( Laboratorio di ) Sistemi Informatici Avanzati

(Laboratorio di )Sistemi Informatici Avanzati

Giuseppe Manco

Teoria dei grafi

Grafi• Dimensione, ordine• Degree, degree distribution • Sottografi• Cammini, componenti• Geodetica• Alcuni grafi particolari• centralità

Grafi diretti• Diadi e triadi• Cmmini, geodetia,

componenti fortemente/debolmente connesse

• Centralità• Alcuni grafi diretti

particolari

Definizione

• Un grafo G è una coppia (V,E) di vertici (V) e archi (E)

Archi simmetrici

URLs su wwwChiamate telefonichemetabolic reactions

Grafo indiretto Digrafo

A

B

D

C

L

MF

G

H

I

Archi diretti

coauthorship linksActor networkprotein interactions

AG

F

BC

D

E

Dimensione, ordine

• Dimensione– Numero di nodi in V

• Ordine– Numero L di archi in E

Dimensione 7Ordine 8

2k inC 1k out

C 3Ck

AG

F

BC

D

E

A B

Grado• Il numero di archi in un grafo

• I grafi diretti definiscono in-degree e out-degree.

N

iik

Nk

1

1

outinN

1i

outi

outN

1i

ini

in kk ,kN1

k ,kN1

k

A

F

BC

D

E

j

i

Grado medio

Grafi completiOrdine massimo

Un grafo di ordine L=Lmax è un grafo completo

Il grado medio è

Sparsità

• Rapporto tra il numero effettivo di archi e il massimo numero di archi

L << Lmax or

<k> <<N-1.

WWW (ND Sample): N=325,729; L=1.4 106 Lmax=1012

<k>=4.51Protein (S. Cerevisiae): N= 1,870; L=4,470 Lmax=107

<k>=2.39 Coauthorship (Math): N= 70,975; L=2 105 Lmax=3 1010

<k>=3.9Movie Actors: N=212,250; L=6 106

Lmax=1.8 1013 <k>=28.78

(Sorgente: Albert, Barabasi, RMP2002)

Alcune reti

• Estrema sparsità

N L <k>

(Sorgente: : The structure and function of complex networks, M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167-256 (2003),

(Sorgente: Barabasi, http://spectrum.ieee.org/computing/networks/metcalfes-law-is-wrong)

Metcalfe’s law

Matrice di adiacenza

Aij=1 se esiste un arco (i,j)

4

2 3

12 3

1

4

Matrice di adiacenza

a b c d e f g ha 0 1 0 0 1 0 1 0b 1 0 1 0 0 0 0 1c 0 1 0 1 0 1 1 0d 0 0 1 0 1 0 0 0e 1 0 0 1 0 0 0 0f 0 0 1 0 0 0 1 0g 1 0 1 0 0 0 0 0h 0 1 0 0 0 0 0 0

b

e

g

a

c

f

h d

2 3

1

4

4

2 3

1

Grafi speciali

• Grafo vuoto con 5 nodi (Z5)

• Stella con 5 vertici

• Ciclico con 5 vertici

• Albero

• Foresta

3

Indiretto Digrafo

14

23

2

14

Actor network, protein-protein interactions WWW, citation networks

Non pesato Pesato

3

14

23

2

14

protein-protein interactions, www Call Graph, metabolic networks

auto-archi multigrafo

3

14

23

2

14

Protein interaction network, www Social networks, collaboration networks

Completo (K4)

3

14

2

Actor network, protein-protein interactions

I grafi reali

• WWW– multigrafo diretto, auto-archi

• Protein Interactions – Indiretto non pesato con auto-archi

• Collaboration network– Indiretto, multigrafo, pesato

• Chiamate a telefonia– Diretto, pesato

• Collegamenti Facebook – Indiretto

Grafo bipartito

• Nodi suddivisi in due gruppi– Nessun arco ammesso nello stesso gruppo

• Grafi completi bipartiti

Hollywood actor networkCollaboration networksDisease network (diseasome)

GENOME

PHENOMEDISEASOME

Goh, Cusick, Valle, Childs, Vidal & Barabási, PNAS (2007)

Sottografo

• Un sottoinsieme W di V che include tutti gli archi in E relativi a W

Diade

• Sottografo di due nodi

• Dyad census: (D0,D1)

Diade

N numero di coppie senza archiA numero di coppie con un solo arcoM numero di coppie con più archi

Dyad census: (M,A,N)

Triade

• Sottografo di dimensione 3

Triade

• Tryad census: il conteggio dei 16 tipi di grafi elencati sopra

Cammini

• Un cammino è una sequenza di nodi adiacenti (ovvero, collegati da un arco)

1.2.41.3.5.61.3.4.5.7

1.22.11.3.44.2.1.3

Nij numero di cammini tra i e j

Cammini tra due nodi

Raggiungibilità

• Se esiste un cammino da A a B, allora B è raggiungibile da A

• Se ogni vertice è raggiungibile da un altro, allora il grafo è connesso

Componenti connesse

• Una componente connessa di un grafo indiretto è un sottografo massimale connesso

DC

A

B

Componenti connesse

• Se ogni nodo di un digrafo è raggiungibile da un altro, allora il grafo è fortemente connesso

• Se ogni nodo di un digrafo è raggiungibile da un altro senza considerare il verso degli archi, allora il grafo è debolmente connesso

• Una componente connessa (debolmente/fortemente) è un sottografo massimale (debolmente/fortemente) connesso

La matrice di adiacenza di un grafo con molte componenti può essere rappresentata a blocchi

Connettività, componenti

La componente gigante• Una componente che racchiude la maggior parte del grafo

La distanza geodetica (geodesic path) tra due nodi è il

cammino di lunghezza minima tra questi due nodi

*se i due nodi sono sconnessi, la distanza è infinita

Nei digrafi il verso conta

La distanza tra A e B può essere diversa da quella tra B e A

DC

A

B

DC

A

B

Distanza

dmax la distanza massima tra una coppia di nodi nel grafo.

Distanza media, <d>, per un grafo connesso:

dij è la distanza tra i e j

Su un grafo indiretto, dij =dji , quindi

Diametro, distanza media

N L <k>


MISURE SU GRAFI

Cutpoints

• Un vertice è un cutpoint se la sua rimozione aumenta le componenti di un grafo

Ponti

• Un arco è un bridge (ponte) se la sua rimozione aumenta le componenti

– Grafo senza ponti

Connettività

• La connettività di un grafo G è il minimo numero di nodi che bisogna eliminare per rendere il grafo disconnesso

Connettività (archi)

• Il minimo numero di archi da eliminare per rendere il grafo disconnesso

Edge-connectivity

Connectivity

Centralità

• Il grado di centralità (potenziale di comunicazione) è il grado (normalizzato) di un nodo

Closeness

• Potenziale di comunicazione indipendente

Betweeness

• Il numero di cammini che contengono a

Coefficiente di clustering

• Quanti dei tuoi vicini sono connessi da un arco?

• Alternativamente

Nodi su una linea

N L <k>


Degree distributionDegree distribution P(k): probabilità che un vertice scelto in maniera

casuale abbia grado k

Nk = # nodi di grado kP(k) = Nk / N

k

P(k)

1 2 3 4

0.10.20.30.40.50.6

Degree distribution e reti reali

• Right-skewed– Una coda lunga di valori molto lontani dal valore

medio– Complicata da misurare

• Istogrammi su scale esponenziali– Power laws

Cumulative degree distribution

(Sorgente: : The structure and function of complex networks, M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167-256 (2003)

Power laws

• Probabilità di un valore che varia in misura inversamente proporzionale ad una potenza di quel valore

Distribuzioni classiche

Distribuzioni power law

Distribuzioni power law

• Poche città con una grande popolazione, molte città con una popolazione piccola– 40 città della dimensione di New York– 2700 città con meno di 110,000.

• Plottando l’istogramma, su scale logaritmiche, otteniamo una linea retta

Power law

• Possiamo rappresentare gli istrogrammi con

• Se p(x) rappresenta la distribuzione tra x e x + dx– E l’istogramma è una linea in scala log-log

Power law

• Piccole occorrenze estremamente comuni• Grandi occorrenze molto rare• Occorrono in diversi fenomeni

– city populations– Grado dei terremoti, crateri lunari, tempeste solari– computer files– Frequenze d’uso delle parole nel linguaggio umano– Il numero di articoli che un ricercatore scrive– Il numero di citazioni di un articolo– Il numero di link di una pagina web– Le vendite di un libro– …

Power law: Social networks

Numero di azioni che un utente compie (digg) Numero di amicizie (flixster)

Plottare le power-laws• α = 2.5• Istogramma con equal binning

La scala lineare

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

integer value

frequ

ency

• La relazione power-law non apparente• Ha senso se si guarda a pochi bin

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

integer value

frequ

ency

Intero rangeRange limitato

Log-log plot

• Le potenze spaziate in maniera uniforme

1 2 3 10 20 30 100 200

20=1, 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, ….

Log-log plot

• Metodo più comune• Non necessariamente accurato

ln(x)

ln (# di occorrenze di x)

Plottare le power laws

Molte osservazioniquando x < 10

Rumore sulla coda, molta variabilità

Logarithmic binning

• La size dei bin aumenta in progressione geometrica– 0.1, 0,2, 0.4, ….

• Normalizzazione: il numero di elementi in un intervallo di ampiezza Δx va diviso per Δx stesso per rendere il conteggio unitario– Il dato normalizzato diventa indipendente

dall’ampiezza


• Logarithmic binning

Ancora rumore

Distribuzione cumulativa

• Nessuna perdita di informazione– P(x) = P(X>x)– Il risultato è ancora una power-law con esponente

α – 1.


• Cumulative distribution

Power laws, Pareto distribution, Zipf's law

• Le distribuzioni cumulative sono anche chiamate rank/frequency distributions.

• Le cumulative che seguono una powe law sono anche dette Zipf o Pareto– “Zipf’s law” e“Pareto distribution” sono sinonimi di

“power-law distribution”. • Le differenze sono essenzialmente nel plot

– Zipf x sull’asse orizzontale, P(x) su quello verticale– Pareto al contrario

Cumulative, rank/frequency

• Si ordinano le misurazioni– Si plotta il rank sulla misurazione

Stimare una power-law

• Va individuato il valore xmin da cui la power-law comincia

• xmin è maggiore di 0– Perché?

Stimare α dai dati

• Si trova lo slope direttamente dalla linea– Nell’esempio precedente, il logarithmic binning produce α

= 2.26 ± 0.02 • Si estrae l’esponente utilizzando la formula

– α = 2.500 ± 0.002 nell’esempio precedente

Esempi di power laws

N L <k>


Non tutto è una power law

Non tutto è una power law

• Exponential tails

– Distribuzione cumulativa ancora esponenziale– Semi-logarithmic plot

Maximum degree

• Il grado oltre il quale non ci sono più nodi

• Su una power-law, otteniamo

– Stima approssimativa

Maximum degree

• Una stima più accurata– Un grafo con esattamente m vertici di grado k e

nessun vertice di grado maggiore di k ha probabilità

– Probabilità che il grado più alto sia k

Resilience

• Studio della connettività• Se alcuni vertici sono rimossi, la lunghezza dei

cammini aumenta– Alcuni nodi divengono disconnessi

• Livello di resilience correlato alla distanza media– Epidemiologia– Robustezza ad attacchi

Uno studio

• World Wide Web– Un frammento di 326.000 pagine– Distribuzione Power-law

• Due strategie di removal– Random– Rimozione progressiva dei vertici di grado più alto

Risultato

• Cosa possiamo concludere?

Risultato

• Cosa possiamo concludere?– Alta tollerabilità ai “fallimenti” random– Estrema vulnerabilità ai “fallimenti” degli hub

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