I multipli di un numero

Si dice MULTIPLO di un numero naturale a, diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali: [0,1,2,3,4...]

Es: 5*3 = 15,  dove 15 è multiplo di 5 secondo il numero 3.

Poiché la successione dei numeri naturali è infinita, anche i multipli di un numero sono infiniti.

Per esempio, i multipli di M(13) =  [0,13, 26, 39, 52...]

•• Lo zero è  multiplo di qualsiasi altro numero, pertanto, d’ora in avanti,

lo ometteremo nello scrivere i multipli di un numero;).•• I multipli di 2 costituiscono l’insieme dei numeri pari,tutti gli altri

numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari.•• Si stabilisce che lo 0 appartenga all’insieme dei numeri pari•

Esempi:

Scriviamo i primi cinque multipli di 3 e i primi quattro multipli di 6.

M(3) = [3, 6, 9, 12, 15]

M(6) = [6, 12, 18, 24]

I divisori di un numero

Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero, diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo.

Es: 12 : 4 = 3   con  resto = 0

Se questo non succede, come nella divisione

20 : 8 = 2,  con resto = 4

diremo che 8 non è un divisore di 20 e che, pertanto, 20 non è divisibile per 8.

Consideriamo, adesso i divisori di 8, 12, 18:

D(8) = [1, 2, 4, 8]

D(12) = [1, 2, 3, 4, 6,12]

D(18) = [1, 2, 3 , 6, 9, 18]

Dagli esempi visti, possiamo concludere che:

•• I divisori di un numero sono sempre minori o uguali al numero.•• Per trovare tutti i divisori di un numero, lo dividiamo per la

successione dei numeri naturali, a partire dal numero stesso fino ad ottenere 1. I quozienti esatti rappresentano i divisori del numero.    

•

Esempi: determiniamo i divisori di 10, eseguendo le divisioni successive.

10 : 10 = 1  con  r = 0

10: 9 = 1     con r = 1

10 : 8 = 1    con r = 2

10 : 7 = 1    con r = 3

10 : 6 = 1    con r = 4

10 : 5 = 2    con r = 0

10 : 4 = 2    con r = 2

10 : 3 = 3    con r = 1

10 : 2 = 5    con r = 0

10 : 1 = 10  con r = 0

Considerando soltanto le divisioni con resto zero, ovvero i quozienti esatti, troveremo i divisori di 10.

Se applichiamo il metodo delle divisioni successive ai numeri 2 e 7, troveremo che questi hanno per divisori soltanto  l’unità e se stessi.

Questi numeri si dicono numeri primi.

Cos'è il crivello di Eratostene?Il crivello di Eratostene

Il crivello di Eratostene è una tabella ideata da Eratostene di Cirene, uno studioso vissuto nel III secolo a.C.

La parola crivello significa setaccio e il crivello di Eratostene è una tabella che serve per setacciare i numeri primi. Essa, cioè, permette di separare i numeri primi dagli altri numeri.

Si tratta di una tabella, come quella riportata in alto, in cui compaiono i numeri da 1 a 100.

Vediamo come funziona. Per prima cosa si cercano nella tabella i multipli di 2, escluso il 2, e si cancellano.Poi si cercano i multipli di 3, escluso il 3, e si cancellano.Quindi si cercano e si cancellano i multipli di 5, escluso il 5.Infine si cercano e si cancellano i multipli di 7, escluso il 7.

I numeri che restano sono i numeri primi compresi tra 1 e 100.

Numeri primiOsserva il grafico e scrivi i divisori di ogni numero.

12 11 10 9 8 7654 3 2 1

divisori di 1 (.....) div. di 2 (....., .....)div. di 3 (....., .....) div. di 5 (....., .....) div. di 7 (....., .....) div. di 11 (....., .....)div. di div. di div. di div. di div. di div. di4 (....., ....., .....) 6 (....., ....., ....., .....) 8 (....., ....., ....., .....) 9 (....., ....., .....) 10 (....., ....., ....., .....) 12 (....., ....., ....., ....., ....., .....)1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 numeri

Numeriprimi Numericomposti• 1 ha un solo divisore. • Tutti i numeri hanno come divisore 1. Tutti i numeri sono multipli di 1. • I numeri che hanno solo due divisori (1 e se stessi), si dicono numeri primi. • 2 è l’unico numero pari che ha due divisori. 2 è un numero primo. • Ogni numero è multiplo e divisore di se stesso. • I numeri che hanno più di due divisori si dicono numeri composti.

Il matematico greco Eratostene, vissuto tra il 296 e il 196 a.C., inventò un metodo per distinguere i numeri primi dai numeri composti. Chiamò questo metodo «kòskinon» (= setaccio, cri- vello, vaglio). Il setaccio è un arnese usato per separare le parti più fini da quelle più grosse. Il metodo di Eratostene consiste,appunto, nell’eliminare i numeri non primi, lasciando scritti i numeri primi, come sei in-vitato a fare nell’esercizio seguente:• cancella 0 e 1; • cancella i multipli di 2, eccetto il 2;• cancella i multipli di 3, eccetto il 3; • cancella i multipli di 4, eccetto il 4;• cancella i multipli di 5, eccetto il 5; • cancella i multipli di 7, eccetto il 7.I numeri non cancellati sono i numeri primi minori di 100.0123456789 10111213141516171819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30313233343536373839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Criteri di divisibilitàIndica con una crocetta se le frasi sono vere oppure false.• 7èdivisoredi56. V F • 39èdivisibileper2. V F • 81èmultiplodi3. V F • 80èdivisibileper2. V F

• 29èmultiplodi2. V F • 5èdivisoreper75. V FAbbiamo già visto che, per stabilire se un numero è multiplo di un altro, basta divi- dere il primo per il secondo. Se il quoziente è esatto, il primo numero è multiplo del secondo, mentre il secondo è divisore del primo. Esaminiamo alcune regole pratiche per stabilire se un numero è divisibile per un altro, senza eseguire la divisione.In ogni gruppo di multipli dei vari numeri, c’è un intruso. Cancellalo con un trattino e verifica, anche aiutandoti con la calcolatrice, la validità delle regole scritte.Un numero `e divisibile per 2, se `e pari.Un numero è divisibile per 3, quando la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3.Un numero è divisibile per 4, quando le ultime due cifre sono due zeri o formano un numero divisibile per 4.Un numero è divisibile per 5, quando termina per 0 o per 5.Un numero è divisibile per 6, quando `e pari e la somma delle sue cifre è divisibile per 3.Un numero è divisibile per 9, quando la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 9.

Un numero è divisibile per 10, quando termina per 0.Mult. di 2: Mult. di 3:Mult. di 4:Mult. di 5: Mult. di 6:Mult. di 9:16 3824 39 18 2712 48 54 3615 606 174Mult. di 10: Indica con una crocetta se le frasi sono vere oppure false.• 2563èdivisibileper2. V F • 4èdivisoredi9732. V F • 8793èmultiplodi9.V F30 65• 3èdivisoredi4333. V F • 28540èmultiplodi5. V F • 9èdivisoredi87539. V FV F •10èdivisoredi7870. V F