследовать
на сходимость ряды:
1. ∑∞
= +12 )13(ln
1
n nn 2. ∑
∞
= +12 )2(ln)3(
1
n nn
3. ∑∞
= +12 )12(ln
1
n nn 4. ∑
∞
= ++12 )1(ln)32(
1
n nn
5. ∑∞
= ++12 )12(ln)32(
1
n nn 6. ∑
∞
= −3 )1ln(
1
n nn
7. ∑∞
= −−32 )74(ln)53(
1
n nn 8. ∑
∞
= ++12 )1(ln)5(
1
n nn
9. ∑∞
= ++12 )25(ln)43(
1
n nn 10. ∑
∞
= +12 )7(ln
1
n nn
11. ∑∞
= +12 )5(ln)12(
1
n nn 12. ∑
∞
= +23
2
ln)1(n nn
n
13. ∑∞
= −−5 )3ln()2(
1
n nn 14. ∑
∞
= −222 ln)3(n nn
n
15. ∑∞
= −1 )2ln()12(
1
n nn 16. ∑
∞
= −12 )2(ln)3(
3
n nn
17. ∑∞
= +1 )2ln()1(
1
n nn 18. ∑
∞
= +12 ln)5(n nn
n
19. ∑∞
= −2 ln)13(
1
n nn 20. ∑
∞
= +22 ln)32(
3
n nn
n
21. ∑∞
= +−1 )1ln()12(
1
n nn 22. ∑
∞
= −−+
42 )2ln()95(
1
n nn
n
23. ∑∞
= +−1 )13ln()32(
1
n nn 24. ∑
∞
= −12 )2ln()2(
3
n nn
n
25. ∑∞
= +22ln)2(
1
n nn 26. ∑
∞
= ++12 )13(ln)12(
1
n nn
5. Исследовать на сходимость ряды по признаку Даламбера:
1. ∑∞
= −+
1 )!1(3
12
nn n
n. 2. ∑
∞
= −4 !)3(
7
n nn.
3. ∑∞
=1
2
22
)!(
nn
n. 4. ∑
∞
= −⋅6 )!5(3nn
n
n
n.
5. ∑∞
=
+
−+⋅
1
32
)!1(
)2(5
n
n
n
n. 6. ∑
∞
=+⋅115)!2(
!
nnn
n.
7. ∑∞
= +⋅
1 )!12(
!10
n
n
n
n. 8. ∑
∞
= ++
1
2
)!1()2(6
n
n
n
n.
9. ∑∞
=⋅
++
1 7
1
54
)!22(
nnn
n. 10. ∑
∞
= ++
1
2
!)2(
1
n n
n.
11. ∑∞
=⋅
++
1 5
2
)!1(
32
nnn
n. 12. ∑
∞
=22)!(n
n
n
n.
13. ∑∞
=
+
+1
12
)!12(
7
n
n
n. 14. ∑
∞
=1 !)3(
!
n n
n.
15. ∑∞
= +⋅−⋅⋅⋅⋅
1 )!1(3
)12(...531
nn n
n. 16. ∑
∞
= +1
2
)!2()34(
)!(
nn n
n.
17. ∑∞
=+
11
!
nnn
n. 18. ∑
∞
=−
+1
16
!)2(
nn
n.
19. ∑∞
=
+1
)!3(
nnn
n. 20. ∑
∞
= ++⋅
2
3 2
)!1(15
n
n
n
n.
21. ∑∞
=
+ ⋅1
2 !4
nn
n
n
n. 22. ∑
∞
=
+⋅1 )!2(
!)1(5
n
n
n
n.
23. ∑∞
=+⋅+115)!2(
3
nn
n
n. 24. ∑
∞
= −⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
1 )13(...852
)12(...753
n n
n.
25. ∑∞
= +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
1 )52(...1197
)23(...741
n n
n. 26. ( )∑
∞
=1 !2n
n
n
n.
6. Исследовать на сходимость ряды, используя подходящие признаки сходимости:
1. ∑∞
=
+1 1n
n
n
n. 2.
( )∑∞
=+
+1
1
1
nn
n
n
n.
3. ∑∞
= ⋅+
13 5
13
nnn
n. 4.
−+⋅∑
∞
= 1
1ln
1
1 n
n
nnn
.
5. ∑∞
=
−+
12
2
64
53
n
n
nn
nn. 6.
( )∑∞
= +1 12
!
nnn
n.
7. ( )∑∞
=−
1
1n
nn n . 8. ( )
∑∞
=13
!ln
n n
n.
9. ( )∑
∞
=
+
+1
2
34nn
n
n
n. 10. ∑
∞
= −133
3
nn n
.
11. nnnnn
−−+∑∞
=
2
1
2 3 . 12. ( ) ( )∑∞
= ⋅+12 1
1
n narctgn.
13. ∑∞
=⋅
+1
2
2
1n
nn
en
n. 14.
2
3
1 1ln
+⋅∑
∞
= n
nn
n
.
15. ∑∞
= +124
1
nn n
. 16. ∑∞
=
−1
2
11
n
n
n.
17. n
n e
n
n
⋅∑∞
=1 !
1. 18. ( )∑
∞
= +12 1ln
1
n nn.
19. ∑∞
=
++
1
2
2 1
1
n n
n. 20.
( )( )∑
∞
= −−⋅⋅⋅
1 !1212...31
n n
n.
21. ∑∞
=
++
14 1
1
n n
ntg
π. 22. ∑
∞
=−+1
3
22nnn
n.
23. ( )∑∞
= +⋅13 2ln
1
n nn. 24.
( )∑∞
=
−
−+
2
2
115
n
n
n
n.
25.
⋅∑∞
= narctg
nn
21
1
. 26. nn
n
2
1
sin53
2
⋅
∑∞
=.
7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
1. а) ( )
∑∞
=
+
+⋅−
14
1
4
21
n
nn
n; б)
( )∑∞
=15
5sin
n n
n.
2. а) ( ) ( )∑∞
= ++−
12
)1(arcsin1
n
n
nn
nn; б)
( )∑∞
=
+−+1
3
2 11
n
n
n
nn.
3. а) ∑∞
=
+
++−
1
1
)1(12
)1(n
n
nn
n; б) ( )∑
∞
=
++−
1 1213
1n
nn
n
n.
4. а) ∑∞
=
+
+−
1
1
)1ln()1(
n
n
n; б) ( )
π⋅−∑∞
=
−
nn
n
2sin1 3
1
1 .
5. а) ∑∞
=
−4 ln)ln(ln
)1(
n
n
nnn; б)
n
n
n
n
n∑∞
=
+
+
−1
1
12)1( .
6. а) ∑∞
= +−
2 ln)1()1(
n
n
nn; б) ∑
∞
= +−−
124
2
1
2)1(
n
n
nn
n.
7. а) ∑∞
= +−
1 )1ln()1(
n
n
nn; б) ∑
∞
=
+
+−
1
1
32
)1(
n
n
nn.
8. а) ∑∞
= +
π−
1 132
sin)1(
n
n
nn ;
б) ∑∞
=12
cos
n n
n.
9. а) ∑∞
=
π−1 6
cos)1(n
n
n; б) ∑
∞
=−
1
2
3
sin)1(
nn
n n.
10. а) ∑∞
=
−1 )2ln(
)1(
n
n
nn; б) ∑
∞
=++
−1
122)12(
)1(
nn
n
n.
11. а) ∑∞
=
−1
1)1(
n
n
ntg ; б) ∑
∞
=
−
+−
12
1
2)1(
)1(
nn
n
n.
12. а) ∑∞
=
−−1 3
12)1(
n
n
n
n; б) ∑
∞
=
π−1 2
sin)1(n
nn .
13. а) ∑∞
= ++−
12 )4(ln
)3()1(
n
n
n
n; б) ∑
∞
= +−
122 sin
)1(
n
n
nn.
14. а) ∑∞
=
+−1
3
1)1(
n
n
n
n; б) ∑
∞
=
+−1
2
11ln)1(
n
n
n.
15. а) ∑∞
=
−−1
13)1(
n
n
nn
n; б) ∑
∞
=
⋅
−1
11sin)1(
n
n
ntg
n.
16. а) ∑∞
=
−−1
1cos1)1(
n
n
n; б) ∑
∞
=1 !sin
n n
n.
17. а) ( )∑∞
=
π⋅−1
sin1n
n
nn ; б) ∑
∞
=1
3cos
n nn
n.
18. а) ( )∑∞
=
+++−−
12
2
23
121
n
n
nn
nn; б) ( ) ( )
∑∞
=
++++π−
12
2
653
1sin1
n
n
n
nn
nn.
19. а) ( )∑∞
=−
1
ln1
n
n
n
n; б) ( )
!5
12
1 n
n
n
n+∞
=∑ − .
20. а) ( ) ( )∑∞
= π+−
1 6sin1
1n
n
nn; б) ( )∑
∞
= −−
522
11
nn
n
n.
21. а) ( ) ( )∑∞
=
+−1
ln1
n
nn
nn
en; б) ( )
n
n
n
nn
nn∑∞
=
++++−
12
2
12
13ln1 .
22. а) n
n n
n∑∞
=
+
−1 32
51; б)
( )( )∑
∞
=1 3ln
2sin
nn
n.
23. а) ( )
( )∑∞
=+ +⋅
−1
212 35
2
nn
n
nn; б) ( )∑
∞
=−
+−1
1
2
2
11
nn
n n.
24. а) ( )
+⋅
+−
∑∞
= 1
15
12
1 ntg
nn
n
; б) ∑∞
=
+1
3
cos1
n n
n.
25. а) ( )∑∞
=
−π⋅−
22 1
2sin1
n
n
nn ; б)
( )∑∞
=+ ⋅
−1
2 !
21
nn
n
nn
n.
26. а) ( )∑∞
=−
+⋅−1
1
2
2
11
nn
n n; б)
( )( )
∑∞
= −
π43 43
2sin
n n
n.
1. Исследовать на сходимость с помощью признаков сравнения (применять
таблицу эквивалентностей):
1. ∑∞
=
+⋅
1 2
11
n ntg
n.
2. ∑∞
=
++1
2
22 1
ln)2(n n
nn .
3. ∑∞
=
+⋅+
1 2
1)1(
n narctgn .
4. ∑∞
=
+⋅
++
12
3
2
1arcsin
3
1
n nn
n.
5. ∑∞
=
−⋅
−23 1
1
1
1
n narctg
n.
6. ∑∞
=
−−+
1 )2)(1(
2arcsin
n nnn
n.
7. ( )13
1 1
1
−+∑
∞
=
n
n
en
.
8. ∑∞
=
++1 )1)(2(
1
n nnarctg .
9. ( )
∑∞
= −−
15 5 12
)4(cos1
n n
nπ.
10. ∑∞
=
++
12 )1(
2
n nn
ntg .
11. ( )( )∑∞
=−
1
2cos1n
nπ .
12. ∑∞
=
+1
3
11ln
n nn.
13. ∑∞
=
⋅1 2
11
n narctg
n.
14. ∑∞
=
⋅
15 43
1arcsin
1
n nn.
15. ( )∑∞
=⋅
1
2 )3(n
n narctgn π .
16. ∑∞
=
++
12
2
3
4ln
n n
n.
17. ∑∞
=
++⋅
12 3
2
n n
ntgn .
18. ∑∞
=
⋅1
sin1
n nn
π.
19. ∑∞
=
++
13 1
11ln
1
n nn.
20. ∑∞
=
+15
3
2sin
n n
n.
21. ∑∞
=
+1343 )5(
arcsinn n
n.
22. ∑∞
=
+−⋅
++
1 13
13ln
3
2
n n
n
n
n.
23. ( )∑∞
=
+ −1
)2(1 1n
nne .
24. ( )∑∞
=⋅
1
arcsinn
n nn π .
25. ∑∞
=
−⋅
1
2
11
n
nen .
26. ∑∞
=
+1
1arcsin
1
n nn
n
nn.
9. Докажите с помощью рядов, что 0lim =+∞→ n
nа :
1. !
23
na
n
n = 2. ( )!3n
na
n
n =
3. ( )
nnn
na
!5+= 4. ( )
2
5
!2nnn
a =
5. ( ) ( )
nn
nnan +
+= 1ln12 6. ( )!32
2−
=n
an
n
7. n
a n
n
n ⋅= +
−
3
1
7
5 8.
++++=
12
1ln
123
23
3 nn
nn
nan
9. n
n n
na
+−=
23
1 10. ( )1ln
52 +
=nn
an
11. n
an
n
n 13
2+
= 12. )12(
22 +
=n
arctgan
13.
2
2
1n
n n
na
++= 14.
13
12 ++
=n
ann
15. ( )1ln
73 +⋅
=nn
an 16. ( )nnn
na
1
!
+=
17.
=nn na
2sin2 π
18. ( )( )45...1161
12...531
−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
n
nan
19. ( )narctgn
an !1= 20.
( )2
!n
n
n
n
na =
21. !)12(...!5!3!1 −
=n
na
n
n 22. 22 n
na nn +
=
23. ( )( )nnn
na
1
!3
++= 24.
( )( )nn
ntgan 2sin
1
+=
25. ( )( )!2
!15n
na
n
n+= 26.
( )nnn
na
1
!
+=
10. Вычислить приближенно сумму числового ряда с точностью 001,0=ε :
1. ( )
∑∞
= +−
12 2
1
n
n
nn 2.
( )∑∞
=
+
⋅−
12
1
2
1
nn
n
n
3. ( )∑
∞
= −1 2nn
n 4.
( )∑∞
= +−
13 3
1
n
n
n
5. ( ) ( )
∑∞
= ++−
12
11
n
n
nn
n 6. ∑
∞
=1 !
1
n n
7. ∑∞
=
−
1n
n
n
e 8. ( )∑
∞
= ⋅+1 55
1
nnn
9. ∑∞
= ⋅123
1
nn n
10. ( )
( )∑∞
= ⋅+−⋅
12 21
1
nn
n
n
n
11. ( )
( )∑∞
=
+
+−
13
1
2
1
nn
n
n 12.
( )∑∞
= −+
1
2
5
1
nn
n
13. ( )
∑∞
=
+
++−
12
1
106
1
n
n
nn 14. ∑
∞
=
+1 7
5
nn
n
15. ∑∞
=
+1 6
12
nn
n 16.
( )( )∑
∞
= ⋅+⋅−
1 46
1
nn
n
n
n
17. ∑∞
=−
11
2
10nn
n 18. ∑
∞
=
−−⋅1
1
n
nen
19. ∑∞
=
+−
1 51
12
n
n
n
n 20.
( )∑∞
=
−⋅⋅⋅1 !
12...31
n n
n
21. ∑∞
=1 100
!
nn
n 22. ∑
∞
=1nne
n
23. ∑∞
=
+− ⋅1
22 35n
nn 24. ∑∞
=
+1
12
nn
n
n
25. ( )
∑∞
=
−
+−⋅
1
1
33
1
nn
n
n
n 26. ( )∑
∞
=1
2
!2n n
n
11. Исследовать на сходимость ряд с комплексными членами:
1. а) ( )
∑∞
= ⋅−
1 13
23
nn
n
n
i; б) ∑
∞
= +−
1
9
1
23
n n
i.
2. а) ( )
∑∞
=
+1
2
!
1
n
n
n
i; б)
( )∑∞
= +−
13
2
1n n
in.
3. а) ( )
∑∞
=
+⋅1 2
2
nn
nin; б)
++
−∑∞
= 1
1
5
2
1 ntgi
n
n
.
4. а) ( )
∑∞
= ⋅−
1 5
2
nn
n
n
i; б) ∑
∞
= −1
1
n in.
5. а) ( )
∑∞
=
−⋅1 10
13
nn
nin; б) ∑
∞
=
−1
31
nne
i.
6. а) n
n
i∑∞
=
+1 6
2; б) ( )∑
∞
= +⋅−
1
47
1n nn
ii.
7. а) n
n
i∑∞
=
−1 8
35; б) ( )!2
531 +
+
∑∞
= ni
e nn
n
.
8. а) n
n
i∑∞
=
+1 2
3; б) ∑
∞
= +1 2
1
n in.
9. а) ( )
∑∞
=
−1 4
1
nn
ni; б) ( ) ( )
∑∞
= +⋅+−
12
2
65
11
n
n
n
ni.
10. а) ( )
∑∞
= ++
12 1
1
n
n
n
i; б)
( )∑∞
= +−
13
2
10n n
in.
11. а) ( )
∑∞
=
+1 3
1
nn
ni; б) ∑
∞
= +−
1
5
1
2
n n
in.
12. а) ( )
∑∞
= −−
12 2
1
n
n
n
i; б) ∑
∞
= +1 2n in
n.
13. а) ( )
∑∞
=
+⋅1 3
3
nn
nin; б) ∑
∞
= +
+1
3 10
5
n n
ni.
14. а) ( )
∑∞
=
−1 4
1
nn
ni; б) ( )∑
∞
=
+
++−
13
21
761
n
n
n
nni.
15. а) ( )( )∑
∞
= +−
1
2
!1
1
n
n
n
i; б) ( )( )∑
∞
= ++++
1 212
n nnn
nin.
16. а) ( )∑
∞
= −1 1nni
n; б) ∑
∞
= +1
1
n nin.
17. а) n
n
i∑∞
=
−1 6
15; б) ∑
∞
=
−1 10
52
nn
nn i.
18. а) ( )
∑∞
=
−1 11
31
nn
ni; б)
+
∑∞
= !
21sin
1 ni
n
n
n
.
19. а) ( )
∑∞
=
−1
2
10
22
nn
ni; б) ( )∑
∞
= ++−
15
3
2
31
n
n
n
in.
20. а) ( )
∑∞
= ++
13 1
5
n
n
n
i; б) ( )
+
∑∞
= !2
1arcsin
12 n
ei
n
n
n
.
21. а) ( )( )∑
∞
= ⋅+−
1 51
24
nn
n
n
i; б)
+⋅+
−∑∞
= 1
132
21 n
tgin
n
.
22. а) ( )
∑∞
=
+1
3
2
n
n
n
i; б)
( )( )∑
∞
= +⋅+−
1
2
17
3
n nn
i.
23. а) ( )
∑∞
=
−⋅1
2
15
32
nn
nin; б) ∑
∞
= +12
n in
n.
24. а) n
n
i∑∞
=
−1 8
7; б) ( )
+⋅+
∑∞
= !16
3
1 n
ni
e
n
n
.
25. а) ( )∑
∞
= ⋅−122
3
nn
n
ni; б) ∑
∞
= −+
12
2
32
3
n ni
inn.
26. а) n
n i∑∞
=
−1 26
7; б) ( )
nn
n in 5
1
7
51
32 +
−−∑
∞
=.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк.,
1983.
2. Задачник-практимум по высшей математике. Ч. III: Ряды. Теория функций комплексного переменного. Ряды и
интеграл Фурье. /Под. ред. Волкова.– СПб.: изд-во СПбГУ, 1997.
3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу
(интегралы и ряды). М.: Наука, 1981.
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. /Под редакцией
А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. –М.: Наука, 1981.
5. Данко П.Е., Попов Л.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – M.: Высшая школа, 1974, 1980.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Основные понятия числового ряда 4
2. Признаки сходимости знакоположительных рядов 7
3. Сходимость знакопеременных рядов 17
4. Сходимость рядов с комплексными членами 24
5. Вопросы для самопроверки 27
Задания для самостоятельного решения 29
Список литературы 44
Татьяна Александровна Матвеева Виктория Борисовна Светличная
Неля Николаевна Короткова
Числовые ряды
Учебное пособие Редактор Е.М.Марносова Темплан 2003., поз.№ Лицезия ИД № 04790 от 18.05.2001 Подписано в печать _________________. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 250. Заказ____. Волгоградский государственный технический университет. 400131 Волгоград, пр. Ленина,28. РПК ”Политехник”. Волгоградского государственного технического университета. 400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
