L' eterno fascinodei giochi matematici

L'autore della celebre rubrica di matematica ricreativa,nata su «Scientific American» e pubblicata anche da «Le Scienze»,

rievoca 25 anni di divertenti rompicapo e importanti scoperte

di Martin Gardner

1 A•

41, Fil "10'714' 712-I IO II 11

I110 I li"N 20 il

2125l 41"15 -a 133 5 19 it21 -M- 19

*or*TAGLIAREIL MAZZO

Martin Gardner continua a cimentarsi con i rompicapo ma-tematici nella sua casa di Hendersonville, in North Carolina.Lo scrittore, che ha ora 83 anni, è qui ritratto con una botti-glia di Klein, un oggetto che ha una sola superficie.

Quattro rompicapo di Martin Gardner(le risposte sono a pagina 99)

«Il divertimento è uno deicampi della matematica ap-plicata.»

- William F. White,A Scrapbook

of Elementary Mathematics

La

rubrica Giochi mate-matici ebbe inizio nelnumero del dicembre

1956 di «Scientific Amen-can» con un articolo sugli e-saflexagoni. Queste curiosestrutture, che si generanopiegando una striscia di car-ta in modo da formare un e-sagono e poi incollandone leestremità, potevano essererivoltate ripetutamente, rive-lando una o più facce nasco-ste. La loro invenzione risa-le al 1939 e si deve a ungruppo di giovani laureatidella Princeton University.Gli esaflexagoni sono diver-tenti, ma quello che più con-ta è che mettono in luce illegame tra i rompicapo ri-creativi e la matematica «se-ria»: fra i loro inventori viera un tale Richard Feynman, che di-venne poi uno dei più famosi fisici teo-rici del nostro secolo. (Questo e altrigiochi, pubblicati prima della nascita di«Le Scienze», sono raccolti nel volumeEnigmi e giochi matematici di MartinGardner, Sansoni, Firenze 1972.)

Negli anni in cui iniziai a curare larubrica, erano stati pubblicati ben pochilibri di matematica ricreativa. Il classicodel genere - Mathematical Recreationsand Essays, scritto da W. W. RouseBall nel 1892 - era disponibile nella ver-sione aggiornata da un'altra figura leg-gendaria, lo studioso canadese di geo-metria H. S. M. Coxeter. La Dover ave-

va dato alle stampe una traduzione dalfrancese di La mathématique des jeux,del teorico dei numeri belga MauriceKraitchik. A parte qualche altra raccoltadi rompicapo, questo era tutto.

Da allora si è assistito a una vera e-splosione di libri sull'argomento, moltidei quali scritti da eminenti matematici.Tra gli autori si annoverano Ian Stewart,l'autore della rubrica L'angolo mate-matico, rubrica che l'anno prossimo ri-prenderà in «Le Scienze»; John H. Con-way della Princeton University; Ri-chard K. Guy dell'Università di Cal-gary; infine, Elwyn R. Berlekamp del-l'Università della California a Berke-

ley. Con sempre maggiorefrequenza, inoltre, compaio-no articoli di matematica ri-creativa sui periodici mate-matici. Nel 1968 iniziò lepubblicazioni la rivista tri-mestrale «Joumal of Recrea-tional Mathematics».

La linea che separa la ma-tematica da intrattenimentodalla matematica seria è sot-tile e indistinta. Molti mate-matici professionisti consi-derano il loro lavoro unasorta di gioco, si sentono unpo' come professionisti delgolf o della pallacanestro. Ingenerale, la matematica èconsiderata ricreativa se haun aspetto giocoso che puòessere capito e apprezzatoanche dai non matematici:comprende problemi elemen-tari con soluzioni eleganti eallo stesso tempo sorpren-denti, nonché paradossi in-quietanti, giochi ingegnosi,sconcertanti trucchi magicie curiosità topologiche co-me le strisce di MObius e lebottiglie di Klein. In effetti,

quasi tutte le branche della matematicapiù semplici del calcolo differenzialehanno aree che possono essere conside-rate ricreative. (Nella pagina a frontesono illustrati alcuni divertenti esempi.)

Il gioco del filetto a scuolaPurtroppo moltissimi insegnanti con-

tinuano a ignorare il potenziale educati-vo della matematica divertente. Per 40anni ho fatto del mio meglio per con-vincere gli educatori che la matematicaricreativa andrebbe inserita nel normaleprogramma di studio come un modoper suscitare l'interesse degli studenti

Jones, un giocatore d'azzardo, mette tre carte coperte sul tavolo. Una delle carte è un asso; le altre sono due figure.

Voi appoggiate il dito su una delle carte, scommettendo chesia l'asso. Ovviamente, la probabilità che lo sia realmente èpari a 1/3. Ora Jones dà una sbirciatina di nascosto alle trecarte. Dato che l'asso è uno solo, almeno una delle carte chenon avete scelto deve essere una figura. Jones la volta e vela fa vedere. A questo punto, qual è la probabilità che ora ilvostro dito sia sull'asso?

SOn the hes3inninB ffinh rreateh thei 2 3 4 5 6

heahen anh the earth.7 8 9 10

rth the earth tuaz haithout furrn,11 12 13 14 15 16

ani trnih; anh harknezz haus apon the17 18 19 20 21 22 23

fare nf ttle heep...nh thecSpirit ffinh24 256 27 28 29 30 31 32

runtreh upan the fare rif the frfaters.33 34 35 36 37 38 39

nh ffinh zaih, gceet there he40 41 42 43 44 45 46

anh there tutte Tissht.47 48 49 50

' ono qui riprodotti i primi tre versetti della Genesi nellaBibbia di re Giacomo. Scegliete una qualsiasi delle 10

parole che compongono il primo versetto: In the beginningGod created the heaven and the earth. Contate il numero dilettere della parola scelta e chiamate x questo numero. Anda-te poi alla parola che si trova x parole più avanti. (Per esem-pio, se avete scelto in, andate a beginning.) Di nuovo, contateil numero di lettere di questa parola, n, e procedete di altre nparole. Continuate a questo modo finché la vostra catena diparole entra nel terzo versetto della Genesi. Su quale parolatermina il conteggio? La risposta è un caso o fa parte di unpiano divino?

Questa matrice di numeri è un caso curioso di quadrato ma-

gico. Fate un cerchio intorno a un numero, poi barrate tuttii numeri della stessa colonna e della stessa riga. Poi cerchiateun altro numero che non sia stato barrato e di nuovo barrate lariga e la colonna che lo contengono. Continuate a questo modofinché avete cerchiato sei numeri. Ogni numero è stato scelto acaso ma, indipendentemente dai numeri che avete scelto, laloro somma è sempre la stessa. Qual è questa somma? E, ciòche più importa, perché il trucco funziona sempre?

MESCOLARE

'n mago dispone un mazzo di carte in modo che le cartenere e quelle rosse siano alternate. Quindi taglia il maz-

zo, assicurandosi che le carte sul fondo delle due metà nonsiano dello stesso colore. A questo punto vi lascia mescolareinsieme le due metà, a vostro piacimento. Quando avete ter-minato l'operazione, prende le prime due carte dall'alto delmazzo. Sono una carta nera e una carta rossa (non necessa-riamente nell'ordine). Le due carte successive sono a loro vol-ta una nera e una rossa. Anzi, tutte le coppie di carte succes-sive saranno costituite da una carta rossa e una nera. Comemai? Perché mescolando il mazzo non si ottiene una succes-sione casuale?

3

92 LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998 LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998 93

a e

C

Rep-tile di basso ordine combaciano formando repliche di se stes-si sempre più grandi. Il triangolo rettangolo isoscele (a) è una fi-gura rep-2: due di essi formano un triangolo più grande con lastessa forma. Un triangolo rep-3 (b) ha angoli di 30, 60 e 90 gradi.Altri rep-tile sono, per esempio, un quadrilatero rep-4 (c) e unesagono rep-4 (d). La sfinge (e) è l'unico pentagono rep-4 noto.

-T-

PIRAMIDE

I pezzi Soma sono forme irregolari che si ottengono unendo le facce di cubi unitari(qui sopra). I sette pezzi possono essere disposti in 240 modi diversi per formare ilcubo Soma 3 per 3 per 3; con gli stessi pezzi si possono creare anche tutte le strut-ture rappresentate qui a destra, tranne una. Riuscite a determinare quale dellestrutture non si può costruire? La risposta è a pagina 99.

tori mettono i loro contrassegni sugliesagoni e cercano di completare perprimi una catena ininterrotta da un latoall'altro della scacchiera.

Hein inventò anche il cubo Soma, chefu argomento di numerosi articoli (set-tembre 1958, luglio 1969 e settembre1972, nessuno dei quali tradotto in «LeScienze»). Esso è formato da sette di-versi policubi - gli analoghi tridimensio-nali dei polimini - ottenuti unendo lefacce di cubi identici. I policubi possonoessere accostati a formare il cubo Soma- in non meno di 240 modi - e tutta unavarietà di forme Soma: la piramide, lavasca da bagno, il cane e così via.

Nel 1970, il matematico John Conway- un genio indiscusso - mi venne a trova-re e mi chiese se avessi un scacchieraper l'antico gioco orientale del go. Quan-do la presi, Conway mi mostrò comefunziona Vita, un gioco di simulazioneche aveva inventato e che ora è notissi-mo. Metteva numerosi gettoni sulla gri-glia della scacchiera, poi toglieva o ag-giungeva nuovi gettoni secondo tre sem-plici regole: un gettone con due o tre vi-cini può rimanere; un gettone senza vici-ni, o con quattro o più vicini, viene tol-to; e un nuovo gettone viene aggiunto inogni spazio vuoto adiacente a esatta-mente tre gettoni. Applicando ripetuta-mente queste regole, si può creare un in-credibile numero di forme, alcune dellequali si muovono lungo la scacchieracome insetti.

Descrissi Vita in un articolo pubblica-to su «Le Scienze» nel maggio 1971, e ilgioco divenne subito un successo tra ipatiti del calcolatore. Per molte settima-

ne, aziende e laboratori di ricerca quasi• si bloccarono perché gli entusiasti di Vi-

ta erano impegnati a sperimentare nuoveforme sui loro schermi.

In seguito, Conway collaborò con icolleghi matematici Richard Guy edElwyn Berlekamp a quello che a miogiudizio costituisce il maggior contribu-to alla matematica ricreativa di questosecolo, un lavoro in due volumi dal tito-lo Winning Ways (1982). Una delle cen-tinaia di gemme che contiene è un giocoper due persone chiamato Phutball, chesi può giocare su una scacchiera per ilgo. La Phutball viene messa al centrodella scacchiera e i giocatori sistemanoa turno i loro gettoni sulle intersezionidella griglia della scacchiera. I giocatoripossono muovere la Phutball facendolasaltare sopra i gettoni, che vengono toltidalla scacchiera quando sono superati.L'obiettivo del gioco è portare la Phut-ball al di là della linea di meta del latoopposto, costruendo una catena di get-toni attraverso la scacchiera. Ciò cherende particolare il gioco è che, a diffe-renza della dama, degli scacchi, del goo dell'Hex, Phutball non assegna pezzidiversi ai contendenti: i giocatori usanogli stessi gettoni per costruire le loro ca-tene. Di conseguenza, qualsiasi mossafatta da un giocatore può essere fatta esfruttata anche dal suo avversario.

Tra gli altri matematici che hannostornato idee per la rubrica c'è FrankHarary, attualmente alla New MexicoState University, che ideò una versionegeneralizzata del filetto. Nella versionedi Harary, presentata in «Le Scienze» diagosto 1979, l'obiettivo non era formare

VASCADA BAGNO

DIVANO

POZZO

MURAGLIA

LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998 95

nei confronti delle meraviglie della ma-tematica. Finora, però, il progresso inquesta direzione è stato impercettibile.

Mi è capitato spesso di raccontare unaneddoto dei miei anni di scuola supe-riore che illustra bene questo problema.Un giorno, durante l'ora di matematica,dopo aver finito i miei esercizi tiraifuori un foglio nuovo e cercai di risol-vere un problema che aveva suscitato ilmio interesse: se nel gioco del filetto ilprimo a giocare possa vincere sempre,ovviamente adottando la strategia giu-sta. Vedendomi scrivere, l'insegnantemi strappò il foglio di mano e disse:«Nella mia ora di lezione, Gardner, miaspetto che ti occupi di matematica e dinient' altro».

Il problema del filetto sarebbe unmeraviglioso esercizio da svolgere inclasse. È un modo splendido per pre-sentare agli studenti la matematicacombinatoria, la teoria dei giochi, lasimmetria e la probabilità. Per di più, ilgioco fa parte dell'esperienza di tuttigli studenti: chi non ha giocato a filettoda ragazzo? Eppure conosco pochi in-segnanti che abbiano incluso il gioconelle loro lezioni.

Negli Stati Uniti l'ultima moda nel-l'insegnamento della matematica è la«nuovissima matematica», così chia-mata per distinguerla dalla «nuova ma-tematica» che fallì miserevolmente al-cuni decenni or sono. Il sistema di inse-gnamento consiste nel dividere le classiin piccoli gruppi di studenti che hannoil compito di risolvere problemi attra-verso la cooperazione. Questo insegna-mento interattivo, così viene chiamato,sostituisce la lezione vera e propria.Benché vi siano alcuni aspetti positivinella nuovissima matematica, sono ri-masto colpito dal fatto che le racco-mandazioni per gli insegnanti non fac-

94 LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998

ciano parola della matematica ricreati-va, che si presta così bene alla soluzio-ne cooperativa di problemi.

Vorrei proporre agli insegnanti un e-sperimento. Chiedete agli studenti dipensare a un qualsiasi numero di tre ci-fre, che chiameremo ABC, e poi di in-serire due volte sulle loro calcolatriciquesta successione di tre cifre, forman-do il numero ABCABC. Per esempio, segli studenti hanno pensato il numero237, dovrebbero battere 237 237. Infor-mate poi gli studenti che avete la fa-coltà di predire che ABCABC diviso 13non ha resto. La cosa risulterà vera.Ora dite loro di dividere il risultato perIl. Di nuovo, non ci sarà un resto. Infi-ne, chiedete di dividere per 7. Ed eccoche sul display della calcolatrice com-pare il numero originale ABC. Il segre-to è semplice: ABCABC = ABC x 1001= ABC x 7 x 11 x 13. (Come tutti glialtri interi, 1001 può essere scompostoin un unico insieme di fattori primi.)Chiedere agli studenti di spiegare per-ché il trucco funziona sempre sarebbela migliore introduzione alla teoria deinumeri e alle proprietà dei primi.

Polimini e tasselli di PenroseUno dei risvolti più piacevoli dei 25

anni di collaborazione con «ScientificAmerican» è stato conoscere un cosìgran numero di veri matematici. Io so-no solo un giornalista che ama la mate-matica e riesce a scriverne con una cer-ta facilità. Non ho studiato matematicaall'università. I miei articoli si raffina-vano con il crescere delle mie cono-scenze, ma ciò che ha reso popolare larubrica era il materiale affascinante cheriuscivo a raccogliere da alcuni dei mi-gliori matematici del mondo.

Solomon W. Golomb, della Univer-

sity of Southern California, fu uno deiprimi a fornire ispirazione per la rubri-ca. Nel numero del maggio 1957 parlaidei suoi studi sui polimini, forme che siottengono congiungendo quadrati iden-tici lungo gli spigoli. Il domino - forma-to da due quadrati - può avere una solaforma, ma il trimino, il tetramino e ilpentamino possono avere forme diver-se: L, T, quadrati e così via. Uno deiprimi problemi ideati da Golomb erastabilire se un certo insieme di polimini,fatti combaciare l'uno con l'altro, pote-va coprire una scacchiera senza lasciarecaselle vuote. Lo studio dei polimini di-venne presto un settore fiorente dellamatematica ricreativa. Lo scrittore difantascienza Arthur C. Clarke confessòdi essere diventato «drogato» di penta-mini dopo aver iniziato a giocare conquelle figure ingannevolmente semplici.

Golomb attirò anche la mia attenzio-ne su una classe di figure che egli chia-mava rep -tile [gioco di parole intradu-cibile sui termini tue, piastrella, tassel-lo, e reptile, rettile], poligoni identiciche fatti combaciare danno origine a re-pliche di se stessi di dimensioni mag-giori. Uno di essi è «la sfinge», un pen-tagono irregolare di forma vagamentesimile a quella dell'antico monumentoegiziano. Unendo correttamente quattrosfingi identiche, si ottiene una sfingepiù grande della stessa forma. I rep-tilesi possono espandere indefinitamente:tassellano il piano con repliche semprepiù grandi.

Il compianto Piet Hein, illustre in-ventore e poeta danese, divenne un miobuon amico attraverso i suoi contributiai Giochi matematici. Nel numero delluglio 1957 scrissi a proposito di ungioco da lui inventato, l'Hex, per ilquale serve una scacchiera a forma didiamante costituita da esagoni. I gioca-

MIMEM MMEM MIMMII11111~1MIMMININIMMIL-AM111111Mr-"r7rnIMMIIIMMINOW 11111

IMIMM al: :r 111111OMR 11111111111111111111~111MEM IIIMNIM

MUI 11111111a, lalalala

Slim 7( MEMM Iluzarrsa mr:rmouma, aaIIlaUI ma.a

q1111110111111111111111M11111111111111111111MMINUM1111111IlUlUIUllIUIlIlIIi11111r1111111111•111111111111111111•11111111111111111111 r'r•11111er -r 1111111111••11101VrA111~1 "111111111~1111111111111111111111FU " •MINIMMINMIMMEMOMMINIMMIMMIUMIMMIMMINMEM

MINIMMINIIIMIrrNEW 211krMININIrr•ILIMMRlRhiIMEM911.

r,IimmaIlbmilir

or-rraimumui

INIUMNIV,1111111111111111r1101111111M11111111

itmilomarIV "'riai-

- 1111rilegai(lui

-y-lui

IIMM M ME MI Mi "l'ai MEMill

IttMMIM

M1111r:-.111LAIUM

MM

MI1111111r

Ilfr-r7r-5-7-jeamuurrilliffir

muomommieumuorgsom111.11111111r: f Br lir, .. MIam or IIIIIINIV ili011 rr.- IIVIVIIIIIIIIIIC

Illffillt r 11111r-r- '11111111rr1111111111r1HINIC11111111111Wrirltr 11111Mr

ogoIIMMEr

- naiaora•

11111INII

,lu il ME• la' • rrr . WELM 1111111W111111

rillrMal119.1:r r minmenta MI e"im MIE MIE 11. mirrim IMMINIIM MI Kr.: 11,-: 111111111111111rn110111111111111111111Mr111111111111111111111111111111111111111Elplelleilr1111111111151M .11. ummis MIIMMI ME MI Un M111111•1111111111011111111•111111e21111•1111.1•1111111rr r III 11111111111111110

11,11111111111111111111111111111111111111111101~111111111•11011~11111"10~111111~IBM M IBM M •lIIIR 11111MINIM M MI MI IIIMNEM MI MIN ala-a. IIMMEM •MMINI M M m 111•11011•11111111111111111111110111111111.1111111111111111101111111111111111111111111111111~~111111110112

una linea diritta di X o di O; i giocatori,invece, cercavano di realizzare per primicon i loro X e O un particolare polimi-no, come una L o un quadrato. RonaldL. Rivest, del Massachusetts Institute ofTechnology, mi permise di rivelare perprimo - in «Le Scienze» del dicembre1977 - il sistema cifrato a chiave pubbli-ca che aveva contribuito a inventare. Sitrattava del primo di una serie di cifrariche rivoluzionarono la criptologia. Ebbianche il piacere di far conoscere l'artematematica di Maurits C. Escher, cheapparve sulla copertina del numero di a-prile 1961 di «Scientific American», co-sì come la tassellatura non periodica sco-perta da Roger Penrose, il fisico mate-matico inglese famoso per il suo lavorosulla relatività e i buchi neri.

allallUaMMIMMIBM

nLireumnezir•aMMINMEMIIMIMMIMINSI

OrMIMIor:noiamursom•mumumuil

I tasselli di Penrose sono un esempiomeraviglioso di come una scoperta nataunicamente per divertimento possa ri-velare un'inattesa applicabilità pratica.Penrose ideò due tipi di forme, gli«aquiloni» e le «frecce», che coprono ilpiano solo in modo non periodico: nes-suna parte fondamentale del disegno siripete. Spiegai la rilevanza della sco-perta nel numero del maggio 1977 di«Le Scienze», che riportava in coperti-na un disegno fatto con i tasselli diPenrose. Qualche anno dopo, una for-ma tridimensionale di tassellatura diPenrose divenne la base per la costru-zione dei quasicristalli, un tipo di strut-tura molecolare sconosciuto in prece-denza. Da allora, i fisici hanno scrittocentinaia di articoli sui quasicristalli e

sulle loro peculiari proprietà termiche evibrazionali. Anche se l'idea di Penroseaveva in origine uno scopo strettamentericreativo, essa aprì la strada a un setto-re del tutto nuovo della fisica dello sta-to solido.

Lo sciacquone di LeonardoI due articoli che suscitarono la mag-

giore attenzione - almeno a giudicaredalle lettere ricevute - furono quello delpesce d'aprile e quello sul paradosso diNewcomb. Nell'articolo burla, uscitonel numero dell'aprile 1975 di «Scienti-fic American» e in quello di settembre1975 di «Le Scienze», si fingeva di rive-lare grandi novità nella scienza e nellamatematica.

Tra le scoperte sorprendenti c'eranouna confutazione della teoria della rela-tività e la rivelazione che Leonardo daVinci aveva inventato lo sciacquone.L'articolo annunciava anche che, negliscacchi, l'apertura di pedone di torre h2--h4 era una mossa che portava il Biancoalla vittoria certa e che e elevato a ir x.Ni163 era esattamente uguale all'inte-ro 262 537 412 640 768 744. Con miagrande meraviglia, migliaia di lettorinon si resero conto che l'articolo era unoscherzo. Il testo era accompagnato dauna complessa mappa in cui, a mio dire,erano necessari cinque colori per esserecerti che due regioni vicine non avesseromai lo stesso colore. Centinaia di lettorimi inviarono copie della mappa coloratacon solo quattro colori, confermando co-sì il teorema dei quattro colori. Molti diessi affermavano che questo compitoaveva richiesto giorni di lavoro.

Il paradosso di Newcomb prende ilnome dal fisico William A. Newcomb,che lo ideò, ma deve la sua prima de-scrizione al filosofo Robert Nozick, del-la Harvard University, che ne parlò inun articolo tecnico. Esso prevede duescatole chiuse, A e B. La scatola A con-tiene 1000 dollari. La scatola B può con-tenere un milione di dollari oppure nul-la. Avete due scelte: prendere solo lascatola B oppure entrambe le scatole.Prenderle tutte e due sembra ovviamentela scelta migliore, ma c'è una trappola:un essere superiore - Dio, se volete - hail potere di conoscere in anticipo la vo-stra scelta. Se vede che la vostra avidità

vi porta a prendere entrambe le scatole,lascia B vuota e voi dovete accontentar-vi dei 1000 dollari che si trovano in A.Ma se prevede che prenderete solo lascatola B, ci mette un milione di dollari.Voi avete osservato altri cimentarsi inquesto gioco, e tutte le volte che il gio-catore ha scelto entrambe le scatole, hatrovato B vuota. E ogni volta che ungiocatore sceglieva solo la scatola B, di-ventava milionario.

Quale dovrebbe essere la vostra scel-ta? Il ragionamento pragmatico dice che,visti gli esiti delle partite a cui avete as-sistito, l'essere superiore ha il potere difare previsioni esatte. Dovreste quindiprendere solo la scatola B per garantirviil milione. Ma attenzione! L'essere su-periore fa la sua previsione prima cheiniziate il gioco e non ha alcun potere dimodificarla. Nel momento in cui fate lavostra scelta, la scatola B è vuota o con-tiene un milione di dollari. Se è vuota,scegliendo la scatola B non avrete pro-prio nulla, mentre se scegliete entrambele scatole avrete almeno i 1000 dollari di

FANTE

A. E se B contiene il milione, avretequel milione più altri 1000 dollari. E al-lora che cosa ci perdete a scegliere en-trambe le scatole?

Entrambe le argomentazioni sembra-no inattaccabili, ma nessuna delle duepuò essere la strategia giusta. Nozickconcludeva che il paradosso, che appar-tiene a una branca della matematicachiamata teoria delle decisioni, rimaneirrisolto. Secondo me il paradosso, con-ducendo a una contraddizione logica, di-mostra l'impossibilità di un essere supe-

REGINA

riore in grado di prevedere le decisioni.Parlai del paradosso in «Le Scienze» delgennaio 1974 e ricevetti una tale valan-ga di lettere che le misi tutte in uno sca-tolone e le consegnai personalmente aNozick, il quale le analizzò in un artico-lo ospitato dalla mia rubrica nel numerodell'agosto 1974.

I quadrati magici sono da molto tem-po popolari nella matematica ricreativa.Ciò che li rende magici è la disposizio-ne dei numeri al loro interno: i numeriin ogni colonna, riga e diagonale hannola stessa somma. In genere si richiedeche i numeri di un quadrato magico sia-no diversi tra loro e siano in ordineconsecutivo, a partire da uno. Esiste so-lo un quadrato magico di ordine 3, incui le cifre da uno a nove sono disposte

Le forme del gioco Vita si evolvono seguendo le regoleelaborate dal matematico John H. Conway. Se all'inizio sidispongono quattro organismi in un blocco quadrato dicelle (a), la forma non cambia. Altre tre figure iniziali (b,c e d) si evolvono nella forma stabile «alveare». La quintafigura (e) si evolve nell'oscillante «semaforo», che passain alternanza dalle righe verticali a quelle orizzontali.

1 tasselli di Penrose si possono costruire divi-dendo un rombo in un «aquilone» e una «frec-cia», tali per cui il rapporto tra le loro diagona-li sia 0, ossia il rapporto aureo (sopra). Dispo-nendo cinque frecce intorno a un vertice si creauna stella. Sistemando 10 aquiloni intorno allastella ed estendendo la tassellatura in modosimmetrico, si genera la figura a stella infinita(a destra). Altre tassellature intorno a un verti-ce sono, per esempio, il diavolo, il fante e la re-gina, le quali possono a loro volta generare fi-gure infinite (in basso a destra).

DIAVOLO

.jv'7"IvIt'Pfl:7,44

A II , \73\/M. f

,

)(4 l 1 4\ 4lnA im-f !

--\

96 LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998 97

2

Il paradosso dell'area che scompare

Consideriamo le figure qui sotto. Ciascuna di esse è costruita con gli stessi 16

pezzi: quattro grandi triangoli rettangoli, quattro piccoli triangoli rettangoli, quattropezzi con otto lati e quattro piccoli quadrati. Nella figura a sinistra, i pezzi combacianoperfettamente, ma la figura di destra ha un buco quadrato al centro! Da dove salta fuo-ri questo pezzetto di area in più? E perché scompare nella figura a sinistra?

• l96 I. offibew iap eopqm e Jad otea pi n odeoidwai oisano . epuooas eilap onuaaiau oleJpenb oonq lOP ealeme iJed e ain6i} anp 01e.1} eale p ezualagip .owats

-alle OU0610dS 9 ipai5 06 ip poi55ew aluawJa66ei OUOS pipan e iio5ue 16 e.in6emu,iieN . oue.nuap einbi e ll e P ! e !Pe.16 06 e popalui alueauebbal OUOS 101L19A

iio6ue '16 :eneouoo a ambii ewpd ei `ezualawp elsanb esnea v • !slaimp aluaw-JaMai ouos ilnoe no5ue woi ouos uou airiN anp anap ilianb a ipue.,6ilo5uep1 ago op.e ieu eis «aredwoos ago earemap ossopaied» iap

Risnosi q i quattro mm 'rapo di C;Ardner(pubblicati a pagina 93)

1. Molti pensano che la probabilità sia salita da 1/3 a 1/2.Dopo tutto, ci sono solo due carte coperte, e una deve es-sere l'asso. In realtà la probabilità rimane 1/3. La probabi-lità che non abbiate scelto l'asso rimane 2/3, anche se Jo-nes sembra aver eliminato parzialmente l'incertezza mo-strando che una delle due carte non prescelte non è l'asso.La probabilità che l'altra delle due carte non prescelte sial'asso, tuttavia, resta uguale a 2/3, perché la scelta era av-venuta prima. Se Jones vi desse l'opportunità di spostarela vostra scommessa su quella carta, dovreste accettare(sempre che non abbia qualche carta nella manica, natu-ralmente).

Quando presentai questo problema nella mia rubricadell'ottobre 1959, lo feci in forma leggermente diversa: in-vece di tre carte, il problema prevedeva tre prigionieri, unodei quali era stato graziato dal governatore. Nel 1990 Ma-rilyn vos Savant, autrice di una popolare rubrica sulla rivi-sta « Parade » , presentò un'altra versione ancora del pro-blema, con tre porte e un'automobile dietro una di esse.Diede la risposta corretta, ma ricevette migliaia di lettere in-furiate - molte da matematici - che l'accusavano di ignorarela teoria della probabilità! Il caso finì in prima pagina sul«New York Times».

2. La somma è 111. Il trucco funziona sempre perché lamatrice di numeri non è altro che una vecchia tavola di ad-dizioni. La tavola è generata da due insiemi di numeri: (3,1, 5, 2, 4, 0) e (25, 31, 13, 1, 7, 19). Ciascuno dei numeridella matrice è la somma di una coppia di numeri dei due

insiemi. Quando sce-gliete i sei numeri da

5 2 4 o cerchiare, state sce-25 1f ir 10, gliendo sei coppieche insieme includo-

31 14 32 lh 11 35 11-no tutti e 12 i numerigeneratori. Quindi la

13 41- XIII 15 41- 43- somma dei numericircolettati è sempreuguale alla somma

.4- 4 1T1 -1- dei 12 numeri gene-rativi. Questi partico-

7 41 X 42- / 41- 3- lari quadrati magicifurono il tema della

19 11- mia rubrica del gen-naio 1957.

3. Tutte le catene di parole terminano su God (Dio). La ri-sposta può sembrare frutto della Provvidenza, ma in realtàè il risultato del Conteggio di Kruskal, un principio matema-tico messo in luce per la prima volta negli anni settanta dalmatematico Martin Kruskal. Quando il numero totale di pa-role di un testo è maggiore in modo significativo del nume-ro di lettere della parola più lunga, è probabile che due ca-

tene di parole che iniziano inmodo casuale si intersechino inuna parola chiave. Da quel pun-to, naturalmente, le catene di-ventano identiche. Più il testo èlungo, più la probabilità dell'in-tersezione aumenta.

Parlai del principio di Kruskal in «Le Scienze» di giugno1978. Il Conteggio di Kruskal si può applicare anche a oc-cupazioni più mondane, come i trucchi con le carte.

4. Immaginiamo, per semplicità, un mazzo di sole 10 carte,con la seguente alternanza di carte rosse e nere:NRNRNRNRNR. Tagliando in due il mazzo si otterrà la se-guente successione: NRNRN e RNRNR. Quando si inizia amescolare, la carta sul fondo di un mazzetto è nera, e quel-la sul fondo dell'altro mazzetto è rossa. Se la carta rossaarriva sul tavolo per prima, le carte sul fondo di entrambi imazzetti saranno nere, e quindi la carta successiva creeràsul tavolo una coppia rosso-nero. Se invece scende perprima la carta nera, le carte sul fondo di entrambi i mazzettisaranno rosse, e quindi la carta successiva creerà unacoppia rosso-nero. Dopo che sono scese le prime due car-te - indipendentemente dal mazzetto a cui appartengono -la situazione sarà identica all'inizio: le carte sul fondo deimazzetti saranno di colore diverso. Il processo si ripete peril resto del mazzo, garantendo che in ciascuna coppia suc-cessiva ci siano una carta nera e una rossa, anche se lecarte si mescolano in maniera irregolare (sotto).

Questo fenomeno è noto co-me principio di Gilbreath, dalnome dello scopritore, Nor-man Gilbreath, un prestigiato-re californiano. Ne parlai perla prima volta nella mia rubrica

dell'agosto 1960 e di nuovo nel numero di marzo 1973 di«Le Scienze». I prestigiatori hanno inventato più di 100trucchi con le carte che si basano su questo principio e lesue generalizzazioni.

L'esagono magico hauna proprietà peculiare: ogni riga

di caselle ha per somma 38.

Il grattacielo non può esserecostruito con pezzi Soma.

(Il rompicapo è a pagina 95.)

MAZZO MESCOLATOIRREGOLARMENTEMA770 BEN MESCOLATO

o

MARTIN GARDNER tenne la rubrica Giochi matematicisu «Scientific American» dal 1956 al 1981, e continuò a colla-borare saltuariamente per diversi anni. I suoi articoli sono rac-colti in quindici libri, l'ultimo dei quali, pubblicato da Sprin-ger-Verlag nel 1997, è The Last Recreations. Durante la sualunga carriera di giornalista scientifico ha scritto anche più di70 altri libri, di scienza, matematica, filosofia, letteratura.

GARDNER MARTIN, Circolo matematico, Sansoni, Firenze1981.

AVERBACH BONNIE e CHEIN ORIN, Mathematics: ProblemSolving through Recreational Mathematics, W. H. Freeman

and Company, 1986.

BALL W. W. ROUSE e CoxETER H. S. M., Mathematical Re-

creations and Essays, 13° edizione, Dover Publications, 1987.WELLS DAVID, Penguin Edition of Curious and Interesting

Geometry, Penguin, 1991.PICKOVER CLIFFORD, Mazes of the Mind, St. Martin's

Press, 1992.GARDNER MARTIN, Enigmi e giochi matematici, Rizzoli,

Milano 1997.

In Italia, molti dei libri di Martin Gardner sono stati tradot-ti dall'editore Zanichelli. Tra essi: L'incredibile dottor Ma-trix (1982), L'universo ambidestro (1983), Ah! Ci sono! Pa-radossi stimolanti e divertenti (1987).

in una griglia tre per tre. (Le variantiottenute per rotazione o riflessione so-no considerate banali.) Esistono, inve-ce, 880 quadrati magici di ordine 4 e ilnumero di possibilità cresce rapida-mente per quadrati di ordine superiore.

Sorprendentemente, questo non av-viene con gli esagoni magici. Nel 1963ricevetti un esagono magico di ordine 3inventato da Clifford W. Adams, un im-piegato in pensione. Lo inviai a CharlesW. Trigg, un matematico del Los Ange-les City College, il quale dimostrò chequesta elegante disposizione era l'unicoesagono magico di ordine 3, e che nonera possibile alcun esagono magico dialtre dimensioni!

possibilità offerte dai più veloci super-calcolatori attuali. È probabile che un si-mile quadrato magico non abbia alcunautilità pratica. Perché, allora, i matema-tici lo stanno cercando? Semplicementeperché potrebbe esistere.

L'incredibile dottor MatrixPiù o meno ogni anno, dedicavo un

numero della rubrica a un'intervista im-maginaria con un numerologo che ave-vo battezzato dottor Irving Joshua Ma-trix (si noti il 666 ottenuto con il nume-ro di lettere delle tre parti del nome). Ildottore discettava di inconsuete pro-prietà dei numeri e di bizzarri giochi diparole. Molti lettori pensavano che ildottor Matrix e la sua bella figlia permetà giapponese, Iva Toshiyori, esi-stessero realmente. Ricordo una letteradi un lettore giapponese, sconcertatoperché Toshiyori era un cognome dav-vero strano: in giapponese significa in-fatti strada dei vecchi: lo avevo presoda una cartina di Tokyo...

Rimpiango di non aver mai chiesto aldottor Matrix la sua opinione sul ridico-lo best-seller The Bible Code, pubblicatonel 1997, in cui si sostiene di poter tro-vare previsioni del futuro nella disposi-zione delle lettere ebraiche dell'AnticoTestamento. Il libro utilizza un sistemacifrato che avrebbe reso orgoglioso ildottor Matrix. Applicando selettivamen-te il sistema a certi brani di testo, i lettoripossono trovare profezie nascoste nonsolo nell'Antico Testamento, ma anchenel Nuovo Testamento, nel Corano, nel«Wall Street Journal», e perfino nellepagine dello stesso The Bible Code.

L'ultima volta che ho avuto notiziedel dottor Matrix, era a Hong Kong, al-la ricerca della comparsa accidentale diTE in note opere di fantascienza. Citava,per esempio, il seguente frammento difrase del capitolo IX di La guerra deimondi di H. G. Wells: For a time Istood regarding... (Rimasi un po' a os-servare...). Le lettere delle parole dan-no n fino alla sesta cifra!

E se non viene richiesto che i numeridel quadrato magico siano in ordineconsecutivo? Se l'unico requisito è che inumeri siano diversi fra loro, si può co-struire una grande varietà di quadratimagici di ordine 3. Per esempio, esisteun numero infinito di questi quadrati checontengono numeri primi distinti. Si puòcostruire un quadrato magico Con novenumeri distinti che siano quadrati? Dueanni fa, in un articolo apparso su «Quan-tum», ho offerto 100 dollari per un qua-drato del genere. Finora nessuno si è fat-to avanti con il quadrato di quadrati, manessuno ha nemmeno dimostrato che siaimpossibile. Se esiste, i suoi numeri de-vono essere enormi, forse al di là delle

LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998 9998 LE SCIENZE n. 362, ottobre 1998