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UNITÀ 2 La rappresentazione delle leggi fisiche

Conoscenze• Conoscere diversi tipi di proporzionalità

Abilità• Rappresentare leggi fisiche in quanto relazioni matematiche• Ricavare formule inverse

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1 Proporzioni e percentuali

Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti

Proprietà delle proporzioni

In una proporzione qualunque a : b = c : d i termini a e d sono chiamati estremi i termini b e c sono chiamati medi

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Per qualunque proporzione valgono le seguenti proprietà il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

a · d = b · c

un estremo è uguale al prodotto dei medi diviso l’altro estremo

un medio è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio

1 Proporzioni e percentuali

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Percentuale Una percentuale equivale a una frazione con denominatore uguale a 100

Calcolo delle percentuali

P : 100 = N: T

dove P è la percentuale N è la quantità corrispondente alla percentuale T è il totale

1 Proporzioni e percentuali

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2 Tabelle e grafici cartesiani

Tabelle

Una tabella a due colonne permette di presentare ordinatamente i valori di due grandezze

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Grafici cartesiani

Un grafico o diagramma cartesiano per punti è formato da due assi perpendicolari che si incontrano

in un punto chiamato origine– asse delle ascisse (o asse x) – asse delle ordinate (o asse y)

Fissata un’unità di misura sui due assi i numeri che indicano le distanze di ogni punto del piano

dagli assi sono le sue coordinate cartesiane– ascissa– ordinata

• l’asse delle ascisse e quello delle ordinate sono anche detti assi cartesiani

2 Tabelle e grafici cartesiani

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2 Tabelle e grafici cartesiani

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2 Tabelle e grafici cartesiani

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Grafici sperimentali

In un grafico sperimentale è necessario riportare i valori delle misure delle due grandezze x e y i rispettivi errori assoluti

– il grafico sarà composto da rettangoli dove• il centro rappresenta la misura attendibile• le dimensioni rappresentano il doppio degli

errori assoluti delle misure delle due grandezze

2 Tabelle e grafici cartesiani

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2 Tabelle e grafici cartesiani

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Interpolazione ed estrapolazione

Dato un grafico cartesiano è possibile ricavare altri valori delle grandezze rappresentate, in

aggiunta a quelli utilizzati per tracciare il grafico stesso– interpolazione

prolungare il grafico oltre i valori forniti nella tabella deducendo ulteriori dati

– estrapolazione

2 Tabelle e grafici cartesiani

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3 Le funzioni matematiche

Le funzioni matematiche sono un modo per esprimere la relazione fra due grandezze fisiche che descrivono un fenomeno

Funzione matematica y = f(x)

Una variabile y è funzione di un’altra variabile x se a ogni valore della variabile x corrisponde un unico valore della variabile y. La variabile x si dice variabile indipendente, la variabile y si dice variabile dipendente, perché i suoi valori dipendono da quelli assegnati alla variabile x

Una funzione matematica può essere rappresentata con una formula matematica una tabella un grafico cartesiano

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Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto si mantiene costante

L’espressione algebrica della relazione è

Relazione di proporzionalità diretta

Nella relazione di proporzionalità diretta y = kx, il valore della costante k determina la pendenza della semiretta corrispondente sul grafico cartesiano. Maggiore è il valore di k, maggiore è la pendenza della semiretta e quindi maggiore è l’angolo che la semiretta forma con l’asse x. Il coefficiente k è detto anche coefficiente angolare della retta

4 La relazione di proporzionalità diretta

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4 La relazione di proporzionalità diretta

esempio supponiamo di comprare del pane che costa 1,5€ al Kg costruiamo tabella e grafico corrispondente

L’espressione matematica si ottiene trovando k il prezzo al kg

Quindi K= 1,5 da cui y=1,5x

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Si dicono funzioni lineari tutte le funzioni che hanno per grafico una retta e che sono espresse dalla relazione

y = mx + q

m è il coefficiente angolare – determina la pendenza della retta– rappresenta il rapporto fra la differenza delle

coordinate di due punti qualsiasi della retta q è il termine noto e rappresenta il punto di

intersezione della retta con l’asse y

5 La relazione lineare

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5 La relazione lineare

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Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto si mantiene costante

L’espressione algebrica della relazione è

Relazione di proporzionalità inversa

La curva che rappresenta la relazione di proporzionalità inversa è un ramo di iperbole

6 La relazione di proporzionalità inversa

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6 La relazione di proporzionalità inversa

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6 La relazione di proporzionalità inversa

Il volume è costante k e si ottiene moltiplicando A*h quindi K=400

yx=400 y=400/x h=400/A

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Due grandezze sono direttamente proporzionali al quadrato se è costante il rapporto tra i valori della grandezza y (variabile dipendente) e i quadrati dei corrispondenti valori della grandezza x (variabile indipendente)

In simboli

Relazione di proporzionalità quadratica

7 La relazione di proporzionalità quadratica

In una relazione di proporzionalità quadratica le variabili sono correlate da una funzione di

secondo grado – il grafico è una parabola

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7 La relazione di proporzionalità quadratica

Esempio

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Ricavare formule inverse

Nelle equazioni di molte leggi fisiche compaiono più grandezze espresse da lettere

per isolare una qualunque di queste grandezze è necessario ricavare la formula inversa

– si applicano i due principi di equivalenza

8 Risolvere equazioni

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Altre formule inverse

F=ma a= F/m m=F/a