· Created Date: 10/9/2008 5:12:42 PM

Capitolo 2

(Richiami)

I Rrcnllq,Ndr sul,I,o spAzlo VETToRIALE V2................. .........242 DpenonNzA E TNDTPENDENZA LINEARE rN V". B.q.sr nr V"................ . . 2 63 PrANo AFFTNE E RELAZTONE Dr CHASLES. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2g4 Pnonorro ScALARE Dr DUE vETToRr Dt V"............5 PrANo Euclmno (RrcHrAMr Dr GEOMETRTA ANALrrrcA DEL prANo)............................................30

DistanTafra due puntÍ e punto mediofra due punti doti.............. ......... JIEquazione di una rettu nel piano................... .................... 31Angolo fra due rette...... ............ 32

28

ó ESERCIZI . . .34

24 Cap.2: punti, vettyr e re,lte det piano (richiami)

I Richiami sullo spazio vettoriale Vz

Nel piano n, è possibile considerare una,coppia di punti (A, B) tale che (A, B);c(B, A)se A;cB' Tale coppia è un elemento dell'insième prodottà nxn. In questo insiemeprodotto si puo considerare larelazione fr definita da:

(A, B)n(C, D) e> (A, B) è equipollente a (C, D) (V (A, B), (C, D)enxn).

Latelazione di equipollenzaappena definita consente di confrontare tutte le coppie dipunti (bipunti) di nxn. Due bipunti (A, B) e (C, D) sono equipollenti se e solo se sonoverificate le seguenti condizioni:

a) (AB)//(CD) (le rette (AB) e (CD) sono parallele)b) AB : cD (i segmenti [AB] e [cD] hanno la stessa lunghezza)c) i segmenti [AB] e [CD] hanno lo stesso verso.

La telazione di equipollenza fr, così definita in nxr,è una relazione di equivale nza e,come tale, induce in nxn una partizione in classi di equivalenza. L'insieme delle classidi equivalenza, o insieme quoziente, aff, è l,insieme V, dei vettori del piano. In

pratica, il vettore a = ÀÉ rappresenta non solo il bipunto (A,B), ma anche tutti ibipunti equipollenti ad (A,B). Nel seguito si eviterà questì precisazione e si parleràsolo di vettore a = ÀÉ.

rl vettore nullo Ó è il vettore che rappresenta tutti i bipunti del tipo (A, A), (8, B),ecc. :

ó : A A :+

Se d = AB, il vettore -d (vettore opposto di

B É : . . . .

d) rappresenta il bipunto (B,A):

- d = B I = - G .

In v2, insieme dei vettori del piano, si definisce una operazione

interna' +'(detta somma vettoriale) tale che, se d = G .^ +v

6 : BC, il vettore a +E elvettored = Àd,

ae+Èd=Àd oppure: d+i =Ò

Dalla costruzione precedente risulta anche immediata la proprietà commutativa dellasomma vettoriale:

d + b : 6 + d

Da tale proprietà risulta pure il significato geometrico del vettore somma: se irappresentanti geometrici di d e 6 hanno la stessa origine, si costruisce il

R.SANTORO: Geometria

Cap.2: Punti, vettori, rette det piano (richiami) 25

parallelogramma avente come coppia di lati opposti proprio i vettori d e 6: il vettoresomma Ò è la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune dei vettoria e D .

A

Dunque:

Dalla figura a lato si 'vede' la proprietà associativa dellasomma vettoriale definita in V2:

.i --------) (-' -) + -

d + ( b + A ) = A B + l B C + C D l : A B + B D = A D\ /

l - l + + + -(a +6)+a =

[7Í+ Eó

). cB = aè*tn = AD

A + ( 6 + e ) = @ + 6 ) + e .

Analogamente si può giustificare l'esistenza dell'elemento neutro, il vettore nullo. apartire dalla definizione:

d = A B = i É * E É = a * ó

Infine, si ha ancora:

ó =i; =E*Ei = d + (-d) .

Riassumendo, la struttura algebrica (Vz, +) risulta essere una struttura di gruppoabeliano, in quanto sono valide le proprietà (V A, 6 , Ò ey ,):

LL A + 6+ A) = @ + 6) + e (proprietàassociativa)2 . d + Ó = Ó + d = d3 . d + ( - d ) = ( - d ) + d = ó4 . d + 6 = 6 + d

(esistenza elemento neutro: 0 )(esistenza, V d, del suo vettore opposto -d)(proprietà commutativa).

La moltiplicazione di un vettore A diVzper un numero reale k è un vettore kdcheha:

. stessa direzione di Z

. lunghezza ltcl volte lalunghezzadi d

. stesso verso di d se k> 0, verso opposto di quello di d se k<0.

Questa operazione è una operazione esterna aY rinquanto risulta un'applicazione

/ : RxV, + Vz .

L'insieme dei numeri reali R, si chiama insieme degli operatori ed i suoi elementi sonogli operatori.

R.SANTORO'. Geometria

26 Cap. 2: Punti, vettorie rette detpiano (richiami)

Per la moltiplicazione esternaayrvalgono le seguenti proprietà (vu, B eR ed ,6 eYr ) :

a. o(Ba) = (crB)d (proprietà associativa del prodotto degli operatori)b. a(d + 6): aa + a6 (p. distributiva rispetto alla somma dei vettori)c' (u + B)d = ad + Fd (p. distributiva rispetto alla somma degli operatori)d. 1'd = d (esistenza elemento neutro '1' degli opÉratóri)

Se si considera la struttura algebrica (V2, R, +), dove ' + ' indica I'operazion e internadi somma di due vettore di v, e' R. ' indica I'insieme degli operatori per lamoltiplicazione esterna di un vettore per un numero reale, valgono pèr tale struttura leproprietà viste prima separatamente (da l. a4. e da a. a d.) e per questo prende il nomedi spazio vettoriale dell'insieme dei vettori del piano.

2 Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Base di v2.

Se due vettori d, 6 e V, sono tali che 6 = kd (k è un numero reale), dalla defin izionedi moltiplic azione di un vettore per un numero reale risult a che d e 6 hanno la stessadirezione, o anche che i vettori d e 6 sono collineari.

Larelazione precedente può anche scriversi: kA - 6 = Ó. Si dice anche che, in questocaso, i vettori d e 6 sono lìnearmente dipendenti, inquanto è possibile trovare duenumeri rcah, k e -1, certamente non entrambi nulli, tali che risulti: kd - 6 :ó.

Se, invece, è impossibile trovare due numeri reali o e 0, non entrambi nulli,tali che:

u d + B b : 0

si dice che i vettori d e 6 sono linearmente indipendenli. Ovviamente due vettorilinectrmente indipendenti sono anche non collineari.

Si può estendere la nozione di dipendenza o indipendenza lineare di due vettori ad uninsieme di n vettori {dr,dr,...,d,}, si dice che tali vettori sono linearmenteindipendenti se la relazione

ard , + u rd , + . . . r a .d .n = Qè valida solo con (ur, a2,... , on) : (0, 0, . . . , 0), cioè con gl i operatoÍi a.1, a2,... , dntutti ntúh.

E facile rendersi conto che, in V2, il numero massimo di vettori linearmenteindipendenti è uguale a2.Tale numero si chiama anche dimensione dello spaziovettoriale V".


Cap.2: Punti, veftori, rette det piano (richiami) 27

Allora, se si sceglie una qualunque coppia di vettori linearmente indipendenti(dr,ér) , qualunque vettore AdiV) può scriversi come combinazione lineare di è, eèz :

d = x é r + y è ,

dove x e y si chiamano componenti numeriche o componenti scalari di Z rispetto allacoppia di vettori (ér,èr).

L'interpretazione geometrica di quanto appena detto è immediata:

I

A t = X e t I: - . ? f > d = d t * d r : x é r + y è ,a z = l e z )

Le componenti numeriche di Q sono I e 0; lecomponenti numeriche di è, sono 0 e 1.

La coppia di vettori (ét,é) prende anche il nome di base di V2.(-)

Cambiando la base di V2, cambiano anche le componenti numeriche di un vettore datodi V2 rispetto alla nuova base.

Si è già visto la condizione di dipendenzalineare fra due vettori. Questa condizioneassume una forma particolare se i vettori sono espressi rispetto ad una data base. Ineffetti. siano

d = arè, + aré, e 6 = bré, +brè,

due vettori (non nulli) linearmente dipendenti. Allora risulta, ad esempio, che 6 - kA,da cui anche:

b,è, + brè, =

b , - b ,at a2

(*) Facendo riferimento alle sue componenti numeriche rispetto ad una data base, un vettore A di V 2

può anche scriversi: , =()oppure t(]) ' in tal caso, it 'vettore' 0)

" chiama anche vettore-

l"lcolonna, essendo

['r,,| *" matrice avente 2 righe e I colonna.

k@rè, + arér) + bré, + bré, = @r)a, * @r)è, + {uu:rr:fl,

+

= b,a, -bra, = g - ItU:,

";rl: O

Dunque, infine:

i = a r é r + a r é ,= | A e b linearmentedipendenti lato

lu'a r l

; ,1: o: bré, + bré,


28 Cap.2: Punti, vettorte rette det piano (richiam|

Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Studiare lad. l. dei vettori d = 2í _ aj " 6 = _í +Zj .

I due vettori sono linearmente dipendenti in quanto risulta:lz -41

l_f 2l=4-4=0 (o ancheperché a = _26).

Stud ia re lad . l . de i ve t to r i ó = i _a j e à =Z í +3 j .

I due vettori sono linearmente indipendenti in quanto risulta:Ir -41l Z 3 l = 3 * 8 = 1 1 * 0 .

3 Piano affine e relazione di Chasles

E' possibile stabilire un'applicazione 4 tra l'insieme delle coppie di punti del piano(appartenenti all'insieme nxn) e I'insieme dei vettori di v,:

f, rlxr: + yz

T1:(4, B) --> n

L'applicazione v risulta essere suriettiva ma non iniettiva.

Il piano z collegato, dall'appli cazione V, allo spazio vettoriale V2 si chiam a pianoffine.

Se si prende un punto O del piano affine n come privilegiato, risulta, per qualunquecoppia (A,B) di punti di nxn'.

.\_r n

+ -------+ +

O A + A B = O B------) -) --_____)AB = OB-OA

=

(relazione di Chasles).o

4 Prodotto scalare di due vettori di V2

Dati due vettori di V2, si può defrnire un'operazione che fa conispondere a questivettori un numero reale:

f :Y2xY2-+ R .

Tale operazione viene denotata con' . ' ed è definita in base alle proprietàformali cuideve soddisfare:

R.SANTORO. Geometria

Cap.2: Punti, vettori, refte det piano (richiam| 29

l . a . 6 = 6 . a2 . (ud ) .6 =a (d b )3 . a . ( 6 + d ) = a . 6 + d . d

4 . d .6 = 0 ( cond +óe6 +ó )e a t í .

Se i vettori d e 6 sono riferiti ad una base (a,,ar):

d = ard, + arè, e 6 = brè, + bré,

allora le proprietà formali del prodotto scalare sopra richiamate consentono discrivere:

d . 6 = (a,é, + arèr). (b,è, + brèr) =

= arbrè, .è, + arbrè, .é, + arbrèr.è, + arbrèr.è, == arbrè., .è, + (arb, + arbr)èr.è, + arbrè, .é, .

conoscendo il valore numerico di èt .è1, di at .é, e di è2 .è2 èpossibile alloradeterminare il prodotto scalare a'6 .lnpratica, si usa scegliere una base (l ,j) taleche:

jL l . l = 1 , i . j : o e j . j =Í t *

I

Una base che soddisfa alle condizioni precedenti si dice anche base ortonormata. Intal caso si ha:

= arl + arji r - ! . , ' - l = d ' 6 = a , b r + a ,= brl + brj

In una base ortonormata si può definire la norma o il modulo di un vettore d come ilnumero:

E' possibile dimostrare (Esercizio 5) che:

d'6 =llallllFllcorla ,6) - cos(d,6) = ,1,,;ub -r|4rill'il

-

Esempio I

Soluzione:

Calcolare il prodotto scalare dei vettori: d = 2i - aj " 6 = -l +2j .

Si ha subito : d. 6 = 2eD + (\2= -10e I'angolo fra i due vettori è un angolo ottuso, esattamente 180.(perché?).

- l l t -a l l = , l a ' a -


30 Cap. 2: punti, vettolie re,lgdetpiano (richiami)

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

P2

-tl

Dati i vettori d =-31+4j e d =2r +37-, calcolare il loro prodottoscalare e I'angolo da essi formato.

S i h a :è . à : 4 . 2 + 4 . 3 = 6e I'angolo fra i due vettori è dato da:

P(x,y)

(*) In realtà, si può fare la stessa cosa anche nel piano affine, solo che le relazioni metriche che sideducono sono più complicate.

0o =arccosJ 6'lg +rcJl +9

= arccos5;TJ = 8o24'42" '

verif icareche ivettoriè =3í -aj " Ì =al+37- sono ortogonali.

Infatti il loro prodotto scalare é uguale a 0.

- ---O P : O P , + O P = x l + y j ( 1 )

Dalla (1) si calcola facilmente la norma del vettore óF:

5 Piano Euclideo (richiami di Geometria Analit ica der piano)

Nel piano affine n, scelto un punto privilegiato o e una base (a, ,ar)diy2,ratema(o,ar,ar) si chiama anche riferimento ffine del piano.Se si sceglie una baseortonormatu Q,j), il piano affine, munito del riferimento ortonormato (o,i,7-), sichiama anche piono euclideo.

Nel piano euclideo(*) , è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tran e RxR:ad ogni punto P si fa corrispondere una coppia (x, y) dinumeri reali e viceversa

f : p<+(x, y).Inoltre, è anche possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra n edi vettori delpiano uscenti dal punto O

-

Le biiezion i r e sfanno sì che,".""l;,|",:1|fro, o siano le componenti scalari del

vettore óF rispetto alla base (1,7-) . La figura sottostante illustra le due biiezioni dicui sopra:

x ' + y 2uÉll=


Cap.2: Punti, vettori, yette det piano (richiam| 31

Distanza fra due punti e punto medio fra due punti dati

Dati due punti A(x,, !) eB(xr, !2), dararelazione di chasles e dalra (r) si ha:

€ € -AB = OB - OA = (xri + yrj) - ef + y,j) = (x, _ x.,)í + (y, _ y,)j ,

da cui (applicando la definizione di norma di un vettore):

ll--.-ll

llÀÉll= 10, -,5 .r", -; e)il tl

Se 1è il punto medio tra A e B, non è difficile dimostrare che le sue coordinatesono (Esercizio 2):

Equazione di una retta nel piano

Larettar passa per A(xs, -yd ed hala direzione del vetto: - l''lre ù =

[ , J .come nel ta

figura seguente:

Un punto P(x,y) appartiene ad r se e solo se*

il vettore AP è parallelo al vettore i:

+

Per<> AP : ) t ù

La (3) può essere anche considerata come l'equazione vettoriale della retta r.Dalla (3) si ha anche:

(x-xo)I +(y-y) j =?'(u, î +ur j )=?,u, í +Lur j ,

da cui ancora:

{ry,ry)

5 ) .

[ , - - ' o = ? ' u ,ì " -l ! - l o = L u z

x : x o + ) u u ,

! = !o+?uu, (4)

Le (a) si chiamano anche equazioni parametriche dellaretta r.

Dalle (4), per eliminazione del parametro î,, si ha:

x - x o ! - l o

lrl uz* - ury - (urxo - urlo) = (s)


32 Cap.2: Punti, vettorie rette det piano (richiami)

La (5) è l'equazione cartesiana (meglio una equazione cartesiana) della retta r.

Dalla (5), ponendo:

U 2 = Q r - U l : b e

- ( u z x o - u r l o ) = c ,

si ha:

Se si considera ir vettore ffiu'jll,. .n.

U .n = UtUz - LtrU, = 0

il che implica che i vettori ù e rt sono ortogonali. ciò significa anche che,data la retta di equazione ax + fiy + c : 0, questa ha come veftore direttore Il

(-r\ t"lvettore O =[o J

e come vettore normale il vettore ,:l-U)

Angolo fra due rette

Siano a1x * bù + cr :0aa2x * bzy + cz:7 leequazioni r ispet t ive del lerette r1 e 12.I ,'411gslo cr fra queste due rette è uguale all'angolo fra i due vettori

(o, \ (a"\normali fi, =l | | e fr, =l ,' | . Risulta subito che :

\ D r ) -

\ b z )

coscr = cos(4 ,rz) =cos(z, ,frr) = Sfu =lai + bi "la; + b;

n n t A t Q )

] f,t = a"rCCOS

Esempio I

Soluzione:

Sono dati i punti A(-3,2), B(1, 3) e C(2, -l). Determinare:--.--ll_ll

a) AB,llABlli l t l

b) Le coordinate del punto medio di [AB].c) L'equazione della retta passante per C e avente come vettore

direttore 78.

d) L'equazione della retta per C e normal e adZÉ.

a) Il vettor. ÀÉ = (1+3)i+(3- 2)j = al +j e la suanormaèll-l ll lasll : J 4' +1' = Jt7 .i l t l

ara, + brb,

al +b,'� ^loi *8


Esempio 2

Soluzione:

Sono dati i punti P(3,2) e e(-3,1).a) Scrivere l'equazione della retta (pe)b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r ortogonale a (pe) e

passante per A(1,-3).c) Determinate le coordinate del punto H d'intersezione tra r e (pe).d) Calcolare la distanza AH.

b) II punto medio di [AB] è ,l-3^* t.t l l = rl-r. l l .\ 2 2 ) - \ " ù '

c) L'equazione cartesiana della retta per c(2, -r) avente come vettore

direttore il veuore G = lo') u,\ 1 /

x - 2 y + l4 : I

= x - 4 y - 6 = 0 .

d) Il vettore normale di questa retta è t = [_ta)

. Dunque l.equazione

cartesiana della retta passante per C e normale aaiÈ é :x - 2 y + l

1 =

n > 4 x + y - 7 = 0 .r - a

a) Essendo+ l-olP Q = l , l . s i h a

\ - l , /

x - i v - 2( PO\: _ 6 {

= x - 6 y + 9 = 0 .

I r lb) Essendo | . | ,tr vettore normale a (pe), si ha

\-ol

l x = l + ) "r ' 1"

l v = - 3 - 6 1 . 'c) Per trovare le coordinate di H bisogna innanzitutto risolvere

I'equazione:

( 1 + ) " ) - 6 ( - 3 - 6 ? " ) + 9 = 0 + ) " : - 2 83 7

e sostituire questo valore di.l nelle equazioni parametriche di r:f z s sl r - l _ _ _

- - l ^ - ' - 1 7 - . r ( g 5 7 1H'1 ---r FI

-' I"

i . 16g 57 - " \37 '37

)l - J - f - = -r 3 7 3 7

d) La distanza richiesta (distanza di A dalla retta (pe)) é:

AH=ll4l=ffi=[#Fg28: - J 3 7J I


34 Cap.2. Punti, vettorie rette det piano (richiami)

6 Esercizi

1 Dati i punti A(-1, 3), B(2,1), e C(3, -2),

a) determinare:- l l l l - l l l l - l lo"ll'llu'll'llo'll'

b) calcolare AB.AC e AÉ.ei:c) determinare le equazioni cartesiane e parametriche delle rette (AB) e (AC).

2 Dimostrare , utilizzando i vettori, la formula che dà le coordinate del puntomedio fra due punti dati.

3 Data la retta r(A, /), con A(2, -3), o =?r),scrivere:

a) le equazioni parametriche di r;b) I'equazione della retta t passante per A e ortogonale a r;

c) le coordinate di B tale che ÀÉ = Í;d) le coordinate dei punti D, eDr, appartenenti allarettar tali che

l l - - - - - l l l l . - , ,l lAD,l l=l lAD,l l=z ,i l l l t i t l

e) le coordinate del punto C, tale che il quadrilatero ABC,D, sia un rettangolo.

4 Dati i punti A(1, 1), B(3, 0) e C(0,2),

a) determinur. ÀÉ. Àd;

b) calcolare I'angolo tra i vettori ÀÉ " Àótc) Scrivere le equazioni parametriche della retta (AB) e I'equazione cartesiana

della retta (AC).

d) scrivere I'equazione della bisettrice dell'angolo tra i vettori ÀÉ " Àè.

5 Dimostrare che: d .E =llall.ll6lll""s1a,6';l(suggerimento: dopo aver scomposto uno dei due vettori secondo duecomponenti aventi rispettivamente la direzione del secondo vettore e quella adessa normale, utllizzare le proprietà formali del prodotto scalare...)

6 Ad ogni numero reale m, si fa corrispondere la retta r*di equazione cartesiana(m-3 )x + ( \ -m)y + 3m + I : 0 .

a) Disegnare rt e rz.b) Dimostrare che tutte le rette r^passano per lo stesso punto.c) Sia t la retta di equazione cartesiana x -3y +2 = 0. Esiste unarettar*

parallela a t? Esiste una retta r. perpendicolare a t?d) Per m+3,r^interseca I'asse Ox in K; è sempre possibile associare amtn

numero reale m' tale che rr, intersechi Ox in K', simmetrico di K rispetto ado?


Cap.2: Punti, vettori, rette det piano (richiam| 35

10

Dimostrare che la distanza delda:

punto P(xo,yo) dalla retta r.. ox + by + c: 0 è data

d ( P , r ) = l a x o + b y o + c l

(Suggerimento: scrivere le equazioni parametriche della retta per P e ortogonalea r; questa retta ha il vettore direttore collineare con il vettore normale della rettar; dunque...).Applicazione numerica: P(1,-3) e r: 2x - y + t : 0.

Dati i punti A(x1y ),B(xz,yz) e c(4y) dimostrare che l'area s del triangoloABC è data da:

l, l', v 'llt:ltl*' lz tll

I lt, lt 1ll

Aoplicazione numerica: A( 1, I ), B(-3,2), C(5,-3).

Applicando la definizione di circonferenza, scrivere l'equazione cartesiana dellacirconferenza avente centro in C(1, -3) e raggio uguale a 2. Dimostrare cheI'equazione ottenuta è un'equazione del tipo x2 + y2 + ax + by* c : 0.

Data la circonferenza C diequazione x' + y' + 2x - 6y + | = 0,a) determinare le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio;b) scrivere le equazioni delle tangenti alla circonfeîenza parallele alla retta

x - ! = o :c) scrivere I'equazione della retta passante per i due punti di tangenza delle due

tangenti precedenti e verificare che detta retta è ortogonale alla rettax - Y = o '

d) scrivere le equazioni delle tangenti alla circonfeîenzauscenti dal punto P(5,2)e) calcolare I'angolo fra le due tangenti precedenti.

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1,0), B(4,0) ec(5,1)

Generulizzare I'esercizio precedente e dimostrare che l'equazione dellacirconferenza passante per i punti A(xvy),8(xz,y) e C(4y) (supposti nonallineati) si puo scrivere sotto la forma:

l x ' + y ' x vt '

l*i * ri x, ltlri * yi xz lzl r )lx; + y; x3 lt

1 1

12

- 0

a 2 + b 2


36 Cap. 2: Punti, vettyt e rele:Wiano (richiami)

13 Scrivere I'equazione cartesiana della parabola avente fuoco in F( I , 1 ) e comedirettrice la retta 2, - y * I : 0. [Si ricorda che la parabola è it iuogo geometricodei punti del piano aventi uguale distanza do un punto fisso, il fuoco,"e dq unaretta.fissa, lQ direttrice. Il punto della parabota che ha una distanzq dal fuocouguale alla semidistanza di quest'ultimo dalla direttrice si chiama vertice dellaparabolal

14 Dimostrare che I'equazione di una parabola avente asse parallelo all,asse y è delt ipo:

! = a x 2 + b x + c .

[Si ricorda che I'asse di una parabola è la retta condotta per il vertice dellaparabola e perpendicolare alla sua direttrice].Applicazioni numeriche :a) il vertice della parabola év(2,-3) e la parabola passa per A(0,r).b) la parabola passa per A(- I ,3), O(0,0) e B(4,1).c) la parabola passa per A(r,0), B(3,0) ed ha vertice di ordinata 2.

15 E' data la parabola di equazion a y : -x2 + 5x - 6 ed il puntoa) Rappresentare la parabola e determiname le coordinate del

e l'equazione della direttrice.b) Scrivere le equazioni cartesiane delle

parabola.c) Scrivere l'equazione cartesiana della

rette tangenti condotte da P alla

retta passante per i punti di tangenza.

P(3,5).vertice, del fuoco

16 E' data laparabola di equazione y = x2 -3x+2.a) Determinare le coordinate del venice e le intersezioni della parabola con gli

assi cartesiani.b) Disegnare la parabola.c) Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola nei punti in cui questa

interseca I'asse delle x.d) Scrivere l'equazione della parabola simmetrica di quella data

delle x.rispetto all'asse

d) Scrivere I'equazione della parabola simmetrica di quella data rispetto all'assedelle y.


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