· Usare la legge di raffreddamento di Newton per rispondere alle seguenti domande. (a) Quale...

34 ■ CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI

6. La tabella fornisce dati per la popolazione degli Stati Uniti,in milioni, nel periodo 1900-2000.

(a) Usare il modello esponenziale e i grafici del censimentodel 1900 e del 1910 per prevedere la popolazione nel2000. Confrontare col grafico reale e cercare di spiegarela discrepanza.

(b) Usare il modello esponenziale e i grafici del censimentodel 1980 e del 1990 per prevedere la popolazione nel2000. Confrontare col dato reale. Usare poi questomodello per prevedere la popolazione nel 2010 e nel 2020.

; (c) Tracciare un grafico che mostra le funzioni esponenzialideterminate in (a) e (b) insieme alla situazione reale dellapopolazione. I due modelli sono realistici?

7. Alcuni esperimenti dimostrano che la reazione chimica

avviene a 45 °C e che la velocità di reazione dell’N O è pro-porzionale alla sua concentrazione secondo la legge:

(a) Trovare l’espressione per la concentrazione N O dopot secondi a partire da una concentrazione iniziale C.

(b) Quanto tempo è necessario per ridurre la concentrazionedi N O al 90% del valore iniziale?

8. Il bismuto 210 ha un tempo di dimezzamento di 5.0 giorni.(a) Un campione ha in origine una massa di 800 mg. Trovare

l’espressione per la massa rimasta dopo t giorni.(b) Trovare la massa residua dopo 30 giorni.(c) Quanto tempo è necessario perché la massa si riduca a

1 mg?(d) Tracciare un grafico qualitativo della funzione massa.

9. Il tempo di dimezzamento del cesio 137 è di 30 anni. Si sup-ponga di avere un campione di 100 mg.(a) Trovare la massa residua dopo t anni.(b) Quanta massa rimane dopo 100 anni?(c) Dopo quanto tempo rimarrà 1 solo mg?

10. Dopo 3 giorni un campione di radon 222 si riduce al 58%della quantità iniziale.(a) Qual è il tempo di dimezzamento del radon 222?

52

5�2�

�d�N2O5�

dt� 0.0005�N2O5�

52

N2O5 B 2NO2 �12 O2

1. Una popolazione di protozoi si sviluppa con tasso di crescitarelativo costante di 0.7944 per individuo al giorno. Al giornozero la popolazione è formata da due membri. Trovare ilnumero di individui dopo 6 giorni.

2. Un abitante usuale dell’intestino umano è il batterio Escheri-chia Coli. Una cellula di questo batterio in brodo di coltura sidivide in due ogni 20 minuti. La popolazione iniziale di unacoltura è 60 cellule.(a) Trovare il tasso di crescita relativo.(b) Determinare un’espressione per il numero di cellule dopo

t ore.(c) Determinare il numero di cellule dopo 8 ore.(d) Trovare il tasso di crescita dopo 8 ore.(e) Quando la popolazione conterà 20 000 individui?

3. Una coltura di batteri parte con 500 individui e cresce a untasso proporzionale alla propria dimensione. Dopo 3 ore cisono 8000 batteri.(a) Determinare un’espressione per il numero di batteri dopo

t ore.(b) Determinare il numero di batteri dopo 4 ore.(c) Trovare il tasso di crescita dopo 4 ore.(d) Quando la popolazione conterà 30 000 individui?

4. Una coltura di batteri si sviluppa con tasso di crescita relativocostante. Dopo 2 ore ci sono 600 batteri e dopo 8 ore se necontano 75 000.(a) Trovare la popolazione iniziale.(b) Determinare un’espressione per la popolazione dopo t ore.(c) Determinare il numero di cellule dopo 5 ore.(d) Trovare il tasso di crescita dopo 5 ore.(e) Quando la popolazione conterà 200 000 individui?

5. In tabella sono riportati dati relativi alla popolazione mon-diale, in milioni, dal 1750 al 2000.

(a) Usare il modello esponenziale e i grafici della popola-zione del 1750 e del 1800 per prevedere la popolazionenel 1900 e 1950. Confrontare con i grafici reali.

(b) Usare il modello esponenziale e i grafici della popola-zione del 1850 e del 1900 per prevedere la popolazionenel 1950. Confrontare con la popolazione reale.

(c) Usare il modello esponenziale e i grafici della popola-zione del 1900 e del 1950 per prevedere la popolazionenel 2000. Confrontare con la popolazione reale e spiegarela discrepanza.

Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●1.4

Anno Popolazione Anno Popolazione

1750 790 1900 16501800 980 1950 25601850 1260 2000 6070

Anno Popolazione Anno Popolazione

1900 76 1960 1791910 92 1970 2031920 106 1980 2271930 123 1990 2501940 131 2000 2751950 150

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resse viene composto (i) annualmente, (ii) trimestral-mente, (iii) mensilmente, (iv) giornalmente, (v) ogni ora,(vi) in modo continuo.

; (b) Si supponga di prendere in prestito 500 € a un interessecomposto continuo. Se A(t) è la somma dovuta dopo 2 anni,con , disegnare su una stessa schermata i graficidi A(t) quando il tasso di interesse è del 14%, 10% e 6%.

17. (a) Supponendo di investire 3000 € al 5% d’interesse, calco-lare la somma ricavata dopo 2 anni se l’interesse vienecomposto (i) annualmente, (ii) semestralmente, (iii) men-silmente, (iv) settimanalmente, (v) giornalmente, (vi) inmodo continuo.

(b) Se A(t) è l’investimento al tempo t nel caso di interessecomposto continuo, scrivere l’equazione differenziale ela condizione iniziale verificate da A(t).

18. (a) In quanto tempo un investimento raddoppia il suo valorese l’interesse è composto in modo continuo con un tassopari al 6%?

(b) Qual è il tasso d’interesse annuale equivalente?

19. Si consideri una popolazione P = P(t) con tassi relativi dinascita e morte costanti, pari ad e , e un tasso di migra-zione costante m, dove , , m sono costanti positive. Siassuma . Allora il tasso di crescita della popolazione altempo t è descritto dall’equazione differenziale

dove

(a) Trovare la soluzione di questa equazione che verifica lacondizione iniziale

(b) Quali valori di m garantiscono una crescita esponenzialedella popolazione?

(c) Quali m portano ad avere un valore costante della popo-lazione? Quali danno una diminuzione della popola-zione?

(d) Nel 1847, la popolazione in Irlanda era di circa 8 milionidi abitanti e la differenza tra i tassi relativi di nascite edecessi era pari all’1.6% della popolazione. A causa dellacarestia di patate del 1840 e del 1850, circa 210 000 abi-tanti emigrarono dall’Irlanda. In quel periodo la popola-zione si trovava in fase di espansione o di diminuzione?

20. Sia c un numero positivo. Un’equazione differenziale nellaforma

dove k è una costante positiva, viene chiamata equazione delgiudizio universale perché l’esponente dell’espressione è maggiore di quello relativo alla crescita naturale (che è ky).(a) Trovare la soluzione che verifica la condizione iniziale

(b) Mostrare che esiste un tempo finito t = T in cui.

(c) Una razza particolarmente prolifica di conigli ha tasso di cre-scita pari a . Se 2 conigli di tale razza portano a 16 indi-vidui dopo 3 mesi, quando cadrà il “giorno del giudizio”?

ky 1.01

lim t l T � y�t� � �

y�0� � y0.

ky 1�c

dy

dt� ky 1�c

P�0� � P0.

k � � dP

dt� kP � m

�

0 � t � 2

(b) Quanto tempo è necessario perché il campione si riducaal 10% della quantità iniziale?

11. Per determinare l’età di oggetti antichi, gli scienziati usano ilmetodo della datazione al carbonio. Il bombardamento del-l’atmosfera superiore da parte dei raggi cosmici converte l’a-zoto nell’isotopo radioattivo del carbonio C, che ha un tempodi dimezzamento di circa 5730 anni. I vegetali assorbono ildiossido di carbonio dall’atmosfera e il C arriva agli animalitramite la catena alimentare. Quando un albero o un animalemuoiono, terminano il loro processo di ricambio del carbonioe la quantità di C comincia a diminuire secondo la legge deldecadimento radioattivo. Perciò anche il livello di radioattivitàdecade esponenzialmente. È stato scoperto un frammento dipergamena contenente circa il 74% della quantità di C conte-nuto attualmente nei vegetali. Stimare l’età della pergamena.

12. Una curva passa per il punto (0,5) e ha la proprietà che lapendenza della curva in ogni punto P è due volte il valore del-l’ordinata y di P. Qual è l’equazione della curva?

13. La legge di raffreddamento di Newton afferma che la velocitàdi raffreddamento di un oggetto è proporzionale alla differenzatra la temperatura dell’oggetto e quella dell’ambiente circo-stante. Si supponga che un tacchino arrosto sia tolto dal forno auna temperatura di 185 °F e venga appoggiato sul tavolo in unastanza dove la temperatura è 75 °F. Se u(t) è la temperatura deltacchino dopo t minuti, la legge di Newton afferma che

Questa equazione si può risolvere come equazione a variabiliseparabili. Un altro metodo consiste nell’operare la sostitu-zione .(a) Qual è il problema ai valori iniziali verificato dalla nuova

funzione y(t)? Qual è la soluzione?(b) Se la temperatura del tacchino dopo mezz’ora è di 150 °F,

qual è la temperatura dopo 45 minuti?(c) Dopo quanto tempo il tacchino raggiunge una tempera-

tura di 100 °F?

14. Un termometro prelevato dall’interno di una stanza allatemperatura di 20 °C viene portato all’esterno, dove sihanno 5 °C. Dopo un minuto la temperatura da esso indicataè di 12 °C. Usare la legge di raffreddamento di Newton perrispondere alle seguenti domande.(a) Quale sarà la temperatura esterna misurata dal termome-

tro dopo un altro minuto?(b) Quanto tempo è necessario perché la temperatura indicata

dal termometro arrivi a 6 °C?

15. A temperatura costante, il tasso di variazione della pressioneatmosferica P rispetto all’altitudine h è proporzionale a P. A15 °C la pressione al livello del mare è di 101.3 kPa e di87.14 kPa se h = 1000 m.(a) Qual è la pressione a 3000 m?(b) Qual è la pressione in cima al monte Mc Kinley, a un’al-

tezza di 6187 m?

16. (a) Supponendo di prendere in prestito 500 € al 14% d’inte-resse, calcolare la somma dovuta dopo 2 anni se l’interes-

y � u � 75

du

dt� k�u � 75�

14

14

14

14

PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE ◆ 35

027-036 16-01-2002 16:07 Pagina 35


Il calcolo e il baseball

Vogliamo esplorare in questo progetto alcune delle innumerevoli applicazioni del calcolo allediscipline sportive. In particolare, ci occupiamo qui del baseball, o meglio del problema dellacollisione della palla con la mazza del battitore. Il problema è assai complesso e vienediscusso in dettaglio in The Physics of Baseball di Robert Adair (New York, Harper and Row,1990).

1. La collisione tra la mazza e la pallina durante una partita agonistica di baseball dura inmedia un millesimo di secondo. Vogliamo calcolare la forza che mediamente agisce sullamazza durante l’impatto. Per farlo occorre calcolare la variazione della quantità di motodella palla.

La quantità di moto p di un oggetto è il prodotto della sua massa m per la sua velocità. Si supponga che un oggetto, che si muove di moto rettilineo, subisca l’azione di

una forza , funzione continua del tempo.(a) Mostrare che la variazione di quantità di moto nell’intervallo di tempo è pari

all’integrale di F da a ; ossia dimostrare la validità della formula

Questo integrale viene chiamato impulso della forza nell’intervallo di tempo assegnato.(b) Una palla che arriva con velocità pari a 90 mi/h è in contatto con la mazza per 0.001

s, e viene rilanciata a una velocità di 110 mi/h (la palla pesa 5 once).(i) Trovare la variazione di quantità di moto della palla.

(ii) Trovare la forza media che agisce sulla mazza.

2. Calcoliamo ora il lavoro necessario per lanciare una palla a 90 mi/h con il metodo dell’e-nergia cinetica.

L’energia cinetica K di un oggetto di massa m e velocità v è . Si suppongache un oggetto, che si muove di moto rettilineo, risenta dell’azione della forza ,funzione della posizione s. Per la seconda legge di Newton:

dove a e v indicano l’accelerazione e la velocità dell’oggetto.(a) Mostrare che il lavoro necessario per spostare un oggetto da una posizione a una

posizione è dato dalla variazione di energia cinetica

dove e esprimono la velocità dell’oggetto nelle posizioni e .Suggerimento: Sfruttare la regola di derivazione della funzione composta

(b) Qual è il lavoro necessario per lanciare una palla da baseball alla velocità di 90 mi/h?

3. (a) Se una palla viene lanciata da una distanza di 85 m con velocità iniziale pari a 30m/s, assumendo che la velocità della palla dopo t secondi segua l’equazione dif-ferenziale , che tiene conto della resistenza dell’aria, quanto tempooccorre affinché la palla raggiunga il suo obiettivo? (Trascurare il moto verticaledella palla.)

dv�dt � �v�10v�t�

m dv

dt� m

dv

ds ds

dt� mv

dv

ds

s1s0v1 � v�s1�v0 � v�s0 �

W � ys1

s 0

F�s� ds � 12 mv1

2 �12 mv0

2

s1

s0

F�s� � ma � m dv

dt

F � F�s�K � 1

2 mv2

p�t1� � p�t0 � � yt 1

t 0

F�t� dt

t1t0

�t0, t1�F � F�t�

p � mv

Progettoapplicato

La rappresentazione in sequenzadel movimento della mazza da baseball.La successione viene rilevata a intervallidi un cinquantesimo di secondo.

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PARAGRAFO 1.5 L’EQUAZIONE LOGISTICA ◆ 37

L’equazione logistica ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

In questo paragrafo discutiamo in dettaglio un modello per la crescita delle popola-zioni, il modello logistico, più sofisticato di quello a crescita esponenziale. Nellanostra analisi useremo tutti gli strumenti che abbiamo a disposizione: campi di dire-zioni e metodo di Eulero dal Paragrafo 1.2 e la soluzione esplicita di un’equazione dif-ferenziale separabile dal Paragrafo 1.3. Negli esercizi studieremo altri possibilimodelli di crescita delle popolazioni, alcuni dei quali tengono in considerazione cata-strofi e crescite stagionali.

Il modello logistico

Come abbiamo discusso nel Paragrafo 1.1, una popolazione spesso cresce esponen-zialmente in un primo momento ma via via la crescita rallenta e poi tende alla capa-cità dell’ambiente, a causa della limitatezza delle risorse. Se P(t) è la popolazione altempo t, assumiamo che

Ciò dice che il tasso di crescita è inizialmente quasi proporzionale alla popolazionestessa. In altre parole, il tasso di crescita relativo è circa costante quando la popola-zione è ridotta. Ma vogliamo anche esprimere il fatto che il tasso di crescita relativodiminuisce al crescere della popolazione, e diventa negativo se P supera la capacitàdell’ambiente K, il massimo numero di individui che l’ambiente è in grado di soste-nere sul lungo periodo. L’espressione più semplice per il tasso di crescita relativo checontempla queste ipotesi è

Moltiplicando per P, otteniamo un modello di crescita della popolazione conosciutocome equazione differenziale logistica:

Notiamo dall’Equazione 1 che se P è piccolo rispetto a K, allora P/K è vicino a 0 edunque . Comunque, se (la popolazione si avvicina alla capacitàP l KdP�dt � kP

dP

dt� kP�1 �

P

K�1

1

P dP

dt� k�1 �

P

K�

se P è piccolodP

dt� kP

1.5

(b) Un allenatore vuole verificare se la palla può raggiungere il suo obiettivo in un tempoinferiore nel caso in cui venga intercettata e rilanciata durante il tragitto. L’operazionedi intercettazione e di rilancio dura mezzo secondo e la palla viene rilanciata alla velo-cità di 32 m/s. A quale distanza occorre intercettare la palla per minimizzare il tempototale di percorrenza degli 85 m? A quale distanza si deve intercettare la palla se ilrilancio avviene con una velocità pari a 35 m/s?

; (c) Qual è la velocità minima alla quale deve essere effettuato il rilancio affinché impie-ghi lo stesso tempo di un lancio diretto?

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dell’ambiente), allora , e . Possiamo ricavare direttamentedall’Equazione 1 informazioni sul fatto che la popolazione cresce o decresce. Se P sitrova tra 0 e K, allora il termine di destra è positivo e dP/dt > 0, dunque la popolazionecresce. Se la popolazione supera il valore della capacità dell’ambiente (P > K), allora1 – P/K è negativo e dP/dt < 0, dunque la popolazione decresce.

Campo di direzioni

Iniziamo ora un’analisi più dettagliata dell’equazione logistica studiando il campo didirezioni associato.

ESEMPIO 1 Disegnare il campo di direzioni dell’equazione logistica con k = 0.08 ecapacità K = 1000. Cosa si può dire delle soluzioni?

SOLUZIONE In questo caso l’equazione è

Un campo di direzioni per questa equazione è visualizzato in Figura 1. Viene mostratosolo il primo quadrante perché non ha significato parlare di valori negativi di popola-zione, e ci interessa l’evoluzione dopo il tempo t = 0.

L’equazione logistica è autonoma (dP/dt dipende solo da P, non da t), dunque lependenze sono uguali lungo ogni retta orizzontale. Come previsto, le pendenze sonopositive per 0 < P < 1000 e negative se P > 1000.

Inoltre esse diventano piccole quando P si avvicina a 1000 (la capacità). Notiamoche le soluzioni si allontanano dalla soluzione di equilibrio P = 0 e tendono alla solu-zione di equilibrio P = 1000.

In Figura 2 abbiamo usato il campo di direzioni per tracciare il grafico delle curvesoluzione con P(0) = 100, P(0) = 400, P(0) = 1300. Si noti che le soluzioni che par-tono sotto a P = 1000 sono crescenti mentre quelle che partono sopra sono decre-scenti. Le pendenze sono maggiori per , perciò le soluzioni che iniziano sottoa P = 1000 hanno un punto di flesso quando . In realtà si può dimostrare chetutte le curve che partono sotto a P = 500 hanno un flesso proprio in corrispondenzadi P = 500 (si veda l’Esercizio 9).

P � 500P � 500

FIGURA 1Campo di direzioni per l’equazione logistica dell’Esempio 1

0 t

P

80

1400

604020

1200

1000

800

600

400

200

FIGURA 2Alcune soluzioni per l’equazione logistica dell’Esempio 1

0 t

P

80

1400

604020

1200

1000

800

600

400

200

dP

dt� 0.08P�1 �

P

1000�

dP�dt l 0P�K l 1

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Metodo di Eulero

Usiamo ora il metodo di Eulero per ottenere stime numeriche delle soluzioni dell’e-quazione logistica in fissati istanti di tempo.

ESEMPIO 2 Usare il metodo di Eulero con passi 20, 10, 5, 1 e 0.1 per stimare i valoridella popolazione P(40) e P(80), dove P è la soluzione del problema ai valori iniziali

SOLUZIONE Con passo , , , e

otteniamo, con le notazioni del Paragrafo 1.2:

Pertanto, le nostre stime per la popolazione al tempo t = 40 e t = 80 sono

Per passi più piccoli è utile servirsi di un computer. La tabella seguente fornisce irisultati.

In Figura 3 troviamo i grafici delle approssimazioni di Eulero con passo h = 10 eh = 1. Si noti che l’approssimazione con h = 1 è molto simile alla curva inferiore cheabbiamo disegnato sfruttando il campo di direzioni nella Figura 2.

FIGURA 3Approssimazioni di Eulero

della curva soluzione dell’Esempio 20 t

P

80604020

1000

h=1

h=10

P�80� � 1032P�40� � 539

P4 � 936.69 � 20F�60, 936.69� � 1031.57

P3 � 539.14 � 20F�40, 539.14� � 936.69

P2 � 244 � 20F�20, 244� � 539.14

P1 � 100 � 20F�0, 100� � 244

F�t, P� � 0.08P�1 �P

1000�P0 � 100t0 � 0h � 20

P�0� � 100dP

dt� 0.08P�1 �

P

1000�


Passo Stima di Eulero di Stima di Eulero di

20 539 103210 647 9975 695 9911 725 9860.1 731 985

P�80�P�40�

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Soluzione analitica

L’equazione logistica è separabile e possiamo risolverla esplicitamente seguendo ilmetodo spiegato nel Paragrafo 1.2. Poiché

abbiamo

Per calcolare l’integrale sulla sinistra, scriviamo

Con il metodo delle frazioni parziali (si veda il volume Funzioni di una variabile,Paragrafo 5.7), si trova

Questo permette di riscrivere l’Equazione 2 come:

dove . Risolvendo l’Equazione 3 rispetto a P, otteniamo

e dunque

Troviamo il valore di A ponendo t = 0 nell’Equazione 3. Se t = 0 allora (lapopolazione iniziale), e risulta

K � P0

P0� Ae 0 � A

P � P0

P �K

1 � Ae�kt

P

K�

1

1 � Ae�kt?K

P� 1 � Ae�kt

A � �e�C

K � P

P� Ae�kt3

� K � P

P � � e�kt�C � e�Ce�kt

ln � K � P

P � � �kt � C

ln P � ln K � P � kt � C

y � 1

P�

1

K � P� dP � y k dt

K

P�K � P��

1

P�

1

K � P

1

P�1 � P�K ��

K

P�K � P�

y dP

P�1 � P�K �� y k dt2

dP

dt� kP�1 �

P

K�


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La soluzione dell’equazione logistica è quindi

Usando l’espressione di P(t) nell’Equazione 4, troviamo che

come previsto.

ESEMPIO 3 Scrivere l’espressione della soluzione del problema ai valori iniziali

e usarla per trovare le popolazioni P(40) e P(80). In quale istante la popolazione conta900 individui?

SOLUZIONE L’equazione differenziale è l’equazione logistica con k = 0.08, capacità K =1000 e popolazione iniziale . Dunque dall’Equazione 4 ricaviamo la popo-lazione al tempo t:

Allora

Perciò i valori della popolazione quando t = 40 e 80 sono

La popolazione raggiunge il valore 900 quando

Risolvendo questa equazione rispetto a t si trova

La popolazione arriva a 900 unità quando t è circa 55. Come verifica del risultato,disegniamo in Figura 4 la curva della popolazione e osserviamo dove interseca la rettaP = 900. Il cursore indica .t � 55

t �ln 81

0.08� 54.9

�0.08t � ln 181 � �ln 81

e�0.08t � 181

1 � 9e�0.08t � 109

1000

1 � 9e�0.08t � 900

P�80� �1000

1 � 9e�6.4 � 985.3P�40� �1000

1 � 9e�3.2 � 731.6

P�t� �1000

1 � 9e�0.08t

dove A �1000 � 100

100� 9P�t� �

1000

1 � Ae�0.08t

P0 � 100

P�0� � 100dP

dt� 0.08P�1 �

P

1000�

limt l �

P�t� � K

where A �K � P0

P0P�t� �

K

1 � Ae�kt4


▲ Si confrontino questi valori con le stimedi Eulero dell’Esempio 2:

P�80� � 985P�40� � 731

▲ Si confronti la curva soluzione diFigura 4 con la curva soluzione inferioreche abbiamo disegnato a partire dalcampo di direzioni in Figura 2.

1000

0 80

P=1000

1+9e_0.08t

P=900

FIGURA 4

dove

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Confronto tra il modello di crescita naturale e il modello logistico

Nel 1930 il biologo G.F. Gause condusse un esperimento sul protozoo paramecio eusò l’equazione logistica per modellizzare i suoi dati. In tabella troviamo i valori dellapopolazione di protozoi da lui osservati quotidianamente.

ESEMPIO 4 Trovare il modello esponenziale e logistico corrispondenti ai dati di Gause.Confrontare le previsioni dei modelli con i valori osservati e commentare.

SOLUZIONE Dato il tasso di crescita relativo k = 0.7944 e la popolazione iniziale ,il modello esponenziale è

Gause usò questo stesso valore di k per il suo modello. [Questo è ragionevole perchéè piccolo se confrontato con la capacità dell’ambiente (K = 64). L’equazione

mostra che il valore di k per il modello logistico è molto vicino a quello del modelloesponenziale.]

Risolvendo l’equazione logistica troviamo

dove

Dunque

Usiamo queste equazioni per calcolare i valori previsti (arrotondati al più vicinonumero intero) e li riportiamo nella tabella.

P�t� �64

1 � 31e�0.7944t

A �K � P0

P0�

64 � 2

2� 31

P�t� �K

1 � Ae�kt �64

1 � Ae�0.7944t

1

P0 dP

dt �t�0

� k�1 �2

64� � k

P0 � 2

P�t� � P0ekt � 2e 0.7944t

P0 � 2


t (giorni) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

P (osservata) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57

t (giorni) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

P (osservata) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57

P (modello logistico) 2 4 9 17 28 40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64

P (modello esponenz.) 2 4 10 22 48 106 . . .

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Notiamo dalla tabella e dai grafici in Figura 5 che per i primi tre o quattro giorni ilmodello esponenziale fornisce risultati confrontabili a quelli del più raffinato modellologistico. Per , invece, il modello esponenziale diventa terribilmente impreciso,mentre il modello logistico segue i valori osservati abbastanza bene.

Altri modelli per la crescita delle popolazioni

La legge di crescita naturale e l’equazione differenziale logistica non sono le unicheequazioni che sono state proposte per modellizzare la crescita di una popolazione.Nell’Esercizio 14 vedremo la funzione di crescita di Gompert, e nei successiviEsercizi 15 e 16 studieremo modelli per la crescita stagionale.

Due altri modelli sono modificazioni di quello logistico. L’equazione differenziale

è usata per descrivere il comportamento di una popolazione soggetta a “catastrofi” divario tipo (si pensi a una popolazione di pesci che vengono catturati a un ritmocostante). Questa equazione è analizzata negli Esercizi 11 e 12.

Per alcune specie c’è un livello minimo m sotto il quale la popolazione tende aestinguersi. (Gli adulti non riescono ad accoppiarsi.) Per queste popolazioni è statoproposto il modello

dove il fattore 1 – m/P tiene conto delle conseguenze di una popolazione poco nume-rosa (si veda l’Esercizio 13).

dP

dt� kP�1 �

P

K��1 �m

P�

dP

dt� kP�1 �

P

K� � c

FIGURA 5Il modello esponenziale e il modello

logistico per i dati del paramecio.

0 t

P

161284

60

P=2e0.7944t

40

20P=

64

1+31e_0.7944t

t � 5


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3. La pesca dell’ippoglosso del Pacifico è stata modellizzatadall’equazione

dove y(t) è la biomassa (la massa totale di individui dellapopolazione) in kilogrammi al tempo t (misurato in anni), lacapacità dell’ambiente è , e k = 0.71 l’anno.(a) Se , calcolare la biomassa presente un

anno dopo.(b) Quanto tempo è necessario perché la biomassa raggiunga

?

4. In tabella sono riportati i dati relativi al numero di cellule dilievito in una nuova coltura di laboratorio.

(a) Riportare in grafico i dati e stimare la capacità dellapopolazione di cellule.

(b) Usare i dati per stimare il tasso di crescita relativo ini-ziale.

(c) Determinare il modello esponenziale e il modello logi-stico corrispondente a questi dati.

(d) Confrontare i valori previsti con i valori osservati, sia inuna tabella sia con i grafici. Commentare quanto i modellisi avvicinano ai dati reali.

(e) Usare il modello logistico trovato per stimare il numerodi cellule dopo 7 ore.

5. La popolazione mondiale nel 1990 era di 5.3 miliardi di indi-vidui. Il tasso di nascite negli anni Novanta varia tra 35 e 40milioni l’anno mentre i decessi tra 15 e 20 milioni l’anno. Siassuma che la capacità dell’ambiente sia di 100 miliardi diindividui.(a) Scrivere l’equazione logistica per questi dati. (Poiché la

popolazione iniziale è molto inferiore alla capacità, si puòpensare che k sia il tasso di crescita relativo iniziale.)

(b) Usare il modello logistico per stimare la popolazionemondiale nel 2000 e confrontare con il valore effettivodella popolazione, pari a 6.1 miliardi.

(c) Con il modello logistico stimare la popolazione nel 2100e 2500.

(d) Quali diventano le previsioni se la capacità dell’ambienteè 50 miliardi?

6. (a) Formulare un’ipotesi per la capacità della popolazione degliStati Uniti. Usando poi il fatto che la popolazione nel 1995 era

4 � 107 kg

y�0� � 2 � 107 kgK � 8 � 107 kg

dy

dt� ky�1 �

y

K�1. Si supponga che una popolazione evolva secondo l’equa-

zione logistica

dove t è misurato in settimane.(a) Qual è la capacità dell’ambiente? Qual è il valore di k?(b) In figura è mostrato un campo di direzioni. Dove si tro-

vano le pendenze vicine a 0? Dove sono le più inclinate?Quali soluzioni sono crescenti? E quali decrescenti?

(c) Usare il campo di direzioni per tracciare le soluzioni conpopolazione iniziale pari a 20, 40, 60, 80, 120 e 140 indi-vidui. Cos’ hanno in comune queste soluzioni? In cosadifferiscono? Quali hanno punti di flesso? A quali livellidi popolazione si trovano i flessi?

(d) Quali sono le soluzioni di equilibrio? Come si compor-tano le altre soluzioni rispetto alle soluzioni di equilibrio?

; 2. Si supponga che una popolazione cresca secondo l’equazionelogistica con capacità dell’ambiente 6000 e k = 0.0015l’anno.(a) Scrivere l’equazione logistica corrispondente a questi dati.(b) Disegnare un campo di direzioni (a mano o con un

sistema di computer algebra). Quali informazioni sihanno sulle curve soluzione?

(c) Usare il campo di direzioni per tracciare le soluzioni conpopolazione iniziale pari a 1000, 2000, 4000 e 8000 indi-vidui. Cosa si può dire della loro concavità? Qual è ilsignificato dei punti di flesso?

(d) Programmare un computer per usare il metodo di Eulerocon passo h = 1 e stimare il valore della popolazione dopo50 anni se la popolazione iniziale è di 1000 individui.

(e) Se la popolazione iniziale è di 1000, determinare la for-mula per il numero d’individui dopo t anni. Con la for-mula calcolare la popolazione dopo 50 anni e confrontarecon la stima ottenuta in (d).

(f) Disegnare la curva in (e) e confrontare con la curva solu-zione tracciata in (c).

0 t

P

604020

150

100

50

dP

dt� 0.05P � 0.0005P2


Tempo (ore) Cellule Tempo (ore) Cellule

0 18 10 5092 39 12 5974 80 14 6406 171 16 6648 336 18 672

Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●1.5

037-050 16-01-2002 16:08 Pagina 44


e 300 pesci. Disegnare le soluzioni corrispondenti e con-frontare coi grafici ottenuti in (d).

12. Si consideri l’equazione differenziale

come modello per una popolazione di pesci, dove t è misu-rato in settimane e c è una costante.(a) Usare un CAS per disegnare i campi di direzioni corri-

spondenti a diversi valori di c.(b) Guardando i campi disegnati in (a), determinare i valori

di c per cui esiste almeno una soluzione di equilibrio. Perquali c la popolazione si estingue?

(c) Usare l’equazione differenziale per dimostrare le conclu-sioni ottenute graficamente in (b).

(d) Qual è il limite raccomandabile per la pesca di questaspecie durante una settimana?

13. Da evidenza sperimentale risulta che per alcune specie esisteun minimo valore m per la popolazione sotto il quale la spe-cie inizia a estinguersi. Questa condizione può essere previ-sta modificando l’equazione logistica con il fattore (1 – m/p).Si ottiene così il modello logistico modificato

(a) Mostrare che ogni soluzione di questa equazione crescese m < P < K e decresce se 0 < P < m.

(b) Nel caso k = 0.08, K = 1000 e m = 200, disegnare uncampo di direzioni e alcune curve soluzione. Descrivereil comportamento della popolazione per diverse condi-zioni iniziali. Quali sono le soluzioni di equilibrio?

(c) Risolvere esplicitamente l’equazione, o usando frazioniparziali o con un CAS, con popolazione iniziale .

(d) Dalla soluzione ottenuta in (c), ricavare che se ,allora la specie è destinata a estinguersi. [Suggerimento:Mostrare che il numeratore nella formula per P(t) è 0 perqualche valore di t.]

14. Un altro modello di funzione di crescita limitata per popola-zioni è la funzione di Gompertz, che è una soluzione dell’e-quazione differenziale

dove c è una costante e K la capacità dell’ambiente.(a) Risolvere questa equazione differenziale.(b) Calcolare .(c) Disegnare la funzione di crescita di Gompertz per

, e , e confrontarla con lafunzione logistica nell’Esempio 3. Quali sono le somi-glianze? Quali le differenze?

c � 0.05P0 � 100K � 1000

lim t l � P�t�

dP

dt� c ln�K

P�P

P0 � mP0

dP

dt� kP�1 �

P

K��1 �m

P�

dP

dt� 0.08P�1 �

P

1000� � c

CAS

di 250 milioni di individui, formulare il modello logisticoassociato.

(b) Determinare il valore di k nel modello sapendo che nel2000 la popolazione era di 275 milioni.

(c) Usare il modello per prevedere la popolazione nel 2100 enel 2200.

(d) Usare il modello per prevedere quando la popolazionedegli Stati Uniti supererà i 300 milioni di abitanti.

7. Un modello per la diffusione di una notizia è che la velocitàdi diffusione sia proporzionale al prodotto della frazione y dipopolazione che ha sentito la notizia per la frazione che nonlo ha sentito.(a) Scrivere l’equazione differenziale soddisfatta da y.(b) Risolvere l’equazione differenziale.(c) Una piccola città ha 1000 abitanti. Alle 8 del mattino, 80

persone vengono a conoscenza di una notizia. Per mezza-notte, metà della città ne ha sentito parlare. A che ora il90% della popolazione avrà sentito la notizia?

8. Un gruppo di biologi ha introdotto in un lago 400 pesci sti-mando che la capacità dell’ambiente (il massimo numero dipesci di quella specie nel lago) sia di 10 000 unità. I pesci sisono triplicati nel corso del primo anno.(a) Assumendo che la popolazione di pesci cresca secondo il

modello logistico, trovare l’espressione del numero dipesci dopo t anni.

(b) Quanto tempo è necessario perché i pesci diventino 5000?

9. (a) Mostrare che se P soddisfa l’equazione logistica (1), allora

(b) Dedurre che una popolazione cresce con velocità maggiorequando raggiunge la metà della capacità dell’ambiente.

; 10. Per un dato valore di K (per esempio K = 10) la famiglia difunzioni logistiche nell’Equazione 4 dipende dal valore ini-ziale e dalla costante k. Disegnare alcune di queste fun-zioni. Come cambia il grafico al variare di ? Come varia ilgrafico al variare di k?

11. Modifichiamo l’equazione differenziale logistica dell’Esem-pio 1 come segue:

(a) Supponendo che P(t) rappresenti una popolazione dipesci al tempo t, con t misurato in settimane, spiegare ilsignificato del termine –15.

(b) Disegnare un campo di direzioni per questa equazione.(c) Quali sono le soluzioni di equilibrio?(d) Usare il campo di direzioni per disegnare alcune solu-

zioni. Descrivere il comportamento della popolazione perdiversi valori iniziali.

; (e) Risolvere esplicitamente l’equazione, o usando frazioniparziali o con un CAS, con popolazioni iniziali di 200 e

dP

dt� 0.08P�1 �

P

1000� � 15

P0

P0

d 2P

dt 2 � k 2P�1 �P

K��1 �2P

K �

037-050 16-01-2002 16:08 Pagina 45

; (b) Dopo aver disegnato la soluzione per diversi valori di k, re , spiegare come k, r e influenzano la soluzione. Cosasi può dire del ?

16. Si modifichi l’equazione differenziale dell’Esercizio 15 comesegue:

(a) Risolvere questa equazione differenziale con l’aiuto diuna tavola degli integrali o di un CAS.

; (b) Dopo aver disegnato la soluzione per diversi valori di k, re , spiegare come k, r e influenzano la soluzione. Cosasi può dire del ?lim t l � P�t�

P�0� � P0dP

dt� kP cos2�rt � �

lim t l � P�t�

(d) Dall’Esercizio 9 sappiamo che la funzione logistica cre-sce più rapidamente quando P = K/2. Usare l’equazionedifferenziale di Gompertz per mostrare che la crescitamaggiore per la funzione di Gompertz si ha per P = k/e.

15. In un modello di crescita stagionale si introduce una fun-zione periodica nel tempo per tenere conto di variazioni sta-gionali nel tasso di crescita. Queste variazioni potrebberoessere causate per esempio da cambiamenti nella disponibi-lità di cibo.(a) Trovare la soluzione del modello di crescita stagionale

dove , , e sono costanti positive.rk

P�0� � P0dP

dt� kP cos�rt � �

Sistemi di tipo preda-predatore ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Abbiamo visto diversi modelli per descrivere lo sviluppo di una specie che vive iso-lata in un certo ambiente. In questo paragrafo consideriamo modelli più realistici cheesaminano l’interazione tra due specie che convivono nello stesso habitat. Vedremoche questi modelli hanno la forma di coppie di equazioni differenziali legate tra loro.

Consideriamo prima la situazione in cui una specie, costituita dalle prede, dispongadi una grande quantità di nutrimento e la seconda specie, i predatori, si nutra dellapreda. Esempi di prede e predatori sono conigli e lupi in un bosco isolato, pesci epescecani, afidi e cimici, batteri e amebe. Il nostro modello avrà due variabili dipen-denti, entrambe funzioni del tempo. Indichiamo con R(t) il numero delle prede e conW(t) il numero di predatori al tempo t.

In assenza di predatori, l’abbondanza di cibo garantisce una crescita esponenzialedelle prede, cioè

In assenza di prede, assumiamo che la popolazione dei predatori diminuisca a unavelocità proporzionale al numero di individui, cioè

Quando entrambe le specie sono presenti, assumiamo che la causa principale di mortetra le prede sia l’uccisione da parte di un predatore, e che i tassi si crescita e di soprav-vivenza dei predatori dipendano dalla disponibilità di cibo, cioè di prede. Assumiamoanche che le due specie interagiscano in maniera proporzionale a entrambe le popola-zioni e quindi proporzionalmente al prodotto RW. (Più sono gli individui di una popo-lazione, maggiore è la possibilità di incontri tra le due specie.) Un sistema di equa-zioni differenziali che descrive questa situazione è

dW

dt� �rW � bRW

dR

dt� kR � aRW1

dove r è una costante positivadW

dt� �rW

dove k è una costante positivadR

dt� kR

1.6


W rappresenta il predatore

R rappresenta la preda.

037-050 16-01-2002 16:08 Pagina 46

PARAGRAFO 1.6 SISTEMI DI TIPO PREDA-PREDATORE ◆ 47

dove k, r, a e b sono costanti positive. Si noti che il termine –aRW rallenta la crescitanaturale delle prede mentre il termine bRW aumenta la velocità di crescita naturale deipredatori.

Le equazioni in (1) sono note come le equazioni preda-predatore, o anche equa-zioni di Lotka-Volterra. Una soluzione di questo sistema di equazioni è una coppiadi funzioni R(t) e W(t) che descrivono le popolazioni di prede e di predatori come fun-zioni del tempo. Poiché il sistema è accoppiato (R e W compaiono in entrambe leequazioni), non possiamo risolvere prima un’equazione e poi un’altra; dobbiamorisolverle contemporaneamente. Sfortunatamente, di solito è impossibile trovare for-mule esplicite per R e W in funzione di t. Possiamo comunque usare metodi grafici peranalizzare le equazioni.

ESEMPIO 1 Supponiamo che le popolazioni di conigli e lupi siano descritte dalle equa-zioni di Lotka-Volterra (1) con k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 e b = 0.00002. Il tempo tsia misurato in mesi.(a) Trovare le soluzioni costanti (dette soluzioni di equilibrio) e interpretare larisposta.(b) Usare il sistema di equazioni differenziali per trovare un’espressione per dW/dR.(c) Disegnare un campo di direzioni per l’equazione differenziale ottenuta nel pianoRW. Tracciare poi un grafico di alcune curve soluzione.(d) Supponendo che a un dato istante ci siano 1000 conigli e 40 lupi, disegnare lasoluzione corrispondente e usarla per descrivere l’evoluzione di entrambe le popola-zioni.(e) Usare la parte (d) per tracciare i grafici di R e W come funzioni di t.

SOLUZIONE(a) Con i valori assegnati di k, a, r, b, le equazioni di Lotka-Volterra diventano

R e W risultano costanti se le loro derivate sono entrambe 0, cioè

Una soluzione è data da R = 0 e W = 0. (Ha senso: se non ci sono conigli né lupi, lepopolazioni non cresceranno.) L’altra soluzione costante è

Dunque la situazione di equilibrio consiste in 80 lupi e 1000 conigli. Questo significache sono necessari 1000 conigli a mantenere costante una popolazione di 80 lupi. Ilupi non sono troppi (significherebbe una diminuzione dei conigli) né troppo pochi (cisarebbe un aumento dei conigli).

R �0.02

0.00002� 1000

W �0.08

0.001� 80

W � W��0.02 � 0.00002R� � 0

R � R�0.08 � 0.001W� � 0

dW

dt� �0.02W � 0.00002RW

dR

dt� 0.08R � 0.001RW

▲ Le equazioni di Lotka-Volterra furonoproposte come modello per spiegare levariazioni nelle popolazioni di squali eprede nel mare Adriatico dal matematicoitaliano Vito Volterra (1860-1940).

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(b) Usiamo la formula di derivazione delle funzioni composte per eliminare t:

così

(c) Se pensiamo a W come funzione di R, abbiamo l’equazione differenziale

Disegniamo in Figura 1 un campo di direzioni per questa equazione differenziale e nericaviamo alcune curve soluzione, tracciate in Figura 2. Muovendoci lungo una curvasoluzione, osserviamo come varia nel tempo la relazione tra R e W. Notiamo che lacurva è chiusa, nel senso che se la percorriamo torniamo sempre nel punto di par-tenza. Notiamo anche che il punto (1000,80) è interno a tutte le curve. Quel puntoviene detto punto di equilibrio perché corrisponde alla soluzione di equilibrio R =1000, W = 80.

Quando rappresentiamo le soluzioni di una sistema di equazioni differenziali comein Figura 2, parliamo del piano RW come del piano delle fasi, e chiamiamo le curvesoluzione traiettorie di fase. Dunque una traiettoria di fase è il cammino percorso dauna soluzione (R,W) al trascorrere del tempo. Un ritratto di fase consiste nei punti diequilibrio e in alcune tipiche traiettorie di fase, come mostrato in Figura 2.

(d) Partire con 1000 conigli e 40 lupi significa disegnare la curva soluzione che passaper il punto . Vediamo questa traiettoria di fase in Figura 3, senza ilcampo di direzioni sullo sfondo. Partendo da al tempo t = 0, mentre t cresce, cimuoviamo lungo la traiettoria in senso orario o antiorario? Ponendo R = 1000 e W =40 nella prima equazione differenziale troviamo

P0

P0�1000, 40�

0 R

W

1000

150

100

50

2000 3000

FIGURA 1 Campo di direzioni per il sistema preda-predatore FIGURA 2 Ritratto di fase di sistema

0 R

W

1000

150

100

50

2000 3000

dW

dR�

�0.02W � 0.00002RW

0.08R � 0.001RW

dW

dR�

dW

dt

dR

dt

��0.02W � 0.00002RW

0.08R � 0.001RW

dW

dt�

dW

dR dR

dt


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Poiché dR/dt > 0, concludiamo che R è crescente in e dunque il movimento lungola traiettoria di fase è antiorario.

Si noti che in non ci sono abbastanza lupi per mantenere l’equilibrio tra le duepopolazioni, dunque i conigli aumentano. Questo significa un aumento dei lupi finchési arriva a un numero tale di lupi che i conigli faticano a tenersi lontano dai propri pre-datori. A quel punto i conigli iniziano a diminuire (in , dove stimiamo che il mas-simo raggiunto da R sia di 2800 conigli). Questo significa che in un certo momentosuccessivo i lupi cominceranno a calare (in , dove R = 1000 e ). Ma que-sto favorisce i conigli, che cominceranno di nuovo a crescere (in , dove W = 80 e

). Di conseguenza, anche la popolazione di lupi tornerà ad aumentare. Que-sto accade quando le popolazioni tornano ai loro valori iniziali di R = 1000 e W = 40,e l’intero ciclo ricomincia.

(e) Dalla descrizione fatta in (d) dell’evoluzione delle popolazioni di conigli e lupi,possiamo tracciare grafici qualitativi di R(t) e W(t). Supponiamo che i punti , e

in Figura 3 siano raggiunti negli istanti , e . Allora possiamo disegnare R e Wcome in Figura 4.

Per confrontare più facilmente i grafici, li abbiamo riportati sugli stessi assi ma conscale diverse per R e W, come in Figura 5.

0 t

W

140

t¡ t£

120

100

80

60

40

20

t™0 t

R

2500

t¡ t£t™

2000

1500

1000

500

t3t2t1P3

P2P1

R � 210P3

W � 140P2

P1

P0

FIGURA 3Traiettoria di fase passante per (1000, 40)

0 R

W

1000

140

2000 3000

120

100

80

60

40

20

500 1500 2500

P¸ (1000, 40)

P¡

P™

P£

P0

dR

dt� 0.08�1000� � 0.001�1000��40� � 80 � 40 � 40

FIGURA 4Grafici delle popolazioni di coniglie lupi in funzione del tempo

037-050 16-01-2002 16:08 Pagina 49

Come abbiamo discusso nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 1.2, unmomento importante del processo di modellizzazione è quello dell’interpretazionedelle conclusioni matematiche come previsione del comportamento reale, e del con-fronto delle predizioni coi dati effettivi. La Hudson’s Bay Company, che cominciò acommerciare pellicce nel 1670, ha conservato dati che risalgono al 1840. In Figura 6troviamo il grafico del numero di pelli di lepre delle nevi e del suo predatore, la lincedel Canada, commerciate dall’azienda per un periodo di 90 anni. Si può notare che leoscillazioni accoppiate delle popolazioni di lepri e linci previste dal modello di Lotka-Volterra si verificano realmente e che il periodo di questi cicli è di circa 10 anni.

Sebbene il semplice modello di Lotka-Volterra si sia rivelato utile per spiegare eprevedere il comportamento di due popolazioni coesistenti, tuttavia sono stati propo-sti modelli più raffinati. Un modo per modificare il modello di Lotka-Volterra consi-ste nell’assumere che, in assenza di predatori, le prede crescano secondo un modellologistico con capacità dell’ambiente pari a K. In questo caso le Equazioni (1) sonosostituite dal sistema di equazioni differenziali

Lo studio di questo modello viene proposto negli Esercizi 9 e 10.Altri modelli vengono introdotti per descrivere i livelli di popolazione di due spe-

cie che sono in competizione sulle stesse risorse o collaborano per il benesserecomune. Alcuni di questi vengono proposti nell’Esercizio 2.

dW

dt� �rW � bRW

dR

dt� kR�1 �

R

K� � aRW

0 1850

9

6

3

160

120

80

40

lepri

linciMigliaiadi linci

Migliaiadi lupi

1875 1900 1925

FIGURA 6Presenza di lepri e linci secondo i datiforniti dalla Hudson’s Bay Company

FIGURA 5Confronto tra le popolazioni

di conigli e lupi0 t

R

t¡ t£

W

120

80

40

t™

2000

1000

R

W

Numeridi

lupi

Numerodi

conigli

3000


037-050 16-01-2002 16:08 Pagina 50


4.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

5–6 ■ In figura sono disegnati i grafici di due specie. Tracciarela traiettoria di fase corrispondente.

5.

6.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

7. Nell’Esempio 1(b) abbiamo mostrato che popolazioni diconigli (R) e lupi (W) soddisfano l’equazione differenziale

dW

dR�

�0.02W � 0.00002RW

0.08R � 0.001RW

0 t

y

800

5

400

specie 1

specie 2

10 15

1200

600

200

1000

0 t

y

200

1

100

specie 1

specie 2

0 R

F

400

160

120

80

800 1200 1600

40

t=0

1. Per ognuno dei sistemi preda-predatore, determinare qualedelle variabili, x o y, rappresenta la popolazione di prede equale quella dei predatori. La crescita delle prede è limitatasolo dalla presenza dei predatori o anche da altri fattori? Ipredatori si nutrono solo delle prede o hanno altre risorse dicibo? Spiegare.

(a)

(b)

2. Ciascun sistema di equazioni differenziali è un modello perdescrivere il comportamento di due specie che o competonoper la stessa risorsa o collaborano per uno stesso interesse(piante fiorite e insetti per l’impollinazione, per esempio).Determinare quale dei sistemi descrive una competizione ouna collaborazione e spiegare perché il modello è ragione-vole. (Domandarsi in che modo la crescita di una specieinfluenza l’altra.)

(a)

(b)

3–4 ■ In figura è mostrata una traiettoria di fase per un sistemadi conigli (R) e volpi (F).(a) Descrivere l’evoluzione nel tempo di ciascuna popolazione.(b) Usare la descrizione fatta per disegnare grafici qualitativi di

R e F in funzione di t.

3.

0 R

F

400

300

200

100

800 1200 1600 2000

t=0

dy

dt� 0.2y � 0.00008y 2 � 0.0002xy

dx

dt� 0.15x � 0.0002x 2 � 0.0006xy

dy

dt� 0.08x � 0.00004xy

dx

dt� 0.12x � 0.0006x 2 � 0.00001xy

dy

dt� �0.015y � 0.00008xy

dx

dt� 0.2x � 0.0002x 2 � 0.006xy

dy

dt� 0.1y � 0.005xy

dx

dt� �0.05x � 0.0001xy

Esercizi ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●1.6

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(a) Secondo queste equazioni, cosa succede alla popolazionedi conigli in assenza di lupi?

(b) Trovare le soluzioni di equilibrio e spiegare il loro signi-ficato.

(c) In figura è disegnata la traiettoria di fase che inizia in(1000,40). Descrivere il comportamento delle due popo-lazioni.

(d) Tracciare grafici qualitativi delle popolazioni di conigli elupi in funzione del tempo.

10. Nell’Esercizio 8 abbiamo usato il modello di Lotka-Volterraper modellizzare la coppia afidi e cimici. Si modifichino leequazioni come segue:

(a) Come si evolve la popolazione di cimici in assenza diafidi?

(b) Trovare le soluzioni di equilibrio.(c) Trovare l’espressione di dL/dA.(d) Usare un CAS per disegnare un campo di direzioni per

l’equazione differenziale in (c). Disegnare poi un ritrattodi fase. Cos’ hanno in comune le traiettorie?

(e) Al tempo t = 0 ci sono 1000 afidi e 200 cimici. Disegnarela traiettoria di fase corrispondente e descriverel’evoluzione di entrambe le popolazioni.

(f) Usare i risultati in (e) per disegnare grafici qualitatividelle popolazioni di afidi e cimici in funzione di t. Qualisono i legami tra i due grafici?

dL

dt� �0.5L � 0.0001AL

dA

dt� 2A�1 � 0.0001A� � 0.01AL

CAS

R

W

800

70

60

50

1000 1200 1400

40

600 160030

dW

dt� �0.02W � 0.00002RW

Risolvendo questa equazione separabile, dimostrare che

dove C è una costante.È impossibile risolvere questa equazione esplicitando W

rispetto a R (o viceversa). Avendo a disposizione un sistemadi computer algebra che disegna curve definite implicita-mente, disegnare la curva soluzione che passa per il punto(1000,40) e confrontare con la Figura 3.

8. La coppia di popolazioni afidi (A) e cimici (L) è modellizzatadal sistema

(a) Trovare le soluzioni di equilibrio e spiegare il loro signi-ficato.

(b) Determinare l’espressione di dL/dA.(c) Dato il campo di direzioni in figura per l’equazione

ottenuta in (b), disegnare un ritratto di fase. Cos’ hanno incomune le traiettorie?

(d) Al tempo t = 0 ci sono 1000 afidi e 200 cimici. Disegnarela traiettoria di fase corrispondente e descriverel’evoluzione di entrambe le popolazioni.

(e) Usare i risultati in (d) per disegnare grafici qualitativi diA e L in funzione di t. Quali sono i legami tra i duegrafici?

9. Nell’Esempio 1 abbiamo usato il modello di Lotka-Volterraper modellizzare la coppia conigli e lupi. Si modifichinoqueste equazioni come segue:

dR

dt� 0.08R�1 � 0.0002R� � 0.001RW

0 A

L

200

5000 10000 15000

400

100

300

dL

dt� �0.5L � 0.0001AL

dA

dt� 2A � 0.01AL

R0.02W 0.08

e 0.00002Re 0.001W � C


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CAPITOLO 1 RIEPILOGO ◆ 53

(b) Sotto quale ipotesi questa equazione è un modello appro-priato per studiare la crescita di una popolazione?

(c) Quali sono le soluzioni di questa equazione?

7. (a) Scrivere l’equazione logistica.(b) Sotto quale ipotesi questa equazione è un modello appro-

priato per studiare la crescita di una popolazione?

8. (a) Scrivere l’equazione di Lotka-Volterra per modellizzarela coppia di popolazioni pesci-pescecane.

(b) Qual è l’evoluzione di ciascuna delle popolazioni inassenza dell’altra secondo queste equazioni?

1. (a) Cos’è un’equazione differenziale?(b) Cos’è l’ordine di un’equazione differenziale?(c) Cos’è una condizione iniziale?

2. Cosa si può dedurre sulla soluzione dell’equazione differen-ziale direttamente dall’equazione?

3. Cos’è un campo di direzioni per l’equazione differenziale?

4. Illustrare il Metodo di Eulero.

5. Cos’è un’equazione differenziale separabile? Come sirisolve?

6. (a) Scrivere un’equazione differenziale per esprimere lalegge di crescita naturale.

y� � F�x, y�

y� � x 2 � y 2

4. L’equazione è separabile.

5. Se y è la soluzione del problema ai valori iniziali

allora .lim t l � y � 5

y�0� � 1dy

dt� 2y�1 �

y

5�

y� � 3y � 2x � 6xy � 1Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere,giustificare la risposta; se false, fornire un controesempio.

1. Tutte le soluzioni dell’equazione differenziale sono funzioni decrescenti.

2. La funzione è soluzione dell’equazione dif-ferenziale .

3. L’equazione è separabile.y� � x � y

x 2 y� � xy � 1f �x� � �ln x��x

y� � �1 � y 4

V E R O / FA L S O

1 RiepilogoC O N T R O L L O C O N C E T T U A L E

0 x

y

1 2

2

4

6

FIGURA PER L’ESERCIZIO1

1. (a) Nella figura a destra è disegnato un campo di direzioniper l’equazione differenziale Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verifi-cano le condizioni iniziali date.

(i) (ii)(iii) (iv)

(b) Se la condizione iniziale è , per quali valori di csi ha che è finito? Quali sono le soluzioni diequilibrio?

2. (a) Disegnare un campo di direzioni per l’equazione differen-ziale . Tracciare poi un grafico qualitativo dellequattro soluzioni che verificano le condizioni iniziali date

, , e .(b) Verificare i risultati ottenuti risolvendo esplicitamente

l’equazione differenziale. Che tipo di curva è ognunadelle soluzioni?

y��2� � 1y�2� � 1y�0� � �1y�0� � 1

y� � x�y

lim t l � y�t�y�0� � c

y�0� � 4.3y�0� � 3y�0� � 1y�0� � �0.3

y� � y�y � 2��y � 4�

E S E R C I Z I

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11. Una coltura di 1000 batteri cresce con velocità proporzionaleal numero dei batteri. Dopo 2 ore la popolazione conta 9000batteri.(a) Trovare la formula del numero dei batteri dopo t ore.(b) Trovare il numero di batteri dopo 3 ore.(c) Trovare il tasso di crescita dopo 3 ore.(d) In quanto tempo il numero dei batteri raddoppia?

12. Un isotopo di stronzio, , ha un tempo di dimezzamento di25 anni.(a) Trovare la massa di rimanente di un campione di 18

mg dopo t anni.(b) Dopo quanto tempo la massa è ridotta a 2 mg?

13. Sia C(t) la concentrazione di un farmaco nel sangue. Manmano che il corpo elimina il farmaco, C(t) decresce a unavelocità proporzionale alla quantità di farmaco presente inquel momento. Dunque , dove k è unacostante positiva chiamate costante di eliminazione del far-maco.(a) Detta la concentrazione al tempo t = 0, trovare la con-

centrazione all’istante t.(b) Se il corpo elimina metà della droga in 3 ore, quanto

tempo è necessario per eliminare il 90% della droga?

14. (a) La popolazione mondiale nel 1990 era di 5.28 miliardi diindividui e, nel 2000, di 6.07 miliardi. Trovare unmodello esponenziale per questi dati e usarlo per preve-dere il livello della popolazione mondiale nel 2020.

(b) Secondo il modello in (a), quando si supereranno i 10miliardi?

(c) Usare i dati in (a) per trovare un modello logistico per lapopolazione. Si assuma una capacità dell’ambiente di100 miliardi. Usare poi il modello logistico per prevederela popolazione del 2020. Confrontare questo valore conquello ottenuto dal modello esponenziale.

(d) Secondo il modello logistico, quando la popolazionesupererà i 10 miliardi di individui? Confrontare col risul-tato in (b).

15. Il modello di von Bertalanffy viene usato per prevedere lalunghezza L(t) di un pesce durante un certo periodo ditempo. Se è la lunghezza massima di una specie, alloral’ipotesi è che il tasso di crescita della lunghezza sia propor-zionale a – L, la lunghezza raggiunta.(a) Formulare e risolvere un’equazione differenziale per

trovare l’espressione di L(t).(b) Per il merluzzo del Mare del Nord si è determinato che

, L(0) = 10 cm e la costante di proporzional-ità è 0.2. Qual è l’espressione di L(t) con questi dati?

16. Un serbatoio contiene 100 litri d’acqua pura. Una miscelache contiene 0.1 kg di sale per litro entra nel serbatoio a unavelocità di 10 litri/min. La soluzione viene rimescolata con-tinuamente e fuoriesce dalla tanica alla stessa velocità.Quanto sale rimane nel serbatoio dopo 6 minuti?

L� � 53 cm

L�

L�

C0

C��t� � �kC�t�

90Sr

90Sr

3. (a) Dato un campo di direzioni per l’equazione differenzialetracciare la soluzione che risolve il pro-

blema ai valori iniziali

Usare il grafico trovato per stimare il valore di .

(b) Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per stimarey(0.3), dove y(x) è la soluzione del problema ai valoriiniziali in (a). Confrontare con la stima trovata in (a).

(c) Su quali rette si trovano i centri dei segmenti orizzontalidel campo di direzioni in (a)? Cosa succede quando unacurva soluzione attraversa queste rette?

4. (a) Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare y(0.4),dove y(x) è la soluzione del problema ai valori iniziali

(b) Ripetere l’esercizio (a) con passo 0.1.(c) Trovare la soluzione esatta dell’equazione differenziale e

confrontare il valore in 0.4 con le approssimazioni trovatein (a) e (b).

5–6 ■ Risolvere l’equazione differenziale.

5. 6.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

7–8 ■ Risolvere il problema ai valori iniziali.

7.

8. , ,■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

9–10 ■ Trovare le traiettorie ortogonali alla famiglia di curve.

9. 10.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

y �k

1 � x 2kx 2 � y 2 � 1

y�1� � �2x � 01 � x � 2xyy�

y�1� � 2xyy� � ln x,

dx

dt� 1 � t � x � tx�3y 2 � 2y�y� � x cos x

y�0� � 1y� � 2xy 2

0 x

y

1 2_1_2

1

2

_1

_2

3_3

3

_3

y�0.3�

y�0� � 1y� � x 2 � y 2

y� � x 2 � y 2


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fase corrispondente a una popolazione iniziale di 100uccelli e 40 000 insetti. Usare poi la traiettoria per descri-vere come evolvono le due popolazioni.

(e) Usare la parte (d) per tracciare grafici qualitativi delle duepopolazioni in funzione del tempo. Come sono legatiquesti grafici?

21. Invece del modello proposto nell’Esercizio 20, si usino leequazioni seguenti:

(a) Secondo queste equazioni, cosa succede alla popolazionedi insetti in assenza di uccelli?


(c) In figura è disegnata la traiettoria di fase corrispondente auna popolazione iniziale di 100 uccelli e 40 000 insetti.Descrivere il comportamento delle due popolazioni.

(d) Tracciare grafici qualitativi delle popolazioni di insetti edi uccelli in funzione del tempo.

22. Barbara pesa 60 kg e segue una dieta di 1600 calorie algiorno, 850 delle quali sono bruciate dal metabolismo basale.Facendo esercizi, la ragazza consuma circa 15 cal/kg/giornoper il suo peso. Se 1 kg di grasso contiene 10 000 calorie e siassume che la riserva di calorie in forma di grasso abbia unrendimento del 100%, formulare un’equazione differenzialee risolverla per trovare il peso di Barbara in funzione deltempo. Il suo peso tende a un valore di equilibrio?

x

y

15000

100

4500025000 35000

120

140

160

180

200

220

240

260

10000

dy

dt� �0.2y � 0.000008xy

dx

dt � 0.4x �1 � 0.000005x� � 0.002xy

17. Un modello per la diffusione di un’epidemia si basa sul-l’ipotesi che la velocità di propagazione sia contemporanea-mente proporzionale al numero di individui infetti e a quellodi individui sani. In una città isolata di 5000 abitanti, 160hanno una malattia all’inizio della settimana e 1200 sonoammalati alla fine della settimana. In quanto tempo l’80%della popolazione viene infettato?

18. La legge di Brentano-Stevens in psicologia modellizza lereazioni di un soggetto a uno stimolo. Se R è la reazione peruno stimolo S, allora i tassi di crescita relativa sono pro-porzionali:

dove k è una costante positiva. Trovare R in funzione di S.

19. Il trasporto di una sostanza attraverso le pareti di un capillarein fisiologia polmonare viene modellizzato dall’equazione

dove h è la concentrazione di ormoni nel sangue, t il tempo,R la massima velocità di trasporto, V il volume del capillaree k una costante positiva che misura l’affinità tra ormoni edenzimi che intervengono nel processo. Risolvere questaequazione differenziale per trovare la relazione tra h e t.

20. La coabitazione tra una popolazione di uccelli e una di insettiè descritta dalle equazioni

(a) Quale delle due variabili, x o y, rappresenta la popo-lazione di uccelli e quale gli insetti? Spiegare perché.


(c) Trovare l’espressione di dy/dx.(d) Dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale

in (c) (nella figura sottostante), tracciare la traiettoria di

0 x

y

20000 40000

100

200

300

60000

400

dy

dt� �0.2y � 0.000008xy

dx

dt� 0.4x � 0.002xy

dh

dt� �

R

V � h

k � h�

1

R dR

dt�

k

S dS

dt

CAPITOLO 1 RIEPILOGO ◆ 55

051-055 17-01-2002 9:00 Pagina 55

1. Trovare tutte le funzioni f tali che è continua e vale

2. Uno studente, dimenticando la regola di derivazione del prodotto, commette l’errore dipensare che . Ma è fortunato e ottiene comunque la risposta esatta. La fun-zione f è e il dominio del problema è l’intervallo . Qual è la funzioneg coinvolta?

3. Sia f una funzione con la proprietà per cui , , e per tutti i numeri reali a e b. Dimostrare che per ogni x e dedurne che

.

4. Trovare tutte le funzioni f che soddisfano l’equazione

5. Una crostata di pesche viene tolta dal forno alle 17:00, quando è bollente: la sua tempe-ratura è di 100 ° C. Dopo 10 minuti la temperatura è 80 °C, alle 17:20 è di 65 °C. Qual èla temperatura della stanza?

6. La mattina del 2 febbraio inizia a nevicare e continua incessantemente nel pomeriggio. Amezzanotte uno spazzaneve comincia a togliere la neve dalla strada con velocità costante.Spazza 6 km da mezzanotte all’una, ma solo 3 km tra l’una e le tre di notte. Quando haricominciato a nevicare? [Suggerimento: Per iniziare, sia t il tempo in ore a partire damezzanotte; sia x(t) la distanza percorsa dallo spazzaneve al tempo t; allora la velocità delmezzo è dx/dt. Sia b il numero di ore prima di mezzanotte in cui ha cominciato a nevi-care. Trovare un’espressione per l’altezza della neve al tempo t. Quindi usare l’informa-zione che la velocità di rimozione della neve dello spazzaneve R (in m /h) è costante.]

7. Un cane vede un coniglio correre in linea retta in un campo aperto e inizia a rincorrerlo.Nel sistema di coordinate in figura, si facciano le seguenti ipotesi.

(i) Il coniglio è nell’origine e il cane nel punto (L,0) nell’istante in cui il cane ini-zia la rincorsa.

(ii) Il coniglio corre seguendo l’asse y e il cane corre dritto verso il coniglio.(iii) I due animali hanno la stessa velocità.

(a) Mostrare che il percorso del cane è il grafico della funzione y = f(x), dove y risolvel’equazione differenziale

(b) Determinare la soluzione dell’equazione in (a) che soddisfa le condizioni inizialiquando x = L. [Suggerimento: Porre z = dy/dx nell’equazione differen-

ziale e risolvere l’equazione risultante, del primo ordine, per trovare z; poi integrarez per determinare y.]

(c) Il cane riesce a raggiungere il coniglio?

8. (a) Si supponga che il cane del Problema 7 corra con velocità doppia rispetto al coniglio.Determinare l’equazione differenziale che descrive il percorso del cane. Poi risolverlae determinare il punto in cui il cane raggiunge il coniglio.

(b) Se il cane corre con velocità dimezzata rispetto alla velocità del coniglio, quanto rie-sce ad avvicinarsi? In che posizioni si trovano quando raggiungono la minimadistanza tra loro?

y � y� � 0

x d 2y

dx 2 � �1 � �dy

dx�2

3

�y f �x� dx��y 1

f �x� dx� � �1

f �x� � e xf ��x� � f �x�

f �a � b� � f �a� f �b�f ��0� � 1f �0� � 1

( 12, +�)f �x� � e x 2

� ft�� f �t�

per ogni numero reale x[ f �x�]2 � 100 � yx

0 �[ f �t�]2 � [ f ��t�]2 � dt

f �

56

FIGURA PER IL PROBLEMA 7

x(L, 0)

(x, y)

0

y

ProblemSolving

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9. Il progettista di un nuovo stabilimento di allume deve presentare alla sua compagniaalcune stime sulla capacità di un silo destinato a contenere bauxite grezza in attesa dilavorazione. La bauxite grezza ha l’aspetto di una polvere rosa e viene versata dall’altonel silo da un nastro trasportatore. Il silo è un cilindro alto 100 ft con un raggio pari a 200piedi. Il nastro trasporta e la polvere di bauxite mantiene una forma conicain cui il raggio è 1.5 volte l’altezza.(a) Se a un certo istante t il cono è alto 60 piedi, quanto tempo impiega ad arrivare alla

cima del silo?(b) La direzione vuole sapere quanto spazio viene lasciato libero alla base del silo quando

il cono di bauxite è alto 60 ft. Qual è la velocità di crescita della base del cono a quellaaltezza?

(c) Si supponga che un caricatore inizi a togliere il metallo grezzo alla velocità diquando l’altezza del cono raggiunge i 90 ft. Si ipotizzi anche che il

cono mantenga sempre la sua forma. Quanto tempo è necessario perché il cono rag-giunga la cima del silo in queste condizioni?

10. Determinare la curva che passa per il punto (3,2) e ha la proprietà per cui, tracciando latangente in un punto P qualunque della curva, la parte di retta tangente che si trova nelprimo quadrante viene bisecata in P.

11. Ricordiamo che la normale a una curva nel punto P è la retta passante per P perpendico-lare alla tangente in P. Determinare la curva che passa per il punto (3,2) e ha la proprietàper cui, tracciando la normale in un punto qualunque della curva, l’intercetta y della nor-male è sempre 6.

12. Trovare tutte le curve con la proprietà per cui, tracciando la normale in ogni punto P dellacurva, la parte di normale tra P e l’asse x viene bisecata dall’asse y.

20 000� ft3h

60 000� ft3h

57

056-057 16-01-2002 16:09 Pagina 57

· Usare la legge di raffreddamento di Newton per rispondere alle seguenti domande. (a) Quale...

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