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Samuele Straulino

Lezioni di astronomia

Per gli studenti di Scienze della formazione primaria

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I edizione: maggio

Indice

Prefazione 7

Introduzione 9

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale 11

SCHEDA N. 1 – Le potenze di 10 12

SCHEDA N. 2 – Il moto di caduta libera 15

SCHEDA N. 3 – Dimensioni relative dei corpi celesti 19

Capitolo 2 – Stelle e pianeti 21

SCHEDA N. 4 – L’osservazione del cielo con il cannocchiale 22

Capitolo 3 – I movimenti della Terra 27

SCHEDA N. 5 – Il moto dei pianeti 29

SCHEDA N. 6 – Il pendolo di Foucault 37

SCHEDA N. 7 – Eratostene misura la circonferenza della Terra 39

SCHEDA N. 8 – Il mappamondo parallelo 41

SCHEDA N. 9 – La costante solare 42

Capitolo 4 – La misura del tempo: giorni e anni 45

Capitolo 5 – Altezza e azimut 49

Capitolo 6 – La Luna 51

SCHEDA N. 10 – Le dimensioni apparenti della Luna 52

SCHEDA N. 11 – Viaggio alla scoperta del cielo: una proposta didattica 55

Per approfondire 57

5

Prefazione

Questo libretto ha origine dalle lezioni di Didattica della Fisica, che ho tenuto ne-gli ultimi anni agli studenti del Corso di Laurea di Scienze della Formazione Primariaall’Università di Firenze.

Si tratta di un breve compendio di Astronomia di livello elementare, in cui ho cercatodi utilizzare un linguaggio immediato riducendo all’essenziale il formalismo matematico.Le “schede” che ho inserito permettono di approfondire aspetti specifici o di suggerirepossibili sviluppi didattici delle conoscenze acquisite.

Sarebbe molto bello se questo piccolo lavoro potesse essere di qualche interesse ancheper gli insegnanti in servizio nella Scuola Primaria, i primi educatori alle Scienze perogni studente, almeno come stimolo alla realizzazione di semplici esperimenti con i loroallievi.

Ringrazio i colleghi del Dipartimento di Fisica e Astronomia dell’Università di Firen-ze per le correzioni e i consigli ricevuti. Un ringraziamento particolare va ad AnnamariaCartacci, con la quale ho discusso molte volte del contenuto di queste pagine, che miha sempre dato suggerimenti utilissimi per migliorare la chiarezza del testo, e a CeciliaGambi, responsabile del laboratorio OpenLab, per l’interesse e la disponibilità con cui hasostenuto il mio lavoro.

Firenze, Maggio 2012

7

Introduzione

Tutti in qualche occasione siamo rimasti affascinati dalla bellezza del cielo stellato, spe-cialmente quando ci è capitato di trovarci immersi nell’oscurità della notte, lontano daicentri abitati. Il cielo appare allora come una calotta che sovrasta l’orizzonte, costellatada centinaia di stelle; la Terra sembra il centro di un grande scenario, su cui gli astri simuovono seguendo leggi precise.

Lo studio dei corpi celesti ha affascinato generazioni di uomini a partire dai tempipiù remoti. Nell’antichità classica gli astronomi avevano costruito un modello del cosmoche, ponendo la Terra al centro del mondo, permetteva di conoscere con precisione laposizione delle stelle e dei pianeti in qualsiasi momento e di fare previsioni sui loro mo-vimenti. Tutte le osservazioni avvenivano a occhio nudo, perché fino all’inizio del XVIIsecolo non esistevano strumenti ottici che permettessero di scrutare i corpi celesti. L’a-stronomia degli antichi era una scienza molto raffinata, contrariamente a quanto si puòpensare; tuttavia i meccanismi che spiegavano i movimenti degli astri sulla volta celesteerano spesso assai complicati.

Nel Rinascimento Kopernik comprese che, se si poneva il Sole anziché la Terra al cen-tro dell’Universo, la descrizione del moto dei pianeti si semplificava. L’avvento, poi,del cannocchiale permise a Galileo e ad altri scienziati di osservare alcuni elementidecisivi che portarono, nei secoli successivi, all’affermazione della teoria eliocentricacopernicana.

Alla fine del Seicento Newton formulò la legge di gravitazione universale, che per-metteva di spiegare le traiettorie dei pianeti, unificando il moto di caduta degli ogget-ti nell’ambiente terrestre e le orbite planetarie come risultati dell’azione di una stessaforza.

Ma soltanto nel secolo scorso gli scienziati hanno compreso quale sia la composizionedelle stelle e quali i meccanismi che ne regolano il funzionamento. Si è capito allora chele stelle non sono corpi immutabili e incorruttibili, come gli astronomi dell’antichità liavevano considerati.

Iniziamo questo viaggio fra i corpi celesti cercando di ripercorrere le principali tappedi un percorso di conoscenza che ha impegnato l’umanità per migliaia di anni fino aigiorni nostri (e che, naturalmente, non si è ancora concluso).

9

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale

La Terra è uno dei pianeti che appartengono al Sistema Solare, un insieme di corpicelesti con struttura e dimensioni molto diverse, fra i quali agiscono forze di attrazionereciproca. La forza che si esercita fra questi corpi è descritta dalla legge della gravitazioneuniversale di Isaac Newton (1643–1727). Tale legge afferma che, fra due corpi qualsiasidi masse m1 e m2, posti a una distanza d molto più grande delle loro dimensioni (come,per esempio, i due oggetti rappresentati in Fig. 1), si esercita una forza attrattiva F chepuò essere scritta in questa forma:

F = Gm1 m2

d 2(1)

Leggendo questa equazione vediamo che per ottenere la forza F dobbiamo molti-plicare fra loro le due masse considerate e dividerle per il quadrato della distanza d; ènecessario moltiplicare poi il risultato per un fattore G, che è chiamato costante di gravi-

tazione universale e nel Sistema Internazionale di unità di misura1 ha un valore di circa6,7 ·10−11 = 0,000000000067.

L’attrazione gravitazionale è presente fra qualunque coppia di masse nell’Univer-so; per esempio, nel caso di due oggetti di 1 kg posti alla distanza di 1 m, la forza diinterazione che si ottiene sostituendo nell’Eq. 1 i valori numerici è:

F = 6,7 · 10−11 1 · 1

12= 6,7 · 10−11

L’unità di misura delle forze nel Sistema Internazionale è il Newton (N); pertanto ab-biamo un risultato di 6,7 · 10−11 N. Notiamo subito che si tratta di una forza piccolissima:infatti 1 N corrisponde più o meno al peso di una coppia di uova.

Quando, però, almeno una delle due masse che compaiono nell’Eq. 1 è molto piùgrande di 1 kg, gli effetti della forza di gravitazione universale diventano facilmenteosservabili, come vedremo fra poco.

1È il sistema di unità di misura, composto da grandezze con multipli e sottomultipli decimali, adottato ormaiquasi ovunque nel mondo. Fra le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale ci sono il metro (m) per lalunghezza, il kilogrammo (kg) per la massa e il secondo (s) per il tempo.

d

m

m

1

2

Figura 1: Due corpi di masse m1 e m2, posti a una distanza d, si attraggono con una forza che èdescritta dalla legge di gravitazione universale (Eq. 1).

11

12 Lezioni di astronomia

SCHEDA N. 1 – Le potenze di 10.Ricordiamo cosa significa scrivere bn (potenza n–esima di b):

bn = b · b · b · . . . · b︸ ︷︷ ︸

n volte

b è detta base della potenza e n è l’esponente. Per esempio, 23 = 2 · 2 · 2 = 8.Cosa accade quando moltiplichiamo fra loro due numeri scritti in forma dipotenza, se le potenze dei due fattori hanno la stessa base?Supponiamo di dover fare la moltiplicazione 23 · 22: possiamo scrivere (2 · 2 · 2) ·(2 · 2). Osservando che il numero risultante è 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25, si intuisce che,se dobbiamo moltiplicare due potenze con la stessa base, è sufficiente sommarefra loro i due esponenti (bm

· bn = bm+n).Per la divisione vale una regola analoga. Per eseguire la divisione 24 ÷ 23 possia-mo scrivere (2 · 2 · 2 · 2) ÷ (2 · 2 · 2) = 21 = 2: il risultato si ottiene facendo lasottrazione dei due esponenti (bm

÷ bn = bm−n).Inoltre, se calcoliamo 22 ÷ 23, si trova: (2 · 2)÷ (2 · 2 · 2) = 1

2= 2−1, da cui si

può dedurre la regola più generale:

b−n =

Å

1

b

ãn

Osservando infine che 20 = 21 ÷ 21 = 2 ÷ 2 = 1, possiamo assumere senzadifficoltà che, per qualunque numero b, valga b 0 = 1.In particolare, per scrivere in forma più compatta e più facilmente comprensibilenumeri molto grandi o molto piccoli, si utilizzano le potenze di 10:

101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10 000 ecc.10−1 = 0, 1 10−2 = 0, 01 10−3 = 0, 001 10−4 = 0, 0001 ecc.

Quindi un numero come 0,0016 può essere scritto nella forma 1,6 ·10−3. Ovvia-mente per le potenze di 10 valgono le regole di calcolo enunciate per una base bgenerica. Per esempio:

105 ÷ 107 = 10−2 = 1

100= 0, 01

Le potenze di 10 con esponente multiplo di 3 possono essere sostituite con specialiprefissi da attribuire alle unità di misura. I più comuni sono questi:

Potenza Prefisso Simbolo109 giga G106 mega M103 kilo k10−3 milli m10−6 micro µ

10−9 nano n

Si osservi che il prefisso corrispondente alla potenza 103 va utilizzato con lalettera minuscola; di conseguenza si deve scrivere kg, km (non Kg, Km).

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale 13

Consideriamo una persona di massa m che si trovi sulla superficie della Terra e scri-viamo l’espressione della forza che agisce fra la persona e il nostro pianeta (che ha unamassa molto maggiore di 1 kg !). Si può dimostrare che per questo calcolo la distanza dda includere nell’Eq. 1 corrisponde al raggio RT della Terra: cioè la massa del pianeta(MT ) per gli effetti gravitazionali si può considerare localizzata nel centro del globo (teo-rema di Gauss del campo gravitazionale). Di conseguenza, la distanza fra le due masseconsiderate sarà uguale al raggio terrestre (Fig. 2). Quindi:

F = Gm1m2

d 2= G

mMT

R2T

= m

Å

GMT

R2T

ã

= m · g (2)

dove g = GMT /R2T

è una costante di proporzionalità, visto che il raggio e la massa dellaTerra sono entrambi costanti2. La relazione appena scritta indica che la forza di attrazioneche la Terra esercita su un corpo (che di solito indichiamo, con espressione leggermenteimpropria, come peso del corpo3) è proporzionale alla massa del corpo stesso.

La costante di proporzionalità dell’Eq. 2 si chiama accelerazione di gravità; dalleconsiderazioni fatte si comprende che l’accelerazione di gravità g è (approssimativamen-te) costante sulla superficie terrestre: g = 9,8 m/s2. Come conseguenza di ciò, qualunqueoggetto in caduta sulla Terra, indipendentemente dalla sua massa, è sottoposto a un’ac-celerazione g verso il basso4. Se l’accelerazione è costante, la velocità dell’oggetto incaduta aumenta progressivamente con il tempo; il corpo segue questa legge oraria:

s =1

2g t2

dove s è lo spazio percorso dalla posizione iniziale e t è il tempo (immaginando di farpartire un cronometro nell’istante in cui l’oggetto viene lasciato libero e inizia a cadere).Questa relazione è valida se l’oggetto parte da fermo, cioè se la velocità iniziale è ugualea zero; altrimenti bisogna includere un termine additivo. Invertendo questa formula siricava facilmente il tempo necessario a percorrere lo spazio s per un oggetto in caduta cheparta da fermo.

Galileo Galilei (1564–1642) riesce a descrivere correttamente il moto di caduta libera.Comprende che la velocità di un oggetto che cade aumenta progressivamente, ma intui-sce anche i limiti di questa descrizione: la resistenza dell’aria cresce con la velocità dicaduta e fa sì che il corpo raggiunga una velocità massima, che da un certo istante in poirimane costante. Galileo, però, non è in grado di comprendere perché un oggetto cade;egli, seguendo ancora la Fisica di Aristotele (384 a. C. – 322 a. C.), accetta l’idea di unmoto naturale di caduta verso il basso. Infatti, nei Discorsi e dimostrazioni matematicheintorno a due nuove scienze, opera pubblicata nel 1638, Galileo afferma: Dico per tanto

2In realtà la Terra non è perfettamente sferica; perciò il raggio terrestre ha un valore leggermente diverso dapunto a punto. In prima approssimazione possiamo comunque considerarlo costante.

3Il peso non è una proprietà esclusiva del corpo: dipende anche dalla massa e dalle dimensioni del globoterrestre.

4La forza con cui un oggetto viene attratto verso il basso, secondo l’Eq. 2, è proporzionale alla massa m

dell’oggetto stesso. Questo significa però che l’accelerazione è costante. Infatti, per il secondo principio della

dinamica, a =F

m=

mg

m= g.

14 Lezioni di astronomia

RT

MT

m

m

>> 1 kg !

Figura 2: La forza di attrazione a cui è soggetta una persona che si trova sul nostro pianeta si puòcalcolare immaginando che la massa della Terra non sia distribuita, ma si trovi nel centrodel globo (il teorema di Gauss del campo gravitazionale ci garantisce che l’assunzioneè corretta). Un disegno di questo tipo può essere utile anche per far notare agli alunnipiù piccoli come si dispongono gli esseri umani sulla Terra alle varie latitudini: i piedisono sempre ben saldi sulla superficie terrestre e gli oggetti che cadono sono attratti dallaforza di gravità della Terra verso il centro del globo.

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale 15

che un corpo grave ha da natura intrinseco principio di muoversi verso ’l comun centrode i gravi, cioè del nostro globo terrestre, con movimento continuamente accelerato, edaccelerato sempre egualmente.

Alcune decine di anni più tardi Isaac Newton capisce che qualsiasi corpo che cadesulla Terra è soggetto alla forza di attrazione del nostro pianeta, descritta dall’Eq. 1; com-prende inoltre che quella stessa legge matematica descrive l’attrazione della Luna da partedella Terra, l’attrazione della Terra da parte della Luna e in generale l’attrazione mutuafra due corpi qualunque.

SCHEDA N. 2 – Il moto di caduta libera.

Uno dei primi esperimenti che ciascuno di noi fa nella propria vita riguarda la ca-duta libera: infatti il bambino piccolo si diverte ad afferrare gli oggetti e a lasciarlicadere. Responsabile di questo movimento verso il basso è la forza di attrazioneche la Terra esercita sui corpi che si trovano sulla sua superficie. Aristotele, vissu-to nel IV secolo a. C. ma ritenuto l’esponente più autorevole della filosofia dellanatura fino al Seicento, afferma che gli oggetti pesanti cadono più velocementedi quelli leggeri. Se confrontiamo la caduta di una piuma e di un sasso, anchenoi possiamo essere indotti a credere che questa affermazione sia vera. In realtà,il problema che stiamo affrontando è troppo complesso e non siamo in grado ditenere sotto controllo tutte le variabili: la piuma e il sasso sono molto diversi permassa, forma, densità ... Proviamo allora a semplificare.Prendiamo due fogli identici e appallottoliamo uno dei due. Se li lasciamo cadereinsieme vediamo che il foglio steso impiega molto più tempo ad arrivare a terra.Dato che i due fogli sono uguali – solo la forma è diversa – l’esperimento cisuggerisce che l’aria, che i fogli devono attraversare, abbia un ruolo importantenella loro caduta.Galileo comprende chiaramente che l’aria è un “impedimento” alla caduta deglioggetti: È (torno a dire) l’intento mio dichiarare, come delle diverse velocità dimobili di differente gravità non ne sia altramente causa la diversa gravità, ma checiò dependa da accidenti esteriori ed in particolare dalla resistenza del mezzo, sìche, tolta questa, tutti i mobili si moverebber con i medesimi gradi di velocità.(Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638).Facciamo un altro semplice esperimento utilizzando un libro e un foglio steso unpo’ più piccolo di questo: se appoggiamo il foglio sopra il libro e li lasciamocadere, notiamo che i due oggetti arrivano a terra insieme. Questa volta il foglionon mostra alcun ritardo nella caduta per effetto della resistenza dell’aria. Infattiil foglio segue da vicino il libro, che provvede a spostare lateralmente l’aria daattraversare; dunque non c’è più alcun impedimento alla caduta del pezzo di carta.

Consideriamo adesso l’attrazione che, secondo l’Eq. 1, si esercita fra due corpi ce-lesti qualsiasi, in particolare fra il Sole e un pianeta. Perché il pianeta, attratto dal Solemediante la forza di gravità, non cade su di esso? In Fig. 3 ho rappresentato il pianeta Pche si muove su un’orbita attorno al Sole, nella direzione mostrata dalle frecce. La forza

16 Lezioni di astronomia

senza la gravità !

con la gravità !

F

v

Fv

Figura 3: Il pianeta P si mantiene in orbita attorno al Sole grazie alla forza F . Infatti, in assenza diattrazione gravitazionale, il pianeta percorrerebbe una traiettoria rettilinea con velocità vcostante e si allontanerebbe indefinitamente dal Sole. Si osservi che i due vettori F e v

rappresentano grandezze fisiche diverse e quindi non si sommano.

con cui il Sole attrae il pianeta è indicata dal vettore F ; la velocità del pianeta è invecerappresentata dal vettore v. Osserviamo che, se nessuna forza agisse sul pianeta, questosi moverebbe di moto rettilineo uniforme (come è stabilito dal primo principio della Dina-mica): in figura la sequenza di puntini marroni indica il destino del pianeta, supponendocon uno slancio di fantasia che l’attrazione del Sole si esaurisca improvvisamente. Siintuisce pertanto che l’attrazione gravitazionale è necessaria per mantenere il pianeta inorbita attorno al Sole.

La forza F , per il secondo principio della Dinamica, produce un’accelerazione a nellastessa direzione di F . In questo caso l’accelerazione corrisponde a una variazione delladirezione della velocità v verso il centro dell’orbita (ed è chiamata pertanto accelerazionecentripeta). Questo accade tutte le volte che un oggetto viene mantenuto in rotazione attor-no a un asse: è necessario un vincolo che impedisca all’oggetto in moto di allontanarsi (sipensi per esempio ai sedili di una giostra, trattenuti da un cavo collegato con la struttura).Nel caso dei pianeti è l’attrazione gravitazionale del Sole che funziona da vincolo.

Il Sole è il centro di attrazione del Sistema Solare grazie alla sua massa: oltre 300 000volte più grande di quella della Terra e molto maggiore anche di quella degli altri pia-neti. L’Eq. 1 ci ricorda, infatti, che è proprio la massa degli oggetti che interagiscono adeterminare, insieme alla distanza, l’entità della forza di attrazione.

I pianeti, fra cui la Terra, si muovono attorno al Sole percorrendo orbite che hannola forma di un’ellisse (più o meno schiacciata, a seconda dei casi, come vedremo meglio

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale 17

in seguito). Le orbite di tutti i pianeti giacciono approssimativamente sullo stesso piano5.Molti pianeti hanno uno o più corpi minori, i satelliti, che orbitano attorno a loro: la Lunaè il satellite della Terra.

Facciamoci adesso un’idea delle dimensioni del Sole e della Terra (indicando con RS

il raggio del Sole e con RT quello della Terra) e della distanza che li separa. Nella tabellasottostante sono riportati, con due cifre significative, questi valori, espressi in tre unitàdi misura diverse. In particolare l’Unità Astronomica (UA) è definita come la distanzamedia Terra–Sole.

unità raggio della Terra raggio del Sole distanza media Terra-Sole

km 6,4 ·103 7,0 ·105 1,5 ·108

RT 1,0 (per definizione) 1,1 ·102 2,3 ·104

UA 4,3 ·10−5 4,7 ·10−3 1,0 (per definizione)

Dalla tabella vediamo che il raggio della Terra è circa 6400 km e il raggio del So-le è circa 100 volte più grande (nella Fig. 4 i due corpi celesti sono disegnati in scala).Vediamo anche che la distanza Terra–Sole corrisponde a oltre 20 000 raggi terrestri. Os-serviamo infine che, in termini di Unità Astronomica, il raggio della Terra è dell’ordinedi 0,00004: questo significa che, se volessi rappresentare in scala su un foglio di carta ilsistema Terra–Sole, ponendo i due corpi alla giusta distanza, il nostro pianeta risulterebbeinvisibile!

ESERCIZI

1. È più intensa la forza di attrazione del Sole verso la Terra o quelladella Terra verso il Sole?

2. Utilizzando le proprietà delle potenze, determinare il volume delSole, sapendo che il suo raggio è circa 7 · 105 km.

3. Calcolare quanto tempo impiega un sasso a cadere al suolo daun’altezza di 1 m, senza considerare la resistenza dell’aria.

4. Se il sasso cade da un’altezza di 2 m, possiamo aspettarci untempo di caduta doppio rispetto al valore ottenuto nell’esercizioprecedente?

5Questo non è vero per Plutone. Tuttavia, secondo una recente classificazione, Plutone non è più consideratoun pianeta a causa delle sue dimensioni (il suo raggio è oltre cinque volte più piccolo di quello della Terra), dellasua distanza dal Sole e dell’orientazione della sua orbita.

18 Lezioni di astronomia

Figura 4: Dimensioni relative del sistema Terra–Sole: il raggio del Sole è circa 110 volte quellodel nostro pianeta. Si osservi che, per comodità di rappresentazione, la distanza fraSole e Terra nel disegno non è una riproduzione in scala della distanza reale: con ledimensioni della figura, per avere una rappresentazione corretta dovremmo porre il Solea una distanza di circa 20 metri dalla Terra! Assumendo corretta la distanza adottatanel disegno, un osservatore che si trova sulla Terra vedrebbe il disco solare racchiusoentro l’angolo α: l’esperienza ci suggerisce che l’angolo è in realtà molto più piccolo diquello del disegno, perciò il Sole deve essere molto più lontano!

Capitolo 1 – La legge della gravitazione universale 19

SCHEDA N. 3 – Dimensioni relative dei corpi celesti.Il raggio del Sole è 110 volte quello della Terra (per semplicità di calcolo diciamocirca 100 volte). Possiamo chiederci: quanto più grande è il volume del Solerispetto a quello della Terra? E la superficie? Ci sarà sempre un fattore 100 fra legrandezze corrispondenti?Ovviamente la risposta è ... no! Vediamo per quale motivo.Assumiamo che i corpi celesti siano sfere di raggio r (ma il ragionamento potreb-be essere esteso a qualunque tipo di solido). Sappiamo che la superficie di unasfera è 4πr2, e il volume è 4

3πr3. È importante sottolineare che la superficie deve

essere proporzionale a r2 e il volume a r3: infatti le superfici si misurano in metriquadrati e i volumi in metri cubi (per il nostro calcolo i fattori moltiplicativi 4π e4

3π ... non sono essenziali!).

Con queste premesse, è immediato osservare che, se abbiamo due sfere di raggior1 e r2 rispettivamente, e tali che r2 = 2 r1, il volume della seconda sfera è 8volte maggiore di quello della prima! Infatti r32 = (2 r1)

3 = 23 · r13; il fattore 4

3π

è presente in entrambi i volumi e non conta.La foto dovrebbe aiutare a rafforzare questa convinzione: sul piatto della bilanciaci sono alcune sferette di acciaio, di diametro 30 mm e 15 mm. Come si puòvedere, la massa di una sola sfera grande corrisponde (a meno di una differenza dipochi decimi di grammo) a quella di otto sfere piccole. In questo caso possiamofare un confronto diretto fra le due masse anziché fra i volumi perché le sfere sonodello stesso materiale, e quindi hanno la stessa densità: altrimenti questo tipo dimisura non avrebbe senso.

Ritorniamo adesso al Sole e alla Terra: per quanto abbiamo appena detto, la su-perficie del Sole è circa 10 000 (1002) volte maggiore di quella del nostro pianetae il volume del Sole è circa un milione (1003) di volte più grande di quello dellaTerra!Come abbiamo visto nelle pagine precedenti, la massa del Sole è circa 300 000volte maggiore di quella della Terra, mentre il volume è circa un milione di voltepiù grande: i due dati non sono in contrasto fra loro, perché il Sole ha una densitàmedia inferiore a quella della Terra.