Indice di concentrazione di Gini

Data una variabile y misurata su N individui Si ordinano i dati in ordine crescenteSi considera la quota di Y detenuta dai primi i individui (i=12hellipN)E la quota di individui con y yi

Definiamo le seguenti quantitagrave

pi = frazione di A ldquofinordquo alla classe iqi = frazione di unitagrave ldquofinordquo alla classe i

Indice di concentrazione di Gini

Compreso tra 0 e 1

N

iqy

Yp

yY

i

i

jii

N

ji

1

1

1

1

1111

N

iiiii qqppG

Spiegazione grafica Curva di Lorentz

Se rappresentiamo le coppie pi qi in un grafico cartesiano e le congiungiamo otteniamo una spezzata che prende il nome di curva di concentrazione (o curva di Lorenz-Gini) Esempio I redditi di 7 individui sono 80 90 21 23 16 32 62

Dopo aver ordinato i redditi si ottengono le coppie di punti pi qi In questo modo

E questo grafico

Spiegazione grafica Curva di Lorentz

Se rappresentiamo le coppie pi qi in un grafico cartesiano e le congiungiamo otteniamo una spezzata che prende il nome di curva di concentrazione (o curva di Lorenz-Gini) Esempio I redditi di 7 individui sono 80 90 21 23 16 32 62

Dopo aver ordinato i redditi si ottengono le coppie di punti pi qi In questo modo

E questo grafico

3

Curva di concentrazione

Osservazioni

bull (p0q0)=(00) e (pNqN)=(11)

bull qi le pi Dimostrazione ordinate x le essendo 11

N

x

i

xN

j i

i

j i

bull Il generico punto (pi qi) della curva si puograve interpretare nel seguente modo

Il (pi 100) piugrave povero possiede il (qi 100) del reddito totale

bull La curva parte sempre da (00) e termina sempre in (11) Inoltre essendo qi le pi la curva giace sempre al di sotto della retta passante per questi due punti (bisettrice) La curva egrave sempre comprese tra le due seguenti (potendo eventualmente coincidere)

1 La curva che giace sulla bisettrice Essa egrave tale per cui pi=qi per ogni i da cui segue che ogni unitagrave possiede una quantitagrave di carattere pari alla media del carattere Rappresenta quindi la situazione di equiripartizione

2 La curva passante per i punti (Fi0) i=1hellipN-1 ed (11) Essa corrisponde alla situazione in cui tutto il carattere egrave concentrato in una sola unitagrave statistica (lrsquoN-esima) e rappresenta quindi la situazione di massima concentrazione

Intuitivamente quanto piugrave la bisettrice si discosta dalla curva di concentrazione tanto piugrave aumenta la concentrazione del carattere

Ersquo naturale quindi costruire indici di concentrazione basati sullo ldquoscostamentordquo della curva dalla bisettrice

Ad esempio si potrebbero usarebullLe distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettricebullLrsquoarea compresa tra la curva di concentrazione e la bisettrice

In ambedue i casi arriviamo allrsquoindice di concentrazione di Gini

Le distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettrice sono date da p i ndash qi

Si noti come pi-qi ge 0 per ogni i

Sommando le differenze e dividendo per il valore Massimo che tali differenze possono assumere ( tuuti i qi sono nulli tranne lrsquoultimo) otteniamo una formulazione dellrsquoindice di concentrazione di Gini

1

1

1

1

)(

N

ii

N

ii

p

qpR

bull R vale 0 nel caso di equi-ripartizione (pi - qi =0 per ogni i)

bull R vale 1 nel caso di massima concentrazione pi - qi = pi i (pi - qn )= (pi )

In alternativa misuriamo lrsquoarea tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione prende il nome di area di concentrazione

Si noti come lrsquoarea di concentrazione sia sempre maggiore o uguale a zero In particolare

bullnel caso di equiripartizione egrave pari a zerobullal crescere della concentrazione cresce senza mai superare il valore 12

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

AR

N

iiiii

NN

qqpp

NN

qqpp

A

AR

N

iiiii

N

iiiii

1

))((1

21

))((21211

111

1

111

max

1

1111

N

iiiii qqppG

Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

j

n

i

n

rri

jj N

yyG

j j

221 1

)(1 1

hjij

n

i

n

rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

bull Il generico punto (pi qi) della curva si puograve interpretare nel seguente modo

Il (pi 100) piugrave povero possiede il (qi 100) del reddito totale

bull La curva parte sempre da (00) e termina sempre in (11) Inoltre essendo qi le pi la curva giace sempre al di sotto della retta passante per questi due punti (bisettrice) La curva egrave sempre comprese tra le due seguenti (potendo eventualmente coincidere)

1 La curva che giace sulla bisettrice Essa egrave tale per cui pi=qi per ogni i da cui segue che ogni unitagrave possiede una quantitagrave di carattere pari alla media del carattere Rappresenta quindi la situazione di equiripartizione

2 La curva passante per i punti (Fi0) i=1hellipN-1 ed (11) Essa corrisponde alla situazione in cui tutto il carattere egrave concentrato in una sola unitagrave statistica (lrsquoN-esima) e rappresenta quindi la situazione di massima concentrazione

Intuitivamente quanto piugrave la bisettrice si discosta dalla curva di concentrazione tanto piugrave aumenta la concentrazione del carattere

Ersquo naturale quindi costruire indici di concentrazione basati sullo ldquoscostamentordquo della curva dalla bisettrice

Ad esempio si potrebbero usarebullLe distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettricebullLrsquoarea compresa tra la curva di concentrazione e la bisettrice

In ambedue i casi arriviamo allrsquoindice di concentrazione di Gini

Le distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettrice sono date da p i ndash qi

Si noti come pi-qi ge 0 per ogni i

Sommando le differenze e dividendo per il valore Massimo che tali differenze possono assumere ( tuuti i qi sono nulli tranne lrsquoultimo) otteniamo una formulazione dellrsquoindice di concentrazione di Gini

1

1

1

1

)(

N

ii

N

ii

p

qpR

bull R vale 0 nel caso di equi-ripartizione (pi - qi =0 per ogni i)

bull R vale 1 nel caso di massima concentrazione pi - qi = pi i (pi - qn )= (pi )

In alternativa misuriamo lrsquoarea tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione prende il nome di area di concentrazione

Si noti come lrsquoarea di concentrazione sia sempre maggiore o uguale a zero In particolare

bullnel caso di equiripartizione egrave pari a zerobullal crescere della concentrazione cresce senza mai superare il valore 12

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

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N

iiiii

NN

qqpp

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A

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1

))((1

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))((21211

111

1

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1

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N

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Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

j

n

i

n

rri

jj N

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j j

221 1

)(1 1

hjij

n

i

n

rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

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jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Intuitivamente quanto piugrave la bisettrice si discosta dalla curva di concentrazione tanto piugrave aumenta la concentrazione del carattere

Ersquo naturale quindi costruire indici di concentrazione basati sullo ldquoscostamentordquo della curva dalla bisettrice

Ad esempio si potrebbero usarebullLe distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettricebullLrsquoarea compresa tra la curva di concentrazione e la bisettrice

In ambedue i casi arriviamo allrsquoindice di concentrazione di Gini

Le distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettrice sono date da p i ndash qi

Si noti come pi-qi ge 0 per ogni i

Sommando le differenze e dividendo per il valore Massimo che tali differenze possono assumere ( tuuti i qi sono nulli tranne lrsquoultimo) otteniamo una formulazione dellrsquoindice di concentrazione di Gini

1

1

1

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)(

N

ii

N

ii

p

qpR

bull R vale 0 nel caso di equi-ripartizione (pi - qi =0 per ogni i)

bull R vale 1 nel caso di massima concentrazione pi - qi = pi i (pi - qn )= (pi )

In alternativa misuriamo lrsquoarea tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione prende il nome di area di concentrazione

Si noti come lrsquoarea di concentrazione sia sempre maggiore o uguale a zero In particolare

bullnel caso di equiripartizione egrave pari a zerobullal crescere della concentrazione cresce senza mai superare il valore 12

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

AR

N

iiiii

NN

qqpp

NN

qqpp

A

AR

N

iiiii

N

iiiii

1

))((1

21

))((21211

111

1

111

max

1

1111

N

iiiii qqppG

Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

j

n

i

n

rri

jj N

yyG

j j

221 1

)(1 1

hjij

n

i

n

rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Le distanze verticali tra la curva di concentrazione e la bisettrice sono date da p i ndash qi

Si noti come pi-qi ge 0 per ogni i

Sommando le differenze e dividendo per il valore Massimo che tali differenze possono assumere ( tuuti i qi sono nulli tranne lrsquoultimo) otteniamo una formulazione dellrsquoindice di concentrazione di Gini

1

1

1

1

)(

N

ii

N

ii

p

qpR

bull R vale 0 nel caso di equi-ripartizione (pi - qi =0 per ogni i)

bull R vale 1 nel caso di massima concentrazione pi - qi = pi i (pi - qn )= (pi )

In alternativa misuriamo lrsquoarea tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione prende il nome di area di concentrazione

Si noti come lrsquoarea di concentrazione sia sempre maggiore o uguale a zero In particolare

bullnel caso di equiripartizione egrave pari a zerobullal crescere della concentrazione cresce senza mai superare il valore 12

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

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N

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NN

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1

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21

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1

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max

1

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N

iiiii qqppG

Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

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N

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yyG

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Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

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N

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K

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G

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GGG

K

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b

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bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

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yy

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j

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1

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

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2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

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jhjh

jhjh

jh

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pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

In alternativa misuriamo lrsquoarea tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione prende il nome di area di concentrazione

Si noti come lrsquoarea di concentrazione sia sempre maggiore o uguale a zero In particolare

bullnel caso di equiripartizione egrave pari a zerobullal crescere della concentrazione cresce senza mai superare il valore 12

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

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))((1

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))((21211

111

1

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N

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Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

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N

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221 1

)(1 1

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Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

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K

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G

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GGG

K

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K

rrjjr

b

K

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bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

qi

pi

Una misura esatta dellrsquoarea A di concentrazione puograve essere ottenuta sottraendo allrsquoarea del triangolo la somma delle aree degli n trapezi delimitati dai punti (FiQi) per i =01hellipn

Area del trapezio

frac12 x Somma delle basi x altezza

ip1ip

1iqiq

))((2

111 iiiii qqppA

A

altezza Somma basi

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

AR

N

iiiii

NN

qqpp

NN

qqpp

A

AR

N

iiiii

N

iiiii

1

))((1

21

))((21211

111

1

111

max

1

1111

N

iiiii qqppG

Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

j

n

i

n

rri

jj N

yyG

j j

221 1

)(1 1

hjij

n

i

n

rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

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jh nn

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1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

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1

hrji

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i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

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1

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p

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

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jhjhjh

dp

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2

10

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

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)(0

)(

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jhjh

jhjh

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pdpdDREA

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pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

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K

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K

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DspspGG

DspspGG

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2

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1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

9

Un indice di concentrazione si puograve ottenere dividendo lrsquoarea di concentrazione per il valore assunto da tale area nel caso di concentrazione massima

Dove si ottiene considerando x1 =hellip= xN-1 =0 e xN=Nμ e risulta pari a (N-1)2N

Si puograve dimostrare che il rapporto cosigrave costruito egrave uguale allrsquoindice definito in precedenza ovvero lrsquoindice di concentrazione di Gini si puograve ricavare anche dividendo lrsquoarea di concentrazione per il suo valore massimo

max

1

111

max

))((2121

A

qqpp

A

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N

iiiii

NN

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1

))((1

21

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111

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N

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Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

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N

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N

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221 1

)(1 1

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n

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j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

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j

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)(

1

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n

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

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2

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

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)(0

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jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

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jh

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pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

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K

j

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K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

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2

1

1

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1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

1

1111

N

iiiii qqppG

Il Fattore (N-1)N Tende molto rapidamente ad 1 al crescere di N quindi per N ldquogranderdquo lrsquoarea di concentrazione saragrave data dalla differenza tra lrsquoarea del triangolo sotteso alla bisettrice pari a 12 e la somma delle aree dei singoli ldquotrapezirdquo senza normalizzazione

otteniamo lrsquoindice di concentrazione di Gini in altra formulazione

Per N=25 la differenza tra gli indici egrave del 4 e per N=50 egrave del 2

Vedi esempio Excell

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

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i

N

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Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

j

n

i

n

rri

jj N

yyG

j j

221 1

)(1 1

hjij

n

i

n

rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Vi sono molti modi per calcolare lrsquoindice di Gini

Ad esempio riprendiamo la definizione di una misura di variabilitagrave (poco usata)DIFFERENZA MEDIA ASSOLUTA (CON RIPETIZIONE)

Questa misura puograve essere interpretata come la differenza attesa tra i redditi di due individui selezionati in modo casuale dalla popolazione

Ersquo immediato dimostrare che in caso di equidistribuzione = 0 E in casi di massima concentrazione = 2

2

1 1

N

yyN

i

N

jji

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

rri

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221 1

)(1 1

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rhrji

jh nn

yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

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K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

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jh nn

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1 1

hj

jhjhG

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Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

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n

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

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2

10

jhjhjh

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2

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

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)(0

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jhjh

jhjh

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)(

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pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

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hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

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2

1

1

2

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1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Rapportando al suo massimo ottengo un indice di concentrazione che egrave proprio lrsquoindice G di Gini

Questa formulazione calcolatoriamente piugrave complicata si presta perograve ad una

SCOMPOSIZIONE IMPORTANTE DELLrsquoINDICE

Tra una componente ldquoentrordquo e una ldquotrardquo in modo simile alla scomposizione della Varianza

Come vedremo

22 2

1 1

max N

yy

G

N

i

N

jji

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

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N

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j

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221 1

)(1 1

hjij

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i

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rhrji

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yyG

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Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

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j

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1

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n

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

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jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

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K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

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1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Prima (usuale) scomposizione

Sia data una popolazione di N unitagrave distinte in K gruppi su cui egrave misurata una variabile ldquotrasferibilerdquo Y (es reddito) con media Lrsquoindice G saragrave

Definiamo due ldquonuovi indicirdquo1Lrsquoindice di Gini ldquoENTROrdquo il gruppo j-esimo di numerositagrave n j e media microj

Derivato dalle differenze tra gli appartenenti al gruppo j-esimo

2Lrsquoindice di Gini ldquoTRArdquo il gruppo j-esimo e h-esimo

Derivato dalle differenze di tutti gli appartenenti al gruppo J e tutti gli apparteneti al gruppo h

221 1

N

yyG

N

i

N

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221 1

)(1 1

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yyG

j h

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

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K

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G

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K

j

K

rrjjr

b

K

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bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

rhrji

jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

hjjhhjjh eGG

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

hrji

)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Scomposizione (proposta Dagum)

Ovviamente lrsquoindice G (generale) saragrave una media ponderata degli indici ldquoINrdquo e ldquoTRArdquo

Definiamo i seguenti pesi

= quota della popolazione del gruppo j

= quota di reddito della popolazione del gruppo j

Allora lrsquoindice G puograve essere scomposto in

y

yps

N

np

jjj

jj

K

spG

G

spGG

GGG

K

j

K

rrjjr

b

K

jjjjjw

bw

1 1

1

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

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jh nn

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1 1

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jhjhG

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Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

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1

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

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e

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2

10

jhjhjh

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

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Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

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K

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K

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2

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Questa scomposizione ha tuttavia un problema molto rilevante

Normalmente i gruppi in cui viene suddivisa la popolazione dal punto di vista dello ammontare del reddito hanno aree di sovrapposizione

Ad esempio vi saranno alcuni pensionati che percepiscono un reddito superiore a quello di alcuni lavoratori dipendenti PUR ESSENDO IL REDDITO MEDIO DEI LAVORATORI DIPENDENTI SUPERIORE A QUELLO DEI PENSIONATI

Come egrave noto questo fenomeno va sotto il nome di TRANSVARIAZIONE

Il problema nasce dl fatto che essendo la differenza media calcolata in base ai valori assoluti essa egrave ldquoadirezionalerdquo cioegrave da lo stesso peso alla differenza di reddito dipendente maggiore di un reddito di pensione e viceversa

Un pensionato che guadagna 2000 euro contro un dipendente che ne percepisce 1000Contribuisce alla misura della differenza TRA come un dipendente che guadagna 2000 e un pensionato che percepisce 1000

Ersquo evidente che il primo caso dovrebbe ldquoabbassarerdquo lrsquoindice mentre il secondo dovrebbe incrementarlo

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

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1 111

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Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

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Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Dagum propone una una ulteriore e diversa scomposizione dellrsquoindice per tener conto della transvariazione

Seguiamo la sua proposta riprendendo il problema dallrsquoinizio

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

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K

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K

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1 111

1

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Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

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2

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

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Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

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Dove

K

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Sia data una popolazione Q di n percettori con reddito yi con media partizionata in K gruppi essendo il gruppo j caratterizzato da numerositagrave n j

e media j (j=1hellipK) Si supponga che i gruppi siano ordinati in ordine crescente di valor medio

Siano

Le quote di popolazione e di reddito di ciascun gruppo

Definiamo

Differenza media tra i gruppi j e h generalizzazione della differenza media di Gini

Indice di Gini della differenza TRA i gruppi j e k

Naturalmente saragrave

K

j

K

hhj

K

jj

K

jjjjjjj spspconnnsennp

1 111

1

hj

n

i

n

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jh nn

yyj h

1 1

hj

jhjhG

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Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

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n

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yy

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Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

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dp

e

pd

2

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jhjhjh

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

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pd

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pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

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K

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DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Definiamo la relazione ldquopiugrave ricca dirdquo (more affluent than)

Un gruppo j saragrave ldquopiugrave ricco dirdquo un gruppo k se j gt k

Definiamo una misura di ldquogross affluencerdquo tra due gruppi j e k

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti jche hanno un reddito superiore ai soggetti k

E una misura della ldquotransvariazionerdquo tra i gruppi j e k (attenzione agli indici)

Media delle differenze tra i redditi dei soggetti kche hanno un reddito superiore ai soggetti j

)(

1

hrji

n

i yyrhrji

jh yyrnum

yy

d

j

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)(

1

hrji

n

r yyrjihr

jh yyrnum

yy

p

h

jihr

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

jhjhjhjh

jhjhjh

dp

e

pd

2

10

jhjhjh

jhjhjh

dp

dep

2

1

0

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

jhjhjh

jhjh

pd

pd

)(0

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

)(

)()(

jhjh

jhjh

jh

jhjhjh pd

pdpdDREA

Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

tnbw GGGG

Dove

K

j

j

hjhjhhjjht

K

j

j

hjhjhhjjhnb

K

jjjjjw

DspspGG

DspspGG

spGG

2

1

1

2

1

1

1

1

La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Dato che le due misure ldquoscompongonordquo le differenze in valore assoluto egrave agevole dimostrare che dato j gt k sia ha

Inoltre

se non vi egrave sovrapposizione tra i redditi dei gruppi (transvariazione=0)

ese j = k

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2

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Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

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Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

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Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Possiamo adesso definire la ldquonet affluencerdquo cioegrave la misura della maggiore ricchezza del gruppo j rispetto a lgruppo h

AL NETTO DELLA TRANSVARIAZIONE come differenza tra le due componenti

E saragrave

Infine definiamo la ldquoRelative Net Affluence (REA)rdquo come il rapporto tra la ldquonet affluencerdquo e il suo massimo

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2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

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Questa misura

1 Egrave adimensionale (sia i p che i i d sono differenze di reddito e quindi il loro rapporto egrave un ldquopuro numerordquo

2 Puograve essere definita come una misura di ldquodistanza economica direzionalerdquo

In sostanza REA misura la proporzione di Gjh (indice di Gini ldquotrardquo j e h) con cui le sottopopolazioni j e h contribuiscono alla disuguaglianza tra i gruppi opportunamente ponderata per le numerositagrave e lrsquoammontare dei redditi

(1-REA) misura la proporzione di Gjh dovuta alla transvariazione tra i gruppi che ovviamente nella valutazione della ldquoconcentrazione TRArdquo i gruppi costituisce un ldquofattore di disturbordquo o meglio una componente da isolare

Opportunamente ponderati i prodotti (Gjh Djh) e [Gjh (1-Djh)] consentono di scomporre lrsquoindice generale di Gini in 3 componenti

Conc TOT = Conc IN + Conc TRA (NETTA) + Conc Da TRANSVARIAZIONE

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

S Mussard F Seyte e M Terraza nel 2003

Il programma puograve essere scaricato gratuitamente al seguente indirizzo httpwwwlametauniv-montp1fronlineginihtml

Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

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La scomposizione chiarisce il meccanismo che determina la diseguaglianzaConsideriamo come sempio i gruppi Lavoratori Dipendenti e Lavoratori autonomi e supponiamo che il reddito medio dei dipendenti sia maggiore di quello degli autonomi

Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

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Gw = Concentrazione ENTRO i gruppi quota di concentrazione dovuta alla disuguaglianza interna a ciascun gruppo cioegrave la parte di diseguaglianza legata DISTINTAMENTE alla differenza tra i redditi dei lavoratori dipendenti e i redditi dei lavoratori autonomi

Gnb = Concentrazione TRA NETTA (al netto della trans-variazione) Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MAGGIORE

Gt = TRANSVARIAZIONE Ersquo la parte dovuta alla differenza tra i redditi dei dipendenti e i redditi degli autonomi per i quali il redditi dei dipendenti egrave MINORE

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

Per calcolare le diverse componenti della scomposizione proposta da Dagum egrave disponibile una ldquomacrordquo di Excell messa a punto da

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Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R

Semplificando (troppo) con uno slogan potremmo dire

In generale i dipendenti sono piugrave ldquoricchirdquo degli ldquoautonomirdquo

Gw = Misura la differenza ricchi-poveri dentro ciascuna categoria indipendentemente dalla tendenza generale cioegrave allrsquointerno dei dipendenti e allrsquointerno degli autonomi

Gnb = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che rispettano la tendenza generale (le medie) cioegrave tra i dipendenti ldquoricchirdquo e gli autonomi ldquopoverirdquo

Gt = misura la differenza ricchi-poveri tra coloro che ldquoinvertonordquo la tendenza generale (quella delle medie) cioegrave tra autonomi ldquoricchirdquo e dipendenti ldquopoverirdquo

Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

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Nel caso di diversi gruppi il calcolo egrave complesso ma

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Crsquoegrave anche a disposizione un codice SAS e R