-Q2 +Q1

-L

ambiente nello stato inizialenon esiste una trasformazione TIR’

Q2

T2

T1

Q1

LQ2

T2

T1

Q1

L

RT '

RT

Q2

T2

T1

Q1

LQ2’

T2

T1

Q1’

L

IRT

se TR è una trasformazione ciclica reversibileciclica reversibile

2 2 0 'Q Q

1 1 0 'Q Q

irreversibile irreversibile

ambiente nello stato iniziale

2 2 'Q Q 1 1 'Q Q e che

ossia che

consideriamo ora due trasformazioni cicliche

in altri termini esistera’ sempre una trasformazione

Teorema di Carnot

(reversibile o irreversibile) T

TR’ che inverte i flussi di calore e lavoro mentre se TIR è una trasformazione ciclicaciclicaed ambiente nello stato iniziale

che semplicemente

richiede che

una generica ed una reversibile TR

in particolare il secondo

o, detto in altri termini,

invertendo i flussi di calore e lavoro riporti sistema ed

principio, nella forma dell’enunciato di Clausius,

è sempre possibile riportare sistema

non è possibile riportare sistema ed

+Q2 -Q1 +L

+Q2 -Q1 +L -Q2 ‘ +Q1

‘-L

Q2

T2

T1

Q1

L

T

Q2

T2

T1

Q1’

L’

RT

Q2

T2

T1

Q1’

L’

RT '

2

'

R

LQ

0'L L 'L L

Q1’-Q1

L-L’

T2

T1

RT + T '

Q2

T2

T1

Q1

L

T

Q2

T2

T1

Q1’

L’

RT 'ne consegue che

il rendimento di una generica trasformazione ciclica è sempre minore o uguale ail rendimento di una generica trasformazione ciclica è sempre minore o uguale a

dato che TR è reversibile esiste la trasformazione ciclica

il rendimento dellecicliche prelevino la stessa quantità Q2 di calore dal

affinchè sia soddisfatto il secondo principio (Kelvin Plank) si deve

2 2

'L L

Q Q

per cui

Rossia

e supponiamo che entrambe le due trasformazioni

trasformazione ciclica

serbatoio a temperatura superioretrasformazioni vale

TR’ che inverte i flussi di calore possiamo allora considerarele trasformazioni cicliche T e TR’ che assieme formano una

2

LQ

e

quello di una trasformazione ciclica reversibilequello di una trasformazione ciclica reversibile

che scambia calore con un solo serbatoio

avere

pensando TR2 come trasformazione ciclica generica

pensando TR1 come trasformazione ciclica generica

consideriamo due trasformazioni cicliche reversibili

1 2R R

R

2 1 R R

R ne consegue chee visto che le trasformazioni cicliche reversibili hanno tutte lo stesso rendimento e

è che TR1 e TR2 abbiano lo stesso rendimento

le trasformazioni cicliche reversibili hanno tuttele trasformazioni cicliche reversibili hanno tutte

dato che per una generica trasformazione ciclica si ha

ciclica reversibile,

ciclica reversibile,

dunque:

percio’ l’unica possibilita’

un rendimento inferioreun rendimento inferiore

1 2 R Rdato che in generale

Rdato che in generale

TR1 e TR2 con rendimenti

lo stesso rendimentolo stesso rendimento

e TR2 come trasformazione

e TR1 come trasformazione

le trasformazioni cicliche irreversibili hanno semprele trasformazioni cicliche irreversibili hanno sempre

alle trasformazioni cicliche reversibilialle trasformazioni cicliche reversibili

si deve avere

si deve avere

,

,

2) il rendimento di una qualsiasi trasformazione

che operi con sorgenti di calore

in conclusione il teorema di Carnot afferma che :1) tutte le trasformazioni cicliche reversibilicicliche reversibili

è sempre inferioreinferioredue sorgenti di calore poste a due determinate temperature

a quello di una trasformazione ciclica reversibilciclica reversibile

hanno lo stesso rendimento

poste alle stesse due temperature

il teorema di Carnot rende possibiletrasformazione ciclica reversibile tra due serbatoi e cio’ è possibile perché

le trasformazioni cicliche tra due serbatoitrasformazioni isoterme a diversa temperatura

ciclicaciclica irreversibileirreversibile che operi tra

sono necessariamente costituite da duee da due trasformazioni adiabatiche

il calcolo teorico del rendimento di una

si deve ottenere un risultato

di un gas rarefatto che effettui una

e che evolva attraverso stati di equilibrio

eseguendo il calcolo nel caso

costituita da due isoterme a diversatrasformazione ciclica tra due serbatoi

temperatura e da due adiabatiche

le cui coordinate soddisfano l’equazione di stato

di validità generale

e visto che tutte le trasformazioni cicliche reversibili tra due serbatoi hanno lo

termodinamicostesso rendimento dalla sostanza che compone il sistemaindipendentementindipendentemente

Inoltre il rendimento di questo ciclo sara’ il massimo possibile in quanto durante le adiabatiche non vi e’ scambio di calore e quindi l’efficienza sara’ la massima possibile.Ogni altra trasformazione che colleghi le due isoterme comportera’ lo scambio di una certa quantita’ di calore che non potra’ mai essere ritrasformata integralmente in lavoro e quindi sara’ meno efficiente dsell’adiabatica

Siamo costretti a servirci di isoterme in quanto lo scambio di calore avviene con sorgetnti di temperatura che per definizione non modificano mai lal oro temperatura . Quaindi lo scambio di calore con sorgenti e’ nesessariamente un processo isotermo

e’ un ciclo termico costituito da quattro trasformazioni reversibilireversibili di un gas perfetto

una espansione isoterma da A a B a temperatura T2

da A a B viene assorbitoassorbito il calore QAB

2 lnB

AB ABA

VQ nRT L

V

da B a C il gas non scambia calore quindi

una compressione adiabatica da D ad Auna compressione isoterma da C a D a temperatura T1

una espansione adiabatica da B a C

T e’ costante U = 0 e Q = L

Ciclo di Carnot

V

pA

B

CD

1 12 1B CT V TV

il lavoro effettuato dal gas e’ 2 1( )BC BC VL U nc T T

dove :p

v

c

c

di un gas perfetto si ha nelle trasformazioni adiabatiche reversibili

0BCQ

il calore scambiato lungo l’ isoterma AB

sara’

da C a D viene cedutoceduto il calore QCD 1 lnD

CD CDC

VQ nRT L

V

da D ad A di nuovo il gas non scambia calore quindi

1 12 1A DT V TV il lavoro subito subito dal gas e’ 1 2( )DA DA V BCL U nc T T L

in un ciclo U = 0 Qtot = Ltot sommando i vari contributi di calore e lavoro

tot AB BC CD DAQ Q Q Q Q

AB CDL L

si ha:

tot AB BC CD DAL L L L L

AB CDQ Q

0DAQ

il rendimento del ciclo e’ 1QcQa

1

2

ln

1

ln

C

D

B

A

VT

V

VT

V

1 CD

AB

Q

Q

controllare i segni e I rapporti di volumi

le relazioni ( di Poisson ) valide lungo le adiabatiche sono

1 12 1A DT V TV 1 1

2 1B CT V TV

11

1 1CB

A D

VV

V V

da cui CB

A D

VV

V V quindi 1

2

1T

T

in questa relazione non compaiono grandezze caratteristiche del gas ma solo i

il rendimento del ciclo di Carnot di un gas ideale con calore specifico costante

dividendo membro a membro

dipende solo dalle temperature a cui avvengono gli scambi isotermi di calore

valori delle temperature delle sorgenti con cui il gas sta scambiando calore

e

tutte le macchine reversibili a gas perfetto che operano tra le stesse sorgenti

in effetti per avere rendimento unitario bisognerebbe o che

in ogni caso e’ sempre

il rendimento di una trasformazione ciclica reversibile tra due

1 1

2

TT

in conclusione:

una prima rilevante conseguenza dei risultati ottenuti consiste nella possibilità di

sostanza termometrica e basata solo sugli scambi di calore

definire una scala delle temperature indipendente dalle proprietà fisiche della

serbatoi a temperatura T2 e T1 ( con T2 > T1 )

di temperatura T1 e T2 hanno lo stesso rendimento che

inferiore all’unita’

T2 ∞ o che T1 0 , ma sono entrambe condizioni impossibili da realizzare

è dato dalla espressione

ed il sistema di cui vogliamo misurare la temperatura

ciclica reversibile tra un serbatoio alla temperatura

consideriamo una qualunque trasformazione termodinamica ciclica e reversibile

1 1 11 2

2 2 2

1 1 Q T Q

T TQ T Q

Q2

T2

T1

Q1

L

RT

LQ3

T3

T

QRT

possiamo ora costruire una scala termometrica

in effetti e’ impossibile utilizzare il termometro a gas al di sotto di temperature

cio’ mostra che si può calcolare la temperatura del serbatoio T1

dell’ordine di 1 K a causa della liquefazione dei gas

per tale trasformazione vale la relazione

e ceduti dal sistemaconoscendo quella del serbatoio T2 e misurando i calori acquisiti

, pensato come serbatoio

Temperatura termodinamica assolutaeseguendo una trasformazione

T3 (punto triplo dell’acqua)

alla temperatura T incognita

si definisce zero assoluto quella temperatura alla quale una trasformazione

ponendo a T3=273.16 ºK la temperatura del serbatoio alla temperatura del punto

33

Q

T TQ

ciclica reversibile non cede calore

ceduto al sistema di cui si vuole misurare la temperatura

triplo e misurando il calore Q3 acquisito da questo serbatoio ed il calore Q

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