Propagazione degli Errori

La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non può essere misurata attraverso una singola misura diretta ma viene invece determinata in due passi distinti, come detto nella definizione di misure indirette: 1. Si misurano una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali

la grandezza che ci interessa può essere calcolata

2. Utilizzando i valori misurati si calcola la grandezza in questione

Un tipico esempio è la velocità media di un corpo. Essa necessita la misura dello spazio percorso e dell’intervallo di tempo necessario per percorrerlo: Quanto vale l’errore sulla velocità in questo caso ?

smtxv

sst

mmx

txv

m

m

/6098.2/

)03.0(09.023.1

)01.0(04.021.3

/

Propagazione degli Errori In un caso come questo, quando la misura comporta queste due fasi, allora anche la stima delle incertezze necessita di due fasi distinte. 1. Occorre stimare le incertezze nelle grandezze che sono state misurate direttamente

2. Occorre trovare come gli errori si sono propagati

Questa ultima fase si chiama: Propagazione degli errori Nota: Il libro di testo presenta prima una serie di relazioni approssimate poi dimostra la relazione generale. Noi salteremo subito alla relazione generale

Propagazione degli Errori

Supponiamo che le osservabili fisiche x,y, ..., z siano misurate ciascuna con deviazione standard x,y,…,z . Supponiamo che le osservabili x,y,…,z siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y,…,z)

Allora, se gli errori di x,y,…,z sono indipendenti e casuali tra loro, la deviazione standard q è espressa dalla relazione:

),...,,( 0000 zyxqq

standard deviazione

misurati,...,,xincalcolataxadrispettoparzialederivata),...,,(

),...,,(...

),...,,(),...,,(

000

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,,

000

000000000

x

zzyyxx

z

zzyyxx

y

zzyyxx

x

zzyyxx

q

zyx

zyxq

dove

z

zyxq

y

zyxq

x

zyxq

Esempio Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo Sia q = 1.484 radianti 85 gradi Sia q = 0.017 radianti 0.97 gradi Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su

qq sin)( fx

0015.09962.0

0014737.09962356.0

0014737.0017.0484.1cos

cos

22

22

x

x

Quindi

x

x

x

q q

Esercizio: Un gruppo di studenti vuole misurare l’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo. Effettua una serie di misure per estrarre il periodo di oscillazione e la lunghezza del pendolo. Supponendo che

)(

947285.9

s0.005 s 0.012 s 1.945

m0.0004 m0.0012 m 0.9532

42

2

calcolatoancorastatoènonperchedecimaliituttiusanosi

g

T

d

T

dg

m

m

Applicando la formula generale di propagazione degli errori alla relazione che da g Si ottiene Da cui

2

2

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,, 000000000

),...,,(...

),...,,(),...,,(z

zzyyxx

y

zzyyxx

x

zzyyxx

qz

zyxq

y

zyxq

x

zyxq

2

2

,

2

2

, 0000

),(),(T

TTdd

d

TTdd

gT

Tdg

d

Tdg

2

2

,

3

22

2

,

2

2

0000

24

14 T

TTdd

d

TTdd

gT

d

T

TsuerroreDomina12.0015066.0000157.0

012.0256.30012.0321.3012.0945.1

9532.0240012.0

945.1

14

22222

2

3

22

2

2

2

g

g

Notate che la propagazione degli errori puo’ anche avere un uso predittivo, infatti si potrebbe anche rispondere al seguente quesito A che angolo viene minimizzato l’errore di misura su D ?

L’incertezza che contribuisce di più all’errore sulla gittata è quello relativo alla velocità

Provate a fare gli esercizi dal 3.43, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50,

Quando non posso usare la relazione della propagazione degli errori

cosi come è stata formulata finora ?

Quando l’errore delle variabili x0, y0, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una

sovrastima o sottostima di x0 implica una sovrastima o sottostima di y0

Allora la relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due

variabili x e y, diventa:

aabbN

dove

b

baq

a

baq

b

baq

a

baq

iin

ab

ab

bbaa

b

bbaa

a

bbaa

q

1limCovarianza

2),(),(),(),(

2

2

,

2

2

,

2

2

, 000000

Nota:

Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora

Le incertezze quindi si sommerebbero !

La covarianza stima in che proporzione “a” fluttua assieme a “b”.

Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente gli scarti avranno hanno spesso lo stesso

segno (positivo o negativo), il loro prodotto sarà in corrispondenza sempre positivo e renderà

maggiore di zero σ2ab

Analogamente, se “a” e “b” fluttuano in modo indipendente, il prodotto degli scarti sarà tanto

positivo che negativo e quindi avrà sommatoria nulla.

b

bb

a

aa

q

ba

bbaa

b

bbaa

a

bbaa

q

baab

b

baq

a

baq

b

baq

a

baq

b

baq

a

baq

00

000000

),(),(

2),(),(),(),(

Covarianza

,

2

2

,

2

2

,

2

Quando le osservabili a e b non sono indipendenti tra loro ?

1) Calcolate la covarianza

2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando

- Esempio:

- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento

lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T2)

- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente

angolare a±a e termine noto b ±b (ad esempio con una regressione lineare)

y = ax + b ad esempio L = a T2 + b

- Volete estrapolare il valore della retta yo nel punto xo e volete anche avere

una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione

- ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un

periodo di 5 s

Allora il valore della variabile yo è dato da

y0 = a x0 + b ad esempio L = 25 a + b

L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori

In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono

correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve

cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali

Attenzione che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i quali

avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel caso del

pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate

2

0

222 20 abbaoy xx

Esempio (pg. 53 bevington):

N

N

N

N

Nxxx

xNN

xxx

xx

x

x

x

x

x

N

x

N

xxxx

x

N

x

N

i

N

ii

N

i

N

i

i

x

N

i

i

N

21

2

2121

1

2

1

2

2

121

1

1...

1...

...

Se le misure sono ripetibili,

indipendenti e senza errore

sistematico allora la deviazione

standard è sempre la medesima

indipendentemente dall’indice ‘i’

cioè

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Propagazione degli errori • Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori

Discrepanza

Nella stragrande maggioranza dei casi le conclusioni sperimentali implicano il confronto tra due o più valori. Questi valori possono essere delle misure (e quindi con un’incertezza), delle stime teoriche (con o senza incertezza) o grandezze note. Nell’ipotesi che i dati sperimentali si distribuiscono su una gaussiana è possibile fare un confronto quantitativo. Data una misura sperimentale xbest ± con deviazione dalla media pari a m ed una stima teorica xteo della medesima quantità, definiamo:

m

teobest

teobest

xxt

xxD

La quantità D è detta discrepanza, mentre la quantità t indica quanto è distante xbest da xteo in unità di deviazione standard (lo abbiamo già incontrato quando abbiamo parlato della gaussiana, ma concettualmente ha un significato differente)

Se t = 0.32 significa che xbest dista da xteo di 0.32 deviazioni standard della media. Quindi: - esiste il 75% di probabilità che xteo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata - esiste il 75% di probabilità che la differenza tra xteo e xbest sia di origine statistica.

Da questo si conclude che la misura sperimentale è compatibile con il valore atteso !

Se t = 3.5 significa che xbest dista da xteo di 3.5 deviazioni standard della media. Quindi: - esiste il 0.05 % di probabilità che xteo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata - esiste il 0.05 % di probabilità che che la differenza tra xteo e xbest sia di origine statistica

Da questo si conclude che la misura NON è compatibile con il valore atteso !

In altre parole:

• Lo strumento non funziona correttamente (poco probabile)

• La mia procedura di misura non è corretta

• Esistono degli effetti fisici che disturbano la misura

• Esiste un errore sistematico

• ……………

• ……………

• Ho fatto una scoperta !

Nota:

Quale è il significato ‘statistico’ di t ? - Ho ottenuto una misura xbest con deviazione standard deviazione standard dalla media m

- Devo verificare se xbest o xteo sono statisticamente uguali

- Questo equivale a verificare con che probabilità D = | xbest - xteo | sia zero

- Poiché xbest è una misura allora con la propagazione degli errori posso ricavare l’errore su D

- Allora t non è altro che la distanza di D da zero in unità di sigma dalla media

mDm

Dteobest

mediadalladeviazione

allarelazionelaestenderepossoeparticolarcasoquestoin

xxD

) variabilesola una ho(

m

teobest

Dm

xxDt

Cosa succede se devo confrontare due misure sperimentali o due osservabili, ciascuna con una incertezza ? Data una misura sperimentale xbest1 ± 1 con deviazione dalla media pari a m1 effettuata dallo studente A ed una misura una misura sperimentale xbest2 ± 2 con deviazione dalla media pari a m2 effettuata dallo studente B Il resto è esattamente lo stesso Notate che si può dimostrare la formula sopra con la propagazione degli errori

2

2

2

1

21

21

mm

bestbest

bestbest

xxt

xxD

Il limite entro il quale stabilire la compatibilità è stabilito a priori e varia tra i diversi ambiti sperimentali. Nel caso di questo corso di laboratorio lo stabiliremo entro 2 oppure 2m . Se è tra due o tre sigma allora l’esperimento non è conclusivo. Quindi:

• un dato sperimentale è compatibile con una stima teorica/attesa se t < 2

• una misura sperimentale con e m è compatibile con un’altra misura (con e m ) o con un valore noto se t < 2

Abbiamo già visto in una gaussiana (non necessariamente per le altre distribuzioni statistiche) l’intervallo xbest ± corrisponde al 68 % dei dati

In altre parole, nel caso di una distribuzione gaussiana, le singole misure cadranno nell’intervallo <x> ± con “livello di confidenza” pari al 68% Analogamente per 2 (95%) o 3 (99.7%) o X

Per distribuzioni non gaussiane, si dice xo ± xx al 95% C.L. Questo significa che il 95% delle misure cadono nell’intervallo xo-xx xo+xx

Quindi: Quando devo confrontare due misure o una previsione teorica ed una misura devo 1) Sapere quali sono gli intervalli di confidenza (in altre parole la finestra entro la quale ho il 68%, 95%, 99.7% degli eventi) 2) Decidere una soglia di probabilità oltre la quale ritengo la probabilità irragionevolmente piccola. Cioè decidere ad esempio che "se l'evento è fuori da un intervallo di confidenza del 95% allora è improbabile" 3) Calcolare la discrepanza, t, P(t), (1-P(t)) - Lo so fare con la gaussiana (eventualmente correggo con la ‘t’ di Student - Non lo so fare con altre distribuzioni (ho bisogno di conoscere il confidence level) 4) Con il criterio del punto 1 e 2 verifico se vale a) b) o c)

a) t > 2 o il valore che segue dalla ‘t’ di Student b) P(t) > 95% c) 1-P(t) < 5%

Allora la probabiltà che le due misure rappresentino la stessa quantità è irragionevole

Significatività Statistica

Significatività Se 1-P(t) < 5 % (oppure t > 1.96) - cioè se x0 NON è entro 1.96 dal valor medio si dice che ho evidenza significativa che x0 NON appartenga alla distribuzione statistica che ha generato xbest e . Ovvero la discrepanza è significativa . Se 1-P(t) < 1 % (oppure t > 2.32) - cioè se x0 NON è entro 2.56 dal valor medio si dice che ho evidenza altamente significativa che x0 NON appartenga alla distribuzione statistica che ha generato xbest e . Ovvero la discrepanza è altamente significativa .

xbest

HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia significativa ? - Significa scartare i dati per i quali t > 1.96 - Significa che sono sicuro di eliminare il 5% di dati ‘buoni’ - Significa che avrò il 5% di probabilità di avere un ‘falso positivo’

- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)

Esempio: Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è compreso tra 8.04 ed 11.96 Ohm (nota 1.96 = 1.96, quindi 10-1.96=8.04 e 10+1.96=11.96) allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso contrario si butta via. In questo caso, poichè il mio limite è 2 sigma, sono sicuro di buttare via il 5% di scatole buone (con resistenza 10 ± 1 Ohm) insieme a quelle con resistenza diversa da 10 ± 1 Ohm

HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia altamente significativa ? - Significa scartare i dati per i quali t > 2.56 - Significa che sono sicuro di eliminare l’1% di dati ‘buoni’ - Significa che avrò l’1% di probabilità di avere un ‘falso positivo’

- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)

Esempio: Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è compreso tra 7.44 ed 12.56 Ohm allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso contrario si butta via. In questo caso, poichè il mio limite è 2.56 sigma, sono sicuro di buttare via solo l’1% di scatole buone insieme a quelle con materiale difettoso Notate che in questo caso butto via meno scatole (solo l’1%) ma è più facile avviare alla vendita scatole con materiale difettoso

25

Media Pesata

Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche

differenti

Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma

Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non

sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come

Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, cioè che la discrepanza tra le

diverse misure non sia sensibilmente maggiore delle rispettive deviazioni standard

33

22

11

xx

xx

xx

2/1

2

1

i

ibest

i

i

i

i

i

ii

best

w

ww

xw

x

Provate a fare gli esercizi dal 5.17 al 5.28 e dal 5.34 al 5.37

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Discrepanza • Livello di confidenza • Compatibilità